2019年天津市高考数学试卷(文科)和答案

2019年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）
A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y
的最大值为（）
A．2B．3C．5D．6
3．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）
A．5B．8C．24D．29
5．（5分）已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 6．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
7．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（）＝，则f（）＝（）
A．﹣2B．﹣C．D．2
8．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）
A．[，]B．（，]C．（，]∪{1}D．[，]∪{1}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）i是虚数单位，则||的值为．
10．（5分）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为．
11．（5分）曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程为．12．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A ＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，
108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
A B C D E F
子女教育〇〇×〇×〇
继续教育××〇×〇〇
大病医疗×××〇××
〇〇××〇〇
住房贷款
利息
住房租金××〇×××
赡养老人〇〇×××〇
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii ）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB＝4asinC．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin（2B+）的值．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD ＝2，AD＝3．
（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；
（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
18．（13分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．
（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝求a1c1+a2c2+…+a2n c2n （n∈N*）．
19．（14分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC ∥AP．求椭圆的方程．
20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若0＜a＜，
（i）证明f（x）恰有两个零点；
（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．
2019年天津市高考数学试卷（文科）
答案与解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，
∵B＝{2，3，4}，
∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；
故选：D．
2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图：
联立，解得A（﹣1，1），
化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过
A时，z有最大值为5．
故选：C．
3．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，
∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，
0＜x＜2⇒0＜x＜5，
∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，
即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要不充分条件
故选：B．
4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：i＝1，s＝0；
第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；
第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，
故选：B．
5．【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解答】解：由题意，可知：
a＝log27＞log24＝2，
b＝log38＜log39＝2，
c＝0.30.2＜1，
∴c＜b＜a．
故选：A．
6．【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．
∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，
∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点
A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），
∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，
∴c＝＝，
∴双曲线的离心率为e＝．
故选：D．
7．【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，
∵f（x）的最小正周期为π，
∴＝π，得ω＝2，
则f（x）＝Asin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到
原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．
则g（x）＝Asinx，
若g（）＝，则g（）＝Asin＝A＝，即A＝2，
则f（x）＝Asin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，
故选：C．
8．【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y＝在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，
以及直线y＝﹣x的图象，
关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，
平移直线y＝﹣x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，
有两个交点，可得a＝或a＝，
考虑直线与y＝在x＞1相切，可得ax﹣x2＝1，
由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），
综上可得a的范围是[，]∪{1}．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：
＝＝＝2﹣3i，
∴||＝|2﹣3i|＝＝．
故答案为：．
10．【分析】解一元二次不等式即可．
【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：
（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x﹣）＜0；
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”
可得：﹣1＜x＜；
即：{x|﹣1＜x＜}；或（﹣1，）；
故答案为：（﹣1，）；
11．【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x＝0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．
【解答】解：由题意，可知：
y′＝﹣sinx﹣，
∵y′|x
＝﹣sin0﹣＝﹣．
＝0
曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，
整理，得：x+2y﹣2＝0．
故答案为：x+2y﹣2＝0．
12．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．
【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，
由勾股定理得：正四棱锥的高为2，
由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；
由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，
则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；
故答案为：
13．【分析】利用基本不等式求最值．
【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，
则＝＝＝2+；
x＞0，y＞0，x+2y＝4，
由基本不等式有：4＝x+2y≥2，
∴0＜xy≤2，
≥，
故：2+≥2+＝；
（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），
故的最小值为；
故答案为：．
14．【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．
【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，
∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，
又AB＝2，∴AE＝2，
∴，
∵，∴
又，
∴•＝
＝
＝
＝﹣12+×5×2×﹣
＝﹣1
故答案为：﹣1．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；
（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，
{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，
{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，
{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，
所以，事件M发生的概率P（M）＝．
16．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；
（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．
【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，
得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cosB＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB＝＝，从而sin2B＝2sinBcosB
＝﹣，
cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，
故sin（2B+）＝sin2Bcos+cos2Bsin＝﹣×﹣×＝﹣．
17．【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面PAD．
（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD．（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，
∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴GH∥平面PAD．
（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，
依题意得DN⊥PC，
又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，
∴DN⊥平面PAC，
又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，
又PA⊥CD，CD∩DN＝D，
∴PA⊥平面PCD．
解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面PAC，
知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，
∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，
∴DN＝，又DN⊥AN，
在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝．
∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
18．【分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{a n}和{b n}的通项公式即可．
（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．
【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q＞0．
由题意可得：3q＝3+2d①；3q2＝15+4d②
解得：d＝3，q＝3，
故a n＝3+3（n﹣1）＝3n，b＝3×3n﹣1＝3n
（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，
a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）
＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2b1+a4b2+a6b3+…+a2n b n）
＝[3n+×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n×3n）
＝3n2+6（1×3+2×32+…+n×3n）
令T n＝（1×3+2×32+…+n×3n）①，
则3T n＝1×32+2×33+…+n3n+1②，
②﹣①得：2T n＝﹣3﹣32﹣33…﹣3n+n3n+1
＝﹣3×+n3n+1
＝；
故a1c1+a2c2+…+a2n c2n＝3n2+6T n＝3n2+3×2T n＝
（n∈N*）
19．【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，
可得e＝＝＝＝；
（Ⅱ）b＝a，c＝a，
即a＝2c，b＝c，
可得椭圆方程为+＝1，
设直线FP的方程为y＝（x+c），
代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，
解得x＝c或x＝﹣，
代入直线PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），
可得P（c，），
圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），
可得＝，解得t＝2，
即有C（4，2），可得圆的半径为2，
由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，
可得＝2，解得c＝2，
可得a＝4，b＝2，
可得椭圆方程为+＝1．
20．【分析】（I）f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，即可得出函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调性．
（II）（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g （x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：可得g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．可得x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx ﹣x+1，可得x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＜0．f（x0）＞f（1）＝0．可得函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．即可证明结论．
（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），可得＝，由x＞1，可得lnx＜x﹣1．又
x 1＞x0＞1，可得＜＝，取对数即可证明．
【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．
a≤0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．
且g（ln）＝1﹣a＝1﹣＜0，
∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．
即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．
令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝，
可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．
f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．
∵f（x0）＞f（1）＝0．
∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．
又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．
因此函数f（x）恰有两个零点；
（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1
＝a（x1﹣1），
∴lnx1＝，即＝，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．
又x1＞x0＞1，
故＜＝，
取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．。