4.4 修正指数曲线模型预测法(三合法)
指数曲线法[精华]
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指数曲线预测模型：ae ybtt=ˆ a>0指数曲线模型的求解步骤：1．指数曲线模型的适用范围：时间序列各期观测值的一阶差比率（yy t t1-）大致相等。
2．描绘散点图，根据图形判别，呈指数曲线形态。
3．进行对数转换：bt a y t+=ln ln4．利用最小二乘法求模型参数A 和b 。
5．进行预测。
§7.2 修正指数曲线法1．修正指数曲线预测模型c yttb a +=ˆ 2．修正指数曲线预测模型的适用范围：在一段时间内按指数曲线增长，随着时间的推移，增长趋势会减缓以至于停滞。
或一阶差的一阶比率大致相等（yy y y t t t t 211-----）3．三和值法 将数据序列分成个数相等的三组。
将各组数据分别代入修正指数曲线预测模型对每组数据两端求和，得到：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=11c b na I cn⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=11c b na II cn⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=11c b na III cn系数的表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=I II II III nc 1()()121---=c n c I II b⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111c b I n a cn 4．预测。
§7.3 生长曲线法 1．当事物经历发生、发展、成熟和衰老几个阶段时，其规律用生长曲线法来描述。
2．事物生长过程规律曲线近似于S 曲线。
3．两种最常用的生长曲线为：龚珀兹曲线、皮尔曲线。
4．龚珀兹曲线模型：ab tk y =ˆ，待定参数是k 、a 、b 。
5．龚珀兹曲线模型适宜于对处于成熟期的商品进行预测。
6．龚珀兹曲线参数求解法：基本思想三和值法。
将数据取对数将对数数据分成相等的三组将取对数后的各组数据求和，分别记为I ，II ，III 。
系数的表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=I II II III nb 1()()121lg --⋅-=b n b I II a⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅---=a b I n k bn lg 111lg查反对数表，求出k ，a ，b 。
时间序列分解法和趋势外推法
其中调整的R2 0.9524 F， 290 F0.05 (2, 29) ， 则方
程 通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。
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(4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 ：
两边取对数：
yˆt aebt
ln yˆt ln a bt
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k
k
(1) lga<0 0<b<1
(2) lga<0 b>1
k (3) lga>0 0<b<1
k
(4) lga>0 b>1
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k
(1) lga<0 0<b<1
渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态 。
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k
(2) lga<0 b>1
t4
解这个三元一次方程就可求得参数。
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例题
•例1
下表是我国1952年到1983年社会商品 零售总额（按当年价格计算），分析预测 我国社会商品零售总额 。
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年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
产生序列ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该模型。 最终得到估计模型为：
ln yˆt ln 303.69 0.0627t
yˆt 303.69 e0.0627t
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其中调整的 R2 0.9547 F， 632.6 F0.05(1,30) ，则 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差 为：175.37。
管理预测试题
一、名词解释：1 预测：指根据客观事物的发展趋势和变化规律，对特定的对象未来发展的趋势或状态做出科学的推测与判断。
2 定性预测：指研究者通过调查研究，了解实际情况，凭自己的实际经验和理论与业务水平，对事物发展前景的性质、方向和程度做出判断、进行预测的方法，也称为判断预测或调研预测。
3 定量预测：指根据准确、及时、系统、全面的调查统计资料和信息，运用统计方法和数学模型，对事物未来发展的规模、水平、速度和比例关系的测定。
4 动态预测：指包含时间变动因素，根据事物发展的历史和现状，对其未来发展前景做出预测。
5 头脑风暴法：也称智力激励法，是针对某一问题，召集由有关人员参加的小型会议，在融洽轻松的会议气氛中，与会者敞开思想、各抒己见、自由联想、畅所欲言、互相启发、互相激励，使创造性设想起连锁反应，从而获得众多解决问题的办法。
6 德尔菲法：采用函询调查，向与所预测的问题有关领域的专家分别提出问题，而后将他们回答的意见予以综合、整理、反馈，经过这样多次反复循环，最终得到一个比较一致而且可靠性也较高的意见。
7 交叉概率法：又称交叉影响分析法，是建立在专家评分法和主观概率法基础上创立的一种定性预测方法。
主要通过主观估计每个事件在未来发生的概率，以及事件之间相互影响的概率，利用交叉影响矩阵考察预测事件之间的相互作用，进而预测目标事件发生的可能性。
8 技术预测：是一种系统方法，是组织通过对技术现有状态和固有趋势的分析，选择合适的方法论组合，来对技术将来可能的发展情况做出估计。
9 技术预见：利用系统化的网络知识，在国家创新体系框架内对未来较长时期内的科学、技术、经济和社会发展进行系统研究，其目标是要确定具有发展战略性的研究领域，选择哪些对经济和社会利益具有最大化贡献的通用技术，使技术的发展和经济社会需求相符合。
10 相关事件树又名垂直相关性分析，是一种按事件发展的时间顺序由初始事件开始推论可能的后果，有序观察事物的时序逻辑分析方法。
修正指数曲线法
修正指数曲线法是一种数学模型，用于描述数据随时间变化的关系。
它是在指数曲线的基础上进行修正，以更好地拟合实际数据。
修正指数曲线法通常用于描述增长或衰减过程，尤其适用于描述在初期快速增长，然后逐渐趋近于某个稳定水平的数据。
例如，人口增长、细菌繁殖等都可以使用修正指数曲线法来描述。
使用修正指数曲线法时，需要先确定曲线的初始值和增长率，然后根据实际数据对曲线进行修正，以使其更好地拟合实际数据。
修正指数曲线法还可以用于预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
总的来说，修正指数曲线法是一种有效的数学模型，能够描述和预测许多自然现象和社会现象的发展趋势。
它可以帮助我们更好地理解事物的本质，并为我们提供了一种科学的预测方法。
时间序列预测方法
81
12.1
-24.2
4
48.4
16
13.1
-13.1
1
13.1
1
14.3
0
0
0
0
14.4
14.4
1
14.4
1
14.8
29.6
4
59.2
16
15.0
45.0
9
135.0
81
12.3
49.2
16
196.8
256
11.2
56.0
25
280.0
625
9.4
56.4
36
338.4
1296
8.9
62.3
49
436.1
16 零 售 12 量
（亿件）8
4
零售量
趋势值
0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
（二）指数曲线(Exponential curve) 用于描述以几何级数递增或递减的现象 1、一般形式为
Yˆt abt
▪ a、b为未知常数 ▪ 若b>1，增长率随着时间t的增加而增加 ▪ 若b<1，增长率随着时间t的增加而降低 ▪ 若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
47.50
49
57.00
64
66.50
81
76.00
100
85.50
121
95.00
144
104.51
169
114.01
196
123.51
225
133.01
指数曲线法
指数曲线预测模型：ae y bt t =ˆ a>0指数曲线模型的求解步骤：1．指数曲线模型的适用范围：时间序列各期观测值的一阶差比率（y y t t 1-）大致相等。
2．描绘散点图，根据图形判别，呈指数曲线形态。
3．进行对数转换：bt a y t+=ln ln 4．利用最小二乘法求模型参数A 和b 。
5．进行预测。
§7.2 修正指数曲线法1．修正指数曲线预测模型c y ttb a +=ˆ 2．修正指数曲线预测模型的适用范围：在一段时间内按指数曲线增长，随着时间的推移，增长趋势会减缓以至于停滞。
或一阶差的一阶比率大致相等（y y y y t t t t211-----）3．三和值法将数据序列分成个数相等的三组。
将各组数据分别代入修正指数曲线预测模型对每组数据两端求和，得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11c b na I cn⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11c b na II cn ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11c b na III cn 系数的表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=I II II III n c 1 ()()121---=c n c I II b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111c b I n a c n4．预测。
§7.3 生长曲线法1．当事物经历发生、发展、成熟和衰老几个阶段时，其规律用生长曲线法来描述。
2．事物生长过程规律曲线近似于S 曲线。
3．两种最常用的生长曲线为：龚珀兹曲线、皮尔曲线。
4．龚珀兹曲线模型：a b tk y =ˆ，待定参数是k 、a 、b 。
5．龚珀兹曲线模型适宜于对处于成熟期的商品进行预测。
6．龚珀兹曲线参数求解法：基本思想三和值法。
将数据取对数将对数数据分成相等的三组将取对数后的各组数据求和，分别记为I ，II ，III 。
系数的表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=I II II III n b 1()()121lg --⋅-=b n b I II a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅---=a b I n k bn lg 111lg 查反对数表，求出k ，a ，b 。
经济预测与决策习题 审核后(1)(1)
广东商学院习题------------------------------------------------------------------------------------一、选择题（10小题，每题2分，共20分）1．经济预测的基本原理有(ABCD )。
A．惯性原理 B．类推原理C．相关原理 D．概率推断原理2．经济预测按预测范围分类分为( AB )。
A. 宏观经济预测B. 微观经济预测C. 定性经济预测质D. 定量经济预测3．德尔斐法的特点有( ABC )。
A．匿名性 B．轮间反馈性C．预测结果收敛性 D．综合性4．表达德尔斐法的统计结果通常采用( ABD )几种方法。
A．计算频率 B．计算中位数、四分点法C．选择评价 D．评分排队法5．变量之间的关系可分为（AB ）。
A．确定的函数关系 B．不确定的相关关系C．确定和非确定函数关系 D．确定的相关关系6．二元线性回归方程统计检验有（AB）。
A．T检验 B．F检验C．D-W检验 D．多重共线性检验7．从影响因素发生作用的效果来看，我们通常把时间序列的总变动分解为以下几种类型（ABCD）。
A．长期趋势 B．季节变动C．循环变动 D．不规则变动8．在时间序列总变动中，反映了事物变化的主要趋势、是事物本质的数量表现的影响因素为（A ）。
A．长期趋势 B．季节变动C．循环变动 D．不规则变动9．季节变动一般是以（BCD ）为一个循环周期。
A．数年 B．一年C．一月 D．一周10．在乘法模式中，除（ A ）的变动值与总变动值的计量单位相同外，其余的变动值都是相对于时间序列的相对量。
A．长期趋势 B．季节变动C．循环变动 D．不规则变动11．对于季度资料，经过两次四项移动平均后的资料比原数据少了（ B ）项数值。
A．两 B．三C．四 D．五12．移动平均法按移动平均数的次数不同，可分为（AB ）A．一次移动平均法 B．二次移动平均法C．一次指数移动平均法 D．二次指数移动平均法13．指数平滑法可分为（ABC ）。
趋势外推预测方法简介
2001 2002 72.3 72.8
2003 73.2
第五章 趋势外推预测方法
5.3 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到 衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的 速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到 快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长 速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎 停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时 生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生 长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过 程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲 线）。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线龚 珀兹曲线和皮尔曲线。
lg yˆ lg k bt lg a （5.3.2）
式（5.3.2）在形式上已与式（5.3.1）表示的修正指数曲线相同。
第五章 趋势外推预测方法
6. 龚帕兹（Compertz）模型
yt kabt
取对数， ln yt ln k (ln a)bt 修正指数曲线。
特征： yt 线性变化。 yt
2 1.75
1.5 1.5
1.25
1 1
0.75
0.5
0.5
0.25
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ln a 0 0 b 1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ln a 0 b 1
第五章 趋势外推预测方法
150 25
125 20
100
15 75
10 50
5
25
环境预测的方法
《环境规划》电子教材环境预测的方法（一）环境预测方法分类与一般预测的技术方法相同，有关环境预测的技术方法也大致分为两类：（1）定性预测（直观预测）法定性预测法是指依靠人的直观判断能力对预测事件的未来状况进行直观判断的方法，也称直观判断法，如头脑风暴法、特尔斐法、主观概率法、关联树法等均属定性预测法。
这类技术方法以逻辑思维为基础，综合运用这些方法，对分析复杂、交叉和宏观问题十分有效。
（2）定量预测技术这类方法多种多样，常用的有外推法、回归分析法和环境系统的数学模型等。
这类方法以运筹学、系统论、控制论、系统动态仿真和统计学为基础，其中环境系统的数学模型对定量分析环境演变，描述经济社会与环境相关关系比较有效。
（二）环境预测典型方法简介（1）定性预测法1）头脑风暴（思维共振）法头脑风暴法是通过专家（微观智能结构）之间的信息交流，引起“思维共振”，产生组合效应，形成宏观智能结构，进行创造性思维的方法，也可称之为“思维共振法”，包括直接头脑风暴法和质疑头脑风暴法。
2）特尔菲法特尔菲预测法即匿名调查征询法，是目前在世界上组织专家预览中使用最为广泛的一种定性预测方法。
使用特尔斐法时，必须坚持下面三条原则：不记名。
为了克服参加会议的专家易受权威人士思想和见解束缚的弊端，特尔斐法采用不记名函询方式征求意见。
应邀参加预测的专家互不了解，完全消除了心理因素的影响。
反馈性。
特尔斐法一般要经过三到四轮，每轮都将预测统计结果反馈给每位参加预测的专家，作为下一轮预测参考。
预测结果的统计性。
作定量处理是特尔菲法的重要特点。
为此，特尔斐法每一轮均采用统计方法处理预测结果。
（2）定量预测法1）约束外推预测法约束外推预测法是指在一个系统的大量随机现象中求得一定的约束条件（即规律），据此规律推断系统未来状态的一种方法。
这里谈的“外推”也包括“内推”，即内插。
时间序列预测法。
此方法是以某种环境经济现象在不同时间或地点的统计数据所组成的时间序列为依据，分析其依时间变化的规律，推断它们未来的发展水平和趋势的一种定量预测方法。
经济预测习题集
《经济预测学》作业题第一章绪论一、名词说明预测经济预测平均误差均方误差二、问答1．经济预测的作用是什么?2．经济预测的条件有哪些?3．经济预测产生误差与失误的缘故有哪些?4．一样来讲，预测的程序是什么?5．简述经济预测与经济打算的关系。
三、填空1．经济预测中的连贯性原理是指从__________________________来看，其进展的各个时期具有连贯性。
2．经济预测中的类推性原理是指______________________有必然的规律性。
3．经济预测按预测结果的属性分类分为___________________和___________________。
4．定量预测的数学模型是用______________________成立起来的数学等式或不等式。
5．预测报告有两种，一种是__________________________报告，另一种是________________报告。
四、判定并改错1．预测的对象是以后事件或事件的以后情景，它具有不确信性。
2．定性预测中的所谓定性，定的是预测目标以后的进展性质。
3．定量预测中的所谓定量，定的是预测目标与阻碍因素的量。
4．通俗性预测报告主若是供交流和预测机构领导者参考用。
5．标准误差是n次预测的绝对误差的平均数。
五、选择1．经济预测利用的两个大体原理是( )原理。
①连贯性②类推性③一致性④通用性2．超前期预测适用于( )。
①久远计划②中期打算③远景计划④五年打算3．经济预测按预测范围分类分为( )。
①宏观经济预测②微观经济预测③中观经济预测④定量经济预测4．预测学包括( )几个部份。
①预测分析②预测技术③预测应用④预测治理5．经济预测按超前期长短可分为( )①短时间经济预测②中期经济预测③长期经济预测④超长期经济预测6．专题性预测报告的要紧内容包括( )。
①获取和处置数据的方式②预测模型③预测结果④要紧计算程序第二章专家评估法一、名词说明专家个人判定法头脑风暴法交叉阻碍二、问答1．头脑风暴法应遵守哪些原那么?2．如何选择出席头脑风暴会议的专家?3．利用德尔斐法应注意哪些问题?4．交叉阻碍法预测的具体步骤是什么?三、填空1.专家会议法是指依托________________________________________作出专家集体的评判。
指数曲线模型的讲解=
2001 2001
2002 2002
2003 2003
2004
2005 2005
2006 2006
这三点选择方法是： 1、当时间序列的总项数n≥15时，在序列的首尾两端 和正中各取五项数据，求出三个加权平均数，权数 由远及近分别用1、2、3、4、5，用以加重近期信 息在平均数中的比重。这三个加权平均数就作为二 次抛物线上三个点的纵坐标。 2、若9≤n≤15时，则在序列初、中、近期各取三项 求出三个加权平均数，权数由远及近分别用1、2、3。 若为偶数，可删去最初的一个观察期数据
2( R T 2 S ) ˆ c (n 5) 2 ˆ T R 3n 7 ˆ c b n5 3 11 ˆ 121 ˆ ˆ a R 3 b 9 c
同理，三项加权平均时， 参数估计值为：
2( R T 2 S ) ˆ c (n 3) 2 ˆ T R 3n 5 ˆ c b n3 3 7 ˆ 49 ˆ R b c ˆ a 3 9
指数曲线模型的讲解
第一节 直线模型预测法
第二节 多项式曲线模型预测法
第三节 指数曲线模型预测法 第四节 修正指数曲线模型预测法 第五节 成长曲线预测模型
应用趋势延伸法有两个假设前提： （1）决定过去预测目标发展的因素，在很 大程度上仍将决定其未来的发展； （2）预测目标发展过程一般是渐进变化， 而不是跳跃式变化。
直线趋势延伸预测模型与运用平滑技术建立直 线预测模型进行预测的比较
相同点：都遵循事物发展连续原则，预测目标时 间序列资料呈现有单位时间增（减）量大体相同 的长期趋势变动为适用条件。 区别为： （１）预测模型的参数计算方法不同。 （２）线性预测模型中的时间变量取值不同。 （３）模型适应市场的灵活性不同。 （４）随时间推进，建模型参数的简便性不同。 直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
趋势外推预测方法
案例
比较图2和图1 , 并结合表2可知, 表1中数据序 列的图形和数字特征都符合指数曲线模型,，因此， 可以选用模型 ˆ y = ae 得到如下的a，b：a=1510.20，b=0.15 所以, 北京地区生产总值的指数曲线预测模型为
bt t
实例
通过指数曲线预测模型计算得到的预测结果以及残 差值参见表3。从表3中，我们可以看出，对于北京 地区生产总值的预测，所有残差 ε 均小于0.04，因 此预测结果具有较高的可信度。
n −1 I = na + b c −1
c
n −1 nc II = na + bc c −1
n −1 III = na + bc c c −1
2n
系数的表达式： 系数的表达式：
III − II c = II − I
lg y = lg k + b t lg a
（4）取对数后的各组数据求和，分别记为 I，II，III。 （5）解得
1 b −1 III − II n b = ,lg a = ( II − I ) • n 2 II − I ( b − 1) bn − 1 1 lg k = I − • lg a n b −1 Ι • III − ( II ) 2 或 lg k = 1 n Ι + II − 2 III
t t −1
指数曲线模型的差分表
常数
时序(t)
y t = ae
∧
bt
y 一阶差比率（ t
—
yt −1
）
1 2 3
ae b
ae 2b
ae 3b
第四章曲线趋势预测法
S3
3n
yt
t 2n1
nk ab2n1
bn 1 b 1
3）根据三个等式联立求解，可求出三个未
知数k,a,b的估计公式：
修正指数曲线模型的参数估计(续)
b n
S3 S2 S2 S1
a
(S2
S1 )
b (bn
1 1)2
k
1 n
(S1
S2 S1 bn 1
)
龚珀慈曲线模型
如果数据具有如下特征可以考虑为其拟 合一条S形曲线。
皮尔曲线模型的参数估计
三段和为
S1
n t 1
1 yt
S2
2n t n1
1 yt
S3
3n t 2n1
1 yt
皮尔曲线模型的参数估计
参数估计方程为：
b n
S3 S2 S2 S1
a
(S2
S1 )
b 1 b(bn 1)2
k
1 n
(S1
ab
bn 1) b 1
其中，标准误差为：
sy
nt ( yt yˆt )2
n2
可线性化的曲线趋势模型预测法
1、多项式曲线模型 2、指数曲线模型 3、幂函数曲线模型 4、对数曲线模型 5、双曲线模型
多项式曲线模型
多项式曲线模型的一般形式为：
yˆt b0 b1t b2t2 ... bpt p (bp 0)
1.曲线的增长上限K为已知时，可对其线 性化，采用最小二乘法顾及其余的两个 参数。
a
eY bt n ty t
y
b e n t2 ( t)2
修正指数曲线模型的参数估计(续)
2.当K、a、b三个参数均为未知时，模型 无法线性化，此时常用三和法进行参数 的估算。
指数曲线模型的讲解=PPT课件
单位：万担
1983 1984 1985 132.2 156.8 183.6 21.5 24.6 26.8
1985 8 508 1
0.8 406.4 3251.20 6.4
51.2 508.01
1986 9 541 总计 — 3636
0
1
541 4869
9
81 542.61
— 4.3289 1958.74 13349.9 727.684 200.840 3637.8
13
.
解：列表计算有关数据。将计算的结果代入公式
1 R 15 ( y1 2 y2 3y3 4 y4 5 y5 )
S
1 15
(
yd
2
2 yd 1
3yd
4 yd 1
5yd2 )
T
1 15 ( yn4
2 yn3
3yn2
4 yn1
5yn )
19
.
这三点的横坐标也应取加权平均值，即：
16
.
2、用三点法确定待定系数
其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即 ( yi yi ) 0
由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：
2500 2000
销售额 销售额 二次趋势线
1500
1000
500
0
11999966 11999977 11999988 11999999 22000000 22000011 22000022 22000033 22000044 22000055 . 22000066
预测与决策概论 4-曲线趋势预测法
4.2 可线性化的曲线趋势模型预测法
➢ 许多非线性回归模型可以通过变换，转化为 线性回归模型。因而，可以用线性回归来进 行模型参数的估计，从而解决非线性回归的 预测问题。
➢ 计算问题可以通过本书介绍的方法通过手算 解决时序数目较少的预测问题，但更多地应 学会使用统计软件如SPSS等来进行计算。 【详见《数据分析与SPSS应用》一书】
4.3.1 修正指数曲线预测模型
1）模型的形式
yˆt K abt
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2）模型的识别
3）模型的参数估计
模型的参数 k、a、b 的三和值估计法
1. 设观察值的三段和分别为S1，S2，S3
n
2n
3n
S1 yt , S2 yt , S3 yt
t 1
t n1
t 2n1
第四章 曲线趋势预测法
➢ 直线趋势模型预测法 ➢ 可线性化的曲线趋势模型预测法 ➢ 有增长上限的曲线趋势模型预测法
趋势曲线模型的选择
（一）图形识别法： 该法是通过绘制时序图来进行的，即将时间序
列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为
纵轴的图形，观察其变化曲线与各类已知函数 曲线模型的图形（见教材）进行比较，选择较 为接近的模型。
为了加大近期数据的作用，再选择折扣最小二 乘法来建立直线趋势模型。
得到正规方程组:
解得:
1.66557a 12.223b 313.9141 12.223a 91.4798b 2317.0216
a 133.538 b 7.486
y t 133.538 7.486t
用折扣最小二乘法得到的模型的斜率稍大些， 有利于跟踪啤酒产量的未来变化趋势。
yˆt K abt
龚珀兹曲线预测模型
R语言求修正指数曲线模型
R语言求修正指数曲线模型function difn=difn(A)difn=[];A=diff(A);[r,l]=size(A);if r==1&&l>=2for i=1:l-1difn=[difn A(i+1)/A(i)];endendif r>1for i=1:r-1difn=[difn;A(i+1,:)./A(i,:)];endendif (difn-min(difn))<=1returnelsewarning('该指数模型比值只差不小于1') %报错函数 error('')endend上文（difn）为使用指数模型的标准，下文为函数解析计算过程PS：如果需要使用该函数，将两个函数皆要复制，文件名分别为difn与time_analyze%修正指数曲线预测function [time_an,c]=time_analyze(A)%A数据矩阵，第一列为时间，第二列相应数据%已根据散点图判断大致模型,fun为判断出的对应函数%y_t=L-a*b^tB=A;difn(B);[r,l]=size(A);if r>=3if rem(r,3)~=0A(r,:)=[];r=r-1;endfirstA=A(1:r/3,:);secondA=A(r/3+1:r/3*2,:);thirdA=A(r/3*2+1:r,:);b = ((sum(thirdA(:,2:l))-sum(secondA(:,2:l)))./(sum(secondA(:,2:l))-sum(firstA(:,2:l)))).^(r/3);a = (-sum(secondA(:,2:l))+sum(firstA(:,2:l))).*(b-1)./(b.*(b.^(r/3)-1).^(2));L = 3/r*((sum(firstA(:,2:l)).*sum(thirdA(:,2:l))-(sum(secondA(:,2:l))).^2)./(sum(firstA(:,2:l))+sum(thirdA(: ,2:l))-2*sum(secondA(:,2:l))));time_an=@(t) L-a.*b.^(t);c=[L a b];elseeorror('请把数据写成列')endend。
修正指数曲线
数学与统计学院 教师：廖远甦 liaoyuansu@
立本求真 日兴致远
修正指数曲线在Excel中的应用
实验目标： 1. 熟练掌握修正指数曲线的基本原理； 2. 熟练应用excel估计修正指数曲线模型的参数； 3.初步学会应用趋势外推法解决一些实际问题。 实验要求： 1. 实验前认真预习，掌握修正指数曲线的基本原理。 2. 运用Excel，将本实验上机运行。 3. 具体实验项目如下所示，在实验报告中显示结果： 实验工具： 1.电子表格软件Excel；2. 计量经济软件Eviews。
t
（ 5）
修正指数曲线模型
皮尔曲线也能转化成修正指数曲线的形式
L yt 1 a ebt
取倒数得到
（ 6）
1 1 a b t e yt L L
令Yt=1/yt，A=1/L,B=a/L,C=e^(-b),得到
（ 7）
Yt A B C
t
（ 8）
修正指数曲线模型
实验步骤： 1. 对Yt差分，然后取yt的绝对值的对数，对t作回归
1 ln yt ln b 1 ln c t c
（ 1）
由t的系数得到c的初始估计值c0 2. yt对ck^t,t*ck^t作回归
t t yt ak bk ck bk hk t ck
（ 2）
3. 根据ck，hk得到下一个ck+1
ck 1 ck 1 hk
修正指数曲线模型
龚伯兹曲线可以转化成修正指数曲线的形式
yt ka
两边取对数得到
bt
（ 3）
ln yt ln k ln a b