武汉理工大学概率论与数理统计试题期末

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已知一批零件长度X(

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武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

课程名称 概率论与数理统计（A 卷）

一. 填空题（每题3分，共30分）

1. 18/35 ；

2. 3/4 ；

3. 1/e ；

4. 4 ；

5. 1/3 ；

6. 14 ；

7. 5.4 ；

8. 1/3 ；

9. 1 ； 10. (39.51,40.49) . 二．计算题（每题10分，共30分）

1.解：设}{能发芽=B ，1,2,3i }{==等品取的是第i A i ,易见的一个划分

是Ω321,,A A A ,05.0)(15.0)(,8.0)(321===A P A P A P ， ,8.0)|(95.0)|(,98.0)|(321===A B P A B P A B P ， -----------------4分

由全概率公式，得9665.0)|()()(3

1

==

∑=i i

i

A B P A P B P -----------------7分

由贝叶斯公式，得1474.09665

1425

)

|()()

|()()(3

1

222≈=

=

∑=i i

i

A B P A P A B P A P B A P --------------10分 2.解：(1)

123)(1

1

==+

=

⎰

⎰

⎰

+∞

∞

-A dx x A Axdx dx x f e

，故A =3

2

--------------3分 (2)()()F x P X x =≤。当0

当10<≤x 时, 2

03132

)()(x t d t dt t f x F x x

=

==⎰

⎰∞-

当e x <≤1时, x dt t tdt dt t f x F x x ln 3

2

313232)()(110+=+==⎰

⎰⎰∞-

当e x ≥时,()1F x =. --------------7分 (3) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521

X P =)21()5(F F -=

12

11

--------------10分 3. 解：设

{}()

300,2,116.0)(,2.0)(,2.01,0 1.2i ,1 =====⎩

⎨⎧=i X D X E X P X i i i i 则，

其他元只蛋糕售价为

卖出的第 --------------3分

由中心极限定理⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑==)(300)(30060)(300)(3006030013001i i i i i i i i X D X E X D X E X P X P --------6分

≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯-Φ-16.03002.030601=5.0)0(1=Φ- ---------10分

三．（10分）解：⎩⎨⎧>=∴-其他

,00

,2)(),2(~2x e x f E X x X ， ---------2分

对x e y 21--=，当0>x 时，有10<

当10<

⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧

--

≤=≤-=-)1ln(21)1ln(211)(2y F y X P y e P y F X X

Y ---------6分 ∴ 1)1l n (21)1l n (21)()(='

⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--==

y y f dy y dF y f x Y Y ---------9分 ⎩

⎨

⎧<<=∴

其他,01

0,1)(y y f Y ---------10分 四.（10分) 解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，3. 且

{}81213,03

=⎪⎭

⎫

⎝⎛===Y X P ，

{}8321211,12

1

3

=⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C

Y X P ，

{}8

3

21211,22

23

=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C

Y X P ， {}81213,33=⎪⎭

⎫

⎝⎛===Y X P .

于是，（1）（X ，Y ）的联合分布为

---------7分

（2）{}{}8

1

3,0====>Y X P X Y P . ---------10分 六. 应用题（每题10分，共20分）

1. （1） 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-

令X EX =,可得θ的矩估计量为1

ˆ(3),4

X θ

=- 根据给定的样本观察值计算232031361

=+++++=）（

x ，因此θ的矩估计值4

1

ˆ=θ； -------4分 （2）对于给定的样本值似然函数为)1()21(2)(35θθθθ--=L -------6分

)1ln()21ln(3ln 52ln )(ln θθθθ-+-++=L

令 0)

1)(21(5

2218112165)(ln 2=--+-=----=θθθθθθθθθθd L d

可得θ的极大似然估计值 ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛>+-=不合题意2

118

311118

3111ˆθ

-------10分 2. 解：要检验假设70:,70:10≠=μμH H ， -------2分

)1(~/--=

n t n S X t μ

，故拒绝域为)35(2

αt t ≥. 05.0=α，36=n ，0301.2)35(025.0=t ，5.66=x ，15=S ， 由于4.136

/15705.66=-=

t ,所以0301.2)35(2

=<αt t ，

故接受0H ，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. -------10分