考研高数第七章总结

微分方程

（一）基本概念和一阶微分方程

1、 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；

有时也称为一般解但不一定是全部解。

特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。 （有的是用隐函数表示！！！）

2、几阶微分方程就有几个初始条件。

微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是 一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 3、可分离变量的微分方程：dx x f dy y g )()(=

推广形式：齐次方程)1(:⎰⎰+=+=-=+===C

x C x dx

u u f du u dx

du x u dx dy u x y x y dx dy ||ln )()(,),(ϕϕ则令

形。属于可分离变量方程情则

令则令情形当属于齐次方程情形。，则令的解情形，先求出

当则令)(,

),)((,,0|b a b a |2)(

)(,

),,(0

00|b a b a |

1)()3()

()(,),0,0)(()2(2

11111112

11111121222112

21

122112221112

2

11222111c u c u f b a dx dy b a dx du y b x a u c y b x a c y b x a f dx dy

b b a a u

v b a u y

b a f v

b u a v b u a f du dv y v x u

c y b x a c y b x a c y b x a c y b x a f dx dy

c x dx u bf a du u bf a dx du u c by ax b a c by ax f dx dy

+++=+=+=++++=====∆><++=++=-=-==++=++≠=∆><++++=+==+⇒+==++≠≠++=⎰⎰λλλβαβα4、一阶线性微分方程及其推广

)

)((),(,)(),()()2(,,0)(:

)1()()()()(C dx e x Q e y x C e x C y x Q y x P dx

dy

C Ce y y x P dx

dy

dx

x P dx x P dx x P dx

x P +⎰⎰=⎰==+⎰==+⎰

---则得代入方程求出令解公式

用常数变易法可求出通一阶线性非齐次方程：为任意常数）（通解公式为，它也是可分离变量方程一阶线性齐次方程(3)

（3）见下页

方程求解。

再按照一阶线性非齐次把原方程化为令伯努利方程：),()1()()1(,

),1,0()()()3(1x Q n z x P n dx

dz

y z n y x Q y x P dx

dy

n n -=-+=≠=+-

(4)

。

阶线性非齐次方程求解为未知函数，再按照一为自变量，以，

可化为方程：x y y Q x y P dy dx x y P y Q dx dy )()(,)()(1=+-=

5、全微分方程及其推广

));arctan(21()(1));arctan(21()(1);1

21()();121()

();ln 21();ln 21();

(arctan );(arctan );

();()];ln(21[)];ln(21[);

(ln );();

2();2()

,(),(),(:

),(),(),(),(),(,),(:,0),(),()1(2

22

22222222

2222222222

222222

22

2222

22

2222222y x d y x ydy xdx y x d y x ydy xdx y x d y x ydy xdx y x d y x ydy xdx y x y

x d y x ydx xdy y x y x d y

x xdy ydx x y d y x ydx xdy y x d y x xdy ydx x y

d y xdy ydx y x d x ydx xdy y x d y

x ydy xdx y x d y x ydy xdx xy d xy

xdy

ydx xy d xdy ydx y x d ydy xdx y x d ydy xdx y x du dy y x Q dx y x P y x u dy y x Q dx y x P y x du y x u C y x u y

P

x Q dy y x Q dx y x P -=-+-+=+++--=--+-=++-+=--+-=--=+-=+-=-=--=--+=++=+=+-=-+=+=⋅⋅⋅=++==∂∂=∂∂=+流，就很有帮助。的全微分公式要倒背如把常见的一些二元函数第一种：凑微分法的常用方法求满足其中通解满足

全微分方程 )

()()(]),([),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(:0

000000),()

,(00y C y C y C dx y x P y

y u y x Q y y C dx y x P y x u y x P x u

dy y x Q dx y x P y x u dy

y x Q dx y x P y x u y x u y y x x y x y x u 积分后求出求出求导得对得由

第三种：不定积分法：积分与路径无关）特殊路径积分法（因为第二种''+∂∂

=∂∂=+==∂∂++=++=⎰⎰⎰⎰⎰