采样过程及数学描述
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采样过程及数学描述
将连续信号转换为脉冲信号或数字信号的过程称为采样。信号的采样过程可用一个周期性闭合的采样开关表示,该采样开关每隔T 秒闭合一次,每次闭合时间为τ,且τ远小于T 。T 称为采样周期,单位为秒(s);实际系统中,采样开关多为电子开关。
现在以下面的例子来说明信号的采样过程。图1(a)所示连续信号经过图1(b)所示采样开关的采样后,得到图1(c)所示采样信号。
采样器好像一个幅值调制器,()
T t δ是调幅器的载波。它是以T 为周期的单位
理想脉冲序列,
()
T t δ的数学表达式为:
()()
T n t t nT δδ∞
=-∞
=
-∑
当载波
()
T t δ被输入连续信号e (t )调幅后,其输出信号为*
()
e t 。调制信号
e (t )决定*
()e t 的幅值,载波信号()
T t δ决定采样时刻,其调制过程可表示为:
*
()()()()()
T n e t e t t e t t nT δδ∞
=-∞
==-∑
通常在控制系统中,认为t<0时信号e (t )=0,所以
*
()()()()()
n n e t e t t nT e nT t nT δδ∞
∞
===-=
-∑∑
对上式进行拉氏变换,得:
**
[()]()()nTs
n L e t E s e nT e
∞
-==
∑
*
()
E s 还可以用另一种形式表达,由于单位脉冲序列为周期函数,因此可以
展开成傅里叶级数。
()s jnw t
n n n t nT c e
δ∞∞
=-∞
=-∞
-=
∑
∑
式中
2/2s s
w T f ππ==
并且1/s f T =称为采样频率;s w 称为采样角频率;n c 为傅氏系数,即
/20/2
0111()()s s T jnw t
jnw t
n T T c t e
dt t e
dt T
T
T
δδ+----
=
=
=
⎰
⎰
由上式得:
*
1()()
s n E s E s jnw T
∞
==
-
∑
由上式可见*
()
E s 是s 的周期函数。如果i s
是E (s )的极点,则(i s s jnw -)
都是
*
()
E s 的极点。这就是说*
()
E s 有无穷多的极点。
采样定理
1.采样定理的提出
如何从采样信号中恢复原连续信号,以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。从这两点问题出发,人们提出了采样定理。
采样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位,许多近代通信方式都以此定理作为理论基础。采样定理主要分为时域采样定理和频域采样定理,下面从这两个方面做具体的解释。
2.时域采样定理
时域采样定理说明:一个频谱受限的信号f (t ),如果频谱只占据
~m m
w w -+的范围,则信号f (t )可以用等间隔的抽样值唯一表示。而抽样间隔必须不大于
12m
f ,或者说,最低采样频率为2m
f .
时域采样定理的证明:
假定信号f (t )的频谱F (w )限制在
~m m
w w -+范围内,若以间隔s T
(或者
重复频率
2s S
w T π=
)对f (t )进行采样,采样后信号()s f t 的频谱()s F w 是F (w )
以s w 为周期重复。如果采样过程满足式()()()s f t f t p t =,则()s F w 才不会产生频谱混叠。这样采样信号()s f t 保留了原有连续信号f (t )的全部信息,完全可以用
()
s f t 唯一的表示f (t ),或者说,完全可以由()s f t 恢复出f (t )。
对于采样定理,可以从物理概念上做如下解释。由于一个频带受限的信号波形绝不可能在很短的时间内产生独立的,实质的变化,它的最高变化速度受到最好频率分量m w 的限制因此为了保留这一频率分量的全部信息,一个周期的时间间隔内至少采样两次。
在满足采样定理的条件下,为了从频谱()S F w 中无失真的选出F (w ),可以用如下的矩形函数H (w )与
()
S F w 相乘,既
()()()S F w F w H w =
其中
s T m
w w
<
()H w = 0 m w w >
3.频域采样定理
根据时域与频域的对称性,可以由时域采样定理直接推论出频域采样定理。频域采样定理的内容是:若信号f (t )是时间受限信号,它集中在~m m t t -+的时
间范围内,若在频域中以不大于
12m
t 的频率间隔对f (t )的频谱F (w )进行采样,则采样
后的频谱1()F w 可以唯一的表示原信号。
从物理概念上不难理解,因为在频域中对F (w )进行抽样,等效于f (t )在时域中重复形成周期信号1()f t 。只要采样间隔不大于
12m
t ,则在时域波形不会产生混叠,用矩形脉冲
作选通信号从周期信号1()f t 中选出单个脉冲就可以无失真地恢复出原信号f (t )。