解读波利亚的教育思想
[精品]乔治波利亚的学习教学三原则
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波利亚的数学教育宗旨是：“教会思考”，“培养创造精神”，“倡导探索式教学”，既注重智能因素的培养，又不忽视非智能因素的作用。
为了贯彻自己的教育宗旨，波利亚提出了学习、教学的三条原则：（1）主动学习原则（现在倡导的自主学习）。
波利亚认为：学习任何知识的最佳途径都是自己去发现。
对此十八世纪德国物理学家里希坦伯格曾说“那些曾使你不得不亲自去发现的东西，会在你脑海里留下一条途径，一旦有所需要，你就可以重新运用它”。
（2）最佳动机原则（学习兴趣）。
波利亚学习兴趣的看法是“所学内容的兴趣乃是学习最佳的刺激，强烈的心智活动所带来的愉悦乃是这种活动最好的报偿。
为了有效地学习，学生应当对所学习的内容材料感到兴趣并且在学习活动中找到乐趣。
此外除了这些学习的最佳动机之外，也还有其他的，其中有些也是值得考虑的动机（如不认真学习会带来的惩罚等等）”。
使学生感兴趣的学习材料是教学内容本身的内在魅力，而最佳动机则是学生期望在学习、探索这种强烈心智活动中找到乐趣的心理状态。
（3）阶段序进原则（小步子原则）。
康德说过：“人的认识从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想。
”波利亚认为：“学习从行动和感受开始，在从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯。
”波利亚把人类学习全过程分为三个阶段：探索阶段、形式化阶段和同化（内化）阶段。
第一个探索阶段更接近于行动和感受，是对事物的观察和初步了解，处于比较直观和启发式的水平上；第二个形式化阶段，是对所接触的事物进行了分类整理，引入了适当的定义、术语、证明等，认识了其中的规律性，上升到较为概念化的水平上；第三个同化阶段，应当有一种洞察事务“内部环境”的尝试，学习者已经消化吸收了学习材料内容，并把它整合到了自己的知识体系中去，融入到了学习者的整个精神世界中去，他们当用到的时候能随时运用它。
此外还把对事物的规律在更广的范围内被认识、推广和应用。
综合而言波利亚认为:对于有效的学习，在语言文字表达及概念建立的阶段之前应当有一个探索阶段，最后，学习所得将转化为学生的才能和品性，融入其中，变成精神素质的一部分。
波利亚教育思想对中学数学教学实践的指导作用
波利亚教育思想对中学数学教学实践的指导作用
胡勃拉•波利亚的教育思想被广泛应用于21世纪的信息时代中学数学教育实践中。
在他的著名著作《学校普及数学课本》中，他解释了一种超越现行小学课程范式的更加技术化和复杂的数学教育理念，以满足高中学生的认知发展要求，让他们处理更多的抽象和复杂的数学概念。
他的教育思想主张以学生的实际需求为中心，侧重学生思维发展，鼓励他们大胆地提出问题和假设，使他们自主分析数学问题，在课堂中展示他们的想法，由此培养数学实践能力。
拜波利亚提出的“教育在学习中”，即“在学习中学习”思想，也得到了广泛应用。
他强调，培养学生掌握科学技能，需要教师创造一个活跃的教育环境，比如设计有趣的教学实践，丰富的教学资源，让学生在课堂中多动手、多思考，主动参与实际问题的解决，从而提升学生的实践能力和动手能力。
通过胡勃拉•波利亚的教育思想，我们可以发现，以学生自主学习为核心要求的中学数学教学实践日趋成熟，教师不只是传授知识，而且要能够充分激发学生的发掘数学知识的探索能力，让学生在挑战中有更多的创新可能性。
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
列方程(组)解应用题的一般步骤： 审题 ； (1)_______ 设元 ； (2)_______ 等量关系 (3)找出包含未知数的___________； 列出方程(组) ； (4)_______________ 求出方程(组)的解 ； (5)___________________ 检验并作答 ． (6)_____________
在列方程（组）解应用题时，一般采用直 接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用 什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系 ，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量 关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的 个数要与未知数的个数相同。 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样 的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时 解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用 学过的知识来判断是什么方程（组），然后， 根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组 ）。
初中数学应用题类型分类
方程应用题
一次函数应用题
统计应用题 其他应用题
不等式应用题
二次函数应用题
解直角三角形应用题
一、方程应用题芈月传中的数学题
• 例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人 类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植 树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面 积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平 均每年增长的百分率。 • 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按 定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折 出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即 审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解 方程)，检(检验)，答。 考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄 问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问 题等。
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义
波利亚(Pythagoras)，古希腊的伟大的数学家和哲学家，他的数学思想对后来的数学有着深远的影响，尤其是他的数学教育思想在中学数学教育中也起到了重要的作用。
本文将通过对波利亚的教育思想的分析，来了解其对中学数学教育的指导意义。
一、波利亚的教育思想
波利亚的教育思想主要是以精神和物质两方面作为处理教育问
题的基础。
1、精神：波利亚认为，学习在精神上是最重要的，即主动性、
独立性和智慧。
他要求学生具有良好的思维能力，能够运用自己的思维来解决问题。
2、物质：波利亚认为，学习也是物质方面的，要求学生通过实
践来掌握学习的内容。
如需要学习物理学的基础知识，可以通过实验来学习、理解物理现象；要求学习数学方面的知识，可以通过实际的计算、研究、分析掌握。
次、波利亚的教育思想对中学数学教育的指导意义
1、鼓励学生表达能力：波利亚认为，学生应该有自主性和独立性，这种独立性体现在对问题自主解决的能力上。
但在数学教育中，经常只要求学生掌握知识，而忽视了学生思维能力和表达能力的培养，教师应该多给学生提供有创造性的数学实验、活动，发展学生的思维能力和表达能力，这是波利亚的教育思想对中学数学教育的一项指导意义。
2、加强实践教学：波利亚认为，学习也是物质方面的，要求学生通过实践来掌握学习的内容。
因此，在数学教育中，要注重实践教学，培养学生实际操作能力，激发学生创新能力。
综上所述，波利亚的教育思想，对中学数学教育有着重要的指导意义，应该借鉴其良好的教育思想，创新教学方式，更好的促进学生的全面发展。
波利亚教学理论心得体会
一、引言在教育领域，波利亚教学理论是一种极具影响力的教育思想。
该理论强调学生自主学习、探究式学习和问题解决能力的重要性，对我国教育改革和发展产生了深远影响。
在学习波利亚教学理论的过程中，我深刻体会到了其独特的教育理念和方法，以下是我对波利亚教学理论的一些心得体会。
二、波利亚教学理论的核心思想1. 学生自主学习波利亚教学理论认为，学生是学习的主体，教师是学习的引导者。
在学习过程中，学生应该充分发挥自己的主观能动性，自主探索、自主发现、自主总结。
教师应尊重学生的个性差异，为每个学生提供适合自己的学习方式，激发学生的学习兴趣和积极性。
2. 探究式学习波利亚教学理论倡导探究式学习，即通过提出问题、分析问题、解决问题等环节，引导学生主动探究知识。
这种学习方式有助于培养学生的创新思维、批判性思维和问题解决能力。
3. 问题解决能力波利亚教学理论强调问题解决能力的重要性。
他认为，问题解决能力是学生综合素质的重要组成部分，是学生适应社会、实现自我价值的关键。
因此，教师在教学中应注重培养学生的问题解决能力。
三、波利亚教学理论的应用实践1. 教学设计在教学中，教师可以根据波利亚教学理论，设计出具有启发性和探究性的教学活动。
例如，在教学“分数”这一章节时，教师可以引导学生通过观察、操作、比较等方法，自主发现分数的意义和性质，从而加深对分数的理解。
2. 教学方法波利亚教学理论提倡多种教学方法，如案例教学法、讨论法、实验法等。
教师可以根据教学目标和学生的实际情况，灵活运用这些教学方法，提高教学效果。
3. 评价方式波利亚教学理论强调评价的多元性和动态性。
教师应关注学生在学习过程中的表现，从知识、能力、情感等多方面进行评价，激发学生的学习动力。
四、波利亚教学理论的启示1. 重视学生的主体地位波利亚教学理论提醒我们，学生是学习的主体，教师应尊重学生的个性差异，关注学生的需求，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究知识。
2. 培养学生的创新思维波利亚教学理论强调问题解决能力的重要性，这要求教师在教学中注重培养学生的创新思维。
一生的解题者——波利亚数学教育思想解读
Ｓ ｌ ） 《 学 的 发 现 》Ｍａｈｍ ｔ Ｄｓｏｅｙ 、数 学 与 猜 ｏ ｅｈ 、 数 ｖ （ ｔｅ ａｉ ｃ ｉ ｖ ｒ） 《 ｃ 想 》Ｍａ ｅ ａｃ ｎ Ｐａｓ ｌ Ｒ ａｏ ｉ ） 。 这 些 书 中可 发 （ ｔ ｍ ｔｓ ｄ ｌｕｉｅ ｅｓｎｎ 等 从 ｈ ｉ ａ ｂ ｇ 现 他所 开创 的解 题 精 神 ， 以及 他 在 数 学 教 育 领 域 内 有 着 极 其 精 深 的造 诣 。这 些 书 的 出 版 不 仅 对 美 国 的 中 学 数 学 教 育 具 有 重 要 的指 导 意 义 ， 而且 轰 动 了整 个 数 学 教 育 界 ． 今仍 畅 销 不 至 绝 ， 们 都是 深 受 欢 迎 的数 学 教 育 经 典 著 作 。特 别 是 《 样 解 它 怎
是 另 一 番 景 象 ： 各 种 各 样 不 计 其 数 的 鸟 ， 的 站 在 树枝 上 叫 ， “ 有 有 的飞 起 来 ， 的在 扑 翅 膀 。 ” 我 们 展 现 多 姿 的动 态 美 。而 有 为 后 ， 学生根据作 者的这一观察方 法 ， 地观察一 处景物 ， 让 实 抓 住 景 物 的 特 点 加 以描 述 ， 到事 半 功 倍 的效 果 。在进 行 语 言 文 收 字 训 练 时 ， “ 之 以渔 ” 教 给 学 生 自觉 观 察 事 物 的 方 法 ． 要 授 ， 把 着 眼 点 放 到 让 学 生 自己 怎么 去 说 、 读 、 写 上 。 去 去 为 了让 学 生 有 观 察 的兴 趣 ． 观 察 时教 师 要 给 他们 充 分 的 在 时 间 ， 他 们 轻松 愉 快 。 察 过 程 中要 帮 助 他 们 克 服 困难 ， 要 让 观 还 充 分 发 挥 他 们 的 积 极性 和 主 动性 ． 信 他 们 自己 能 发 现 ， 理 相 能 解 。 只要 他 们 有 了 观 察兴 趣 ， 文 就 不 会再 苦 于 无 材 料可 写 。 作 五 、 心 讲 课 。 养 兴趣 精 培 小 学 生 初 学作 文 ，对 用 文 字 表 达 自 己的 意 思 会 产 生 一 定 兴 趣 。 评 他 们 写 成 的作 文 时 ， 常 提 醒 自 己要 善 于 发 现 他 们 讲 经 习作 中 的 “ 光点 ” 坚 持 表扬 、 励 为 主 的 原 则 ， 意培 养 他 们 闪 ， 鼓 注 的兴 趣 ， 挫 伤孩 子 们 写 作 的积 极 性 ， 心 搞 好讲 评 。 不 精 对优 秀习 作 在 讲评 中 向全 班 学 生推 荐 并 在课 堂上 朗读 ， 析 对 中等 习作 评
波利亚数学教育思想
波利亚数学教育思想简介波利亚(George Polya)1881年12月13日出生于布达佩斯,后移居美国,1985年9月7日去逝.上世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家.波利亚一生著有数学教育论文和专著约300篇(部),其中最为著名的是《怎样解题》、《数学与合情推理》、《数学的发现》等,这些著作是他数学研究、数学史研究及教育研究与实践的结晶,影响之深远,为20世纪所罕见.为此,他被誉为上世纪最伟大的数学教育思想家.一、波利亚的解题教学思想波利亚认为“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力,而不仅仅是传授知识”.在数学学科中,能力指的是什么?波利亚说“:这就是解决问题的才智———我们这里所指的问题,不仅仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神.”他发现,在日常解题和攻克难题而获得数学上的重大发现之间,并没有不可逾越的鸿沟.要想有重大的发现,就必须重视平时的解题.因此,他说“,中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”,通过研究解题方法看到“处于发现过程中的数学”.他把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段与途径.这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同.波利亚的解题训练不同于“题海战术”,他反对让学生做大量的题,因为大量的“例行运算”会“扼杀学生的兴趣,妨碍他们的智力发展”.因此,他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目,还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面,使学生通过这道题目,就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.比如,“证明根号2是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目,前者通向实数的精确概念,后者是通向数论的门户,打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中.波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中,该书的中心思想是解题过程中怎样诱发灵感.书的一开始就是一张“怎样解题表”,在表中收集了一些典型的问题与建议,其实质是试图诱发灵感的“智力活动表”.正如波利亚在书中所写的“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表”“,表中的问题和建议并不直接提到好念头,但实际上所有的问题和建议都与它有关”.“怎样解题表”包含四部分内容,即:弄清问题;拟订计划;实现计划;回顾“.弄清问题是为好念头的出现作准备;拟订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.”波利亚所讲的好念头,就是指灵感.《怎样解题》一书中有一部分内容叫“探索法小词典”,从篇幅上看,它占全书的4/5.“探索法小词典”的主要内容就是配合“怎样解题表”,对解题过程中典型有用的智力活动作进一步解释.全书的字里行间,处处给人一种强烈的感觉:波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动,提高湖数学才能.从教育心理学角度看“,怎样解题表”的确是十分可取的.利用这张表,教师可行之有效地指导学生自学,发展学生独立思考和进行创造性活动的能力.在波利亚看来,解题过程就是不断变更问题的过程.事实上,“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”,如:你知道与它有关的问题吗?是否见过形式稍微不同的题目?你能改述这道题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易的有关问题?一个更普遍的题?一个更特殊的题?一个类似的题?你能否解决这道题的一部分?你能不能由已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改变未知数,或已知数,必要时改变两者,使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?波利亚说“:如果不‘变化问题’,我们几乎不能有什么进展“.”变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律.“题海”是客观存在的,我们应研究对付“题海”的战术.波利亚的“表”切实可行,给出了探索解题途径的可操作机制,被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”.著名的现代数学家瓦尔登早就说过“,每个大学生,每个学者,特别是每个教师都应读《怎样解题》这本引人入胜的书”.二、波利亚的合情推理理论通常,人们在数学课本中看到的数学是“一门严格的演绎科学”.其实,这仅是数学的一个侧面,是已完成的数学.波利亚大力宣扬数学的另一个侧面,那就是创造过程中的数学,它像“一门实验性的归纳科学”.波利亚说,数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个定理之前,先得猜想、发现出这个定理的内容,在完全作出详细证明之前,还得不断检验、完善、修改所提出的猜想,还得推测证明的思路.在这一系列的工作中,需要充分运用的不是论证推理,而是合情推理.论证推理以形式逻辑为依据,每一步推理都是可靠的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系.合情推理则只是一种合乎情理的、好像为真的推理.例如,律师的案情推理,经济学家的统计推理,物理学家的实验归纳推理等,它的结论带有或然性.合情推理是冒风险的,它是创造性工作所赖以进行的那种推理.合情推理与论证推理两者互相补充,缺一不可.波利亚的《数学与合情推理》一书通过历史上一些有名的数学发现的例子分析说明了合情推理的特征和运用,首次建立了合情推理模式,开创性地用概率演算讨论了合情推理模式的合理性,试图使合情推理有定量化的描述,还结合中学教学实际呼吁“:要教学生猜想,要教合情推理”,并提出了教学建议.这样就在笛卡尔、欧拉、马赫、波尔察诺、庞加莱、阿达玛等数学大师的基础上前进了一步,他无愧于当代合情推理的领头人.数学中的合情推理是多种多样的,而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理.拉普拉斯曾说过“:甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳与类比.”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视,并注意到更广泛的合情推理.他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式,还指出了其中的教学意义和教学方法.波利亚反复呼吁:只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话,数学教学中就必须有教猜想的地位,必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试.对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,他也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.他亲自讲课的教学片“让我们教猜想”荣获1968年美国教育电影图书协会十周年电影节的最高奖———蓝色勋带.1972年,他到英国参加第二届国际数学教育会议时,又为BBC开放大学录制了第二部电影教学片“猜想与证明”,并于1976年与1979年发表了“猜想与证明”和“更多的猜想与证明”两篇论文.怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法.波利亚说,教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地自觉去试验、观察,得到猜想.“学生自己提出了猜想,也就会有追求证明的渴望,因而此时的数学教学最富有吸引力,切莫错过时机.”波利亚指出,要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握合情推理.三、波利亚论教学原则及教学艺术有效的教学手段应遵循一些基本的原则,而这些原则应当建立在数学学习原则的基础上,为此,波利亚提出了下面三条教学原则.1.主动学习原则.学习应该是积极主动的,不能只是被动或被授式的,不经过自己的脑子活动就很难学到什么新东西,就是说学东西的最好途径是亲自去发现它.这样,会使自己体验到思考的紧张和发现的喜悦,有利于养成正确的思维习惯.因此,教师必须让学生主动学习,让思想在学生的头脑里产生,教师只起助产的作用.教学应采用苏格拉底回答法:向学生提出问题而不是讲授全部现成结论,对学生的错误不是直接纠正,而是用另外的补充问题来帮助暴露矛盾.2.最佳动机原则.如果学生没有行动的动机,就不会去行动.而学习数学的最佳动机是对数学知识的内在兴趣,最佳奖赏应该是聚精会神的脑力活动所带来的快乐.作为教师,你的职责是激发学生的最佳动机,使学生信服数学是有趣的,相信所讨论的问题值得花一番功夫.为了使学生产生最佳动机,解题教学要格外重视引入问题时,尽量诙谐有趣.在做题之前,可以让学生猜猜该题的结果,或者部分结果,旨在激发兴趣,培养探索习惯.3.循序阶段原则“.一切人类知识以直观开始,由直观进至概念,而终于理念”,波利亚将学习过程区分为三个阶段:①探索阶段———行动和感知;②阐明阶段———引用词语,提高到概念水平;③吸收阶段———消化新知识,吸取到自己的知识系统中.教学要尊重学习规律,要遵循循序阶段性,要把探索阶段置于数学语言表达(如概念形成)之前,而又要使新学知识最终融汇于学生的整体智慧之中.新知识的出现不能从天而降,应密切联系学生的现有知识、日常经验、好奇心等,给学生“探索阶段”;学了新知识之后,还要把新知识用于解决新问题或更简单地解决老问题,建立新旧知识的联系,通过新学知识的吸收,对原有知识的结构看得更清晰,进一步开阔眼界.波利亚说,遗憾的是,现在的中学教学里严重存在忽略探索阶段和吸收阶段而单纯断取概念水平阶段的现象.以上三个原则实际上也是课程设置的原则,比如:教材内容的选取和引入,课题分析和顺序安排,语言叙述和习题配备等问题也都要以学和教的原则为依据.有效的教学,除了要遵循学与教的原则外,还必须讲究教学艺术.波利亚明确表示,教学是一门艺术.教学与舞台艺术有许多共同之处,有时,一些学生从你的教态上学到的东西可能比你要讲的东西还多一些,为此,你应该略作表演.教学与音乐创作也有共同点,数学教学不妨吸取音乐创作中预示、展开、重复、轮奏、变奏等手法.教学有时可能接近诗歌.波利亚说,如果你在课堂上情绪高涨,感到自己诗兴欲发,那么不必约束自己;偶尔想说几句似乎难登大雅的话,也不必顾虑重重“.为了表达真理,我们不能蔑视任何手段”,追求教学艺术亦应如此.四、波利亚论数学教师的思和行波利亚把数学教师的素质和工作要点归结为以下十条.1.教师首要的金科玉律是:自己要对数学有浓厚的兴趣.如果教师厌烦数学,那学生也肯定会厌烦数学.因此,如果你对数学不感兴趣,你就不要去教它,因为你的课不可能受学生欢迎.2.熟悉自己的科目———数学科学.如果教师对所教的数学内容一知半解,那么即使有兴趣,有教学方法及其他手段,也难以把课教好,你不可能一清二楚地把数学教给学生.3.应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中熟知学习过程,懂得学习原则,明确认识到:学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现其中的奥秘.4.努力观察学生们的面部表情,觉察他们的期望和困难,设身处地把自己当作学生.教学要想在学生的学习过程中收到理想的效果,就必须建立在学生的知识背景、思想观点以及兴趣爱好等基础之上.波利亚说,以上四条是搞好数学教学的精髓.5.不仅要传授知识,还要教技能技巧,培养思维方式以及得法的工作习惯.6.让学生学会猜想问题.7.让学生学会证明问题.严谨的证明是数学的标志,也是数学对一般文化修养的贡献中最精华的部分.倘若中学毕业生从未有过数学证明的印象,那他便少了一种基本的思维经验.但要注意,强调论证推理教学,也要强调直觉、猜想的教学,这是获得数学真理的手段,而论证则是为了消除怀疑.于是,教证明题要根据学生的年龄特征来处理,一开始给中学生教数学证明时,应该多着重于直觉洞察,少强调演绎推理.8.从手头中的题目中寻找出一些可能用于解今题目的特征———揭示出存在于当前具体情况下的一般模式.9.不要把你的全部秘诀一古脑儿地倒给学生,要让他们先猜测一番,然后你再讲给他们听,让他们独立地找出尽可能多的东西.要记住“,使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又尽”(伏尔泰).10.启发问题,不要填鸭式地硬塞给学生.参考文献刘云章,赵雄辉.波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社,1998.。
解读波利亚解题思想培养创造性思维
给一点发明的尝试。对于一个想以数学作为终身职业 题为目的的”。如， 你知道与它有关的问题吗？ 你能不
的学生来说， 为了在数学上取得真正的成就， 就得掌 能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题？ 你是
握合情推理； 对于一般学生来说， 他也必须学习和体 否见过形式稍微有不同样的题目？ 你能不能想出一个
模式。在这里， 我们可以引导学生弄清问题， 审清题
３． 炼就学生的 质 疑 思维 能 力 ， 是培 养 学 生创 造 性
意， 深入观察， 发现题中所显示的规律只是一种迷人 思维的重点。波利亚致力于培养学生的独立探索能
的假象， 并不能帮助解题 ， 突 破 这种 定 势 的干 扰 ， 最 终 力。从教育心理学角度 看 ，“怎 样解 题 表 ”的确 是 十 分
思维的关键。波利亚 反复 呼 吁 ： 只要 我 们 能承 认 数 学 探索法”的主要特点就是变更问题， 诱发灵感。在波利
创 造 过 程 中 需 要 合 情 推 理 、需 要 猜 想 的 话 ， 数 学 教 学 亚看来， 解题过程就是不断变更问题的过程。事实上，
中 就 必 须 有 猜 想 的 地 位 ， 必 须 为 发 明 做 准 备 ， 或 至 少 “怎样解题表”中许 多问 题 和 建议 都 是“直接 以 变 化问
但这可能是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势 生猜想。这样随着猜想 的 不 断深 入 ， 学 生的 创 造 性动
的 干 扰 表 现 为 思 维 的 呆 板 性 ， 而 深 刻 地 观 察 、细 致 的 机 被 有 效 地 激 发 出 来 ， 创 造 性 思 维 得 到 了 较 好 的 培
分析， 克服了这种思维弊端， 形成自己有创见的思维 养。
验合情推理， 这是他未 来生 活 的 需要 。在 我 们的 数 学 更 容 易 着 手 的 有 关 问 题 ， 一 个 更 普 遍 的 题 、一 个 更 特
波利亚的数学思想
3怎样才能真正学会解题?
(1)必须学会”观察,模仿他人在解题时的所作所 为”. (2)应该去发现”你在做什么?”和”应该做些什 么”? 之间的差别. = {1,a ,b} , B = {a ,a 2 ,ab} A 例1设集合 且A=B,求实数 a,b的值．
例２：已知集合
A = x y = − x 2 + mx − 1 B = {( x , y ) x + y =3,0 ≤ x ≤ 3}
{
}
若有且仅有一个点同时属于Ａ和Ｂ，求实数a,b 应满足的条件． 例３：已知集合
A = { x x = 12a + 8b,a ,b ∈ Z }
B = { y y = 20c + 16d ,c ,d ∈ Z }
判断集合Ａ与Ｂ之间的关系，并说明理由．
四.波亚利教育思想的核心
1数学教育的目的是什么? (1)传统的教育目的; (2)现代的教育目的. (3)现代社会对数学的实用情况. 生产数学的人1%,使用数学的人29%,基本不用数 学的人70%. 2 教什么样的数学?数学是什么?数学有什么特点? (1)数学有两个侧面;(2)教有目的的思考.教正规的 演绎推理,也教非正规的合情推理.(3)类比推理.
波利亚的数学思想
一．简历乔治．波利亚（１８８７－１９８５） 当代著名的数学家数学教育家美籍匈牙利人． 二．工作： １实变函数论，复变函数论，概率论，组合数学， 数论，几何，微分方程等方面都做出了许多开创 性工作． ２数学教育：<怎样解题>,<数学的发现>,<数学与 猜想>. 三.波利亚的影响:波利亚风格,波利亚的方法,已经 成为美国及全球的许多教师的口头禅.1980担任国 际数学大会主席.
乔治波利亚教育思想简介
一、关于数学教育的目的
波利亚就现代社会对高中数学知识的使 用情况进行概算：
数学家等生产数学的人占1%， 直接使用数学的人占29%， 而不使用数学的人占70%。
因此波利亚主张数学教育的目标是提高学生的“一般文化 素养”
波利亚长期奉行的教育宗旨是：“教会那些年轻人去思 考”．他认为与其给人以死板的知识，不如给人以活的生动 的方法，以点石成金的手段乔治-Biblioteka 利亚——掌握数学意味着善于解题
波利亚（George Polya 1887-1985）， 美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒 于 。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、 巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博 士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学 任教，1938年任数理学院院长。
1940年移居 ，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获 数 学会功勋奖。他是法国科学院、 全国科学园和匈牙利科学院的院 士。 曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等， 它们被译成多种文字，广为流传。
五、关于解题观
在乔治· 波利亚看来, 解题的过程, 是不断地变换题目的过程.
△你是否见过形式稍微不同的同样题目? △你知道与它有关的题么? △试想出一个有相同或相似未知数的熟题? △你能改述这题目么? 你能不能用不同的方法重新叙述它? △你能不能想出一个更容易着手的有关题? 一个更普遍的题? 一个更特殊的题? 一 个类似的题? △ 你能否解出这道题的一部分? △ 你能不能从已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其它 数据? △你能改变未知数. 或已知数, 必要时改变两者, 使新未知数和新已知数更加互相 接近么?
波利亚反对让须学弄生清 做大问量题的题,“把画 分配张给图他，的引 时间入塞适满当了的 例符 行运号算．来训练他的学生, 他就扼杀了学生的兴趣, 妨碍了他们的智力发展… …”
波利亚数学教育理论的现代启示
波利亚数学教育理论的现代启示随着社会的发展和科技的进步，教育改革在全球范围内持续进行，尤其在数学教育领域。
美国作为全球的教育大国，其数学教育改革的发展和成果具有深远的国际影响力。
本文将探讨美国现代数学教育改革的历史背景、具体措施及其对全球教育的启示。
在过去的几十年里，美国的教育体系经历了多次改革。
这些改革的目标都是提高学生的学术表现，特别是在数学领域。
由于历史和文化的因素，美国的数学教育在全球范围内一直处于领先地位。
然而，随着其他国家教育水平的提高和科技的飞速发展，美国的教育体系逐渐暴露出一些问题。
因此，自20世纪80年代以来，美国开始了一场大规模的教育改革运动。
强调基础知识和技能：美国的教育改革强调学生在数学方面应掌握的基础知识和技能。
这一目标是通过增加学生在数学方面的学习和实践时间来实现的。
还通过加强教师的教学方法和策略，以帮助学生更好地理解和掌握数学概念和技能。
创新教学方法：美国的教育改革鼓励教师采用创新的教学方法，如项目式学习、翻转课堂等。
这些方法旨在提高学生的参与度和自主学习能力，同时提高他们的创新思维和实践能力。
培养学生的思维能力和问题解决能力：美国的教育改革强调培养学生的思维能力和问题解决能力。
通过引入更多的实际问题解决课程和项目，学生可以在实践中学习和应用数学知识，从而提高他们的思维能力和问题解决能力。
提高教师的专业素养：美国的教育改革强调提高教师的专业素养。
通过提供更多的培训和发展机会，帮助教师提高他们的教学技能和专业知识，从而更好地指导学生。
美国的现代数学教育改革对全球教育产生了深远的影响。
它强调了基础知识和技能的重要性。
无论在哪个国家，学生都需要掌握基本的数学概念和技能，这是进一步学习和发展的基础。
创新的教学方法对于提高学生的参与度和自主学习能力至关重要。
全球范围内的教育者应该借鉴这些方法，并根据当地的文化和教育环境进行调整。
培养学生的思维能力和问题解决能力是教育的长期目标。
乔治.波利亚的数学教育思想
二波老数学教育思想的两个基点
一 数学是什么科学？ “用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系 统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像 是一门实验性的归纳科学”。 因此，数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科 学(从最后被确定的定型的数学来看)，又是一门 实验性的归纳科学(从创造过程中的数学来看)． 数学的两重性：归纳与演绎 数学学习的双翼:直觉与逻辑 数学教学的原则:先猜后证
解题表
• 为了回答“一个好的解法是如何想出来的” 这个令人困惑的问题，波利亚专门研究了 解题的思维过程，并把所得写成《怎样解 题》一书，其核心是一张表。 • “怎样解题”表的四个步骤： 弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾
怎样解题
1 弄 清 问 题
未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满 足条件是否可能？ 要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分 ？或者是多余的？或者是矛盾的？ 画张图。引入适当的符号。 把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？源自 3 实现 你的 计划 4 回 顾
实现你的求解计划，检验每一步骤。 即写出解题过程。
你能否检验这个论证？ 你能否用别的方法导出这个结果？ 你能不能一下子看出它来？ 你能不能把这结果或方法用于其他的问题？
• • • • • • • • •
你认为关键的是哪一步 拟定计划 易被忽视的是哪一步？ 回顾=反思 =提高 表的精髓是 启发你去联想 联想的目的是用来促发念头， ‘有某种念头来开始着手工作，这是很大的优点’， 真正糟糕的是‘我们根本就没有念头，因为想不起什么念 头，我们只有对问题感到疲倦的危险’。 • 他突出地强调了数学启发法的普遍性和常识性。
• “解题是人类的本性，我们可以把人类定义为解 题的动物 • 人们的生活充满了不可立即实现的目标， • 我们大部分的有意识思维是与解题相关的， • 当我们并末沉溺于娱乐或白日做梦时， • 我们的思想有着明确的目标：我们寻求达到这个 目标的道路或手段，或者去想出能借以达到目标 的步骤。” • “对于人类，没有其他事物比人的能动性更有意 思了，而人的能动性的最大特征就是解决问题， • 有目的地去思考和为达到预期目标而想法设法。 我们在这里的目的就是去了解这个能动性——这 应该引起我们极大的兴趣。”
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义波利亚（Euclid），古希腊智者，被认为是古代数学之父，他在三百年前创立了“几何原本”，其有关基本数学概念和定理及它们之间的联系，为数学发展历史做出了重大贡献。
同时，他的数学思想也影响了许多人的数学教育思想。
因此，了解波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义是十分重要的。
波利亚以经典的“几何原本”为基础，在其中建立了各种基本数学概念和定理，他坚持从实践出发，将一系列实践活动以实证的方法通过实验和实践来建立数学概念和定理，他坚持把握数学科学概念，并以数学形式来进行描述，他坚持以抽象理论为基础，将各种抽象理论相互结合。
他的这种数学教育思想，深深影响了后来的数学教育，也为中学数学教育提供了思路和指导。
首先，波利亚的数学教育思想强调从实践出发，以实证为主体，强调实验和实践，更注重学生实践能力和发现能力的培养。
因此，中学数学教育应该注重学生的实践、实践能力和发现能力的培养，以实践为主体，注重结合实际，合理地组织实验活动，发掘学生的发现能力。
其次，波利亚的数学教育思想坚持把握数学科学概念和数学形式，注重理解和记忆的积累，努力培养学生对各种数学思想和知识的正确认识和运用。
因此，中学数学教育要强调概念认识，加强把握数学科学概念和数学形式的能力，坚持正确理解和运用，努力加深学生对数学思想和知识的理解。
最后，波利亚的数学教育思想强调以抽象理论为基础，建立起抽象理论之间的联系，以拓展学生的数学思维。
因此，中学数学教育要坚持抽象思维，以抽象理论为基础，加强数学思维能力，努力拓展学生的数学能力。
总之，波利亚的数学教育思想主张从实践出发、把握数学科学概念和数学形式，以及以抽象理论为基础，它对中学数学教育提供了重要的指导意义，即：要注重学生的实践能力和发现能力的培养；要强调概念认识，加强把握数学科学概念和数学形式的能力；要努力加深学生对数学思想和知识的理解；要坚持抽象思维，以抽象理论为基础，加强数学思维能力，拓展学生的数学能力。
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义
波利亚的数学教育思想及其对中学数学教育的指导意义随着经济全球化的发展，人类的知识越来越重要，数学作为一门基础学科，对人类的知识非常重要。
因此，数学教育伴随着人类的进步，在发展过程中受到了许多伟大思想家的影响。
马太波利亚（Mattia Polia），是一位纽约大学（New York University）教授，也是一位著名的数学家，他的数学教育思想深刻影响了中学数学教育。
本文旨在从数学教育角度出发，探讨马太波利亚的数学教育思想，并探讨他对中学数学教育的指导意义。
一、马太波利亚（Mattia Polia）的数学教育思想马太波利亚是纽约大学教授，他的数学教育思想以其独特的见解著称。
他相信，数学教育是一种新兴的学科，应用近代的科学原理和方法。
同时，他将数学教育视为一个学习过程，学生可以从中自主学习，发现数学。
他主张在教学过程中，应该引导学生深入到数学的本质中，注重细节，找出更多的知识点，并注重培养学生的动手能力，而不是一味掌握数学公式。
此外，他还认为，数学教育过程应通过比较、反思和探究，将有限的数学解决方案延伸到更大的范围，以及注重理论与应用知识的有机结合，充分发挥数学的实践性功能，形成数学的系统性思维模式，并将其应用到实践中去。
最重要的是，他认为教师在教学中，应该把学生的身心发展作为目标，重视学生在思想上和实践上的发展，以及引导他们成为思想家，培养他们的创新精神。
二、马太波利亚（Mattia Polia）对指导中学数学教育思想的意义马太波利亚的数学教育学说认为，教育是一种全面发展的学习过程，它不局限于抽象的理论，要培养学生的思维能力，引导学生建立自我的系统性思维模式，将理论与实践结合，形成一种有组织的知识体系，并将其应用到实践中去，从而提高学生的实践能力和创新能力。
因此，这些数学思想对于指导中学数学教育也是能够体现的，其中最重要的有：（1）在教学过程中要重视学生的实践能力，并在教学过程中注重发展学生的动手能力。
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果波利亚“怎样解题”的思想，内容及实践结果乔治.波利亚(George Polya) 1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。
在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。
最终得出一个求解计划。
”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。
联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和提示性的问题吧。
“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？┅ ┅”这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。
解读波利亚的教育思想
解读波利亚的教育思想解读波利亚的数学教育思想应该是每一位有志数学教师必须做的工作，利用06年的暑假时间，我简单地了解波利亚的一些数学教育思想。
现提炼如下：一、波利亚教育思想概述1、学教育的核心问题：“数学教育的目的是什么”？传统的教育仅仅传授给人们共享的科学成就，艺术或其他的知识体系，使得文化遗产得到保存和流传，（侧重知识的传授，使得几千年的知识体系得以延续）波利亚认为：数学教育的目标应该是提高学生的“一般素养”，“首先和主要的目标应当教会年轻人思考”，他强调：任何一门学问都是由知识和技能组成，技能是运用知识的能力，在数学里，技能比仅仅掌握知识更重要。
2、数学教育应该教怎么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？波利亚认为：数学既是演绎体系又是归纳体系，既有完美的形式又有发展过程中的稚气，既是是证明的科学又是实验科学，即数学具有两重性。
同时，他强调：数学教育应当教有目的的思考，教正规的演绎推理，包括非正规的似真的合情推理。
这里所说的思考不是空想，是有目的、有意义、有成果的思考。
且数学思考又不是完全“正规”，他不仅涉及公理、定义、严格证明，也包括从观察到猜想再到归纳类比。
而教会学生解题是教会学生思考，培养他们独立探索的一条有效的途径。
3、如何培养学生的思考能力？波利亚强调：注重“思想应该在学生的头脑中产生出来，而老师只应起一个产婆的作用”他认为：最适宜的教学形式应该是“苏格拉底问答法”，并倡导了探索式教学法和启发式教学法。
关于教师的职责：“要让学生感到某种近似于独立探索的体验”（给学生足够的探索主动权和成功感，让学生感觉到自己的成功不是老师给他的成功，而是靠自身努力获得的成功。
学生在解题过程中，“如果学生有进展，教师就不应该问他任何问题，以便让他独立思考，不要轻易打断学生思考的思路。
当学生停滞不前，教师就应该寻找一个适当的问题去建议和帮助他，但是应该是“针对性太强”的建议。
（教师千万不要就题讲题）。
教育教学论文-浅谈对波利亚解题思想的认识
教育教学论文-浅谈对波利亚解题思想的认识浅谈对波利亚解题思想的认识美籍匈牙利数学家乔治・波利亚的《怎样解题》一书系统阐述了解题的思维过程,并将其归纳为四个解题步骤,但是它不仅仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法。
教师要在整个解题过程中渗透波利亚解题思想,经过“两次使用”,降低难度,帮助学生在潜移默化中学会使用波利亚解题思想,从而不断地提高中学生的解题能力。
在数学学习过程中,许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差,考虑不周造成思路受阻等问题。
那么,怎样才能有一个好的解题思路呢?为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,美籍匈牙利数学家乔治・波利亚专门研究了解题的思维过程,并把研究所得写成了《怎样解题》一书,其核心是一张怎样解题表,把解题的全过程分成了“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”四个步骤,把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。
它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头,使我们对整个思维过程看得见、摸得着,将思路打开,达到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的结果,以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识以及看法:笔者认为,波利亚的解题表不仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含的丰富的数学思维与思想方法值得我们特别关注,并由此注意将其融入日常的数学教学之中。
1.化归与转化思想通过适当的转化过程,把待解决的问题归结为一类已经解决或能够轻易解决的问题,从而求得解答,这就是化归。
在波利亚的《怎样解题》一书中有这样的一段描述:“你能重新叙述这道题目吗?你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目吗?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目?”这些提问引导我们使用各种方法去变更题目,把原有题目转化为新题目,而化归后的新题目将展现出运用知识的新的可能性。
反之,若不进行这种转化,我们可能根本无从下手,就只能望题兴叹了。
波利亚的数学教育理论
为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义 去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组 合，特殊化、一般化、类比等，积极激发思维，努 力变化问题。
这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源 的提取与分配，基础是“过去的经验和已有 的知识”（也是一种解题力量）。
第八讲 波利亚的数学 教育理论
西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌
一、生平及贡献
G . Polya (1887-1985)
乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）美籍匈牙利数学 家。波利亚是法国科学院、美国全国 科学院和匈牙利科学院的院士。
1887年出生在匈牙利，青年时期 曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴 黎等地攻读数学、物理和哲学，获博 士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士 联邦理工学院任教。
1940年移居美国； 1942年起任美国斯坦福大学教授； 他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、 数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献， 一些术语和定理都以他的名字命名。 由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界 数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，被 ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解 题策略、解题方法等于一身，融理论与实践 于一体。
波利亚数学教育理论的现代启示
“了解问题”是认识、并对问题进行表征的过 程，是成功解决问题的一个必要前提；
与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶 段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定 下来，是一个有远见的做法。
在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核 心内容。
“拟定计划”的过程是探索解题思路的过程，波利亚 建议分两步走：
波利亚数学教育思想
波利亚数学教育思想简介波利亚(George Polya)1881年12月13日出生于布达佩斯,后移居美国,1985年9月7日去逝.上世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家.波利亚一生著有数学教育论文和专著约300篇(部),其中最为著名的是《怎样解题》、《数学与合情推理》、《数学的发现》等,这些著作是他数学研究、数学史研究及教育研究与实践的结晶,影响之深远,为20世纪所罕见.为此,他被誉为上世纪最伟大的数学教育思想家.一、波利亚的解题教学思想波利亚认为“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力,而不仅仅是传授知识”.在数学学科中,能力指的是什么?波利亚说“:这就是解决问题的才智———我们这里所指的问题,不仅仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神.”他发现,在日常解题和攻克难题而获得数学上的重大发现之间,并没有不可逾越的鸿沟.要想有重大的发现,就必须重视平时的解题.因此,他说“,中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”,通过研究解题方法看到“处于发现过程中的数学”.他把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段与途径.这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同.波利亚的解题训练不同于“题海战术”,他反对让学生做大量的题,因为大量的“例行运算”会“扼杀学生的兴趣,妨碍他们的智力发展”.因此,他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目,还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面,使学生通过这道题目,就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.比如,“证明根号2是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目,前者通向实数的精确概念,后者是通向数论的门户,打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中.波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中,该书的中心思想是解题过程中怎样诱发灵感.书的一开始就是一张“怎样解题表”,在表中收集了一些典型的问题与建议,其实质是试图诱发灵感的“智力活动表”.正如波利亚在书中所写的“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表”“,表中的问题和建议并不直接提到好念头,但实际上所有的问题和建议都与它有关”.“怎样解题表”包含四部分内容,即:弄清问题;拟订计划;实现计划;回顾“.弄清问题是为好念头的出现作准备;拟订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.”波利亚所讲的好念头,就是指灵感.《怎样解题》一书中有一部分内容叫“探索法小词典”,从篇幅上看,它占全书的4/5.“探索法小词典”的主要内容就是配合“怎样解题表”,对解题过程中典型有用的智力活动作进一步解释.全书的字里行间,处处给人一种强烈的感觉:波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动,提高湖数学才能.从教育心理学角度看“,怎样解题表”的确是十分可取的.利用这张表,教师可行之有效地指导学生自学,发展学生独立思考和进行创造性活动的能力.在波利亚看来,解题过程就是不断变更问题的过程.事实上,“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”,如:你知道与它有关的问题吗?是否见过形式稍微不同的题目?你能改述这道题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易的有关问题?一个更普遍的题?一个更特殊的题?一个类似的题?你能否解决这道题的一部分?你能不能由已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改变未知数,或已知数,必要时改变两者,使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?波利亚说“:如果不…变化问题‟,我们几乎不能有什么进展“.”变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律.“题海”是客观存在的,我们应研究对付“题海”的战术.波利亚的“表”切实可行,给出了探索解题途径的可操作机制,被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”.著名的现代数学家瓦尔登早就说过“,每个大学生,每个学者,特别是每个教师都应读《怎样解题》这本引人入胜的书”.二、波利亚的合情推理理论通常,人们在数学课本中看到的数学是“一门严格的演绎科学”.其实,这仅是数学的一个侧面,是已完成的数学.波利亚大力宣扬数学的另一个侧面,那就是创造过程中的数学,它像“一门实验性的归纳科学”.波利亚说,数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个定理之前,先得猜想、发现出这个定理的内容,在完全作出详细证明之前,还得不断检验、完善、修改所提出的猜想,还得推测证明的思路.在这一系列的工作中,需要充分运用的不是论证推理,而是合情推理.论证推理以形式逻辑为依据,每一步推理都是可靠的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系.合情推理则只是一种合乎情理的、好像为真的推理.例如,律师的案情推理,经济学家的统计推理,物理学家的实验归纳推理等,它的结论带有或然性.合情推理是冒风险的,它是创造性工作所赖以进行的那种推理.合情推理与论证推理两者互相补充,缺一不可.波利亚的《数学与合情推理》一书通过历史上一些有名的数学发现的例子分析说明了合情推理的特征和运用,首次建立了合情推理模式,开创性地用概率演算讨论了合情推理模式的合理性,试图使合情推理有定量化的描述,还结合中学教学实际呼吁“:要教学生猜想,要教合情推理”,并提出了教学建议.这样就在笛卡尔、欧拉、马赫、波尔察诺、庞加莱、阿达玛等数学大师的基础上前进了一步,他无愧于当代合情推理的领头人.数学中的合情推理是多种多样的,而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理.拉普拉斯曾说过“:甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳与类比.”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视,并注意到更广泛的合情推理.他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式,还指出了其中的教学意义和教学方法.波利亚反复呼吁:只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话,数学教学中就必须有教猜想的地位,必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试.对于一个想以数学作为终身职业的学生来说,为了在数学上取得真正的成就,就得掌握合情推理;对于一般学生来说,他也必须学习和体验合情推理,这是他未来生活的需要.他亲自讲课的教学片“让我们教猜想”荣获1968年美国教育电影图书协会十周年电影节的最高奖———蓝色勋带.1972年,他到英国参加第二届国际数学教育会议时,又为BBC开放大学录制了第二部电影教学片“猜想与证明”,并于1976年与1979年发表了“猜想与证明”和“更多的猜想与证明”两篇论文.怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法.波利亚说,教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程,分析其发现动机和合情推理,然后再让学生模仿范例去独立实践,在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题,创设情境,让学生饶有兴趣地自觉去试验、观察,得到猜想.“学生自己提出了猜想,也就会有追求证明的渴望,因而此时的数学教学最富有吸引力,切莫错过时机.”波利亚指出,要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正掌握合情推理.三、波利亚论教学原则及教学艺术有效的教学手段应遵循一些基本的原则,而这些原则应当建立在数学学习原则的基础上,为此,波利亚提出了下面三条教学原则.1.主动学习原则.学习应该是积极主动的,不能只是被动或被授式的,不经过自己的脑子活动就很难学到什么新东西,就是说学东西的最好途径是亲自去发现它.这样,会使自己体验到思考的紧张和发现的喜悦,有利于养成正确的思维习惯.因此,教师必须让学生主动学习,让思想在学生的头脑里产生,教师只起助产的作用.教学应采用苏格拉底回答法:向学生提出问题而不是讲授全部现成结论,对学生的错误不是直接纠正,而是用另外的补充问题来帮助暴露矛盾.2.最佳动机原则.如果学生没有行动的动机,就不会去行动.而学习数学的最佳动机是对数学知识的内在兴趣,最佳奖赏应该是聚精会神的脑力活动所带来的快乐.作为教师,你的职责是激发学生的最佳动机,使学生信服数学是有趣的,相信所讨论的问题值得花一番功夫.为了使学生产生最佳动机,解题教学要格外重视引入问题时,尽量诙谐有趣.在做题之前,可以让学生猜猜该题的结果,或者部分结果,旨在激发兴趣,培养探索习惯.3.循序阶段原则“.一切人类知识以直观开始,由直观进至概念,而终于理念”,波利亚将学习过程区分为三个阶段:①探索阶段———行动和感知;②阐明阶段———引用词语,提高到概念水平;③吸收阶段———消化新知识,吸取到自己的知识系统中.教学要尊重学习规律,要遵循循序阶段性,要把探索阶段置于数学语言表达(如概念形成)之前,而又要使新学知识最终融汇于学生的整体智慧之中.新知识的出现不能从天而降,应密切联系学生的现有知识、日常经验、好奇心等,给学生“探索阶段”;学了新知识之后,还要把新知识用于解决新问题或更简单地解决老问题,建立新旧知识的联系,通过新学知识的吸收,对原有知识的结构看得更清晰,进一步开阔眼界.波利亚说,遗憾的是,现在的中学教学里严重存在忽略探索阶段和吸收阶段而单纯断取概念水平阶段的现象.以上三个原则实际上也是课程设置的原则,比如:教材内容的选取和引入,课题分析和顺序安排,语言叙述和习题配备等问题也都要以学和教的原则为依据.有效的教学,除了要遵循学与教的原则外,还必须讲究教学艺术.波利亚明确表示,教学是一门艺术.教学与舞台艺术有许多共同之处,有时,一些学生从你的教态上学到的东西可能比你要讲的东西还多一些,为此,你应该略作表演.教学与音乐创作也有共同点,数学教学不妨吸取音乐创作中预示、展开、重复、轮奏、变奏等手法.教学有时可能接近诗歌.波利亚说,如果你在课堂上情绪高涨,感到自己诗兴欲发,那么不必约束自己;偶尔想说几句似乎难登大雅的话,也不必顾虑重重“.为了表达真理,我们不能蔑视任何手段”,追求教学艺术亦应如此.四、波利亚论数学教师的思和行波利亚把数学教师的素质和工作要点归结为以下十条.1.教师首要的金科玉律是:自己要对数学有浓厚的兴趣.如果教师厌烦数学,那学生也肯定会厌烦数学.因此,如果你对数学不感兴趣,你就不要去教它,因为你的课不可能受学生欢迎.2.熟悉自己的科目———数学科学.如果教师对所教的数学内容一知半解,那么即使有兴趣,有教学方法及其他手段,也难以把课教好,你不可能一清二楚地把数学教给学生.3.应该从自身学习的体验中以及对学生学习过程的观察中熟知学习过程,懂得学习原则,明确认识到:学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现其中的奥秘.4.努力观察学生们的面部表情,觉察他们的期望和困难,设身处地把自己当作学生.教学要想在学生的学习过程中收到理想的效果,就必须建立在学生的知识背景、思想观点以及兴趣爱好等基础之上.波利亚说,以上四条是搞好数学教学的精髓.5.不仅要传授知识,还要教技能技巧,培养思维方式以及得法的工作习惯.6.让学生学会猜想问题.7.让学生学会证明问题.严谨的证明是数学的标志,也是数学对一般文化修养的贡献中最精华的部分.倘若中学毕业生从未有过数学证明的印象,那他便少了一种基本的思维经验.但要注意,强调论证推理教学,也要强调直觉、猜想的教学,这是获得数学真理的手段,而论证则是为了消除怀疑.于是,教证明题要根据学生的年龄特征来处理,一开始给中学生教数学证明时,应该多着重于直觉洞察,少强调演绎推理.8.从手头中的题目中寻找出一些可能用于解今题目的特征———揭示出存在于当前具体情况下的一般模式.9.不要把你的全部秘诀一古脑儿地倒给学生,要让他们先猜测一番,然后你再讲给他们听,让他们独立地找出尽可能多的东西.要记住“,使人厌烦的艺术是把一切细节讲得详而又尽”(伏尔泰).10.启发问题,不要填鸭式地硬塞给学生.参考文献刘云章,赵雄辉.波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社,1998.。
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解读波利亚的教育思想
解读波利亚的数学教育思想应该是每一位有志数学教师必须做的工作，利用06年的暑假时间，我简单地了解波利亚的一些数学教育思想。
现提炼如下：
一、波利亚教育思想概述
1、学教育的核心问题：“数学教育的目的是什么”？
传统的教育仅仅传授给人们共享的科学成就，艺术或其他的知识体系，使得文化遗产得到保存和流传，（侧重知识的传授，使得几千年的知识体系得以延续）
波利亚认为：数学教育的目标应该是提高学生的“一般素养”，“首先和主要的目标应当教会年轻人思考”，他强调：任何一门学问都是由知识和技能组成，技能是运用知识的能力，在数学里，技能比仅仅掌握知识更重要。
2、数学教育应该教怎么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？
波利亚认为：数学既是演绎体系又是归纳体系，既有完美的形式又有发展过程中的稚气，既是是证明的科学又是实验科学，即数学具有两重性。
同时，他强调：数学教育应当教有目的的思考，教正规的演绎推理，包括非正规的似真的合情推理。
这里所说的思考不是空想，是有目的、有意义、有成果的思考。
且数学思考又不是完全“正规”，他不仅涉及公理、定义、严格证明，也包括从观察到猜想再到归纳类比。
而教会学生解题是教会学生思考，培养他们独立探索的一条有效的途径。
3、如何培养学生的思考能力？
波利亚强调：注重“思想应该在学生的头脑中产生出来，而老师只应起一个产婆的作用”他认为：最适宜的教学形式应该是“苏格拉底问答法”，并倡导了探索式教学法和启发式教学法。
关于教师的职责：“要让学生感到某种近似于独立探索的体验”（给学生足够的探索主动权和成功感，让学生感觉到自己的成功不是老师给他的成功，而是靠自身努力获得的成功。
学生在解题过程中，“如果学生有进展，教师就不应该问他任何问题，以便让他独立思考，不要轻易打断学生思考的思路。
当学生停滞不前，教师就应该寻找一个适当的问题去建议和帮助他，但是应该是“针对性太强”的建议。
（教师千万不要就题讲题）。
二、波利亚关于教与学的三条原则
1、主动学习原则
在教与学这一矛盾体中，学是矛盾的主要方面，学生是学习的主体，只有充分调动其主观能动性，才能取得良好的学习效果。
波利亚确信：学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现。
因为发现使理解最为深刻，容易把握事物的本质特征和内部联系，也能使学生尝到成功的喜悦。
2、最佳动机原则
波利亚认为：导致学生最佳学习动机的是使学生感兴趣的学习材料，是教学内容本身的内在魅力。
因而教师责任应是：使学生相信数学是有趣的，所讨论的问题是有价值的，鼓励学生在解题前猜测结果，预示方法等等。
使学生在这一系列活动中体会其乐趣所在。
在学习中还有些次佳学习动机：比如学习好可以在社会上赢得令人羡慕的地位；会给家长赢得地位和荣誉等，在教学中，教师应尽力促使学生形成最佳学习动机，使学生保持旺盛的学习劲头，积极自觉第投入到学习活动中去。
3、阶段序进原则
波利亚认为，人类学习的全过程可以分为三个阶段：
（1）探索阶段对事物的观察和了解，是行动和感觉，处于一种比较直观和启发失的水平上。
（2）形式化阶段对所接触的事物进行分类整理，引入适当的定义、术语、证明、等。
并认识了其中的规律性，认识上升到了一个较为概念化的阶段。
（3）同化阶段有一种洞察事物内部境界的尝试，学生把所学材料消化吸收到自己的认知结构和整个精神世界中去，事物的规律性在更广泛的范围内被认识，推广和应用。
为此，他建议教师多给学生介绍一些带有挑战性的题目，一些有丰富历史背景并值得探索的问题，一些能从中品味到科学家工作的问题，让学生亲自经历科学家去发现探索真理的心路历程。
（新课程现在就强调这个）
三、波利亚给教师的十条建议
1、要对你讲的课题感兴趣（以兴趣激发兴趣）
2、要懂得你讲的课题（实际应该是精通，只有自己精通，才能在课堂上旁征博引，游刃有余）
3、要懂得学习方法（有学法指导，可以让学生在尽短的时间内内化吸收）
4、要观察学生的脸色，要弄清他们的期望和困难，把自己置身于他们（想学生之想，急学生之急，备课要备学生，才能让自己的授课更有针对性，和可操作性，和高效性）
5、不仅要教给他们知识，并且要教给他们才智、思维方式、学习习惯培养。
6、要让他们学习猜测（培养他们的创造能力和直觉思维能力）
7、要让他们学习证明（培养学生逻辑推理能力）
8、要善于挖掘题目的价值，并给予推广（一题多用，一题多变，多题一联，保证课堂思维的高容量，和高效）
9、不要立即吐露你的全部秘密-，让学生在你说出来之前先动脑去想，去猜，不要强迫别人去接受。
（给学生充分锻炼的机会，因为教学最终目的是培养学生，而不是老师才能的炫耀）
10、要建议学生去做某件事情，不要强迫别人去接受（营造民主、平等的班级和谐氛围，给学生以独立的人格尊重）。