2021学年高一数学人教2019必修二新教材培优7.2.2 复数的乘除运算(解析版)
7.2.2+复数的乘、除运算-高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修第二册)
(3)4k(k∈Z)是 i 的周期.
(4)与 i 有关的几个结论:
1+
1-
(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, 1- =i,1+ =-i.
例题剖析
例2.计算( + ) ÷ ( − ).
解： + ÷ − =
=
+
−
(+)(+)
第 七 章 复数
7.2.2 复数的乘、除运算
人教A版2019必修第二册
教学目标
1.掌握复数的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.通过复数代数形式的乘法、除法的学习,培养学生的数学运算素养.
PART.01
复习导入
温故知新
(a + bi) + (c + di )=(a + c)+(b + d)i.
=
= .
例题剖析
练习：已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i 与 2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2= ( D
A．5－4 i B．5＋4 i
C．3－4 i D．3＋4 i
解：由题意：a=2，b=1
（a+bi）²=（2+i）²
=2²+4i+i²
=4+4i-1
=3+4i
)
例题剖析
练习：计算下列各题： (1－2i)(3＋4i) (－2＋i)
(−)(+)
=
−++
+
=
−+=ຫໍສະໝຸດ −
+
例题剖析
复数的乘、除运算 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：复数的除法法则
思考：类比实数的除法是乘法的逆运算.复数的除法应该满足怎样的运算法则？
我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以
复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 a bi .
c di
利用(c+di)(c－di)＝c2＋d2.于是将
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i 两个复数的积仍然是一个确定的复数
当z1 , z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2
换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
学习目标
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律)
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
对任意z1，z2，z3∈C，都有 z1z2 = z2z1
(z1z2)z3 = z1(z2z3) z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1：计算 (1) (2+3i)(2-3i);
两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数
根式除法: 分子分母都乘以分母 的“有理化因式”,从而使分母 “有理化”.
类比
复数除法: 分子分母都乘以分母 的“实数化因式”(共轭复数), 从而使分母“实数化”.
学习标
2021新教材高中数学第7章复数7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册
第七章复数7.2ꢀ复数的四则运算7.2.2ꢀ复数的乘、除运算素养目标·定方向必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向素养目标学法指导1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算，并会简单应用.(数学运算)1．对比向量坐标的数量积运算，感觉复数乘法运算的差异，体会复数乘法运算与实数运算的异同.2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(逻辑推理)2．对比复数除法运算与实数除法运算的差异，类比分母有理化与共轭的关系.必备知识·探新知知识点1 复数的乘法法则设z ＝a ＋b i ，z ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z ·z ＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ 1 2 12 (ac －bd )＋(ad ＋bc )i ꢀ ______________________. 知识点2 复数乘法的运算律对任意复数z ，z ，z ∈C ，有1 2 3 交换律z ·z ＝___z _·_z _ꢀ___ 21 12 结合律(z ·z )·z ＝z ·(z ·z ) 123 123 z z ＋z z ꢀ 分配律z (z ＋z )＝_____________12 13 12 3知识点3理想化复数代数形式的除法法则[知识解读]ꢀ1．对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.(3)常用结论①(a±b i)2＝a2±2ab i－b2(a，b∈R)；②(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.2．对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－d i，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.关键能力·攻重难题型探究题型一复数代数表示式的乘法运算典例1DꢀDꢀ(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(ꢀꢀ)BꢀA．(－∞，1)ꢀꢀB．(－∞，－1)C．(1，＋∞)ꢀꢀD．(－1，＋∞)[分析]ꢀ利用乘法公式进行运算.[解析]ꢀ(1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．故|z2－2z|＝|－2|＝2．故选D．[归纳提升]ꢀ两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开；(2)再将i2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.【对点练习】❶ꢀ(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ (ꢀD ꢀ)A ．2－13i ꢀꢀC ．13－13i ꢀꢀB ．13＋2i D ．－13－2i (2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是 (ꢀC ꢀ) ꢀA ．i(1＋i)2ꢀꢀC ．(1＋i)2ꢀꢀ B ．i 2(1－i)D ．i(1＋i)[解析]ꢀ(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.故选C．题型二复数代数形式的除法运算典例2DꢀAꢀ[分析]ꢀ复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行.Bꢀ－2＋iꢀ题型三实系数一元二次方程在复数范围内根的问题已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.典例3(1)求实数a，b的值；(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.[分析]ꢀ解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0．设另一个根为x，由根与系数的关系，得－1＋i＋x＝－2，22∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根.[归纳提升]ꢀ(1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋b i(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－b i 是该方程的另一根.(2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.【对点练习】❸ꢀ(1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(ꢀꢀ)AꢀA．－3＋2iꢀꢀC．－2＋3iꢀꢀB．3＋2i D．2＋3i(2)已知a，b∈R，且2＋a i，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值.易错警示误认为|z|2＝z2ꢀ已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z.典例4[错解]ꢀ由z2－|z|－6＝0⇒(|z|－3)(|z|＋2)＝0．因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3．则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求.[错因分析]ꢀ本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2．[误区警示]ꢀ设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆.【对点练习】❹ꢀ(2019·湖南省长沙市检测)已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部(ꢀꢀ)BꢀA．不小于0ꢀꢀC．大于0ꢀꢀB．不大于0 D．小于0。
7.2.2复数的乘、除运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接
约分化简．复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积
是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分
式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分
母的共轭复数)，并把结果化简即可．
也就是说a＋bi＝a＋bic－di＝ac＋bd＋bc－adi＝ac＋bd
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
a bi c di (a c) (b d)i
1.复数加
符合向量加法的平行四边形法则.
2.复数减法运算的几何意义 z1 z2 OZ1 OZ2 Z2Z1
符合向量减法的三角形法则.
(4) (3 2i) [(4 3i) (5 i)] 47 79i
思考 视察上述计算,实验证复数的乘法运算是否满足
交换、结合、分配律? 对任何z1, z2 , z3 C有
(1)交换律: z1 z2 z2 z1
(2)结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
(3)分配律: z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
两个实数的和 。
(2)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在 所得的结果中把 换成－1，然后实、虚部分别合并即 可.
课堂探究 2.乘法运算律：
计算：(1) (1 4i) (7 2i)
15 26i
(2) (7 2i) (1 4i)
15 26i
(3) [(3 2i) (4 3i)] (5 i) 47 79i
（2）z z 是一个怎样的数 ？
（3）z z 与 z 2 , z 2 有何关系？ y 结论：
z1
（1）关于实轴对称
O
（2）z z a2 b2
2021年新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘除运算学案新人教A版必修第二册54
7.2.2 复数的乘、除运算[目标] 1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算；2.理解共轭复数的意义；3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．[重点] 复数的乘法与除法的运算法则．[难点] 复数的除法运算．要点整合夯基础知识点一复数的乘法运算[填一填]1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数的乘法满足的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有[答一答]1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：多个复数的乘积运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z21＋2z1·z2＋z22是否成立？提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．知识点二复数的除法运算[填一填]复数代数形式的除法法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i ≠0)．[答一答]3．复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．典例讲练破题型类型一 复数的乘法运算[例1] (1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3iD ．4＋3i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.[分析] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．[解析] (1)∵a ，b ∈R ，a ＋i ＝2－b i ， ∴a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.(2)因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.[答案] (1)A (2)1＋2i正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.[变式训练1] 计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)； (3)(1－i)3.解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i) ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)·(3－4i)＝(3＋11i)·(3－4i)＝9－12i ＋33i －44i 2 ＝53＋21i.(3)(1－i)3＝(1－i)2·(1－i) ＝(1－2i ＋i 2)·(1－i)＝(－2i)·(1－i)＝－2i ＋2i 2＝－2－2i. 类型二 共轭复数[例2] 已知复数z 满足z ·z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z .[分析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )→由题意得到方程组求x ，y 的值→得到复数z . [解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋2(x ＋y i)i ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.[变式训练2] 已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( A )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：因为z ＝3＋i(1－3i )2，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )2＝|3＋i||(1－3i )2|＝24＝12，所以z ·z ＝14.类型三 复数的除法运算[例3] 计算：(1)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i ；(2)(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i.[分析] 复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[解] (1)因为(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i＝(i －2)(i －1)－2＋i＝i －1，－3－2i 2－3i ＝(－3－2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝－13i13＝－i.所以(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i＝i －1＋(－i)＝－1.(2)(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i ＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3－i＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i＋i ＝2i.[变式训练3] 已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( C ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i.课堂达标练经典1．z 1，z 2是复数，且z 21＋z 22<0，则正确的是( B ) A ．z 21<z 22B ．z 1，z 2中至少有一个是虚数C ．z 1，z 2中至少有一个是实数D ．z 1，z 2都不是实数解析：取z 1＝1，z 2＝2i 满足z 21＋z 22<0，从而排除A 和D ；取z 1＝i ，z 2＝2i ，满足z 21＋z 22<0，排除C ，故选B.2．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( A ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i.根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z ＝－1＋i ，故选A.3．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝2.解析：由题意，得x ＋i ＝－1＋2i i ＝－i ＋2i 2i 2＝－i －2－1＝2＋i ，所以x ＝2.4．复数52－i的共轭复数是2－i.解析：52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，其共轭复数为2－i.5．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应的向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.——本课须掌握的三大问题1．复数的乘除法(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－1.(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．2．共轭复数(1)复数z的共轭复数通常用z表示，即当z＝a＋b i(a，b∈R)时，z＝a－b i.(2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z＝a ＋b i(a，b∈R)，则z·z＝a2＋b2＝|z|2＝|z|2.(3)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝z⇔z∈R，这是判断一个数是否为实数的一个准则．(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．3．虚数单位i的乘方由i4＝1，则对任意n∈N*，i的幂的周期性如下：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.。
7.2.2复数的乘、除运算 讲义2020-2021学年高一下学期人教A版(2019)必修第二册
7．2.2 复数的乘、除运算(教师独具内容)课程标准：掌握复数代数表示式的乘、除运算．教学重点：1.复数代数形式的乘、除法运算.2.理解并掌握复数的除法运算的实质是分母实数化问题．教学难点：1.在复数范围内解方程.2.i的幂的周期性．核心素养：1.通过复数的乘、除运算法则培养逻辑推理素养.2.通过复数的乘、除运算提升数学运算素养.虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.说明：(1)上述公式说明i的幂具有周期性，且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集．(3)4k(k∈Z，且k≠0)是i n的周期．(4)与i有关的几个结论：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i，则复数z1z2的虚部为5.( )(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.( )(3)两个共轭复数的积为实数．( )2．做一做(1)复数3i＋1＝____.(2)复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第____象限．(3)复数2－1i 的共轭复数是____.题型一 复数的乘法运算例1 (1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3i C.3＋iD ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，求z . [跟踪训练1] (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝____. (2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . 题型二 复数的除法运算 例2 计算：(1)1＋2i2＋31－i2＋i；(2)1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i.[跟踪训练2] (1)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i(2)计算：①3＋2i 2－3i ＋3－2i2＋3i ；②i －2i －11＋i i －1＋i.题型三 在复数范围内解方程 例3 在复数范围内解下列方程： (1)x 2＋5＝0； (2)x 2＋4x ＋6＝0.[跟踪训练3] (1)在复数范围内解方程2x 2＋3x ＋4＝0.(2)已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值． 题型四 复数i n 的周期性运算 例4 计算：(1)2＋2i1－i 2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2020； (2)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2020. [跟踪训练4] (1)当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i(2)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i 的值为____.1．复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i2．复数21－i 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 3．(1＋i)2－2－i2＋i＝____. 4．方程7x 2＋1＝0的根为____.5．把复数z的共轭复数记作z－，已知i z－＝4＋3i，求zz－.一、选择题1．若复数z满足z i＝1＋i，则z的共轭复数是( ) A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i解法二：复数z＝1＋ii＝(1＋i)(－i)＝1－i，则z的共轭复数z－＝1＋i.2．已知复数z满足z(1＋i)＝－i，则|z|＝( )A．12B．22C．1 D． 23．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z 1z2＝( )A．12＋13i B．13＋12iC．－13i D．13i4．在复平面内，复数z＝23－i＋i3对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．(多选)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则( )A．z2＝－1－2iB．z1z2＝－3C．|z2z1|＝1D ．z 2z 1的共轭复数为35＋45i二、填空题6．若复数(1＋a i)2(i 为虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则复数1＋a i 的模是____. 7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z ＝____.8．已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z －是z 的共轭复数，则z z －＝____. 三、解答题9．在复数范围内解下列方程： (1)9x 2＋64＝0；(2)x 2＋5x ＋7＝0.1．设z ＝12＋32i(i 是虚数单位)，求z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6.2．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．7．2.2 复数的乘、除运算(教师独具内容)课程标准：掌握复数代数表示式的乘、除运算．教学重点：1.复数代数形式的乘、除法运算.2.理解并掌握复数的除法运算的实质是分母实数化问题．教学难点：1.在复数范围内解方程.2.i 的幂的周期性．核心素养：1.通过复数的乘、除运算法则培养逻辑推理素养.2.通过复数的乘、除运算提升数学运算素养.虚数单位i 的乘方计算复数的乘积要用到复数单位i 的乘方，i 有如下性质：i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＝1.说明：(1)上述公式说明i 的幂具有周期性，且最小正周期是4. (2)n 可推广到整数集．(3)4k (k ∈Z ，且k ≠0)是i n 的周期． (4)与i 有关的几个结论： (1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若复数z 1＝1＋2i ，z 2＝3－i ，则复数z 1z 2的虚部为5.( )(2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( )(3)两个共轭复数的积为实数．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做 (1)复数3i ＋1＝____. (2)复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第____象限．(3)复数2－1i 的共轭复数是____.答案 (1)32－32i (2)四 (3)2－i题型一 复数的乘法运算例1 (1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3i C.3＋iD ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，求z .[解析] (1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝(1－i)(1＋i)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.[答案] (1)B (2)D (3)见解析复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，(a ＋b i)3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋(3a 2b －b 3)i.[跟踪训练1] (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝____. (2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . 答案 (1)－5－15i (2)见解析解析 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.题型二 复数的除法运算 例2 计算：(1)1＋2i2＋31－i2＋i；(2)1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i .[解] (1)1＋2i 2＋31－i2＋i＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i＝i 2－i 5＝15＋25i. (2)1－4i 1＋i＋2＋4i3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝7＋i 3－4i 3＋4i3－4i＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i25＝1－i.复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．[跟踪训练2] (1)1＋2i1－2i＝( ) A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i(2)计算： ①3＋2i 2－3i ＋3－2i2＋3i；②i －2i －11＋ii －1＋i.答案 (1)D (2)见解析解析(1)1＋2i1－2i＝1＋2i1＋2i1－2i1＋2i＝1－4＋4i1－2i2＝－3＋4i5＝－35＋45i.故选D.(2)①3＋2i2－3i＋3－2i2＋3i＝i2－3i2－3i＋－i2＋3i2＋3i＝i－i＝0.②i－2i－11＋i i－1＋i＝i2－i－2i＋2i2－1＋i＝1－3ii－2＝3i－12＋i2－i2＋i＝6i＋3i2－2－i5＝－5＋5i5＝－1＋i.题型三在复数范围内解方程例3 在复数范围内解下列方程：(1)x2＋5＝0；(2)x2＋4x＋6＝0.[解](1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x＝±5i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝±5i.(2)解法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i，即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.解法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，由复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式可知，当Δ＜0时，x＝－b±－b2－4ac i2a＝－4±8i2＝－2±2i.所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.解法三：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋b i(a，b∈R且b≠0)，则(a＋b i)2＋4(a＋b i)＋6＝0，所以a2＋2ab i－b2＋4a＋4b i＋6＝0，整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0， 所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝± 2.所以x ＝－2±2i ， 即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法 (1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac2a .②当Δ＜0时，x ＝－b ±－b 2－4ac i2a.(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R 且n ≠0)，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．[跟踪训练3] (1)在复数范围内解方程2x 2＋3x ＋4＝0.(2)已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值． 解 (1)因为b 2－4ac ＝32－4×2×4＝9－32＝－23＜0， 所以方程2x 2＋3x ＋4＝0的根为x ＝－3±－－23i2×2＝－3±23i 4＝－34±234i. (2)因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根， 所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0， 即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0， 整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0， 所以⎩⎨⎧10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝－12，q ＝26.题型四 复数i n 的周期性运算例4 计算：(1)2＋2i1－i 2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2020； (2)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2020. [解] (1)2＋2i1－i 2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2020＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1010 ＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1010＝－1＋i ＋(－i)1010＝－1＋i －1＝i －2.(2)∵i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0，n ∈N *，∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019＋i 2020＝1＋i ＋i 2＋i 3＋(i 4＋i 5＋i 6＋i 7)＋(i 8＋i 9＋i 10＋i 11)＋…＋(i 2016＋i 2017＋i 2018＋i 2019)＋i 2020＝1.i n (n ∈N *)的性质根据复数乘法法则，容易得到i 的n 次幂的计算法则，即n ∈N *时，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中i 0＝1，i －n ＝1in (n ∈N *)．另外，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0. [跟踪训练4] (1)当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i(2)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i 的值为____. 答案 (1)D (2)－1＋i解析 (1)∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－2i2＝－i ，∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i ＋1＝－i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i 226＋2＋3i 3＋2i3＋2＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.1．复数i(2－i)＝( )A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 答案 A解析i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.故选A．2．复数21－i等于( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案 A解析21－i＝21＋i1－i1＋i＝21＋i2＝1＋i.故选A．3．(1＋i)2－2－i2＋i＝____.答案－35＋145i解析(1＋i)2－2－i2＋i＝2i－2－i25＝－35＋145i.4．方程7x2＋1＝0的根为____.答案x＝±77i解析7x2＋1＝0，整理得x2＝－17，因为⎝⎛⎭⎪⎫77i2＝⎝⎛⎭⎪⎫－77i2＝－17，所以7x2＋1＝0的根为x＝±77i.5．把复数z的共轭复数记作z－，已知i z－＝4＋3i，求zz－.解由i z－＝4＋3i得z－＝4＋3ii＝3－4i，所以z＝3＋4i.所以zz－＝3＋4i3－4i＝3＋4i23－4i3＋4i＝－7＋24i25＝－725＋2425i.一、选择题1．若复数z满足z i＝1＋i，则z的共轭复数是( )A．－1－i B．1＋iC．－1＋i D．1－i答案 B解析解法一：设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则z i＝(a＋b i)i＝－b＋a i＝1＋i，得a＝1，b＝－1，则z＝1－i，所以z－＝1＋i.解法二：复数z＝1＋ii＝(1＋i)(－i)＝1－i，则z的共轭复数z－＝1＋i.2．已知复数z满足z(1＋i)＝－i，则|z|＝( )A．12B．22C．1 D． 2 答案 B解析因为z＝－i1＋i＝－i1－i1＋i1－i＝－1－i2＝－12－12i，所以|z|＝22.3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z 1z2＝( )A．12＋13i B．13＋12i C．－13i D．13i答案 D解析 因为复数z 1＝3＋2i 在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称的点表示的复数z 2＝2＋3i ，所以z 1z 2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.4．在复平面内，复数z ＝23－i ＋i 3对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析 复数z ＝23－i＋i 3＝23＋i 3－i 3＋i－i ＝3＋i 5－i ＝35－45i ，其在复平面上对应的点位于第四象限．5．(多选)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z 1＝1－2i ，则( )A ．z 2＝－1－2iB ．z 1z 2＝－3C ．|z 2z 1|＝1D ．z 2z 1的共轭复数为35＋45i答案 ACD解析 因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝1－2i ，所以z 2＝－1－2i ，z 1z 2＝(1－2i)(－1－2i)＝－(1－2i)(1＋2i)＝－5，z 2z 1＝－1－2i1－2i＝－1＋2i 21－2i 1＋2i＝－－3＋4i5＝35－45i ，所以|z 2z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1，z 2z 1的共轭复数为35＋45i.故选ACD.二、填空题6．若复数(1＋a i)2(i 为虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则复数1＋a i 的模是____. 答案2解析 因为(1＋a i)2＝1－a 2＋2a i 是纯虚数，所以1－a 2＝0且2a ≠0，所以a 2＝1，复数1＋a i 的模为1＋a 2＝ 2.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z ＝____.答案 3－i解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i ，∴z i ＋z ＝4＋2i ，即z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.8．已知复数z ＝3＋i1－3i2，z －是z 的共轭复数，则z z －＝____. 答案14解析 z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i －2－23i ＝－34＋i4，所以z z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－i 4＝14.三、解答题9．在复数范围内解下列方程： (1)9x 2＋64＝0；(2)x 2＋5x ＋7＝0.解 (1)移项，得9x 2＝－64，二次项系数化为1，得x 2＝－649， 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫83i 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－83i 2＝－649， 所以原方程的根为x ＝±83i.(2)因为a ＝1，b ＝5，c ＝7，Δ＝b 2－4ac ＝52－4×1×7＝－3<0， 所以应用求根公式得原方程的根为x ＝－b ±－b 2－4ac i 2a ＝－5±3i 2×1＝－52±32i.1．设z ＝12＋32i(i 是虚数单位)，求z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6.解 z 2＝－12＋32i ，z 3＝－1，z 4＝－12－32i ，z 5＝12－32i ，z 6＝1，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－532i ＋6＝3－33i.2．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件，得a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， 所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1，即△ABC 的面积为1.。
数学人教A版必修第二册7.2.2复数的乘、除运算课件
思考2：若 , 是共轭复数，则 是一个怎样的数？
对任意1 = + , 2 = − (, ∈ )，
1 2 = + − = 2 − 2 i2 = 2 + 2
若 , 是共轭复数，则 是一个实数
复数的除法法则
2）在进行复数除法运算时，通常
a+bi
先把(a + bi) ÷ (c + di)写成
|的情势，
c+di
再把分子与分母都乘分母的共轭复数c − di,
化简后就可得到上面的结果．
例5 计算(1 + 2i) ÷ (3 − 4i).
解：(1 + 2) ÷ (3 − 4)
1 + 2i
=
3 − 4i
(1 + 2i)(3 + 4i) 3 − 8 + 6i + 4i
=
=
(3 − 4i)(3 + 4i)
32 + 42
−5 + 10i
1 2
=
=− + i
25
5 5
练习3.计算
1+i
1
;
1−i
7+i
3
;
3 + 4i
1
2 ;
i
(−1 + i)(2 + i)
(4)
.
−i
解：
1+i
(1 + i)2
2i
1
=
= = i;
1−i
1−i 1+i
2
1
i
2 = 2 = −i;
i i
分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根．
7.2.2+复数的乘、除运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2-i
3.[苏教版教材例题]计算 .
3-4i
解 (方法
2-i
1)设 =x+yi(x,y∈R),则(3-4i)(x+yi)=2-i,
3-4i
=
3 + 4 = 2,
即(3x+4y)+(3y-4x)i=2-i,所以
解得
3-4 = -1,
=
2-i
因此
3-4i
(方法
=
2
1
+
i.
5
5
2-i
2)
3-4i
(1+i)(4+3i)
(2)计算:
(2-i)(1-i)
-2+i
=
4+3i+4i+3i2
解析 原式=
2-2i-i+i
=
22+11i+14i+7i2
2
=
1+7i
1-3i
4-i
2
=
15+25i
=3+5i.
5
.
=
(1+7i)(1+3i)
(1-3i)(1+3i)
=
1+3i+7i+21i2
1-9i
2
=
-20+10i
1-3i
∵z=
1+i
=
(1-3i)(1-i)
(1+i)(1-i)
∴复数z的虚部是-2.
故选D.
1 2 3 4 5 6
D.-2
=
-2-4i
=-1-2i,
2
2.m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为( A )
7.2.2 复数的乘除运算2021-2022学年高一数学(人教A版2019必修第二册)
一般地，方程 ax 2 bx c 0 (a 0) 的求根公式为：
①当 b2 4ac 0 时，x b b b2 4ac
2a
2a
②当 b2 4ac 0 时，x b i b (b2 4ac) i
2a
2a
方程的两个根互 为共轭复数.
例3.在复数范围内解下列方程：
(5) z R z z
(6) z为纯虚数 z 0,且z z
复数除法的法则
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运
算.试探求复数除法的法则.
复数除法的法则是:
(a
bi)
(c
d
i)
ac bd c2 d2
bc c2
ad d2
i
(c
d
i
0)
方法:在进行复数除法运算时,通常先把 (a bi) (c d i) 写成 a bi 的形式，再把分子与
7.2.2 复数的乘除运算
1.掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则.（重点） 2.对复数除法法则的运用.（难点） 3.乘法的运算法则与运算律.
复数乘法运算
我们规定，复数乘法法则如下： 设 z1 a bi ，z2 c d i是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a bi)(c d i) ac ad i bci bd i 2 ac ad i bci bd (ac bd ) (ad bc)i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)
3 8 6i 32 42
4i
5 10i 1 2 i.
25
55
结果化简成
代数形式
1.计算
(1) (7 i) (3 4i)
(3) (1 i)(2 i)
7.复数的乘、除运算-【新教材】2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
=
=
故|z|=
=.
答案 B
=- i+ ,
计算
+
的值是 ( D )
A.0 B.1 C.i D.2i 思路点拨 先把高次利用结论化为一次,再算除式,最后算加.
解析 原式=
+
=
+
= 答案 D
+i= +i=i+i=2i.
in(n∈N)的周期性及其应用
已知i是虚数单位,i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,i6=-1,i7=-i,i8=1,…….
7. 复数的乘、除运算-【新教材】202 0-2021 学年人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第二 册课件
复数范围内实系数一元二次方程根的问题
对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根. 因此,在研究代数方程的问题中,如果仅限于实数集,有些问题就无法解决.在实数集 扩充到复数集后,上述方程是否有解?如果有解,解是什么?
2.复数代数运算中的常用结论 (1)(1±i)2=±2i, =i, =-i;
(2)
=1;
(3)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
设复数z满足(3-i)z=1-i,则|z|= ( B )
A.
B.
C.
D.
思路点拨 先由已知求出z,再求|z|. 解析 ∵(3-i)z=1-i,
∴z= =
1.观察上面的式子,能得出什么结论? 提示:若n∈N,则有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. 2.如何求i+i2+i3+…+i2 018+i2 019的值? 提示:∵i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,∴i+i2+i3+i4=0,∴i+i2+i3+i4+…+i2 019=i2 017+i2 018+i2 = 019 i-1-i=-1.
人教版高中数学必修二新教材培优辅导7.2.2 复数的乘除运算(解析版)
第七章 复数7.2.2 复数的乘除运算一、基础巩固 1．若复数z 满足21zi i=+,则z =（ ） A ．22i + B ．22i -C ．22i --D ．22i -+【正确答案】C 【详细解析】()2122z i i i =+=-+故22z i =-- 2．设复数z 满足11zi z+=-,则z =（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1i +【正确答案】B 【详细解析】11zi z+=-得()11z i z +=- 即()()()()111111i i i z i i i i ---===++- z i =-3．复数511i z i+=-的实部为（ ） A ．-3B ．3C ．-2D ．2【正确答案】C 【详细解析】51(51)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i +++-+====-+--+,所以复数511i z i+=-的实部为-2. 4．若复数2z i =-,其中i 是虚数单位,则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为i -B ．||5z =C ．2z i =--D ．234z i =-【正确答案】D 【详细解析】2z i =-的虚部为1-,A 错误;||z ==错误;2z i =+,C 错误;()22244134z i i i =-=--=-,D 正确.5．i 是虚数单位,复数z 满足()310z i i -=,则z =（ ） A ．3i + B ．3i -C ．13i -+D ．13i --【正确答案】D 【详细解析】()1031013310i i i z i i ⋅+===-+-, ∴13z i =--.6．已知i 为虚数单位,则复数23ii-+的虚部是（ ） A ．35B ．35i -C ．15-D ．15i -【正确答案】A 【详细解析】 因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-,所以其虚部是35. 7．在复平面内,复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【正确答案】D 【详细解析】详细分析:将复数化为最简形式,求其共轭复数,找到共轭复数在复平面的对应点,判断其所在象限. 详细解析:11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i -对应点为11(,)22-,在第四象限,故选D.8．若复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称,且12z i =-,则复数12z z =（ ） A ．1- B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【正确答案】C 【详细解析】因为12z i =-,1z ,2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称,则22z i =--,所以()()212222443434255555i i z i i i i i z i --+--+--+=====-+-- 9．已知i 为虚数单位,则复数|3|i z -=的共轭复数z 为( ) A ．22i + B ．22i -C ．1i +D ．1i -【正确答案】C 【详细解析】()()()()23121i 21i 1i 1i 1i z +-====-++-,所以1i z =+,故选C. 10．（多选）已知m ∈R ,若6()64m mi i +=-,则m =（ ）A ．2-B ．1-C 2D ．1【正确答案】AC 【详细解析】∵()()66661864m mi m i im i +=+=-=-,∴68m =,∴2m =± 11．（多选）若复数z 满足()13z i i +=,则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =【正确答案】BC【详细解析】解:由()1z i i +=,得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以z 的实部为1,1z i =+,22z i =-,12．（多选）已知复数()()122z i i =+-,z 为z 的共轭复数,则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为3i B ．5z = C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限 【正确答案】BCD 【详细解析】因为()()12243z i i i =+-=+,则z 的虚部为3,5z z ===,43z i -=为纯虚数,z 对应的点()4,3-在第四象限,二、拓展提升 13．设复数12z i =+. （1）求z 及z ; （2）求22z z -.【正确答案】（1）z =12z i =-;（2）5-． 【详细解析】（1）由题意z ==12z i =-;（2）222(12)2(12)144245z z i i i i -=+-+=+---=-．14．关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根,求实数a 的取值范围. 【正确答案】1a =±. 【详细解析】设0x 是其实根,代入原方程变形为200021()0x ax a x i ++-+=,由复数相等的定义,得20002100x ax a x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩,解得1a =±. 15．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位）,复数2z 的虚部为2,且12z z ⋅是纯虚数,求2||z ．【详细解析】因为1(2)(1)1z i i -+=-,所以()()()221111221112i i i iz i i i i --+--====-++-,则12z i =-,又复数2z 的虚部为2,设()22z a i a R =+∈,则()()()22122242224z i a i a i ai a a i z i =-+=+--=++-,因为12z z ⋅是纯虚数,所以22040a a +=⎧⎨-≠⎩,解得1a =-,即212z i =-+, 所以2||z ==。
【课件】复数的乘、除运算+课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
(2)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在 所得的结果中把 换成－1，然后实、虚部分别合并 即可.
2.复数的乘法的运算律 即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有 复数的乘法满足交换律、结合律 以及分配律分别为
例 1 计算下列各题． (1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .
解：(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i. (2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13. (3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
多项式乘以 多项式
复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z1·z2等于什
么？
复数乘法运算：我们规定，复数乘法法则如下：
设 z1 a bi, z2 c di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
简后利用复数相等的定义求解．
跟踪训练3 在复数范围内，方程 x2＋6x＋10＝0 的根为 x＝________．
－3±i 解析：因为 b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，所以 x＝－6± －2（×162－40）i＝－6±2 4i＝－62±2i＝－3±i.
（3） z z z 2 , z 2 有何关系？
y
结论：
（1）关于实轴对称
O
（2） z z a2 b2 即：共轭复数乘积的结果是一个实数
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第七章 复数
7.2.2 复数的乘除运算
一、基础巩固
1．若复数z 满足
21z i i =+，则z =（ ） A ．22i +
B ．22i -
C ．22i --
D ．22i -+
【答案】C
【详解】 ()2122z i i i =+=-+
故22z i =--
2．设复数z 满足
11z i z +=-，则z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1i +
【答案】B
【详解】 11z i z
+=-得()11z i z +=- 即()()()()
111111i i i z i i i i ---===++- z i =-
3．复数511i z i +=
-的实部为（ ） A ．-3
B ．3
C ．-2
D ．2
【答案】C
【详解】 51(51)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i +++-+====-+--+，所以复数511i z i
+=-的实部为-2. 4．若复数2z i =-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A ．z 的虚部为i -
B ．||5z =
C ．2z i =--
D ．234z i =-
【答案】D
【详解】
2z i =-的虚部为1-，A
错误；||z ==B 错误；2z i =+，C 错误； ()2
2244134z i i i =-=--=-，D 正确.
5．i 是虚数单位，复数z 满足()310z i i -=，则z =（ ）
A ．3i +
B ．3i -
C ．13i -+
D ．13i -- 【答案】D
【详解】
()1031013310
i i i z i i ⋅+===-+-， ∴13z i =--.
6．已知i 为虚数单位，则复数23i i
-+的虚部是（ ） A ．35 B ．3
5i - C ．15- D ．1
5
i - 【答案】A
【详解】 因为22(3)26133(3)(3)1055
i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 7．在复平面内，复数
11i -的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】 分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122
i - 对应点为1
1(,)22-，在第四象限，故选D.
8．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12
z z =（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3455i -+
D ．3455
-i 【答案】C
【详解】 因为12z i =-，1z ，2z 在复平面内对应的点关于y
轴对称，
则22z i =--， 所以()()212222443434255555i i z i i i i i z i --+--+--+=====-+-- 9．已知i 为虚数单位，则复数|3|i z -=
的共轭复数z 为( ) A ．22i +
B ．22i -
C ．1i +
D ．1i -
【答案】C
【详解】 ()()()()
231
21i 21i 1i 1i 1i z +-====-++-，所以1i z =+，故选C.
10．（多选）已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =（ ）
A ．2-
B ．1-
C 2
D ．1
【答案】AC
【详解】 ∵()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，∴68m =，∴2m =±11．（多选）若复数z 满足()13z i i +=
，则（ ） A ．1z i =-+
B ．z 的实部为1
C ．1z i =+
D ．22z i = 【答案】BC
【详解】
解：由()13z i i +=，得312(1)2(1)1(1)(1)2
i i z i i i +--====-+-，
所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，
12．（多选）已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为3i
B ．5z =
C ．4z -为纯虚数
D ．z 在复平面上对应的点在第四象限
【答案】BCD
【详解】
因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，
5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，
二、拓展提升
13．设复数12z i =+.
（1）求z 及z ；
（2）求22z z -.
【答案】（1
）z =，12z i =-；（2）5-．
【详解】
（1
）由题意z ==12z i =-；
（2）222(12)2(12)144245z z i i i i -=+-+=+---=-．
14．关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数a 的取值范围.
【答案】1a =±.
【详解】
设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()0x ax a x i ++-+=，
由复数相等的定义，得20002100
x ax a x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±. 15．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是纯虚数，求2||z ．
【详解】
因为1(2)(1)1z i i -+=-，所以()()()2
21111221112
i i i i z i i i i --+--====-++-，则12z i =-， 又复数2z 的虚部为2，设()22z a i a R =+∈，
则()()()22122242224z i a i a i ai a a i z i =-+=+--=++-， 因为12z z ⋅是纯虚数，所以22040
a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-，即212z i =-+，
所以2||z ==。