第二章《方程与不等式(组)》综合测试卷答案解析

第二章《方程与不等式（组）》综合测试卷

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．若x ＝3是方程x 2－3mx ＋6m ＝0的一个根，则m 的值为(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2．不等式3x ＋2≥5的解是(A ) A ．x ≥1 B ．x ≥7

3

C ．x ≤1

D ．x ≤－1

3．某地即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000 m 的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20 m ，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x (m)，则根据题意可列方程为(A )

A.6000x －6000x ＋20＝15

B.6000x ＋20－6000x ＝15

C.6000x －6000x －15＝20

D.6000x －15

－6000x ＝20

4．小刚在解关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一

个根是x ＝－1.他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，则原方程的根的情况是(A )

A ．不存在实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．有一个根是x ＝－1

D ．有两个相等的实数根

【解析】 ∵小刚在解关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝－1，

∴(－1)2－4＋c ＝0，解得c ＝3，

故原方程中c ＝5，则b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4＜0， ∴原方程不存在实数根．

5．某出租车起步价所包含的路程为0～2 km ，超过2 km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7 km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2 km 后每千米收费y 元，则可列方程组为(D )

A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝16，x ＋13y ＝28

B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋（7－2）y ＝16，x ＋13y ＝28

C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝16，x ＋（13－2）y ＝28

D.⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋（7－2）y ＝16，x ＋（13－2）y ＝28 6．我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3.现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是(D )

A ．x 1＝1，x 2＝3

B ．x 1＝1，x 2＝－3

C ．x 1＝－1，x 2＝3

D ．x 1＝－1，x 2＝－3

【解析】 由题意，得2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3， 解得x 1＝－1，x 2＝－3.

7．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方

程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为(B )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

【解析】 ∵a ＝1，b ＝2，c ＝m －2，关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有实数根，

∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4(m －2)＝12－4m ≥0，∴m ≤3. 又∵m 为正整数，且该方程的根都是整数， ∴m ＝2或3，∴2＋3＝5.

8．已知关于x 的分式方程m －2

x ＋1＝1的解是负数，则m 的取值范围是(D )

A ．m ≤3

B ．m ≤3且m ≠2

C ．m ＜3

D ．m ＜3且m ≠2 【解析】 解m －2

x ＋1＝1，得x ＝m －3.

∵关于x 的分式方程m －2

x ＋1

＝1的解是负数，

∴m －3＜0，解得m ＜3.

又∵当x ＝m －3＝－1时，方程有增根，∴m ≠2. 综上所述，m ＜3且m ≠2.

9．已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D )

A ．1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根

B ．0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根

C ．1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根

D ．1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根

【解析】 ∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，

∴⎩

⎨⎧a ＋1≠0，Δ＝（2b ）2－4（a ＋1）2＝0， ∴b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)．

当b ＝a ＋1时，有a －b ＋1＝0，此时－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根； 当b ＝－(a ＋1)时，有a ＋b ＋1＝0，此时1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根． ∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)，

∴1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．

10．已知关于x 的不等式ax －2>0的解是x <－2，若关于x 的不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧ax ＋b ≥0，

－2x ＋2

有4个整数解，则实数b 的取值范围是(C )

A ．5

B ．5

C ．5≤b <6

D ．5≤b ≤6

【解析】 由不等式ax －2>0得ax >2. ∵解是x <－2，∴a <0，∴x <2

a

，

∴2

a

＝－2，解得a ＝－1. ∴关于x 的不等式组为⎩⎨⎧－x ＋b ≥0，

－2x ＋2

解得5

3

∵不等式组恰有4个整数解， ∴x 应取2，3，4，5，

∴5≤b <6.

二、填空题(每小题4分，共24分)

11．一元二次方程x 2－8x ＋4＝0配方后可化为(x －4)2＝12．

12．若关于x 的方程(m －5)x 2＋4x －1＝0有实数根，则m 的取值范围是m ≥1． 【解析】 ①当该方程是一元一次方程时，m －5＝0，得m ＝5，此时x ＝1

4；

②当该方程是一元二次方程时，二次项系数m －5≠0，Δ＝42＋4(m －5)≥0，解得m ≥1且m ≠5.

综上所述，m ≥1.

13．若关于x 的一元二次方程ax 2－x －1

4＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则点P (a ＋1，

－a －3)在第__四__象限．

【解析】 ∵关于x 的一元二次方程ax 2－x －1

4＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝（－1）2－4·a ·⎝⎛⎭⎫－14>0， 解得a ＞－1且a ≠0， ∴a ＋1＞0，－a －3＜0，

∴点P (a ＋1，－a －3)在第四象限．

14．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为(x )，即当n 为自然数时，若n －0.5≤x ＜n ＋0.5，则(x )＝n .如(1.34)＝1，(4.86)＝5.若(0.5x －1)＝6，则实数x 的取值范围是__13≤x ＜15__．

【解析】 由题意，得6－0.5≤0.5x －1＜6＋0.5，解得13≤x ＜15.

15．爸爸沿街匀速行走，发现每隔7 min 从背后驶过一辆103路公交车，每隔5 min 从迎面驶来一辆103路公交车．假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶的速度是爸爸行走速度的__6__倍．

【解析】 设103路公交车行驶的速度为x (m/min)，爸爸行走的速度为y (m/min)，两辆

103路公交车间的间距为s (m)，根据题意，得⎩

⎨⎧7x －7y ＝s ，

5x ＋5y ＝s ，∴x ＝6y .

16．对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.

因此min{－2，－3}

若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝－1或2．