应用数学课后习题
北师大小学三年级下册数学应用题课后专项习题
北师大小学三年级下册数学应用题课后专项习题班级：________ 姓名：________ 时间：________1. 甲地到乙地的路程是530千米，一辆运菜的货车平均每小时行驶90千米，这辆货车早晨6小时从甲地出发，中午12时能到达乙地吗？2. 王老师每天从家步行8分钟到学校，他每分钟大约走100米。
王老师的家距学校大约有多远?3. 一列火车早上7：00从甲地出发，15：00到达乙地，这列火车共行驶了多长时间？4. 每筒羽毛球12个，一共有18筒羽毛球，每筒28元。
（1）这些羽毛球一共多少个？（2）买这些羽毛球一共要多少元？5. 小芳和小军住在同一条街上，小芳和小军放学后从学校同时回家，小芳每分钟行60米。
小军每分钟行70米，5分钟后同时到家。
小芳和小军两家相距多少米？6. 3名工匠计划用8时制作工艺品144个，为了提前2时完成这些工艺品，需要增加几名工作效率相同的工匠？7. 同学们去旅游，共有350千米的路程。
他们早上8时出发，汽车平均每小时行70千米，下午1时能到达吗？8. 学校开展了丰富多彩的社团活动，其中美术社团有35人，音乐社团的人数比美术社团多25人，体育社团的人数是美术社团的3倍。
（1）美术社团和音乐社团一共有多少人？（2）体育社团比美术社团多多少人？9. 商场举行促销活动，满100元减10元，满200元减30元。
王阿姨带了350元，买哪些东西可以使得购买的东西价值最高？（每样东西至多买一个）10. 三年级同学去公园划船。
男生有53人，女生有49人。
每6人划一只船，一共要多少只船？11. 工程队修一段全长为1000米的公路，3天修了630米，照这样下去，5天能修完吗？12. 一件衣服的进价是34元，售价是48元。
假设商场运来这样的衣服51件，那么全部卖出可以盈利多少元?13. 一辆汽车从甲地到乙地，2个小时行驶160千米，照此速度，到达乙地共用了9个小时，甲乙两地相距多少千米？14. 姐姐和妹妹各买了一些作业本。
空间向量的应用 高中数学例题课后习题详解
第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系例1如图1.4-7在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12CC =，M 是AB的中点．以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．图1.4-7（1）求平面11BCC B 当的法向量；（2）求平面1MCA 的法向量．分析：（1）平面11BCC B 与y 轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面1MCA 可以看成由MC ，1MA，1CA 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．解：（1）因为y 轴垂直于平面11BCC B ，所以1(0,1,0)n=是平面11BCC B 的一个法向量．（2）因为4AB =，3BC =，12CC =，M 是AB 的中点，所以M ，C ，1A 的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2)．因此(3,2,0)MC =-，1(0,2,2)MA =- ．设2(,,)n x y z =是平面1MCA 的法向量，则2n MC ⊥ ，21n MA ⊥ ．所以221320,220.n MC x y n MA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩所以2,3.x z y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取3z =，则2x =，3y =．于是2(2,3,3)n =是平面1MCA 的一个法向量．练习1．空间中点、直线和平面的向量表示1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（）（2）若v 是直线l 的方向向量，则()v λλ∈R 也是直线l 的方向向量；（）（3）在空间直角坐标系中，()0,0,1j =是坐标平面Oxy 的一个法向量．（）【答案】①.√②.×③.√【解析】【分析】根据零向量的方向不确定可判断（1），由0λ=可判断（2），由j ⊥ 平面Oxy 可判断（3）.【详解】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确；（2）当0λ=时，0v λ=，所以()v λλ∈R 不一定是直线l 的方向向量，不正确；（3）在空间直角坐标系中，()0,0,1j = ，j ⊥平面Oxy ，所以()0,0,1j = 是坐标平面Oxy 的一个法向量，正确．2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c =，O 是1BD 与1B D的交点．以{},,a b c为空间的一个基底，求直线OA 的一个方向向量．【答案】111222a b c---【解析】【分析】依题意就是用{},,a b c表示OA ，根据空间向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：因为AB a = ，AD b = ，1AA c =，如图112OA OB BA D B BA=+=+()11112D A A A AB BA =+++因为11D A AD b =-=- ，11A A AA c =-=- ，所以()11112222OA b c a a a b c=--+-=--- 所以直线OA 的一个方向向量为111222a b c---3.在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12CC =．以D 为原点，以1111,,342DA DC DD ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz ，求平面1ACD 的一个法向量．【答案】()4,3,6（答案不唯一）【解析】【分析】求得1,AC AD 坐标，设出法向量，根据100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即可求解.【详解】由题可得()()()10,4,0,3,0,0,0,0,2C A D ，则()()13,4,0,3,0,2AC AD =-=-，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则1340320m AC x y m AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得3,6y z ==，则平面1ACD 的一个法向量为()4,3,6.2．空间中直线、平面的平行例2证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：如图1.4-11，a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α．求证：//αβ．分析：设平面α的法向量为n，直线a ，b 的方向向量分别为u r，v，则由已知条件可得0n u n v ⋅=⋅=，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量．证明：如图1.4-11，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u r ，v．因为//a α，//b α，所以0n u ⋅= ，0n v ⋅=．因为a β⊂，b β⊂，a b P = ，所以对任意点Q β∈，存在x ，y R ∈，使得PQ xu yv =+．从而()0n PQ n xu yv xn u yn v ⋅=⋅+=⋅+⋅=．所以，向量n也是平面β的法向量．故//αβ．倒3如图1.4-12，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12CC =．线段1B C上是否存在点P ，使得1//A P 平面1ACD ？图1.4-12分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量1B C ，1A P，以及平面1 ACD 的法向量n等都可以用坐标表示，如果点P 存在，那么就有10n A P ⋅=，由此通过向量的坐标运算可得结果．解：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A ，C ，1D 的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)，所以(3,4,0)AC =-，1(3,0,2)AD =- ．设(,,)n x y z = 是平面1ACD 的法向量，则0n AC ⋅=uuu rr ，10n AD ⋅= ，即340,320.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩所以2,31.2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取6z =，则4x =，3y =．所以，(4,3,6)n =是平面1ACD 的一个法向量．由1A ，C ，1B 的坐标分别为(3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)，得11(0,4,0)A B =，1(3,0,2)B C =-- ．设点P 满足11(01)B P B C λλ= ，则1(3,0,2)B P λλ=--，所以1111(3,4,2)A P A B B P λλ=+=--．令10n A P ⋅=，得1212120λλ-+-=，解得12λ=，这样的点P 存在．所以，当1112B P BC =，即P 为1B C 的中点时，1//A P 平面1ACD ．练习4.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．【答案】证明见解析【解析】【分析】先写出已知求证，再利用向量的数量积运算以及线面平行的定义即可证出．【详解】已知：直线,a b ，平面α，,a b αα⊄⊂，//a b ．求证：//a α．证明：设直线,a b 的方向向量分别为,u v ，平面α的一个法向量为n，因为//a b ，所以u v λ= ，由于n v ⊥ ，所以0n v ⋅= ，即有0n u n v λ⋅=⋅= ，亦即n u ⊥．因为a α⊄，所以//a α．5.如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点．直线AD 上是否存在点F ，使得//AE CF？【答案】不存在，证明见解析.【解析】【分析】把向量A E和CF 都用同一组基底来表示，然后根据向量平行的条件来证明不存在.【详解】假设直线AD 上存在点F 使//AE CF ，设()01AF AD λλ=≤≤，,,AB a AC b AD c ===，因为E 是BC 的中点，所以11112222AE AB AC a b =+=+ ，CF AF AC AD AC c b λλ=-=-=- ，若//AE CF ，则AE mCF = ，即()1122a b m c b λ+=- ，所以1122a b m c mb λ+=- ，即11022a m b m c λ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以1021020m m λ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，此时显然不成立，所以不存在点F ，使得//AE CF .6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1AB ，面11A C 的中心．求证：//EF 平面1ACD．【答案】证明见解析【解析】【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，求出平面1ACD 的一个法向量，利用向量关系即可证明.【详解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,2,2,1,1,1,1,2A C D E F ，则()()()12,2,0,2,0,2,1,0,1AC AD EF =-=-=-，设平面1ACD 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则可得()1,1,1n = ，0EF n ⋅= ，EF n ∴⊥，EF ⊄平面1ACD ，∴//EF 平面1ACD .3．空间中直线、平面的垂直例4如图1.4-14，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，11A AB A AD BAD ∠=∠=∠60=︒，求证：直线1A C ⊥平面11BDD B ．图1.4-14分析：根据条件，可以{AB ，AD ，1AA}为基底，并用基向量表示1AC 和平面11BDD B ，再通过向量运算证明1AC是平面11BDD B 的法向量即可．证明：设AB a = ，AD b = ，1AA c = ，则{a ，b ，c}为空间的一个基底，且1A C a b c =+- ，BD b a =- ，1BB c =．因为11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以2221a b c === ，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=r r r r r r ．在平面11BDD B 上，取BD ，1BB为基向量，则对于平面11BDD B 上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(,)λμ，使得1BP BD BB λμ=+ ．所以，1111A C BP A C BD A C BB λμ⋅=⋅+⋅ ()()()0a b c b a a b c c λμ=+-⋅-++-⋅=．所以1AC是平面11BDD B 的法向量．所以1A C ⊥平面11BDD B ．例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图1.4-15已知：如图1.4-15，l α⊥，l β⊂，求证：αβ⊥．证明：取直线l 的方向向量u r，平面β的法向量n．因为l α⊥，所以u r是平面α的法向量．因为l β⊂，而n 是平面β的法向量，所以u n ⊥．所以αβ⊥．练习7.已知(3,,)(,)u a b a b a b =+-∈R 是直线l 的方向向量，()1,2,3n =是平面α的法向量．（1）若//l α，求a ，b 的关系式；（2）若l α⊥，求a ，b 的值．【答案】（1）530a b -+=；（2）153,.22a b ==-【解析】【分析】（1）由//l α得u n ⊥ ，所以0u n ⋅=，进而可得结果；（2）由l α⊥得//u n，所以3123a b a b+-==，进而解得,a b .【详解】（1）由//l α得u n ⊥，所以0u n ⋅=，即31()2()30a b a b ⨯++⨯+-⨯=，整理得530a b -+=；（2）由l α⊥得//u n，所以3123a b a b +-==，解得152a =，32b =-.8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以D 为原点，{}1,,DA DC DD为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：11A C BC ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】用基底表示出向量11,AC BC ，证明110AC BC ⋅=.【详解】由题意，111AC DC DA DC DA DD =-=--,111BC DC DB DD DA =-=-,所以221111110A C BC DC DD DD DA DD DA DC DA DA DD ⋅=⋅-⋅--⋅++⋅= 所以11A C BC ⊥.9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 是CD 的中点，F 是BC 的中点．求证：平面1EAD ⊥平面1EFD ．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()0,1,0E ，()1,0,0A ，()10,0,1D ，1,2,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,1,0AE =- ，()10,1,1ED =- ，1,1,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设面1EAD 的法向量为(),,n x y z = ，则1·0·0n AE n ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即00x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n = ；设面1EFD 的法向量为(),,m x y z = ，则1·0·0m EF m ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即1020x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令2x =，则1y z ==-，所以()2,1,1m =--；因为()()2111110n m =⨯+⨯-+⨯-= ，所以n m ⊥ 所以平面1EAD ⊥平面1EFD．1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题例6如图1.4-18在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点．图1.4-18（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离．分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．解：以1D 为原点，11D A ，11D C ，1D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)A ，(1,1,1)B ，(0,1,1)C ，1(0,1,0)C ，11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(0,1,0)AB = ，1(1,1,1)AC =-- ，10,,12AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,,02FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，10,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）(0,1,0)a AB == ，113(1,1,1)3AC u AC ==-- ，则21a = ，33a u ⋅= ．所以，点B 到直线1AC 的距离为2216()133a a u -⋅=-= ．（2）因为111,,02FC EC ⎛⎫==-⎪⎝⎭ ，所以1//FC EC ，所以//FC 平面1AEC ．所以点F 到平面1AEC 的距离即为直线FC 到平面1AEC 的距离．设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则10,0.n AE n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩所以,2.x z y z =⎧⎨=⎩取1z =，则1x =，2y =，所以，(1,2,1)n =是平面1AEC 的一个法向量．又因为10,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以点F 到平面1AEC的距离为||66||AF n n ⋅== ．即直线FC 到平面1AEC 的距离为66．练习10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1B C 的距离等于__________；直线DC 到平面1AB 的距离等于_________；平面1DA 到平面1CB 的距离等于__________．【答案】①.1②.1③.1【解析】【分析】根据点面距、线面距、面面距的定义及正方体的性质计算可得；【详解】解：在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面1B C ，所以AB 即为点A 到平面1B C 的距离，故点A 到平面1B C 的距离为1，因为//DC AB ，AB Ì面1B A ，DC ⊄面1B A ，所以//DC 面1B A ，所以AD 即为直线DC 到平面1AB 的距离，故直线DC 到平面1AB 的距离为1，又平面1//DA 平面1CB ，所以平面1DA 到平面1CB 的距离为1故答案为：1，1，111.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．（1）求点1A 到直线1B E 的距离；（2）求直线1FC 到直线AE 的距离；（3）求点1A 到平面1AB E 的距离；（4）求直线1FC 到平面1AB E 的距离．【答案】（1）53；（2）305；（3）23；（4）13.【解析】【分析】（1）建立坐标系，求出向量11A B 在单位向量11||B Eu B E =上的投影，结合勾股定理可得点1A 到直线1B E 的距离；（2）先证明1//,AE FC 再转化为点F 到直线AE 的距离求解；（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；（4）把直线1FC 到平面1AB E 的距离转化为1C 到平面1AB E 的距离，利用法向量进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则11111(1,0,1),(1,1,1),(0,0,(1,1,(0,1,1),(1,0,0).22A B E F C A （1）因为111111221(1,1,),(,,),(0,1,0)2333||B E B E u A B B E =---==---=，所以1123A B u ⋅=- .所以点1A 到直线1B E3==.（2）因为111(1,0,),(1,0,),22AE FC =-=- 所以1//AE FC ，即1//,AE FC 所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离.1(,0,(0,1,).552||AE u AF AE ==-=255,,410AF AF u =⋅= 所以直线1FC 到直线AE305=（3）设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =，11(0,1,1),(1,0,),2AB AE ==- 1(001)AA =,,.由10,10,2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2z =，则2,1y x =-=，即(1,2,2)n =-.设点1A 到平面1AB E 的距离为d ，则123AA n d n ⋅== ，即点1A 到平面1AB E 的距离为23.（4）因为1//,AE FC 所以1//FC 平面1AB E ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离等于1C 到平面1AB E 的距离.()111,0,0C B = ，由（3）得平面1AB E 的一个法向量为(1,2,2)n =-，所以1C 到平面1AB E 的距离为1113C B n n ⋅= ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为13.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面1A DB 与平面11D CB 的距离．【答案】33【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算平面1A DB 的法向量为(1,1,1)n =--，再由DC n d n⋅= 可得解.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，1(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(0,1,0)A B D C ，1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,0)DA DB DC ===设平面1A DB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，不妨令1x =，则1,1y z =-=-，所以(1,1,1)n =--，所以平面1A DB 与平面11D CB间的距离33DC n d n ⋅=== 例7如图1.4-19，在校长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，求直线AM 和CN夹角的余弦值．图1.4-19分析：求直线AM 和CN 夹角的余弦值，可以转化同量MA 与CN的余弦值．为此需要把向量MA ，CN 用适当的基底表示出来，进而求得向量MA ，CN夹角的余弦值．解：化为向量问题如图1.4-19，以{CA ，CB ，CD}作为基底．则12MA CA CM CA CB =-=- ，1()2CN CA CD =+．设向量CN 与MA的夹角为θ，则直线AM 和CN 夹角的余弦值等于|cos |θ．进行向量运算11()22CN MA CA CD CA CB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 211112424CA CA CB CD CA CD CB =-⋅+⋅-⋅1111128482=-+-=．又ABC 和ACD △均为等边三角形，所以3||||2MA CN ==．122cos 3||||3322CN MACN MA θ⋅==⋅ ．回到圆形问题所以直线AM 和CN 夹角的余弦值为23．例8图1.4-22，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，13AA =，90ACB ∠=︒，P 为BC 的中点，点Q ，R 分别在棱1AA ，1BB 上，12A Q AQ =，12BR RB =．求平面PQR 与平面111A B C夹角的余弦值．图1.4-22分析：因为平面PQR 与平面111A B C 的夹角可以转化为平面PQR 与平面111A B C 的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．解：化为向量问题以1C 为原点，11C A ，11C B ，1C C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面111A B C 的法向量为1n u r ，平面PQR 的法向量为2n u u r，则平面PQR 与平面111A B C 的夹角就是1n u r 与2n u u r的夹角或其补角．进行向量运算因为1C C ⊥平面111A B C ，所以平面111A B C 的一个法向量为1(0,0,1)n =．根据所建立的空间直角坐标系，可知(0,1,3)P ，(2,0,2)Q ，(0,2,1)R ．所以(2,1,1)PQ =--，(0,1,2)PR =-．设2(,,)n x y z = ，则220,0,n PQ n PR ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20,20,x y z y z --=⎧⎨-=⎩所以3,22.x z y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取2(3,4,2)n =，则121212229cos ,29n n n n n n ⋅==⋅．回到图形问题设平面PQR 与平面111A B C 的夹角为θ，则12229cos cos ,29n n θ==．即平面PQR 与平面111A B C的夹角的余弦值为29．练习13.在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA =90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A.10B.12C.15D.10【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值.【详解】如图建立空间直角坐标系，设BC =CA =CC 1=1，则A (1，0，1)，B (0，1，1)，D 111022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，F 11002⎛⎫⎪⎝⎭，，，∴1BD =11,,122⎛⎫--⎪⎝⎭，1AF =1,0,12⎛⎫⎪⎝-⎭-，∴|cos<11BD AF ，>|=1111||||||BD AF BD AF ⋅34=3010.故选：A.14.PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（）．A.12B.22 C.33D.63【答案】C【解析】【分析】过PC 上一点D 作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．能证明点O 在∠APB 的平分线上，通过解直角三角形PED 、DOP ，求出直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值．【详解】解：在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．过点O 作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，因为DO ⊥平面APB ，则DE ⊥PA ，DF ⊥PB ．△DEP ≌△DFP ，∴EP ＝FP ，∴△OEP ≌△OFP ，因为∠APC ＝∠BPC ＝60°，所以点O 在∠APB 的平分线上，即∠OPE ＝30°．设PE ＝1，∵∠OPE ＝30°∴OP 123303cos ==︒在直角△PED 中，∠DPE ＝60°，PE ＝1，则PD ＝2．在直角△DOP 中，OP 3=，PD ＝2．则cos ∠DPO 3OP PD ==．即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是33．故选：C15.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，求平面1AA B 与平面11A BC 夹角的余弦值．【答案】77【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求解平面1AA B 与平面11A BC 的法向量，利用法向量求解夹角的余弦值．【详解】因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取BC 的中点O ，则AO BC ⊥所以AO ⊥平面11BB C C .取11B C 的中点H ，所以AO ,BO ,OH 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则113),(1,0,0),3),(1,2,0)A B A C -,所以1(1,0,3),(0,2,0)AB AA =-= ,11(2,2,0),(3)BC BA =-=- .设平面1AA B 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r ，则1111130,20,n AB x n AA y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11z =得1(3,0,1)n = .同理可得平面11A BC 的一个法向量为2(3,3,1)n =- .12212127cos ,7||||27n n n n n n ⋅〈〉===⨯ 设平面1AA B 与平面11A BC 夹角为θ，易知θ为锐角，则127cos |cos ,|7n n θ=〈〉= ，即平面1AA B 与平面11A BC 夹角的余弦值为77.16.如图，ABC 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =∠=∠︒．求：（1）直线AD 与直线BC 所成角的大小；（2）直线AD 与平面BCD 所成角的大小；（3）平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．【答案】（1）90°（2）45︒（3）55【解析】【分析】（1）作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；（2）显然平面BCD 的一个法向量为()10,0,1n = ，利用空间向量法求出线面角；（3）求出平面CBD 的一个法向量为1n u r 以及平面ABD 的一个法向量为2n u u r ，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．【详解】解：设1AB =，作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，得下列坐标：()0,0,0O ，3,0,02D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（1）,0,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0BC =(),0,0,1,0022AD BC ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭，所以AD 与BC 所成角等于90°．（2）33,0,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，显然()10,0,1n = 为平面BCD的一个法向量12cos ,2AD n <>= ∴，直线AD 与平面BCD 所成角的大小45︒（3）设平面ABD 的法向量为()2,,n x y z =则1022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22·0·0n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即1302233022y z x z ⎧-=⎪⎪-=⎩，令1z =，则1x =，y =则()2n = 设平面ABD 和平面BDC 的夹角为θ，则1212||5cos 5||n n n n θ⋅===⨯ 因此平面ABD 和平面BDC例9图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为1kg ，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g 取29.8m/s ，精确到0.01N ）．图1.4-23分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．解：如图1.4-24，设水平面的单位法向量为n ，其中每一根绳子的拉力均为F ．因为,30n F 〈〉=︒ ，所以F 在n 32F n ．所以8根绳子拉力的合力 383|2F n F n == 合．又因为降落伞匀速下落，所以||||19.89.8F G ==⨯=合礼物（N ）．所以||||9.8F n =所以|| 1.41F =≈（N ）．图1.4-24例10如图1.4-25，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．图1.4-25（1）求证：//PA 面EDB ；（2）求证：PB ⊥平面EFD ；（3）求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小．分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．解：以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设1DC =．图1.4-26（1）证明：连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ．依题意得(1,0,0)A ，(0,0,1)P ，110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是它的中心，故点G 的坐标为11,,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，且(1,0,1)PA =-uu r ，11,0,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以2PA EG =，//PA EG ．而EG ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，因此//PA 平面EDB ．（2）证明：依题意得(1,1,0)B ，(1,1,1)PB =- ．又110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故110022PB DE ⋅=+-= ．所以PB DE ⊥．由已知EF PB ⊥，且EF DE E ⋂=．所以PB ⊥平面EFD ．（3）解：已知PB EF ⊥，由（2）可知PB DF ⊥，故EFD ∠是平面CPB 与平面PBD 的夹角．设点F 的坐标为(,,)x y z ，则(,,1)PF x y z =- 因为PF k PB =，所以(,,1)(1,1,1)(,,)x y z k k k k -=-=-，即x k =，y k =，1z k =-．设0PB DF ⋅= ，则(1,1,1)(,,1)1310k k k k k k k -⋅-=+-+=-=．所以13k =，点F 的坐标为112,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点E 的坐标为110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以111,,366E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．所以111112,,,,1366333cos 2||||6663FE FD EFD FE FD ⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪⋅∠==⋅ 所以60EFD ∠=︒，即平面CPB 与平面PBD 的夹角大小为60°．练习17.如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4AB =，6AC =，8BD =，CD =，求平面α与平面β的夹角．【答案】3π【解析】【分析】利用向量求解，CD CA AB BD =++ ，两边平方可求平面α与平面β的夹角．【详解】设平面α与平面β的夹角为θ，由CD CA AB BD =++ 可得()22222222CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD=++=+++⋅+⋅+⋅ 3616642cos ,CA BD CA BD=+++ 11696cos θ=-所以1cos 2θ=，即平面α与平面β的夹角为3π.18.如图，在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求异面直线AN ，CM 所成角的余弦值．【答案】78【解析】【分析】连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，推导出异面直线AN ，CM 所成角就是EMC ∠，利用余弦定理解三角形，能求出结果．【详解】连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，则//ME AN ，EMC ∴∠是异面直线AN ，CM 所成的角，AN = ，ME EN ∴==，MC =又EN NC ⊥ ，EC ∴=2227cos28EM MC EC EMC EM MC +-∴∠===⨯，∴异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值为78．19.如图，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，3OA OC ==，2OB =．求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】31717【解析】【分析】构建以O 为原点，,,OB OC OA 为x 、y 、z 轴的正方向的空间直角坐标系，写出AB 、AC 、OB 的坐标，进而求面ABC 的法向量m ，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【详解】构建以O 为原点，,,OB OC OA 为x 、y 、z 轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示，∴(0,0,3)A ，(2,0,0)B ，(0,3,0)C ，则(2,0,3)AB =- ，(0,3,3)AC =- ，(2,0,0)OB = ，若(,,)m x y z = 是平面ABC 的一个法向量，则230330AB m x z AC m y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，则3(,1,1)2m = ，∴317|cos ,|||17||||172OB m OB m OB m ⋅<>== ，故直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为31717.习题1.4复习巩固20.如图，在三棱锥A BCD -中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且2EF FA =．设BC a = ，BD b = ，BA c = ，求直线AE ，BF的方向向量．【答案】直线AE 的方向向量22a b c AE +-= ，直线BF 的方向向量46a b c BF ++= .【解析】【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得AD 、AC ，即可求AE ，再由2EF FA =知3AE AF = ，即可求BF .【详解】在△BAD 中，BD b = ，BA c = ，则AD BD BA b c =-=- ，在△BAC 中，BC a = ，BA c = ，则AC BC BA a c =-=- ，∵在△DAC 中，E 是CD 的中点，∴222AD AC a b c AE ++-== ，而2EF FA =，即236AE a b c AF +-== ，∴在△BAF 中，2466a b c a b c BF BA AF c +-++=+=+= .∴直线AE ，BF 的方向向量分别为22a b c AE +-= 、46a b c BF ++= .21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）求平面11BCC B 的一个法向量；（2）求平面1A BC 的一个法向量．【答案】(1)()1,1,0n = ；(2)()2,2,1m = .【解析】【分析】(1)求出平面内的两个向量()1,1,0BC =-uu u r ，()10,0,2BB =uuu r ，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量；(2)求出平面内的两个向量()1,1,0BC =-uu u r ，()11,0,2BA =- ，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量.【详解】易知()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B ，()10,0,2A .(1)()1,1,0BC =-uu u r ，()10,0,2BB =uuu r ，设面11BCC B 的法向量为()111,,n x y z = ，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1111,0x y z ===，则()1,1,0n = ，所以平面11BCC B 的一个法向量为()1,1,0n = ；(2)()1,1,0BC =-uu u r ，()11,0,2BA =- ，设面1A BC 的法向量为()222,,m x y z = ，则100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取2222,1x y z ===，则()2,2,1m = ，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,2,1m = 22.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 是11C D 的中点．求证：1//A E CF．【答案】见解析【解析】【分析】取11A B 的中点为G ,根据几何体的特征分别得到//BG CF ，1//A E BG ，从而得证.【详解】取11A B 的中点为G ,则根据平行六面体的特征可得11//B G C F ，11B G C F =，所以四边形11B GFC 为平行四边形，则11//B C GF ,11B C GF =,又因为11//B C BC ,11B C BC =,所以//GF BC ,GF BC =,所以四边形GFCB 为平行四边形，所以//BG CF ,又因为11//,A G EB A G EB =,所以四边形1A EBG 为平行四边形.所以1//A E BG ，进而1//A E CF .23.如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．求证：//PQ 平面BCD ．【答案】证明见解析【解析】【分析】要证线面平行，需找线线平行，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，取CD 的四等分点H ，使DH ＝3CH ，且AQ ＝3QC ，通过四边形OPQH 为平行四边形及线面平行的判定定理即得结论．【详解】证明：如图所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，∴PO //MD 且PO 12=MD ，取CD 的四等分点H ，使DH ＝3CH ，且AQ ＝3QC ，∴PO //QH 且PO ＝QH ，∴四边形OPQH 为平行四边形，∴PQ //OH ，PQ 在平面BCD 外，且OH ⊂平面BCD ，∴PQ //平面BCD ．24.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在BD 上，且13BE BD =；点F 在1CB 上，且113CF CB =．求证：（1）EF BD ⊥；（2）1EF CB ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3，则()0,0,0D ，()3,3,0B ，()0,3,0C ()13,3,3B ，因为13BE BD =，113CF CB =，所以()2,2,0E ，()1,3,1F ，所以()1,1,1EF =- ，()3,3,0DB = ，所以1313100DB EF =-⨯+⨯+⨯= ，所以EF BD⊥（2）由（1）可知()13,0,3CB = ，所以11313100CB EF =-⨯+⨯+⨯= ，所以1EF CB ⊥25.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，求点O 到直线1A E 的距离．【答案】26【解析】【分析】建立空间坐标系，求解直线1A E 的单位方向向量，结合勾股定理进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(,1,0),(1,,)222A E O ，因为1111122(,1,1),(,,)2333||A E A E u A E =--==-- ，111(0,,)22OA =- 所以123OA u ⋅=- .所以点O 到直线1A E的距离为6==.26.如图，四面体OABC 的所有棱长都是1，D ，E 分别是边OA ，BC 的中点，连接DE．（1）计算DE 的长；（2）求点O 到平面ABC 的距离．【答案】（1）22；（2）63．【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE ，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【详解】（1）因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++ ，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-= ，即22DE = ，所以DE 的长为22．（2）因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC的外接圆半径为11sin 6023⨯= ，所以点O 到平面ABC的距离为63OA OO d OO '⋅=='．27.如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．求证：MN AB ⊥，MN CD ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题意证明()11022MN AB AC AD AB AB ⎡⎤⋅=+-⋅=⎢⎥⎣⎦ 即可.【详解】由题意可知，,,AB AC AD 三个向量两两间的夹角为60 ，因为M ，N 分别是AB ，CD 的中点，所以()1122MN AN AM AC AD AB =-=+- ,则()()2111222MN AB AC AD AB AB AC AB AD AB AB ⎡⎤⋅=+-⋅=⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦()2221cos 60cos 6002a a a =+-= ，所以MN AB ⊥，同理可证MN CD ⊥.28.如图，M ，N 分别是正方体ABCD A B C D ''''-的棱BB '和B C ''的中点，求：（1）MN 和CD '所成角的大小；（2）MN 和AD 所成角的大小．【答案】（1）3π；（2）4π.【解析】【分析】构建以D 为原点，,,DA DC DD ' 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，写出A 、C 、D ¢、M 、N 的坐标，进而可得MN 、CD ' 、DA ，利用空间向量夹角的坐标表示求其夹角的余弦值，即可求MN 和CD '、MN 和AD 所成角.【详解】构建以D 为原点，,,DA DC DD ' 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)D '，(2,2,1)M ，(1,2,2)N ，（1）(1,0,1)MN =- ，(0,2,2)CD '=- ，又MN 和CD '所成角范围为[0,]2π，∴1|cos ,|||2||||MN CD MN CD MN CD '⋅'<>==' ，故MN 和CD '所成角为3π.（1）(2,0,0)DA = ，又MN 和AD 所成角范围为[0,]2π，∴2|cos ,|||2||||MN DA MN DA MN DA ⋅<>== ，故MN 和AD 所成角为4π.29.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是AB ，1BB ，11B C ，11C D ，1D D ，DA各棱的中点．（1）求证：1A C ⊥平面EFGHKL ；（2）求1DB 与平面EFGHKL 所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）223【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，可由1100A C LK A C KH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 证得；（2）利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，（1）1111(1,0,1),(0,1,0),(0,0,),(0,,1),(,0,0)222A C K H L ，()11111,0,,0,,,1,1,12222LK KH A C ⎛⎫⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则1100A C LK A C KH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以11,A C LK A C KH ⊥⊥,LK KH 为平面EFGHKL 的两条相交直线，所以1A C ⊥平面EFGHKL ；（2）由（1）知平面EFGHKL 的法向量为1(1,1,1)AC =--11(1,1,1),(1(0,0,0),,1,1)D D B B =，因为1111111cos ,3||||AC DB AC DB AC DB ⋅<>===-⋅，求1DB 与平面EFGHKL3=.综合运用30.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 是CD 的中点．求证：1B E ⊥平面1AED ．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明11EB ED ⊥ ，1EB EA ⊥，即可得证；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0E ，()10,0,1D ，()11,2,1B 所以()11,1,1EB = ，()10,1,1ED =- ，()1,1,0EA =-所以()111011110EB ED =⨯+⨯-+⨯= ，()11111100EB EA =⨯+⨯-+⨯=，所以11EB ED ⊥ ，1EB EA ⊥ ，因为1ED EA E = ，1,ED EA ⊂平面1AED ．所以1B E ⊥平面1AED ．31.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F A G ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【解析】【分析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，令1,,AB a BC b BB c ===写出EF 、EG uuur 、PQ 、PR ，进而求面EFG 、面PQR 的法向量m 、n，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F A G ===，1CP CQ CR ===，∴(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ，∴(0,1,1)EF = ，(1,0,1)EG =- ，(0,1,1)PQ =-- ，(1,0,1)PR =-，设(,,)m x y z = 是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，(1,1,1)m =- ，设(,,)n i j k = 是面PQR 的一个法向量，则00PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1i =，(1,1,1)n =- ，∴面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.32.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为CD 的中点，求点1D 到平面1AEC的距离．【答案】3【解析】【分析】建立空间坐标系，求解平面1AEC 的法向量，结合点到平面的距离公式求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则111(1,0,0),(0,1,1),(0,,0),(0,0,1)2A C E D .设平面1AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，11(1,1,1),(1,,0),2AC AE =-=- 1(1,0,1)AD =- .由10,10,2n AC x y z n AE x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2y =，则1,1x z ==-，即(1,2,1)n =-.设点1D 到平面1AEC 的距离为d ，则13AD n d n ⋅=== ，即点1D 到平面1AEC的距离为3.33.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，Q 为11B C 的中点，点P 在棱1AA 上，1:1:3AP AA =．求平面ABCD 与平面BQP的夹角．【答案】346arccos 46【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别求解两个面的法向量，利用法向量的夹角求解即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，11(1,1,0),(1,0,),(,1,1)32B P Q ，112(0,1,(,1,323BP PQ =-=- ，设平面BPQ 的法向量为(,,)n x y z =，则10312023n BP y z n PQ x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩ ，不妨令1y =，则3,6z x ==，所以(6,1,3)n =平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =，所以346cos ,||||46n mn m n m ⋅<>==⋅.所以面ABCD 与平面BQP 的夹角为346arccos4634.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是棱1AA 的中点，O 是1BD 的中点．求证：OM 分别与异面直线1AA ，1BD 垂直，并求OM 的长．【答案】见解析.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0可证得垂直，利用模长公式可求线段长.【详解】如图建立空间直角坐标系，则111111(,,(1,0,),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,0,1)2222O M A A B D ，所以1111(,,0),(0,0,1),(1,1,1)22OM AA BD =-==--，因为110,0OM AA OM BD ⋅=⋅=，所以11,OM AA OM BD ⊥⊥22112||()()222OM =+-=.拓广探索35.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 90BAC =︒∠，2AB AC ==，13AA =，M 是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．在线段1A N 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面1A CM。
《应用数学基础》 (谢政 著) 课后习题答案 国防工业出版社习题2解答
⎡λ + α ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 λ +α 0 0
1 0 λ +α 0
0 ⎤ 1 ⎥ ⎥． 0 ⎥ ⎥ λ +α ⎦
+ 3i ( −1)] 0 −8 ⎤ [[ 2 −(λ + 1) λ + 11⎤ ⎡ 1 ⎡λ − 3 2 i ( −1)] 1,2 ⎢ ⎥ [ ] 0 →⎢ −8 ⎥ 解：(1) ⎢λ − 3 ⎥ ⎢ −3 λ + 1 −6 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ λ − + − + 2 0 5 2 0 5 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2) 设目前农村人口与城镇人口相等，即 ⎢
解 (1) ⎢
q ⎤ ⎡ xn ⎤ ⎡ xn +1 ⎤ ⎡1 − p =⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥. ⎣ yn +1 ⎦ ⎣ p 1 − q ⎦ ⎣ yn ⎦ −q q ⎤ λ −1+ p ⎡1 − p = = (λ − 1)(λ − 1 + p + q) , ⎥ −p λ −1+ q ⎣ p 1− q⎦
Aα = λα , A α = A
m
m −1
( Aα ) = Am −1λα = λ Am −1α = λ mα
7. 将下列矩阵酉对角化．
A−1α = λ −1α
− 2 ，对应的特征向量分别为 (0,1, −i ) T , ( 2i,1, i ) T , (− 2i,1, i ) T ，由于此三个向量分
(2)
λI − ⎢
λ1 = 1, λ2 = 1 − p − q, ξ1 = ( q, p ) T , ξ 2 = (1, −1)T ,因此
q ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 − p ⎢ p −1⎥ ⎢ p 1 − q ⎥ ⎢ p −1⎥ = ⎢ 0 1 − p − q ⎥ , ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
部编版小学三年级数学下册应用题课后专项习题
部编版小学三年级数学下册应用题课后专项习题班级：________ 姓名：________ 时间：________1. 朱老师带132位同学买电影票，每张票6元。
如果她带800元买票，够不够？2. 方强每分钟大约跑200米，他10分钟约跑多少米？3. 一块长方形的草坪，长25米，宽20米，一位老爷爷每分走9米，他围着草坪走一周至少需要多长时间?4. 一种品牌的果汁，每箱有4盒，原价60元。
现在两家超市搞促销，王阿姨在甲超市购买了一箱，优惠了8元；李阿姨在乙超市购买了一箱，送了1盒。
比一比，谁买的每盒果汁的实际价格便宜一些？5. 甲乙两个数的和是400，甲数是乙数的3倍，甲、乙两数各是多少？6. 叔叔的岁数是小东的3 倍，叔叔比小东大16岁，小东多少岁？7. 图书馆购进一批少儿图书，其中《成语故事》72本，《寓言故事》比《成语故事》多18本。
《童话故事》的本数是《寓言故事》的3倍，购进《童话故事》多少本？8. 一台电视机678元，一座台灯96元，一台榨汁机29元，王叔买这三样商品共用多少钱？9. 修一条长1140米的渠，已经修了12天，每天修54米，剩下的要6天修完，平均每天要修多少米？10. 50位同学去划船，有两种租船的方案可供选择。
方案一：大船，每船坐6人，租金10元。
方案二：小船，每船坐4人，租金8元。
怎样租最省钱？11. 水果店里一种黄梨4千克卖36元，平均每千克卖多少元？如果一箱这种黄梨重30千克，买一箱这种黄梨一共要付多少钱？12. 一列火车从甲地上午8：00出发，下午3：00到达乙地，如果火车每时行120千米，甲地到乙的铁路长多少千米？13. 小强打算3小时走12千米的路，实际上每小时走了3千米，照这样速度他走完全程要多花几小时？14. 某汽车厂计划全年生产汽车16800台，结果提前2个月就完成了全年的生产任务。
照这样的速度，全年可生产汽车多少台？15. 小刚5分钟走925米，小明4分钟走736米，谁走得快？16. 小胖、小胖的爸爸和小胖爷爷三人的年龄之和是117岁。
西师大版小学二年级数学下学期应用题课后专项习题
西师大版小学二年级数学下学期应用题课后专项习题班级：________ 姓名：________ 时间：________ 1. 小小文具店。
（1）铅笔盒和书包一共多少元？答：铅笔盒和书包一共（）元。
（2）字典比铅笔盒贵多少元？答：字典比铅笔盒贵（）元。
（3）水壶比铅笔盒便宜多少元？答：水壶比铅笔盒便宜（）元。
2. 图书馆。
故事书科技书连环画345本268本197本（1）故事书比科技书多多少本？（2）故事书和连环画一共有多少本？（3）你还能提出什么问题？并解答。
3. 一根竹竿长3米，第一次剪下40厘米，第二次剪下60厘米。
一共少了多少厘米？还剩下多少厘米？4. 学校体育室有篮球、排球和足球。
（1）排球有多少个？（2）足球有多少个？5. 有一袋大米，第一次用去这袋大米的一半，第二次用去剩下的一半，余下的大米刚好是4千克。
这袋大米原来是多少千克?6. 爸爸给方方买一双运动鞋和一盏台灯，需要多少元钱？7. 我们全家购买门票一共需要多少钱？8. 王老师买来6支钢笔和8盒铅笔，已知每支钢笔7元，每盒铅笔9元，王老师一共用了多少钱？9. 逛超市（1）一架的价钱正好是一个的7倍，一架多少钱?（元）(2)买3本和一个，一共要花多少钱？（元）（3）王阿姨拿了50元钱买了9个她还剩下多少钱？（元）(4)你还能提出什么数学问题？10. 联欢会前，班长为同学们采购以下物品：气球：5角10个矿泉水：4元5瓶果冻：3元一包，一包8个威化饼：15元一盒，一盒20块饴口莲：8元一袋，一袋40块苹果：5元4个班长想给每名同学每样物品都买一个，他带了200元，够用吗？（全班共40人）11. 看图列式计算。
妈妈的身高是多少厘米?12. 看图解决问题。
________ ________ ________ = ________ （______）13. 小蚂蚁要回家,需要走多少厘米?14. 三位同学进行50米赛跑。
(1)壮壮和龙一鸣两人跑的路程一共有多少米？(2)淘淘现在比壮壮多跑了多少米？15. 看图写算式。
离散数学及其应用(课后习题)
离散数学及其应用（课后习题）习题1.12. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若224+>，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令P ：天气好。
Q ：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）P Q →。
（3）Q P →。
（6）P Q ↔。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。
（3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。
（6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。
（10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）P Q →。
（3）P Q →。
（6）Q P ⌝→。
（10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。
习题1.41. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。
证明：()(()()) ()()) ()() ()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧（4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。
证明：()()()() () ()P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
部编人教版小学三年级下册数学应用题课后专项习题
部编人教版小学三年级下册数学应用题课后专项习题班级：________ 姓名：________ 时间：________1. 一张课桌187元，一把椅子89元．学校购买了54套桌椅，买课桌比买椅子多花了多少钱？2. 爸爸想买一辆388元的自行车和一台218元的电磁炉，需要多少钱？3. 学校食堂王师傅买了 4 袋面粉，每袋面粉 118 元，他付给收银员一些钱后，收银员找给他 28 元，王师傅给的是多少钱？4. 成成有48张邮票，给小凡3张后，现在的邮票张数是小凡的5倍。
小凡原有邮票多少张？5. 从甲地到乙地，水路长258千米，公路长346千米。
一艘轮船3小时可行150千米，一辆汽车4小时可行280千米。
（1）轮船与汽车哪个行驶得快些？每小时快多少？（2）如果轮船和汽车同时从甲地出发，谁先到达乙地？6. 启智学校三一班丁老师和江老师带53名学生去浮龙湖划船：成人票：12元；学生票：6元；团体票（ 10人及以上）：5元；怎样怎样买票最合算？7. 图书室新买来200本科技书，新买来的故事书是科技书的5倍，两种书共有多少本？8. 王阿姨买了4块芒果千层和6个蛋黄酥，一共用去了148元，张阿姨买了4块芒果千层和12个蛋黄酥，一共用去了196元。
每块芒果千层多少元？每个蛋黄酥多少元？9. 小明家离学校200米。
如果每天往返两次，上学一星期（5天）一共要走多少米？合多少千米？10. 小明和小华相距50步远，同时反向出发，小明每分钟走80步，小华每分钟走85步。
出发10分钟后，两人相距多少步？11. 爸爸坚持每天跑步，4天跑了24千米。
照这样的速度，一星期（7天）可以跑多少千米？12. 王老师买了一张红色胶纸，做小旗用去这张纸的，做小红花用去这张纸的，一共用去这张纸的几分之几？还剩下这张纸的几分之几？13. 王叔叔买来6箱同样重的橘子，从每箱分别取出10千克后，各箱所剩橘子的质量的和恰好等于原来2箱的质量。
原来每箱橘子重多少千克？14. 学校买了12箱乒乓球，每箱5盒，每盒4个，每盒售价24元，学校买乒乓球用了多少钱？15. 王叔叔平均每小时做14个零件，他从上午7：50工作到中午11：50，一共做了多少个零件？16. 一艘轮船5小时行165千米．照这样计算，一天可航行多少千米？17. 花店购进玫瑰185支，每支4元；康乃馨254支，每支3元。
经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高
第一章 函 数习 题 一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解 （１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３ 或 x－２＜－３由此得 x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证 （１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解 （１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解 （１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０ 且 ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０， １－x＞０， １－x≠１解得 ｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得 x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０， x－１０≠０， x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０， （x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０ 且 x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０ 且 x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解 因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２； （２）y＝ｅ｜x｜．解 （１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６）， x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２； （２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解 （１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ； （２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解 （１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x）， x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时， f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时， f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx； （２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解 （１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x； （２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３， x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解 （１）由y＝１－x１＋x 解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞）， Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５）， y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２ （舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x； （２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解 （１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解 设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０ 所以c＝０又知R（１０）＝８００， R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００， ４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０， ２０a＋b＝６０由此解得 a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解 设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解 供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１ （倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p， Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答 （１）（－∞，０］，１４，３４； （２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解 （１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得 p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）； （Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答 （１）Ｃ； （２）Ｃ； （３）Ｄ； （４）Ｄ； （５）Ｂ．解 （１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解 令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证 （１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２） （f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２） （g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若 a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２） （或f（x１）＞f（x２））若 a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２） （或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证 因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１， ｜g（x）｜＜M２， 橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证 要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解 由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解 设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ， ０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００）， ７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解 设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解 设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２， b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章 极限与连续习 题 二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解 （１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证 （１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε （∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解 （１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证 （１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解 （１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解 （１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解 （１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解 （１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解 （１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解 令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解 （１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以 ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解 （１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解 （１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答 （１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解 （１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答 （１）Ｄ； （２）Ｄ； （３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ； （６）Ｄ； （７）Ｃ； （８）Ｂ．解 （１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞， ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。
冀教版小学四年级下册数学应用题课后专项习题
冀教版小学四年级下册数学应用题课后专项习题班级：________ 姓名：________ 时间：________1. 莉莉每天早上跑步8分钟，平均速度为120米/分，照这样坚持跑一个月（按30天计算），莉莉一共能跑多少米？2. 一列高速列车每小时行驶245千米，这列高速列车18小时行驶多少千米？3. 今年植树节，阳光小学140名少先队员参加了植树活动。
这些少先队员平均分成4队，每队分成5个小组。
平均每个小组有多少名少先队员？4. 电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90台，可以按时完成任务。
实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务，这批电视机一共有多少台？5. 光明服装店一天共卖出 80件服装，上午卖出了50件，每件160元。
照这样计算，上午比下午多卖多少元？（用不同的方法解）6. 王叔叔运送了a千克苹果，比李叔叔多运12.5千克。
李叔叔运了多少千克苹果，两人共运了多少千克？如果a=130，那么李叔叔运了多少千克苹果？（前两步用字母代替）7. 学校买回了4个篮球和3个排球，排球每个48.5元，篮球每个98.8元。
买这些球一共需要多少元？8. 小华的爸爸是花匠，他的菊花成本是12元/盆，卖出的价格是23元/盆，这个星期一共卖出125盆，共可以挣多少钱？9. AB两地相距700千米，甲乙两辆汽车同时从AB两地出发，相向而行，4小时后相遇，如果甲车的行驶速度是94千米/时，乙车的行驶速度是多少？10. 甲乙两辆客车同时从C地出发，向相反的方向行驶，甲车每小时行80千米，乙车每小时行85千米，3小时后两车同时到达A、B两地．你知道A、B两地相距多少千米吗？（先画图分析，再列式解答．）11. 王大伯家养了236只公鸡和189只母鸡，还养了85只鸭，鸡的只数是鸭的几倍？12. 旅游团有大人18人、小孩12人去游览海底世界公园．成人票每张25元，儿童票每张18元，旅游团总共应付多少元？13. 一只蜻蜓和一只蝙蝠同时从A点起飞，朝同一个方向飞去，蜻蜓每分钟飞行305米，蝙蝠每分钟飞行220米，半小时后它们之间的距离是多少米？14. 饲养场里的猪一天要吃285千克饲料，饲养员准备了5吨饲料，够这些猪吃20天吗?请计算说明．15. 王老师带了290元钱去商场买足球，足球每个40元。
高中数学第四章数列等差数列前n项和的性质及应用课后习题新人教A版选择性必修第二册
第2课时等差数列前n项和的性质及应用必备知识基础练1.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,a1=-11,S1010−S88=2,则S11=()A.-11B.11C.10D.-102.(2021天津滨海高二期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=10,公差d=-72,则S n取得最大值时n的值为()A.3B.4C.5D.63.在等差数列{a n}中,前m项(m为偶数)和为77,其中偶数项之和为44,且a m-a1=18,则数列{a n}的公差为()A.-4B.4C.6D.-64.若S n表示等差数列{a n}的前n项和,S5S10=13,则S10S20=()A.19B.18C.310D.135.(多选题)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,前n项和为S n,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=06.已知等差数列{a n},S n为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6= .7.已知等差数列{a n},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n的值是.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|a n|}的最小项是.9.在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.10.设S n是等差数列{a n}的前n项和,a3=7,.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n的最值.从①S6=51;②a n=a n-1-3;③S5=a3a5中任选一个,补充在上面的问题中并作答.关键能力提升练11.(2022河南驻马店高二期中)等差数列{a n}的前n项和为S n,若S8=2 020,则a3+4a4+a8=()A.2 020B.1 525C.1 515D.2 01512.(2021新疆乌鲁木齐高三三模)在等差数列{a n}中,a3=16,a7=8,S n是数列{a n}的前n项和,则满足数列S nn的前n项和最大的n的值为()A.20B.21C.20或21D.21或2213.在等差数列{a n}中,其前n项和为S n,nS n+1>(n+1)S n(n∈N*),且a8a7<-1,则在S n中()A.最小值是S7B.最小值是S8C.最大值是S8D.最大值是S714.(多选题)(2021广东中山高二期末)设{a n}是等差数列,公差为d,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是()A.d<0B.S6与S7是S n的最大值C.S9>S5D.a7=015.(多选题)已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且A nB n =7n+45n+3,则使得a nb n为整数的正整数n可以是()A.1B.2C.3D.616.(2021湖北武汉月考)已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n,且A nB n =7n+45n+3,则a3b3= .17.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,且S2 011=S2 014,S k=S2 009,则正整数k为.18.设数列{a n}的各项都为正数,其前n项和为S n,已知对任意n∈N*,S n是a n2和a n的等差中项.(1)证明:数列{a n}为等差数列,并求a n;(2)若b n=-n+5,求{a n b n}的最大值,并求出取最大值时n的值.19.在等差数列{a n}中,a1=60,a17=12,求数列{|a n|}的前n项和.学科素养创新练20.(2021江苏海安高三期末)设数列{a n}的前n项和为S n,写出一个同时满足条件①②的等差数列{a n}的通项公式.①S n存在最小值且最小值不等于a1;②不存在正整数k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2.参考答案第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用1.A ∵{a n }为等差数列,∴{S n n }为等差数列,首项S 11=a 1=-11,设{S n n }的公差为d ,则S 1010−S88=2d=2,∴d=1,∴S 1111=-11+10d=-1,∴S 11=-11.2.A ∵a 1=10,d=-72, ∴S n =10n+n(n -1)2×-72=-74n 2+474n.∵n ∈N *,抛物线y=-74x 2+474x 的对称轴为直线x=4714,且开口向下, ∴当n=3时,S n 取得最大值为392.故选A .3.B 设数列{a n }公差为d ,由题意得等差数列{a n }前m 项中,奇数项之和为33,偶数项之和与奇数项之和的差为11,所以m2d=11,即md=22. 又a m -a 1=(m-1)d=18,所以d=md-18=22-18=4. 4.C 由题意,得S 5,S 10-S 5,S 15-S 10,S 20-S 15成等差数列. ∵S 5S 10=13,∴S 10=3S 5,∴S 15=6S 5,S 20=10S 5,∴S 10S 20=310.5.AB 因为{a n }是等差数列,设公差为d ,由a 1+5a 3=S 8,可得a 1+9d=0,即a 10=0,即选项A 正确, 又S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,即选项B 正确,当d>0时,则S 9或S 10最小,当d<0时,则S 9或S 10最大,即选项C 错误,又因为S 19=19a 10=0,a 20≠0,所以S 20≠0,即选项D 错误.故选AB . 6.5 ∵S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等差数列,而S 3=9,S 6-S 3=a 4+a 5+a 6=7,∴S 9-S 6=5. 7.6或7 由|a 5|=|a 9|,且d>0,得a 5<0,a 9>0,且a 5+a 9=0,所以a 7=a 5+a 92=0,故S 6=S 7,且为最小值.8.a 7 设等差数列{a n }的公差为d. ∵a 1>0,n ∈N *,S 12>0,S 13<0, ∴6(a 6+a 7)>0,13a 7<0.∴a 7<0,a 6>-a 7>0,且a 6+a 8=2a 7<0,即a 6<-a 8. ∴-a 7<a 6<-a 8<…,则数列{|a n |}的最小项是a 7.9.解等差数列{a n }的公差d=a 17-a 117-1=-12-(-60)16=3,故a n =a 1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n <0,得3n-63<0,即n<21.故数列{a n }的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n ,S'n 分别表示数列{a n },{|a n |}的前n 项和,当n ≤20时,S'n =-S n =-[-60n +n(n -1)2×3]=-32n 2+1232n ;当n ≥21时,S'n =-S 20+(S n -S 20)=S n -2S 20=-60n+n(n -1)2×3-2×(-60×20+20×192×3)=32n 2-1232n+1260.故数列{|a n |}的前n 项和为S'n ={-32n 2+1232n,n ≤20,32n 2-1232n +1260,n ≥21.10.解选①:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题设知{a 1+2d =7,6a 1+6×5d 2=51,解得a 1=1,d=3, ∴a n =1+3(n-1)=3n-2.(2)由(1)知a n =3n-2,数列{a n }是递增数列, ∴当n=1时,S n 有最小值S 1=1,S n 无最大值.选②:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题设知d=a n -a n-1=-3, ∵a 3=a 1+2×(-3)=7,∴a 1=13, ∴a n =13-3(n-1)=16-3n.(2)由(1)知a n =16-3n ,数列{a n }是递减数列, 令a n >0,得n<163,故当n=5时,S n 有最大值S 5=5×(13+1)2=35,S n 无最小值.选③:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由{a 3=7,S 5=5a 3=a 3a 5,得a 5=5,∴d=a 5-a35-3=-1.∴a n =a 3+(n-3)d=10-n.(2)由(1)知a n =10-n ,数列{a n }是递减数列,令a n =0,得n=10. 故当n=9或n=10时,S n 有最大值S 9=S 10=45,S n 无最小值. 11.C ∵S 8=82(a 1+a 8)=4(a 1+a 8)=2020, ∴a 1+a 8=505,∴a 3+4a 4+a 8=3(a 1+a 8)=3×505=1515.12.C 设等差数列{a n }的公差为d ,因为{a n }是等差数列,所以S n n 也是等差数列,公差为d2,由a 3=16,a 7=8,可得d=a 7-a 37-3=8-164=-2,则a 1=a 3-2d=20,所以S11=a 1=20,d2=-1,所以Snn =20-(n-1)=21-n.可得当n<21,n ∈N *时,S n n >0;当n=21时,Sn n =0;当n>21,n ∈N *时,Snn <0,所以当n=20或n=21时,数列S n n的前n 项和取得最大值.故选C .13.A 由nS n+1>(n+1)S n ,得S n+1n+1>S n n,即S n+1n+1−S nn >0.而Sn+1n+1−S n n=d2,所以d>0.因为a8a 7<-1,所以a 7+a 8a 7<0,即a 7(a 7+a 8)<0.由于d>0,因此数列{a n }是递增数列,所以a 7<0,a 7+a 8>0,所以a 7<0,a 8>0,所以在S n 中最小值是S 7. 14.ABD 由S 5<S 6,得S 6-S 5=a 6>0, 由S 6=S 7,得S 7-S 6=a 7=0,由S 7>S 8,得a 8<0, ∴d=a 7-a 6<0,故A,D 正确;而C 选项S 9>S 5,即a 6+a 7+a 8+a 9>0,可得2(a 7+a 8)>0,由结论a 7=0,a 8<0,显然C 错误; ∵S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,∴S 6与S 7均为S n 的最大值,故B 正确.故选ABD . 15.ABCa nb n=2a n 2b n=a 1+a 2n -1b 1+b 2n -1=2n -12(a 1+a 2n -1)2n -12(b 1+b 2n -1)=A 2n -1B 2n -1=7(2n -1)+45(2n -1)+3=7n+19n+1=7+12n+1.当n=1,2,3,5,11时,12n+1为整数,即当n=1,2,3,5,11时,an b n为整数.故选ABC .16.10 ∵A nB n=7n+45n+3,∴a 3b 3=2a 32b 3=a 1+a 5b 1+b 5=5(a 1+a 5)25(b 1+b 5)2=A 5B 5=7×5+455+3=10.17.2016 因为等差数列{a n }的前n 项和S n 可看成是关于n 的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S 2011=S 2014,S k =S 2009,可得2011+20142=2009+k2,解得k=2016.18.(1)证明由已知,得2S n =a n 2+a n ,且a n >0. 当n=1时,2a 1=a 12+a 1,解得a 1=1. 当n ≥2时,2S n-1=a n -12+a n-1.所以2S n -2S n-1=a n 2−a n -12+a n -a n-1,即2a n =a n 2−a n -12+a n -a n-1,即(a n +a n-1)(a n -a n-1)=a n +a n-1.因为a n +a n-1>0,所以a n -a n-1=1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,且a n =n. (2)解由(1)可知a n =n.设c n =a n b n , 则c n =n (-n+5)=-n 2+5n=-(n -52)2+254.因为n ∈N *,所以当n=2或n=3时,{c n }的最大项为6. 故{a n b n }的最大值为6,此时n=2或n=3. 19.解等差数列{a n }的公差为d=a 17-a 117-1=12-6016=-3,故通项公式为a n =a 1+(n-1)d=60+(-3)×(n-1)=63-3n.令a n ≥0,即63-3n ≥0,解得n ≤21,即数列的前21项是非负数,从第22项开始都是负数. 设S n ,T n 分别表示数列{a n }与数列{|a n |}的前n 项和, 则S n =n(a 1+a n )2=-32n 2+1232n.当n ≤21时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =-32n 2+1232n ;当n ≥22时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a 21|+|a 22|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 21-(a 22+…+a n )=S 21-(S n -S 21)=2S 21-S n . 由S 21=-32×212+1232×21=630,得T n =2×630--32n 2+1232n =32n 2-1232n+1260.故T n ={-32n 2+1232n,n ≤21且n ∈N *,32n 2-1232n +1260,n ≥22,且n ∈N *.20.解因为等差数列{a n }的前n 项和为S n =na 1+n(n -1)d2=d2n 2+a 1-d2n ,其对应函数的图象为一抛物线,对称轴为d 2-a 1d,若S n 存在最小值且最小值不等于a 1, 则d 2-a 1d>32,且d>0,整理得a 1<-d.又因为不存在正整数k ,使得S k >S k+1且S k+1<S k+2, 则连续两项取得最小值,令S k =S k+1,k>1, 所以a k+1=a 1+kd=0,所以k=-a1d >1.令k=2,a 1=-2d ,则有a n =(n-3)d ,令d=2,则a n =2n-6为一个符合题意的通项公式.故答案为a n=2n-6(不唯一).。
《应用数学基础》 (谢政 著) 课后习题答案 国防工业出版社习题1解答
: Y → X 存在的充要条件是 Tx = 0 ⇒ x = 0 ；
−1 −1
(2) 若逆映射 T 存在，则 T 也是线性算子． 证明 (1) 由于 T 是满射，则 R (T ) = Y ．
−1
必要性． 假设 T 的逆映射 T 以及 T 为单射可知 x = 0 ．
: Y → X 存在， 则 T 为单射． 若 Tx = 0 ， 则由 T 0 = 0
⎡0⎤ ⎢a ⎥ ⎢ ⎥, ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦
⎡b ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢d ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0⎤ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥， ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣d ⎦
案
⎡a ⎢0 ⎢ ⎢c ⎢ ⎣0
0 a 0 c
b 0 d 0
0⎤ b⎥ ⎥． 0⎥ ⎥ d⎦
9. 设 T 是三维线性空间 X 上的线性变换，它关于基 {e1 , e2 , e3 } 的矩阵是
2×2
⎧ ⎡1 ⎨⎢ ⎩ ⎣0
的矩阵． 解
⎡0 ⎢0 ⎣
2×2
1⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢1 ⎣
0⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢0 ⎣
0⎤ ⎫ ⎬ 1⎥ ⎦⎭
(1) 令 K = {TX |X ∈ ℝ
} ，则 K 为 ℝ 2×2 的线性子空间， T 为 ℝ 2×2 → K 上
的映射，且有 ∀X 1 , X 2 ∈ ℝ
0⎤ ⎡1 = b⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
b⎤ ⎡0 = b⎢ ⎥ d⎦ ⎣0
即 TE11 , TE12 , TE 21 , TE 22 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的坐标依次为
网
课
因此 T 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的矩阵为
苏教版小学二年级下册数学应用题课后专项习题
苏教版小学二年级下册数学应用题课后专项习题班级：________ 姓名：________ 时间：________ 1. 解决问题。
(1)一辆玩具汽车的价格相当于5个布娃娃的价格,一辆玩具汽车多少钱?(2)玩具手枪比玩具汽车便宜多少钱?2. 小红同学购物。
字典8元书本3元钢笔6元篮球24元（1）小红的钱正好能买4支钢笔，小红有多少元钱？（2）小红买1本字典和2本书本需要多少钱？（3）你还能提出哪些数学问题？并解答。
3. 小兔子去超市买东西，价格如图所示：（1）买6个杯子需要多少钱？（2）布娃娃的价格是杯子的9倍，一个布娃娃多少钱？（3）用50元钱买一个书包和一个足球，还剩多少钱？4. 小华到文具店买同一种价钱的铅笔，他想买6支，发现带去的钱还差1元，于是他买了5支，结果还多了1元。
一支铅笔多少元？5. 一个茶叶礼品盒,茶叶与盒共重1200克,盒体标签上印着“净含量:1千克”。
这个盒子重多少克?6. 把一根1米长的竹竿竖直插入小河里,有35厘米长的竹竿露出水面,你知道小河里的水有多深吗?(插入泥里部分忽略)7. 妈妈今年24岁，小青今年4岁，解决下列问题。
（1）今年妈妈的年龄是小青的几倍？（2）明年妈妈的年龄是小青的几倍？8. 看图列式计算。
□+□+□+□+□=□( ) □×□=□( )9. 下面的纸条长300厘米，剪去160厘米。
还剩多少厘米？是多少分米？10. 看图列式计算。
（1）苹果和梨一共有17个,梨有多少个?（2）再加几个苹果,苹果和橘子就一样多了?11. 看图列式计算。
□+□+□=□( ) □+□+□=□( )□×□=□( ) □×□=□( )12. 8元能买4个苹果，照这样计算，买3个苹果需要多少元？答：买3个苹果需要元。
13. 甲仓有粮食76吨，乙仓有粮食64吨，又运来粮食28吨，怎样分配才能使两个粮仓的粮食吨数相等?14. 看图回答问题。
15. 玩具之家。
高中数学第四章数列等比数列的性质及应用课后习题新人教A版选择性必修第二册
第2课时等比数列的性质及应用必备知识基础练1.在等比数列{a n}中,a2=27,公比q=-13,则a5=()A.-3B.3C.-1D.12.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=9,则a5=()A.6B.-6C.6.5D.±63.已知公比不为1的等比数列{a n}满足a15a5+a14a6=20,若a m2=10,则m=()A.9B.10C.11D.124.(2021天津滨海高二期末)在等比数列{a n}中,a1=7,a4=a3a5,则a7=()A.19B.17C.13D.75.在等比数列{a n}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于()A.-213B.213C.26D.-266.(多选题)已知数列{a n}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为()A.-36B.36C.-36√2D.36√27.(2021河南名校联盟高二月联考)已知等比数列{a n}的各项均为正数,若a2a9a16=64,则log2a1+log2a2+…+log2a17=.8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.9.等比数列{a n}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=329;③三个数23a2,a32,a4+49依次成等差数列.试求数列{a n}的通项公式.10.设{a n}是各项均为正数的等比数列,b n=log2a n,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求a n.关键能力提升练11.已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo g13(a5+a7+a9)的值为()A.-5B.-15C.5 D.1512.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第()年这个工厂的产值将超过2a.A.6B.7C.8D.913.在正项等比数列{a n}中,a3=2,16a52=a2a6,则数列{a n}的前n项积T n中最大的值是()A.T3B.T4C.T5D.T614.(2021河南郑州高二期末)已知数列{a n}是等比数列,满足a5a11=4a8,数列{b n}是等差数列,且b8=a8,则b7+b9=()A.24B.16C.8D.415.(2021陕西西安八校高二联考)两个公比均不为1的等比数列{a n},{b n},其前n项的乘积分别为A n,B n,若a5b5=2,则A9B9=()A.512B.32C.8D.216.(2021辽宁辽西协作体高二联考)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等比数列,上面3节的容积之积为3升,下面3节的容积之积为9升,则第5节的容积为()A.2升B.6766升 C.3升 D.√3升17.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假定某种传染病的基本传染数R0=3,那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为()注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0+1个人每个人再传染R0个人为第二轮感染.A.5B.6C.7D.818.在各项均为正数的等比数列{a n}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,若a n-1a n a n+1=324,则n=.19.已知各项都为正数的等比数列{a n}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足a n a n+1a n+2>19的最大正整数n的值为.20.在等比数列{a n}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,数列{b n}的前n项和为S n,当S11+S22+…+S nn取最大值时,求n的值.学科素养创新练21.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.参考答案第2课时 等比数列的性质及应用1.C 在等比数列{a n }中,a 2=27,q=-13, 则a 5=a 2q 3=-1.2.A 由等比数列的性质可得,奇数项的符号相同, 则a 5=√a 3a 7=√4×9=6.3.B 依题意,数列{a n }是等比数列,且a 15a 5+a 14a 6=2a 102=20,所以a 102=10,所以m=10. 4.B 在等比数列{a n }中,a 1=7,由a 4=a 3a 5=a 42,得a 4=1或a 4=0(舍去). 由a 1a 7=a 42,得a 7=17.5.A 因为{a n }是等比数列,所以a 1a 13=a 2a 12=a 3a 11=a 4a 10=a 5a 9=a 6a 8=a 72,于是该数列的前13项的乘积为a 1a 2…a 13=a 713=(-2)13=-213.6.CD 设{a n }的公比为q ,则a 9+a 11=q 6(a 3+a 5),于是q 6=a 9+a11a 3+a 5=14418=8,因此q 3=±2√2,所以a 6+a 8=q 3(a 3+a 5)=±36√2.故选CD .7.34 由a 2a 9a 16=64得a 93=64,即a 9=4.则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 17=log 2(a 1a 2…a 17)=log 2a 917=log 2417=34.8.12 设衰分比例为q ,则甲、乙、丙各分得28q 石、28石、28q 石,∴28q +28+28q=98,∴q=2或12. 又0<q<1,∴q=12.9.解由等比数列的性质知a 1a 6=a 3a 4=329,所以{a 1+a 6=11,a 1a 6=329,解得{a 1=13,a 6=323或{a 1=323,a 6=13. 当{a 1=13,a 6=323时,q=2,所以a n =13·2n-1,这时23a 2+a 4+49=329,2a 32=329,所以23a 2,a 32,a 4+49成等差数列,故a n =13·2n-1.当{a 1=323,a 6=13时,q=12,a n =13·26-n ,23a 2+a 4+49≠2a 32,不符合题意.故通项公式a n =13·2n-1. 10.解设数列{a n }的公比为q ,则a 1>0,q>0,∵b 1+b 2+b 3=3,∴log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=3, ∴log 2(a 1a 2a 3)=3,∴a 1a 2a 3=8,∴a 2=2. ∵b 1b 2b 3=-3,∴log 2a 1·log 2a 2·log 2a 3=-3, ∴log 2a 1·log 2a 3=-3,∴log 2a2q ·log 2a 2q=-3, 即(log 2a 2-log 2q )·(log 2a 2+log 2q )=-3, 即(1-log 2q )·(1+log 2q )=-3,解得log 2q=±2. 当log 2q=2时,q=4,a 1=a 2q=12,∴a n =12×4n-1=22n-3;当log 2q=-2时,q=14,a 1=a2q=8,∴a n =8×(14)n -1=25-2n .11.A ∵log 3a n +1=log 3a n+1,∴a n+1a n=3,∴数列{a n }是等比数列,公比q=3,∴lo g 13(a 5+a 7+a 9)=lo g 13(a 2q 3+a 4q 3+a 6q 3)=lo g 13[(a 2+a 4+a 6)q 3]=lo g 13(9×33)=-5.12.C 设从今年起第n 年这个工厂的产值为a n ,则a 1=1.1a ,a 2=1.12a ,…,a n =1.1na.依题意,得1.1n a>2a ,即1.1n>2,解得n ≥8.13.A 依题意,数列{a n }是等比数列,所以16a 52=a 2a 6=a 42,所以q 2=116.又因为数列{a n }为正项等比数列,所以q=14,所以a n =a 3q n-3=2·43-n =27-2n,令a n >1,即27-2n>1,得n<72,因为n ∈N *,所以n ≤3,数列{a n }的前n 项积T n 中T 3最大,故选A .14.C ∵数列{a n }是等比数列,∴a 5a 11=a 82=4a 8,又a 8≠0,∴a 8=4.又{b n }是等差数列,b 8=a 8,∴b 7+b 9=2b 8=2a 8=8.15.A 因为A 9=a 1a 2a 3…a 9=a 59,B 9=b 1b 2b 3…b 9=b 59,所以A9B 9=a 5b 59=512.16.D (方法1)依题意,竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }, 则{a 1·a 1q ·a 1q 2=3,a 1q 6·a 1q 7·a 1q 8=9,解得a 1q=√33,q 3=√36, ∴第5节的容积为a 1q 4=a 1q ·q 3=√33·√36=√3.(方法2)依题意,竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n },a 1a 2a 3=3,a 7a 8a 9=9,由等比数列的性质可知a 1a 2a 3a 7a 8a 9=(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)=a 56=27.所以a 5=√3.17.B 设经过第n 轮传染,感染人数为a n ,经过第一轮感染后,a 1=1+3=4,经过第二轮感染后,a 2=4+4×3=16,于是可以得知经过传染,每一轮感染总人数构成等比数列,所以经过第n 轮传染,感染人数为a n =4n,所以a 5=1024,a 6=4096,因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.18.14 设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=a 23=4与a 4a 5a 6=a 53=12,可得a 53a 23=(q 3)3,q 9=3.又a n-1a n a n+1=a n 3=(a 2q n-2)3=324,因此q3n-6=81=34=q 36,所以n=14.19.4 ∵a 2a 4=4=a 32,且a 3>0,∴a 3=2.设公比为q ,则a 1+a 2+a 3=2q 2+2q +2=14, ∴1q =-3(舍去)或1q =2,即q=12,∴a 1=a3q 2=8. ∴a n =a 1q n-1=8×12n-1=12n-4,∴a n a n+1a n+2=123n-9>19,即23n-9<9,∴n 的最大值为4.20.解(1)∵a 1a 3+2a 2a 4+a 3a 5=25,由等比数列的基本性质可得a 22+2a 2a 4+a 42=25,∴(a 2+a 4)2=25.∵a 3=2,q ∈(0,1),则对任意的n ∈N *,可得出a n >0, ∴a 2+a 4=5.∴{a 3=a 1q 2=2,a 2+a 4=a 1q(1+q 2)=5,0<q <1,解得{a 1=8,q =12,因此,a n=a1q n-1=8×12n-1=24-n.(2)b n=log2a n=log224-n=4-n,则数列{b n}为等差数列,可得S n=n(b1+b n)2=n(3+4-n)2=7n-n22,∴S nn =7n-n22n=7-n2,则S n+1n+1−S nn=7-(n+1)2−7-n2=-12,∴数列S nn 为等差数列,则S11+S22+…+S nn=n(S11+S nn)2=n(3+7-n2)2=13n-n24=-14n-1322+16916,由n∈N*,可得n=6或n=7时,S11+S22+…+S nn取得最大值.21.解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为a n毫克,则a1=220,a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,a3=220+a2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.(2)由题意,得a n+1=220+25a n,∴a n+1-11003=25(a n-11003),∴{a n-11003}是以a1-11003=-4403为首项,25为公比的等比数列,∴a n-11003=-4403(25)n-1,∵-4403(25)n-1<0,∴a n<11003=36623,∴a n<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角恒等变换的应用(课后习题)【含答案及解析】
三角恒等变换的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021济宁高一期末)若tan α=2,则sin2α1+cos 2α=( )A.16 B .13C .23D .1tan α=2,则sin2α1+cos 2α=2sinαcosα2cos 2α+sin 2α=2tanα2+tan 2α=2×22+22=23.故选C .2.化简sin α2+cos α22+2sin 2π4−α2得( )A.2+sin α B .2+√2sin α-π4 C .2 D .2+√2sin α+π4解析原式=1+2sin α2cos α2+1-cos 2π4−α2=2+sin α-cos π2-α=2+sin α-sin α=2. 3.函数f (x )=sin x cos x+cos 2x-1的值域为( ) A.[-√2+12,√2-12] B.[√2-12,√2+12] C.[-1,0] D.[0,12](x )=sin x cos x+cos 2x-1=12sin 2x+1+cos2x 2-1=12sin 2x+12cos 2x-12=√22sin (2x +π4)−12, 因为-1≤sin (2x +π4)≤1,所以y ∈[-√2+12,√2-12].4.函数f (x )=sin 2x-π4-2√2sin 2x 的最小正周期是 .解析f (x )=√22sin 2x-√22cos 2x-√2(1-cos 2x )=√22sin 2x+√22cos 2x-√2=sin 2x+π4-√2,所以T=2π2=π. 5.若3sin x-√3cos x=2√3sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ= . -π6解析因为3sin x-√3cos x=2√3√32sin x-12cos x =2√3sin x-π6,因为φ∈(-π,π),所以φ=-π6. 6.化简:sin4x 1+cos4x ·cos2x 1+cos2x ·cosx1+cosx = .tan x2=2sin2xcos2x 2cos 22x ·cos2x 1+cos2x ·cosx1+cosx=sin2x 1+cos2x ·cosx1+cosx=2sinxcosx 2cos 2x ·cosx1+cosx=sinx 1+cosx =tan x2. 7.已知函数f (x )=4cos 4x -2cos2x -1sin (π4+x )sin (π4-x ). (1)求f (-11π12)的值; (2)当x ∈[0,π4)时,求函数g (x )=12f (x )+sin 2x 的最大值和最小值.f (x )=(1+cos2x )2-2cos2x -1sin (π4+x )sin (π4-x )=cos 22xsin (π4+x )cos (π4+x )=2cos 22x sin (π2+2x )=2cos 22xcos2x=2cos 2x , 所以f (-11π12)=2cos (-11π6)=2cos π6=√3.(2)g (x )=cos 2x+sin 2x=√2sin (2x +π4).因为x ∈[0,π4),所以2x+π4∈[π4,3π4), 所以当x=π8时,g (x )max =√2, 当x=0时,g (x )min =1.等级考提升练8.已知α满足sin α=13,则cos (π4+α)cos (π4-α)= ( )A.718B.2518C.-718D.-2518解析cos (π4+α)cos (π4-α)=cosπ2-π4-α·cosπ4-α=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α=12cos 2α=12(1-2sin 2α)=12(1-2×19)=718,故选A .9.(2021黑龙江哈尔滨道里高一期末)已知函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x-cos 2x ,x ∈R ,则( ) A.f (x )的最大值为1B .f (x )在区间(0,π)上只有1个零点C .f (x )的最小正周期为π2 D .x=π3为f (x )图象的一条对称轴 解析函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x-cos 2x=√3sin 2x-cos 2x=2√32sin 2x-12cos 2x =2sin 2x-π6,可得f (x )的最大值为2,最小正周期为T=2π2=π,故A,C 错误;由f (x )=0,可得2x-π6=k π,k ∈Z ,即为x=kπ2+π12,k ∈Z ,可得f (x )在(0,π)内的零点为π12,7π12,故B 错误;由fπ3=2sin2π3−π6=2,可得x=π3为f (x )图象的一条对称轴,故D 正确.故选D .10.设a=2sin 13°cos 13°,b=2tan13°1+tan 213°,c=√1-cos50°2,则有( )A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<ba=2sin 13°cos 13°=sin 26°,b=2tan13°1+tan 213°=tan 26°,c=√1-cos50°2=sin 25°,且正弦函数y=sin x 在区间[0,π2]上单调递增,所以a>c ;在区间[0,π2]上tan α>sin α,所以b>a ,所以c<a<b ,故选A . 11.已知函数f (x )=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数g (x )=λsin x cos x+sin 2x 的图象的一条对称轴是直线( ) A.x=5π6B.x=4π3C.x=π3D.x=-π3f (x )=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π3,0),所以f (π3)=0,即sin π3+λcos π3=0,解得λ=-√3,故g (x )=-√3sin x cos x+sin 2x ,整理得g (x )=-sin (2x +π6)+12,所以对称轴直线方程为2x+π6=k π+π2(k ∈Z ),当k=-1时,一条对称轴是直线x=-π3.12.(多选题)(2020福建福州一中高一期末)以下函数在区间0,π2上单调递增的有( ) A.y=sin x+cos x B.y=sin x-cos x C .y=sin x cos xD .y=sinxcosx解析对于A 选项,y=sin x+cos x=√2sin x+π4,当x ∈0,π2时,x+π4∈π4,3π4,所以函数在区间0,π2上不单调;对于B 选项,y=sin x-cos x=√2sin x-π4,当x ∈0,π2时,x-π4∈-π4,π4,所以函数在区间0,π2上单调递增;对于C 选项,y=sin x cos x=12sin 2x ,当x ∈0,π2时,2x ∈(0,π),所以函数在区间0,π2上不单调;对于D 选项,当x ∈0,π2时,y=sinxcosx=tan x ,所以函数在区间0,π2上单调递增.13.(多选题)(2020山东枣庄高一期末)设函数f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4,则f (x )( ) A.是偶函数B.在区间0,π2单调递减 C .最大值为2D .其图象关于直线x=π2对称解析f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4=√2sin 2x+π4+π4=√2cos 2x.f (-x )=√2cos(-2x )=√2cos 2x=f (x ),故f (x )是偶函数,A 正确;∵x ∈0,π2,所以2x ∈(0,π),因此f (x )在区间0,π2上单调递减,B 正确;f (x )=√2cos 2x 的最大值为√2,C 不正确;当x=π2时,f (x )=√2cos 2×π2=-√2,因此当x=π2时,函数有最小值,因此函数图象关于x=π2对称,D 正确.14.已知cos θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cos θ2的值为 .解析因为θ∈(π,2π),所以θ2∈π2,π,所以sin θ2=√1-cosθ2=45,cos θ2=-√1+cosθ2=-35, 所以sin θ2+cos θ2=15.15.化简:tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= .1 解析原式=sin70°cos70°·cos 10°·√3sin20°cos20°-1=sin70°cos70°·cos 10°·√3sin20°-cos20°cos20°=sin70°cos70°·cos 10°·2sin (-10°)cos20°=-sin70°cos70°·sin20°cos20°=-1. 16.已知函数f (x )=4tan x sin (π2-x)cos (x -π3)−√3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)讨论f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性.f (x )的定义域为{x |x ≠π2+kπ,k ∈Z}.f (x )=4tan x cos x cos (x -π3)−√3 =4sin x cos (x -π3)−√3 =4sin x (12cosx +√32sinx)−√3 =2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x )-√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin (2x -π3). 所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z 的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z .由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z . 设A=[-π4,π4],B=x -π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z ,易知A ∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f (x )在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.新情境创新练17.如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(Rt △EFG ,E 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口E 是AB 的中点,F ,G 分别落在AD ,BC 上,且AB=20 m,AD=10√3 m,设∠GEB=θ.(1)试将污水管道的长度l 表示成θ的函数,并写出定义域; (2)当θ为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度.由题意,∠GEB=θ,∠GEF=90°,则∠AEF=90°-θ.∵E 是AB 的中点,AB=20 m,AD=10√3 m . ∴EG=10cosθ,EF=10cos (90°-θ)=10sinθ. ∴FG=√EG 2+EF 2=10cosθsinθ. 则l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,定义域θ∈π6,π3.(2)由(1)可知,l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,θ∈π6,π3.化简可得l=10(sinθ+cosθ)+10sinθcosθ.令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4.∵θ∈π6,π3,∴θ+π4∈5π12,7π12,可得sin θ+π4∈√6+√24,1,则t ∈√3+12,√2.可得sin θcos θ=t 2-12,且t ≠1, 那么l=10+10t t 2-12=20(1+t )t 2-1=20t -1. 当t=√3+12时,l 取得最大值为20(1+√3).此时t=√2sin θ+π4=√3+12,即θ+π4=5π12或7π12,∴θ=π6或π3.故当θ=π6或π3时,污水净化效果最好,此时管道的长度为20(1+√3)m .。
新北师大版小学数学六年级上册全书课本课后应用题重点题练习题
新北师大版小学数学六年级上册全书课本应用题重点题练习题1.汽车车轮的半径为0.3米，它滚动1圈前进多少米？滚动1000圈前进多少米？2.花坛的周长是62.8米，你能求出这个圆形花坛的直径吗？3.妙想要为半径为3cm的圆形小镜子围一圈丝带，她现在有18cm的丝带，够吗？4.一个一面靠墙，另一面用竹篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径为6米，篱笆长多少米？5.甲沿着边长为2cm的正方形走一圈，乙沿着直径为2cm的圆走一圈，谁走的路程长？6.在一个边长为10cm的正方形中放置一个最大的圆。
这个圆的面积是多少？7.长12.56米的绳子正好绕树干10圈,树干横截面的直径大约是多少呢？8.有一个圆形蓄水池。
它的周长约是31.4米，它的占地面积约是多少？9.在一个边长为4cm正方形中画一个面积最大的圆，圆的面积是多少？剪去这个最大的圆，剩下部分的面积是多少？10.画一个半径是2厘米的圆，并求出它的周长和面积。
11.一个运动场的形状与大小如图。
两边是半圆形，中间是长方形，这个运动场的占地面积是多少？12.绳长6m，小羊能吃到的草的面积有多大？某钟表的分针长10厘米。
（1）从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米?(2)从1时到2时，分针扫过的面积是多少平方厘米？13.小明用两根长度都是62.8厘米的铁丝分别围成正方形和圆，它们围成的面积一样大吗？先估计在计算。
14.一个圆的直径为16cm，一个长方形与它面积相等，长方形的长为16cm，长方形的宽是多少厘米？1，航模小组的15.气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的33。
航模小组有多少人？人数是摄影小组的43，科技组的人数是16.合唱组有120人，美术组的人数是合唱组的52，科技组有多少人？美术组的32的城市供水不足，在这些供水17.我国约有669个城市，其中约有31的城市严重缺水，全国严重缺水的城市大约不足的城市中，又约有4有多少个？18.第十届动物车展，第一天成交量：65辆，第二天成交量比第一天1，第二天的成交量是多少？增加了519.十一黄金周，星星游乐场第一天的门票收入为960元，第二天1，第二天的门票收入是多少元？这两天的门票收入比第一天增加了6一共是多少元？20.一本故事书有820页，第一周看了全书的41，第二周看的是第一周的58，第二周看了多少页？21.有两只船，大船一次运5吨货物，小船一次运载的货物是大船的52，大船6次运完的货物，如果改用小船运，几次可以运完？22.有三瓶饮料，每瓶53升，要到9杯，每个杯子51升。
经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高
第一章 函 数习 题 一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解 （１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３ 或 x－２＜－３由此得 x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证 （１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解 （１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解 （１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０ 且 ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０， １－x＞０， １－x≠１解得 ｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得 x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０， x－１０≠０， x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０， （x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０ 且 x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０ 且 x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解 因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２； （２）y＝ｅ｜x｜．解 （１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６）， x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２； （２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解 （１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ； （２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解 （１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x）， x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时， f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时， f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx； （２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解 （１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x； （２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３， x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解 （１）由y＝１－x１＋x 解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞）， Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５）， y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２ （舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x； （２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解 （１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解 设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０ 所以c＝０又知R（１０）＝８００， R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００， ４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０， ２０a＋b＝６０由此解得 a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解 设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解 供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１ （倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p， Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答 （１）（－∞，０］，１４，３４； （２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解 （１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得 p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）； （Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答 （１）Ｃ； （２）Ｃ； （３）Ｄ； （４）Ｄ； （５）Ｂ．解 （１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解 令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证 （１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２） （f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２） （g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若 a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２） （或f（x１）＞f（x２））若 a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２） （或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证 因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１， ｜g（x）｜＜M２， 橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证 要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解 由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解 设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ， ０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００）， ７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解 设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解 设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２， b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章 极限与连续习 题 二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解 （１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证 （１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε （∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解 （１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证 （１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解 （１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解 （１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解 （１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解 （１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解 （１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解 令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解 （１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以 ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解 （１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解 （１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答 （１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解 （１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答 （１）Ｄ； （２）Ｄ； （３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ； （６）Ｄ； （７）Ｃ； （８）Ｂ．解 （１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞， ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。
高等数学经济应用数学基础微积分课后习题答案
高等数学经济应用数学基础微积分课后习题答案标题：高等数学经济应用数学基础微积分课后习题答案详解高等数学是大学数学的重要组成部分，它在经济、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在经济应用数学基础微积分课程中，学生需要掌握微积分的基本概念和技能，包括极限、导数、微分、积分等。
本文将对这些基本概念和技能进行详细的解释，并给出一些相应的例题和答案。
一、极限极限是微积分的基础，它描述了一个变量在趋近于某个值时变化的趋势。
在数学上，我们用lim表示极限，记作lim f(x) = A，其中f(x)是自变量x的函数，A是一个常数。
例1：求lim(x->0) sin(x)/x。
解：当x趋近于0时，sin(x)和x都趋近于0，因此我们可以使用洛必达法则来求解。
将分子和分母分别求导，得到lim(x->0) cos(x)/1 = 1。
二、导数导数描述了一个函数在某一点的变化率，记作f'(x)。
如果f'(x)是一个常数，那么f(x)就是线性的；如果f'(x)不是常数，那么f(x)就是非线性的。
例2：求f(x) = x^3的导数。
解：f'(x) = 3x^2。
三、微分微分是导数的逆运算，它描述了一个函数在某一点的微小变化。
记作df(x) = f'(x)dx。
例3：求f(x) = x^3的微分。
解：df(x) = 3x^2dx。
四、积分积分是微分的逆运算，它可以将一个函数的微小变化累积起来，得到这个函数的积分。
记作∫f(x)dx。
例4：求∫(x^2)dx。
解：∫(x^2)dx = (1/3)x^3+C，其中C为常数。
以上就是微积分的基本概念和技能，通过这些例题和答案，我们可以更好地理解和掌握这些概念和技能，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
经济应用数学基础教案标题：经济应用数学基础教案一、文章类型与目标本文将提供一份全面的经济应用数学基础教案，旨在为教师提供教学指导，帮助学生掌握与经济相关的数学基础知识，为进一步学习经济学、金融学等专业课程打下坚实的基础。
最新一年级下学期数学应用题课后练习题
最新一年级下学期数学应用题课后练习题班级：________ 姓名：________ 时间：________ 1. 这一队一共有多少人？□○□○□＝□（人）2. 看图列式。
□+□=□(只)______ □-□=□(只)______3. 列式计算。
已知小汽车和大卡车共12辆，开走4辆小汽车，求剩下的大卡车的辆数________________________________________4. 学校图书馆原来有15本《数学故事》，借走10本，还剩多少本？□○□＝□（本）5. 看图列式计算。
每只海豚顶1个球，还差几个球?______（______）______=______（个）6. 看图回答。
（1）碗里有多少个饺子？（2）□○□=□7. 一共有多少个小朋友？□○□＝□8. 一共有几朵花？□○□＝□（朵）□○□＝□（朵）9. 小松鼠摘松果。
（1）平平和安安一共摘了多少个松果？□○□＝□（2）平平和乐乐一共摘了多少个松果？□○□＝□10. 列式计算。
原来有______个球，小刚又拿来______个，现在有多少个球。
11. 看图列式计算。
____________________12. 树上原来有4只鸟，飞走了1只，又飞来8只。
现在树上一共有多少只鸟？□○□○□＝□（只）13. 水果店里有11箱水果，卖出一些后还剩下5箱，水果店卖出了多少箱水果？□○□＝□（箱）14. 一共有多少盆花？□○□＝□（盆）口答：一共有（）盆花。
15. 妈妈准备买其中的两盒苹果。
最少买多少个？□○□＝□（个）最多买多少个？□○□＝□（个）16. 车上原来有8人，下车5人，又上车6人，现在车上有多少人？□○□○□＝□（人）17. 丽丽折了几只纸船？□○□＝□（只）18. 亮亮今年9岁了，生日蛋糕上还需要插上几支蜡烛呢？□○□＝□（支）19. 一共采了多少个松果？□○□＝□（个）20. 小熊原来有多少块饼干？□○□＝□（块）口答：小熊原来有（）块饼干。
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思考题：
1.考察温度对某种产品的产品率的影响，选定5种不同的温度。
每种温度下做3次实验，测得结果如表1所示。
试分析温度对成品率有无显著影响（0.05α=，0.05(4,10) 3.48F =）。
解：设成品率为ij i ij X με=+,1,2,3,4,5;1,2,3.i j ==
原假设0H ：123μμμ==；备择假设1H ：i j μμ≠，至少有一对这样的i j 、。
这里5,5(1,2,3,4,5),15.i a n i n ====
225
3
2
222..111344.2591.4292.75....81.33285.0988315
T ij
i j X S X n ===∑∑-=+++-≈
()22225
2.
..11 91.4292.3789.51344.25[()]15232.085.4487.2181.33586
i A i i
X X S n n ==∑-=+++-
≈⋯+++ 285.09232.8652.23E T A S S S =-=-=
T S 、A S 、E S 的自由度分别为14、4、10。
232.8652.23
58.22, 5.221410
A E A E S S MS MS a n a =
=≈==≈-- 根据以上数据列方差分析表如表
2所示。
由题知0.05α=，0.05(4,10) 3.48F =。
这里0.0511.15 3.48(4,10)F F =>=，故拒绝原假设0H ，接受1H ：i j μμ≠，说明温度对成品率有显著影响。
2.合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数，今发现它和电流的周波有密切关系，生产中测得数据如表3： 电流周波（x ）
49.2
50.0 49.3 49.0 49.0 49.5 49.8 49.9 50.2 50.2 导丝盘速度（y ） 16.7
17.0 16.8 16.6
16.7
16.8
16.9
17.0 17.0
17.1
试求速度y 关于周波x 的一元回归方程，并对回归方程进行显著性检验。
求出050.5x =处的预报值和预报区间(0.10)α=。
解：由题意可画出散点图如图1，
0/x C
图1 散点图
从图中可看出，()x μ大致是线性函数，即应为a bx +的形式。
可假设导丝盘速度y 满足一元正态线性回归模型y a bx ε=++，2(0,)N ε
σ的条件，来求y 关于x 的线性回归方程。
这里n=10.为求回归方程，对所需要的计算列于下表。
i i x i y 2i x 2i y i i x y
1 49.
2 16.7 2420.64 278.89 821.64 2 50 17 2500 289 850
3 49.3 16.8 2430.49 282.2
4 828.24 4 49 16.6 2401 275.56 813.4 5
49
16.7
2401
278.89
818.3
496.149.61,168.616.86
1010
x y
=⨯==⨯=
2
22
1
24613.511049.61 1.989
n
xx i
i
S x nx
=
=-=-⨯=
∑
1
8364.921049.6116.860.674
n
xy i i
i
S x y nx y
=
=-=-⨯⨯=
∑
由式ˆˆ
ˆ,xy
xx
S
b a y xb
S
==-可得
0.674
ˆ0.339
1.989
xy
xx
S
b
S
==≈
ˆ
ˆ16.8649.610.3390.042
a y xb
=-=-⨯=
所以线性回归方程为ˆ0.0420.339
y x
=+
显著性检验：2
1
()0.244
n
yy i
i
S y y
=
=-=
∑，
22
ˆ()0.2440.339 1.9890.0154
e yy xx
Q S b S
=-=-⨯=，
2
0.0154
ˆ0.0019
28
e
Q
n
σ==≈
-
，求出
10.968
t==≈
又
0.10
0.05
22
α
==，28
n-=，查出
0.05
(8) 1.860
t=。
这里10.968 1.860,
>即t的值在
H的拒绝域内，则拒绝
H，说明回归效果是很显著的。
在
50.5
x=处的回归值ˆ0.0420.33950.517.1615
y=+⨯=
()(50.5) 1.8600.085
x
δδ
==≈
所以预报区间为
（17.1615-0.085,17.1615+0.085）=（17.0765，17.2465）。
所以预报区间为（17.1,17.3）。