§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
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周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
傅里叶级数及频谱
三角形式的傅里叶级数 周期信号可表示为
x(t ) = x(t + mT )(m = 0,±1,±2,L)
任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下， 数线性组合的无穷级数。 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数” 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
∫
T0 2 T − 0 2
x (t )d t
2 an = T0
bn 2 = T0
∫
∫
T0 2 T − 0 2
x ( t ) c o s n ω 0 td t
x (t ) s in nω 0td t
T0 2 T − 0 2
T0 T0 ~ 以上各式中的积分限一般取： 以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T0 或 − 2 2 三角形式的傅里叶级数也可表示成： 三角形式的傅里叶级数也可表示成：
( n = 2 , 4 ,6 L ) ( n = 1,3,5 L )
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
（4）偶谐函数 ）
T1 f (t ± ) = f (t ) 2 f (t )
L
T1 T1 − − 2 4 T1 4 T1 2
L
0t
这就是傅立叶级数的指数形式
0
1 ∞ x (t ) = ∑ An e jϕ n e jn ω 0 t = 2 n = −∞
n = −∞
∑ X (nω
∞
)e
jn ω 0 t
1 X (nω 0 ) = An e jϕn 2
2 an = T0 ∫ 可求得如下
321周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数精品PPT课件
15
幅频特性和相频特性
幅频特性
F(n1)1 2
an 2bn 2
1 2cn
相频特性
n
tg1
bn an
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实取际正值） 关于 的奇函数（n实取际正值） 关于 的偶函数 关于的奇函数
16
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
cn c1
c0
c3
离散谱，谱线
a0
T1
2 T1
2
T1
tdt
0
T1 2
f t
A
T1
2
t
2
anT1
2
bn
T1
T T2T 2T 112211T T A A11ttcsionn n s11ttd dtt0nA (11 )n12T1
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0 A sin 1t2 A si2 n1t
直流
O 1 3 1
相位频谱
n
n ~曲线
O 1 3 1
17
例2
已 f(t知 ) 1 si1 n t2 c o1 ts c o 2 s 1 t 4 ，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f(t) 1 5 co 1 ts 0 .(1) 5 c o 2 1 s t 4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
利用欧拉公式
1T
1T
T0f(t)c o sn1 td t jT0f(t)s in n1 td t
1 2
an
jbn
1T
1T
F ( n 1 ) T 0f( t) cn o 1 td t s j T 0f( t) sn i1 n td t
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
周期信号的傅里叶级数
[例7]：对称方波
②
③
ii)
变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部
解：
①
i) 项数越多，误差越小，
④
P99
3.吉布斯现象
N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去
②
≈9%
t
0
①项数越多， 中出现
①
3．
与
的关系
②
i)
ii)
iii)
4．幅度谱：
，相位谱：
实 傅立叶级数的特点：
ii)
为奇函数
为偶函数
i)
为实数时， 的正负表示 的0和π，幅度谱和相位谱画到一张图上
5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。
每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。
而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
引言
第三章 傅立叶变换
02
01
频域分析
本章主要内容
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
含直流、基波和奇次谐波
A
0
[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次谐波
01
f(t)
02
偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量
03
t
04
0
0 [例5]：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。
②
③
ii)
变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部
解：
①
i) 项数越多，误差越小，
④
P99
3.吉布斯现象
N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去
②
≈9%
t
0
①项数越多， 中出现
①
3．
与
的关系
②
i)
ii)
iii)
4．幅度谱：
，相位谱：
实 傅立叶级数的特点：
ii)
为奇函数
为偶函数
i)
为实数时， 的正负表示 的0和π，幅度谱和相位谱画到一张图上
5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。
每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。
而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
引言
第三章 傅立叶变换
02
01
频域分析
本章主要内容
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
含直流、基波和奇次谐波
A
0
[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次谐波
01
f(t)
02
偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量
03
t
04
0
0 [例5]：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。
信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开
1 T
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
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本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
3.1-2 周期信号的傅里叶级数分析
2 t0 T1 an t0 f (t ) cos n1tdt T1
2 t0 T1 bn t0 f (t ) sin n1tdt T1
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 e e n1 n1 2 2 F0 Fn e
还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信 号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅 立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最 强有力的工具之一。 当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立 叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉 斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地 坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。 由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为 了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几 次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。
n1
jn1t
Fn e jn1t
n1 jn1t
F0 Fn e
n1
jn1t
Fn e
n1
又有
F0 Fn e jn1t
n 0
于是，可将上式写成紧凑的形式：
f (t ) Fn e
n
jn1t
（注意n的取值范围与 三角形傅氏级数不同）
到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究， 并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在 他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时， 成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何” 周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他 的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基 本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证明也 不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条 件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表 示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献， 然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大 程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶 级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果 比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他
周期信号傅里叶级数和频谱
变换表示式改写成三角函数的形式，即
第55页/共84页
f (t ) 1 F ( j )e jt d
2
1 F ( j ) e j[t ( )]d
2
1
2
F(
j )
cos[t
( )]d
j
1
2
频域分析将时间变量t转换成频率变量ω或f。 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性 及其频率特性之间的密切关系 从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等 重要概念。
第6页/共84页
**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
f (t)
A0 2
A1 cos(t
1)
本章主要内容:
3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱 3.2 连续非周期信号傅里叶变换与频谱 3.3 傅里叶变换的性质 3.4 LTI连续系统的频域分析 3.5 滤波器 3.6 采样器 3.7 调制器与解调器
第1页/共84页
从本章开始由时域转为变换域分析。 首先考虑傅里叶变换。
T T n
0
2
2
T
an 0
n 0,1 , 2 , 3,.......
第15页/共84页
bn
2 T
T
2 T
f (t)sinnt dt
2
2 T
2
0 T
2
(1)sinnt dt
1
0
cosnt
2 T
T
2 sinnt dt
0
T
2 1 cosnt 2
T n
T T n
第55页/共84页
f (t ) 1 F ( j )e jt d
2
1 F ( j ) e j[t ( )]d
2
1
2
F(
j )
cos[t
( )]d
j
1
2
频域分析将时间变量t转换成频率变量ω或f。 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性 及其频率特性之间的密切关系 从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等 重要概念。
第6页/共84页
**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
f (t)
A0 2
A1 cos(t
1)
本章主要内容:
3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱 3.2 连续非周期信号傅里叶变换与频谱 3.3 傅里叶变换的性质 3.4 LTI连续系统的频域分析 3.5 滤波器 3.6 采样器 3.7 调制器与解调器
第1页/共84页
从本章开始由时域转为变换域分析。 首先考虑傅里叶变换。
T T n
0
2
2
T
an 0
n 0,1 , 2 , 3,.......
第15页/共84页
bn
2 T
T
2 T
f (t)sinnt dt
2
2 T
2
0 T
2
(1)sinnt dt
1
0
cosnt
2 T
T
2 sinnt dt
0
T
2 1 cosnt 2
T n
T T n
§3.02 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
信号与系统
§3.2
周期信号的频谱分析 ——傅里叶级数 ——傅里叶级数
北京化工大学信息科学与技术学院
X
主要内容
三角形式的傅氏级数 指数形式的傅氏级数 两种傅氏级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率 重点 傅里叶级数的系数和频谱 难点 频谱图
X
一．三角形式的傅里叶级数
1.三角函数集
{cosnω1t,sinnω1t} 是一个完备的正交函数集
由积分可知
2π t在一个周期内，n=0,1,....∞ ω1 = 在一个周期内， 在一个周期内 ∞ T
∫
T , ∫ cos nω1t cos mω1t = 2 0, T T , 2 sin nω t sin mω t 1 1 = 2 ∫T 2 0,
n=∞
F(nω1) e jnω1t ∑
∞
(4)
利用复变函数的正交特性 利用复变函数的正交特性
∫0 F(nω1) = T e jnω t e jnω t dt ∫0
1 1 1
T 1
f (t ) e jnω1t dt
也可写为 Fn
1 T1 = ∫ f (t )e jnω1t dt T 0
(5)
X
说明
f (t ) =
an = bn = 0
4 T1 2 an = ∫ f (t )cos nω1tdt T1 0 4 T1 2 bn = ∫ f (t )sinnω1tdt T1 0
X
六．周期信号的功率
周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和 周期信号的平均功率 各正交分量的平均功率之和
这是帕斯瓦尔定理在付里叶级数情况下的具体体现; 这是帕斯瓦尔定理在付里叶级数情况下的具体体现; 帕斯瓦尔定理在付里叶级数情况下的具体体现 表明： 表明： 周期信号平均功率=直流、 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分 量有效值的平方和 也就是说，时域和频域的能量是守恒的 也就是说，时域和频域的能量是守恒的.
§3.2
周期信号的频谱分析 ——傅里叶级数 ——傅里叶级数
北京化工大学信息科学与技术学院
X
主要内容
三角形式的傅氏级数 指数形式的傅氏级数 两种傅氏级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率 重点 傅里叶级数的系数和频谱 难点 频谱图
X
一．三角形式的傅里叶级数
1.三角函数集
{cosnω1t,sinnω1t} 是一个完备的正交函数集
由积分可知
2π t在一个周期内，n=0,1,....∞ ω1 = 在一个周期内， 在一个周期内 ∞ T
∫
T , ∫ cos nω1t cos mω1t = 2 0, T T , 2 sin nω t sin mω t 1 1 = 2 ∫T 2 0,
n=∞
F(nω1) e jnω1t ∑
∞
(4)
利用复变函数的正交特性 利用复变函数的正交特性
∫0 F(nω1) = T e jnω t e jnω t dt ∫0
1 1 1
T 1
f (t ) e jnω1t dt
也可写为 Fn
1 T1 = ∫ f (t )e jnω1t dt T 0
(5)
X
说明
f (t ) =
an = bn = 0
4 T1 2 an = ∫ f (t )cos nω1tdt T1 0 4 T1 2 bn = ∫ f (t )sinnω1tdt T1 0
X
六．周期信号的功率
周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和 周期信号的平均功率 各正交分量的平均功率之和
这是帕斯瓦尔定理在付里叶级数情况下的具体体现; 这是帕斯瓦尔定理在付里叶级数情况下的具体体现; 帕斯瓦尔定理在付里叶级数情况下的具体体现 表明： 表明： 周期信号平均功率=直流、 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分 量有效值的平方和 也就是说，时域和频域的能量是守恒的 也就是说，时域和频域的能量是守恒的.
第三章周期信号的傅里叶级数表
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T1 成正比，与周期 T0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2T1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k 1, kω0T1
k
k
ak
1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak
1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：
x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
46
47
48
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
49
50
三 、吉伯斯（Gibbs）现象 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数
是如何收敛于 的x。t 特别当 具有xt间
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 e j n1t
8 8 页 页
n 0,1,2
2．级数形式
f (t )
3．系数 利用复变函数的正交特性 T j n t f ( t ) e dt F ( n 1 ) 0T j n t j n t e e dt
第 第
14 14 页 页
π π 2 j n 1 t 2 j 1 t 2 j1t 1 4 4 e e j1t e e 2 整理 2 π 1 j1t 1 j1t 1 j 4 j 21t 1 jπ 4 j 2 1 t f (t ) 1 1 e 1 e e e e e 2 j 2 j 2 2 2 F ( n 1 ) e j n 1 t
1 1 1 1 1
n
j n 1 t F ( n ) e 1
4
0
也可写为 Fn
1 T1
T1
f (t )e
0
-
f (t )
n
第 第 9 9 页 页
F (n ) e
1
j n 1 t
4
1 F ( n1 ) f (t )e-jn1t dt (5) T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n1t 的线性组合。 如给出F ( n 1 )，则f t 惟一确定， (4)、 (5)式是一对
2 1
0.25 π
X
第 第
四．总结
）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （ 1）
（ 2） ）两种频谱图的关系 （ 3） ）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （ 4） ）引入负频率
周期函数的傅里叶级数及频谱分析共22页文档
关系。 相位谱：相位随角频率变化关系。
已知周期矩形脉冲f（t），设幅度A=1，宽 度为i，重复周期为T，将其展开为复指数形 式傅里叶级数，研究周期矩形脉冲的宽度i 和周期T变化时，对其频谱的影响。
（i=1/T=10;i=1/T=5;i=2/T=10）
n=-30:30;tao=2;T=10; x=n*tao/T;fn=tao*sinc(x); w1=2*pi/T; stem(n*w1,fn);grid on %离散序列图
ห้องสมุดไป่ตู้
结论：脉冲宽度越大，信号的频谱带宽度 越小。
周期越小，谱线之间间隔越大。
傅里叶变化的matlab求解
傅里叶变换及逆变换函数： fourier( )及ifourier( )
练习
设矩形信号：f(t) u (t 1 /2 ) u (t 1 /2 )
用matlab绘制出该信号及频谱图。当该信号 时域波形扩展为原来2倍，或压缩为原来1/2 时，分别绘出f(t/2)/f(2t)的频谱图，加以比 较。
尺度变换
谢谢！
22
结论：随着傅里叶级数项数增加，部分和与 周期方波信号的误差就越小，但在信号的 跳变点附近，却总是存在过冲现象，这就 是Gibbs（吉布斯）现象。
周期信号的频谱分析
信号的频谱提供了从另外一个角度观察和 分析信号的途径。
信号的频谱包括：幅度谱和相位谱。 幅度谱：傅里叶系数的幅度随角频率变化
连续时间LYI系统的 频谱特性及频域分析
实验目的
学会应用matlab求连续时间信号的傅里叶变 换
学会应用matlab求连续时间信号的频谱图 学会应用matlab分析连续时间信号的傅里叶
变换的性质
已知周期矩形脉冲f（t），设幅度A=1，宽 度为i，重复周期为T，将其展开为复指数形 式傅里叶级数，研究周期矩形脉冲的宽度i 和周期T变化时，对其频谱的影响。
（i=1/T=10;i=1/T=5;i=2/T=10）
n=-30:30;tao=2;T=10; x=n*tao/T;fn=tao*sinc(x); w1=2*pi/T; stem(n*w1,fn);grid on %离散序列图
ห้องสมุดไป่ตู้
结论：脉冲宽度越大，信号的频谱带宽度 越小。
周期越小，谱线之间间隔越大。
傅里叶变化的matlab求解
傅里叶变换及逆变换函数： fourier( )及ifourier( )
练习
设矩形信号：f(t) u (t 1 /2 ) u (t 1 /2 )
用matlab绘制出该信号及频谱图。当该信号 时域波形扩展为原来2倍，或压缩为原来1/2 时，分别绘出f(t/2)/f(2t)的频谱图，加以比 较。
尺度变换
谢谢！
22
结论：随着傅里叶级数项数增加，部分和与 周期方波信号的误差就越小，但在信号的 跳变点附近，却总是存在过冲现象，这就 是Gibbs（吉布斯）现象。
周期信号的频谱分析
信号的频谱提供了从另外一个角度观察和 分析信号的途径。
信号的频谱包括：幅度谱和相位谱。 幅度谱：傅里叶系数的幅度随角频率变化
连续时间LYI系统的 频谱特性及频域分析
实验目的
学会应用matlab求连续时间信号的傅里叶变 换
学会应用matlab求连续时间信号的频谱图 学会应用matlab分析连续时间信号的傅里叶
变换的性质
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
n=1
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2
302周期信号的频谱分析——傅里叶级数53094 共23页
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
a0
1 T
t0T f (t)d t
t0
余弦分量的幅度
an
2 T
t0 T
t0
f (t)cos
n1t
dt
正弦分量的幅度
2 bn T
t0 T
t0
f (t)sin n1t
dt
X
55
其他形式
第第 页页
余弦形式 f (t) c0 cn cosn1t n
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
X
2222
七．傅里叶有限级数与最小方均误差 第第 页页
f t a0 an cosn1t bn sinn1t n1
取前(2N 1)项来逼近f (t)
f (t)sinn1t d t
1 2
an
jbn
F
(n1
)
1 T
T 0
f (t)cosn1t d t
j1 T
T 0
f (t)sinn1t d t
1 2
an
j bn
F (n1 ), F (n1 )是复数
F n1 F (n1 ) ejn
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京联合大学信息学院 2013.1
22
主要内容
第第
页页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
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T 2 T 2 T 2 T 2
cos n1t sin m1t 0
mn mn
mn mn
X
第 第
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
变换对。
T1
X
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 F ( n 1 ) T
第 第
10 10 页 页
T
0
f ( t )e j n1t d t
利用欧拉公式
1 T 1 T f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an jbn an Fn Fn 2 1 T 1 T F ( n 1 ) f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an j bn 2
X
第 第
谱线
F0 F (0) 1 F1 F ( 1 ) 1.12 F1 F ( 1 ) 1.12 F2 F ( 21 ) 0.5 F 2 F ( 21 ) 0.5
15 15 页 页
0 0
1 0.15 π
1 0.15 π
傅里叶级数中无余弦分 量，F (n1 )为虚函数。
X
第 第
3．奇谐函数
若波形沿时间轴平移半个周 f (t ) 期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化： O T T T f (t ) f t 2 2 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即 a0 0 n 2,4,6时 an bn 0 T 4 2 n 1,3,5时 an f ( t ) cosn 1t d t T 0 4 T bn 2 f ( t ) sinn 1t d t T 0
T1 2
f t
A/2
O
T1 2
t
A t cosn 1t d t 0 T
2 A A bn t sinn 1t d t ( 1)n1 T T nπ 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 A A f t 0 sin 1t sin 2 1t π 2π
18 18 页 页
= c0 cn cos(n 1 t n )
n 1
n 1
指数形式
f (t )
n
F ( n )
1
e
j n 1 t
X
第 第
(2)两种频谱图的关系
● 三角函数形式： cn ~ ， n ~
19 19 页 页
单边频谱 双边频谱
F0 c0 a0
an bn F ( n 1 ) 关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
11 11 页 页
n 1
X
第 第
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
O 1
3 1
12 12 页 页
cn
c1
离散谱，谱线
c0 c3
相位频谱
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京邮电大学电子工程学院 2008.10
主要内容
第 第 2 2 页 页
X
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集 cosn1t , sinn1t
由积分可知 是一个完备的正交函数集集
第 第 3 3 页 页
t在一个周期内，n=0,1,...
T , cosn1t cosm1t 2 0, T T , 2 T2 sinn1t sinm1t 2 0,
X
第 第
例3-2-1
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
1 a0 T
2 an T
A f (t ) t T1
T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1
5 5 页 页
A tdt 0 T
T1 T1 t 2 2
直流 基波 谐波
2π 1 T1
n 1,2,3
X
第 第
其他形式
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
6 6 页 页
2
c0 a0 an cn cos n
正弦形式
cn a b
2 n
2 n
bn cn sin n
n 1
4 4 页 页
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 1 t T 直流分量 a0 f (t ) d t
0
T t0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
1 1 1 1 1
n
j n 1 t F ( n ) e 1
4
0
也可写为 Fn
1 T1
T1
f (t )e
0
-jn1t
dt
(5)
X
说明
f (t )
n
第 第 9 9 页 页
F (n ) e
1
j n 1 t
4
1 F ( n1 ) f (t )e-jn1t dt (5) T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n1t 的线性组合。 如给出F ( n 1 )，则f t 惟一确定， (4)、 (5)式是一对
21 21 页 页
注：指交流分量
X
第 第
1．偶函数
信号波形相对于纵轴是对称的 f (t ) f ( t )
f (t )
22 22 页 页
E
bn 0
4 an T
T
O
T 2 0
T
t
f ( t ) cosn 1t d t 0
1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an n 0 2 2 傅里叶级数中不含正弦 项，只含直流项和余弦 项。
bn j( Fn Fn )
F n1 F (n1 ) e j n
X
F (n1 ), F ( n1 )是复数
第 第
幅频特性和相频特性
1 2 1 2 a n bn c n 幅频特性 F ( n 1 ) 2 2
bn 相频特性 n arctan a n
cn c 1 c0
1
2.24
第 第
16 16 页 页
0.25 π
c2
1
O
1
2 1
1
O
指数形式的频谱图
F n 1
2 1
0.15 π
n
0.5
2 1
0.5
1.12
1
1.12
0.15 π
2 1
1
0.25 π
1
O
0.15 π
2 1 1
O
1
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 e j n1t
8 8 页 页
n 0,1,2
2．级数形式
f (t )
3．系数 利用复变函数的正交特性 T j n t f ( t ) e dt F ( n 1 ) 0T j n t j n t e e dt
X
第 第
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
7 7 页 页
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性(谐波性)、收敛性、惟一性。
X
第 第
cn c 1 c0
1
2.24
c0 1
0.25π
0 0
n
c2
c1 5 2.236 1 0.15 π
1
O
1
2 1
1
O
c2 1
2 1
2 0.25 π
X X
0.15π
化为指数形式
1 j1t f (t ) 1 e e j1t 2j
n
n ~ 曲线
O
1
3 1
X
例3-2-2
π 已知f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos 2 1t ， 4 请画出其幅度谱和相位谱。
第 第 13 13 13 页 页
化为余弦形式 π f ( t ) 1 5 cos( 1t 0.15π ) cos 2 1t 4 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 三角函数形式的频谱图
n 2
指数形式的傅里叶级数的系数
1 j0.15π 1 1 . 12 e F (0) 1 F 1 2 j 1 j0.15π F 1 1 1 . 12 e 2 j
1 jπ F 2 1 e 4 2 1 jπ F 2 1 e 4 2
2 1
0.25 π
X
第 第
四．总结
）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （ 1）
（ 2） ）两种频谱图的关系 （ 3） ）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （ 4） ）引入负频率