2012年浙江专升本数学真题试卷
2012浙江理数学试题及答案
数学(浙江理科)解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 …1. 设集合A=(x|1 V x V 4},集合B =(x| x -2x-3 < 0},则A n ( C R B ) = BA (1,4)B (3,4)C (1 ,3)D (1,2) U (3,4)解析：B =(x|-1 < x< 3}, C R B={X|X>3或x<-1}2. 已知i是虚数单位，贝U —— = D1 -iA 1-2iB 2-iC 2+iD 1+2i解析：—(3 i)(1 Di』1 -i 1 -i3. 设a€ R ,贝U “ a= 1” 是“直线l〔：ax+2y=0 与直线l2 : x+(a+1)y+4=0 平行”的AA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析："直线11: ax+2y=0与直线12 : x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件是"a= 1或a= -2”。
4. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是A解析：y=cos2x+1伸长2倍得到y=cosx+1，想左平移得到y=cos (x+1) +1,向下平移1个单位得到y=cos (x+1)o5. 设a, b是两个非零向量。
CA. 若|a+b|=|a|-|b| ，贝U a± bB. 若a± b,则|a+b|=|a|-|b|C. 若|a+b|=|a|-|b| ，则存在实数入，使得b=入aD. 若存在实数入，使得b=入a,则|a+b|=|a|-|b|数学(浙江理科)解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
21. 设集合A={x|1 <x<4},集合B={x| X -2x-3 < 0},则AC ( C R B)=BA (1,4)B (3,4)C (1 ,3)D (1,2) U (3,4)解析：B ={x|-1 < x< 3}, C R B=(X|X>3或X〈-1}2. 已知i是虚数单位，贝U 3 「= D1 iA 1-2i B2-i C 2+i D 1+2i、3 i (3 i)(1 i) , o.解析： 1 21 i 1 i3. 设a€ R ,则“a=1” 是“直线li： ax+2y=0 与直线l2 : x+(a+1)y+4=0 平行”的AA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析："直线h: ax+2y=0与直线12 : x+(a+1)y+4=0平行"的充要条件是"a= 1或a=-2"。
浙江省专升本数学练习题
浙江省专升本数学练习题### 浙江省专升本数学练习题#### 一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = \sin(x) \)C. \( f(x) = x^3 \)D. \( f(x) = \cos(x) \)2. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 以下哪个选项是二阶导数？A. \( \frac{d^2y}{dx^2} \)B. \( \frac{dy}{dx} \)C. \( \frac{d^2y}{dx} \)D. \( \frac{d^2x}{dy^2} \)4. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式是？A. 2B. -2C. 5D. -55. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \ln(x) \)D. \( e^x \)6. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是？A. 0B. 1C. \( \pi \)D. \( \infty \)7. 以下哪个选项是线性方程的一般形式？A. \( ax^2 + bx + c = 0 \)B. \( ax + by = c \)C. \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)D. \( ax^2 + bx + c = 0 \)（其中 \( a \neq 0 \)）8. 函数 \( y = e^x \) 的反函数是？A. \( \ln(x) \)B. \( e^{-x} \)C. \( \frac{1}{e^x} \)D. \( \ln(x) + 1 \)9. 以下哪个选项是二项式定理的展开式？A. \( (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \)B. \( (x+y)^n = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \)C. \( (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k} \)D. \( (x+y)^n = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k} \)10. 计算 \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \) 的值是？A. \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)B. \( \frac{n(n+1)}{2} \)C. \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} \)D. \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} \)#### 二、填空题（每题4分，共20分）1. 计算 \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \) 的值是 _______。
2012年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷(数学理)解析版
绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R = ()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)．【答案】A2．已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝ A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 【解析】3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2＝2+4i 2＝1＋2i ． 【答案】D3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误．．的是A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有S n＞0D．若对任意的n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．【答案】C8．如图，F1，F2分别是双曲线C：22221x ya b-=(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 ABCD【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c ，k MN ＝﹣bc．直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y x c c b y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．∴直线MN 为：y －bc c a +＝﹣bc(x －ac c a -+)， 令y ＝0得：x M ＝322c c a -．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M＝322c c a -，解之得：2232a c e a ==，即e． 【答案】B9．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除． 【答案】A10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．【答案】C绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科） 非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm 3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11312123⨯⨯⨯⨯=． 【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________． 【解析】T ，i 关系如下图：【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子． 即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)． 【答案】3214．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________． 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________． 【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝ACcos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅＝cos 29AB AC BAC ⋅∠= 【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离， 则实数a ＝______________．【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==故曲线C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=-=-= 另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，74d a '==⇒=． 【答案】7417．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________． 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1；考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a =，得答案：a =【答案】a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin BC ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a∆ABC 的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
铭远教育-(历年真题)2012年浙江省专升本数学试卷及解析
当 x 0 时，因为 f 0 lim
x 0
x2 0 1 e2 x 0 ， 0 f 0 lim 2 f 0 ， x0 x x
所以函数 f x 在点 x 0 处不可导.
2e 2 x , x 0 . 因此 f x 2 x, x 0
lim i n
1 n
1 n
an
n 1
2 n
1 1 n n
i 1 n
1 0
i . n x dx.
为 x .所以上下限确定为 0,1. 定积分表示为
lim 12. 1,1 解析： R n a
lim 3
n
n 1 n
1.
收敛区间 1,1.
二、填空题 6. 2 解析：
x
lim x x 2 2 x 5 x 1 lim 4x x2 2x 5 x 1
解析：
x x 2 2 x 5 x 1
2
x
x 2 x 5 x 1
x
2
2 x 5 x 1
14. , ,0 或
3 4 3 4 , ,0 5 5 5 5
解析：在 xoy 平面上： a 4,3,7 ，单位向量为 1.
A2 B 2 1 设 b A, B,0 , 4 A 3B 0
15.
1 arctan x 1 sin x x 1 ln 1 3 x , x 0 f x , ，若 f x 在点 x 0 处连续， 3 16、设 a, x 0
浙江省专升本历年真题卷-浙江专升本真题及答案
浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是 。
2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x 。
3．（1）x 轴在空间中的直线方程是 。
（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。
4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点1=x 处连续。
5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则=dxdy。
（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy。
二．选择题1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值。
（A ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , （C ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （D ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim000（ ）。
).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分 ()11-=⎰f x dx （ ）。
(完整版)2012高考浙江文科数学试题及答案(高清版),推荐文档
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：球的表面积公式S＝4πR2球的体积公式V＝43πR3其中R表示球的半径锥体的体积公式V＝13 Sh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高柱体的体积公式V＝Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高台体的体积公式V＝13h(S1＋12S S＋S2)其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积．h表示台体的高如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率P n(k)＝C k n P k(1－P)n－k(k＝0,1,2，…，n)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(U Q)＝() A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}2．已知i是虚数单位，则3i1i+-()A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i3．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1 cm3B．2 cm3C．3 cm3D．6 cm34．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l是直线，α，β是两个不同的平面，()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是() 7．设a，b是两个非零向量，()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|8．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3 B．2 C D9．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5 D．610．设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()A．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＞bB．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＜bC．若e a－2a＝e b－3b，则a＞bD．若e a－2a＝e b－3b，则a＜b非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为__________．12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为2的概率是__________．13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．14．设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足10,20,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z 的取值范围是__________．15．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅=u u u r u u u r__________．16．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈［0,1］时，f (x )＝x ＋1，则3()2f =__________． 17．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝__________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin Aa cos B ． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n＋3，n ∈N *．(1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ．20．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB，AB =，AD =2，BC =4，AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．21．已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．22．如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，12)到抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线的距离为54．点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．【自选模块】3．“数学史与不等式选讲”模块(10分)已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A．(1)若a＝1，求A；(2)若A＝R，求a的取值范围．4．“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：2cos 3sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝＋(t 为参数)与曲线C ：2cos sin x y θθ⎧⎨⎩＝，＝(θ为参数)相交于不同两点A ，B ． (1)若π3α=，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．1． D 由已知得，U Q ＝{1,2,6}，所以P ∩(U Q )＝{1,2}．2．D ∵23i (3i)(1i)3+3i+i+i 24i12i 1i (1i)(1i)22++++====+--+， ∴选D ．3．A 由三视图得，该三棱锥底面面积S ＝12×2×1＝1(cm 2)，高为3 cm ，由体积公式，得V ＝13Sh ＝13×1×3＝1(cm 3)． 4． A l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．5．B A 项中由l ∥α，l ∥β不能确定α与β的位置关系，C 项中由α⊥β，l ⊥α可推出l ∥β或l β，D 项由α⊥β，l ∥α不能确定l 与β的位置关系．6． A y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应的图象为A 项．7． C 由|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方可得，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，即a ·b ＝－|a ||b |，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即a 与b 反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b ＝λa ．8． B 由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍，即a 1＝2a 2，而椭圆与双曲线有相同的焦点．故离心率之比为21212c a a c a a ==． 9． C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴13155y x+=． ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )1355y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3941213555555x y y x +++≥+=， 当且仅当31255x y y x =，即x ＝1，12y =时等号成立． 10． A 函数y ＝e x ＋2x 为单调增函数，若e a ＋2a ＝e b ＋2b ，则a ＝b ；若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，∴a ＞b ．故选A ．11．答案：160解析：根据分层抽样的特点，此样本中男生人数为560280160560420⨯=+．12．答案：25解析：五点中任取两点的不同取法共有25C 10＝种，而两点之间距离为2的情况有4种，故概率为42105=． 13．答案：1120解析：当i ＝1时，T ＝11＝1，当i ＝2时，12T =，当i ＝3时，11236T ==，当i ＝4时，116424T ==，当i ＝5时，11245120T ==，当i ＝6时，结束循环，输出1120T =．14．答案：［0，72］解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分，结合图象知，O 点，C 点分别使目标函数取得最小值、最大值，代入得最小值为0，最大值为72．15．答案：－16解析：AB u u u r ·AC u u u r ＝(AM u u u u r ＋MB u u u r )·(AM u u u u r ＋MC u u u u r )＝2AM uuuu r ＋AM u u u u r ·MC u u u u r ＋AM u u u u r ·MB u u u r＋MB u u u r ·MC u u u u r ＝|AM u u u u r |2＋(MB u u u r ＋MC u u u u r )·AM u u u u r ＋|MB u u u r ||MC u u uu r |cosπ＝9－25＝－16． 16．答案：32解析：331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=．17．答案：94解析：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线y ＝x=，所以y ＝x 2＋a 到y ＝x 的，而与y ＝x 的直线有两条，分别是y ＝x ＋2与y ＝x －2，而抛物线y ＝x 2＋a 开口向上，所以y ＝x 2＋a 与y ＝x ＋2相切，可求得94a =．18．解：(1)由b sin A cos B 及正弦定理sin sin a bA B=，得sin B B ，所以tan B π3B =．(2)由sin C ＝2sin A 及sin sin a cA C=，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac ．所以a =c =．19．解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1． 所以a n ＝4n －1，n ∈N *．由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *．(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *．所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1,2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n ，所以2T n －T n ＝(4n －1)2n －［3＋4(2＋22＋…＋2n －1)］＝(4n －5)2n ＋5． 故T n ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N *．20． (1)证明：①因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1平面ADD 1A 1， 所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA ．又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA =EF ， 所以C 1B 1∥EF ，所以A 1D 1∥EF ．②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥B 1C 1． 又因为B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以B 1C 1⊥BA 1．在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22，即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F ．所以BA 1⊥平面B 1C 1EF ．(2)解：设BA 1与B 1F 交点为H ，连结C 1H ．由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角． 在矩形AA 1B 1B 中，2AB =AA 1=2，得6BH =． 在直角△BHC 1中，125BC =，6BH =， 得1130sin BH BC H BC ∠==所以BC 1与平面B 1C 1EF 30． 21． (1)解：由题意得f ′(x )＝12x 2－2a ．当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0时，f ′(x )＝12(x 6a x 6a ， 此时函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，6a 6a)．单调递减区间为［．(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2．当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6(x－3)(x＋3)，于是所以，g(x)39所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．22．解：(1)由题意知21,51,24ptp=⎧⎪⎨+=⎪⎩得1,21.pt⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x－y=0，所以设线段AB的中点为Q(m，m)．由题意，设直线AB的斜率为k(k≠0)．由211222,,y xy x⎧=⎨=⎩得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1．所以直线AB方程为y－m＝12m(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0．由22220,,x my m my x⎧-+-=⎨=⎩消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以∆＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m ．从而|AB |·|y 1－y 2| 设点P 到直线AB 的距离为d ， 则2d =． 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2 由∆＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1．令u 0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)． 设S (u )＝u (1－2u 2)，0＜u ≤12， 则S ′(u )＝1－6u 2．由S ′(u )＝0，得1(0,)2u =，所以S (u )max ＝S =．故△ABP 【自选模块】3．解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3． 当－3＜x ≤12时，原不等式化为4－x ≥2x ＋4，得－3＜x ≤0． 当12x >时，原不等式化为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2． 综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x ＞－2时，|2x －a |＋x ＋3＝|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或13a x -≤， 所以a ＋1≤－2或113a a -+≤，得a ≤－2． 综上，a 的取值范围为a ≤－2．4．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2．将曲线C 的参数方程化为普通方程24x ＋y 2＝1． (1)当π3α=时，设点M 对应参数为t 0．直线l方程为12,22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 则12028213t t t +==-，所以，点M 的坐标为(1213，-． (2)将=2+cos sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩，代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得 (cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝2212cos 4sin αα+，|OP |2＝7， 所以22127cosα=+，得25tan 16α=． 由于∆＝32cos α(α－cos α)＞0， 故tan α=． 所以直线l。
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题参考答案：第22题参考答案：第23题设函数f(x)=x-1nx，求f(x)的单调增区间．参考答案：第24题参考答案：第25题参考答案：第26题参考答案：第27题设L是曲线y=x2+3在点(1,4)处的切线。
求由该曲线，切线L及y轴围成的平面图形的面积S．参考答案：第28题参考答案：第二篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
2012年浙江专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年浙江专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(x)=在x∈(一∞，+∞)上为( )A．有界函数B．奇函数C．偶函数D．周期函数正确答案：A解析：因为=0，故函数f(x)有界，答案A正确；可验证f(x)非奇非偶函数，所以答案B，C错误，也明显不是周期函数．2．已知f′(x0)=2，当△x→0时，dy为△x的( )A．同阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．低阶无穷小正确答案：A解析：=f′(x0)=2，所以当△x→0时，dy为△x 的同阶无穷小，即A答案正确．3．设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则xf″(x)dx ( )A．10B．9C．8D．7正确答案：C解析：xf″(x)dx=xdf′(x)=xf′(x)f′(x)dx=2f′(2)一f(x)=2f′(2)一f(2)+f(0)=10—3+1=8，选项C正确．4．由y=，y=1，x=4围成的图形的面积为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：画图并利用定积分的几何意义，可知所围图形的面积A=dx－3=，因此答案B正确．5．已知二阶微分方程y″+2y′＋2=e－xsinx，则设其特解y*= ( ) A．e－x(acosx+bsinx)B．ae－xcosx+bxe－xsinxC．xe－x(acosx+bsinx)D．axe－xcosx＋be－xsinx正确答案：C解析：二阶微分方程y″+2y′+2=e－xsinx的特征方程为r2+2r+2=0，解得r1＝－1+i，r2＝－1－i，又因λ+ωi＝－1+i是特征方程的根，故取k=1，Rm(x)=1，因此y″+2y′+2=e－xsinx具有的特解形式可设为y*=xe－x(acosx+bsinx)，答案C正确．填空题6．－(x+1)]=___________．正确答案：2解析：－(x+1)]===2 7．函数y=sin的连续区间为___________．正确答案：[，1]解析：该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组，解得定义域为x∈[－，1]．因此所求函数的连续区间为x∈[－，1]8．已知f′(3)=2，则=___________．正确答案：一4解析：由导数定义可得=－4．9．若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．正确答案：y′=解析：隐函数方程求导，y′=ey+xey.y′，解得y′=10．dx=___________．正确答案：ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C解析：dx=∫cscxdx－∫sinxdx=ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C11．极限表示的定积分为___________．正确答案：dx解析：利用定积分定义求极限，=，此极限为函数f(x)=在x∈[0，1]上的定积分，即12．级数的收敛区间为___________．正确答案：(－1，1)解析：因为ρ＝＝1，所以幂级数的收敛半径R==1，故收敛区间为(一1，1)．13．一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．正确答案：y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]解析：由一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解公式y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]．14．在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．正确答案：b=解析：设所求向量b=(x，y，0)，则x2+y2=1 ①；且a.b=0，即4x－3y=0②由①和②解得，即b=，0)15．平面2x+y一z一1=0到平面2x+y一z＋3=0的距离为___________．正确答案：解析：可以判断两平面平行，故平面2x+y—z一1=0到平面2x+y—z+3=0的距离可以转换为平面2x+y－z－1=0上任一点到平面2x＋y－z＋3=0的距离，即d=解答题解答时应写出推理、演算步骤。
浙江省专升本高等数学考试极限题分析初探
76 浙江省专升本高等数学考试极限题分析初探金友良从2005年起，我们浙江省专升本考试独立组卷，至今已有14年。
通过专升本考试，选拨普通高等学校高职高专应届优秀毕业生到本科院校进一步深造学习，为高职高专人才培养构建立交桥模式做出了贡献。
我们学校每年都进行专升本考试复习辅导，本人开设高等数学专升本复习多年，一直对高等数学专升本考试进行研究，对高等数学每部分的考试题目都进行了系统地、针对性地归纳及总结。
由于极限是高等数学中最重要的一个概念，极限思想始终贯穿整个微积分学，极限运算是微积分运算中最基础的部分，有着重要的地位。
本文就浙江省高等数学专升本考试第一部分极限题进行了收集、分析、归纳，整理了几种常考的极限运算基本方法，试图使学生从中掌握解题规律，提高运算能力。
1 精细解读浙江省专升本高等数学教学大纲，明确极限题考试的基本要求1）理解极限的概念（只要求极限的描述性定义），能根据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。
2）理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。
3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小与无穷大的关系。
会利用等价无穷小替换求极限。
4）理解夹逼定理与单调有界准则，掌握两个重要极限，并能利用这两个重要极限公式求极限。
5）会利用初等函数的连续性求函数的极限。
6）掌握洛必达法则，会利用洛必达法则求各种未定式的极限。
7）理解导数定义与定积分定义，并会利用两个定义求极限。
2 分析历年试题，筛查考试热点1）利用极限的四则运算法则求极限。
2）利用左右极限求函数在某一点处的极限。
3）利用两个重要极限公式求极限。
4）利用导数的定义求极限。
5）利用洛必达法则求极限。
6）利用等价无穷小量求极限。
7）利用定积分概念求极限。
3 典型试题解析1）利用极限的四则运算法则求极限。
利用极限的四则运算法则求极限是极限运算中最基础的方法之一，我们教师一定要强调要用这四则运算法则的一个前提条件是要保证每个极限都存在，且求商的极限时，分母极限不能为零，同时根据不同的题型，熟练掌握不同的解题方法。
浙江省专升本历年真题卷
2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是 。
2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x 。
3．（1）x 轴在空间中的直线方程是 。
（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。
4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点1=x 处连续。
5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则=dxdy。
（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy。
二．选择题1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值。
（A ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , （C ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （D ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim000（ ）。
).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0 x ,)(22x e x e x f x x ，则积分 ()11-=⎰f x dx （ ）。
[专升本类试卷]2012年浙江专升本(高等数学)真题试卷.doc
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三、解答题
解答时应写出推理、演算步骤。
16设f(x)= 在x=0处的连续，求a的值．
17设f(x)= ，求f′(x)
18设曲线 ，求其拐点及凹凸区间；
19求方程x2=xsinx+cosx根的个数；
20求不定积分∫x2lnxdx
（A）e－x(acosx+bsinx)
（B）ae－xcosx+bxe－xsinx
（C）xe－x(acosx+bsinx)
（D）axe－xcosx＋be－xsinx
二、填空题
6 －(x+1)]=___________．
7函数y=sin 的连续区间为___________．
8已知f′(3)=2，则 =___________．
9若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．
10 dx=___________．
11极限 表示的定积分为___________．
12级数 的收敛区间为___________．
13一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．
14在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．
（C）高阶无穷小
（D）低阶无穷小
3设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则 xf″(x)dx ( )
（A）10
（B）9
（C）8
（D）7
4由y= ，y=1，x=4围成的图形的面积为( )
（A）
（B）
2012年高数专升本真题及其参考答案.
Passage four Animals seem to have the sense to eat when they are hungry and they do not eat more than their bodies need. It has been demonstrated that rats will, when given a choice over a period of time, prefer water with vitamins to water without vitamins even though there is no difference in taste or smell between the two water bottles. When a fragrant flavor was added to the vitamin-enriched fluid, the rats did seem to develop a taste for it and kept drinking it ,even after the vitamins were switched to the clear water. In time, however ,they broke the habit and went back to where the necessary vitamins were.In a classic experiment, babies of 6 to 12 months old were placed in a cafeteria feeding arrangement, with a wide selection of baby food before them. They were given whatever food they pointed to or appeared interested in. We are told that at first they showed some unusual eating patterns, but that over a period of time they managed to select well-balanced diet.So, in selecting food, rats and babies do seem to know and act on what's best for them. Apparently, there is a kind of "body wisdom,＂which humans soon lose. Most of us do not eat as wisely as we could. Many of our food preferences are culturally determined and influenced by long-established habits. Some people eat fox, dog and blackbirds ,while we eat cows and pigs. So what people eat and how much they eat seems to be greatly influenced by what is going on around them.76. In the experiment on rats, a fragrant flavor was added to the rat's drinking water to___.A. encourage rats to drink vitamin-enriched water B. find out rats preference in flavor C. test whether rats know which drink is good for them D. demonstrate that vitamins are tasteless 77. The expression "the habit" (para.1, sentence 4 refers to drinking water which_________. A. has no smell B. is tasteless C. has vitamins D. is flavored 78. According to the passage ,adults eating habits differ from those of babies because_____.A. adults know better than babies what kind of food are good for their healthB. adults usually cannot resist the temptation of various delicious foodsC. adults' eating habits areclosely related to the social and cultural customs D. adults have more choices of food than babies in eating patterns 79. The author implied in the passage that most ofus_________. A. eat a balanced dietB. choose the food that is of nutritionC. have the habits influenced by the surroundingsD. like to eat the food with a fragrant flavor80. As far as their eating habits are concerned, babies and rats are similar inthat______. A. both have the wisdom to choose a balanced diet B. both prefer flavored food and drinkC. both have the same eating patternsD. both develop a taste for the same kinds of flavors Part IV. Translation . ( 30pointSection A: Directions: There are 10 sentences in this section. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81 我们向李先生学习，因为他有丰富的工作经验。
浙江省专升本历年真题卷
--WORD 格式---可编辑-----WORD 格式--可编辑---2005 年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数 ysin x e x 的连续区间是。
x 2 ( x 1)2． lim1。
2x x( xx4)3．（ 1） x 轴在空间中的直线方程是。
（ 2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是。
111)2 e ( x 1)2 , x1(x4．设函数 f ( x)a,x 1 ,当 a _____, b ____ 时，函数 f ( x) 在点 x1 处bx 1,x1连续。
x r 5．设参数方程y r 23cos2sin 2，（1）当 r 是常数 ,是参数时，则dy。
dx（2）当 是常数， r 是参数时，则dy。
dx二．选择题1．设函数 yf ( x) 在 [ a , b] 上连续可导， c ( a, b) ，且 f ' (c)0 ，则当（）时， f ( x)在 x c 处取得极大值。
（ A ）当 axc时，f '( ) 0 ，当 c x b 时， f '( x) 0 ,x（ B ）当 axc时，f '( ) 0 ，当 cx b 时， f '( x) 0 ,x（ C ）当 axc时，f '( ) 0 ，当 c x b 时， f '( x) 0 ,x（ D ）当 axc时，f ' ( ) 0 ，当 cx b 时，f '( x) 0 .x2．设函数 yf (x)在点 x x 0 处可导，则limf ( x3h)f (x 02h) （）。
h 0h(A) f ' ( x 0 ),( B)3 f ' (x 0 ),(C)4 f ' (x 0 ),(D)5 f ' (x 0 ).e x 2, x 013．设函数 f (x)0,x 0，则积分 f x dx1（）。
e x 2, x 0( A) 1, (B)0(C ) 1,(D ) 2.--WORD格式---可编辑---e1--WORD格式--可编辑-----WORD 格式---可编辑-----WORD 格式--可编辑---5．设级数 a n 和级数b n 都发散，则级数(a nb n ) 是（） .n 1n 1n 1（ A ）发散 （ B ）条件收敛（ C ）绝对收敛（ D ）可能发散或者可能收敛三．计算题1．求函数 y (x 2 x 1) x 的导数。
2012年浙江专升本数学试卷
浙江省 2012 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2sin(1)(),-1x f x x x+=∞<<∞+，则此函数是 A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数2.若函数()y f x =满足0()2f x '=，则当0x ∆→时，函数()y f x =在0x x =处的微分dy 是A.与x ∆等价的无穷小B. 与x ∆同价的无穷小C.比x ∆低价的无穷小D. 比x ∆高价的无穷小 3. 设函数()f x 满足(0)1,(2)3,(2)5,f f f '===()f x ''连续，则20()xf x dx ''⎰= A.10 B.9C.8D.74.由曲线y =1y =，4x =所围成的平面图形的面积是 A.4/3 B.5/3 C.7/3D.16/3 5.已知二阶微分方程22sin x y y y ex -'''++=，则其特解的形式为 A.(cos sin )x e a x b x -+B.cos sin x x ae x bxe x --+C.(cos sin )x xe a x b x -+D.cos sin xx axe x be x --+非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
2012年浙江卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科数学本试卷共22题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）一、单选题1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（C U Q）=A．{1，2，3，4，6}B．{ 1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1,2}2．已知i是虚数单位，则31ii+−=A、1-2iB、2-iC、2+iD、1+2i3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm34．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l是直线，a，β是两个不同的平面A．若l∥a,l∥β，则a∥βB．若l∥a，l⊥β，则a⊥βC．若a⊥β,l⊥a,则l⊥βD．若a⊥β, l⊥a,则l⊥β6．把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．7．设a ，b 是两个非零向量。
A ．若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD ．若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b|8．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C D9．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．610．设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A ．若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B ．若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C ．若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D ．若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b第II 卷（非选择题）二、填空题11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________．13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后___________14．设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足则z 的取值范围是_______15．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________.16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭=_______________17．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______三、解答题18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． （1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值19．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2n 2+n, *n N ∈,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3, *n N ∈.（1）求a n 和b n 的通项公式；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .20．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=．AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点. （1）证明：（i ）EF ∥A 1D 1； （ii ）BA 1⊥平面B 1C 1EF ；（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.21．已知a∈R，函数.（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.22．如图，在直角坐标系xOy中，点11,2P⎛⎫⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p=>的准线的距离为54，点(),1M t是C上的定点，,A B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.（1）求,p t的值.（2）求ABP∆面积的最大值.2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科数学(参考答案)1．D【详解】∵C U Q ={1,2,6}，∴P ∩(C U Q)={1,2}.选D. 【考点定位】此题主要考察集合运算 2．D 【解析】3+3+(1+)2+4=1 2..1(1)(1+)2i i i ii D i i i ==+−−（）故选 【考点定位】此题主要考察复数的代数运算以及复数的概念，是复数内容的主要考点3．A【分析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11312123⨯⨯⨯⨯=． 4．A【解析】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 5．B【解析】因为平行于同一直线的两个平面不一定平行，所以A 错误；垂直于同一条直线的两个平面垂直，因此B 正确.【考点定位】此题主要考察空间平行与垂直关系的定理，从每一个平行与垂直关系出发，理解和把握是否合乎定理的内容是关键 6．A【解析】由题意, cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为cos 1y x =+,向左平移一个单位为cos(1)1y x =++,向下平移一 个单位为cos(1)y x =+,利用特殊点(,0)2π变为(1,0)2π−,选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.7．C【考点定位】本题主要考察向量的概念和线性运算，理解向量的概念把握平行四边变形法则，三角形法则是根本 【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b|＝|a|－|b|时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b|＝|a|－|b|不成立． 8．B【详解】M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B 9．C【详解】 由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．10．A【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+． 构造函数：()2xf x e x =+，则()()f a f b >，则()20xf x e ='+>恒成立，故有函数()2xf x e x =+在x ＞0上单调递增，所以a ＞b 成立．故选A ． 11．160 【详解】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人， ∴抽取比例为28029807=， ∴此样本中男生人数为25601607⨯=， 故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题 12．25【解析】从这5个点中任取2个点共有10种取法；而该两点间的距离为的点只有四个顶点分别和中心的距离符合条件，即事件A 有4种，于是两点间的距离为的概率为42=.105P =【考点定位】本题主要考察随机事件的概率，分两步做即可 13．1120【考点定位】该题主要考察算法的功能，结构、基本思想，要明确其算理掌握运算功能就要把握好以上这些基本点14．702⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】画出可行域知最优解分别是130,022（），（，）分别代入目标函数可得其最小值为0，最大值为72，因此z 的取值范围是702⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【考点定位】该题是考查基本的线性规划问题，此解法具有普遍意义 15．-16【考点定位】本题主要考察三角形和平面向量的数量积，对于常见的一般现象用特例法是比较常见的解法 【解析】假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝ACcos ∠BAC ＝23434104.23434289+−=−⨯⨯．AB AC ⋅＝cos 16.AB AC BAC ⋅∠=− 16．32【考点定位】此题主要考察函数的概念奇偶性、周期性等，正确利用已知把所求的自变量的取值转化到一直区间上去是解答这一问题的核心.17．94【考点定位】本题主要通过新定义考查直线与圆的位置关系，创新性强，解答这类问题主要是先理解新定义，结合直线和圆的知识求解即可【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==，故曲线C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=−== 另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ： y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，9.4d a '===⇒=．18．（1）B =60°（2）a c == 【解析】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 19．（1）b n =2n-1, n N +∈ （2）()4525,nn T n n N +=−⋅+∈【解析】试题分析：第一问利用数列的项与和的关系， 11,2{,1n n n S S n a S n −−≥==，先求出当2n ≥时的关系式，再去验证1n =时是否成立，从而确定出最后的结果，将41n a n =−代入题中所给的式子，化简求得12n n b −=，所以数列{}n n a b ⋅是由一个等差数列与一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求得其和．试题解析：（1）由S n =2n 2+n ，可得当2n ≥时， ()()()221221141n n n a S S n n n n n −⎡⎤=−=+−−+−=−⎣⎦当1n =时， 13a =符合上式，所以41n a n =−由a n =4log 2b n ＋3可得41n −=4log 2b n ＋3，解得1*2,n n b n N −=∈． （2）()1412n n n a b n −=−⋅∴()1231372112152 (412)n n T n −=+⋅+⋅+⋅++−⋅①()123423272112152...412n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅++−⋅②①-②可得()12341342222...2412n nn T n −⎡⎤−=++++++−−⋅⎣⎦()()()121234412125542n nnn n −−=+⨯−−⋅−=−+−⋅∴()*5452,nn T n n N =+−⋅∈．考点：求数列的通项公式，错位相减法求和．【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列{}n a 的通项公式时，需要应用数列的项与和的关系，在求解的过程中，需要对1n =时对2n ≥的式子是否成立，求数列{}n b 的通项公式时需要对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强． 20．（3）【详解】（1）证明：（i ）（ii ）由（i ）知F 为（2）由（ii ）的证明可知【考点定位】该题主要考查平行关系，垂直关系的证明与空间线面角的计算，是常考考点，解法不失常用性 21．【考点定位】本题考查利用导数研究函数单调性等性质、导数应用等性质，考查抽象概括能力、推理论证能力 【解析】（1）由题意得：22．（1）121p t ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）9.【解析】分析：（1）通过点11,2P⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p =>的准线的距离为54，列出方程，求出,p t 的值即可；（2）设()()1122,,,A x y Bx y ，线段AB 的中点为(),Q m m ，设AB 直线的斜率为()0k k ≠，利用211222y x y x ⎧=⎨=⎩，推出AB 的方程()12y m x m m −=−，利用弦长所公式求出AB ，设点p 到直线AB 的距离为d ，利用点到直线的距离公式求出d ，设ABP ∆的面积为S ，求出(21122S AB d m m =⋅=−−，利用函教的导数求出ABP ∆、面积的最大值.详解：（1），.11 / 11（2）设点()()1122,,,,A x y B x y AB 中点(),Q m m ，由题设AB 斜率为()0k k ≠，则由，得直线AB 方程为，即和，联立得，即设则是最大值点，点睛：本题主要考察抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.。
浙江省专升本历年真题卷
2005年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题1．函数x e x x xy --=)1(sin 2的连续区间是; 2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x ;3．1x 轴在空间中的直线方程是;2过原点且与x 轴垂直的平面方程是;4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时,函数)(x f 在点1=x 处连续;5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x , 1当r 是常数,θ是参数时,则=dx dy ; 2当θ是常数,r 是参数时,则=dxdy; 二．选择题 1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导,),(b a c ∈,且0)('=c f ,则当时,)(x f 在c x =处取得极大值;A 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f ,B 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f ,C 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f ,D 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导,则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim 000; 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,00,0x ,)(22x e x e x f x x ,则积分()11-=⎰f x dx ; 5．设级数∑∞=1n n a 和级数∑∞=1n n b 都发散,则级数∑∞=+1)(n n n b a 是.A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 可能发散或者可能收敛 三．计算题1．求函数x x x y )1(2+-=的导数;2.求函数1223+-=x x y 在区间－1,2中的极大值,极小值;3.求函数xe x xf 2)(=的n 阶导数n n dxfd ;4．计算积分021132--+⎰dx x x ;5．计算积分⎰+dx ex211; 6．计算积分()1202+-⎰x x x e dx ;8.把函数11+=x y 展开成1-x 的幂级数,并求出它的收敛区间; 9.求二阶微分方程x y dx dydxy d =+-222的通解;10.设b a ,是两个向量,且,3,2==b a 求2222b a b a -++的值,其中a 表示向量a 的模; 四．综合题 1．计算积分02121sinsin 22++⎰n m x xdx π,其中m n ,是整数; 2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23,其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a , 1证明函数)(x f 在0,1内至少有一个根,2当ac b 832<时,证明函数)(x f 在0,1内只有一个根;2005年高数一答案A 卷一．填空题1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞2．213．1⎩⎨⎧==00z y 或者001z y x ==,或者0,0,===z y t x 其中t 是参数,20=x4．1,0-==b a5．1yxr 2-,2x y 23.1．解：令)1ln(ln 2+-=x x x y ,3分则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--=7分 -----------------------------------------------------------------------------------------------2．解：)43(432'-=-=x x x x y ,驻点为34,021==x x 2分 法一46''-=x y ,04)0(''<-=y ,1)0(=y 极大值,5分 04)34(''>=y ,275)34(-=y 极小值.7分5分当0=x 时,1=y 极大值,当34=x 时,275-=y 极小值7分 3．解：利用莱布尼兹公式 x nn e n n nx x dxfd )]1(2[2-++=7分 4．解：⎰⎰⎰------=--=+-0101012]1121[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x 3分＝34ln12ln1=---x x 7分 5．解：⎰+dx e x 211＝=+-+⎰dx ee e xxx 222113分 ++-=)1ln(212x e x C 其中C 是任意常数7分6．解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 1102)12()2(3分＝2－⎰+1)12(dx e x x ＝2－)13(-e +12x e =＝e e e -=-+-12233;7分8：解：=-+=+=]2111[2111x x y 2分＝∑∞=+--012)1()1(n n n n x ,5分 收敛区间为-1,3.7分9.解：特征方程为0122=+-λλ,特征值为1=λ二重根,齐次方程0222=+-y dx dydxy d 的通解是x e x c c y )(~21+=,其中21,c c 是任意常数. 3分 x y dx dydxy d =+-222的特解是2+=*x y ,6分 所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~21+++=+=*,其中21,c c 是任意常数7分10．解：2222b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a 3分＝26)(222=+b a .7分四．综合题： 1．解：法一⎰++π212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21--++⎰π4分 ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰πππ00 ,21]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21mn dx x m n m n x m n m n x m n m n 10分 法二当m n ≠时⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++⎰π4分 ＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-πx m n m n x m n m n 7分当m n =时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+πππ000221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2π10分 2．证明：1考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(,2分)(x F 在0,1上连续,在0,1内可导,0)1()0(==F F , 由罗尔定理知,存在)1,0(∈ξ,使得0)('=ξF ,即0)()('==ξξf F ,就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在0,1内至少有一个根.7分 2c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==因为ac b 832<,所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b , )('x f 保持定号,)(x f 函数)(x f 在0,1内只有一个根.10分2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题1．=n ;2．函数()f x =;3．若1(), 0x f x x A x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则=A ;4．设ln(y x x =,则=dydx; ---------------------------密封线------------------------------------5．3 22 2(1)cos 1sin -+=+⎰x xdx x ππ; 8．微分方程2(21)x x y dy x edx+-=+的通解=y ; 二．选择题1．函数()f x 的定义域为[]0,1,则函数11()()55f x f x ++-的定义域;2．当0x →时,与x 不是等价无穷小量的是;3．设0()()xF x f t dt =⎰,其中2,01()1,12⎧≤<=⎨≤≤⎩x x f x x ,则下面结论中正确;()A 31,01()3, 12⎧≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x ()B 311,01()33, 12⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x 4．曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为;()A 20(1)(2)x x x dx ---⎰5．设,a b 为非零向量,且a ⊥b ,则必有; 三．计算题1．计算123lim()6x x x x -→∞++; 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求dy dx; 3．设函数2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎨=⎩,求dydx ; 4．计算不定积分221sin cos dx x x ⎰;5．计算定积分 1 0x x dxe e-+⎰;6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足0,100====x x dxdyy 的特解;7．求过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程;8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径;10．当a 为何值时,抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积; 四．综合题-----------密封线--------------------1．本题8分设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程：x02()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根;2．本题7分证明：若0,0,0m n a >>>,则()()m n mnm nm nm n x a x a m n ++-≤+; 3．本题5分设()f x 是连续函数,求证积分2(sin )(sin )(cos )4f x I dx f x f x ππ==+⎰;2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷A 卷答案一． 填空题 1．5n =;2．函数()f x =3x =;3．若1(), 0x f x x A x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则1A =4．;设ln(y x x =,则dy dx = 5．3 22 2(1)cos 1sin 2x x dx x πππ-+=+⎰ 8．微分方程2(21)x x y dyx e dx+-=+的通解为y =2ln()x x e C ++,其中C 为任意常数; 二．选择题1、C2、D3、D4、C5、B 三．计算题1．计算123lim()6x x x x -→∞++; 解：123lim()6x x x x -→∞++=631 ( ) ()3623lim(1)6x x x x x +---+→∞-+3分又因为633lim(1)6x x e x +-→∞-=+5分313lim() ()622x x x →∞--=-+6分所以123lim()6x x x x -→∞++=32e -;7分2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求dy dx; 解；11[cos(ln )sin(ln )][sin(ln )cos(ln )]dy x x x x x dx x x=++-+4分=()2cos ln x 7分3．设函数2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎨=⎩,求dy dx ; 解：2222cos 2sin cos t t dxe t e t tdt =-2分 2222sin 2sin cos t t dye t e t tdt=+4分 2222222(cos sin cos )(cos sin cos )2(sin sin cos )(sin sin cos )t t dydy e t t t t t t dt dx dx e t t t t t t dt++===--7分4．计算不定积分221sin cos dx x x⎰. 解：2222221sin cos sin cos sin cos x xdx dx x x x x+=⎰⎰3分 =2211[]cot tan sin cos dx x x C x x+=-++⎰7分5．计算定积分 1 0x x dxe e-+⎰;解： 112 001x x x x dx e dx e e e-=++⎰⎰3分= 12 0()1()x x d e dx e +⎰5分= 1 0arctan arctan 4xe e π=-;7分6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足001,0,x x dyy dx ====的特解;解：微分方程22322x d y dyy e dx dx-+=对应的特征方程为特征根为121,2r r ==1分而1λ=,所以11r λ==为单根,2分对应的齐次方程的通解为212x xY C e C e =+3分非齐次方程的通解为*x y Cxe λ=代入原方程得2C =-4分有通解2122x x x y C e C e xe =+-5分有000,1x x dyy dx ====12121210,1220C C C C C C +=⎧⇒⇒==⎨+-=⎩ 有解22x xy e xe =-7分7．求过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程;解：通过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的平面束方程为321(2322)0x y z x y z λ+--+-++=即 (32)(23)(12)(12)0x y z λλλλ++-+-++-+=3分要求与平面2350x y z ++-=垂直,则必须4202λλ+=⇒=-6分所求平面方程为8550x y z -++=7分8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径; 解：()ln(1)(2)ln(1)ln(2)f x x x x x =++=+++2分=ln 2ln(1)ln(1)2xx ++++3分=110011ln 2(1)()(1)121n nn n n n x xn n +∞∞+==+-+-++∑∑=1110112ln 2(1)()12n nn n n x n +∞++=++-+∑6分收敛半径1R =7分10．当a 为何值时,抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积; 解：设所围面积为()S a3312(1)()3a aa a S a x dx ++-==⎰2分令'1()02S a a =⇒=-3分''()20S a =>,所以11()212S -=为最小的面积4分 11122212 2450 - 022580x V y dx x dx x ππππ====⎰⎰7分四；综合题1·设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程x02()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根;证明：令 0()2()1xF x x f t dt =--⎰,则在[0,1]上()F x 连续,2分 1 1(0)10,(1)2()11()0F F f t dt f t dt =-<=--=->⎰⎰,4分由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C ,使得()0F C =5分又因为'()2()10F x f x =->>,所以()F x 单调上升,()0F x =在[]0,1内最多有一个根,所以 x02()1x f t dt -=⎰在()0,1内有且仅有一个实根;7分2．证明：若0,0,0m n a >>>,则()()m nmnm n m nm n x a x a m n ++-≤+; 证明：令()()m nF x x a x =-2分'111111()()()()[()]()[()]m n m n m n m n F x mx a x nx a x x a x m a x nx x a x ma m n x ------=---=---=--+令'()0maF x x m n=⇒=+,当,1m n ≠时,0,x x a ==,此时(0)()0)F F a == +11223(1)()()0()n n m n m n m n ma na m n a n n m n m n m n --+--+--=-<+++5分所以()ma F m n +是()F x 在(),-∞+∞上的极大值,有唯一性定理知：()maF m n+是最大值,故()()()m n m nm nma m n F x F am n m n ++≤=++7分3．设()f x 是连续函数,求积分2(sin )(sin )(cos )f x I dx f x f x π=+⎰的值;解：令,2x t dx dt π=-=-2(sin )(cos )2(sin )(cos )24f x f x I dx I f x f x πππ+==⇒=+⎰.2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题 1．函数()2lg 1-=x y 的定义域是;2．设x y 3sin 5=,则=dxdy ; 3．极限=+⎰∞→dx x x n n 121lim ;4．积分⎰=+dx x xsin 1cot ;5．设,1111xxy -++=则()=5y ;6．积分=-⎰π97sin sin dx x x ;8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解; 二．选择题1．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 13211≥<x x ,则1=x 是()x f 的; A 连续点B 跳跃间断点C 无穷间断点D 振荡间断点 2.下列结论中正确的是; A 若1lim1=+∞→nn n a a ,则n n a ∞→lim 存在,B 若A a n n =∞→lim ,则1lim lim lim 11==∞→+∞→+∞→nn n n n n n a a a a ,C 若A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim ,则B b n n A a n =∞→)(lim ,D 若数列{}n a 2收敛,且0122→--n n a a ()∞→n ,则数列{}n a 收敛;3．设()⎰=xdt t tx 0sin α,()()⎰+=x t dt t x sin 011β,则当0→x 时,()x α是()x β的;A 高阶无穷小B 等价无穷小C 同阶但非等价无穷小D 低阶无穷小4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧==t ty t t x ln ln ,则=→dx dy e x lim ; A 2e B 21e C 2e -D 21e -三．计算题1．设xx y 42ln 1cos ln+=,求dxdy ; 2．由方程22ln arctan y x xy+=所确定的y 是x 的函数,求dx dy ;3．计算极限xxx cos 1lim 0-+→; 4．计算积分xdx e x cos 2sin 3⎰+; 5．计算积分()⎰+dx e xe x x21;6．计算积分()⎰+40221tan πdx x e x ;7．求经过点()1,1,1且平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线方程;9．任给有理数a ,函数()x f 满足()()10+-=⎰xdt t a f x f ,求()x f10．将函数()xx x f --=31在点10=x 处展开成幂级数,并指出收敛区间端点不考虑; 四．综合题1．设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形的面积为1S ,直线1,==x ax y 与抛物线2x y =所围成的面积为2S ,当1<a 时,,试确定a 的值,使得21S S S +=最小; 3．当π<<x 0时,求证πx x >2sin ; 高等数学一答案 一． 填空题： 1．()()∞+⋃.33,22．5ln 5cos sin 33sin 2'xx x y =3．0 4．C xx++sin 1sin ln5．()()651!52x y -⨯=6．94 8．()C y y x =++222ln二．选择题：1、A2、D3、C4、D 三．计算题：1．解;()x x y 4ln 1ln 21cos ln 2+-=2;解：方程两边对x 求导数,得()yx yx y y x y y x 2222''-+=⇒+=-⇒; 3．解:令x t =,212sin lim cos 1lim cos 1lim 20==-=-+++→→→t t tt x x o t o t x 4．解：原式＝()⎰+=+++C e x d e x x 2sin 32sin 3312sin 331 5．解：()⎰+dx e xe x x21＝()⎰⎰⎰+++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++dx e e x e xd e e xd x xx x x 111111)1(2＝()()()C e x e xC e e x e e d e x x x x x x x x+++-+-=++-+-=++-+----⎰1ln 11ln 1111 6．解：()⎰+4221tan πdx x e x ＝()=+=+⎰⎰⎰42442222tan 2sec tan 2secπππxdx e xdx e dx x x ex xx＝＝24024242402tan tan 2tan 2tan πππππe x e xdx e xdx e x e xxxx==+-⎰⎰7．解：平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线的方向向量应是所求直线方程为317111--=-=--z y x ; 9．解：原方程两边对x 求导数,得()()'=-f x f a x (1)()()()()'''=--=---=-⎡⎤⎣⎦f x f a x f a a x f x , 所以()f x 满足()()0''+=f x f x (2)由原方程令0=x ,得()01=f ,由方程1得()()0'=f f a ; 方程2对应的特征方程为210+=λ,即=±i λ, 所以2有通解()12cos sin =+f x C x C x ;()01=f ,得11=C ,即()2cos sin =+f x x C x ;()2sin cos '=-+f x x C x ,()()220cos sin '===+f C f a a C a , 所以2cos 1sin =-a C a ,则()cos cos sin 1sin =+-af x x x a;10．解：()()()()11111121212=-⋅=-⋅---⎛⎫- ⎪⎝⎭f x x x x x100111222+∞∞==---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑n n n n x x x ;收敛区间为112-<x ,即13-<<x ; 四、综合题：1．解：当01<<a 时,=y ax 与2=y x 的交点坐标是()0,0和()2,a a ,则33333112332323--=-+-=-+a a a a a a a ; ()212'=-S a a ,令()0'=S a ,得=a ; ()20''=>S a a ,所以在01<<a 时,min 26==S S ;当0≤a 时,=y ax 与2=y x 的交点坐标是()0,0和()2,a a ,则333112332623=-++-=--+a a a a a ;()21022'=--<a S a ,则()S a 在0≤a 时单调减少;故在0≤a 时,()0S 为()S a 的最小值,即()min 103==S S ; 又因为2163-<,所以在1<a 时,S的最小值在=a ,即min 26==S S ; 3、证明：令()sin 12=-x f x x π,则()2cos tan 222⎛⎫- ⎪⎝⎭'=x x x f x x ; 当0<<x π时,cos02>x,tan 22>x x ,()0'<f x ,从而()f x 在()0,π内单调减少,所以()()0>=f x f π,0<<x π即sin12sin 2>⇒>xx x x ππ; 2008年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一.选择题 1.函数()()x x x f cos 12+=是;A 奇函数B 偶函数C 有界函数D 周期函数 2.设函数()x x f =,则函数在0=x 处是;A 可导但不连续B 不连续且不可导C 连续且可导D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ,则成立;4.方程22y x z +=表示的二次曲面是; A 椭球面B 柱面C 圆锥面D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =,则在()b a ,内,曲线()x f y =上平行于x 轴的切线;A 至少有一条B 仅有一条C 不一定存在D 不存在 二.填空题1.计算=→2sin 1lim 0xx x ;2.设函数()x f 在1=x 可导,且()10==x dx x df ,则()()=-+→x f x f x 121lim0;. 3.设函数(),ln 2x x f =则()=dxx df ;4.曲线x x x y --=233的拐点坐标;5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ;6.()=⎰2x dt t f dxd ; 7.定积分()=+⎰-ππdx x x2;10.设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行,则平面∏的方程为; 三.计算题:每小题6分,共60分1.计算xe x x 1lim 0-→;2.设函数()()x x g e x f x cos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy ;3.计算不定积分()⎰+x x dx1;4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x ;5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f ;6.设()x f 在[]1,0上连续,且满足()()⎰+=12dt t f e x f x ,求()x f ;7.求微分方程x e dx dydxy d =+22的通解; 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数;四.综合题1.设平面图形由曲线x e y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积; 2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.--------------------------密封线高等数学一答案1.21;;3.x 1;4.)3,1(-;5.211x +; 6.()x f -;7.332π;10.224=+-z y x .三．计算题每小题6分,共60分1.解法一.由洛必达法则,得到1lim 1lim 00xx x x e x e →→=-…………..4分1=.…………6分解法二.令t e x =-1,则()t x +=1ln ………..2分于是,()11ln lim 1lim00=+=-→→t tx e t x x .…………6分 2.解.x dx dg sin -=,()x e x f dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫⎝⎛=…………3分 故x e dxdyx cos sin --=.………..6分 3.解法一.令t x =,,则2t x =,………..2分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t tdtt t tdt x x dx ……….5分 C x +=arctan 2.……….6分解法二.()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx ……….4分C x +=arctan 2.……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=0dx e xedx xe x x x……….3分10=-=+∞-xe .………..6分5.解.()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---12410212cos xdx dx xdx x f dx x f dx x f ……….3分1sin 532sin 5110025+=+=-x x .……….6分 6.解.设()A dx x f =⎰1,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=110110102122dx x f e A eAdx dx e dx x f x x……….4分从而解得()e dx x f -=⎰11..………..5分代入原式得()()e e x f x -+=12.……….6分7.解.特征方程为02=+k k ,得到特征根1,021-==k k ,………..1分故对应的齐次方程的通解为x e c c y -+=21,………..3分 由观察法,可知非齐次方程的特解是xe y 21=*,………..5分 因而,所求方程的通解为x x e e c c y 2121++=-,其中21,c c 是任意常数.……….6分8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ,….3分 所以()221ln x x x =+())11432(1432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n .……..6分 四.综合题:每小题10分,共30分1.解法一1.()⎰-=1dx e e S x ……….4分()111=+-=-=e e eex x .………..6分2.()⎰-=122dx e e V x π………..9分()()12121212221022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ………..12分解法二.1⎰-=1dx e e S x ……….3分110=-=x ee .………..6分2.⎰-=122dx e e V x ππ……….9分()12221022+=-=e e e xπππ.…………12分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dxdy,令0=dx dy ,得到2,021==x x 驻点,…….2分 (),1622-=x dx y d 由022=dxyd ,得到13=x ,…….3分故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间,0,2为单调减少区间;……….10分 极大值为－1,极小值为－5,……..11分)1,(-∞为凸区间,),1(+∞为凹区间………12分 3.证明.令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF ……….2分 利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ,其中1+<<x x ξ,…….4分所以0111>+-=x dx dF ξ,因此,当0>x 时,()x F 是单调增加的,………5分 而e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim ,所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.………..6分2005年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题 3．写出函数的水平渐近线和垂直渐近线; 二．选择题 4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的;充分条件,必要条件, 充分必要条件,既非充分又非必要条件; 三．计算题4．计算极限)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x .7．函数方程,其中变量是变量的函数,求和9．求微分方程x y x dx dyxsin )(sin cos =+的通解. 10．直线1=x 把圆422=+y x 分成左,右两部分,求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.四．综合题：本题共2个小题,每小题10分,共20分1．设m n ,是整数,计算积分⎰πcos cos mxdx nx .2005年高数二答案A 卷一．填空题3．10y =,22x = 二．选择题 4、D三．计算题4．解：)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e7．解：---------------------------------------------------------------------------------------------------2222222233422202(2)2()021()()(1)()()()220()()dy dy x y xy dx dxdyx y x y dxdy x y x dx x y x y x dy x y x x x x y x d y x y dx dxx y x y x y x x xy y x y x y ∴+++=⇒+++=+⇒=-=--+++-+++-++=-=-++++++=-=-=++3分7分9．解：xx x y 2cos sin )'cos (=5分 1cos +=x C y 其中C 为任意常数7分10．解：直线1=x 与圆422=+y x 的交点是)3,1(),3,1(21-P P ,2分 右面部分绕y 轴旋转一周的所得几何体的体积.⎰---=332]1)4[(dy y V π5分 ＝ππ34)33(233=-yy 7分 四．综合题：1．解：⎰π0cos cos mxdx nx ＝⎰-++π])cos()[cos(21dx x m n x m n 3分＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==≠=mn m n m n ,00 ,0 ,2ππ10分2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题1.若3sin 41,0()0ax x e x f x xa x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续,则a =; 2.曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为;3.设函数sin (21)x y x =+,则其导数为;4.22(1cos )x x dx -+⎰＝;5.设cos(sin )y x =,则dy =dx ;6.曲线y =1x =,3x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周, 所得旋转体体积为;7.微分方程450y y y '''-+=的通解为;8.若级数3111n n α∞-=∑收敛,则α的取值范围是;二．选择题1．lim arctan 1x x x x →-∞=+; A 2πB 2π-C 1D 不存在 2.当0x →时,()sin f x x x =-是比2x 的.A 高阶无穷小B 等价无穷小C 同阶无穷小D 低阶无穷小3.级数n ∞=. ()A 绝对收敛()B 条件收敛()C 发散()D 无法判断4.曲线2y x =与直线1y =所围成的图形的面积为.5.广义积分30(1)x dx x +∞+⎰为. ()A 1-()B 01()2C -1()2D 三．计算题1. 计算极限020tan lim x x tdt x →⎰;2．计算函数y x =y '; 3计算由隐函数ln y e x y =确定的函数()y f x =的微分dy ;4.判别正项级数211)n n ∞=+的敛散性; 5.计算不定积分⎰6. 求幂级数203n n n x ∞=∑的收敛半径与收敛区间;7. 计算定积分20sin x xdx π⎰; 8. 计算微分方程22(1)(1)dy x y dx y x +=+满足初始条件(0)1y =的特解; 9. 计算函数sin(ln )y x =的二阶导数y '';10.将函数ln y x =展成(1)x -的幂级数并指出收敛区间.四．综合题1.设0a b <<,证明不等式11(2,3,)()n n n n b a ab n n b a ---<<=-; 2．设函数220()()f x x f x dx =-⎰,求()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值; 3.设1sin ,0()0,0x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,α为实数 试问α在什么范围时,1()f x 在点0x =连续；2()f x 在点0x =可导;4．若函数0()()()xx f x x t f t dt e =-+⎰,求()f x ; 2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷A 参考答案及评分标准一、填空题1.若3sin 41,0()0ax x e x f x x a x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续,则 a =1.2.曲线231x t y t ⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为37y x =-. 3.设函数sin (21)x y x =+,则其导数为sin 2sin (21)[cos ln(21)]21x x y x x x x '=++++. 4.22(1cos )x x dx -+⎰＝4.5.设cos(sin )y x =,则dy =cos sin(sin )x x -dx .6.曲线y =1x =,3x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周,所得旋转体体积为(3ln32)π-.7.微分方程450y y y '''-+=的通解为212(cos sin )x y e C x C x =+.8.若级数3111n n α∞-=∑收敛,则α的取值范围是23α> 二、选择题1、B2、A3、B4、C5、D三、计算题2. 计算极限020tan lim xx tdt x →⎰. 解：020tan lim x x tdt x →⎰＝0tan lim 2x x x→5分 ＝126分 2．计算函数y x =y '. 解1：两边取对数,得11ln 2ln ln(1)ln(1)22=++--y x x x 1分 两边求导数2112(1)2(1)y y x x x '=+++-4分＝2211x x x ⎫+⎪-⎭6分 解2：由于1ln 2ln [ln(1)ln(1)]2x x x x y e e ++--==,所以12ln [ln(1)ln(1)]22111211x x x y e x x x ++--⎡⎤⎛⎫'=++ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎣⎦4分＝2211x x x ⎫+⎪-⎭6分 3计算由隐函数ln y e x y =确定的函数()y f x =的微分dy .解：方程两边关于x 求导数,把y 看成x 的函数.ln y xy y e y y''=+3分 解得ln y y y y ye x'=-4分 所以函数()y f x =的微分ln y y y dy dx ye x =-6分 5.判别正项级数211)n n ∞=+的敛散性. 解1：由于2211ln(1)n n +<,所以32211)n a n n =+<=3分 已知级数31213(1)2n p n ∞==>∑收敛5分由比较判别法知级数211)n n∞=+收敛.6分 解2：取321n b n =,2232211)ln(1)lim lim lim 11n n n n n a n n b n n→∞→∞→∞++==＝14分 因为级数3121n n∞=∑收敛5分所以原级数211)n n ∞=+收敛;6分 5.计算不定积分⎰解1：＝2分＝C +6分解2：设t =则2x t =,2dx tdt =,于是⎰22(1)tdt t t +⎰4分 =221dt t +⎰=2arctan t C +5分=C +6分6.求幂级数203n n n x ∞=∑的收敛半径与收敛区间.解：当0x ≠时,12(1)2123lim lim 33n n n n n n n nu x x u x +++→∞→∞==2分 所以当231x <,即||x <时,幂级数203n n n x ∞=∑收敛；当231x >,即||x >时,幂级数203n nn x ∞=∑发散,所以幂级数的收敛半径R =3分由于x =±,级数203n n n x ∞=∑成为01n ∞=∑发散;5分因此幂级数收敛区间为(6分 11.计算定积分20sin x xdx π⎰ 解：由于公式21sin (1cos2)2x x =-,所以 20sin x xdx π⎰＝01(1cos2)2x x dx π-⎰2分 ＝000111(cos2)cos2222x x x dx xdx x xdx πππ-=-⎰⎰⎰ ＝201sin 2044x xd x ππ-⎰3分 ＝20sin 21sin 20444x x xdx πππ-+⎰5分 ＝21cos2048x ππ- ＝24π6分12.计算微分方程22(1)(1)dy x y dx y x +=+满足初始条件(0)1y =的特解. 解：分离变量得2211ydy xdx y x=++2分 两边积分2211ydy xdx y x =++⎰⎰ 于是有22221(1)1(1)2121d y d x y x ++=++⎰⎰ 即22111ln(1)ln(1)222y x C +=++4分 或22ln(1)ln(1)y x C +=++将初始条件(0)1y =代入得ln2C =5分所求特解是2221y x =+6分13.计算函数sin(ln )y x =的二阶导数y ''. 解：cos(ln )x y x'=3分 22sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )x x x x y x x--+''==-6分 14.将函数ln y x =展成(1)x -的幂级数并指出收敛区间.解：因为ln ln[1(1)]y x x ==+-1分 根据幂级数展开式231ln(1)(1)23nn x x x x x n -+=-+++-+,11x -<≤2分于是231(1)(1)(1)ln (1)(1)23nn x x x x x n ----=--+++-+5分收敛区间是(0,2]x ∈6分四、综合题1.设0a b <<,证明不等式11(2,3,)()n nn n b a a b n n b a ---<<=-证明：设(),2n f x x n =≥,2分则()f x 在闭区间[,]a b 上满足Lagrange 定理条件,于是存在一点(,)a b ξ∈,使()()()f b f a f b aξ-'=-3分 即1n nn b a n b a ξ--=-4分 因为2n ≥且a b ξ<<,所以111n n n a b ξ---<<,5分 因此11n n n n b a na nb b a ---<<-,从而11()n n n n b a a b n b a ---<<-.7分 2．设函数220()()f x x f x dx =-⎰,求()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值.解：由于定积分20()f x dx ⎰是一确定的实数,设20()f x dx k =⎰1分 对()f x 的等式两边积分有 于是208()23k f x dx k ==-⎰2分 由上式解得89k = 28()9f x x =-3分 令()20f x x '==得驻点0x =4分当(0,2)x ∈时,恒有()0f x '>,表明()f x 在区间(0,2)内严格增加,5分 所以8(0)9f =-是函数()f x 在[0,2]的最小值6分 28(2)9f =是函数()f x 在[0,2]的最大值.7分 ． 3.设1sin ,0()0,0x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,α为实数试问α在什么范围时 1()f x 在点0x =连续；2()f x 在点0x =可导.解：1当0α>时,x α是0x →时的无穷小量,而1sin x是有界变量,2分 所以当0α>时,001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f xα→→===3分 即当0α>时,()f x 在点0x =连续;4分2当1α>时,由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量,得 001sin ()(0)(0)lim lim x x x f x f x f x x α→→-'==6分 ＝101lim sin 0x x x α-→=7分 所以当1α>时,()f x 在点0x =可导.8分 4．若函数0()()()x x f x x t f t dt e =-+⎰,求()f x . 解：00()()()x x x f x x f t dt tf t dt e =-+⎰⎰ 上式两边关于x 求导数 0()()()()x x f x f t dt xf x xf x e '=+-+⎰,0()()x x f x f t dt e '=+⎰1分 ()()x f x f x e ''=+2分 记()y f x =,则上式是二阶常系数非齐次微分方程,即x y y e ''-=I 0y y ''-=的通解是*12x x y C e C e -=+,12,C C 为任意常数;3分 由于1λ=是0y y ''-=的特征方程210r -=的单根,所以设x y axe =是方程I 的一个特解,于是有x x y ae axe '=+与2x x y ae axe ''=+ 将它们代入方程I 得12a =4分 于是方程I 的通解为1212x x x y C e C e xe -=++,II 这里12,C C 为任意常数. 从已知条件可求得,(0)1f =,(0)1f '=并代入方程II5分 得1212(0)11(0)12f C C f C C =+=⎧⎪⎨'=-+=⎪⎩ 解得1231,44C C ==7分 所求函数311()442x x x f x e e xe -=++8分 2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷 一、 填空题 1. 设)1ln(1-+=x y ,其反函数为; 封线--------2. 设23ln 2+-=x x x y ,函数y 的可去间断点为; 3. 设x e x x y =)(,则曲线)(x y 与直线1=x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为;4. 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件为;5. 确定曲线12-=x x y 的垂直渐近线为；斜渐近线为; 6. 广义积分21ln e dx x x+∞=⎰; 7. 对于x xe x y x y x y x sin )(2)(2)(=+'+'',其特解可以假设为;二、选择题1.曲线13-=x y 的拐点为A )1,0(-B (1,0)C )2,1(--D 无拐点2.当0x →时,2(1cos )x -是2sin x 的.()A 同阶但不是等价无穷小()B 等价无穷小()C 高阶无穷小()D 低阶无穷小3.若2)1(='f ,则0(1)(1)lim sin x f x f x→+-= A 2B 2-C 1D 0 4.对于幂级数∑∞=-11)1(n p n n ,下列说法中正确的为 A 当1<p 时,发散B 当1<p 时,条件收敛C 当1>p 时,条件收敛D 当1>p 时,绝对收敛5.若x x y sin =,x y sin =分别为非齐次线性方程)(x f qy y p y =+'+''的解,则x x y sin )1(+=为下列方程中的解：A 0=+'+''qy y p yB )(2x f qy y p y =+'+''C )(x f qy y p y =+'+''D )(x xf qy y p y =+'+''三、计算题1. 求曲线12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程;2. 12+=x e y x,求)(x y '; 3. 求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解;4. 设函数()y y x =由方程2022=-⎰-y t dt e xy 确定,求微分dy ; 5. 求极限)cot 11(lim 20x x xx -→; 6. 确定级数∑∞=13!sin n n n n 的收敛性; 7.计算定积分20x ⎰. 8. 确定幂级数∑∞=-111n n n x na 收敛半径及收敛域,其中a 为正常数; 9. 求⎰++-dx x x x x )1(322; 10.求解微分方程x e x y y sin cos -=+'. 四、综合题 1. 将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数. 2.计算21n n →∞++++ 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,0,cos )()(x a e x x x x x f x ϕ,其中)(x ϕ具有二阶导数,且1)0(=ϕ,0)0(='ϕ,1)0(=''ϕ, (1)确定a 的值,使)(x f 在0=x 处连续； (2)求)(x f '; 4．设)(x f 在),1[+∞具有连续导数,且满足方程⎰=+-x dt t f t x f x 1221)()1()(,求)(x f ; 2007年浙江省普通高校“专升本”联考 高等数学二试卷A 参考答案及评分标准 一、填空题：只需在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,本题共有8个空格,每一空格5分,共40分 8. 设)1ln(1-+=x y ,其反函数为11+=-x e y . ----------------------------------------------------------------------------9. 设23ln 2+-=x x xy ,函数y 的可去间断点为1=x . 10.设x e x x y =)(,则曲线)(x y 与直线1=x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为)1(412e +π. 11.级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件为lim 0n n u →∞=.12.确定曲线12-=x x y 的垂直渐近线为1=x ,斜渐近线为1+=x y .13.广义积分21ln edx x x+∞=⎰1. 14.对于x xe x y x y x y x sin )(2)(2)(=+'+'',其特解可以假设为]sin )(cos )[(*x D Cx x B Ax e y x +++=.二、选择题1、A2、C3、A4、D5、B 三、计算题11.求曲线12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程. 解：x x xe e x y 22)(+=',1分2)0(='y 1分切线方程：12+=x y 2分法线方程：121+-=x y 2分12.12+=x e y x,求)(x y '. 解：)1ln(2121ln 2+-=x x y 3分 )121(12122+-+='x xx e y x 3分 13.求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解. 解：1052=+'+''y y y特征方程为0522=++r r ,解为i r 21±-=2分通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-2分 2设特解为x Ae y =*,代入求得41=A 1分 故原方程通解为x x e x C x C e y 41)2sin 2cos (21++=-1分14.设函数()y y x =由方程2022=-⎰-yt dt e xy 确定,求微分dy .解：2220y y xyy y e -''+-=4分dx xyey dy y 222-=-2分15.求极限)cot 11(lim 20x x x x -→. 解：)cot 11(lim 20x x x x -→xx x x x x sin cos sin lim 20-=→2分 30cos sin lim xx x x x -=→2分 313sin lim 20==→x x x x 2分 16.确定级数∑∞=13!sin n n nn 的收敛性.解：!!sin 33n n n n n ≤,1分 由比值判别法判断,级数∑∞=13!n n n 收敛3分由比较判别法判断原级数绝对收敛2分 17.计算定积分20x ⎰.解：设t x sin 2=,2cos dx tdt =1分2sin 2222204sin 2cos x tx t tdt π==⋅⎰⎰1分2204sin 2tdt π=⎰2分202(1cos4)t dt ππ=-=⎰2分18.确定幂级数111n nn x na∞-=∑收敛半径及收敛域,其中a 为正常数.。
浙江省专升本历年真题卷
2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是 。
2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x 。
3．（1）x 轴在空间中的直线方程是 。
（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。
4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点1=x 处连续。
5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则=dxdy。
（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy。
二．选择题1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值。
（A ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , （C ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （D ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim000（ ）。
).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分 ()11-=⎰f x dx （ ）。
浙江专升本数学练习题库
浙江专升本数学练习题库### 浙江专升本数学练习题库#### 一、选择题1. 下列函数中，哪一个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)2. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是：A. 0B. 1C. \(\infty\)D. \(-\infty\)3. 以下哪个选项是二阶导数？A. \( f''(x) \)B. \( f'(x) \)C. \( f(x) \)D. \( f(x)' \)#### 二、填空题1. 函数 \( f(x) = x^2 + 3x - 4 \) 的导数是 \(f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的反函数是 \( y =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
#### 三、解答题1. 求函数 \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x - 3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x^2 - 12x + 9 \)。
然后计算 \( f'(1) = 6(1)^2 - 12(1) + 9 = 3 \)。
接着计算 \( f(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 3 = 2 \)。
因此，切线方程为 \( y - 2 = 3(x - 1) \)，即 \( y = 3x - 1 \)。
2. 计算二重积分 \(\iint_D (x^2 + y^2) dxdy\)，其中 \( D \) 是由 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 定义的圆盘。
2012年专升本高数真题答案解析(浙江)
浙江省2012年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号12345答案ABCBC1.A 解析:因为01)1sin(lim)(lim 2=++=∞→∞→x x x f x x ，故函数)(x f 有界，而且是非奇非偶函数，非周期函数，所以选项A 正确。
2.B 解析:2)()(lim lim0000='=∆∆'=∆→∆→∆x f xx x f x dyx x ，当0→∆x 时，dy 为x ∆的同阶无穷小，所以选项B 正确。
3.C 解析:[]222022)()2(2)()())(()(x f f dx x f x f x x f xd dx x f x -'='-'='=''⎰⎰⎰81310)0()2()2(2=+-=+-'=f f f ，可见选项C 正确。
4.B 解析:根据题意可知：353323412341=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰x dx x ，所以选项B 正确。
5.C 解析:特征方程：0222=++r r ，特征根为：i r i r --=+-=1,121，自由项为：x e x f x sin )(-=，故设特解为:)sin cos (x b x a xe y x+=-*，可见选项C 正确。
非选择题部分二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.2解析:21524lim)]1(52[lim 22=++++=+-+++∞→+∞→x x x x x x x x x x7.,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析:该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组为：211100-≤≤⎧-≥⎧⎪⎪⇒⎨⎨≥≥⎪⎪⎩⎩x x x x，解得定义域为：,12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，因此所求函数的连续区间为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.4-解析:00(32)(3)(32)(3)lim2lim 2(3)42→→----'=-=-=--h h f h f f h f f h h9.yyxe e -1解析:隐函数方程求导可知，方程1=+yy xe 两边同时对x 求导，得：''=+⋅y y y e xe y ，即：yy xe ey -='110.ln csc cot cos -++x x x C （C 为任意常数）解析:22cos 1sin sin sin -=⎰⎰xdx xdx x xcsc sin ln csc cot cos =-=-++⎰⎰xdx xdx x x x C （C 为任意常数）11.⎰解析:利用定积分的定义求极限可知，原式1lim →∞=n n11lim →∞===⎰n n i n 12.(1,1)-解析:x x x x x x u x u x n n n n n n n nn n n nn n ===⋅==++-∞→+-∞→++∞→+∞→1111113lim 3lim 33lim )()(lim)(ρ，所以令1)(<=x x ρ，解得：()1,1-∈x ，因此收敛区间为：()1,1-13.])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰⋅⎰=-（C 为任意常数）解析:由一阶线性微分方程的通解公式可得：])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰⋅⎰=-（C 为任意常数）14.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,54,53和⎪⎭⎫ ⎝⎛0,54,53解析:设所求向量()0,,y x b =→，则122=+y x ，且0=⋅→→b a ，即034=-y x ，所以联立后解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5453y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛0,54,53和⎪⎭⎫⎝⎛0,54,5315.362解析:由面面距公式可得：362)1(123122222221=-++--=++-=C B AD D d 三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。
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高等数学试题 第 1页 (共 3页)
浙江省2012年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸 规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、 选择题: 本大题共 5 小题， 每小题4 分， 共20 分。
在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的。
1. 设 ( ) ( )
2
sin 1 1 x f x x + = + ，-∞<x<+∞，则此函数是 A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数
D.周期函数
2. 若函数 y =f (x )满足 f ' (x 0)=2，则当Δx →0 时，函数 y =f (x )在 x =x 0 处的微分 d y 是
A.与Δx 等价的无穷小
B.与Δx 同阶的无穷小
C.比Δx 低阶的无穷小
D.比Δx 高阶的无穷小
3. 设函数 f (x )满足 f (0)=1， f (2)=3， f ' (2)=5， f " (x )连续，则 2 0
xf ò " (x )d x = A.10 B.9 C.8
D.7
4. 由曲线 y = x ，y =1，x =4 所围成的平面图形的面积是 A. 4 3
B. 5 3
C. 7 3
D. 16 3
5. 已知二阶微分方程 y "+2y '+2y =e - x
sin x ，则其特解形式为 A.e - x (a cos x +b sin x ) B.a e - x cos x +bx e - x
sin x C.x e - x (a cos x +b sin x )
D.ax e - x cos x +b e - x sin x
高等数学试题 第 2页 (共 3页)
非选择题部分
注意事项:
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图， 可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、 填空题: 本大题共 10 小题， 每小题4 分， 共 40 分。
6. 极限 ( ) 2 lim 251 x x x x x ®+¥
++-+ ［ ］ =______.
7. 函数 2 sin 1 y x x =+- 的连续区间为______. 8. 已知 f ' (3)=2，则 ( )
(32)3 lim
h f h f h
® -- =______.
9. 若函数 y =y (x )由方程y =1+x e y 所确定，则 y '=______.
10. 2 cos d sin x x x
ò =______.
11. 极限 1
lim (12) n n n n ®¥
++¼+ 用定积分表示为______.
12. 级数 0 3
n
n n x
¥
= å 的收敛区间是______.
13. 一阶线性微分方程 y'+P (x )y =Q (x )的通解为______.
14. 在 xOy 平面上与向量 a =(4，-3，7)垂直的单位向量是______. 15. 平面 2x +y -z -1=0与平面 2x +y -z +3=0之间的距离等于______.
三、计算题：本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分。
计算题必须写出必要的计算过程， 只写答案的不给分。
16. 设 ( ) ( ) 1
1 1 arctan()sin ln 130 3
0. x x x x x f x a x -- ì ++-<< ï = í ï ³ î ， ， ， ［ ］
若f (x )在 x =0 处连续，求 a 的值. 17. 设 ( ) 2 2 1e 0 0 x x f x x x ì -£ ï
= í > ï î ， ， ， ，
求 f ' (x ).
18. 求函数 2
3
24
y x x =
-+ 图形的拐点与凹凸区间.
19. 讨论方程 x 2 =x sin x +cos x 的根的个数.
高等数学试题 第 3页 (共 3页)
20. 求 2 ln d x x x ò . 21. 计算 4
1 d x x x - ò .
22. 计算瑕积分 ( )
1
3
d 1 x x x + ò
.
23. 将函数 f (x )=ln(1-x -2x 2 )展开成x 的幂级数，并指出其收敛域.
四、综合题： 本大题共 3 小题， 每小题10 分， 共 30 分。
24. 已知 ( ) ( )
( ) ln e lim
0 n
n n x f x x n
®¥
+ => ，求f (x ).
25. 设 a >b >e ，证明:a b <b a .
26. 若 f (x )在［0，1］上是连续的. （Ⅰ）证明 ( ) ( ) 00 π sin d sin d 2 xf x x f x x p p
= òò ;
（Ⅱ）计算 3 π
2 0 sin d 1cos x x
x x
+ ò .。