【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．

（1）求k 的取值范围；

（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．

【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤

12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，

∴k 1＝1，k 2＝－3.

∵k ≤12

，∴k ＝－3.

2．解下列方程：

（1）x 2﹣3x=1．

（2）12

（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-=

= ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】

试题分析：（1）利用公式法求解即可；

（2）利用直接开方法解即可；

试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，

∵b 2﹣4ac=13＞0

∴

． ∴12313313,22

x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，

∴12223,223y y =-+=--

3．已知为正整数，二次方程

的两根为，求下式的值：

【答案】

【解析】

由韦达定理，有，．于是，对正整数，有

原式=

4．解下列方程：

(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；

(2)(x＋1)2＝6x＋6.

【答案】(1)x1＝1＋

6

2

x2＝1－

6

21

＝－1，x2＝5.

【解析】

试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.

试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝1

2

，∴x2－2x＋1＝

3

2

.

∴(x－1)2＝3

2

.

∴x－1＝3

2±

6 2

.

∴x1＝1＋6

2，x2＝1－

6

2

.

(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.

∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.

∴x1＝－1，x2＝5.

5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120

x x

-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）3）83

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可.

【详解】

解：（1）由题意得()()260x x --=，

即：2x =或6x =，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，

∴此等腰三角形面积为12

2

⨯⨯= （3）设分为x 及6x -两段

()22226x x +=- ∴83

x =， ∴2823x S ∆=

=， ∴面积为83

. 【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

6．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．

（1）求a 的取值范围；

（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

【答案】（1）a ≤

174

；（2）x =1或x =2 【解析】

【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；

（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.

【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，

∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174

； （2）由（1）可知a ≤

174

， ∴a 的最大整数值为4，

此时方程为x 2﹣3x +2=0，

解得x =1或x =2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

7．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．

（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；

（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

【答案】（1）两次下降的百分率为10%；

（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．

【解析】

【分析】

（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；

（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可

【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为 x ．

40×（1﹣x ）2＝32.4

x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；

（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得

()4030y (448)5100.5

y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，

∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．