二次型理论发展史简介 - lnszgseducn

高等代数拓展内容之七

二次型理论发展史简介

二次型理论来源于解析几何中化二次曲线及二次曲面方程为标准方程问题，对二次型理论的研究始于18世纪中期。

1748年，瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783)讨论了三元二次型的化简问题。

1826年，数学家柯西开始研究化三元二次型为标准形问题。他利用特征根概

念解决了n元二次型化简问题，并且证明了两个n元二次型f(x

1,x

2

,…,x

n

)=X T AX,

g(x

1,x

2

,…,x

n

)=X T BX可用非退化线性替换X=CY同时化成标准形。

1801年。高斯 (Guass)在他的“算术研究”中引进了正定二次型等有关概

念。

1852年，西尔维斯特提出了惯性定律，即任何n元实二次型经过非退化线性替换总可以化成规范形

y 12+…+y

p

2-y

p+1

2-…-y

r

2

并且p，r是不变量，但是当时他没有给出证明。

1857年，雅可比证明了这个结果。

1858年，德国数学家维尔斯特拉斯 (Weierstrass，1815一1897)对同时化两个二次型成平方和给出一般方法。他同时证明了如果二次型之一是正定的，即使某些特征根相等，这个结果也是对的。

1657年，费尔马指出方程x2-Ay2=1(A为非平方正整数)有无穷多整数解，后来，布龙克尔等人给出了求解的试验性方法，但对费尔马的断言没有给出证明。1765

年，欧拉通过把

1766-1769年，拉格朗日证明了费尔马的结论，并给出一个求解方法，据此方法可得到方程的所有整数解。更一般地，拉格朗日解出了方程ax2十2bxy十cy2十2dx+2ey+f=0的解，他是通过建立二元二次型的一般理论达到这个目的的。