对数运算经典题型归纳
(完整版)对数的运算经典习题
（完整版）对数的运算经典习题1. 对数的定义根据定义，若幂运算 $a^x=b$，则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记作 $\log_a b=x$。
其中，$a$ 叫做对数的底数，$b$ 叫做真数。
2. 对数的运算规律对数具有一些运算规律，以下是常见的对数运算规律：2.1 对数的乘法规律$\log_a (b\times c)=\log_a b+\log_a c$2.2 对数的除法规律$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$2.3 对数的幂运算规律$\log_a b^c=c\times \log_a b$3. 经典题3.1 题一已知 $\log_2 3\approx 1.59$，求 $\log_8 27$3.2 题二设 $a>1$，若 $\log_a 8=x$，求 $\log_{\sqrt{a}} 32$。
3.3 题三求证：$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=1$3.4 题四已知 $\log_2\sqrt{a}=k$，求 $\log_4 a$。
参考答案3.1 答案由对数的换底公式可知：$$\log_8 27=\frac{\log_2 27}{\log_2 8}=\frac{\log_2 (3^3)}{3}=\frac{3\log_2 3}{3}=\log_2 3\approx1.59$$3.2 答案由对数的换底公式可知：$$\log_{\sqrt{a}} 32=\frac{\log_2 32}{\log_2\sqrt{a}}=\frac{5}{\frac{1}{2}\log_2 a}=\frac{10}{\log_2 a}=\frac{10}{x}$$3.3 答案根据对数的定义可知：$$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=\frac{\log_2 5\times\log_2 2}{\log_2 2}+1=1$$3.4 答案由对数的性质可知：$$\log_4 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 4}=\frac{k}{2}$$。
对数的运算法则及公式例题
对数的运算法则及公式例题
对数的运算法则主要包括以下几个方面：
1. 对数的乘法法则：
logₐ(MN) = logₐM + logₐN
2. 对数的除法法则：
logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
3. 对数的幂法法则：
logₐMᵇ= b * logₐM
4. 对数的换底法则：
logₐM = logᵦM / logᵦa
公式例题：
1. 求log₃(9)的值。
解：根据对数的定义，3的多少次方等于9，很明显3的2次方等于9，即log₃(9) = 2。
2. 求log₄(16)的值。
解：同样根据对数的定义，4的多少次方等于16，显然4的2次方等于16，因此log₄(16) = 2。
3. 求log₂(8)的值。
解：根据对数的定义，2的多少次方等于8，很明显2的3次方等于8，即log₂(8) = 3。
4. 求log₈(2)的值。
解：根据对数的定义，8的多少次方等于2，很明显8的-1次方等于2，因此log₈(2) = -1。
5. 求log₅(25)的值。
解：根据对数的定义，5的多少次方等于25，很明显5的2次方等于25，因此log₅(25) = 2。
对数混合运算经典30题,包括答案。.doc
对数L 11、lg5・lg8000 +(lg 2山)2 + ]g _ + 恒0.06.62、lg2(x +10)-lg(x+l 0)3=4.3、21og6x = l-log63.4、9-'—2X3「X=27.5、(-)r = 128.86、5x+1=3r2_,.7、(Ig2)3 + (lg5)3+^^-—'—・log210 log8108、(l)lg25+lg2 - lg50; (2)(log43+log83)(log32+log92).9、求=小。
甄的定义域.2x-l10、logi227=a,求log616.H>己知布芹/项+施⑴二我孙心论〉。
且a」i),确定x的取值范围，使得f(x) >g(x).12、己知函数f(x)=[、一+\ 2 — 1 2 /(1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0.13、求关于x的方程a x+ l=-x2+2x+2a(a>0且a夭1)的实数解的个数.14、求log927 的值.15、设3a=4b=36,求？+上的值.a b16> log2(x — l)+log2X= 117、4X+4-X—2X+2—2-X+2+6=018、24X+I-17X4X+8=0]9、(J3 + 2扼尸 + (J3-2扼)7 = 2很± 2J x—120、2卜后 - 33x4一丁一' +1 = 021、平+E-3x2、+后-4 = 022、log2(X — 1 )=log2(2x+ 1)23、log2(x2—5x—2)=224、logi6X+log4X+log2X=725> log2(l +log3( 1 +41og3X)]= 126、6x-3x2x-2x3x+6=027> lg(2x-1 )2—lg(x—3)2=228、lg(y — 1)—Igy=lg(2y—2)—lg(y+2)29> lg(x2+l)-21g(x+3)+lg2=030> lg2x+31gx—4=0部分答案1、原式二12、解：原方程为lg2(x+10) — 31g(x+10)—4=0,・.・[lg(x+ 10)-4][lg(x+10)+1]=0.由lg(x +10)=4,得x +10= 10000,..・ x=9990.由lg(x+ 10)=— 1,得x+ 1 0=0.1,「・x=—9.9.检验知：x=99 90和一9.9都是原方程的解.3、解：原方程为log6『=log6—X2=2,^得或x=— V2 .经检5tx=V2是原方程的解,x二一V2不合题意,舍去.4、解：原方程为(3^)2—6X3" —27=0,.・.(3-x+3)(3-x—9)=0.・..3-' + 3湘,..・由3项一9=0得3-'=32.故x=-2是原方程的解.5、解：原方程为2~3X=27,.・.-3x=7,故x=--为原方程的解.36、解：方程两边取常用对数，得:(x+ l)lg5=(x2-l)lg3,(x+ l)[lg5-(x-l)lg3]=0.log2 5 31og258、⑴1；(2)：9、函数的定义域应满足:2x — M0,''og08x-l>0,即，x > 0, logo,8 X>1,x > 0,10、由己知'得声。
对数函数中考题型大汇总
对数函数中考题型大汇总简介对数函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常涉及的题型之一。
本文将对常见的对数函数考题进行分类和总结，帮助学生更好地理解和应对这一考试内容。
题型一：对数函数的定义和性质这类题目主要考察对数函数的基本定义和性质的理解。
常见问题包括：- 对数函数的定义公式是什么？- 对数函数的定义域和值域有什么特点？- 对数函数的图象有什么特点？题型二：对数函数的运算这类题目主要考察对数函数的运算技巧。
常见问题包括：- 如何计算对数函数的乘积、商、幂？- 如何化简包含对数函数的复杂表达式？- 如何求解包含对数函数的方程？题型三：对数函数的应用这类题目主要考察对数函数在实际问题中的应用。
常见问题包括：- 如何利用对数函数解决指数增长和衰减问题？- 如何利用对数函数解决复利计算问题？- 如何利用对数函数解决指数函数图象的性质问题？题型四：对数函数的图象分析这类题目主要考察对数函数图象的分析能力。
常见问题包括：- 如何判断对数函数的增减性和奇偶性？- 如何求对数函数的反函数？- 如何利用对数函数的图象求解方程和不等式？题型五：对数函数与其他函数的关系这类题目主要考察对数函数与其他函数之间的关系。
常见问题包括：- 如何求对数函数和指数函数的复合函数？- 如何求对数函数和幂函数的复合函数？- 如何求对数函数和三角函数的复合函数？结论对数函数的考题主要包括对数函数的定义和性质、对数函数的运算、对数函数的应用、对数函数的图象分析以及对数函数与其他函数的关系等方面。
熟练掌握这些题型，对于学生来说非常重要。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。
2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。
自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
高一数学对数及对数式运算5大常考题型总结(解析版)
对数及对数式运算5大常考题型总结【知识点梳理 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；①常用对数：以10为底，记为lg N ； ①自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①特殊对数：1log 0a =；log 1aa =；其中0a >且1a ≠①对数恒等式：log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >) ①对数换底公式：log log log c a cb b a= 如：252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==． (4)对数的运算法则：①外和内乘原理：log ()log log a a a MN M N =+； ①外差内除原理：log log log aa a MM N N=-； ①提公次方法：log log (m n a a nb b m m=，)n R ∈； ①指中有对，没心没肺：log a b a b =和log b a a b = 如：433log 81log 34==，2log 525=． (5)换底公式和对数运算的一些方法：①常用换底：log log log c a c b b a= 如：252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==． ①倒数原理：1log log a b b a =如：321log 2log 3=． ①约分法则：log log log a b a b c c ⋅= 如： 232log 3log 4log 4=2⋅=；35157log 15log 7log 5log 31⋅⋅⋅=．①归一法则：()2lg 2+lg51lg 2lg5+lg 2+lg5=lg 2lg5+lg 2+lg5=lg5+lg 21=⇒⋅=．【题型目录】 题型一：对数的定义 题型二: 指数对数的互化 题型三: 对数的运算求值题型四：换底公式的应用 题型五：对数式的应用题 【典型例题】 题型一：对数的定义【例1】（2021·全国高一课前预习）在()()31log 32a b a -=-中，实数a 的取值范围为______. 【答案】1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由题意，要使式子()()31log 32a b a -=-有意义，则满足310311320a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或2332a <<，即实数a 的取值范围为1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【题型专练】1．（2022江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x <C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围.【详解】由题意得：31031130x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D2.（2022全国·高一课时练习）若()()1log 1k k +-有意义，则实数k 的取值范围是______. 【答案】()()1,00,1-【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.【详解】若()()1log 1k k +-有意义，则满足101110k k k +>⎧⎪+≠⎨⎪->⎩，解得()()1,00,1k ∈-⋃.故答案为：()()1,00,1-题型二: 指数对数的互化【例1】（2022全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）53=125； （2）4-2=116； （3）log 3127=-3. 【答案】（1）log 5125=3；（2）41log 216=-；（3）31327-= 【解析】（1）①53=125，①log 5125=3.（2）①21416-=，①41log 216=-. （3）①31log 327=-，①31327-=【题型专练】1.（2022全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3128-=； （2）17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）1lg31000=-． 【答案】（1）21log 38=-；（2）17log b a =；（3）31101000-=．【解析】（1）由3128-=可得21log 38=-； （2）由17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭得17log b a =；（3）由1lg 31000=-可得31101000-= 2.（2022全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：（1）4e a =⇒____________．（2）31327-=⇒____________． （3）21log 416=-⇒____________．（4）2log 83=⇒____________． 【答案】ln 4a = 31log 327=- 41216-= 328= 【解析】log (0,1,0)ba a Nb N a a N =⇔=>≠>.故答案为：ln 4a =，31log 327=-，41216-=，328=. 题型三: 对数的运算求值【例1】（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A ．25B ．5C ．259 D ．53【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为25a =，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a a a bb b -====． 故选：C.【例2】（2022陕西·长安一中高一期中）设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 6)f f -⋅=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解【详解】函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)1log 43f -=+=，2log 62(log 6)223f =÷=，所以2(2)(log 6)9f f -⋅=. 故选：C【例3】（2022全国高一专题练习）计算：（1）659log 25log 3log 6⋅⋅=_________． （2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++=_________． （3）235111log log log 2589⋅⋅=_________． （4）()24892log 3log 9log 27log 3log 32n n n ++++⋅__________．（5）6log 2323)+-=__________． 【答案】114 12- 5212【解析】（1）原式226565365331log 5log 3log 62log 5log 3log 6log 5log 3log 62=⋅⋅=⋅⨯=⋅⋅lg5lg3lg 61lg 6lg5lg3=⋅⋅= （2）原式22552511log 5log log 2log log 5log 252⎛=++= ⎝25111log 5log 2224=⨯= （3）原式232235235log 5log 2log 32log 5(3)log 2(2)log 3---=⋅⋅=-⨯-⨯-23512log 5log 2log 312=-⋅⋅=-（4）原式()23223522223log 3log 3log 3log 3log 2n n n =++++⋅()22522222335log 3log 3log 3log 3log 2log 35lo 2g 22nn n =++++⋅=⨯= （5）26662log (2323)log (2323)log 61+-=+-==所以原式12故答案为：1，14，12-，52，12【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，则222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】10【分析】由同底数对数加法公式以及log log ba a Nb N =，可得答案.【详解】因为()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，所以222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+()()222122021122021log 2log 10a a x x x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=．故答案为：10.【例5】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（文））计算：0ln 221.1e 0.5lg 252lg 2-+-++=__________ 【答案】1【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出． 【详解】原式＝()1242lg5lg2121+-++=-+=． 故答案为：1．【例6】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知0x >，0y >，且lg 2lg8lg 2x y+=，则x y +的最小值为___________. 【答案】526+【分析】由lg 2lg8lg 2x y +=可得31x y +=，则()21213x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭化简后利用基本不等式可求得答案【详解】因为lg 2lg8lg 2x y +=，所以3lg(28)lg 2lg 2x y x y +⋅==， 所以31x y +=， 因为0x >，0y >，所以()21213x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭623y x x y=+++ 652526y xx y≥+⋅=+， 当且仅当6y xx y =，即3662,3x y -=-=时取等号，， 所以21x y +的最小值为526+，故答案为：526+ 【题型专练】1.(2020全国卷①)设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【详解】因24log 4log 33==a a ，所以9342==a ，故11449a a -== 2.（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.【答案】5【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.【详解】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()020163log 16145f f +=+=+=.故答案为：53.（2022长沙市明德中学高一开学考试）计算：2log 321lg252log ln1162+++=______ 【答案】12-【解析】原式()1lg 211lg5340lg5lg 212222=+-++=+-=-.故答案为：12- 4.（2022·江苏·高一）计算()32log 2lg 2lg 2lg5lg53-++-=___________ 【答案】12【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答【详解】()332log 2log 2111lg 2lg 2lg5lg53lg 2(lg 2lg5)lg5(3)lg 2lg522--++-=++-=+-=.故答案为：126.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D7.（2022江苏高二课时练习）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【详解】因()lg lg lg 2a b a b +=+，所以()b a ab 2lg lg +=，所以b a ab 2+=，所以12=+abba ，即 121=+ab ，所以()9522212241222=+⋅≥+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a 8.（2022全国高一课时练习）计算:22log 4log 1323lg 3log 2lg 5+-⋅-=________．【答案】4【解析】原式0lg 243lg 3lg 541lg 2lg 54lg 3=+-⋅-=+--=． 故答案为：4.9.（2022全国高一课时练习）计算：(()22222lg5lg 2lg 21+-+____.【答案】1【解析】原式)()222lg5lg 22lg 21=-+)()22lg 2lg5lg 21=+-2lg 21= 212=-1= ，故答案为：1 .题型四：换底公式的应用【例1】（2022·全国·高一课时练习）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．4【答案】A【分析】先求得,a b ，然后结合对数运算求得正确答案. 【详解】①53a =，32b =，①5log 3a =，3log 2b =， 5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2log 10log 3log 10log 2log 51log 3-⨯=-==． 故选：A【例2】（2022全国高一课时练习）设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）A 10B ．10C ．20D ．100【答案】A【解析】由25a b m ==，可得2log a m =，5log b m =， 由换底公式得1log 2m a =，1log 5m b=， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，又因为0m >，可得10m = 故选：A.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg3b =，则36log 5=（ ） A ．221a b a +- B ．12aa b-+ C ．22a a b -+ D ．122a a b -+ 【答案】D【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案． 【详解】因为lg 2a =，lg3b =，所以()36lg 51lg 21log 5lg 362lg 2lg 322aa b--===++． 故选：D.【例4】（2022·天津·高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=， 故选：B【例5】（2021·江苏·高一专题练习）若实数a 、b 、c 满足2540320152019a b c ===，则下列式子正确的是A ．122a b c +=B ．221a b c +=C ．112a b c +=D ．212a b c+=【答案】A【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出20191log 52a =，20151log 403b =，20191log 2015c=，利用对数的运算性质和20155403=⨯可得出122a b c+=成立.【详解】由已知，得 2540320152019a b c ===，得 52log 2019a =， 403log 2019b =，22log 015019c =，所以21log 52a =，20191log 403b =，20191log 2015c=，而54032015⨯=，则201920192019log 5log 403log 2015+=， 所以1112a b c +=，即 122a b c+=. 故选A. 【题型专练】1．（2022湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A ．d ac = B ．a cd = C ．c ab = D ．d a c =+【答案】B【分析】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项. 【详解】5log ,lg b a b c ==，两式相除得55log ,log 10lg b a a b c c ==，又5510,log 10dd =∴=，所以a d cd a c=⇒=. 故选：B.2.（2022湖北黄石·高一期中）已知1a b >>，若5log log ,2b a a b b a a b +==，则2+a b =___________.【答案】8【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解． 【详解】解：由5log log 2a b b a +=，且log log 1a b b a ⋅= 所以log ,log a b b a 是方程25102x x -+=的两根， 解得log 2b a =或1log 2b a =， 又1a b >>，所以log 2b a =，即2a b =，又b a a b = 从而22b a b b a b =⇒=，且2a b =，则2b =，4a =． 所以28a b +=. 故答案为：8.3.（2021·上海高一专题练习）已知3log 2m =，用含m 的式子表示32log 18=_________. 【答案】25m m+ 【解析】3333325333log 18log 2log 9log 222log 18log 32log 25log 25m m +++====.故答案为：25m m+ 4．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））若23a b m ==，且112a b+=，则m =_____________． 【答案】6【分析】由23a b m ==，可得2log a m =，3log b m =，0m >，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.【详解】解：因为23a b m ==，所以2log a m =，3log b m =，0m >，又112a b+=， 所以()2311log 2log 3log 232log lo 1g 1m m m a b m m+=+=+=⨯=， 所以26m =，所以6m =， 故答案为：6.5.（2022·全国·高一单元测试）把满足()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+，*n ∈N 为整数的n 叫作“贺数”，则在区间()1,50内所有“贺数”的个数是______． 【答案】4【分析】利用换底公式计算可得()()2312log 3log 4log 2log 2n n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+=+，即可判断.【详解】解：因为()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+()()()()2lg 2lg 2lg3lg 4log 2lg 2lg3lg 1lg 2n n n n =++⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++， 又2log 42=，2log 83=，2log 164=，2log 325=，2log 646=，……， 所以当24n +=，8，16，32时，()2log 2n +为整数， 所以在区间()1,50内“贺数”的个数是4． 故答案为：46.若b a ,均为不等于1的正数，且满足b a b a nm821,22==⎪⎭⎫⎝⎛=，且,则=+221n m .【答案】3【详解】因2ma 2log am =，因212nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22221log log b b n -==，所以=+221n m b ab a b b a a 222222log log log 2log 22log 12log 2log 21=-=-=-+，因为b a 8=，所以38log log 22==ba题型五：对数式的应用题【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2Em m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(12)k E k =，．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【答案】A【详解】设太阳的星等为126.7m =-，对应的亮度为1E ，天狼星的星等为2 1.45m =-，对应的亮度为2E ， 则由12125lg 2E m m E -=得1251.4526.7lg 2E E -+=，即125lg25.252E E =，所以12lg 10.1E E =，所以10.11210E E =【例2】(2020•全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193≈)（ ） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【详解】由题意知0.23(*53)0.951t K K e --=+，所以0.23(*53)10.951t e --=+，即()0.23*5311002010.959519t e--+===，所以()0.23*53119t e--=，所以()0.23*531ln ln 19t e--=，即()0.23*533t --=-，所以3*53130.23t --=≈-，所以*66t ≈ 【例3】(2021•全国甲卷文)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)( ) A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【详解】由题意知5lg 4.9V +=，所以lg 0.1V =-，即0.11101011100.81.2591010V -===≈≈ 【例4】（2022·全国·模拟预测）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级()M 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：0.410 2.512≈，0.510 3.162≈， 2.810631≈） A ．794 B ．631C ．316D ．251【答案】A【分析】将阿拉斯加半岛的震幅1A 和日本本州近岸5.3级地震的震幅2A 表示成指数形式，作商即可. 【详解】由题意00lg lg lgAM A A A =-=，即10M A A =，则010M A A =⋅； 当8.2M =时，地震的最大振幅8.21010A A =⋅，当 5.3M =时，地震的最大振幅 5.32010A A =⋅，所以8.22.90.40.5201 5.3201010101010 2.5123.16210079410A A A A ⋅===⨯⨯≈⨯⨯≈⋅， 即12794A A ≈； 故选：A ．【例5】（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过t 分钟后的温度T 将合公式：()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，0T 为热水的初始温度，h 称为半衰期．一杯85①的热水，放置在25①的房间中，如果热水降温到55①，需要10分钟，则一杯100①的热水放置在25①的房间中，欲降温到55①，大约需要多少分钟?（ ）（lg 20.3010,lg30.4771≈≈） A ．11.3 B ．13.2 C ．15.6 D ．17.1【答案】B【分析】依题意求出半衰期h ，再把h 的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．【详解】解：根据题意，1015525()(8525)2h-=-，即10121()2h =，解得10h =，1015525(10025)2t⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，即101225t⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以122lg22lg 2120.301015log 1.3221105lg 20.3010lg2t -⨯-====≈--，所以13.2t ≈； 故选：B 【题型专练】1.（2022·吉林一中高二阶段练习（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg 20.3010≈）（ ） A ．128 B ．130 C ．132 D ．134【答案】B【分析】由已知可得45D =，再由184)0.55(0.1G⨯<，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.【详解】由题设，18180.50.4D =，则45D =，所以184)0.55(0.1G ⨯<，即45118lg 518(1lg 2)18log 129.75lg 52lg 213lg 2G ->==≈--， 所以所需的训练迭代轮数至少为130次. 故选：B2.（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为k E ()1,2k =．已知星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，则星A 与星B 的亮度的比值为（ ） A ．4510 B ．4510-C ．5410D ．5410-【答案】A【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可. 【详解】因为12125lg 2E m m E -=，星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，所以41115222541.5( 3.5)lg lg 1025E E E E E E ---=⇒=⇒=， 故选：A3.（2022福建省安溪第一中学高一月考）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．44小时B ．45小时C ．46小时D ．47小时【答案】C【详解】设x 小时后，细胞总数为y ，则x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=23100，令101023100>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅x ，可得81023>⎪⎭⎫ ⎝⎛x，两边取对数可得3lg82x >，又因176.02lg 3lg 23lg =-=，所以45.45176.08≈>x 4.（2022河北高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式0lg lg M A A =-，M 表示里氏震级，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数 (答案精确到个位，参考数据：lg398 2.6≈，lg1995 3.3≈，lg 7.80.89≈，lg30.48≈)A ．1995B ．398C ．89D ．48【答案】A【详解】设7.8级地震的最大振幅是1A ，4.5级地震的最大振幅2A ，依题意得：01lg lg 8.7A A -=，02lg lg 5.4A A -=，两式相减得则由11223.3lg lg lgA A A A =-=，又因lg1995 3.3≈，所以121995A A = 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
专题10 对数与对数函数 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。
4.3-对数 2025年高考数学知识点题型及考项复习
.
− − × + ( + ) = − − + +
方法2
+ =
原式=
−
+ ) =
+ =
= .
10 − 2 > 0,
3,4 ∪ 4,5 .
例1-2
（1）将下列指数式改写成对数式：24
【解析】log 2 16 =
1
4，lห้องสมุดไป่ตู้g 2
32
= −5.
（2）将下列对数式改写成指数式：
log 5 125 = 3，log 1 16 = −4.
2
3
【解析】5 = 125，
1 −4
2
= 16.
=
16，2−5
例8 已知lg 2 ≈ 0.301 0,lg 3 ≈ 0.477 1，则lg 15 =________,lg 45 =________.
（结果保留四位小数）
【学会了吗|变式题】
1.计算下列各式：
1
2
（1） lg
32
49
4
3
− lg 8 + lg 245；
【答案】方法1 原式
=
=
(
1
;
5
24 ×53
1
5
= lg 104 = 4.
lg 27+lg 8−3lg 10
（2）
专题：对数运算知识归纳及类型题总结
专题：对数运算题型一：对数概念的理解：例1：求下列各式中得x 取值范围（1）)10(2log -x （2）)2()1(log +-x x变式练习：求下列各式中得x 值（1）812log = （2）=421log （3）若4log 16-=x，求x 值题型二：对数式与指数式的转化例2：对数式与指数式的转化（1）62554= （2）3log 82= （3）16)41(2=- 变式练习：对数式与指数式的转化（1）2log 01.01.0= （2）32)32(1-=+-题型三：化简与求值例3：求下列各式的值（1）32log 318- （2）)32(2)32(2log log -++变式练习：（1）40lg 50lg 8lg 5lg 2lg --+= （2）若,3010.02lg =求5lg（3）设3643==y x ，求yx 12+的值 题型四：换底公式的应用 例4：（1）求32log 9log 278∙的值 （2）求证z z y x y x log log log =⋅变式练习：（1）计算5log 4log 85⋅（2）已知b a ==4log ,3log 55，求：12log 25 (用a,b 表示)应用练习：1．若log x (2＋1)=－1, 则x = 。
2．已知f (e x )=x ，则f (5)等于 。
3．对数式)5(log )2(a a -- 中实数a 的取值范围是 。
4．若10≤x ≤100, 则｜3－lg x ｜－4)x lg(x lg 42+-= 。
5．已知集合A={y|y=log 2 x,x>1},B={y|y=(21)x ,x>1},则A ⋂B 等于 。
6．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥)4()1()4()21(x x f x x , 则f (log 23)=_________7．已知 log 18 9=a ,18b =5：用a , b 表示 log 36 45。
对数函数题型归纳大全非常完整
对数与对数函数题型归纳总结知识梳理 1．对数的概念如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．利用换底公式推导下面的结论 ①ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b mnb a na m log log =，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝___解析：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=解析：设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．题型二 对数函数的定义域346x y z==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y=1log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===1112z x y-=例题3： 函数y =__________．解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．变式3： 函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：（1）31log y x =-；（2）()212log 23y x x =--．解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．解析：12-题型五 对数函数的对称性例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．变式5： 函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．解析：由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上， 因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420at a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤所以实数a 的取值范围是4a ≤变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.()()8a f x log ax ＝－()1f x >解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。
对数函数知识点及题型训练
对数和对数函数一、基础知识1.对数的运算①()()l o g l o g l o g a a aM N M N M N R =+∈+， ②()l o g l o g l o g a a aMNM N M N R =-∈+，③()()l o g l o g a n aNn N N R =∈+ ④()l o g l o g a naN nNNR =∈+1 2.换底公式对数换底公式：称为常数对数的自然对数称为…其中N N l N e N N l abb g e nc c a 10log )71828.2(log log log log ====由换底公式推出一些常用的结论：（1）1log log log 1log =∙=a b ab b a b a 或 （2）log log a m a n b m n b =（3）l o g l o g ana nb b = （4）lo g a mn a m n=4.反函数对数函数x y a log =与指数函数xa y =互为反函数。
函数)(x f y =的反函数记作：)(1x fy -=性质：（1）函数与其反函数的图象关于直线 y ＝ x 对称。
（2）函数的定义域是其反函数的值域，值域是其反函数的定义域。
（3）点),(b a 关于直线x y =对称的点为),(a b 。
（4）互为反函数的函数具有相同的单调性、奇偶性。
求法：（1）由)(x f y =解出x ； （2）把x 与y 的位置互换； （3）写出解析式的定义域。
二、经典例题题型1：对数的概念例1、 对数式b a a =--)7(log )3(中，求实数a 的取值范围？例2、 函数⎩⎨⎧>≤+=0,log 0),1()(2x x x x f x f 求)2(-f 的值？题型2：对数的运算例3、 （1）245lg 8lg 344932lg 21+- （2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++（3）8.1lg 10lg 3lg 2lg -+例4、 （1）设的值？求12log ,3lg ,2lg 5b a ==（2）已知45log ,,518,9log 3618表示用b a a b== ？（3）已知a a a 3221log ),0(94求>=的值？ 题型3.比较大小例5、设,,a b c 均为正数,且,log 221a a=,log )21(21b b= c c2log )21(=,则（ ）A a b c <<B c b a <<C c a b <<D b a c << 题型4：对数函数的定义域、值域 例6、 求下列函数的定义域：（1）32log x y = （2）)34(log 5.-=x y o（3）141log 21--=x x y （4）)32lg(422-+-=x x x y例7、函数3)5lg()(--=x x x f 的定义域为_____.例8、 （1）已知函数)10)(1(log )(≠>+=a a x x f a 且的定义域和值域都是[0,1],求a 的值？（2）求函数)4(log 22+-=x y 的值域？（3）函数x x f a log )(=在区间[a a 2,]上的最大值与最小值之差为21，求a 的值？题型5.最值问题例9、设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =（ ）B 2C 22D 4 题型6：对数函数单调性例10、（1）求函数x x f 21log )(=的单调区间？（2）函数)53(log )(221+-=ax x x f 在[-1,+∞）上是减函数，求a 的取值范围？例11、（1）比较大小3.0log ,3log ,225.0===c b a π（2）已知c n c m c b a b a log ,log ,10==<<<<，比较n m ,的大小？例12、（1）解不等式)1(log )1(log 22x x ->+（2）若132log <a ，则实数a 的取值范围？题型7.解对数方程例13、解方程:0)2(log )12(log 244=--+x x ; 题型8：奇偶性问题例14、（1）画出函数x x f ln )(=的图像（2）x a xx f -+=1log)(2的图像关于原点对称，求a 的取值范围？ （3）已知11log )(2231+-=x x x f ，若的值是？则)(,2)(a f a f -=题型9.求参数范围例15已知132log <a,则a 的取值范围是（ ） A ),1()32,0(+∞ B ),32(+∞ C )1,32( D ),32()32,0(+∞题型11：反函数问题 例16、求下列函数的反函数（1）x y 31log = （2）12+=xy例17、设函数)1,0)((log )(≠>+=a a b x x f a 的图像过(2,1),其反函数的图像过点（2,8），求b a +的值？题型12：综合运用 例18、已知函数).1,1(,11log)(2-∈-+=x x xx f （1） 判断)(x f 的奇偶性； （2） 讨论)(x f 的单调性并证明。
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解20---对数的运算(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解20 对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (MN )＝_______________． (2)log a MN ＝_______________．(3)log a M n ＝__________ (n ∈R )． 2．换底公式log a b ＝__________ (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 3.换底公式的三个常用推论(1)推论一：log a c ·log c a ＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)推论二：log a b ·log b c ·log c a ＝1.(3)推论三：log a m b n ＝nm log a b .此公式表示底数变为原来的m 次方，真数变为原来的n 次方，所得的对数值等于原来对数值的nm倍．答案：log a M ＋log a N log a M －log a Nn log a M log c blog c a题型一 对数的运算1．若log 3log 5a b a ⋅=，则b =____________． 【答案】153【解析】因为log 3log 5a b a ⋅=，所以lg 3lg lg 35lg lg lg a a b b⋅==， 即5lg35lg lg b b ==， 所以53b =，即11555()(3)b =， 所以15(3)b =. 故答案为：153题型二 对数的运算性质的应用 2．计算下列各式的值：（1）11lg 25lg 2lg(0.01)2-++；（2）2(lg5)lg 2lg5lg 2+⋅+；（3）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-；（4）33(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++． 【答案】（1）72；（2）1；（3）1-；（4）1．【解析】（1）11117lg25lg2lg(0.01)lg5lg2lg100122222-++=+++=++=； （2）2(lg5)lg 2lg5lg 2lg5(lg5lg 2)lg 2lg5lg 21+⋅+=++=+=； （3）222lg5lg 20lg 2lg50lg 25lg5lg(25)lg 2lg(25)lg5⋅-⋅-=⋅⨯-⋅⨯-22lg5(2lg 2lg5)lg 2(lg 22lg5)2lg52lg 2lg5(lg5)(lg 2)2lg 2lg52lg5=+-+-=+--- 22(lg5)(lg 2)2lg5(lg5lg 2)(lg5lg 2)2lg5lg5lg 22lg5(lg 2lg5)1=--=+--=--=-+=-；（4）3322(lg 2)(lg5)3lg 2lg5(lg 2lg5)[(lg 2)lg 2lg5(lg 5)]3lg 2lg5++=+-++22222(lg 2)lg 2lg5(lg5)3lg 2lg5(lg 2)2lg 2lg5(lg5)(lg 2lg5)1=-++=++=+=．题型三 运用换底公式化简计算3．已知函数()()()1log 2n f n n n N *+=+∈，定义使()()()()123f f f f k ⋅⋅⋅⋅为整数的()k k N *∈叫做企盼数，则在区间[]1,2016内的企盼数的个数是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】B【解析】()()()()()1ln 2log 2ln 1n n f n n n N n *++=+=∈+， 所以，()()()()()()()()2ln 2ln 2ln 3ln 4ln 5123log 2ln 2ln 3ln 4ln 1ln 2k k f f f f k k k ++⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==++，12016k ≤≤，则322018k ≤+≤，令()()()()()()2123log 2f f f f k k m m Z ⋅⋅⋅⋅=+=∈，则22m k +=，322018m ∴≤≤，所以2m 的取值集合为{}234102,2,2,,2，共9个数，所以，k 的取值集合为{}2341022,22,22,,22----，共9个数，因此，在区间[]1,2016内的企盼数的个数是9. 故选：B.题型四 运用换底公式证明恒等式4．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 【答案】B【解析】由log a b ·log c b ＝lg lg b a ·lg lg bc≠log c a ，故A 错； 由log a b ·log c a ＝lg lg b a ·lg lg a c＝lg lg bc ＝log c b ，故B 正确；对选项C ，D ，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B.题型五 指数式与对数式的互化5．物理学规定音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度1I 是40dB 声音的声波强度2I 的（ ）A ．32倍B ．3210倍C ．100倍D ．3lg 2倍【答案】C【解析】解：因为音量大小与强度为I 的声波的关系为010lgII η=， 所以10010I I η=，所以606101001010I I I ==，404102001010I I I ==，所以6014201010010I I I I ==， 故选：C.6．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 【答案】B【解析】由log a b ·log c b ＝lg lg b a ·lg lg bc≠log c a ，故A 错； 由log a b ·log c a ＝lg lg b a ·lg lg a c＝lg lg bc ＝log c b ，故B 正确；对选项C ，D ，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B.7．已知48a =，296m n ==，且112b m n+=，则a b +=（ ） A ．52B ．18C ．116D ．2【答案】A【解析】48a =，296m n ==，4lg83log 8lg42a ∴===， 2log 6m ∴=，9log 6n =，∴61log 2m =，61log 9n= 661log 2log 912b ∴=+=52a b ∴+=故选：A8．方程()()239log 2log 3x x =-的解集是（ ）A ．{B ．⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭C ．{}3D ．⎪⎭【答案】B【解析】()()239log 2log 3x x =-，()()()233311log 2log 321log 22x x x =-=-+∴()23313log log 022x x +-=．设3log x m =，则213022m m +-=，解之得：1231,2m m ==-．∴3log 1x =或33log 2x =-，解之得：3x =或x =经检验，3x =和x =∴该方程的解集是⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭．故选：B9．如果关于x 的方程()()2lg lg3lg5lg lg3lg50x x +++⋅=的两根分别是,αβ，则αβ⋅的值是__________． 【答案】115【解析】∵,αβ是关于x 的方程()()2lg lg3lg5lg lg3lg50x x +++⋅=的两根∴lg ,lg αβ是一元二次方程()2lg3lg5lg3lg50x x +++⋅=的两根∴()1lg lg lg3lg5lg15lg15αβ+=-+=-=，()1lg lg 15αβ⋅=∴115αβ⋅=． 故答案为：11510．已知lg 5,lg lg 6ab a b =⋅=，则a ，b 的值分别为___________． 【答案】100，1000或1000，100 【解析】解：因为lg 5,lg lg 6ab a b =⋅=所以lg lg 5,lg lg 6a b a b +=⋅=，即lg a 、lg b 为方程2560x x -+=的两根，所以lg 2lg 3a b =⎧⎨=⎩或lg 3lg 2a b =⎧⎨=⎩即2310100101000a b ⎧==⎨==⎩或3210100010100a b ⎧==⎨==⎩故答案为：1001000a b =⎧⎨=⎩或1000100a b =⎧⎨=⎩ 11．若()25log log 0x =，则x =_________． 【答案】5【解析】()255log log 0log 15x x x =⇒=⇒=. 故答案为：512．计算下列各式的值：（1）11lg 25lg 2lg(0.01)2-++；（2）2(lg5)lg 2lg5lg 2+⋅+；（3）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-；（4）33(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++． 【答案】（1）72；（2）1；（3）1-；（4）1．【解析】（1）11117lg25lg2lg(0.01)lg5lg2lg100122222-++=+++=++=；（2）2(lg5)lg 2lg5lg 2lg5(lg5lg 2)lg 2lg5lg 21+⋅+=++=+=； （3）222lg5lg 20lg 2lg50lg 25lg5lg(25)lg 2lg(25)lg5⋅-⋅-=⋅⨯-⋅⨯-22lg5(2lg 2lg5)lg 2(lg 22lg5)2lg52lg 2lg5(lg5)(lg 2)2lg 2lg52lg5=+-+-=+---22(lg5)(lg 2)2lg5(lg5lg 2)(lg5lg 2)2lg5lg5lg 22lg5(lg 2lg5)1=--=+--=--=-+=-；（4）3322(lg 2)(lg5)3lg 2lg5(lg 2lg5)[(lg 2)lg 2lg5(lg 5)]3lg 2lg5++=+-++22222(lg 2)lg 2lg5(lg5)3lg 2lg5(lg 2)2lg 2lg5(lg5)(lg 2lg5)1=-++=++=+=．13．若,a b 是方程()242lg lg 10x x -+=的两个实根，求()()lg log log a b ab b a ⋅+的值．【答案】12【解析】原方程可转化为()22lg 4lg 10x x -+=，令lg t x =，则22410t t -+=， 设方程22410t t -+=的两根为12,t t ，可设1lg t a =，2lg t b =， ()1212lg lg lg 21lg lg 2t t a b ab t t a b ⎧+=+==⎪∴⎨=⋅=⎪⎩()()()()22lg lg lg lg lg log log 22lg lg lg lg a b b a b a ab b a a b a b +⎛⎫⋅+=+=⨯ ⎪⋅⎝⎭∴()2lg lg 2lg lg 2lg lg b a a ba b +-⋅=⨯⋅()2lg 2lg lg 412226121lg lg 2ab a b a b⎡⎤-⋅-⎣⎦=⨯=⨯=⨯=⋅.14．已知2log (0),()3(0),x x x f x x >⎧=⎨⎩求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值． 【答案】19【解析】211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴211(2)349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：1915．设30x y >>，且满足3332log (3)log (3)log x y x y y -=++，求xy的值． 【答案】xy=8【解析】由已知得233log (3)log (3)x y x y y -=+，则2(3)(3)x y x y y -=+⋅，即22980x xy y -+=，即()(8)0x y x y --=， ∴x y =8或1，又30x y >>，3x y ∴>，xy∴=8.。
高中对数的运算练习题及讲解
高中对数的运算练习题及讲解# 高中对数运算练习题及讲解## 练习题### 题目一：基础对数运算求值：\[ \log_{2}(8) \]### 题目二：对数的换底公式求值：\[ \log_{10}(100) \]### 题目三：对数的幂运算法则求值：\[ \log_{3}(27) \]### 题目四：对数的乘积法则求值：\[ \log_{5}(25 \times 20) \]### 题目五：对数的商法则求值：\[ \log_{4}(\frac{16}{8}) \]### 题目六：对数的复合运算求值：\[ \log_{2}(\sqrt{8}) \]### 题目七：对数不等式的解法解不等式：\[ 2^{x} < 16 \]### 题目八：对数方程的解法解方程：\[ \log_{3}(x) = 2 \]### 题目九：对数函数的图像分析分析函数：\[ y = \log_{2}(x) \] 的图像特点。
### 题目十：对数函数的实际应用如果一个细菌群体每4小时翻倍一次，求出48小时后细菌的数量，假设初始数量为100。
## 讲解### 基础对数运算对数的基本定义是：如果 \( a^b = c \)，那么 \( b = \log_{a}(c) \)。
对于题目一，\( 2^3 = 8 \)，所以 \( \log_{2}(8) = 3 \)。
### 对数的换底公式换底公式是 \( \log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} \)。
对于题目二，\( \log_{10}(100) = 2 \)，因为 \( 10^2 = 100 \)。
### 对数的幂运算法则幂运算法则是 \( \log_{a}(a^b) = b \)。
对于题目三，\( 3^3 = 27 \)，所以 \( \log_{3}(27) = 3 \)。
### 对数的乘积法则乘积法则是 \( \log_{a}(bc) = \log_{a}(b) + \log_{a}(c) \)。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--对数及其运算基础知识及例题1、定义：2、性质：3、对数的运算性质：4、换底公式：5、对数的其他运算性质6、常用对数和自然对数：【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-．类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．求值： 71log 57+类型四、积、商、幂的对数例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式2353(1)log ;(2)log ();(3)log ;(4)log a a a ax yxyxx y z z例5.已知18log 9,185b a ==，求36log 45．类型六、对数运算法则的应用 例6.求值(1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅(2) 7lg142lg lg 7lg183-+-(3))36log 43log 32(log log 42122++(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++对数及其运算练习题一、选择题 1、 25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ）A 、31B 、321 C 、221 D 、3313、 nn ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1B 、－1C 、2D 、－24、 已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 5、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或16、 若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ） A 、m>n>1 B 、n>m>1 C 、0<n<m<1 D 、0<m<n<17、 若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ） A 、a<b<c B 、 a<c<b C 、c<b<a D 、c<a<b 8、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ）A 、 a >5或a <2B 、 25<<aC 、 23<<a 或35<<aD 、 34<<a9、 若log [log (log )]4320x =，则x -12等于（ ）A 、 142 B 、122C 、 8D 、 410、334log 的值是（ ） A 、 16B 、 2C 、 3D 、 411、 已知b a ==4log 3log 55，，则log 2512是（ ） A 、 a b +B 、 )(21b a +C 、 abD 、 12ab12、 已知21366log log x =-，则x 的值是（ ） A 、 3B 、 2C 、 2或-2D 、 3或213、 计算=++5lg 2lg 35lg 2lg 33（ ） A 、 1B 、 3C 、 2D 、 014、 已知23834x y ==，log ，则x y +2的值为（ ） A 、 3B 、 8C 、 4D 、 log 4815、 设a 、b 、c 都是正数，且c b a 643==，则（ ） A 、111c a b=+ B 、221c a b =+ C 、 122c a b=+ D 、212c a b=+ 二、填空题16、 若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________17 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 18、 3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________19、 若2log 2,log 3,m n a a m n a +===___________________ 20、 lg25+lg2lg50+(lg2)2=21、 若1)12(log -=+x ，则x=________，若log28=y ，则y=___________。
对数函数及其性质经典题型总结
对数函数及其性质经典题型总结
题型一：对数不等式解法
例L 解下列不等式
(l)log 1(3x + 4)>l
2
(2)log[(3x + 4)<2
⑶ log 1 (3x + 4)> log 1(3-x)
2
(4)3x
≥ 2 变式1.若实数。
满足1。
乩：＜1,求〃的取值范围。
变式2：解不等式:log 〃(2x + l)〉2,(。
> 0,α ≠ 1).
题型二：定点问题
例2：求下列函数恒经过哪些定点
1、∕(X ) = ⅛(X 2
+1) + 2 2.尸log<4wx) +1 恒过(4, 1 ),求a 的值.
题型三：定义域问题
例2函数y = Jl-l0g2(x+l)的定义域为
题型四:对数值域问题
例3.求下列函数的值域.
(l)∕(^) = ∙og 2 x ∈[2,10]j
(2)∕(x) = log 2(-x 2
+ 2x + 3),x ∈ [0,|]; ⑶ f(x) = log2(，—4x —5)
变式1：若函数y = log2(0χ2+依+ ；)的定义域为R,求实数。
的取值范围。
变式2：若函数y = log 2(6fΛ2 +ax + ；)的值域为R,求实数。
的取值范围。
变式3：若函婀(x) = log. x(0 v 4 v 1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,求加勺值. 变式 2 函数∕(x) = j4-∣x∣ + lg
三芋的定义域为( A. (2, 3) B. (2, 4] C. (2, 3) (3, 4] D. (-1, 3) (3, 6]。
对数函数经典题型
对数函数经典题型1. 对数函数的定义对数函数是指满足以下条件的函数：$$y = \log_{b}x$$其中，$b$ 为底数，$x$ 为真数，$y$ 为对数。
对数函数的图像表现为一条曲线，可以通过解对数方程和对数性质来求解问题。
2. 常见题型2.1 求解对数方程对数方程是一个方程，其中含有对数函数。
常见的对数方程有以下形式：$$\log_{b}x = c$$求解对数方程的步骤如下：1. 将方程转化为指数形式：$x = b^{c}$2. 按照转化得到的指数形式，求得方程的解。
2.2 使用对数性质求解问题对数函数有多种性质，可以用来求解各种问题。
常见的对数性质包括：- 对数乘法性质：$\log_{b}(xy) = \log_{b}x + \log_{b}y$- 对数除法性质：$\log_{b}(\frac{x}{y}) = \log_{b}x -\log_{b}y$- 对数幂性质：$\log_{b}(x^n) = n\log_{b}x$通过运用这些性质，可以化简对数表达式，简化求解过程。
3. 示例题目3.1 题目一已知 $\log_{2}x = 3$，求解方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的解。
解题步骤如下：1. 将 $\log_{2}x = 3$ 转化为指数形式得到 $x = 2^{3} = 8$2. 将 $x = 8$ 代入方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 得到 $8^2 - 4 \times 8 + 3 = 0$3. 求解得到 $64 - 32 + 3 = 35 \neq 0$4. 由此可得方程无解。
3.2 题目二已知 $\log_{3}(x+1) = 2$，求解方程 $x^2 + x - 6 = 0$ 的解。
解题步骤如下：1. 将 $\log_{3}(x+1) = 2$ 转化为指数形式得到 $x+1 = 3^{2} = 9$2. 将 $x+1 = 9$ 化简得到 $x = 8$3. 将 $x = 8$ 代入方程 $x^2 + x - 6 = 0$ 得到 $8^2 + 8 - 6 = 70 \neq 0$4. 由此可得方程无解。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .二、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a(a,b0且a 1,b 1)；题型归纳及思路提示题型 1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等 .对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正 . 一、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注 熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提 变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 3lg522lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()A.( ,0)B.(0, )C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析 先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，又 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x 二、对数方程 例 2.59 解下列方151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析 利用对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，首先方程中的 x 应满足x 10，原方程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从而 x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原方程的解 .2( 2)log x 21(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是方程的解 . 评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助 0和 1作为分界点解析 因为y log 5 x 在 （0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )A.a b cB.a c bC.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（ ）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 大纲全国理 9） 已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法 问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维方向、对数函数的图像 例 2.62如图 2-15所示，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像， 对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x3 ，又 0 a 1，变式 1 已知函数 f （x ） 为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析 给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所示，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标大小为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能一次为 2,3, , .故选 B .32评注对 数函数 在同一 直角坐标系中 的图像的相对位置与底数大小的关系如图 2-16 所示，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第一象限的图像， a 越大，图像越靠近 x 轴； a 越小， 图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像大 致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点 二、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则A.a b C.c a cB.c b a b Db. ac 例 2.63 函数 y log a (x 1) 2的图像必过定点 分析 对数函数 y log a x(a 0且a 1)的图像过定点 (1,0) ，即 log a 1 0.解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒 过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时 ， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最大值与最小值又 f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2.(log 2 x)2解析因 为 对 数 函 数 的 底 a 1 ， 所以函数f (x) log a x 在 区 间a,2a 上 单 调 递 增 ， 故 f (x)maxlog a 2a, f(x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最大值是最小值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最大值和最小值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x212解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最大值与最小值的差为 题型 3 对数函数中的恒成立问题思路提示 (1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成立 .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所示，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析 因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x3,1 上有意义，即1 2x40 在 ,1 上恒成立 .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 axx若 g(x) 存在最大值， 则 g(x) a 恒成立等价于 g(x)max a ；A.(0,1)B.(1,2)C. 1,2D. 0,121在2 ,1 上 为减函数 ，故 g(x) 在 ,1 上为增 函数， 所以对 任意的,1 时， g(x) g(1)因为 a ,1 上恒成立，所以 a所以 a 的取值范围是3,4若 g(x) 不存在最大值，设其值域为 g(x)m,n ，则 g(x) a 恒成立等价于 a n .变式 1 当 x (1,2) 时，不等式2x1log a x 恒成立，则 a 的取值范围是()1.设 a log 1 2,b log 1 3,c，则( )222A.a b cB.a c bC.b c aDb. a clog 2 ( x 1)(x 2)2.设函数 f(x)x1 12 1(x 2)，若 f (x 0) 1 ，则 x 0 的取值范围是()A.( ,0) U(2,) B.(0,2)C.( , 1)U (3, )D.( 1,3)3.设定义在区间 (1 axb,b)上的函数 f (x) lg 是奇函数 (a,b R 且a1 2x2)，则 A. 1, 2B. 0, 2C.(1, 2)D.(0, 2)4.已知 y log a (2ax) 在 0,1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是()最有效训练题0.2a b的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2, )评注 为了求 a 的取值范围， 把a 进行了分离， 变式 2 函数 f (x) log a (x 3a)(a0且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f(x)图像上的点时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x) 图像上的点 .1) 写出函数 y g(x) 的解析式； 2) 当 a a 2,a 3 时，恒有f(x) g(x) 1，试确定 a 的取值范围2y f (x) log 5 x 的零点个数是()A.3B.4C.5D.67.设函数 f(x) ln(x 1) ，若 1 a b 且f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是 ___________________ .8.已知 lg x lg y 2lg(2 x 3y) ，则 log 2 y ________________ .3x29.若函数 y log a (x 1 2 ax 1)在 1,2 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 _____________ ..1 ax11.设 f(x) log 1 为奇函数， a 为常数 .2 x 1(1)求 a 的值；(2)证明： f(x)在区间 (1, )内单调递增；3)若对于区间 3,4 上的每一个 x 值，不等式 f (x)1212.已知集合 P,2 ，函数 y log 2( ax 22x 2) 的定义域为 Q .1)若 PI Q，求实数 a 的取值范围；2)若方程 log 2 ( ax 2 2x 2) 2在 P 内有解，求实数 a 的取值范围则函数2x ，10.已知函数f (x) log2x ，正实数m,n满足m n，且f(m) f(n)，若f(x) 在区间m2,n 上的最大值为2 ，则m n __________________ .m 恒成立，求实数m 的取值范围2。
必考点15 对数(解析版)
必考点15对数题型一指数式与对数式的互化例题设 olog,3 = l,则(：)“ =【答案】』 4［解析】a log 4 3 = 1, :.a- —!— = log 3 4 , 幻3... g=q )心=3唇故答案为：1B. 25 【答案】D【解析】 .•.4'"=4住部=打，故选D.【解题技巧提炼】指数式与对数式互化的思路(1) 指数式化为对数式：将指数式的篆作为真数, (2) 对数式化为指数式：将对数式的真数作为界, 题型二利用对数式与指数式的关系求值例题1以下对数式中，与指数式5, =6等价的是(B. Iog 5 x = 6C. log 6A=5D. log ( 6 = 5【答案】A【解析】把指数式5V =6化为对数式得：1。
头6 =、,所以与指数式5，=6等价的对数式为：logs6 = x.故选A.例题 2 设 log 4 5 = 2m ，则 4'” =( )指数作为对数，底数不变，写出对数式.对数作为指数，底数不变，写出指数式.放出的能量就越大.1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000,此时的标准地震的振幅是0.0001,则预计此次地震震源放出的能量（单位：焦耳）约为（)(*2S3, 俨％4.5)【答案】C【解析】心咔=仅繇= 7 + 3心7.9,... £=I048(1.5X 7.9 =］ Q16.65 =］俨65 . %4.5xl0,6 .故选C. 变式综合练1.若«log 25 = 3,则5“=() 【答案】C［解析】'：a log 2 5 = 3 , .L log 2 5" = 3 ,/.5fl =23=8,故选C.故选c.的值为住仿A.国 【答案】CB. 1C. 3D.唇发3［解析］|fg ---------- |,即为 0 ，即 __________ ］的解为仿Eb ,解得i 团i ， 则A. 4.5B. 4.516C. 4.5X10'6D. 4.5 xlO 17A. 125B. 9C. 8D.2.方®［回3.【答案】c曲斤Eg 粉=骨=宇=/.故选C. 国.故选B.4.A. 10B. 2C. 5D. 6故选c. 5.' D 【答案】B【答案】CB.®6.设 a = lg2 , b = lg3 ,则 log 318 = (7. 质数也叫素数，17世纪法国数学家马林•梅森曾对“ 2「-1”（p是素数）型索数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“ 2「-1”（〃是素数）形式的素数称为梅森素数.巳知第12个梅森素数为M=2⑵-1,第14个梅森素数为村=梦-1,则下列各数中与冬最M 接近的数为（）（参考数据：々2 q 0.3010）A. IO'40B. 10142C. IO'4'D. 10146【答案】D令2切=上，两边同时取常用对数得：Jg2顺=lgk,.•.皴=480々2544.48,"=10岫，•••与史最接近的数为IO】46,M故选D.8. 计算：(；)+%”= _.【答案】1024【解析】原式=2_3X^_3，=2,0=1024.故答案为：1024.9. 化简下列各式：1 2 27 1(1) [(0.064, )-* ]3-(一)3"；82(2) /g25 + Jg8 + /g5 /g20 + (/g2)2.【答案】(1)原式=(2)中部一(2)土1=。
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1
例 6 如果 log7[log3 (log2 x)] 0 ，那么 x 2 等于( )
A． 1 3
B． 1 23
C． 1 22
D． 1 33
【习题精练】
1.若 log2 (lg x) 1，则 x _______ 。 2.已知 loga 2 m, loga 3 n ，求 a2mn ________ 3.若 logx ( 2 1) 1，则 x _______ 。
4．已知 2x
3，
y
log2
8 3
，则
2x
y
的值为(
)
A．18
B．8
C．24
D．log48\
5.计算下列各式。 (1) lg 5 100
(2) log2(47 25)
(3) log5 4 log8 5
(4)
2
log3
2
log3
32 9
log3
8
5 2 log 5
3
6.已知 log5 3 a,log5 4 b ，求： log25 12 (用 a, b 表示)。
log2
1 25
log3
1 8
log5
1 9
(2) log8 9 log27 32
(4) log4 3 log8 3log3 2 log9 2
考点三 对数运算综合运用
例 3 已知 3a 2 ，用 a 表示 log3 4 log3 6 。 考点四 对数与方程
例 4．解方程 lg2 x 2 lg x 3 0
log9 (1 3 )2
(2) log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8 ；
考点二 公式逆用、巧用
例 2 2(lg 2 )2 lg 2 lg5 (lg 2 )2 lg 2 1
例 3．已知 log2 3 a ， log3 7 b ，试用 a ， b 表示 log42 56 ；
例 5．解方程 lg x lg(x 3) 1
1．已知 2x 3y ，则 x (
)
y
A. lg 2 lg 3
B. lg 3 lg 2
C． lg 2 3
D． lg 3 2
2．若 x log3 2010 1，则 2010 x 2010x 等于(
)
A. 10 3
B． 6
C. 8
3
D. 16 3
4.计算 ( 1 )log4 3 (1 )log5 4 (1)log3 5
4
5
3
对数的运算
1.对数的运算法则： (1) loga (MN ) ___________
(2)
log a
(
M N
)
___________
(3) loga bn __________ ___
2.对数换底公式：
loga
N
变式．已知 lg 2 a, lg 3 b ，试用 a ， b 表示 log5 12 ；
例 4．已知 loga x 2 ， logb x 3 ， logc x 6 ，求 logabc x 的值。
A．－1
B．1
C． (log3 2)2
D． (log2 3)2
3．计算：
(1) lg 25 lg 2 lg 50 (lg 2)2 (2) (log2125 + log4 25 + log85)(log5 2 + l lg 0.1 1
(3) ln e 1 2
考点三 利用指数对数的关系求未知数
例 4 求下列各式中 x 的值
(1) x
log
1 2
1 16
(2) log 1 2x 4
2
考点四 对数的性质
(3) logx 8 3
例 5 求下列根式的值
(1) lg 5 100
log1 4
log1 2
(2) 3 3 10log0.01 2 7 7
logm logm
考点一 对数运算
(a 0, a 1, m 0, m 1, N 0)
例 1 计算下列各式的值
(1) 4 lg 2 3lg 5 lg 1
(2)
5
log 2.5
6.25
lg
1 100
ln
e 21log2 3
考点二 换底公式的应用
例 2 (1) log2 3log3 4
(3)
重要的性质：
1. logam bn __________ 2. loga b logb a _____ 3. loga b logb c logc a _____
4. loga M logb N ____________ 考点一 对数综合运算
例 1 (1) 5 3 log25 (1 3)2
对数运算经典题型归纳 考点一 对数的意义 例 1 求下列各式中 x 的取值范围。
(1) log 2( x10)
(2) log(x2) (5 x)
考点二 指数式、对数式互相转化
例2 将下列指数式写成对数式
(1) 33 1 27
(2) 5a 15
例 3 对数式写成指数式．
(1) log1
3
1 27