应用数学课后习题

思考题：

1.考察温度对某种产品的产品率的影响，选定5种不同的温度。每种温度下做3次实验，测得结果如表1所示。

试分析温度对成品率有无显著影响（0.05α=，0.05(4,10) 3.48F =）。 解：设成品率为ij i ij X με=+,1,2,3,4,5;1,2,3.i j ==

原假设0H ：123μμμ==；备择假设1H ：i j μμ≠，至少有一对这样的i j 、。 这里5,5(1,2,3,4,5),15.i a n i n ====

225

3

2

222..111344.2591.4292.75....81.33285.0988315

T ij

i j X S X n ===∑∑-=+++-≈

()22225

2.

..11 91.4292.3789.51344.25[()]15232.085.4487.2181.33586

i A i i

X X S n n ==∑-=+++-

≈⋯+++ 285.09232.8652.23E T A S S S =-=-=

T S 、A S 、E S 的自由度分别为14、4、10。

232.8652.23

58.22, 5.221410

A E A E S S MS MS a n a =

=≈==≈-- 根据以上数据列方差分析表如表

2所示。

由题知0.05α=，0.05(4,10) 3.48F =。

这里0.0511.15 3.48(4,10)F F =>=，故拒绝原假设0H ，接受1H ：i j μμ≠，说明温度对成品率有显著影响。

2.合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数，今发现它和电流的周波有密切关系，生产中测得数据如表3： 电流周波（x ）

49.2

50.0 49.3 49.0 49.0 49.5 49.8 49.9 50.2 50.2 导丝盘速度（y ） 16.7

17.0 16.8 16.6

16.7

16.8

16.9

17.0 17.0

17.1

试求速度y 关于周波x 的一元回归方程，并对回归方程进行显著性检验。求出050.5x =处的预报值和预报区间(0.10)α=。 解：由题意可画出散点图如图1，

0/x C

图1 散点图

从图中可看出，()x μ大致是线性函数，即应为a bx +的形式。可假设导丝盘速度y 满足一元正态线性回归模型y a bx ε=++，2(0,)N ε

σ的条件，来求y 关于x 的线性回归方程。

这里n=10.为求回归方程，对所需要的计算列于下表。

i i x i y 2i x 2i y i i x y

1 49.

2 16.7 2420.64 278.89 821.64 2 50 17 2500 289 850

3 49.3 16.8 2430.49 282.2

4 828.24 4 49 16.6 2401 275.56 813.4 5

49

16.7

2401

278.89

818.3

496.149.61,168.616.86

1010

x y

=⨯==⨯=

2

22

1

24613.511049.61 1.989

n

xx i

i

S x nx

=

=-=-⨯=

∑

1

8364.921049.6116.860.674

n

xy i i

i

S x y nx y

=

=-=-⨯⨯=

∑

由式ˆˆ

ˆ,xy

xx

S

b a y xb

S

==-可得

0.674

ˆ0.339

1.989

xy

xx

S

b

S

==≈

ˆ

ˆ16.8649.610.3390.042

a y xb

=-=-⨯=

所以线性回归方程为ˆ0.0420.339

y x

=+

显著性检验：2

1

()0.244

n

yy i

i

S y y

=

=-=

∑，

22

ˆ()0.2440.339 1.9890.0154

e yy xx

Q S b S

=-=-⨯=，

2

0.0154

ˆ0.0019

28

e

Q

n

σ==≈

-

，求出

10.968

t==≈

又

0.10

0.05

22

α

==，28

n-=，查出

0.05

(8) 1.860

t=。

这里10.968 1.860,

>即t的值在

H的拒绝域内，则拒绝

H，说明回归效果是很显著的。

在

50.5

x=处的回归值ˆ0.0420.33950.517.1615

y=+⨯=

()(50.5) 1.8600.085

x

δδ

==≈