【数学】2009年高考真题海南卷(理)解析版

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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题汇编立体几何部分(全解析)

2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(理)汇编立体几何部分1、若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD的距离为（） A ．33B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，160B AB ︒∠=，如图，11tan603BB ︒=⨯=，故选D.2、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∴BC ⊥平面PAC .（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴12DE BC =，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴12AD AB =，∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12BC AB =. ∴在Rt △ADE 中，2sin 24DE BC DAE AD AD ∠===， ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小2arcsin4. （Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴90PAC ︒∠=.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时90AEP ︒∠=，故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -，设PA a =，由已知可得()()1330,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a a C a P a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∴0BC AP ⋅=，∴BC ⊥AP .又∵90BCA ︒∠=，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，∴13131,,0,,44242D a a a E a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵13131,,,0,,44242AD a a a AE a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴14cos 4AD AE DAE AD AE⋅∠==⋅. ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小14arccos43、对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）. ①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.4、如图，四棱椎F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2,BD= 2 .AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1,CF=2. (Ⅰ) 求二面角B-AF-D 的大小；(Ⅱ) 求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积。

2009年高考数学(理)真题(Word版)——全国2卷(试题+答案解析)

2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分)=( )A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i2、(5分)设集合A={x|x＞3},B={x|},则A∩B=()A. B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞)3、(5分)已知△ABC中，,则cosA=( )A. B. C. D.4、(5分)曲线在点（1,1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05、(5分)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6、(5分)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=,则|b|=( )A. B. C.5 D.257、(5分)设a=log3π,,,则( )A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a8、(5分)若将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan()的图象重合，则ω的最小值为…()A. B. C. D.9、(5分)已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D.10、(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种B.12种C.30种D.36种11、(5分)已知双曲线C:(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C 于A、B两点.若，则C的离心率为( )A. B. C. D.12、(5分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“Δ”的面的方位是( )A.南B.北C.西D.下二、填空题( 本大题共4 题, 共计20 分)13、(5分) （)4的展开式中x3y3的系数为___________.14、(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3.则=___________.15、(5分)设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于______________.16、(5分)已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD 的面积的最大值为_____________.三、解答题( 本大题共6 题, 共计70 分)17、(10分) 设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B.18、(12分)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1. (Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.19、(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,S n+1=4a n+2.(Ⅰ)设b n=a n+1-2a n,证明数列{b n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式.20、(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.21、(12分)已知椭圆C:(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.22、(12分)设函数=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2.(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论的单调性;(Ⅱ)证明: ()21224Inf x->.答案解析一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分) A解析:.故选A.2、(5分) B解析:∵(x-1)(x-4)＜0,∴1＜x＜4,即B={x|1＜x＜4},∴A∩B=(3,4).故选B.3、(5分) D解析:∵,∴A为钝角.又∵,∴.代入sin2A+cos2A=1,求得.故选D.4、(5分) B解析:∵,∴y′|x=1=-1.∴切线的斜率k=-1.∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.故选B.5、(5分) C解析:如图所示,连接A1B,因A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C,则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角. 不妨设AB=1,则AA1=2,设∠ABE=α,∠ABA1=β,则,,,.∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=.故选C.6、(5分) C解析:设b=(x,y),由得解方程组得或则|b|=.故选C.7、(5分) A解析:∵a=log3π＞log33=1,,.∴a＞b＞c.故选A.8、(5分) D解析:将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位,得y=tan(),又因平移后函数的图象与y=tan()的图象重合, ∴(k∈Z),即,∴当k=0时,,即ω的最小值为.故选D.9、(5分) D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,Δ=16(k2-2)2-4k2·4k2＞0.得-1＜k＜1,即0＜k＜1,,x1x2=4.又∵|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4,即x1=2x2+2.代入x1·x2=4,得x22+x2-2=0,∴x2=1,或x2=-2(舍去,因x2＞0).∴x1=2×1+2=4.∴.∴.又0＜k＜1,∴.故选D.10、(5分) C解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为种，甲、乙所选的课程都不相同的选法有种，所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有24+6=30种.故选C.11、(5分) A解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由,得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2),∴y1=-4y2.设过F点斜率为的直线方程为,∴则有∴将y1=-4y2分别代入①②得化简得∴.化简得16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).∴25c2=36a2.∴,即.12、(5分) B解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展平.剪开棱A1B1,使正方形ABB1A1向南的方向展开,然后拉开展平,则标“Δ”的面的方位则为北.故选B.二、填空题( 本大题共4 题, 共计20 分)13、(5分) 6解析:设展开式中第r+1项为x3y3项,由展开式中的通项,得=.令,得r=2.∴系数为.14、(5分) 9解析:由a5=5a3,得,.15、(5分) 8π解析:如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d,在Rt△ONB中,d2=R2-BN2.①又∵π·BN2=,∴.在△ONM中,d=OM·sin45°=,②将②代入①得,∴R2=2.∴S球=4πR2=8π.16、(5分) 5解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则d12+d22=|OM|2=12+()2=3.在△ONC中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,∴.同理在△OBP中,.S四边形=S△CAD+S△CAB====.当且仅当d1=d2时取等号,即d1=d2=时取等号.三、解答题( 本大题共6 题, 共计70 分)17、(10分) 解:由cos(A-C)+cosB=及B=π-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=,cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.故,或(舍去),于是或.又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以.18、(12分) 解法一:(Ⅰ)取BC的中点F,连接EF,则EF,从而EF DA.连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1,故AF⊥平面BCC1,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC,(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知∠AGC=60°.设AC=2,则.又AB=2,,故.由AB·AD=AG·BD得,解得,故AD=AF.又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形.因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF.连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD.连接CH,则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,,故EH=1,又,所以∠ECH=30°,即B1C与平面BCD所成的角为30°.解法二:(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E(,,c).于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC,·=0,求得b=1,所以AB=AC.(Ⅱ)设平面BCD的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0.又=(-1,1,0), =(-1,0,c).故令x=1,则y=1, , =(1,1,).又平面ABD的法向量=(0,1,0).由二面角A-BD-C为60°知,〈〉=60°,故·=||·||·cos60°,求得.于是=(1,1,), =(1,-1,),cos〈,〉=,〈,〉=60°,所以B1C与平面BCD所成的角为30°.19、(12分) 解:(Ⅰ)由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3,又a n+2=S n+2-S n+1=4a n+1+2-(4a n+2)=4a n+1-4a n;于是a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n),即b n+1=2b n.因此数列{b n}是首项为3,公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{b n}中b1=3,公比q=2,所以a n+1-2a n=3×2n-1,于是,因此数列{}是首项为,公差为的等差数列,,所以a n=(3n-1)·2n-2.20、(12分) 解:(Ⅰ)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人.(Ⅱ)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.(Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2.B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人.A i与B独立,i=0,1,2.P(ξ=0)=P(A0·)=P(A0)·P()=,P(ξ=1)=P(A0·B+A1·)=P(A0)·P(B)+P(A1)·P()=,P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)·P(B)=,P（ξ=2)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)］=.故ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.21、(12分) 解:(Ⅰ)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为,故,c=1.由,得,.(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，由（Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6,设A（x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上，即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0.①将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得（2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,于是,,y1·y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入①解得k2=2,此时,于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P（,).因此，当时，P(,),l的方程为;当时，P(,)，l的方程为.(ⅱ)当l垂直于x轴时，由=（2，0）知，C上不存在点P使成立, 综上,C上存在点P(,)使成立,此时l的方程.22、(12分) 解:(Ⅰ)由题设知,函数的定义域是x＞-1,,且f′(x)=0有两个不同的根x1,x2,故2x2+2x+a=0的判别式Δ=4-8a＞0,即,且,.①又x1＞-1,故a＞0.因此a的取值范围是(0,).当x变化时,与f′(x)的变化情况如下表:x (-1,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+∞)f′(x)+ 0 - 0 +极大值极小值因此在区间(-1,x1)和(x2,+∞)上是增函数，在区间（x1,x2)上是减函数.(Ⅱ)由题设和①知＜x2＜0,a=-2x2(1+x2),于是f(x2)=x22-2x2(1+x2)ln(1+x2).设函数g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t),则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t).当时,g′(t)=0;当t∈(,0)时,g′(t)＞0,故g(t)在区间［,0)上是增函数.于是,当t∈(,0)时,. 因此.。

2009年海南省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

2009年海南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合A ＝{1, 3, 5, 7, 9}，B ＝{0, 3, 6, 9, 12}，则A ∩B ＝（） A.{3, 5} B.{3, 6} C.{3, 7} D.{3, 9}2. 复数3+2i2−3i =( ) A.1B.−1C.iD.−i3. 对变量x ，y 有观测数据(x i , y i )(i =1, 2,…,10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i , v i )(i =1, 2,…,10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 4. 有四个关于三角函数的命题： P 1:∃x ∈R ，sin 2x2+cos 2x2=12；P 2:∃x 、y ∈R ，sin (x −y)=sin x −sin y ； P 3:∀x ∈[0, π]，√1−cos 2x2=sin x ；P 4:sin x =cos y ⇒x +y =π2．其中假命题的是（） A.P 1，P 4B.P 2，P 4C.P 1，P 3D.P 2，P 35. 已知圆C 1：(x +1)2+(y −1)2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x −y −1=0对称，则圆C 2的方程为（） A.(x +2)2+(y −2)2=1 B.(x −2)2+(y +2)2=1 C.(x +2)2+(y +2)2=1D.(x −2)2+(y −2)2=16. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2 ，则z ＝x +y( )A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值7. 已知向量a →=(−3, 2)，b →=(−1, 0)，若λa →+b →与a →−2b →垂直，则实数λ的值为（） A.−17 B.17 C.−16 D.16 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n−1+a n+1−a n 2=0，S 2n−1=38，则n =( )A.38B.20C.10D.99. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，EF // B 1C 1，用平面BCFE 把这个长方体分成了(1)、(2)两部分后，这两部分几何体的形状是( )A.(1)是棱柱，(2)是棱台B.(1)是棱台，(2)是棱柱C.(1)(2)都是棱柱D.(1)(2)都是棱台10. 已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于C 点，AB 一条外公切线，A 、B 分别为切点，连接AC 、BC ．设⊙O 1的半径为R ，⊙O 2的半径为r ，若tan ∠ABC =√2，则 Rr 的值为（）A.√2B.√3C.2D.311. 如果执行如图的程序框图，输入x=−2，ℎ=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A.3B.3.5C.4D.4.512. 用min{a, b, c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)=min{2x, x+2, 10−x}(x≥0)，则f(x)的最大值为（）A.7B.6C.5D.4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 曲线y=xe x+2x+1在点(0, 1)处的切线方程为________．14. 已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P(2, 2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．15. 等比数列{a n}的公比q>0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=________．16. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示，则f(7π12)=________．三、解答题（共7小题，第22-24题，属选做题，满分70分）17. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值．。

2009年高考数学试卷及答案(海南、宁夏理)A4

2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学一、选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N=（）(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5}（2）已知复数12z i =-，那么1z=（）（A（B（C ）1255i + （D ）1255i -（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=（）（A(B) (C) 4 (D)12（4）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（）（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）（A ）70种（B ） 80种（C ） 100种（D ）140种（6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96SS =（）（A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）3 （7）曲线y=2xx -在点（1，－1）处的切线方程为（）（A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 (8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（）（A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（）（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23）（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。

2009年高考理科数学新课标卷含答案详解(海南宁夏)

2009年普通高等学校招生考试新课标理科数学（海南、宁夏卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-= 其中x 为样本平均数柱体体积公式V ＝Sh 其中S 为底面面积,h 为高锥体体积公式Sh V 31=其中S 为底面面积,h 为高球的表面积、体积公式S ＝4πR 2,334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{1,3,5,7,9},B ＝{0,3,6,9,12},则A∩B 等于( )A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3} 答案:A解析:即在A 中把B 中有的元素去掉. 2.复数iii i 32233223+---+等于 ……( ) A.0 B.2 C.－2i D.2i 答案:D 解析:原式i ii i i i i i i 2131313)32)(32()23)(32()32)(23(=+=+----++.故选D.3.对变量x,y 有观测数据(x i ,y i )(i ＝1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v 有观测数据(u i ,v i )(i ＝1,2,…,10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1 图2A.变量x 与y 正相关,u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关,u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关,u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关,u 与v 负相关答案:C解析:由图象观察易知C 正确.4.双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（）A.32B.2C.3D.1 答案:A解析:焦点F(4,0),渐近线方程为x y 3=.由点到直线的距离得32234==d .故选A. 5.有四个关于三角函数的命题: p 1:∃x∈R,212cos 2sin 22=+x x p 2:∃x,y∈R,sin(x－y)＝sinx －siny p 3:∀x∈［0,π］,x xsin 22cos 1=- p 4:sinx ＝cosy 2π=+⇒y x其中的假命题是( )A.p 1,p 4B.p 2,p 4C.p 1,p 3D.p 2,p 3答案:A解析:∀x∈R, 12cos 2sin 22=+xx ,故p 1为假命题. 由sinx ＝cosy ⇒sinx ＝sin(y -2π)⇒y x -+2π＝π+2kπ,或ππk y x 22+-=,k∈Z,故p 4为假命题.故选A.6.设x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,22,1,42y x y x y x 则z ＝x+y( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值答案:B解析:由图象可知z ＝x+y 在点A 处取最小值z min ＝2,无最大值.7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1＝1,则S 4等于( ) A.7 B.8 C.15 D.16 答案:C解析:由4a 1+a 3＝4a 2⇒4+q 2＝4q ⇒q ＝2,则S 4＝a 1+a 2+a 3+a 4＝1+2+4+8＝15. 故选C.8.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22=EF ，则下列结论中错误的是（）A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A —BEF 的体积为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值答案:D解析:由AC⊥平面DBB 1D 1可知AC⊥BE.故A 正确. EF∥BD,EF ⊄平面ABCD,知EF∥平面ABCD,故B 正确. A 到平面BEF 的距离即为A 到平面DBB 1D 1的距离,为22, 且定值=⨯=∆EF BB S BEF 121, 故V A —BEF 为定值,即C 正确. 故选D.9.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内,且||||||OC OB OA ==，0||||||=++，||||||||||||•=•=•，则点O,N,P 依次是△ABC的（） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心) 答案:C解析:由||||||OC OB OA ==知O 到A 、B 、C 三点的距离相等,即为外心. 由0||||||=++NC NB NA,设D 为BC 中点,则有NA+2ND ＝0. 则N 为中线靠近中点的三等分点,即为重心.由00)(||||||||||=•⇒=-•=•=•AC PB PA PC PB PC PB PB PA ,同理,有0||||=•BC PA ，0||||=•AB PC .则P 为垂心,故选C.10.如果执行下边的程序框图,输入x ＝－2,h ＝0.5,那么输出的各个数的和等于（）A.3B.3.5C.4D.4.5答案:B解析:当x＜0时输出y恒为0,当x＝0时,输出y＝0.当x＝0.5时,输出y＝x＝0.5.当1≤x≤2时输出y恒为1,而h＝0.5,故x＝1、1.5、2.故输出的各个数之和为0.5+3＝3.5.故选B.11.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为（）A.22448+48+ B. 2 12C. 22436+ 36+ D. 2 12答案:A解析:由三视图可知原棱锥为三棱锥,记为P—ABC(如图).且底边为直角三角形,顶点P在底面射影为底边AC的中点,且由已知可知AB＝BC＝6,PD＝4.则全面积为26421562126621⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=S21248+=.故选A.12.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x ,x+2,10－x}(x≥0),则f(x)的最大值为（）A.4B.5C.6D.7 答案:C解析:令2x ＝x+2⇒x 1＜0(舍)或x 2＝2, 令2x ＝10－x 即2x +x ＝10,则2＜x ＜3. 则可知f(x)的大致图象如下图所示.故f(x)≤6,即选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点.若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为_________________. 答案:y ＝x解析:由F(1,0)知抛物线C的方程为y2＝4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y12＝4x1,y22＝4x2,两式相减有y12－y22＝4(x1－x2)14)(212121=⇒=+•--⇒ABkyyxxyy.故l AB:y－2＝x－2,即y＝x.14.已知函数y＝sin(ωx+φ)(ω＞0,－π≤φ＜π)的图像如图所示,则φ＝_______.答案:109π解析:25)432(2πππ=-⨯=T,故54=ω.∴)54sin(ϕ+=xy,令4224354ππϕπ-=+⨯k(k∈Z).则10112ππϕ-=k,k∈Z.又－π≤φ＜π,则109πϕ=.15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有__________种(用数字作答).答案:140解析:分两步:(一)有一人不参加活动17C,(二)将6人分成二组,每组3人安排在两天工作36C.故共有1403617=⨯CC.16.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m－1+a m+1－a m2＝0,S2m－1＝38,则m＝________________.答案:10解析:由a m －1+a m+1－a m 2＝0且a m －1+a m+1＝2a m 知 a m 2＝2a m ⇒a m ＝2或a m ＝0. 又S 2m －1＝38知a m ≠0,故a m ＝2,则S 2m －1＝(2m －1)×2＝38⇒m ＝10.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)为了测量两山顶M,N 间的距离,飞机沿水平方向在A,B 两点进行测量.A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B 间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N 间的距离的步骤.分析:本小题主要考查三角形中正、余弦定理的应用.解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到M,N 点的俯角α1,β1;B 点到M,N 的俯角α2,β2;A,B 的距离d(如图所示).②第一步:计算AM.由正弦定理)sin(sin 212ααα+=d AM ;第二步:计算AN.由正弦定理)sin(sin 122βββ-=d AN ;第三步:计算MN.由余弦定理)cos(22122βα-⨯-+=AN AM AN AM MN . 方案二:①需要测量的数据有:A 点到M,N 点的俯角α1,β1;B 点到M,N 点的俯角α2,β2;A,B 的距离d(如图所示). ②第一步:计算BM.由正弦定理)sin(sin 211ααα+=d BM ;第二步:计算BN.由正弦定理)sin(sin 121βββ-=d BN ;第三步:计算MN.由余弦定理)cos(22222αβ+⨯++=BN BM BN BM MN .18.(本小题满分12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人).现用分层抽样方法(按A 类,B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A 类工人,乙为B 类工人; (2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1:表2:人数 6 y 36 18①先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 分析:本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 第(2)问考查频率分布直方图及期望的求解.解:(1)甲、乙被抽到的概率均为101,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为1001101101=⨯=p .(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名,B 类工人中应抽查75名.故4+8+x+5+3＝25,得x ＝5, 6+y+36+18＝75,得y ＝15. 频率分布直方图如下:图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小. ②123145253135255125255115258105254x A =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 133.8145751813575361257515115756x B =⨯+⨯+⨯+⨯=,131.1133.81007512310025x =⨯+⨯=. A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S —ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD 的大小.(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.分析:本小题主要考查线面垂直、线面平行的基本空间位置关系.第(1)问可以通过线面垂直去求证线线垂直.第(2)问可利用第(1)问结论进一步求解.第(3)问可以从线面平行需要的条件进行转化.亦可以从空间向量方向入手.解法一:(1)证明:连BD,设AC 交BD 于O,由题意SO⊥AC.在正方形ABCD 中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.(2)设正方形边长a,则a SD 2=. 又a OD 22=,所以∠SDO＝60°. 连OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD.所以∠POD 是二面角P －AC －D 的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD＝30°,即二面角P －AC －D 的大小为30°. (3)在棱SC 上存在一点E,使BE∥平面PAC. 由(2)可得a PD 42=,故可在SP 上取一点N,使PN ＝PD.过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E.连BN,在△BDN 中知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC. 由于SN∶NP＝2∶1,故SE∶EC＝2∶1.解法二:(1)证明:连BD,设AC 交BD 于O,由题意知SO⊥平面ABCD.以O 为坐标原点,OB 、OC 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标O —xyz,如图.设底面边长为a,则高a SO 26=. 于是S(0,0,a 26),D(a 22-,0,0),C(0,a 22,0), ＝(0,a 22,0), ＝(a 22-,0, a 26-), 0=•.故OC⊥SD. 从而AC⊥SD.(2)由题设知,平面PAC 的一个法向量DS ＝(a 22,0, a 26),平面DAC 的一个法向量OS ＝(0,0,a 26).设所求二面角为θ,则23||||cos =O =DS S θ,所求二面角的大小为30°.(3)在棱SC 上存在一点E 使BE∥平面PAC. 由(2)知DS 是平面PAC 的一个法向量, 且DS ＝(a 22,0, a 26),CS ＝(0, a 22-,a 26). 设CS t CE =,则CS t BC CE BC BE +=+=＝(a 22-,)1(22t a -,at 26). 而310=⇔=•t DS BE ,即当SE∶EC＝2∶1时, DS BE ⊥. 而BE 不在平面PAC 内,故BE∥平面PAC.20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,λ=||||OM OP ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 分析:本题第(1)问求椭圆中的基本参数.第(2)问考查形如(a －λ)x 2+by 2＝c(其中a,b,c 为定值) 所表示的曲线类型,渗透着分类讨论思想.解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知得⎩⎨⎧=+=-,7,1c a c a 解得a ＝4,c ＝3.所以椭圆C 的标准方程为171622=+y x .(2)设M(x,y),其中x∈［－4,4］.由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得2222)(161129λ=++y x x , 整理得(16λ2－9)x 2+16λ2y 2＝112,其中x∈［－4,4］. ①43=λ时,化简得9y 2＝112, 所以点M 的轨迹方程为374±=y (－4≤x≤4),轨迹是两条平行于x 轴的线段. ②43≠λ时,方程变形为1161129161122222=+-λλy x ,其中x∈［－4,4］. 当0＜λ＜43,点M 的轨迹为中心在原点,实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分;当43＜λ＜1时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分;当λ≥1时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆. 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . (1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6. 分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题. 第(2)问考查极值点与导函数的关系.解:(1)当a ＝b ＝－3时,f(x)＝(x 3+3x 2－3x －3)e －x ,故f′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x ＝－e －x (x 3－9x) ＝－x(x －3)(x+3)e －x .当x ＜－3或0＜x ＜3时,f′(x)＞0; 当－3＜x ＜0或x ＞3时,f′(x)＜0.从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.(2)f′(x)＝－(x 3+3x 2+ax+b)e －x +(3x 2+6x+a)e －x ＝－e －x ［x 3+(a －6)x+b －a ］. 由条件得f′(2)＝0,即23+2(a －6)+b －a ＝0,故b ＝4－a. 从而f′(x)＝－e －x ［x 3+(a －6)x+4－2a ］. 因为f′(α)＝f′(β)＝0,所以x 3+(a －6)x+4－2a ＝(x －2)(x －α)(x－β) ＝(x －2)［x 2－(α+β)x+αβ］.将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2. 故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β－2)(α－2)＜0，即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6. 于是β－α＞6.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H,∠B＝60°,F 在AC 上,且AE ＝AF.(1)证明B,D,H,E四点共圆;(2)证明CE平分∠DEF.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等. 证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠A HE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF＝30°.所以CE 平分∠DEF.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1:⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3,cos 4(t 为参数),C 2:⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 8y x (θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 1上的点P 对应的参数为2π=t ,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,23(t 为参数)距离的最小值.分析:参数方程的考查,即为三角函数中同角三角函数的基本关系sin 2x+cos 2x ＝1的应用;第(2)小问点到直线距离公式的应用.解:(1)C 1:(x+4)2+(y －3)2＝1,C 2:196422=+y x .C 1为圆心是(－4,3),半径是1的圆.C 2为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当2π=t 时,P(－4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M(－2+4cosθ,θsin 232+).C 3为直线x －2y －7＝0,M 到C 3的距离|13sin 3cos 4|55--=θθd . 从而当54cos =θ,53sin -=θ时,d 取得最小值558. 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点.设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和.(1)将y 表示为x 的函数;(2)要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值? 分析:第(1)小问考查绝对值的几何意义——距离问题. 第(2)小问考查含绝对值不等式的解法及分段思想. 解:(1)y ＝4|x －10|+6|x －20|,0≤x≤30. (2)依题意,x 满足⎩⎨⎧≤≤≤-+-.300,70|20|6|10|4x x x解不等式组,其解集为［9,23］. 所以x∈［9,23］.。

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)(1)

2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分） A ．﹣2+4i=（）B ．﹣2﹣4iC ．2+4iD ．2﹣4i2．（5 分）设集合 A={x ||x |＞3}，B={x | A ．φB ．（3，4）3．（5 分）已知△ABC 中，cotA=﹣ ，则 cosA=（）＜0}，则 A ∩B=（）C ．（﹣2，1）D ．（4，+∞）D ．A ．B ．在点（1，1）处的切线方程为（） B ．x +y ﹣2=0C ．x +4y ﹣5=0D ．x ﹣4y +3=0C ．4．（5 分）函数 A ．x ﹣y ﹣2=05．（5 分）已知正四棱柱 ABCD ﹣A B C D 中，AA =2AB ，E 为 AA 中点，则异面 1 1 1 1 1 1 直线 BE 与 CD 所形成角的余弦值为（） 1 A ．B ．C ．D ．6．（5 分）已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（）D ．25A ．B ．C ．57．（5 分）设 a=log π，b=log ，c=log 3，则（） C ．b ＞a ＞c3 2A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a8．（5 分）若将函数 y=tan （ωx + ）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数 y=tan （ωx + ）的图象重合，则 ω 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5 分）已知直线 y=k （x +2）（k ＞0）与抛物线 C ：y 2=8x 相交于 A 、B 两点， F 为 C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则 k=（） A ．B ．C ．D ．10．（5 分）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有（）A．6 种B．12 种C．24 种D．30 种11．（5 分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C 于A、B 两点，若=4 ，则C 的离心率为（）A．B．C．D．12．（5 分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5 分）（x ﹣y ）4 的展开式中x3y3 的系数为．14．（5 分）设等差数列{a }的前n 项和为S ，若a =5a ，则=．n n 5 315．（5 分）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于．16．（5 分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10 分）设△ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB= ，b2=ac，求B．18．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB⊥AC，D、E 分别为AA 、B C1 1 1 1 1的中点，DE⊥平面BCC ．1（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C 为60°，求B C 与平面BCD 所成的角的大小．119．（12 分）设数列{a }的前n 项和为S ，已知a =1，S =4a +2（n∈N*）．n n 1 n+1 n（1）设b =a ﹣2a ，证明数列{b }是等比数列；n n+1 n n（2）求数列{a }的通项公式．n20．（12 分）某车间甲组有10 名工人，其中有4 名女工人；乙组有5 名工人，其中有3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3 名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12 分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，当l 的斜率为1 时，坐标原点O 到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b 的值；成立？若（Ⅱ）C 上是否存在点P，使得当l 绕F 转到某一位置时，有存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．22．（12 分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x 、x ，且x ＜x ，1 2 1 2 （Ⅰ）求a 的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x ）＞．22009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5 分）A．﹣2+4i =（）B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=故选：A．，【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5 分）设集合A={x||x|＞3}，B={x| A．φB．（3，4）＜0}，则A∩B=（）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A 和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3 或x＜﹣3}，B={x| ＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5 分）已知△ABC 中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA 转化成正弦和余弦，求得sinA 和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1 联立方程求得cosA 的值．【解答】解：∵cotA=∴A 为钝角，cosA＜0 排除A 和B，再由cotA=故选：D．= ，和sin2A+cos2A=1 求得cosA= ，【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5 分）函数A．x﹣y﹣2=0在点（1，1）处的切线方程为（）B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5 分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，E 为AA 中点，则异面1 1 1 1 1 1直线BE 与CD 所形成角的余弦值为（）1A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA ∥CD ，知∠A BE 是异面直线BE 与CD 所形成角，由此能求出异1 1 1 1面直线BE 与CD 所形成角的余弦值．1【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，E 为AA 中点，1 1 1 1 1 1∴BA ∥CD ，∴∠A BE 是异面直线BE 与CD 所形成角，1 1 1 1设AA =2AB=2，1则A E=1，BE= = ，1= ，A B=1∴cos∠A BE=1== ．∴异面直线BE 与CD 所形成角的余弦值为．1故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5 分）已知向量 =（2，1）， A ．B ．=10，| + |= C ．5，则| |=（）D ．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A ：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a +b |=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵| + |= ∴（ + ）2= 2+ 2+2 ，| |= =50，得| |=5 故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5 分）设 a=log π，b=log ，c=log 3，则（） C ．b ＞a ＞c3 2A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log x 的单调性进行求解．当a＞1 时函数为增函数当0a＜a＜1 时函数为减函数，如果底a 不相同时可利用1 做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1 做为中介值．8．（5 分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣]=tan（ωx+ω+kπ=）+ ）∴﹣∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin= ．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5 分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B 分别作AM⊥l 于M，BN ⊥l 于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x 的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B 分别作AM⊥l 于M，BN⊥l 于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5 分）甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有（）A．6 种B．12 种C．24 种D．30 种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2 门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2 门的种数C 2C 2=36，4 4②两人所选两门都相同的有为C 2=6 种，都不同的种数为C 2=6，4 4故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5 分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C 于A、B 两点，若=4 ，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA ：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为 l ，过 A 、B 分别作 AM ⊥l 于 M ，BN ⊥l 于 N ，BD ⊥ AM 于 D ，由直线 AB 的斜率可知直线 AB 的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM |﹣|BN |=|AD |，进而根据【解答】解：设双曲线的右准线为 l ，，求得离心率．过 A 、B 分别作 AM ⊥l 于 M ，BN ⊥l 于 N ，BD ⊥AM 于 D ，由直线 AB 的斜率为，知直线 AB 的倾斜角为 60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有： =∴，∴故选：A ．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5 分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5 分）（x ﹣y ）4 的展开式中x3y3 的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令x，y 的指数都为1 求出x3y3 的系数【解答】解：只需求，展开式中的含 xy 项的系数．的展开式的通项为得 r=2∵令 ∴展开式中 x 3y 3 的系数为 C 2=6 4故答案为 6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5 分）设等差数列{a }的前 n 项和为 S ，若 a =5a ，则 = 9 ．n n 5 3 【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知 S =9a ，S =5a ，根据 a =5a ，进 9 5 5 3 5 3 而可得则的值．【解答】解：∵{a }为等差数列，n S =a +a +…+a =9a ，S =a +a +…+a =5a ，9 1 2 9 5 5 1 2 5 3 ∴故答案为 9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5 分）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得到圆 C ．若圆 C 的面积等于8π ．，则球 O 的表面积等于【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C 的半径为r，．因为由．得R2=2故球O 的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5 分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，菱形ABCD 各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ= AB ，得到M、N、P、Q 四点在以O 为圆心OM 为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O．求证：菱形ABCD 各边中点M、N、P、Q 在以O 为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，∴OM=ON=OP=OQ= AB，∴M、N、P、Q 四点在以O 为圆心OM 为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10 分）设△ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB= ，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB= （负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB= 及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）= ，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）= ，∴sinAsinC= ．又由b2=ac 及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故∴，或（舍去），于是B= 或B= ．又由b2=ac知b≤a 或b≤c所以B= ．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB⊥AC，D、E 分别为AA 、B C1 1 1 1 1的中点，DE⊥平面BCC ．1（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C 为60°，求B C 与平面BCD 所成的角的大小．1【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点B 到面BDC 的距离即可，作AG1 1⊥BD 于G，连GC，∠AGC 为二面角A﹣BD﹣C 的平面角，在三角形AGC 中求出GC 即可．【解答】解：如图（I ）连接 BE ，∵ABC ﹣A B C 为直三棱柱，1 1 1 ∴∠B BC=90°， 1∵E 为 B C 的中点，∴BE=EC ．1 又 DE ⊥平面 BCC ， 1∴BD=DC （射影相等的两条斜线段相等）而 DA ⊥平面 ABC ，∴AB=AC （相等的斜线段的射影相等）．（II ）求 B C 与平面 BCD 所成的线面角，1 只需求点 B 到面 BDC 的距离即可．1 作 AG ⊥BD 于 G ，连 GC ，∵AB ⊥AC ，∴GC ⊥BD ，∠AGC 为二面角 A ﹣BD ﹣C 的平面角，∠AGC=60°不妨设，则 AG=2，GC=4在 RT △ABD 中，由 AD•AB=BD•AG ，易得设点 B 到面 BDC 的距离为 h ，B C 与平面 BCD 所成的角为 α．1 1 利用可求得 h= 即 B C 与平面 BCD 所成的角为 30°．，，又可求得，∴α=30°．1 【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12 分）设数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a =1，S =4a +2（n ∈N *）．n n 1 n +1 n （1）设 b =a ﹣2a ，证明数列{b }是等比数列；n n +1 n n（2）求数列{a }的通项公式．n【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b =a ﹣2a =3．由S =4a +2 和S =4a n﹣1+2 相减得1 2 1 n+1 n na =4a ﹣4a ，即a ﹣2a =2（a ﹣2a ），所以b =2b ，由此可知{b }n+1 n n﹣1 n+1 n n n﹣1 n n﹣1 n是以b =3 为首项、以2 为公比的等比数列．1（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a }的通项公式．n【解答】解：（1）由a =1，及S =4a +2，1 n+1 n得a +a =4a +2，a =3a +2=5，所以b =a ﹣2a =3．1 2 1 2 1 1 2 1由S =4a +2，①n+1 n则当n≥2 时，有S =4a n﹣1+2，②n①﹣②得a =4a ﹣4a ，所以a ﹣2a =2（a ﹣2a n﹣1），n+1 n n﹣1 n+1 n n又b =a ﹣2a ，所以b =2b （b ≠0），所以{b }是以b =3 为首项、以2 为n n+1 n n n﹣1 n n 1公比的等比数列．（6 分）（2）由（I）可得b =a ﹣2a =3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得n n+1 n．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a =（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13 分）n【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12 分）某车间甲组有10 名工人，其中有4 名女工人；乙组有5 名工人，其中有3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3 名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2 人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10 名工人，乙组有5 名工人，从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2 名，乙中抽取1 名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2 名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ0 1 2 3P故Eξ== ．【点评】本题较常规，比08 年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12 分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，当l 的斜率为1 时，坐标原点O 到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b 的值；成立？若（Ⅱ）C 上是否存在点P，使得当l 绕F 转到某一位置时，有存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l 的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O 到l 的距离求得c，进而根据离心率求得a 和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x ，y ）、B（x ，y ），l：x=my+1 代入1 12 2椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y +y 和y y 的表达式，1 2 1 2假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P 的坐标为（x +x ，1 2y +y ），代入椭圆方程；把A，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，1 2进而求得P 点坐标，求出m 的值得出直线l 的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O 到l 的距离为则又，解得c=1 ，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x ，y ）、B（x ，y ）1 12 2由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P 的坐标为（x +x ，y +y ），1 2 1 2点P 在椭圆上，即．整理得2x 2+3y 2+2x 2+3y 2+4x x +6y y =6．1 12 2 1 2 1 2又A、B 在椭圆上，即2x 2+3y 2=6，2x 2+3y 2=6、1 12 2故2x x +3y y +3=0②1 2 1 2将x x =（my +1）（my +1）=m2y y +m（y +y ）+1 及①代入②解得1 2 1 2 1 2 1 2∴，x +x = ，即1 2当当；【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12 分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x 、x ，且x ＜x ，1 2 1 2 （Ⅰ）求a 的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x ）＞．2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x 、x 是方程g（x）=0 的两个均大于﹣1 的不相等的实根，建立不1 2等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0 和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x 是方程g（x）=0 的根，将a 用x 表示，消去a 得到关于x 的函数，研2 2 2究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x 、x 是方程g（x）=0 的两个均大于﹣1 的不相等的实根，1 2其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x ）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x ）内为增函数；1 1（2）当x∈（x ，x ）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x ，x ）内为减函数；1 2 1 2（3）当x∈（x ，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x ，+∞）内为增函数；2 2（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x2 +2x ）2 2∴f（x ）=x 2+aln（1+x ）=x 2﹣（2x2 +2x ）ln（1+x ）2 2 2 2 2 2 2设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当故时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。

海南省2009年普通高等学校招生全国统一考试

海南省2009年普通高等学校招生全国统一考试数学科试卷分析报告海口市教育研究培训院蔡芙蓉海南华侨中学李红庆一．试题总体评价海南省2009年高考数学试卷，以新课程标准、全国考试大纲和海南考试说明为依据，试卷的结构沿袭了前两年高考数学试卷风格，试题设计“稳中求新”，紧密贴近中学教学，在坚持对基础知识和基本技能的考查的同时，与前两年相比，更加重视数学思想与方法的考查．试卷从多角度、多视点、多层次地考查数学理性思维，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能．试卷将新课程中新增内容和传统内容有机结合，考查更加科学、规范和深化，并加大了对创新意识和新课程中的研究性学习与综合实践内容的考查力度，充分体现新课程理念，有利于推进中学数学课程改革，有利于高校选拔考生．（一）、试题考点及考试成绩统计表表一：理科数学试卷知识分布表：注:1.选做题中选做平面几何、参数方程极坐标、不等式的考生分别约为50%、35%、15%；2.向量题减少一个题（5分），增加了逻辑用语题(5分)，用三角解答题替换数列解答题(12分)，其他考点基本保持2008年的格局，与07年卷类似．表二：文科数学试卷知识分布表：注:1.选做题中选做平面几何、参数方程极坐标、不等式的考生分别约为30%、65%、5%；2.向量题减少一个题（5分），增加了逻辑用语题(5分)，其他考点基本保持2008年的格局．表三：文理科数学考点与理科考试成绩抽样统计表（2009年、2008年各题的均分、难度比较）注:理科第二卷平均分与去年相比，下降了2.5分，其中填空题下降1.76分，解答题17题下降4.85分，选做题下降1.03分，其他题略有上升或与去年持平．表四：文科主观题平均分及分段得分率统计表表五：理科主观题平均分及分段得分率统计表表六.考试成绩统计分析表（难度区分度）文科（考生数：20111）理科（考生数：37789）表七：09年文理科数学各题统计数据（文理科均分、难度对比）（二）．试卷定性分析纵观整份试卷，给人以“稳中求新”的感觉，体现了数学的基础性、应用性和工具性，以重点知识主干线来挑选合理背景构建试题的主体，试卷对新课程中新增内容和传统内容有机结合的考查更加科学、规范和深化，更加重视数学思想与方法的考查，并加大了对创新意识和新课程中的研究性学习与综合实践的考查力度，充分体现新课程理念这份试卷具有以下特点：1.试卷的结构充分体现了课改区的命题原则本次试卷的结构充分体现了课改区的命题原则:超量命题，限量答题．1～21题继承了前两年命题的风格，文科选做题今年有所变化，三道选做题是文理同题，考生都可从22～24题中任选一题作答．22题为几何证明选讲，23题为极坐标与参数方程，24题为不等式选讲，每题10分．2．试题重视对基础知识、基本技能的考查，试题创新力度加大．2009年高考数学试题注重基础，强调通法，不偏不怪．选择填空题对基础知识、基本技能的考查，循序渐进，层次清晰，16个小题总体立意简明，内涵丰富，覆盖面广，有很强的知识背景．多数题为贴近课本的容易题或中等题，涉及数学各分科常见的知识点，考生容易进入角色，有效地发挥了“门坎效应”．美中不足是填空第1题运算量偏大，对基础差的考生而言，还是“易想难算”，达不到“送分”目的．解答题的设计充分注意知识的内在联系，从不同角度、不同层次考查综合、灵活应用基础知识、基本技能的能力．今年的试题与前两年试题有一个共同的亮点：试题来源于很强的生活背景和学科的整体意识，例如文理科的第17题解三角形应用与算法综合题，题型设计为答案开放题，加大了对创新意识和新课程中的研究性学习与综合实践的考查力度，充分体现新课程理念，有利于促进教师自觉学习理解新课程理念，推进中学数学课程改革．文理科第24题“不等式选讲”，创新为将“函数建模”与“解绝对值不等式”融为一个整体，题型常规又不落俗套．因此本次命题给大家一个启示：数学教学应引导学生注重知识间的联系，提高对数学学科整体的认识，强化数学应用意识和创新意识，加强阅读理解能力与探究能力的培养．文理科解答题中18，19，20，21题及文理选做题22，23题，考查概率统计，立体几何中的垂直平行关系，棱锥体积、二面角大小的计算，椭圆标准方程及简单几何性质与轨迹问题，函数与导数，平面几何，参数方程与极坐标，，也属于常规题，题型与往年高考题类似，有感似曾相识，但遗憾的是，文科第18题立体几何题的解答，涉及辅助线和辅助面的做法，就其涉及的数学思想方法和思维层次的考查，对于海南新课程文科考生还是要求偏高了；理科18题概率统计题，计算量依然偏大．从全卷来看，16道小题中有6道文理科同题，还有几道是难度接近的姐妹题，解答题中也有文理科难度接近的姐妹题，造成文科试题难度相对大于理科，但与2008年高考试题相比，文理科的选择填空题难度都有所下降．由于文理科考生在数学思维水平上有差异，而且对数学的要求也不尽相同，今年的试卷中的文理科解答题中的概率统计、解析几何、函数与导数三道题的设计，较好地关注了这种情况，在题型的设计上为姊妹题，在文理科考查内容大致相同的情况之下，在考查方式和能力层次上加以区别．第20、21题，作为解答题中的难题，两者均通过分步设问降低门槛，使其“入门容易深入难”，在化解试题难度的同时，又合理区分了不同层次的考生．尽管文理题在思路上基本相同，但在计算量和思维层次上，理科显然高于文科，合理区分了文理在考查知识与能力要求的不同．3．试题突出知识的主干线，对新增内容的考查注重与传统内容的有机结合从试卷的内容结构上看，基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）、三角、立体几何与空间向量、解析几何、导数、概率统计是新课程中的五大主干知识块，始终是知识考查的主线，是试题主体，以新增教学内容——逻辑用语、线性规划、导数、向量、三视图与直观图、算法程序框图、统计与概率、坐标系与参数方程，平面几何等作为考点或背景的试题所占比重也不小．涉及这些新增内容的试题有：文理科第3题，文科第4题（理科第5题），文理科第6题，理科第9题(文科第7题)，文科第19题(理科第18题)，文科第13题，文理科22～24题等，合计新增内容理科分值高达42分，文科分值高达47分，分别占了整份试卷分值比重的29%和31%．4．强化思想方法，融数学思想方法于“双基”试题之中，深化能力立意导向．今年的高考试题，沿着近年高考命题改革的正确方向，强调由知识立意向能力立意转化，强调基础与能力并重，悉心在知识交汇处设计试题，有效地将数学思想蕴含于数学基础知识与基本技能之中，倡导通性通法，全面综合考查．试卷中没有偏题、怪题．在选择题、填空题中考查了集合、三角函数图象、解三角形、三角函数的恒等变换，平面向量的运算、导数的运算、复数的四则运算、等差、等比数列的通项、前n项和公式与性质，算法框图，三视图与几何体的体积，线性相关，排列组合等，这些内容的解决没有特殊的技巧，主要是对概念的理解与简单推理运算以及基本的数学思想方法．在解答题中，对三角与算法、立体几何、概率与统计、平面向量与解析几何、函数与导数以及选做题的平面几何证明、极坐标与参数方程、不等式等内容的考查得比较全面，全卷多道试题体现对常规而重要的数学思想方法的考查，如文科第16题(理科第14题)，理科第4、6、9题，分别以双曲线、线性规划问题、三角形中的向量运算和分段函数为素材，考查数形结合思想，文科第9题（理科第8题），其中蕴涵了转化与化归思想．文理科第12、20、21题分别以分段函数最值、解析几何问题和函数、导数的综合问题为载体，突出考查函数思想、方程思想、分类讨论思想．试题还突出对新课程标准中新增的思想和方法的考查，如理科第10、17题分别以程序框图和解三角形应用题为载体，考查算法的思想和读图的能力、数学建模能力；立体几何题突出考查考生读图、构图、画图以及运算能力、模型思想、方程思想等；第19题是对概率统计思想以及统计数据和图形处理能力的重点考查．5．关注知识来源，体现数学应用，凸显时代背景试卷创设的背景符合考生的生活实际，有一定的时代气息．例如第17题，以三角测量为背景，考查解三角形知识，文科第19题（理科第18题），以工人生产能力抽样调查问题为背景，考查概率统计中的直方图与平均数计算、差异程度分析、概率等多个知识点；第6题，考查算法的基本思想、框图、程序语言，体现出时代的特色．这些试题充分展示了数学应用的广泛性，体现出现代与传统、数学与文化的交融，对推动数学教学改革起到良好的导向作用．三、试题点评与答卷分析第一题．选择题文理科第11题突出了对立体几何的模型思想、逆向思维和空间想象能力的考查，体现了模型思想在解决几何问题中的思维价值，富有创意．可以通过长方体模型来构造符合题意的图形求解．该题对空间想象能力的考查要求较高．但作为第Ⅰ卷选择题中的压轴题，难度定位恰当．第二题填空题文科第16题考查运用三角函数性质和数形结合思想求值，只要注意到图象中的信息——极值点和零点可求，一个周期的图象中的极值点和零点是把这个周期的区间四等分的，于是就得到简捷的解答：∵157(),434412ππππ+-=∴7()012fπ=．填空题重点考查掌握基础知识、基本技能的灵活程度及对数学概念本质认识的水平，试题思路清晰，但梯度不明显，且文理科难度无明显差别．从考生答卷看出，此大题理科平均分只有4．15分，文科3．02分，得分率偏低（均低于前两年的水平），文科四个填空题零分率都在80%以上，理科零分率都在80%左右．考生运算能力差是失分的重要原因之一．第三题．解答题17—22题理科第17题是一个答案开放式的解三角形问题与算法综合的试题．题目要求首先依据题目限制条件设计测量方案，再运用解三角形的知识写出求未知量的算法．该题的命题较往年更具开放性和发散性，较好地体现了新课程理念．由于答案的多样性，考生几乎都有解答，答案五花八门．本题答卷反映出学生的算法思维和阅读理解能力较弱．这个原本是一个源于教材的充分体现新课程的思想的好题，但是由于是开放性新题型，其考查的能力与传统数学能力不同，更侧重于一种综合分析探究能力与数学建模能力，不少考生不能适应这样的变化，一些优秀学生也在此题上栽跟头或是花了较多时间才完成解答，影响后续题目的作答，也就影响了全卷得分.同时也造成评卷的尺度较难把握．考生失分主要原因有：1．俯角概念模糊，导致给出的测量数据不合题意；2．审题不深入，没有抓住关键词句（在A，B两点测量，能测量俯角和A，B间距离），将不可测量数据作为已知量来使用的情况也较为普遍；3．数学建模思想欠缺，绝大多数考生都没能把此题定位为“以三角为背景考查算法思想”的题型，解题目标不明确且文字驾驭能力很差，在多个三角形中运用余弦定理或勾股定理列多元方程组求解，导致表述算法的过程繁杂，算法步骤表述不清；4．对正余弦定理不熟悉，写错公式（最普遍的是写正弦定理是漏正弦符号）；文科第17题考查了解三角形的基本知识与方法，解法灵活，试题常规，就解法过程而言，它包含了正弦定理(余弦定理)，两角和公式，勾股定理等知识．考卷中出现的典型解法有四种：解法１：作DM//AC或者DM⊥CF或者AD CF作相应的垂线，运用定股定理和余弦定理求解；解法２：用向量的数量积求（实际是余弦的定理的向量描述），解法３：做DG⊥BE，FH的面积，然后利用⊥BE，将求一个角的余弦转化成求两角和的余弦．解法４：求出三角形DEF正弦定理求解．考生失分的主要原因有：1．在解题过程表述不规范，如有的学生不画出辅助线，不标出字母，有的学生不写出余弦符号；有的学生过程简略；2．数学建模思想和整体思想欠缺，不能将问题提炼为解三角形问题，不能通过做出辅助线，将已知量和未知量集中的一个三角形中求解．本题文理科平均得分分别为1.46分和2.2分，作为解答题第一题，得分率偏低了，尤其是理科，与前两年相比较，下降了将近5分．文科第18题主要考查立体几何中的线面垂直与线线垂直相互转化以及割补思想求棱锥体积．这道题的第一问并不难，很常规，门槛较低，很多学生采用解法１：取AB的中点，通过证明AB ⊥平面PDC得到结论AB⊥PC；有少数基础好的考生生采用更加精彩的解法２和解法３：（解法２：过A作AE⊥PC于E，连BE，通过证明PC⊥平面ABE得到结论AB⊥PC，解法３：取PC 的中点D，连BD，AD，取AB的中点E，连DE，PE，CE，证明DE⊥AB，AB⊥PE得到AB⊥面PEC ，从而得到结论AB ⊥PC ）．第二问求体积需要运用割补思想，涉及辅助垂面的做法，解题过程涉及推理中的计算和运算中的推理，空间想象力和逻辑思维要求较高，难度较大，台阶太高，造成绝大多数考生没有动笔．少数考生用解法２证出BE ⊥平面PAC ，但又无法推出,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形，也就求不出三角形PAC 的面积，因此没能求出三棱锥体积．该题的均分仅0.48分，零分率高达74.38%，满分考生寥寥无几，试题难度比去年明显加大了，与海南考生的水平不太吻合．考生失分的主要原因是：①把空间图形当作平面图形，写错棱锥体积公式； ②表述不规范，逻辑关系混乱；③解题时说理不充分，例如直接默认ABC 是等腰三角形，或直接认为,PAC PBC 是等腰直角三角形等等．但这部分考生的基础较前者要稍好一点，凭直觉能凑出体积来．理科第19题主要是考查立体几何中直线直线垂直、线面垂直、面面垂直的的循环转化，二面角大小的求法，线面平行的探究性问题的解法以及逻辑推理能力、空间想象能力．本题既可用公理化思想下的综合法求解，也可以运用空间向量知识求解，因此也考查空间直角坐标系及空间向量的知识，应用空间向量的知识解决几何问题所涉及的坐标思想、方程思想和运算能力．本题思路广、方法多，能从多角度考查不同思维层次学生对立体几何知识的学习水平．本题起点低，三问层次分明．第一小题难度较低，多数考生能解答，第二小题难度中等，第三小题难度较大，只有极少数学生能解答．以下是考卷中常见的解法：一．运用公理化方法解答方法1．（运用线面垂直转化）联结BD 交AC 于O ，通过证明AC ⊥平面SBD 得AC ⊥SD方法2．（运用三垂线定理） SD 在平面ABCD 中的射影是OD ，由AC ⊥OD 得AC ⊥SD方法3．（应用面面垂直转化）先证SO ⊥平面ABCD得平面SBD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，再由AC ⊥BD 得AC ⊥平面SBD 从而得AC ⊥SD方法4．（应用线面垂直转化）作AM ⊥SD 于M ，连结CM ，先证SAD ∆≌SCD ∆得CM ⊥SD，∴SD ⊥平面ACM ∴AC ⊥SD方法5．（运用直线平移法证明）AC 交BD 于O ，取SA 中点M ，连结MO ，MO //SD ．先证MAB ∆≌MBC ∆ 由AC ⊥MO 得AC ⊥SD ．第（Ⅱ）小题主要解法有以下几种：作出二面角P —AC —D 的平面角∠POD ，方法1．在SDO 中求得SD 2OD =，得∠POD =30o ．方法2．由是等边三角形SBD ∆得∠SDO =60o ，∴∠POD =30o方法3．由Rt OPD ∆∽Rt SOD ∆得∠POD =∠SOD，从而cos cos S POD OD ∠=∠= 第（Ⅲ）小题主要解法是运用线面平行、面面平行相互转化求解在棱SC 上存在一点E ，使BE ∥PO ．方法1．由（Ⅱ）可得PO=2，故可在SP 上取一点N ，使PN =PD ，过N 作PC 的平行线与SC 的交点为E ，连BN ，在BDN ∆中知BN ∥PO ，又NE ∥PC ， ∴平面BEN ∥平面PAC ，∴BE ∥平面PAC ，由SN ：NP =2：1得SE ：EC =2：1.方法2．作BN ⊥SD 交SD 于N ，∵OP ⊥SD ， ∴BN ∥OP作NE ∥PC 交SD 于E ，可得平面BEN ∥平面PAC ，先证明N 为SD 中点，再算得SE ∶EC =SN ∶NP =2∶1二、运用空间向量方法解答空间向量法主要有如下三种形式（用图形表示）建立如图1的坐标系，解题思路是：底面边长为a ，求出高SO ，再计算0AC SD ⋅=，得 AC SD ⊥．在解答过程中，因为(0,,0)2AC a = ，有些同学设(,0,)2SD a x =- ，不用求SO 也可以解答．第（Ⅱ）小题：由题意知，平面PAC 的一个法向量()2DS a = ，平面DAC 的一个法向量)OS = ，设所求二面角为θ，则cos OS DS OS DSθ⋅== ，所求二面角的大小为30 ．第（Ⅲ）小题难度较大，只有极少数学生能解答．主要有如下两种解法：方法1．设AB ＝a ，在棱SC 上存在一点E ，使//BE PAC 平面，由(Ⅱ)知DS 是平面PAC 的一个法向量，设,CE tCS = 由 0BE DS ⋅= 得 13t =．即当SE ：EC =2：1.时，BE DS ⊥ ．故//BE PAC 平面．方法2．设AB ＝1，则OS ＝YOZ 中，直线SC 的方程为02z -=，设0,E y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当BS SD ⋅= ＝0解得3y =，E 点的竖坐标为z=236=当SE ∶EC =21266⎛= ⎝⎭：：时//BE PAC 平面从阅卷来看，用向量法解答的考生较多，这也反映出师生在高考备考过程中对向量法解空间几何问题的重视程度，但缺乏对立体几何模型思想和整体思想价值的本质性认识，另一方面，考生用向量法解答时因运算错误而得不到正确结果的现象比较普遍，说明考生学习过程中虽重视解题方法思路，但运算基本技能训练不到位．从考试结果看，平均分为2.14分，较去年有所提高，零分率有所下降，该题“门槛”比去年有所降低．不仅如此，该题的设计还注意计算与证明的有机结合与相互渗透．与2007年试题类似，今年的立体几何题也考查得比较完备，用动态的观点考查了空间平行关系，探究意识较强，是一道好题，既考查了考生的空间想象能力，基本运算能力，又要求考生有一定的探究意识．文科19题理科第18题（概率统计题）.本题较好地将统计与概率作为一个整体来考察，本题还融合了课改区的“研究性学习”和“综合实践模块”的背景. 这就给大家一个启示：学科知识是一个整体，我们的学科教学应该建立在学科整体意识上，这对以后的概率统计的教学将会产生深远的影响．但因此也出现了考生不适应，对于09年海南理科第17，18两题，考生明显没有思想准备，面对这种新的命题方式，很多学生感到手足无措，影响了学生对后续试题的发挥．本题平均得分仅2．3分，与去年持平，考生失分的主要原因是：①本题题干较长，阅读量较大，考生有畏惧心理，审题不清；②本题的运算量大，考生有畏难情绪；③考查的知识点多，涵盖了概率与统计很多的知识点，很多学生对统计概率的基本概念和统计图的意义缺乏本质性理解，不能很好地把题干中的信息联系起来思考，造成18题得分不高．第20题.文理科第20题是一道解析几何的圆锥曲线与轨迹问题．第一问求椭圆的方程，第二问求动点的轨迹方程．本题考查圆锥曲线定义、简单几何性质以及研究圆锥曲线的基本方法和方程思想，理科题还涉及分类讨论思想，对思维能力，和运算能力的要求定位较恰当．本题运算量不大，难度适当，是一道好题，如果把题目的“并说明轨迹是什么曲线”改为“并作出轨迹的简图”，这样就能兼顾了作图能力的考查，使题目更充实些．本题难度不大，解法也很单一，但从评卷的情况看，学生的答卷情况并不理想，第二个问仅有极少数考生作答．本题得分在0分和5分的考生占全省考生数的2/3，得分在5分以上的人数不到总考生数的6％，文理科均分仅为1.17分和2.14分，表明我省考生的基础知识与基本技能非常薄弱，思维能力较差．从得分的整体分布看，并不呈正态分布，而是出现了两个峰值，表明我省考生在高中阶段的学习两极分化现象较为严重．考生的解题失误主要有以下几方面：①第（I）小题求椭圆的标准方程，需确定a、b的值．有些考生混淆椭圆、双曲线中a，b，c 的关系，对这些量的几何意义理解不到位，因此没能正确列出关于这些量的方程组，其次是运算能力差，不能准确求解方程组．②第2问求动点轨迹，并讨论轨迹类型．很多考生消参意识不强，没有很好掌握分类讨论思想，思维不严谨，忽略轨迹范围，解题过程漏洞较多，反映出考生思维层次普遍较低．文理科第21题本题呈现如下的亮点：①很好地体现了新课标要求，考查导数在研究函数的单调性、极值点和最值和不等式中的应用，第21题的第(Ⅰ)问是顺向考查，体现导数的基本作用，第(Ⅱ)问是逆向考查，即利用原函数的单调区间和极值点，考察导函数的零点．这一正一反，要求考生对导数要有应用意识和深入的研究，作为压轴试题，其难度和考查的力度十分恰当．②本题在对数学思想方法的考查方式上是一种创新：在往年的试题中，利用韦达定理求两点间的距离在解析几何中十分常见，今年却在函数中进行考查，实属意料之外，情理之中．本题第(Ⅱ)问涉及化归思想，需要将解析几何的解题思路迁移到函数之中，对考生的合情推理能力与类比迁移的学习能力是一种考验．本题给我们提供了一个全新的思考天地，对中学教材的处理上提供了一个新的思路：由于在中学教材中，已经弱化了图象的变换(三角函数的图象变换除外)，如何研究函数的图象呢？本题至少提供了一个借鉴：直接利用导数研究原函数，可画出其趋势图，进而研究其性质；或者利用原函数的性质来研究导函数的图象．从答卷情况看，本题文科平均分为1．22分，理科平均分仅为0．94分．考生失分的主要原因是：①大部分学生对基本概念和公式的掌握较差，运算能力不强，例如，对第Ⅰ小题，求导出错的大有人在，或在计算出)(x f '，求出()f x '的零点之后，未加判定就直接将其当作极值点或者将其当作极值；这都是对极值概念模糊所致；②第Ⅱ小题，由于涵盖知识点较多，难度较大，大部分学生此题空白，少数考生作答，但也只是给出相关不等式，基本上没有对参数a 的取值范围进行讨论求解．另外，很多考生思路不清晰，解题目标不明确，既没有掌握绝对值不等式的解法和求解三次不等式的根轴法，也不能正确运用分类讨论与化归转化方法将问题转化为一次和二次不等式求解．③由于此题是必考题的最后一题，是压轴题，有些考生出于对压轴的恐惧，根本没有看题就放弃，还有一部分考生因在前面的第17，18题上耗时过多，无暇顾及此题，根本没有动笔，这也说明考生的解题速度有待提高，应试策略有待改进．第四题．选做题（22～24题）三道选做题，前两题题型较为常规，第三题有所创新，三题的难度都适中且难度基本一致，比前两年的试题更贴近考试说明的要求．但由于文理科考生水平差异较大，该题的文理科成绩也是差异较明显：本题的文理科平均分分别为2．65分和1．1分．三道任选题中，低分多集中在第（22）题，满分多集中在第（23）、（24）小题．选做题的点评和考生的解题失误分析如下：22题．几何证明选讲。

2009年海南高考数学试题(理数)

2010～2011 学年度第一学期《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》期末试卷答案及评分标准（1-A卷）一、单项选择题（每小题1分，共20分）二、多项选择题（每小题2分，共20分）三、简答题（每小题10分，共30分）1、如何正确把握科学发展观的基本要求？科学发展观的基本要求是全面协调可持续发展。

（1分）第一，全面是指各个方面都发展。

（3分）第二，协调是指各个方面的发展要相互适应（3分）第三，可持续是指发展进程要有持久性连续性。

（3分）2、如何维护世界和平、促进共同发展？第一，反对霸权主义和强权政治，维护世界和平与发展。

（2.5分）第二，维护世界多样性，促进国际关系民主化和发展模式多样化。

（2.5分）第三，树立新的安全观念，努力营造长期稳定的国际和平环境。

（2.5分）第四，推动建设持久和平与共同繁荣的和谐世界。

（2.5分）3.“和平统一、一国两制”构想的重要意义是什么？第一，“和平统一、一国两制”构想创造性地把和平共处原则用之于解决一个国家的统一问题。

（2分）第二，“和平统一、一国两制”构想创造性地发展了马克思主义的国家学说。

（2分）第三，“和平统一、一国两制”构想体现了既坚持祖国统一、维护国家主权的原则坚定性，也体现了照顾历史实际和现实可能的策略灵活性，避免了武力统一可能造成的不良后果。

（2分）第四，“和平统一、一国两制”构想有利于争取社会主义现代化建设事业所需要的和平的国际环境与国内环境。

（2分）第五，“和平统一、一国两制”构想为解决国际争端和历史遗留问题提供了新的思路。

（2分）四、材料分析题（15分）请结合现阶段个人收入分配制度和按劳分配的理论对现实经济生活中个人收入出现差距的现象进行分析。

（15分）社会主义初级阶段的基本经济制度决定了与此相联系的个人收入分配实行的是按劳分配为主体、多种分配方式并存的制度。

社会主义初级阶段个人收入分配制度，必须坚持按劳分配的主体地位。

按劳分配以外的多种分配方式，其实质就是按对生产要素的占有状况进行分配。

2009高考数学全国卷及答案理

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。

卷（选择题）和第错误！未找到引用源。

卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。

卷1至2页，第错误！未找到引用源。

卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[()u A B I 中的元素共有（A ）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴=故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ ＋=2+i,则复数z=（B ）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。

(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈解：验x=-1即可。

2009年高考全国卷2数学(理)解析版

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题： 1. 10i2-i=A. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=I .故选B. 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos A = A. 1213 B.513 C.513-D. 1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.2212cos 1351tan 1()12A A=-=-=-++-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10 B.15C.310D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1310cos 10A BE ∠=。

故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A.5B.10 C.5 D. 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g||5b ∴=r。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(海南卷,解析版)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（海南卷，解析版）第I 卷一，选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I (A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 解析：易有N A C B =}{1,5,7，选A(2) 复数32322323i ii i+--=-+ （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2 解析：32322323i i i i +--=-+()()()()32233223262131313i i i i ii ++---==,选D （3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（A）（B ）2 （C（D ）1解析：双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线y的距离为d ==选A（5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π=sinx 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p 解析：1p ：∃x ∈R, 2sin2x +2cos 2x =12是假命题；2p 是真命题，如x=y=0时成立；3p 是真命题，∀x ∈[]0,π,sin 0sin sin x x x ≥===，=sinx ；4p 是假命题，22πππ≠如x=,y=2时，sinx=cosy,但x+y 。

2009年高考试题理综卷(海南卷)有答案解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）化学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Mg 24 Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Ag 108 Pb 207第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将等体积的苯、汽油和水在试管中充分混合后静置。

下列图示现象正确的是：答案D【解析】题中苯、汽油和水的密度有差别，其中苯和汽油密度比水小，且能互溶，所以分两层，上下层比例为2∶1。

2．同一短周期的元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加，下列叙述正确的是：A．单质的化学活泼性：W<X<Y<Z B．原子最外层电子数：W<X<Y<ZC．单质的氧化能力：W<X<Y<Z D．元素的最高化合价：W<X<Y<Z答案B【解析】本题中元素为同一周期，从左至右最外层电子数依次增加。

而单质的活泼性分金属与非金属性，氧化能力随着单质晶体形态及分子内的化学键不同有变化，最高化合价随原子序数的递增有特例（O、F无正价）。

3．除去NaHCO3溶液中混有的少量Na2CO3可采取的方法是：A．通入二氧化碳气体B．加入氢氧化钡溶液C．加入澄清石灰水D．加入稀盐酸答案A【解析】除杂方法要操作简便、效果好、不带来新的杂质、保留非杂质成份。

溶液中可用这样的方法： Na 2CO 3 + H 2O + CO 2 = 2NaHCO 3。

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(宁夏、海南卷)

密码★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、海南卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟．参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为样本平均数柱体体积公式Sh V = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式：=V Sh 31，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式：3234,4R V R S ππ==，其中R 为球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =（）A. }{1,5,7B. }{3,5,7C. }{1,3,9D. }{1,2,32. 复数32322323i ii i+--=-+（） A. 0B. 2C. －2iD. 2i 3. 对变量x ,y 有观测数据（i x ，i y ）（i ＝1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（,i i u v ，）（i ＝1,2,…，10）,得散点图2，由这两个散点图可以判断（）A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关4. 双曲线24x －212y ＝1的焦点到渐近线的距离为（）A.B. 2C.D. 15. 有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R,2sin 2x ＋2cos 2x ＝122p :∃x,y ∈R, sin （x －y ）＝sinx －siny3p :∀x ∈[]0,πsinx4p :sinx ＝cos y ⇒x ＋y ＝2π 其中的假命题是（） A. 1p ，4p B. 2p ，4pC. 1p ，3pD. 2p ，3p6. 设x 、y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值 7. 等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且41a ，22a ，3a 成等差数列.若1a ＝1，则4S ＝（）A. 7B. 8C. 15D. 168. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F，且2EF =，则下列结论中错误的是（） A. AC BE ⊥ B. //EF ABCD 平面C. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. 异面直线,AE BF 所成的角为定值9. 已知点O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且0=++==|,|||||，且⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（） A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心） 10. 如果执行下边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（）A. 3B. 3. 5C.4D. 4. 511. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（）A. 48＋B. 48＋C. 36＋D. 36＋12. 用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值. 设f （x ）＝min{x2,x ＋2,10－x }（x ≥0）,则f （x ）的最大值为（） A. 4B. 5C.6D. 7第II 卷（非选择题共90分）二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上． 13. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________． 14. 已知函数y ＝sin （ωx ＋ϕ）（ω>0, －π≤ϕ<π）的图象如图所示，则ϕ＝________________．15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）．16. 等差数列{n a }前n 项和为n S ．已知1m a -＋1m a +－2m a＝0，21m S -＝38,则m ＝_______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．18. （本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.（I ）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人；（II ）A 类工人的抽查结果和B 类工人的抽查结果分别如下表1和表2.)（i ）先确定x ，y ，再完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）19. （本小题满分12分）如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，倍，P 为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面P AC，求二面角P －AC－D的大小．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．20. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21. （本小题满分12分）已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++（Ⅰ）若3a b ==-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα->6．请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，60B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =.（Ⅰ）证明：B ,D ,H ,E 四点共圆：（Ⅱ）证明：CE 平分DEF ∠．23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值．24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．（I）将y表示为x的函数；（II）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、海南卷）（解析与答案）一、选择题 1. 答案：A 解析：由已知条件可得}7,5,1{=B C A N ，故应选A.2. 答案：D 解析：i i i i i i i i i i i 213)32)(23(13)32)(23(32233223=+=-+-++=+---+，故应选D. 3. 答案：C解析：由散点图可得两组数据均线性相关，且图1的线性回归方程斜率为负，图2的线性回归方程斜率为正，则由此散点图可判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故应选C. 4. 答案：A解析：由双曲线的几何性质知，焦点到渐近线的距离为b ，则双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为3212==b ，故应选A. 5. 答案：A解析：由12cos 2sin,22=+∈∀xx R x 知命题1p 不正确；取0==y x 可得0sin sin )sin(=-=-y x y x ，知命题2p 正确；x xx sin 22cos 1],,0[=-∈∀π成立，知命题3p 正确；Z k k y x y x ∈+=±⇒=,22cos sin ππ，知命题4p 不正确.综上可得假的命题为41,p p ，故应选A.6. 答案：B解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22,1,42y x y x y x 所表示的可行域如下图所示.当平行直线系z y x =+过点A （0，2）时，目标函数y x z +=取得最小值2，该目标函数无最大值，故应选B.7. 答案：C解析：设等比数列的公比为q ，则1-=n n q a .由321,2,4a a a 成等差数列可得244q q +=，解之得2=q .1584214=+++=∴S ，故应选C. 8. 答案：D解析：由AC ⊥平面B 1D 可得AC ⊥BE ，即A 正确；由EF//BD ，可得EF//平面ABCD ，即B 正确；由点A 到平面B 1D 的距离为222=AC ，可得231ACS V BEF BEF A ⨯=-△三棱锥＝121221222131=⨯⨯⨯⨯，即得C 正确.由此可得错误的结论为“异面直线AE ，BF所成的角为定值”，故应选D.9. 答案：C解析：由||||||==可得点O 是△ABC 的外接圆圆心；取BC 边中点D ，由0=++可得2-=，得点N 为△ABC 的重心；由⋅=⋅可得0)(=⋅=-⋅AC PB PA PC PB ，即得⊥.同理可得⊥.即得点P 是△ABC 的垂心，故应选C.10. 答案：B解析：由流程图可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,110,,0,0x x x x y ，当5.0,2=-=h x 时，输出的y 的值分别为0，0，0，0，0，0.5，1，1，1，其对应的各循环变量x 的值分别为－2，－1.5，－1，－0.5，0，0.5，1，1.5，2，输出的各个数和为3.5，故应选B.11. 答案：A 解析：由三视图可得，该几何体为三棱锥D －ABC ，其直观图如图所示.面DBC ⊥面ABC ，AC ⊥AB ，取BC 边中点M ，DM ⊥面ABC ，且DM ＝4，取AC 边中点N ，则MN ＝3，且DN ＝5，由此可得此三棱锥D －ABC 的表面积为262156215621⨯+⨯⨯+⨯⨯×4212486621+=⨯⨯+，故应选A.12. 答案：C 解析：由已知条件可得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+<≤=-+=,4,1042,2,20,2}10,2,2min{)(x x x x x x x x f x x ，其函数图象如图所示.由该函数图象可得，当x ＝4时，6)4()(max ==f x f ，故应选C. 二、填空题13. 答案：x y = 解析：由已知条件可得抛物线的标准方程为x y 42=.设直线l 的方程为2)2(+-=y m x .代入抛物线方程可得08842=-+-m my y .由AB 中点坐标为（2，2）可得44=m ，解之得1=m .由此可得直线AB 的方程为x y =.14. 答案：π109解析：由图象可得ωππππ2254322==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T ，解之得54=ω.将⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,43π代入⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕx y 54sin 可得153sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ，则πϕπ2353=+.可解得πϕ109=. 15. 答案：140解析：从7名志愿者中选择3人参加周六的社区公益活动有37C 种安排方法，再在剩下的4人中选择3人参加周日的社区公益活动有34C 种安排方法.由分步计数原理可得不同的安排方案共有1404353437=⨯=C C （种）. 16. 答案：10解析：∵数列{a n }为等差数列，2112m m m m a a a a ==+∴+-.解之得20==m m a a 或.若0=m a ，则0)12()(21212112=-=+-=--m m m a m a a m S ，与3812=-m S 相矛盾；若2=m a ，则24)12()(21212112-=-=+-=--m a m a a m S m m m ＝38，解之得10=m .三、解答题17. 答案：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角11,βα；B 点到M ，N 的俯角22,βα；A ，B 的距离d （如图所示）.（3分）②第一步：计算AM.由正弦定理)sin(sin 212ααα+=d AM ；第二步：计算AN.由正弦定理)sin(sin 122βββ-=d AN ；第三步：计算MN.由余弦定理)cos(21122βα-⨯-+=AN AM AN AM MN .方案二：①需要测量的数据有： A 点到M ，N 点的俯角11,βα；B 点到M ，N 点的俯角22,βα；A ，B 的距离d （如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理)sin(sin 211ααα+=d BM ；第二步：计算BN.由正弦定理)sin(sin 121βββ-=d BN ；第三步：计算MN.由余弦定理)cos(22222αβ+⨯++=BN BM BN BM MN .解析：本试题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形.解决实际生活中的问题.解决该试题的关键是根据题意准确表示边角与实际问题中的量的对应.解决该类试题一般要作出图示帮助求解.18. 答案：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为101，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为1001101101=⨯=p . （Ⅱ）（i ）由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名. 故253584=++++x ，得5=x ，7518366=+++y ，得15=y .频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小.（ii ）123145253135255125255115258105254=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A x ， 8.133145751813575361257515115756=⨯+⨯+⨯+⨯=B x ，1.1318.1331007512310025=⨯+⨯=x . A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.解析：本试题主要考查相互独立事件的概率以及频率分布直方图作图以及利用图表进行求解平均数的运用.解决该试题的关键是理解图表的含义，将实际问题和数学问题联系起来，抽象问题具体化.该试题的易错点是计算.19. 答案：解法一：（Ⅰ）连BD ，设AC交BD 于O.由题意SO ⊥AC.在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面SBD ，得AC ⊥SD ，（Ⅱ）设正方形边长为a ，则a SD 2=.又22=OD ，所以∠SDO ＝60°. 连OP ，由（I ）知AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥OP ，且AC ⊥OD ，所以∠POD 是二面角P －AC －D 的平面角.由SD ⊥平面PAC ，知SD ⊥OP ，所以∠POD ＝30°.即二面角P －AC －D 的大小为30°. （Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC. 由（Ⅱ）可得a PD 42=，故可在SP 上取一点N ，使PN ＝PD.过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E ，连BN. 在△BDN 中知BN ∥PO.又由于NE ∥PC ，故平面BEN ∥平面PAC ，得BE//平面PAC.由于SN ：NP ＝2：1，故SE ：EC ＝2：1.解法二：（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O.由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OS OC OB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O －xyz ，如图.设底面边长为a ，则高a SO 26=. 于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,22,0,0,0,22,26,0,0a C a D a S ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a SD a OC 26,0,22,0,22,0，0=⋅.故OC ⊥SD.从而AC ⊥SD.（Ⅱ）由题设知，平面PAC 的一个法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a DS 26,0,22，平面DAC 的一个法向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 26,0,0. 设所求二面角为θ，则23||||cos ==DS OS θ，所求二面角的大小为30°.（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使BE//平面PAC.由（Ⅱ）知是平面PAC 的一个法向量，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a 26,22,0,26,0,22.设t =，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=+=at t a a t 26),1(22,22.而310=⇔=⋅t DS BE .即当SE ：EC ＝2：1时，⊥.而BE 不在平面PAC 内，故BE//平面PAC.解析：本试题主要考查四棱锥的性质以及空间中的二面角，线面平行的判定基本知识的运用.解决该试题的关键是找出二面角的平面角，然后充分利用第二问的结论，解决第三问.解决该试题的方法一般有两种：几何法和空间向量法.20. 答案：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c.由已知得⎩⎨⎧=+=-.7,1c a c a 解得3,4==c a . 所以椭圆C 的标准方程为171622=+y x . （Ⅱ）设),(y x M ，其中]4,4[-∈x .由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得2222)(161129λ=++y x x . 整理得11216)916(2222=+-y x λλ，其中]4,4[-∈x .（i ）43=λ时，化简得11292=y . 所以点M 的轨迹方程为)44(374≤≤-±=x y ，轨迹是两条平行于x 轴的线段.（ii ）43≠λ时，方程变形为1161129161122222=+-λλy x ，其中]4,4[-∈x . 当430<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44≤≤-x 的部分.当143<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44≤≤-x 的部分；当1≥λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆.解析：本试题主要考查椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系的运用.解决该试题的关键是运用性质求椭圆的方程，联立方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系.该试题的易错点是对含有参数的二次方程中系数的讨论不全.21. 答案：（Ⅰ）当3-==b a 时，x e x x x x f ---+=)333()(23，故 xxe x x ex x x x f ---++--+-=')363()333()(223)9(3x x e x--=- x e x x x -+--=)3)(3(.当303<<-<x x 或时，0)(>'x f ；当303><<-x x 或时，0)(<'x f . 从而)3,0(),3,()(--∞在x f 单调增加；在),3(),0,3(+∞-单调减少.（Ⅱ）xxe a x x eb ax x x x f --++++++-=')63()3()(223 ])6([3a b x a x e x -+-+-=-.由条件得：0)2(='f ，即0)6(223=-+-+a b a ，故a b -=4.从而]24)6([)(3a x a x e x f x -+-+-='-.因为0)()(='='βαf f ，所以))()(2(24)6(3βα---=-+-+x x x a x a x ])()[2(2αββα++--=x x x .将右边展开，与左边比较系数得，2,2-=-=+a αββα.故a4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又0)2)(2(<--αβ，即04)(2<++-βααβ.由此可得6-<a .于是6>-αβ. 解析：本试题主要考查函数与导数以及不等式相关知识的综合运用.解决该试题的关键是根据导数公式表准确求出函数的导数，运用导数分析清楚函数的单调性.而对于该试题中不等式的证明，要充分利用2问的结论进行分析求解.22. 答案：（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°. 因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°，因为∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B ，D ，H ，E 四点共圆. （Ⅱ）连接BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD ＝30°.由（Ⅰ）知B ，D ，H ，E 四点共圆，所以∠CED ＝∠HBD ＝30°. 又∠AHE ＝∠EBD ＝60°，由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°.所以CE 平分∠DEF.解析：本试题主要考查平面几何中的四点共圆，角平分线的运用.解决该试题的关键是能利用图中的角度和边相等来得到对角互补.解决该类试题主要是化未知为已知的转化与化归思想的运用.23. 答案：（Ⅰ）1964:,1)3()4(:222221=+=-++yx C y x C .C 1为圆心是（－4，3），半径是1的圆. C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）当2π=t 时，)sin 3,cos 8(),4,4(θθQ P -，故)sin 232,cos 42(θθ++-M . C 3为直线072=--y x ，M 到C 3的距离|13sin 3cos 4|55--=θθd . 从而当53sin ,54cos -==θθ时，d 取得最小值558. 解析：本试题主要考查圆、椭圆、直线的参数方程与普通方程的转化.以及点到直线距离的最值问题的运用.解决该试题第一问，只需消去参数t ，得到y 关于x 的函数，即为所求；第二问用中点坐标公式表示点M再根据点到直线的距离公式求解.24. 答案：（Ⅰ）300|,20|6|10|4≤≤-+-=x x x y .（Ⅱ）依题意，x 满足⎩⎨⎧≤≤≤-+-.300,70|20|6|10|4x x x解不等式组，其解集为]23,9[.所以]23,9[∈x .解析：本试题主要考查函数解析式和绝对值不等式的求解.解决该试题的关键是正确表示两点的距离，分类讨论解绝对值不等式.解决绝对值问题的常用的方法：去掉绝对值符号，可以用定义法和公式法.卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。

2009海南高考数学试题答案(文数)

办公室工作人员如何预防颈椎病
3. 抬头望远：当长时间近距离看物，尤其是处于低头状态者，既影响颈椎，又易引起视力疲劳，甚至诱发屈光不正。因此，每当伏案过久后，应抬头向远方眺望半分钟左右。这样既可消除疲劳感，又有利于颈椎的保健。
办公室工作人员如何预防颈椎病
4. 睡眠方式：睡觉时不可俯着睡，枕头不可以过高、过硬或过低。枕头：中央应略凹进，颈部应充分接触枕头并保持略后仰，不要悬空。习惯侧卧位者，应使枕头与肩同高。睡觉时，不要躺着看书。不要对着头颈部吹冷风。 5. 避免损伤：避免和减少急性颈椎损伤，如避免猛抬重物、紧急刹车等。
什么是颈椎病
颈椎病又称颈椎综合症，可发生于中老年人，也可发生于青年人,是由于人体颈椎间盘逐渐地发生退行性变、颈椎骨质增生或颈椎正常生理曲线改变后刺激或压迫颈神经根、颈部脊髓、椎动脉、颈部交感神经而引起的一组综合症状。
颈椎病的症状有哪些
1. 颈型：
主诉头、颈、肩疼痛等异常感觉，并伴有相应的压痛点。特征是颈部僵硬、不舒服、疼痛，以及活动不灵活，这也是最常见的一种类型。
2.神经根型：
病人的手掌或手臂麻木、疼痛、握力减弱，有时连拿杯都觉得没有力，病情严重有哪些
3. 椎动脉型：
病人的征状是偏头痛、头晕，或者胸闷、胸痛。每次眩晕发作都和颈项转动有关。
4.交感神经型：
临床表现为头晕、眼花、耳鸣、手麻、心动过速、心前区疼痛等一系列交感神经症状。
办公室工作人员如何预防颈椎病
长期从事财会、写作、打字、办公室等职业的工作人员，由于长期低头伏案工作，使颈椎长时间处于屈曲位或某些特定体位，不仅使颈椎间盘内的压力增高，而且也使颈部肌肉长期处于非协调受力状态，颈后部肌肉和韧带易受牵拉劳损，椎体前缘相互磨损、增生,再加上扭转、侧屈过度，更进一步导致损伤，易于发生颈椎病。

2009年海南高考文科数学卷(含详细答案解析)

p3 正确；
当
x＝
4
9
，y＝
4
时，有 sin
x
cos
y
，但
x
y
2
，故
p4
假命题，选.A。
5）已知圆 C1 ： (x 1)2 + ( y 1)2 =1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x y 1 0 对称，则圆 C2 的方
程为
（A） (x 2)2 + ( y 2)2 =1
（B） (x 2)2 + ( y 2)2 =1
（A） p1 ， p4
（B） p2 ， p4
（3） p1 ， p3
（4） p2 ， p3
4．【答案】A
【解析】因为 sin2
x 2
+ cos2
x 2
＝1，故
p1 是假命题；当 x＝y 时，
p2 成立，故
p2 是真命题；
1 cos 2x 2
1
(1
2 sin2 2
x)
＝｜sinx｜，因为
x
0,
，所以，｜sinx｜＝sinx，
DE DN 2 EN 2 502 1202 130 ，
EF (BE FC)2 BC2 902 1202 150 ．．．．．．．6 分
在 DEF 中，由余弦定理，
cos DEF DE2 EF 2 DF 2 1302 1502 102 298 16
2DE EF
2 130 150
所以 AE PC ， AE BE ．
由已知，平面 PAC 平面 PBC ，故 AEB 90 ．．．．．．．8 分
因为 RtAEB RtPEB ，所以 AEB, PEB, CEB 都是等腰直角三角形。

2009海南高考数学试题答案(文数)

连续管焊接技术分析摘要：由于连续管在修井作业，钻井作业中的应用，连续管设备和连续管线的不断增加，提高连续管焊接技术的迫在眉睫。

这篇文章归纳总结了在连续管焊接技术分析中的种种问题：焊接失败的原因分析，焊接过程进行了审查同时各种焊接技术都进行了考虑分析。

引言：近几年来已经进行了大量的实验研究，主要目的是提高连续管的使用寿命。

这种认识已经提高了了连续管工作的可靠性。

焊接是连续管线最薄弱的环节。

在焊接作业过程中通过调整焊接工艺使得连续管焊接的得到了显著提高。

现在在工艺中在材料没有轧制成为管材前把连续管的板材对接起来代替了以前在连续管管材上的管管对接或者角接。

在这种方法的焊接中连续管板材的尾部切出一定的角度或坡口，因此这种焊接方法就是我们所熟知的斜对焊或螺旋轧制焊接方法。

这种斜角导致了焊接时焊缝是沿着管材轴线方向螺旋分布的。

这种钢板焊接技术已经显著提高了连续管管材的可靠性。

在野外工作环境下我们常常需要把两个连续管部分连接起来。

很显然因为在野外施工环境中连续管就是以管材的形式存在这种钢材焊接技术就不能被应用在野外工作环境中。

因此角接是我们必须要使用的。

在成盘的连续管中这种交接接头部位是连续管最不可靠的部分。

气体研究机构（GRI）已经进行了一些研究题目，主要是更好的理解连续管的焊接。

这个GRI 研究课题涉及到三个主要的方面：焊接分析—CETS已经完成了的预先焊接接头的批量实验，这一实验是对将近400个连续进行疲劳断裂实验从而了解连续管焊接接头的疲劳寿命。

GRI利用全部焊接接头中失败的样品进行分析。

焊接工艺—连续管的焊接工艺是通过评定各种焊接工艺过程得到的。

推荐的焊接工艺有四种不同的焊接参数。

供选择的焊接技术—十种不同可供选择的焊接技术被用来实验从而验证是否能够适用于连续管的焊接。

这个研究课题的结果在整个报告中是可供参考使用的。

这篇文章总结了这些结果。

超声波探伤（UT）主要关注的是连续管中引起初生疲劳裂纹和再生疲劳裂纹的原因，特别是在斜对焊焊接的样品上。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。

卷（选择题）和第错误！未找到引用源。

卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。

卷1至2页，第错误！未找到引用源。

卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。