三维过渡等参单元在岩土工程有限元分析中的应用

1
引
言
程的数值分析中，有限元方法也是一种非常重要的 方法[1
－2]
。
有限元计算在现代工程问题的仿真分析中起着 举足轻重的作用，特别是随着现代计算机硬件、计 算科学的飞速发展，有限元几乎成了大型工程安全 评估的不可或缺的手段。在土石坝、边坡等岩土工
几何模型在空间上的离散是有限元前处理中的 重要一环。 有限元网格剖分的质量， 如单元长宽比、 单元形状扭曲程度等，会在一定程度上影响数值计 算的精度。在常用的三维有限元单元类型中，六面
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岩土工程中常用的单元类型
等参单元能适应复杂的曲线边界，网格划分比
在很多文献中， 六面体单元已经有详细的介绍， 这里就不赘述。
较自由。等参单元的出现使得有限元计算向实际工 程问题的推广迈出了重要一步[7]。等参单元是指单 元内的坐标插值和单元内位移场等场函数采用相同 数目的节点参数和相同的插值函数（又称形函数、 试函数或基函数） 。 本文讨论的各种三维线性及二次等参单元模型 如图 1 所示。有些文献中，将等参单元的退化分为 形状退化和节点退化 。节点退化是指边中节点的 减少 （通常是针对高阶单元而讲） ； 而形状退化是指 单元形状的变化，如六面体单元变成了楔形单元、 金字塔单元等。 在土石坝、边坡、隧道等岩土工程的有限元分 析中，通常将所研究的有限元模型离散为六面体单 元。六面体单元相对于适应性更强的四面体单元具
5 13 6 17 18 ζ 14
16
12 11 η
6
15
1
3
(a) 六面体单元 ζ 4
5 10 11 η 7 6 3 2 ξ 1 6 7 10
9 1 5 ξ 2
8
13 12 9 8 3 4 η
(c)四面体单元
(d)金字塔单元
图 1 六面体单元和各过渡单元 Fig.1 Hexahedral element and some transitional elements
Application of three-dimensional transitional isoparametric elements to finite element analysis of geotechnical engineering problems
DONG Wei-xin, WANG Xiang-nan, WANG Yuan, YU Yu-zhen
[8]
3
过渡单元的插值函数和积分格式
有些文献中，仅从六面体等参单元的插值公式
3.1 C0 型单元 出发，将过渡单元理解为单元节点的“合并” ，相应 的插值函数累加作为新的节点的插值函数，如将 图 1(a)的节点 5、 6、 7、 “合并” 8 ， 只需将 N5 N6 N7 N8 作为图 1(d)中金字塔单元的插值函数 N5，N1～ N4 不变。这样处理导致的结果就是，在某些角点出 现雅克比矩阵行列式为 0 的情况。虽然这样处理后 的过渡单元可以应用于有限元计算（因为数值积分 点一般在单元内部，不会出现雅克比行列式为 0 的 情况） ， 但由于过渡单元形态不好， 会导致其精度较 差[6]。所以，过渡单元需要推导其本身的插值函数 和积分格式。
（State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China）
Abstract: In the 3-D finite element analysis of complex geotechnical structures such as earth-rockfill dams, the hexahedral elements with a high precision are generally adopted with being supplemented by some degradation elements as transition. Because of their poor geometric properties, the degradation elements could degrade the precision of the finite element method. One way to overcome such a problem is to adopt transitional isoparametric elements. Here the interpolation functions, integral coordinates and weighting coefficients are summarized for some common transitional elements such as 3D wedge, tetrahedron and pyramid elements and implemented into a finite element program. By comparing the finite element analysis results of an ideal earth dam using hexahedron elements and pyramid elements, respectively, it is shown that the pyramid elements are sufficient with regard to the precision. The three kinds of transitional elements are then used in analyzing a real earth-rockfill dam, and the numerical results show that use of transitional isoparametric elements can improve the computional accuracy to some extent. Finally, the quadratic isoparametric elements are analyzed and adopted in a dynamic analysis of the elastoplasticity problem. Use of the quadratic isoparametric elements can substantially improve the precision in calculating the excess pore pressure. Keywords: geotechnical engineering; finite elements; transitional isoparametric element; interpolation function; integral scheme
第 36 卷第 5 期 2015 年 5 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.05.029
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 No.5 May 2015
三维过渡等参单元在岩土工程 有限元分析中的应用
董威信，王翔南，王 远，于玉贞
（清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084）
第5期
董威信等：三维过渡等参单元在岩土工程有限元分析中的应用
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在这 3 种单元（图 1(b)、(c)、(d)）中，对于四 面体单元和楔形体单元，文献[10] 已给出了其插值 函数和高斯积分方案。 表 1、 2 分别给出了四面体单 元和楔形体单元的高斯积分点局部坐标和积分点权 重。
表 1 四面体等参单元积分点局部坐标和权重 Table 1 Integral coordinates and weighting coefficients of tetrahedron isoparametric element
积分点号 1 2 3 4
其相应的积分格式如表 3 所示。
表 3 节点“合并”所得金字塔单元积分点局部坐标和权重 Table 3 Integral coordinates and weighting coefficients of pyramid isoparametric element by merging nodes
摘 要： 土石坝等复杂土工结构物有限元三维建模中多采用精度较高的六面体单元辅以部分过渡用的退化单元， 而退化单元 由于形态不好，会导致有限元计算精度较差。解决该问题的途径之一是采用过渡性的等参元。总结了几种常遇到的过渡等参 单元（楔形体、四面体、金字塔）的插值函数和高斯积分局部坐标和权重，并编入了有限元程序。通过比较六面体单元和金 字塔单元剖分理想土石坝的有限元计算结果， 说明所引入的金字塔单元是满足精度要求的。 将各种过渡单元应用于实际土石 坝工程的有限元计算，结果表明，使用过渡等参单元是可以在一定程度上提高计算精度的。最后讨论了二次单元在弹塑性有 限元动力计算中的应用。二次单元的使用，可以改善动力计算中的超静孔压分布，提高计算精度。 关 键 词：岩土工程；有限元；过渡等参单元；插值函数；积分格式 文献识别码：A 文章编号：1000－7598 (2015) 05－1455－08 中图分类号：TB 115
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岩
土
力
学Hale Waihona Puke Baidu
2015 年
体单元由于其精度较高而被广泛应用。但是这种单 元对复杂边界的适应性较差，需用过渡单元以便适 应复杂的地质边界条件
[3－ 5]
有更高的精度，但其对于复杂的地质边界难以较好 的剖分。在应用于工程的有限元计算中，一般尽可 能剖分为六面体单元，并辅以必要的其他形状的单 元来过渡，如四面体单元（三棱锥） 、五面体单元 1 （楔形体） 、五面体单元 2（金字塔单元）等[9]。根 据计算精度要求的不同，各种单元类型有 C0 型、 C1 型单元以及更高阶单元。本文将对 C0 和 C1 型单 元进行探讨，分别如图 1 中不含边中节点和含边中 节点两种单元类型。
收稿日期：2013-12-17 基金项目：国家自然科学基金资助项目（ No. 51379103，No. 51179092） ；国家重点实验室项目（ No. 2013-KY-4） 。 第一作者简介：董威信，男，1988 年生，博士研究生，主要从事高土石坝方面的研究工作。E-mail: dwx06@mails.tsinghua.edu.cn 通讯作者：于玉贞，男，1966 年生，博士，教授，主要从事边坡和高土石坝方面的研究工作。E-mail: yuyuzhen@tsinghua.edu.cn
ζ 8 15 7 19 1 9 2 ξ 10 3 12 11 2 (b)楔形单元 ζ η 20 4 5 14 ξ 7 10 13 9 8 4
。土石坝由于施工分级
较多且材料分区复杂，导致网格剖分比较困难。 解决该问题的途径之一是将几何模型全部剖分 成六面体单元，其优点是整体精度较高，但其缺点 也很明显，即在复杂边界的细部或材料分区交界处 需要剖分大量的细小单元以实现渐进过渡，这不仅 要花费大量的时间和精力，还会因产生大量的节点 和单元而增加有限元计算规模。 解决该问题的另一途径是在复杂的边界处采用 退化的过渡性六面体单元，即四面体单元、楔形单 元和金字塔（四棱锥）等按六面体单元处理，采用 六面体单元的形函数，这不可避免地出现实际一个 点表示两个或多个节点的现象。这种方法的优点是 编程简单，整体单元数和节点数较少，计算速度较 快，而其明显的缺点是在很多情况下精度较低[6]。 还有一种解决问题的途径是，在复杂的边界条 件或材料分界处采用混合的等参元过渡，即四面体 单元、楔形单元和金字塔（四棱锥）等采用各自的 形函数，而不是按六面体单元处理。这种方法的优 点是，既能使网格数目适中，又能保证计算具有较 高的精度，其缺点是在划分网格时要区分不同的单 元类型。本文将对这一方法进行总结和讨论。 另外，在某些情况下，如渗透系数很小时的动 力固结分析，需要用到高阶单元。本文也引入了各 过渡单元的二次单元的插值形式，并进行了弹塑性 有限元动力计算。