电磁场的能量
5.6.2电磁波的能量、动量与电磁振荡
电磁波的能量、动量与电磁振荡一、电磁波的能量能量密度:212e w E212m w H电场磁场2212e m w w w E H电磁场电磁波所携带的能量称为辐射能.电磁场的能量和动量二、电磁场的能流密度(又叫辐射强度)单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能量(S)221()2S w E H1S EHS E H坡印廷矢量能流密度矢量三、电磁场的动量相对论中：222240E P c m c真空中平面电磁波，其单位体积的动量（动量密度）大小：21()w g EH c cScH E c g2211 动量为矢量，故光子：00 m pcE cE p2212EH w E H C例圆柱形导体,长为l ,半径为a ,电阻为R ,通有电流I , 试证明:2) 沿导体表面的坡印廷矢量的面积分等于导体内产生的焦耳热功率I 2R .ZIal1) 在导体表面上,坡印廷矢量处处垂直导体表面并指向导体内部.SZIalSE H(1)在圆柱表面上,电场强度E 即为电流流动方向(沿Z 轴)磁场强度H 与电流I 构成右手螺旋关系(e 方向)解:S E H由上式可以判定垂直导体表面,且指向导体内部.S22I R S E H n al(2) 导体表面处2I H e aIR E klS 沿表面的负法向,即指向轴心对于长l 的导体：单位时间内通过表面积Ａ=2 al 输入的电磁能量为2222A I R S dA al I Ral ZIalSE H电磁能不是通过电流沿导线内部从电源传给负载R 的，而是通过空间的电磁场从负载的侧面输入的！一个不计电阻的LC 电路，就可以实现电磁振荡，故也称LC 振荡电路。
电磁波的辐射一、电磁振荡理想的LC 电路的电磁振荡如下图:I A B E 0q 0q 0I A B E 0q 0q 0I A BH 0I A BH 赫兹1888年用振荡电路证实了电磁波的存在.LC 回路中电荷和电流的变化规律电容器两极板间电势差自感线圈内电动势qu CL diLdtdi q L dt Cdq i dt221d q q dt LC2qA B E0q 0qK任一时刻qqii LC 回路电荷和电流作简谐振动，周期性变化振荡角频率振荡频率电场磁场222d q q dt 222 d x x dt （ ）0cos()q q t 0sin()i q t 1LC12f LC 0E 0q S 0B ni 212e q W C 212m W Li解决途径：改革开放(1)提高回路振荡频率LC 回路能否有效地发射电磁波(1)振荡频率太低LC 电路的辐射功率(2)电磁场仅局限于电容器和自感线圈内LC 回路有两个缺点：(2)实现回路的开放从LC 振荡电路到振荡电偶极子 qqil即增加d ，缩小S ，减少n ，具体方式如图所示。
9-2-电磁场的能量动量和角动量
§9-2 电磁场的能量、动量和角动量在第六章中，我们已学过真空中电磁场的能量、动量，对静止各向同性介质中的电磁场，场的能量密度，能流密度（又称坡印适磁量）w S r ，动量密度g r ，角动量密度表达式如下：l r H B E D w r r r r ⋅+⋅=2121， （9-2-1） H E S r r r ×=， （9-2-2）B D g r r r ×=， （9-2-3）g r l r r r ×=。
（9-2-4）于是，体积V 中电磁场的总能量、总动量和总角动量分另为如下体积分：∫∫∫=V WdV W r ， ∫∫∫=V dV g G r r ， ∫∫∫=V dV l L r r （9-2-5）能量守恒定律的表达式为：)(n W W dt d A d S +−=⋅∫∫r r （9-2-6） 上式中为积分的面元，是非电磁的总能量。
可将上式与电荷守恒定律比较，以便加深理解。
A d r n W r 为加深对电磁场角动量的理解，我们可以作一个简单的实验，如图9-2-1，图9-2-1 轴向均匀磁场中的圆柱电容器一圆柱形介质电容器，长度为l ，充满介电常数为ε的均匀各向同性介质，内力争上游半径为，绕轴的转动惯量为I ，板极充电荷为21,r r Q ±，置于一均匀磁场B r 中，当电容器放电后，电容器便绕轴旋转，其角速度为ω□ωC 的大小可通过电磁场的角动量计算如下：略去边缘效应，电容器中：∫∫=⋅S Q S d E 0εr r得 02επ⋅⋅=l r Q E ， r rl Q E D ˆ20πεεε==r r ϕπε)r r r rl QB B D g 2−=×=， Z rlQB g r l )r r r πε2−=×=， 于是电容器内电磁场的总角动量为Z r r QB Z l r r l QB dV l L V))r v )(21)(221222122−−=⋅−−==∫∫∫επππε 放电后，电容器内0=E r □。
电磁场的能量
电流都有相同的值，因此， 电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给 负载上消耗的能量。 负载上消耗的能量。 如果电磁能是靠电流传输，功率P与 成正比无法得到 ③ 如果电磁能是靠电流传输，功率 与U成正比无法得到 解释。 解释。 电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。 ④ 电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。
称为能流密度矢量（ 玻印亭矢量） 称为能流密度矢量 （ 玻印亭矢量 ） 它表 示单位时间、垂直通过单位面积的能量， 示单位时间 、 垂直通过单位面积的能量 ， 用来描述能量的传播。 用来描述能量的传播。
r r r ∂D r ∂Β ∂ 1 r r r r Ε⋅ + Η⋅ = Ε⋅ D + H ⋅ B ∂t ∂t ∂t 2
1. 电磁能的传输不是靠电流！ 电磁能的传输不是靠电流！
导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 ① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。 却很大。导线内电荷定向移动的速度为 V ~ 6×10 ×
-5m/s，电能的传输速度为 ，电能的传输速度为c=
3×10 8m/s。 × 。
§6
电磁场的能量
二、电磁场能量守恒公式
1、场的能量密度和能流密度 2、电磁场对带电系统作的功率
设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动， 设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动， r 电荷密度为
ρ
r r dr r v= , J =ρ v ，运动速度为 运动速度为 dt
带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度） 带电体受电磁场的洛伦兹力（力Байду номын сангаас度）
dA dW =− dt dt
r r r ∂w ∇⋅ S + = −f ⋅v ∂t
电磁场的能量与功率计算
电磁场的能量与功率计算电磁场是我们生活中常见的一种物理现象，它包括电场和磁场两个部分。
电磁场的能量与功率计算是电磁学中的一个重要内容，它帮助我们理解电磁场的特性和应用。
本文将从电磁场能量的计算和功率的计算两个方面进行探讨。
一、电磁场能量的计算电磁场能量的计算是通过对电场和磁场的能量密度进行积分得到的。
首先，我们来看电场能量的计算。
电场能量密度表示单位体积内的电场能量，它的计算公式为：\[u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\]其中，\(u_e\)为电场能量密度，\(\varepsilon_0\)为真空介电常数，\(E\)为电场强度。
在计算电场能量时，我们需要将电场能量密度进行积分。
假设电场是由一个点电荷产生的，电场能量的计算公式为：\[W_e = \int u_e dV = \frac{1}{2}\varepsilon_0\int E^2 dV\]其中，\(W_e\)为电场能量，\(dV\)为体积元素。
接下来，我们来看磁场能量的计算。
磁场能量密度表示单位体积内的磁场能量，它的计算公式为：\[u_m = \frac{1}{2\mu_0}B^2\]其中，\(u_m\)为磁场能量密度，\(\mu_0\)为真空磁导率，\(B\)为磁感应强度。
与电场能量类似，计算磁场能量时也需要将磁场能量密度进行积分。
假设磁场是由一个线圈产生的，磁场能量的计算公式为：\[W_m = \int u_m dV = \frac{1}{2\mu_0}\int B^2 dV\]其中，\(W_m\)为磁场能量。
通过以上的计算公式，我们可以得到电场和磁场的能量。
电磁场的总能量为电场能量和磁场能量之和：\[W_{em} = W_e + W_m\]二、电磁场功率的计算电磁场的功率表示单位时间内电磁场传递的能量，它的计算公式为：\[P = \frac{dW}{dt}\]其中，\(P\)为电磁场功率，\(dW\)为电磁场传递的能量的微小变化量，\(dt\)为时间的微小变化量。
电磁场的能量和能流
04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02
§1.6-电磁场的能量及能流解读
则： w S E D ( E H ) E H t t
D B E H (E H ) t t
对比上式的左右对应关系，显然有：
由微分算子公式： (E H ) E H E H
②在线性介质中： D E, B H 1 2 1 2 w E H 有： 2 2 S E H
电动力学
电动力学
3、电磁场能量的传输
由前面的讨论： S EH
显然，电场、磁场与电磁场的传播方向构成右手系。 例：对于内外半径为a、b的同轴导线，其中通有电流I， (1) 若导线为理想导体 (2) 若导线的电导率为 分别求能流密度。 解:(1) 若为理想导体，导体内为等势体，电场为0，若同轴 线间的电压为U,若同轴线间的电场强度为E，导线的
w D B E H t t t S E H Poynting矢量
电动力学
电动力学
讨论：
①在真空中：D 0 E, B 0 H
w 1 2 2 E H 0 0 则： t 2 t S E H 1 1 2 2 w E H 0 0 显然有： 2 2 S E H
线电荷密度为，则: 2 rlE l
所以： E er 2 r
电动力学
电动力学
显然： a 2 r dr U 2U 则： b log a U 1 由此得： E er br log a
b
H 若导线通有电流I，则：
所以： S
I 2 r
e
UI
ez er e b 2 r b r2 r log 2 log a a b ez UI 单位时间输运的能量为： S dA 2 rdr UI 2 a b A 2 log r a 电动力学 U I
电磁学电磁场的能量与功率
电磁学电磁场的能量与功率电磁场是由电荷和电流所产生的一种物理现象，它包括电场和磁场。
在电磁学中，我们经常探讨电磁场的能量和功率，它们是电磁场的重要性质，对于理解电磁现象和应用电磁场具有重要意义。
一、电磁场的能量电场和磁场都具有能量，它们的能量密度分别表示为电场能量密度和磁场能量密度。
对于一个电磁场系统，其总能量等于电场能量和磁场能量之和。
1. 电场能量密度电场能量密度指的是单位体积内的电场能量，记作u_e。
对于静电场，电场能量密度可以表示为：u_e = 0.5 * ε * E^2其中，ε为真空中的介电常数，E为电场强度。
这个公式告诉我们，电场能量密度与电场强度的平方成正比。
2. 磁场能量密度磁场能量密度则是单位体积内的磁场能量，记作u_m。
对于静磁场，磁场能量密度可以表示为：u_m = 0.5 * (1/μ) * B^2其中，μ为真空中的磁导率，B为磁感应强度。
和电场能量密度类似，磁场能量密度与磁感应强度的平方成正比。
电磁场总能量等于电场能量和磁场能量之和，即：u = u_e + u_m这个公式描述了电磁场的总能量与电场能量、磁场能量的关系。
二、电磁场的功率功率是描述能量转化速率的物理量，对于电磁场而言，它包括电场功率和磁场功率。
1. 电场功率电场功率表示单位时间内电场传输的能量，记作P_e。
对于恒定电场，电场功率可以表示为：P_e = 0.5 * ε * E^2 * v其中，v为电场的流动速度。
这个公式告诉我们，电场功率与电场强度的平方和流动速度成正比。
2. 磁场功率磁场功率则表示单位时间内磁场传输的能量，记作P_m。
对于恒定磁场，磁场功率可以表示为：P_m = 0.5 * (1/μ) * B^2 * v其中，v为磁场的流动速度。
和电场功率类似，磁场功率与磁感应强度的平方和流动速度成正比。
电磁场总功率等于电场功率和磁场功率之和，即：P = P_e + P_m这个公式描述了电磁场的总功率与电场功率、磁场功率的关系。
电磁场的能量和动量
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
d ◆ 场的能量增加率： dt
ω dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
§8-5电磁场的能量和能量传输
如图，一圆柱形介质电容器，长 度为l，充满介电常数为ε的均匀 各向同性介质，内外半径为r1、r2， 绕轴的转动惯量为I，板极充电荷 为±Q，置于一均匀磁场 B中。
当电容器放电后，电容器便
绕轴旋转，其角速度为ω，ω 的 大小可通过电磁场的角动量计算 如下：
轴向均匀磁场中的 圆柱电容器
充电后，略去边缘效应，
∆A⋅ ∆t C2 (g C
+g
∧
)Z
=
∆A ⋅ C
∆t
⋅
(
S入入+
S反
)
∧
Z=
∆A⋅ ∆t ⋅ S C
∧
(1+ γ ) Z
∧
= ∆A⋅ ∆t ⋅ w入 (1+ γ ) Z
动量的改变=冲量:
∆A⋅ ∆t ⋅ w入 (1+ γ )= p ⋅ ∆A⋅ ∆t
∴ =p w (1+ γ )，光压p 强 入
[例]当太阳光垂直照射到地面上时，每分钟射 到 地 面 每 平 方 厘 米 上 的 能 量 为 1.94cal, 1cal=4.1868J, 试求（1）地面上太阳光的电场 强度E和磁场强度H的振幅E0和H0。（2）太阳 光作用在整个地球上的力。
电容器中的储能:
W=e
1 Q= U 2
Q=2 2C
Q2
2(ε0S
= h)
Q2h
2π R2ε 0
单位时间能量的增加:
dW= EM dt
d= We dt
Qh dQ 磁场能量不 π R2ε0 dt 随时间变化
两者相等.
电路中的能量传输 坡印亭矢量的概念也适用稳恒定场。
在电源内部 坡印亭矢量方向朝外，电源向外部空间输出能 量。
电磁场的能量和功率的计算
电磁场的能量和功率的计算电磁场是物质的一种基本性质，包含了电场和磁场两个方面。
在电磁学中，我们常常需要计算电磁场的能量和功率，以便更好地理解和应用电磁学原理。
本文将介绍一些常见的计算方法。
一、电磁场的能量计算1. 电场能量的计算对于电场能量的计算，可以使用以下公式：W_e = 0.5 * ε * E^2 * V其中，W_e表示电场能量，ε表示介质的电容率，E表示电场强度，V表示电场所占据的体积。
2. 磁场能量的计算对于磁场能量的计算，可以使用以下公式：W_m = 0.5 * B^2 * V / μ其中，W_m表示磁场能量，B表示磁场强度，V表示磁场所占据的体积，μ表示介质的磁导率。
二、电磁场的功率计算1. 电场功率的计算对于电场功率的计算，可以使用以下公式：P_e = 0.5 * ε * E^2 * A * v其中，P_e表示电场功率，ε表示介质的电容率，E表示电场强度，A表示电场的横截面积，v表示电场的传播速度。
2. 磁场功率的计算对于磁场功率的计算，可以使用以下公式：P_m = 0.5 * B^2 * A * v / μ其中，P_m表示磁场功率，B表示磁场强度，A表示磁场的横截面积，v表示磁场的传播速度，μ表示介质的磁导率。
三、总结与应用通过以上的能量和功率计算公式，我们可以更好地理解电磁场的能量和功率的含义和计算方法。
这些计算方法在电磁学的研究和应用中起到了重要的作用。
例如，在电磁波传播过程中，我们可以通过计算电场和磁场的能量和功率来分析电磁波的强度和传播特性。
在电磁辐射防护中，我们可以通过计算电磁场能量和功率来评估辐射风险和采取相应的防护措施。
此外，电磁场的能量和功率计算也为电磁学教学提供了重要的工具和实例，帮助学生更好地理解和应用电磁学原理。
总而言之，电磁场的能量和功率的计算是电磁学研究和应用中的重要内容。
通过使用合适的公式和方法，我们可以准确地计算电磁场的能量和功率，从而更好地理解和应用电磁学知识。
电磁场的能量与能量流
电磁场的能量与能量流电磁场是现代物理学的重要研究对象，它包括了电场和磁场两个方面。
在物质与电磁场相互作用的过程中，会产生能量的转移与传递。
本文旨在探讨电磁场的能量以及能量流的相关问题。
一、电磁场的能量电磁场能量的来源主要有两部分，即电磁场自身的能量和电磁场与物质之间的相互作用能量。
1. 电磁场自身的能量电场能量和磁场能量分别以电场能量密度和磁场能量密度的形式存在。
我们可以通过以下公式计算电场能量密度和磁场能量密度：$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}}$$$${\displaystyle u_{b}={\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}}$$其中，u_e表示电场能量密度，u_b表示磁场能量密度，ε_0表示真空中的介电常数，μ_0表示真空中的磁导率，E表示电场强度，B表示磁感应强度。
2. 电磁场与物质的相互作用能量电磁场与物质之间的相互作用能量来源于电场与带电粒子以及磁场与磁性物质之间的相互作用。
这种相互作用能量可以表示为：$${\displaystyle W=-\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$$其中，W表示相互作用能量，F表示电磁场对带电粒子或磁性物质施加的力，r表示位移。
二、电磁场的能量流电磁场的能量不仅在空间中储存，也可以通过能量流的形式传递。
按照最著名的电磁场能量定理，电磁场的能量流是由坡印廷矢量（Poynting vector）来描述的。
坡印廷矢量的定义如下：$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$$其中，S表示坡印廷矢量，E表示电场强度，B表示磁感应强度，μ_0表示真空中的磁导率。
坡印廷矢量的方向与能量传递方向相同，其大小表示单位时间内通过单位面积垂直于能量传递方向的能量流密度。
电磁场的能量密度
电磁场的能量密度电磁场是由电场和磁场相互作用形成的一种物理场。
在电磁场中，存在着能量的传递和储存，这种能量的密度被称为电磁场的能量密度。
本文将从电场和磁场的能量密度以及它们的计算方法入手，探讨电磁场的能量分布规律。
1. 电场的能量密度电场是由电荷所产生的一种力场，具有能量的传递和储存功能。
在某一点的电场能量密度表示为u_e，请注意这里用小写字母表示。
根据电场能量密度的定义，我们可以推导出电场能量密度与电场强度E的关系。
根据电力线的性质，通过取电力线上一个微小段△l，可以得到该段电力线上电场强度的大小与它垂直的面积△A之比为E。
因此，△l△A 即为该微小段的体积△V，从而可以得到该微小段电场的体积元△V上的电场能量为△u_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \Delta V。
其中，ε_0为真空介电常数。
为了得到整个空间电场的能量密度，需要将所有微小段电场能量密度进行求和。
即有：u_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2这个公式也是电磁场能量密度的计算方法之一。
2. 磁场的能量密度磁场是由电流所产生的一种力场，同样具有能量的传递和储存功能。
磁场的能量密度表示为u_m，请注意这里用小写字母表示。
根据磁场能量密度的定义，我们可以推导出磁场能量密度与磁感应强度B的关系。
根据磁力线的性质，通过取磁力线上一个微小段△l，可以得到该段磁力线上磁感应强度的大小与它垂直的面积△A之比为B。
因此，△l△A即为该微小段的体积△V，从而可以得到该微小段磁场的体积元△V上的磁场能量为△u_m = \frac{1}{2\mu_0} B^2 \Delta V。
其中，μ_0为真空磁导率。
为了得到整个空间磁场的能量密度，需要将所有微小段磁场能量密度进行求和。
即有：u_m = \frac{1}{2\mu_0} B^2这个公式也是电磁场能量密度的计算方法之一。
3. 电磁场能量密度的分布规律根据电场能量密度和磁场能量密度的公式，我们可以看出两者均与其场强的平方成正比。
电磁场能量密度分析
电磁场能量密度分析在我们生活的这个世界中，电磁场无处不在。
从手机通信到电力传输，从无线电波到X 射线，电磁场的应用涵盖了现代科技的诸多领域。
而要深入理解电磁场的性质和行为，其中一个重要的概念就是电磁场能量密度。
电磁场具有能量，这一事实是现代物理学的基本认识之一。
那么，什么是电磁场能量密度呢？简单来说，它是指单位体积内电磁场所具有的能量。
为了更清晰地理解电磁场能量密度，我们先来看看电场的能量。
当一个电荷在电场中移动时，电场会对电荷做功。
这意味着电场中存在着能量。
对于一个均匀电场 E，一个带有电荷量 q 的电荷在电场中移动距离 d，电场对电荷所做的功为 W ＝ qEd。
而电场的能量可以通过对这个功进行积分来计算。
在一个平行板电容器中，电场强度 E 是均匀的。
假设电容器的两个极板面积为 S，间距为 d，极板间的电压为 U。
则电场强度 E ＝ U ／ d，电容 C ＝εS ／ d（其中ε 是介电常数）。
电容器所储存的电能为 W ＝1/2 CU²＝1/2 εS （U/d)² d ＝1/2 εE² Sd。
由于电容器的体积为 V ＝ Sd，所以电场的能量密度为 w_e ＝ 1/2 εE²。
接下来看看磁场的能量。
当电流通过一个线圈时，会产生磁场。
磁场也具有能量。
对于一个均匀磁场 B，一个面积为 S 的平面在磁场中转动，磁通量发生变化，从而产生感应电动势。
磁场对电流做功，这表明磁场中存在能量。
在一个充满均匀磁场 B 的空间中，假设一个长度为 l 的导体棒以速度 v 垂直于磁场运动，产生的感应电动势为 E ＝ Blv，电流 I ＝ E ／ R （R 是回路电阻）。
在时间 dt 内，外力克服安培力所做的功为 dw ＝ I²R dt ＝（Blv)²／ R dt ＝ B² l² v²／ R dt。
由于导体棒移动的距离为 dx ＝ vdt，所以单位体积内磁场的能量为 w_m ＝ 1/2 B²／μ（其中μ 是磁导率）。
电磁场能量密度分析
电磁场能量密度分析在我们生活的这个世界里，电磁场无处不在。
从家用电器产生的微弱电磁场，到宇宙中强大的天体磁场，电磁场对我们的生活和科学研究都有着至关重要的影响。
而在研究电磁场的众多特性中，电磁场能量密度是一个关键的概念。
要理解电磁场能量密度，首先得知道什么是电磁场。
简单来说，电磁场是由电场和磁场相互作用而形成的一种物理场。
电场是由电荷产生的，而磁场则是由电流或者变化的电场产生的。
当电荷运动或者电场发生变化时，就会产生磁场，反之亦然。
那么，电磁场的能量又从何而来呢？这就得从电磁场的基本性质说起。
电磁场具有能量储存和传递的能力。
当电荷在电场中移动时，电场会对电荷做功，从而使电荷获得能量。
同样，当电流在磁场中流动时，磁场也会对电流做功，使电流获得能量。
接下来，咱们深入探讨一下电磁场能量密度的定义。
电磁场能量密度指的是电磁场在单位体积内所储存的能量。
它是一个空间分布的量，反映了电磁场在不同位置的能量分布情况。
在真空中，电磁场能量密度可以用公式表示为：＄u ＝＼frac{1}｛2}（＼epsilon_0 E^2 ＋＼frac{1}｛＼mu_0} B^2)＄，其中$＼epsilon_0$是真空介电常数，＄E$是电场强度，＄＼mu_0$是真空磁导率，＄B$是磁感应强度。
这个公式表明，电磁场的能量密度与电场强度的平方和磁感应强度的平方成正比。
那这个公式是怎么来的呢？这就需要用到一些电磁学的基本理论和数学推导。
我们知道，电场的能量密度可以表示为$＼frac{1}｛2}＼epsilon_0 E^2$，这是通过计算电场对单位体积内的电荷做功得到的。
而磁场的能量密度可以表示为$＼frac{1}｛2}＼frac{1}｛＼mu_0} B^2$，其推导过程相对复杂一些，但基本思路也是通过计算磁场对电流做功来得出。
电磁场能量密度的概念在很多实际应用中都有着重要的意义。
比如在电磁波的传播过程中，我们可以通过计算电磁场能量密度来了解电磁波能量的分布和传播特性。
电磁场的能量和能流
t
而当V→∞时，通过无限远界面的能量为零，有：
v f
vvdV
d dt
wdV
表明场对电荷所作的总功率等于场的总能量减小率
4
2、电磁场能量密度和能流密度的表达式
由Lorentz力公式：fv
v E
v J
v B
v E
vv
v B
v f
vv
w
v S
ห้องสมุดไป่ตู้
0
t
根据能量守恒定律表达式有：
w
v S
v f
vv
v E
vv
量，方向为电磁场能量流动的方向。描述能量在场内的传播
v S
W
t
evn
(2) 能量守恒
单位时间通过界面S流入V内的能量可以用
能流密度表示为：
W
v
ÑS S
dv
dv
evn
v
S
S
2
由于在V内存在电荷和电流分布，因而流入的电磁场会对电荷做
功，使得系统的机械能增加，单位时间内电磁场对电荷所作的功
为：
Wm
V
v B
vv
vv E J
t
v
v
v H
v J
v D
t
v E
v
v H
D t
v E
D
t
v E
v H
E B t
v E
D
v (E
v H)
v H
Ev
t
v E
v H
v E
v D
v H
v B
v (E
v H)
v H
Ev
v E
v H
掌握电磁场的能量计算方法
掌握电磁场的能量计算方法电磁场能量的计算方法是电磁学中的重要内容之一。
电磁场能量的计算方法主要包括静电能和磁场能的计算，其中静电能的计算方法较为简单，而磁场能的计算方法则相对较复杂。
本文将详细介绍电磁场能量的计算方法，以帮助读者更好地理解和掌握这一方面的知识。
首先，我们来讨论静电能的计算方法。
静电能是由带电物体的电荷引起的，其计算方法具体如下：1. 计算点电荷的静电能：对于一个点电荷 q，其在距离 r 处的静电能 E 可以通过公式 E = k*q/r 计算，其中 k 为电磁场中的静电力常数，其数值约为 9*10^9 N·m^2/C^2。
例如，当 q=1C，r=1m 时，静电能 E = 9*10^9 J。
2. 计算电荷分布体系的静电能：对于复杂的电荷分布体系，可以将其划分为若干个小元，然后将每个小元的静电能相加。
具体计算方法如下：- 将电荷分布体系划分为若干个小元，每个小元的电荷量为 dq，位置为 r。
- 计算每个小元的静电能 dE = k*dq/r。
- 将所有小元的静电能相加，即可得到整个电荷分布体系的静电能。
接下来，我们来讨论磁场能的计算方法。
磁场能是由磁场产生的，其计算方法与静电能不同，具体如下：1. 计算磁场中的电流元的磁场能：对于一个电流 I 在磁场中的电流元，其磁场能可以通过公式 dE = I*dL*B 计算，其中 dL 为电流元的长度，B 为磁场的磁感应强度。
例如，当 I=1A，dL=1m，B=1T 时，磁场能 dE = 1J。
2. 计算磁场中的线圈的磁场能：对于一个绕有 N 匝的线圈，其磁场能可以通过公式 E = 1/2 * I^2 * L 计算，其中 I 为电流，L 为线圈的长度。
例如，当 I=1A，L=1m，N=10 时，磁场能 E = 0.5J。
3. 计算磁场能密度：磁场能密度是指单位体积内的磁场能，可以通过公式 u = E/V 计算，其中 E 为磁场能，V 为体积。
电磁场中的能量
1 2
(B1
B2 ) (H1
H2 )dV
0 2
(H1 H2 ) (H1 H2 )dV
0 2
(H12
H
2 2
2H1
H2 )dV
自感
磁能
互感磁能
例题17：求无限长同轴线单位
长度内的自感系数
❖ 磁场只存在于 R1 r R2区域内
H I
2 r
B
0H
0I 2r
m
1 2
BH
1 2
I
2r
0I 2r
4 0r21
电场力做的总功等于电荷系初状态时的互能
W
A2
A3
q3q1
4 0r31
q3q2
4 0r32
q1q2
4 0r21
W
A2
A3
q3q1
4 0r31
q3q2
4 0r32
q1q2
4 0r21
1 2
[q1
(
q3 4πε0
r31
q2 )
4 0r21
q2
(
q3
4 0r32
q1
4 0r12
)
q3
(
q1
4 0
q1q2
4 0r
点电荷q1在q2所在的位置产生的电势
故 W12 q2U 2
点电荷q2在q1所在的位置产生的电势
故 W12 q1U1
U2
q1
4 0r
U1
q2
4 0r
合并上两式，W12又可以写成
W12
1 2 (q1U1
q2U 2 )
三个点电荷的互能
q1
令q1、q2不动，而将q3移到无 穷远处，电场力所做的功
电磁场的能量
电磁场的能量1、引言电磁场是一种具有能量的物理现象，它是由电荷和电流所产生的。
在我们的生活中，电磁场无处不在，无论是手机通讯、电视广播，还是汽车、电梯等设备的运行，都离不开电磁场的作用。
本文将探讨电磁场的能量，包括能量的来源、传播和应用。
2、电磁场的能量来源电磁场的能量来源于电荷和电流。
根据电动力学理论，电荷之间的相互作用通过电场实现。
电场的能量密度与电荷的大小和电场强度相关，其计算公式为：\[ \text{能量密度}=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2 \]其中，\( \epsilon_0 \) 是真空中的介电常数，\( E \) 是电场强度。
同样，根据麦克斯韦方程组，电流引起的磁场也具有能量。
磁场的能量密度与电流的大小和磁场强度相关，其计算公式为：\[ \text{能量密度}=\frac{1}{2\mu_0}B^2 \]其中，\( \mu_0 \) 是真空中的磁导率，\( B \) 是磁场强度。
综上所述，电磁场的能量来源即为电荷和电流。
3、电磁场能量的传播电磁场的能量以电磁波的形式传播。
根据麦克斯韦方程组，电磁波由电场和磁场共同组成，它们相互垂直且相互耦合。
电磁波沿着垂直电场和磁场的方向传播，具有波长和频率。
电磁波的能量传播速度是光速，即\( c \approx 3.00 \times 10^8 \,\text{m/s} \)。
根据电磁波的能量传播公式：\[ \text{能量传播速率}=\frac{\text{能量密度} \times \text{传播速度}}{\text{单位面积}} \]由此可见，电磁场的能量在空间中以电磁波的形式传播。
4、电磁场能量的应用电磁场的能量在现代生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：4.1、通讯技术移动通信、广播电视等通信技术离不开电磁场的能量传输。
手机通信采用无线电波传输信号，而电视广播也是通过电磁波将图像和声音传输到接收器上。
4.2、能源发电电磁场的能量也被广泛应用于能源发电领域。
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r J
r D
r t
B
t
r
r
Ε H
Hr
r Ε
rr ΕJ
r H
r Ε
r B t
r D t
r
r
两式相减，得
r Ε
r H
r H
r Ε
r Ε
r J
r Ε
D
r H
B
uv uv
t
t
(A B) uv uv uv uv
B A AB
1
rr (Ε D)
2 t
1
rr (H B)
2 t
rr (Ε H )
Wm
1 2
V
vv J gAdV
1 2
v H gAdV
V
1 2
V
g(Hv
v A)dV
1 2
V(
vv A)gHdV
Ñ 1
(Hv
vv A)gdS
1
vv BgHdV
v A
21
R
S
v H
1 R2
2V dS R2
R
Wm
1 2
vv BgHdV
V
vv (H A)gdS 0
得：磁能密度为
wm
1 2
由
B
r E
，得
t
v H
kC
sin
x
cos(t
kz)evx
C
cos
x
sin(t
kz)evz
四、典型例题
(续前) (b) 要使场存在，则场量须满足麦克斯韦方程组
r E
C
sin
x
cos(t
kz)evy
Vm
H
x
r,
t
kC
sin
x
cos
t
kz
H
z
r,
t
C
cos
x
sin
t
kz
易推得：
r D
(Ex
Ey
1 2
E2
电场能量密度
二、恒定磁场的能量
恒定磁场能量来源于建立电流过程中外源提供的能量。 恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给能量，全 部转化成磁场能量。
1、体电流的磁场能量
若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：
Wm
1 2
vv J gAdV
V
式中：Av为体电流
v J
在dV处产生的磁位。
问题：数学表示？
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
➢ 区域V内电磁场能量密度：
单位体积中电磁场的能量，为电场能量和
磁场能量之和。
S
w
we
wm
1 2
E2 H2
➢ 体积V内总能量：
W
V
wdV
V
(1 2
rr ED
1 2
r H
r B)dV
启示：围绕体积内储能随时间 的变化来描述能量关系
4πr 2dr)
4π
15 0
2a5
四、典型例题
(续前)
解法二:利用We
1 2
dV计算
V
根据高斯定理求得电场强度
1
r E1
a r
r E1
err
r 3 0
drr
(r a)
a
r E2
drr
(a2 r2 ) (r a)
r r a3
a r
E2
r 3 0
er dr
3 0
a
r2
a bc
均为 H0v,设1 电ev流 为2IIa，2根(据0安 培 环a路) 定律H求v2出磁ev场2分I布(a b)
v H2
ev
I
2
c2 c2
2
b2
(b c)
由此即可求出三个区域单位长度内的磁场能量分别为
Wm1
0
2
a 0
H12 2d
0
2
a I 0 2 a2
2
2
d
0I 2 16
1
2
B(rv)2
•
电磁场能量密度：w
we
wm
1 2
E2 H2
• 体积V内总能量：W
wdV
(1
r E
r D
1
r H
r B)dV
V
V2
2
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理描述了有限区域内的电磁能量守恒关系。
dW dt
V S
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
3
(r
a3 0r2
a) dr
故
We
2 0
1 2
V
3
1dV
1 2 2 20
a (a2 r2 )4πr2dr
0
3
4π 2a5 15 0
四、典型例题
【例2】 求同轴线单位长度内储存的磁场能量。
解： 如图所示，同轴线的内导体半径为a , 外导体的内半径为b，外导体的外半径为 c 。 内、外导体之间填充的介质以及导体的磁导率
V为整个空间。
上式只适用于恒定磁场
被积函数 1 JvgAv不代表能量密度
二、恒定磁场的能量
2、多电流回路系统的磁场能量
N个回路系统，i回路自感为Lii，i回路与j回路间互感为 Lij ，i回路
电流为 Ii ，则磁回路系统的磁场能量为:
Wm
1 2
N i 1
N i 1
Lij Ii I j
关于电流回路系统磁场能量的讨论
v
Ag
考查第一项：
:
1
r
v1 D : r2
v dS :
r2
Dv(rv)
(rv)gdSv
1 r
在上式中，V为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面，r
ÑS Dv(rv) (rv)gdSv 0
We
1 2
Dv(rv)gEv(rv)dV
V
V wedV
式中： V 为整个电场空间
we
1 2
Dv(rv)gEv(rv)
一、静电场的能量
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。
1、分布电荷静电场能量
设系统从零开始充电，最终的电荷分布为ρ、电位为。电荷增
加系数为 (0 1)
在某一 时刻：电荷分布为、电位分布为 。
当α 增加为 ( d ) 体积元 dV 中增加电荷 d dV
外电源对dV做功为:() d dV
rr ΕJ
t
(1 2
r Ε
r D
1
r H
2
r B)
——坡印廷定理微分形式
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
3、坡印廷矢量
重要概念：坡印廷矢量
Ñ
vv v (E H )gdS
——流入体积V
的电磁功率
S
坡印廷矢量定义：
v S (t)
v E(t)
v H (t)
r E
注：上式与时间有关，故也称瞬时坡印廷矢量。
Wm
1 2
rr B HdV
V
• 对于线性、各向同性媒质，则有
积分区域为电场 所在的整个空间
wm
1 2
rr BH
1 2
r
H
r H
1 2
H
2
Wm
1 2
rr B HdV
V
1 2
rr
H HdV
V
1 2
H 2dV
V
磁场能量密度公式推导：
vv
vv
vv
g( A B) ( A)gB ( B)gA
We
1 2
D EdV 计算
V
根据高斯定理求得电场强度
r r r E1 er 30 (r a)
r r a3 E2 er 30r2 (r a)
故
We
1 2
D EdV
1
V
2
V1 0E12dV
1 2
V2 0E22dV
1 2
0
(
a 0
2r 2
9
2 0
4πr 2dr
a
2a6 9 02r 4
Wm
0I 2 16
0I 2 4
ln
b a
0I 2 4
(c
2
c4 b2)2
ln
c b
3c2 b2 4(c2 b2 )2
J /m
四、典型例题
【例3】 已知无源区域的
r E场为
r E
C
sin
x
cos(t
kz)evy
V m。求
(a) 磁场强度，(b) 场存在的必要条件，(c) 单位面积的瞬时功率流
外电源所做的总功
WS
V
1
d
dV
1
0
2
dV
V
外电源所做的功转换为电场能量We ，即
We WS
1 2
dV
V
(rr ) (rr )
一、静电场的能量
2、多点电荷静电场能量
对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为 rv qi rv rvi
i
We
1 2
V
rv
rvdV
1 2
i
qi
V
rv
平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。
v 1 Tv
1 Tv v
Sav T
S(t)dt
0
T
E(t) H (t)dt
0
v 注：Sav 与时间t无关。