§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
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变换对。
T1
X
三.两种系数之间的关系及频谱图
1 F ( n 1 ) T
第 第
10 10 页 页
T
0
f ( t )e j n1t d t
利用欧拉公式
1 T 1 T f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an jbn an Fn Fn 2 1 T 1 T F ( n 1 ) f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an j bn 2
X
第 第
谱线
F0 F (0) 1 F1 F ( 1 ) 1.12 F1 F ( 1 ) 1.12 F2 F ( 21 ) 0.5 F 2 F ( 21 ) 0.5
15 15 页 页
0 0
1 0.15 π
1 0.15 π
指数函数形式: Fn ~ , n ~
关系
1 F ( n 1 ) cn n 0 2
● 指数形式的幅度频谱为 偶函数
F ( n 1 ) F ( n 1 )
●
相位频谱为奇函数
( n 1 ) ( n 1 )
X
第 第
(3)三个性质
收敛性: n , F n 1 谐波性: (离散性),频率只出 现在n 1处 惟一性: f ( t )的谱线唯一
1 1 1 1 1
n
j n 1 t F ( n ) e 1
4
0
也可写为 Fn
1 T1
T1
f (t )e
0
-jn1t
dt
(5)
X
说明
f (t )
n
第 第 9 9 页 页
F (n ) e
1
j n 1 t
4
1 F ( n1 ) f (t )e-jn1t dt (5) T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n1t 的线性组合。 如给出F ( n 1 ),则f t 惟一确定, (4)、 (5)式是一对
n 1
4 4 页 页
1
称为三角形式的傅里叶级数,其系数 1 t T 直流分量 a0 f (t ) d t
0
T t0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
cn c 1 c0
1
2.24
c0 1
0.25π
0 0
n
c2
c1 5 2.236 1 0.15 π
1
O
1
2 1
1
O
c2 1
2 1
2 0.25 π
X X
0.15π
化为指数形式
1 j1t f (t ) 1 e e j1t 2j
F ( n 1 )为实函数。
X
第 第
2.奇函数
波形相对于纵坐标是反 对称的:f (t ) f (t ) 1 T f (t ) 2 a0 T f ( t ) d t = 0 1 T 2
T
O
23 23 页 页
t
T 2 T 1 a n 2T f ( t ) cosn 1t d t 0 T 2 T 2 T 4 bn f ( t ) sinn 1t d t 2 f ( t ) sinn 1t d t 0 T 0 T 0 1 1 Fn F ( n 1 ) an jbn jbn 2 2
2 1
0.25 π
X
第 第
四.总结
)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 ( 1)
( 2) )两种频谱图的关系 ( 3) )周期信号的频谱是离散谱,三个性质 ( 4) )引入负频率
17 17 页 页
X
第 第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
20 20 页 页
注意:
(4)引入负频率
对于双边频谱,负频率 ( n 1 ) ,只有数学意义,而无 物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数,分解成虚指 数,必须有共轭对 e j n1 和e-j n1,才能保证f ( t )的实函数的性质不变。
X
第 第
五.函数的对称性与傅里叶级数的关系
第 第
14 14 页 页
π π 2 j n 1 t 2 j 1 t 2 j1t 1 4 4 e e j1t e e 2 整理 2 π 1 j1t 1 j1t 1 j 4 j 21t 1 jπ 4 j 2 1 t f (t ) 1 1 e 1 e e e e e 2 j 2 j 2 2 2 F ( n 1 ) e j n 1 t
21 21 页 页
注:指交流分量
X
第 第
1.偶函数
信号波形相对于纵轴是对称的 f (t ) f ( t )
f (t )
22 22 页 页
E
bn 0
4 an T
T
O
T 2 0
T
t
f ( t ) cosn 1t d t 0
1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an n 0 2 2 傅里叶级数中不含正弦 项,只含直流项和余弦 项。
T1 2
f t
A/2
O
T1 2
t
A t cosn 1t d t 0 T
2 A A bn t sinn 1t d t ( 1)n1 T T nπ 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 A A f t 0 sin 1t sin 2 1t π 2π
X
第 第
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ,基波( 1 )和各次谐波 (n 1 : 基波角频率的整数倍) 的线性组合。
7 7 页 页
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图;
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性(谐波性)、收敛性、惟一性。
X
第 第
直流 基波 谐波
2π 1 T1
n 1,2,3
X
第 第
其他形式
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6 6 页 页
2
c0 a0 an cn cos n
正弦形式
cn a b
2 n
2 n
bn cn sin n
T 2 T 2 T 2 T 2
cos n1t sin m1t 0
mn mn
mn mn
X
第 第
2.级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时,可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
n 2
指数形式的傅里叶级数的系数
1 j0.15π 1 1 . 12 e F (0) 1 F 1 2 j 1 j0.15π F 1 1 1 . 12 e 2 j
1 jπ F 2 1 e 4 2 1 jπ F 2 1 e 4 2
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京邮电大学电子工程学院 2008.10
主要内容
第 第 2 2 页 页
X
一.三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集 cosn1t , sinn1t
由积分可知 是一个完备的正交函数集集
第 第 3 3 页 页
t在一个周期内,n=0,1,...
T , cosn1t cosm1t 2 0, T T , 2 T2 sinn1t sinm1t 2 0,
二.指数函数形式的傅里叶级数
1.复指数正交函数集 e j n1t
8 8 页 页
n 0,1,2
2.级数形式
f (t )
3.系数 利用复变函数的正交特性 T j n t f ( t ) e dt F ( n 1 ) 0T j n t j n t e e dt
cn c 1 c0
1
2.24
第 第
16 16 页 页
n
0.25 π
c2
1
O
1
2 1
1
O
指数形式的频谱图
F n 1
2 1
0.15 π
n
0.5
2 1
0.5
1.12
1
1.12
0.15 π
2 1
1
0.25 π
1
O
0.15 π
2 1 1
O
1
傅里叶级数中无余弦分 量,F (n1 )为虚函数。
X
第 第
3.奇谐函数
若波形沿时间轴平移半个周 f (t ) 期并相对于该轴上下反转, 此时波形并不发生变化: O T T T f (t ) f t 2 2 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零,即 a0 0 n 2,4,6时 an bn 0 T 4 2 n 1,3,5时 an f ( t ) cosn 1t d t T 0 4 T bn 2 f ( t ) sinn 1t d t T 0
n
n ~ 曲线
O
1
3 1
X
例3-2-2
π 已知f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos 2 1t , 4 请画出其幅度谱和相位谱。
第 第 13 13 13 页 页
化为余弦形式 π f ( t ) 1 5 cos( 1t 0.15π ) cos 2 1t 4 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 三角函数形式的频谱图
n 1
bn n arctan a n
f ( t ) d 0 d n sinn 1 t n
d 0 a0 an d n sin n
dn
2 an
2 bn
bn d n cos n
an n arctan b n
18 18 页 页
= c0 cn cos(n 1 t n )
n 1
n 1
指数形式
f (t )
n
F ( n )
1
e
j n 1 t
X
第 第
(2)两种频谱图的关系
● 三角函数形式: cn ~ , n ~
19 19 页 页
单边频谱 双边频谱
F0 c0 a0
an bn F ( n 1 ) 关于的偶函数(实际 n 取正值) 关于的奇函数(实际 n 取正值) 关于的偶函数 关于 的奇函数
11 11 页 页
n 1
X
第 第
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
O 1
3 1
12 12 页 页
cn
c1
离散谱,谱线
c0 c3
相位频谱
X
第 第
例3-2-1
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
1 a0 T
2 an T
A f (t ) t T1
T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1
5 5 页 页
A tdt 0 T
T1 T1 t 2 2
2 0.25 π
2 0.25 π
n
指数形式的频谱图
F n 1
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 π
2 1
1
0.25 π
1
O
0.15 π
2 1 1
O
1
2 1
0.25 π
X
三角形式与指数形式的频谱图对比
三角函数形式的频谱图
bn j( Fn Fn )
F n1 F (n1 ) e j n
X
F (n1 ), F ( n1 )是复数
第 第
幅频特性和相频特性
1 2 1 2 a n bn c n 幅频特性 F ( n 1 ) 2 2
bn 相频特性 n arctan a n
T1
X
三.两种系数之间的关系及频谱图
1 F ( n 1 ) T
第 第
10 10 页 页
T
0
f ( t )e j n1t d t
利用欧拉公式
1 T 1 T f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an jbn an Fn Fn 2 1 T 1 T F ( n 1 ) f ( t ) cosn 1t d t j f ( t ) sinn 1t d t T 0 T 0 1 an j bn 2
X
第 第
谱线
F0 F (0) 1 F1 F ( 1 ) 1.12 F1 F ( 1 ) 1.12 F2 F ( 21 ) 0.5 F 2 F ( 21 ) 0.5
15 15 页 页
0 0
1 0.15 π
1 0.15 π
指数函数形式: Fn ~ , n ~
关系
1 F ( n 1 ) cn n 0 2
● 指数形式的幅度频谱为 偶函数
F ( n 1 ) F ( n 1 )
●
相位频谱为奇函数
( n 1 ) ( n 1 )
X
第 第
(3)三个性质
收敛性: n , F n 1 谐波性: (离散性),频率只出 现在n 1处 惟一性: f ( t )的谱线唯一
1 1 1 1 1
n
j n 1 t F ( n ) e 1
4
0
也可写为 Fn
1 T1
T1
f (t )e
0
-jn1t
dt
(5)
X
说明
f (t )
n
第 第 9 9 页 页
F (n ) e
1
j n 1 t
4
1 F ( n1 ) f (t )e-jn1t dt (5) T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n1t 的线性组合。 如给出F ( n 1 ),则f t 惟一确定, (4)、 (5)式是一对
n 1
4 4 页 页
1
称为三角形式的傅里叶级数,其系数 1 t T 直流分量 a0 f (t ) d t
0
T t0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
cn c 1 c0
1
2.24
c0 1
0.25π
0 0
n
c2
c1 5 2.236 1 0.15 π
1
O
1
2 1
1
O
c2 1
2 1
2 0.25 π
X X
0.15π
化为指数形式
1 j1t f (t ) 1 e e j1t 2j
F ( n 1 )为实函数。
X
第 第
2.奇函数
波形相对于纵坐标是反 对称的:f (t ) f (t ) 1 T f (t ) 2 a0 T f ( t ) d t = 0 1 T 2
T
O
23 23 页 页
t
T 2 T 1 a n 2T f ( t ) cosn 1t d t 0 T 2 T 2 T 4 bn f ( t ) sinn 1t d t 2 f ( t ) sinn 1t d t 0 T 0 T 0 1 1 Fn F ( n 1 ) an jbn jbn 2 2
2 1
0.25 π
X
第 第
四.总结
)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 ( 1)
( 2) )两种频谱图的关系 ( 3) )周期信号的频谱是离散谱,三个性质 ( 4) )引入负频率
17 17 页 页
X
第 第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
20 20 页 页
注意:
(4)引入负频率
对于双边频谱,负频率 ( n 1 ) ,只有数学意义,而无 物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数,分解成虚指 数,必须有共轭对 e j n1 和e-j n1,才能保证f ( t )的实函数的性质不变。
X
第 第
五.函数的对称性与傅里叶级数的关系
第 第
14 14 页 页
π π 2 j n 1 t 2 j 1 t 2 j1t 1 4 4 e e j1t e e 2 整理 2 π 1 j1t 1 j1t 1 j 4 j 21t 1 jπ 4 j 2 1 t f (t ) 1 1 e 1 e e e e e 2 j 2 j 2 2 2 F ( n 1 ) e j n 1 t
21 21 页 页
注:指交流分量
X
第 第
1.偶函数
信号波形相对于纵轴是对称的 f (t ) f ( t )
f (t )
22 22 页 页
E
bn 0
4 an T
T
O
T 2 0
T
t
f ( t ) cosn 1t d t 0
1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an n 0 2 2 傅里叶级数中不含正弦 项,只含直流项和余弦 项。
T1 2
f t
A/2
O
T1 2
t
A t cosn 1t d t 0 T
2 A A bn t sinn 1t d t ( 1)n1 T T nπ 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 A A f t 0 sin 1t sin 2 1t π 2π
X
第 第
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ,基波( 1 )和各次谐波 (n 1 : 基波角频率的整数倍) 的线性组合。
7 7 页 页
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图;
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性(谐波性)、收敛性、惟一性。
X
第 第
直流 基波 谐波
2π 1 T1
n 1,2,3
X
第 第
其他形式
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6 6 页 页
2
c0 a0 an cn cos n
正弦形式
cn a b
2 n
2 n
bn cn sin n
T 2 T 2 T 2 T 2
cos n1t sin m1t 0
mn mn
mn mn
X
第 第
2.级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时,可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
n 2
指数形式的傅里叶级数的系数
1 j0.15π 1 1 . 12 e F (0) 1 F 1 2 j 1 j0.15π F 1 1 1 . 12 e 2 j
1 jπ F 2 1 e 4 2 1 jπ F 2 1 e 4 2
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京邮电大学电子工程学院 2008.10
主要内容
第 第 2 2 页 页
X
一.三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集 cosn1t , sinn1t
由积分可知 是一个完备的正交函数集集
第 第 3 3 页 页
t在一个周期内,n=0,1,...
T , cosn1t cosm1t 2 0, T T , 2 T2 sinn1t sinm1t 2 0,
二.指数函数形式的傅里叶级数
1.复指数正交函数集 e j n1t
8 8 页 页
n 0,1,2
2.级数形式
f (t )
3.系数 利用复变函数的正交特性 T j n t f ( t ) e dt F ( n 1 ) 0T j n t j n t e e dt
cn c 1 c0
1
2.24
第 第
16 16 页 页
n
0.25 π
c2
1
O
1
2 1
1
O
指数形式的频谱图
F n 1
2 1
0.15 π
n
0.5
2 1
0.5
1.12
1
1.12
0.15 π
2 1
1
0.25 π
1
O
0.15 π
2 1 1
O
1
傅里叶级数中无余弦分 量,F (n1 )为虚函数。
X
第 第
3.奇谐函数
若波形沿时间轴平移半个周 f (t ) 期并相对于该轴上下反转, 此时波形并不发生变化: O T T T f (t ) f t 2 2 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零,即 a0 0 n 2,4,6时 an bn 0 T 4 2 n 1,3,5时 an f ( t ) cosn 1t d t T 0 4 T bn 2 f ( t ) sinn 1t d t T 0
n
n ~ 曲线
O
1
3 1
X
例3-2-2
π 已知f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos 2 1t , 4 请画出其幅度谱和相位谱。
第 第 13 13 13 页 页
化为余弦形式 π f ( t ) 1 5 cos( 1t 0.15π ) cos 2 1t 4 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 三角函数形式的频谱图
n 1
bn n arctan a n
f ( t ) d 0 d n sinn 1 t n
d 0 a0 an d n sin n
dn
2 an
2 bn
bn d n cos n
an n arctan b n
18 18 页 页
= c0 cn cos(n 1 t n )
n 1
n 1
指数形式
f (t )
n
F ( n )
1
e
j n 1 t
X
第 第
(2)两种频谱图的关系
● 三角函数形式: cn ~ , n ~
19 19 页 页
单边频谱 双边频谱
F0 c0 a0
an bn F ( n 1 ) 关于的偶函数(实际 n 取正值) 关于的奇函数(实际 n 取正值) 关于的偶函数 关于 的奇函数
11 11 页 页
n 1
X
第 第
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
O 1
3 1
12 12 页 页
cn
c1
离散谱,谱线
c0 c3
相位频谱
X
第 第
例3-2-1
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
1 a0 T
2 an T
A f (t ) t T1
T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1 T1 2 T 1 1 2 1
5 5 页 页
A tdt 0 T
T1 T1 t 2 2
2 0.25 π
2 0.25 π
n
指数形式的频谱图
F n 1
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 π
2 1
1
0.25 π
1
O
0.15 π
2 1 1
O
1
2 1
0.25 π
X
三角形式与指数形式的频谱图对比
三角函数形式的频谱图
bn j( Fn Fn )
F n1 F (n1 ) e j n
X
F (n1 ), F ( n1 )是复数
第 第
幅频特性和相频特性
1 2 1 2 a n bn c n 幅频特性 F ( n 1 ) 2 2
bn 相频特性 n arctan a n