常微分方程第二章习题解答

(1) 方程(2.1)的积分曲线族 (C ) : ( x, y, C ) 0的包络线为方程 (2.1)的奇解。
例题
4 2 8 3 例1 解方程： x - y = 9 y' - 27 y' ，并判别方程是否存在 奇解。 答案：( x + C)3 = ( y + C)2。 4 奇解： x - y = 。 27
dy f ( x, y) dx
在区域 D上确定了一个线素场 .
线素场与积分曲线的关系
(2.1)
曲线L是微分方程 (2.1)的积分曲线的充要条件是:在曲线L上任意 一点, L的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重 合.
二. 基本定理
1. Baidu Nhomakorabea在性定理
设f ( x, y)在平面区域 D上连续, 则对∀( x0 , y0 ) ∈ D, 方程(2.1) 存在满足初值条件 φ( x0 ; x0 , y0 ) = y0的解y = φ( x; x0 , y0 )。
第二章 基本定理 习题课
2012.11.20
一. 微分方程的几何解释
线素场
设f ( x , y )定 义 在 平 面 区 域 D上, 对D内 任 意 一 点 ( x , y ),以 点 ( x , y )为 中 点 ,作一斜率为 f ( x , y )的 单 位 线 段 ,称为在点 ( x, y) 处的线素 .这 样, 方 程
3. 解关于初值的可微性定理
设f ( x, y ), f y' ( x, y )在平面区域D上连续, 则解y = φ( x; x0 , y0 ) ∂φ ∂φ ∂φ 关于x, x0 , y0的偏导数 , , 存在、连续并且有 ∂x ∂x0 ∂y0 ∂φ = f ( x, φ( x; x0 , y0 )) ∂x x ∂φ f ' ( s , ( s ; x0 , y0 )) ds ∫ x0 y = - f ( x0 , y0 )e ∂x0
2. 存在唯一性、解关于初值的连续依赖性及延展性定理
设f ( x, y )在平面区域D上连续, 且关于y满足局部Lipschitz条件 则对∀( x0 , y0 ) ∈ D, 方程(2.1)满足初值条件 ( x0 ; x0 , y0 ) = y0的 解y = ( x; x0 , y0 )存在、唯一，关于初值 具有连续依赖性， 并且可以向左、右延拓 到D的边界。
四. 奇解与包络
( 2) 求 包 络 的 C 判别式：由 ( x , y , C ) 0 ' C ( x , y , C ) 0 确定的连续可微曲线 l: x (C ) y (C ) 如果满足非退化条件 ( ' (C ))2 ( ' (C ))2 0, ( 'x ( x , y , C )'(C ))2 ( 'y ( x , y , C ))2 0 则曲线 l是 曲 线 族 (C )的 包 络 线 。
x ' ∂φ f ( s, y ∫ x0 =e ∂y0
( s ; x0 , y0 )) ds
三. 两个重要定理
1. Bellman引理 设y ( x), u ( x)在[a, b]上连续、非负 , a ≤ x0 ≤ b.如果存在常数δ ≥ 0
使得y ( x)满足不等式 y ( x) ≤ δ +∫ u (t ) y (t )dt , x ∈[a, b] x
0
x
则有 y ( x ) ≤ δe
x ∫ x0 u ( t ) dt
, x ∈[ a , b ]
2. 比较定理
设f ( x, y ), F ( x, y )在平面区域D上满足 (1) 解的存在、唯一性条件 ； (2) 不等式 : f ( x, y ) < (≤) F ( x, y);
记方程 dy = f ( x, y ) dx 和方程 dy = F ( x, y ) dx 的满足同一初值条件 y ( x0 ) = y0的解分别为y = φ( x; x0 , y0 )和y = Φ ( x; x0 , y0 ), 则在它们共同存在的区 间上有下列不等式： φ( x, x0 , y0 ) < (≤)Φ ( x, x0 , y0 ), x > x0 ; φ( x, x0 , y0 ) > Φ (≥)(x, x0 , y0 ), x < x0 .