电磁场的能量

3
(r
a3 0r2
a) dr
故
We
2 0
1 2
V
3
1dV
1 2 2 20
a (a2 r2 )4πr2dr
0
3
4π 2a5 15 0
四、典型例题
【例2】 求同轴线单位长度内储存的磁场能量。
解： 如图所示，同轴线的内导体半径为a , 外导体的内半径为b，外导体的外半径为 c 。 内、外导体之间填充的介质以及导体的磁导率
dW dt
V
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理来自百度文库分形式：
r r rr (Ε H ) Ε J
(1
rr ΕD
1
r H
r B)
推证
t 2
2
坡印廷定理积分形式：
v
ÑS (E
vv H )gdS
d dt
V
(1 2
vv EgD
1 2
vv H gB)dV
V
vv EgJdV
O
r
物理含义：通过垂直于能量传输方向单
r H
S
位面积的电磁功率（功率流密度）。
能流密度矢量
坡印廷矢量描述了时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
3、坡印廷矢量
v 平均坡应廷矢量 Sav
瞬时坡印廷矢量反映某时刻的电磁能量流动情况。 平均坡印廷矢量反映一个时间周期内的电磁能量传递情况。
平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。
v 1 Tv
1 Tv v
Sav T
S(t)dt
0
T
E(t) H (t)dt
0
v 注：Sav 与时间t无关。
四、典型例题
【例1】 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试
求总静电场能量（球内外介质均为真空）。
解法一:利用
1
2
B(rv)2
•
电磁场能量密度：w
we
wm
1 2
E2 H2
• 体积V内总能量：W
wdV
(1
r E
r D
1
r H
r B)dV
V
V2
2
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理描述了有限区域内的电磁能量守恒关系。
dW dt
V S
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
vr v S EH
C
sin
x
cos(t
kz)evy
[
kC
sin
x
cos(t
kz)evx
C
cos
x
sin(t
kz)evz
]
evz
kC 2
sin2
x
cos2
(t
kz)
evx
sin
x
cos
x sin(t
kz) cos(t
vv BgH
1 2
H
2
1
2
B2
Wm
V wedV
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
1、电磁能量
电磁能量密度：单位体积中电磁场的能量。为电场能量和磁场
能量之和。
•
电场能量密度：we
1 2
Dv(rv)gEv(rv)
1 E(rv)2
2
•
磁场能量密度：wm
1 2
Bv(rv)gHv (rv)
1 2
H (rv)2
和平均功率流。
解:
v (a)电E场为:Ey
C
sin
x
cos(t
kz)，用
r E
r
j H
求
r H
场。
v E
evx
(
Ez y
Ey z
)
evy
(
Ex z
Ez x
)
evz
(
Ey x
Ex y
)
Ey z
evx
Ey x
evz
r kC sin xsin(t kz)evx C cos x cos(t kz)evz
Wm
1 2
rr B HdV
V
• 对于线性、各向同性媒质，则有
积分区域为电场 所在的整个空间
wm
1 2
rr BH
1 2
r
H
r H
1 2
H
2
Wm
1 2
rr B HdV
V
1 2
rr
H HdV
V
1 2
H 2dV
V
磁场能量密度公式推导：
vv
vv
vv
g( A B) ( A)gB ( B)gA
电磁场与电磁波
第五讲 电磁场的能量
电子工程学院 陈其科
问题一：为什么说电磁场具有能量？
电场对位于场域中电荷有作用力，磁场对位于场域中电流 有作用力，说明电磁场具有能量。
问题二：电磁场能量来源于何处？
建立电磁场的过程中，外源做功转换为电磁场能量。
问题三：电磁场能量分布于何处？
只要电、磁场不为零的空间，均存在电磁能量分布。
4πr 2dr)
4π
15 0
2a5
四、典型例题
(续前)
解法二:利用We
1 2
dV计算
V
根据高斯定理求得电场强度
1
r E1
a r
r E1
err
r 3 0
drr
(r a)
a
r E2
drr
(a2 r2 ) (r a)
r r a3
a r
E2
r 3 0
er dr
3 0
a
r2
Ez
)
0
x y z
v B
( H x
H y
H z
)
0
r H
v D t
x
y
evx
(
H z y
z
H y z
)
evy
(
H x z
H z x
)
evz
(
H y x
H x y
)
r E t
evy
(k
2
2
)
C
sin
x
sin
t
kz
evy
C
sin
x
sin
t
kz
k2 2 2 ——场存在的必要条件
四、典型例题
(续前) (c) 坡印廷矢量
V为整个空间。
上式只适用于恒定磁场
被积函数 1 JvgAv不代表能量密度
二、恒定磁场的能量
2、多电流回路系统的磁场能量
N个回路系统，i回路自感为Lii，i回路与j回路间互感为 Lij ，i回路
电流为 Ii ，则磁回路系统的磁场能量为:
Wm
1 2
N i 1
N i 1
Lij Ii I j
关于电流回路系统磁场能量的讨论
r J
r D
r t
B
t
r
r
Ε H
Hr
r Ε
rr ΕJ
r H
r Ε
r B t
r D t
r
r
两式相减，得
r Ε
r H
r H
r Ε
r Ε
r J
r Ε
D
r H
B
uv uv
t
t
(A B) uv uv uv uv
B A AB
1
rr (Ε D)
2 t
1
rr (H B)
2 t
rr (Ε H )
We
1 2
D EdV 计算
V
根据高斯定理求得电场强度
r r r E1 er 30 (r a)
r r a3 E2 er 30r2 (r a)
故
We
1 2
D EdV
1
V
2
V1 0E12dV
1 2
V2 0E22dV
1 2
0
(
a 0
2r 2
9
2 0
4πr 2dr
a
2a6 9 02r 4
问题：数学表示？
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
➢ 区域V内电磁场能量密度：
单位体积中电磁场的能量，为电场能量和
磁场能量之和。
S
w
we
wm
1 2
E2 H2
➢ 体积V内总能量：
W
V
wdV
V
(1 2
rr ED
1 2
r H
r B)dV
启示：围绕体积内储能随时间 的变化来描述能量关系
流入体积V 的
体积V 内增加
体积V内损耗
电磁功率
的电磁功率
的电磁功率
（新物理量）
P入
dW dt
P耗
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于
体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
2、坡印廷定理——电磁能量守恒定律
坡印廷定理推导：
r H r Ε
J
/m
四、典型例题
(续前)
Wm2
0
2
b a
H
2 2
2
d
0
2
b
a
I
2
2
2d
0I 2 4
ln
b a
J
/
m
Wm3
0
2
c b
H
2 3
2
d
0
2
c
b
I
2
c2 c2
2
b2
2
2d
0I 2 4
(c
2
c4 b2)2
ln
c b
3c2 b2 4(c2 b2 )2
J /m
同轴线单位长度储存的总磁场能量为
Wm
0I 2 16
0I 2 4
ln
b a
0I 2 4
(c
2
c4 b2)2
ln
c b
3c2 b2 4(c2 b2 )2
J /m
四、典型例题
【例3】 已知无源区域的
r E场为
r E
C
sin
x
cos(t
kz)evy
V m。求
(a) 磁场强度，(b) 场存在的必要条件，(c) 单位面积的瞬时功率流
We
1 2
rr D EdV
V
• 对于线性、各向同性介质，有：
推证
积分区域为电场 所在的整个空间
we
1 2
rr DE
1
r E
r E
2
1 E2
2
1
We 2
rr D EdV
V
1 2
rr
E EdV
V
1 2
E2dV
V
电场能量密度公式推导：
We
121212ÑVVS(Drvvg)(rDvv()(rvrv))d(Vrv)(rvgd)12SvVDv12(grDvVv)(Dgvrvg()Avrv)(g(rvErvv))(gddr(vVV)dAvV)
积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域 积分为零，所以积分也可以为整个空间
能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电
荷分布的区域，所以被积函数 1 不表示能量密度
2
一、静电场的能量
4、电场能量密度
•
电场能量密度： we
1 Dv(rv)gEv(rv) 2
• 电场总能量：
v
Ag
考查第一项：
:
1
r
v1 D : r2
v dS :
r2
Dv(rv)
(rv)gdSv
1 r
在上式中，V为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面，r
ÑS Dv(rv) (rv)gdSv 0
We
1 2
Dv(rv)gEv(rv)dV
V
V wedV
式中： V 为整个电场空间
we
1 2
Dv(rv)gEv(rv)
外电源所做的总功
WS
V
1
d
dV
1
0
2
dV
V
外电源所做的功转换为电场能量We ，即
We WS
1 2
dV
V
(rr ) (rr )
一、静电场的能量
2、多点电荷静电场能量
对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为 rv qi rv rvi
i
We
1 2
V
rv
rvdV
1 2
i
qi
V
rv
rr ΕJ
t
(1 2
r Ε
r D
1
r H
2
r B)
——坡印廷定理微分形式
三、电磁能量及电磁能量守恒定律
3、坡印廷矢量
重要概念：坡印廷矢量
Ñ
vv v (E H )gdS
——流入体积V
的电磁功率
S
坡印廷矢量定义：
v S (t)
v E(t)
v H (t)
r E
注：上式与时间有关，故也称瞬时坡印廷矢量。
若回路为单回路系统，则
Wm
1 2
LI 2
若回路为双回路系统，则
Wm
1 2
L11I12
1 2
L12 I1I 2
1 2
L21I 2 I1
1 2
L22
I
2 2
1 2
L11I12
L12 I1I 2
1 2
L22
I
2 2
二、恒定磁场的能量
3、磁场能量密度
•
磁场能量密度：
wm
1 2
r B
r H
推证
• 磁场能量：
Wm
1 2
V
vv J gAdV
1 2
v H gAdV
V
1 2
V
g(Hv
v A)dV
1 2
V(
vv A)gHdV
Ñ 1
(Hv
vv A)gdS
1
vv BgHdV
v A
21
R
S
v H
1 R2
2V dS R2
R
Wm
1 2
vv BgHdV
V
vv (H A)gdS 0
得：磁能密度为
wm
1 2
1 2
E2
电场能量密度
二、恒定磁场的能量
恒定磁场能量来源于建立电流过程中外源提供的能量。 恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给能量，全 部转化成磁场能量。
1、体电流的磁场能量
若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：
Wm
1 2
vv J gAdV
V
式中：Av为体电流
v J
在dV处产生的磁位。
1
We 2
S
S dS
1 2
i
Si SiidS
1
2
i
i
Si Si dS
i导体电荷电位
1
We 2
i
qii
——多带电导体系统静电场能量
式中 rvi 为所有带电导体(含i导体)在i导体处产生电位
一、静电场的能量
关于静电场能量表达式的说明
讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场
a bc
均为 H0v,设1 电ev流 为2IIa，2根(据0安 培 环a路) 定律H求v2出磁ev场2分I布(a b)
v H2
ev
I
2
c2 c2
2
b2
(b c)
由此即可求出三个区域单位长度内的磁场能量分别为
Wm1
0
2
a 0
H12 2d
0
2
a I 0 2 a2
2
2
d
0I 2 16
由
B
r E
，得
t
v H
kC
sin
x
cos(t
kz)evx
C
cos
x
sin(t
kz)evz
四、典型例题
(续前) (b) 要使场存在，则场量须满足麦克斯韦方程组
r E
C
sin
x
cos(t
kz)evy
Vm
H
x
r,
t
kC
sin
x
cos
t
kz
H
z
r,
t
C
cos
x
sin
t
kz
易推得：
r D
(Ex
Ey
rv
rvi
dV
1
2
i
qi rvi
利用函数的选择性
式中 rvi 为其他电荷在i电荷位置处产生电位，不含i电荷在自身
处产生电位
多点电荷静电场能量： We
1 2
i
qii
点电荷相互作用能
一、静电场的能量
3、多带电导体系统静电场能量
导体带电时，电荷均分布于导体表面——面电荷。
N个带电导体组成的系统的总电场能量为： i导体电荷面密度
一、静电场的能量
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。
1、分布电荷静电场能量
设系统从零开始充电，最终的电荷分布为ρ、电位为。电荷增
加系数为 (0 1)
在某一 时刻：电荷分布为、电位分布为 。
当α 增加为 ( d ) 体积元 dV 中增加电荷 d dV
外电源对dV做功为:() d dV