高中数学经典错因正解汇总：第六章立体几何初步

第六章 立体几何初步§6.1 两条直线之间的位置关系一、知识导学1. 平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2. 空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4. 异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b α⊂,A α∈且A b ∉,a A =⋂α,则a 与b 异面.三、经典例题[例1]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( ).A .是AC 和MN 的公垂线.B .垂直于AC 但不垂直于MN.C .垂直于MN ，但不垂直于AC.D .与AC 、MN 都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点，G,H分别是BC,CD 上的点,且2==HC DH GC BG ,求证:直线EG,FH,AC 相交于一点.错解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HC DH GC BG,∴ GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T, 2=HC DH,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点正解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴ ∥BD,EF=21BD, 又2==HC DH GC BG ,∴ GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T,⊂EG 平面ABC,FH ⊂平面ACD,∴T ∈面ABC,且T ∈面ACD,又平面ABC 平面ACD=AC,AC T ∈∴,∴直线EG,FH,AC 相交于一点T.[例3]判断：若a,b 是两条异面直线，P 为空间任意一点，则过P 点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P 在其中一条线上，或a 与P 确定平面恰好与b 平行，此时就不能过P 作平面与a 平行.正解：假命题．[例4] 如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β，即 E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F ，G ，H 四点必定共线．点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD∥BC，且ABα，CD β，求证：AB ，CD ，l共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝l，∴ M∈l，即 AB，CD，l共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴ 直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵ 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC 于点O 上的射影在平面就是斜线平面AC BD BD AC DD 11,∴⊥ .(2)BD 1和AC 是异面直线.(3)过O 作BD 1的平行线交DD 1于点M ，连结MA 、MC ，则∠MOA 或其补角即为异面直线AC 和BD 1所成的角.不难得到MA ＝MC ，而O 为AC 的中点，因此MO ⊥AC ，即∠MOA ＝90°，∴异面直线BD 1与AC 所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC 中，∠A 为直角，PA⊥平面ABC ，BD⊥PC，垂足为D ，求证：AD⊥PC证明：∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC∴ AD 是BD 在平面PAC 内的射影又∵ BD ⊥PC ∴ AD ⊥PC .（三垂线定理的逆定理）四、典型习题1．如图, P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 后，在包括AB 、BC 、CA 的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形ABCD 、ABEF 所在的平面互相垂直，则异面直线AC 和BF所成角的大小为 ．3. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，体对角线DB 1与面对角线BC 1所成的角是 ，它们的距离是 .4.长方体ABCD A B C D -1111中，BC CD DD ===2214251，，，则A C B D 111和所成角的大小为_ ___.5.关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AH ⊥平面BCD ，求证：BH ⊥CD7．如图正四面体中，D 、E 是棱PC 上不重合的两点；F 、H 分别是棱PA 、PB 上的点，且与P 点不重合．求证：EF 和DH 是异面直线．§6.2直线与平面之间的位置关系一、知识导学1.掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）.2.直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是 0，当直线与平面垂直时所成的角是9 0，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角.3.掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）.4.直线与平面垂直的定义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行）.5.直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）.6.三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）.7.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短.二、疑难知识1.斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的.4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.三、经典例题l⊂平面α,点P∈直线l,平面α、β间的距离为8，则[例1]已知平面α∥平面β，直线l的距离为9的点的轨迹是（）在β内到点P的距离为10，且到A.一个圆B.四个点C.两条直线 D .两个点错解：A.错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.正解：B.[例2] a 和b 为异面直线，则过a 与b 垂直的平面( ).A ．有且只有一个B ．一个面或无数个C ．可能不存在D ．可能有无数个错解：A.错因：过a 与b 垂直的平面条件不清.正解：C.[例3]由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C ，O 为⊿ABC 的外心，求证：OP α⊥.错解：因为O 为⊿ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以⊿POA ，⊿POB ，⊿POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝2π，所以OP α⊥. 错因：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明.正解：取BC 的中点D ，连PD 、OD ， ,,,,,,AB PO PO .PB PC OB OC BC PD BC OD BC POD BC PO α==∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥ 面同理，[例4]如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N,求: （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC 和NC 的长；（3）平面NMP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）错因：（1）不知道利用侧面BCC 1 B 1展开图求解,不会找29 的线段在哪里;(2)不会找二面角的平面角.正解：(1)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为974922=+(2)如图，将侧面BC 1旋转 120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1 ，则MP 1就是由点P沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线.设PC ＝x ，则P 1C ＝x ， 在2,292)3221==+∆x x MAP Rt ＋中，（54,5211=∴==∴NC A P C P MA NC (3)连接PP 1（如图），则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理的逆定理得，1PP CH ⊥.所成二面角的平面角。