三维过渡等参单元在岩土工程有限元分析中的应用
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
岩土工程数值分析试卷试题及参考(附答案)
岩土工程数值分析试题一、简答题（40分）1．简述梁单元、杆单元、连续梁单元、平面三角形常量单元和四边形等参单元的特点（10分）。
答：1）梁单元是由两个节点组成，每一个节点都具有三个方向的线性移动位移和三个方向的旋转位移，因而每个节点具有6个自由度，梁单元具有拉，压，剪，弯，扭的变形刚度。
计算理论成熟，建模方便,计算量小，在工程结构有限元分析中得到广泛的应用，适用于各种截面形式的杆件分析。
2）由有限个构件以一定方式连接起来所形成的结构，在同一平面内的杆系结构，其所受的外力作用线位于该平面内，在杆系中，每一个杆件可视为一个单元，每个单元的端点成为结点。
3）对于每跨各自等截面的连续梁，以每跨为一个单元。
结点编号和单元编号一般是从连续梁的左端顺序编到右端。
由于连续梁各单元的轴线方向一致，各单元坐标系与结构坐标系的方向相同，因此在矩阵位移法的计算过程中无须进行坐标变换，在单元坐标系和结构坐标系中单元刚度矩阵的表达式是相同的。
4) 平面三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。
其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。
5) 四边形等参单元能更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，常使用于弹性力学平平面问题的分析。
八结点单元一共有16个已知的结点位移分量。
2．除有限单元法外，岩土工程常用到哪些数值方法，并对比其优缺点(10分)。
答：岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。
有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。
有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。
即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。
等参单元及其应用
等参单元及其应用摘要本文主要讲述等参单元的原理及其对有限元法工程应用的意义。
等参单元的数值积分方法，等参单元刚度矩阵的数值积分方法及确定积分阶的原理。
全积分、减缩积分单元讨论和评价。
线性等参单元和非协调元，全积分、减缩积分线性等参单元和非协调元有关问题的分析讨论。
关键词等参单元; 数值积分; 应用1.引言用有限元法划分单元时，单元的节点数越多，单元精度越高。
因此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面体单元。
但单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。
所有上述单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。
解决上述矛盾的途径是突破矩形单元和长方体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。
任意四边形和任意六面体单元的位移模式和形函数的构造不能沿用前面构造简单单元时采用的总体坐标多项式位移函数插值的方法，必须通过所谓的等参变换建立单元局部坐标，采用相同的插值函数对单元节点的总体坐标和节点位移在单元上进行插值。
这类单元称为等参单元。
等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。
2.等参单元的数值积分方法2.1 高斯数值积分的基本概念一维高斯数值积分公式：i ni i H x f dx x f I )()(111∑⎰=-== 其中：积分点-i x ，积分点数目，积分阶-n ，权重系数-i H结论：n 阶高斯积分公式对 2n-1 次多项式被积函数可求得精确积分！ 同理，对二维高斯积分：),(),(111111i i j n i nj i F H H d d F I ηξηξηξ∑∑⎰⎰==--==积分公式对ξ，η方向最高方次为 2n-1 的多项式可求得精确值。
2.2 减缩积分的原理实际应用中选取的积分阶往往可以低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数，这种积分方案称为减缩积分。
三维高次等参元退化单元在有限元中的应用
Ｅ Ｃ设 计效 果非 常好 。 Ｍ
５ 结论 和建议
通 过两种 不 同机车 的 Ｅ ＭＣ设 计 可 以看 出 ，严格 遵 循 Ｅ ＭＣ设 计原则 ，先 将所有 电缆 进行 分类 ，在 实 际布 线 中将不 同类别 的 电缆 尽 可 能分 开 、金 属 薄 板 和屏 蔽 等 方式 进 行分 离 ，使用绞 合 电缆 和 绞 合缆 芯 ，安装 时 尽 可能 靠 近机 车 的 导 电结 构 ，使 用 金 属 线 槽 ，屏 蔽 多 点 接地 ， 接地 线尽 可 能 得 短 ，接 地 在 尽 可 能 大 的 面积 上进 行 ，
中 图 分 类 号 ：Ｏ ４ ．２ ２ １８ 文 献 标 志 码 ：Ａ
周伟 （９ ２ １８ 一）男 ，湖南 宁乡人 ，硕士生 （ 收稿 日期 ：２０ — ７ ６ （ ７ ０ —２ ） １
（）控制 用导线 、行 车 安 全 设 备线 和 电 台线 采 用 １
预布线 型式 ，车下 预 布 好后 吊装 上 车 即 可 ，导线 位 于 车体 两侧顶 上 的布线 槽 内 ，布 线 槽 采用 铝 制 线 槽 ，各 线 槽 间用编 织线互 连 ，线槽 就 近多 点接地 ； （ ）牵 引 电机线 和辅 助 电路 导 线 位 于 中 间走 廊地 ２ 板下方 ，也采 用预 布线 型式 ，车下 预 布好 后 吊装 上 车
况下单元节点插值 形函数 的构造 和修改 ，研究 了混合单元 的有限元求解流程 ，并编写了相关 的求解程序 ，通过 具体算例比较 了混合单元 与全六 面体等参元 网格 的计算情况 ，结果表 明三维高次等参单 元及 其退化单元 的混合
应用不仅可以适应较 为复杂 的空 间实体计算 网格 ，而且还能满足精度上的要求 ，具 有重要的工程意义 。 关键词 有限元 ；等参元 ；退化单元
有限元分析与应用详细例题
《有限元剖析与应用》详尽例题试题 1：图示无穷长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元剖析，并对以下几种计算方案进行比较：1）分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别采纳不一样数目的三节点常应变单元计算；3）入选常应变三角单元时，分别采纳不一样区分方案计算。
一．问题描绘及数学建模无穷长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无穷长的地基看着平面三角形的底边受固定支座拘束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。
二．建模及计算过程1.分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算下边简述三节点常应变单元有限元建模过程（其余种类的建模过程近似）：进入 ANSYS【开始】→【程序】→ANSYS → ANSYS Product Launcher → change the working directory→ Job Name: shiti1 → Run设置计算种类ANSYS Main Menu: Preferences → select Structural→ OK元型元是三节点常应变单元，能够用 4 节点退化表示。
ANSYS Main Menu: Preprocessor→ Element Type→ Add/Edit/Delete→ Add→ select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options ⋯→ select K3: Plane Strain →OK→ Close (the Element Type window)定资料参数资料，可找的参数并在有限元中定，此中性模量E=210Gpa，泊松比 v=。
ANSYS Main Menu : Preprocessor → Material Props → Material Models→ Structural→ Linear→Elastic → Isotropic→ input EX:, PRXY:→ OK生成几何模型生成特点点ANSYS Main Menu: Preprocessor→Modeling→ Create→Keypoints→ In Active CS→挨次入四个点的坐：input:1(0,0),2(3,0),3(6,0),4(3,5),5(0,10),6(0,5) → OK生成体截面ANSYS Main Menu: Preprocessor→Modeling→ Create→ Areas→ Arbitrary→ Through KPS→挨次接1,2,6;2,3,4;2,4,6;4,5,6 三个特点点→ OK网格区分ANSYS Main Menu : Preprocessor→ Meshing→ Mesh Tool→ (Size Controls) Global: Set→ input NDIV: 1→ OK → (back to the mesh tool window)Mesh: Areas, Shape: Tri, Free → Mesh → Pick All (in Picking Menu) → Close( the Mesh Tool window)模型施加束分下底和直的施加x 和 y 方向的束ANSYS Main Menu: Solution→ Define Loads→ Apply→ Structural→ Displacement→ On lines →底→OK → select:ALL DOF → OK斜施加x 方向的散布荷ANSYS 命令菜: Parameters→ Functions→ Define/Edit→ 1)在下方的下拉列表框内x ,作置的量；2) 在Result窗口中出{X},写入所施加的荷函数：1000*{X} ；3) File>Save(文件展名：func)→返回：Parameters→ Functions→ Read from file：将需要的.func文件翻开，任一个参数名，它表示随之将施加的荷→ OK→ ANSYS Main Menu: Solution→ Define Loads→ Apply→Structural→ Pressure→ On Lines→拾取斜；OK→在下拉列表框中，：Existing table (来自用定的量)→ OK →需要的荷参数名→OK剖析算ANSYS Main Menu: Solution→Solve→ Current LS→OK(to close the solve Current Load Step window)→OK果示确立目前数据最后步的数据ANSYS Main Menu: General Postproc→ Read Result→ Last Set看在外力作用下的形ANSYS Main Menu: General Postproc→ Plot Results → Deformed Shape→select Def + Undeformed→ OK看点位移散布状况Contour Plot→ Nodal Solu⋯→ select: DOF solution→Displacement vctor sum→ Def + Undeformed→OK看点力散布状况Contour Plot→ Nodal Solu⋯→ select: Stress→ XY shear stress→Def + Undeformed → OK退出系ANSYS Utility Menu: File→ Exit ⋯→ Save Everything→ OK三．结果剖析三节点常应变单元（ 6 个节点， 4 个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力争，节点应变图六节点常应变单元（ 6个节点， 4个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力争，节点应变图分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算结果比较单元区分方案变形大小应力大小应变大小值的比较剖析三节点三角形DMX:DMX:DMX: 1.最大变形值小；单元SMX:SMN:2778SMN: 2.最大应力值小；SMX:8749SMX: 3.最大应变值小。
岩石力学三维有限元分析的代数多重网格求解法
第25卷第11期岩石力学与工程学报V ol.25No.11 2006年11月Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Nov.，2006岩石力学三维有限元分析的代数多重网格求解法谢学斌1，肖映雄2，舒适3，潘长良1(1. 中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083；2. 湘潭大学基础力学与材料工程研究所，湖南湘潭 411105；3. 湘潭大学计算与应用数学研究所，湖南湘潭411105)摘要：多重网格法是一种求解由偏微分方程边值问题所导出的代数方程组的快速算法，几何多重网格法存在某些缺陷，影响它的推广应用。
采用代数多重网格法求解岩石力学三维有限元离散线性方程组，简要介绍代数多重网格三维粗网格形成方法与三维插值算子，利用研制的基于代数多重网格法的三维有限元程序进行一系列数值试验。
结果表明：代数多重网格法求解各种复杂计算条件下岩石力学三维有限元方程时具有良好的收敛特性和较强的适应能力，计算效率远高于直接法求解器，为大规模岩土工程三维有限元分析提供一种快速有效的方法。
关键词：岩石力学；代数多重网格法；粗化技术；插值算子；三维有限元；数值方法中图分类号：TU 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)11–2358–06 ALGEBRAIC MULTIGRID METHOD FOR THREE-DIMENSIONAL FINITE ELEMENT ANALYSIS OF ROCK MECHANICSXIE Xuebin1，XIAO Yingxiong2，SHU Shi3，PAN Changliang1(1. School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha，Hunan410083，China；2.Institute of Fundamental Mechanics and Material Engineering，Xiangtan University，Xiangtan，Hunan411105，China；3. Institute of Computational and Applied Mathematics，Xiangtan University，Xiangtan，Hunan411105，China)Abstract：Multigrid method solver is of high numerical efficiency when used in solving linear equations derived from boundary-value problems of partial differential equations. There are some shortages in geometrical multigrid method which restricts its application area. The algebraic multigrid method is used to solve finite element linear equations which are derived from three-dimensional finite element analysis of rock mechanics and engineering. The three-dimensional coarse-grid selection method based on element agglomeration and the three-dimensional interpolation operator are briefly introduced. By using the newly developed three-dimensional finite element program based on algebraic multigrid method，four different numerical experiments are designed，and carried out to validate its convergence character，numerical efficiency and practical application to modeling excavation problem of rock engineering. The numerical experiments show that the algebraic multigrid method is of better stability，good convergence character and better adaptability，with much higher numerical efficiency with increasing of the number of linear equations and much less computer memory compared with direct method. Increasing. The algebraic multigrid method has much better numerical efficiency. The algebraic multigrid method is suitable and efficient for three-dimensional finite element modelling of large-scale geomechanical engineering. Key words：rock mechanics；algebraic multigrid method；coarsening technique；interpolation operator；three-dimensional finite element；numerical method收稿日期：2005–12–28；修回日期：2006–06–05基金项目：国家自然科学基金资助项目(10376031)；高性能科学计算研究资助项目(2005CB321702)作者简介：谢学斌(1968–)，男，博士，1989年毕业于中南工业大学采矿工程专业，现任副教授，主要从事岩土工程数值模拟研究和岩土灾害防治方面的教学与研究工作。
有限元分析与应用 第6讲、等参单元
我们可以看到,位移插值函数公式(3)和 坐标变换公式(4)具有完全相同的形式,它们 用同样数目的对应节点值作为参数,并有完 全相同的形状函数 N (ζ ,η ), 作为这些节点 值前面的系数,我们称具有这种特点的单元 为等参数单元
i
等参变换步骤: 等参变换步骤
1找变换 x = x(ξ ,η ), y = (ξ ,η ) ,使x0y面上的任意四边形变成在 上的边长为2的正方形.
1 4 1 4 1 4 1 4
(1 − ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )
利用节点处得（ξ,η）坐标，上式可以写成统一得形式:
1 Ni (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
其中（ξi,ηi）为
ξoη 面
2在 ξoη 面上构造多项式插值函数 N k (ξ ,η ) 满足µ = ∑ N k (ξ ,η )µ k
3再变回xoy即: µ = ∑ N k (ξ ( x, y ) η ( x, y ))µ k = ∑ N k ( x, y )µ k 由于在 ξoη 面交界两测 u是连续的,xoy 面上也同样连续,但现在 N k (x, y )已经不 再是x,y的多项式了.
等参数单元平面问题变换的有限元格式
前面讲的建立有限元计算格式的推导过程中,前几步的主要 目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数,或求出单元形 状函数,后几步的主要目的是求出单元刚度矩阵,然后是用已知节 点位移计算应力。对于等参数单元,上面得到了四节点四边形等 参数单元的形状函数,下面主要讨论单元刚度矩阵的形成。 单元应变—单元位移—节点位移之间的关系. 由平面问题几何方程和位移插值公式(3)有:
岩土工程极限分析有限元法及其应用 张文君
岩土工程极限分析有限元法及其应用张文君摘要：在经济迅速发展的形势下，我国的各行各业都在自己的领域不断发展与进步，当然岩土工程也不例外，作为人类赖以生存和发展对象（岩土体），服务于人类的重要工程项目，为保障岩土工程特别是各类建设工程的建造质量和投资效率，科学合理地利用岩土体，确保工程项目顺利建成，运用有限元分析对岩土工程进行解读和利用是很有必要的，但是，就目前情况而言，岩土工程有限元分析中还存在着一些问题，这将直接影响工程的建造质量。
此文就岩土工程极限分析有限元法相关问题的解决方案展开分析。
关键词：岩土工程；有限元分析；若干问题；风险一、前言岩土工程是一种涉及诸多学科的项目类型，涉及岩土勘察、治理设计、施工规划和风险处理。
岩土工程可选择有限元分析的方式，完成对岩土工程的风险分析、岩土工程稳定分析等。
但是，在实际岩土工程有限元分析中，一些问题是确实存在的，这些问题影响了岩土工程的稳定性分析评价、设计思路与原则、治理措施选定等，可能会导致岩土工程治理以及安全事故的发生，亟需改进。
基于此，本文对岩土工程有限元分析展开解读，分析具体存在的几点问题，具体内容如下。
二、简述岩土工程理论的形成及发展岩土工程理论从时间段上看，可以大致分为以下几个时期：首先，原始时期人类对岩土可以用于抵御自然气候及凶猛动物的基本认知；其次，西方国家开展岩土工程实践，如修建地铁等，在此过程中所形成的基于岩土和水电利用及防护的认知；第三，工程力学的分支之一，土力学的诞生为研究土体与地质作用之间的应力关系提供了理论支撑及指导,岩土工程理论在此时期获得了较快发展，第四，进入近代社会后,在岩土信息勘察及工程施工技术的联合促进下，岩土工程理论的精度和广度都有了大幅扩展，岩土工程理论趋于成熟。
作为我国岩土工程理论来讲，其在形成发展中实现了与水文地质、工程地质、环境地质等水工环地质理论的互相融合,并在一些大型水电工程建设实践的印证下,对理论内容不断加以丰富及拓展，形成了岩土工程理论与实践并行,国内外岩土工程理论并存的理论架构体系。
应用有限元分析工程实例-3
A是单元面积，t是单元厚度，
ggx,gy
T
d x d y d e tJ d d
* 表面力
等效节点载荷计算公式 s e 表示载荷作用的边界
e
F q se
N T q td s
(2 1 )
载荷作用边的法矢量（假作用在边12上）：
n
1
x
2
y
2
y
xT
表面力表达式
q q qxy qn
q
x2 y2
Ni
Ni x
x
Ni y
y
Ni Ni x Ni y
x y
Ni x yNi Ni
(i 1,2,3,4)N ix yN xiJN xi
y y
(4.12)
x
雅可比矩[阵J]
x
y
Ni
xi
y
Ni
xi
Ni
yi
Ni
yi
y
J 1
1
det
J
x
y
x
式（4.12）两边左乘 J 1 ，得 N Nii //yx J1 N Nii //
4节点单元： 在单元内，位移随坐标线性变化，应变和应力为常数。 8节点单元（ 9节点单元）： 在单元内，位移为坐标的二次函数，应变和应力随坐标线性变 化。可以模拟复杂边界，精度高。 5-7节点单元： 用于单元网格过度。 退化单元（3-6节点单元） 易于网格剖分，单元网格过度。 （2）按适用的力学问题，二维实体等参单元可分为： 平面应力单元、平面应变单元、平面轴对称单元。
（7） 单元等效节点载荷
计算原理和方法与三角形节相同，区别主要在于积分是在局部坐标系下进行的。
* 体积力: 体积力等效的节点载荷公式：
边坡滑动面三维空间有限元分析_张国祥
第16卷 第4期2003年10月中 国 公 路 学 报China Journal of Highw ay and TransportVo l.16 No.4Oct.2003文章编号:1001-7372(2003)04-0025-05收稿日期:2002-10-25作者简介:张国祥(1962-),男,湖南邵阳人,中南大学副教授,工学博士.边坡滑动面三维空间有限元分析张国祥,刘宝琛(中南大学土木建筑学院,湖南长沙 410075)摘 要:提出了一种用三维潜在滑移面法分析三维边坡滑动面及稳定性的新方法,该方法根据弹塑性有限元的应力分析结果,用数值积分方法确定边坡的潜在滑移面、最危险潜在滑移面和边坡稳定性安全系数,具有充分的理论依据。
通过对大量三维边坡实例的稳定性安全系数及最危险滑动面的分析得出,三维边坡按平面边坡处理会引起较大的分析误差,三维边坡应该按三维问题进行分析。
关键词:道路工程;三维边坡滑动面及稳定性;三维潜在滑移面法;弹塑性有限元中图分类号:U416.14 文献标识码:AAnalysis of slope slip surface by three -dimensionfinite element methodZHANG Guo -xiang ,LIU Bao -chen(Schoo l o f Civ il Eng ineering and A r chitecture,Cent ral South U niv ersit y,Chang sha 410075,China )Abstract :A new method in which the three -dimension slo pe slip sur face and stability can be ana-lyzed by the po tential slip surface theor y is presented in this paper.Acco rding to the stress analy-sis results of elastic-plastic finite elem ent metho d,the m ethod makes sure of potential slip sur-faces ,the m ost dangero us potential slip surfaces and stability safety factor of slope by m eans of numerical v alue integral,and the m ethod has tight theoretical basis.T hr oug h analysis of many thr ee-dim ension slope eng ineer ing ex am ples,it sho w s that the slope stability safety factor and the most dang er ous slip surface using the tw o -dim ension metho d are quite different fr om that using thr ee -dimension metho d ,and the three -dimensio n slope sho uld be analyzed by the three -dimen-sion m ethod.Key words :r oad engineering ;three-dim ensio n slope slip surface and stability ;three-dim ension po tential slip surface theory ;elastic -plastic finite element metho d0 引 言在岩土工程中很多边坡问题都属于三维边坡问题,只因按三维边坡问题处理起来太复杂,暂无比较完善的三维边坡稳定性分析方法,常常将其简化为平面边坡来处理。
有限元作业——精选推荐
有限元作业等参单元的原理及应⽤摘要：在平⾯问题的有限元法中，最简单因⽽最常⽤的是具有三个节点的简单三⾓形单元，其次是具有四个节点的矩形单元。
矩形单元能较好地反映实际盈利的变化情况，但是矩形单元不鞥适应曲线边界和⾮正交的直线边界，也不能随便改变其⼤⼩，如果改⽤任意四边形单元，则在相邻两单元的公共边界上，位移将不是相性变化，公共边上位移的连续性将得不到保证。
利⽤等参变换，则可以解决这个⽭盾。
关键字：等参单元；有限元⽅法；Newton-Cotes 积分；刚度矩阵；1概述部分：1.1等参单元的概念及其原理所谓的等餐变换是指单元的位移模式与坐标变换表达式中具有完全相同的插值函数的变换。
采⽤等参变换的单元即称为等参单元。
对于如图1.1（a ）所⽰的任意四边形单元，参照前⾯源于矩形单元的位移模式，可以取+++=+++=4433221144332211νννννN N N N u N u N u N u N u （1-1）图1.1 等参单元⽽其中的形函数为：()()1114i i i N ξξηη=++ （1-2）式中：ζ、η为该四边形单元的局部坐标，ζi 、ηi 为四个⾓节点的局部坐标值，其值为：（1-3）由公式（1-1）、（1-2）可以看出，该位移模式在四个节点处给出节点位移。
⽽且，在单元的死边上，位移是线性变化的，从⽽保证了位移的连续性，因此，式（1-1）、（1-2）就是所需的正确的位移模式。
同时，如果效仿位移模式式（1-1）、（1-2），把坐标变换式取为：+++=+++=4433221144332211x N x N x N x N y x N x N x N x N x （1-4）也显然可见，该变换式在四个节点处给出节点的整体坐标；⽽且，在单元的四边上，⼀个局部坐标等于±1，⽽另⼀个局部坐标是线性变化的，从⽽课件，整体坐标也是线性变化的。
因此，式（1-4）就是所需的正确的坐标变换式。
在这⾥，图1-1（b ）中的正⽅形单元称为基本单元或母单元，⽽图1-1（a ）中的任意四边形单元，是由该基本单元通过变换⽽得来的实际单元。
非线性有限元在结构分析中的应用综述
非线性有限元在结构分析中的应用综述摘要：钢筋混凝土结构在土木工程中应用越来越广泛，随着理论研究的进一步深入和电子计算机的飞速发展，钢筋混凝土非线性有限元法得到了迅速的发展，尤其近几年来，在结构分析领域，钢筋混凝土非线性有限元法的应用日趋普遍。
因为非线性有限元法具有“全过程仿真”的特点，对于钢筋混凝土这种应用最为广泛而又复杂的结构更是有着其他方法无法比拟的优势。
从钢筋混凝土非线性有限元分析理论及其在结构工程中的应用说明了钢筋混凝土非线性有限元分析已成为结构分析中不可或缺的关键部分。
关键词：结构分析;非线性;仿真;有限元分析钢筋混凝土结构是土建工程中应用最为广泛的一种结构。
但是对钢筋混凝土的力学性能掌握的还不够全面，特别是混凝土。
因为混凝土成分复杂、性能多样。
长期以来，人们用线弹性理论来分析钢筋混凝土结构的应力或内力，以极限状态的设计方法确定构件的承载能力、刚度、和抗裂性，显然二者是互不协调的。
非线性有限元分析就是结合钢筋混凝土特点而新发展起来的一种弹塑性分析方法。
有限元分析方法能够给出结构内力和变形发展的全过程;能够描述裂缝的形成和扩展，以及结构的破坏过程及其形态;能够对结构的极限承载能力和可靠度作出评估;能够揭示出结构的薄弱部位和环节，以利于优化结构的设计。
同时，它能广泛地适应于各种结构类型和不同的受力条件和环境。
一、有限元方法发展概况最早把有限元分析方法用于钢筋混凝土结构的是美国学者D.Ngo和A.C.Scordelies，在他们的研究中，沿用已有的有限元方法，将钢筋和混凝土均划分为三角形单元，用线弹性理论分析钢筋和混凝土的应力;并针对钢筋混凝土结构的特点，在钢筋和混凝土之间附加了一种粘结弹簧，从而可以分析粘结应力的变化;对于裂缝，他们根据实验，预先设置了一条剪切斜裂缝，裂缝间也附加了特殊的连结弹簧，以模拟混凝土裂缝间的骨料咬合力和钢筋的销栓作用。
1968年，Nilsson等人发展了Ngo的工作，将钢筋与混凝土之间的非线性粘结关系及混凝土的非线性应力应变关系引入有限元分析。
3D技术在岩土工程中的应用
3Ｄ技术在岩土工程中的应用[摘要]由于三维可视化技术是将空间数据信息转换成三维图形，对大量数据处理具有高效性和直观性，该技术在岩土工程领域中已经得到了广泛的应用。
主要介绍可视化技术在岩体的三维建模、三维数值模拟分析及岩体结构的三维网络模拟研究中应用。
从而证明了可视化技术在岩土工程中的应用研究中具有十分重要的意义。
[关键词]岩体三维可视化建模数值模拟岩体结构近年来，随着可视化技术的迅速发展，可视化技术在岩土工程领域中已经得到了广泛的应用。
所谓可视化就是对人脑印象构造过程的一种仿真，以支持用户的判断和理解。
具体地说，它将科学计算过程中及计算结果所产生的数据转换成图形或图像信息，并可进行交互式分析。
可视化技术成为信息爆炸时代人类分析和驾驭信息的有力工具。
三维可视化技术是当前计算机科学研究中的热点之一，需要研究合理的空间算法，实现在三维空间中真实地再现现实世界，并为用户提供方便、快捷、直观的显示手段。
目前，可视化技术在岩土工程中的应用主要有以下几个方面：①岩体的三维建模系统，②岩体的三维数值模拟分析，③岩体结构的三维可视化研究。
通过三维可视化图形显示结构面，使地质工程师直观地看到岩体结构面空间的几何形态、相互关系和分布，准确地进行科学分析，对地质问题作出合理与科学的结论和决策。
一、岩土工程中三维可视化的研究内容科学可视化技术实际上是将科学计算过程中及计算结果所产生的数据转换成图形或图像信息，并可进行交互式分析。
计算机在图形设备上生成真实感三维图形必须完成4个基本任务: a.用数学方法建立所需三维场景的几何描述，并将它们输入计算机。
b.将三维几何描述转换为二线透视图，这可通过对场景的透视变换来完成。
c.确定场景中的所有可见面，这需要使用隐藏面消除算法将视域之外或被其他物体遮挡的不可见面消去。
d.计算场景中可见面的颜色，严格地说，就是根据基于光学物理的光照明模型计算可见面投射到观察者眼中的光亮度大小和色彩组成，并将它转换成适合图形设备的颜色值，从而确定投影画面上每一像素的颜色。
三维有限元强度折减法在岩质边坡稳定性分析的应用研究的开题报告
三维有限元强度折减法在岩质边坡稳定性分析的应用研究的开题报告一、选题背景岩质边坡的稳定性分析是岩土工程领域的重要研究方向之一。
随着计算机技术和数值模拟方法的不断进步，三维有限元法成为了岩质边坡稳定性分析的主流方法之一。
然而，三维有限元法在边坡分析中的应用受到了诸多因素的制约，例如计算量大、计算时间长等。
为了克服这些问题，学术界提出了强度折减法，即通过对模型中一些无关紧要的部分进行削减或简化，来减少计算量和计算时间。
强度折减法已经在岩石力学、煤岩岩体稳定性、深部岩体开挖等领域取得了较好的应用效果。
因此，本研究拟采用三维有限元强度折减法来分析岩质边坡的稳定性，探索强度折减法在岩质边坡分析中的应用效果。
二、研究内容及方法本研究的研究内容主要包括以下几个方面：1. 岩质边坡的稳定性分析方法探讨2. 三维有限元强度折减法的理论基础和原理分析3. 利用三维有限元软件建立岩质边坡模型并进行强度折减分析4. 分析不同折减方案对边坡稳定性的影响5. 分析岩质边坡的变形和破坏机制本研究采用文献调研和实验仿真相结合的研究方法。
首先，通过文献调研学习岩质边坡的稳定性分析方法和三维有限元强度折减法的理论基础。
然后，利用三维有限元软件建立岩质边坡模型，并对模型进行强度折减分析，观察不同折减方案对边坡稳定性的影响。
最后，分析岩质边坡的变形和破坏机制。
三、研究意义通过采用三维有限元强度折减法来分析岩质边坡的稳定性，可以有效减少计算量和计算时间，提高分析效率和精度。
同时，本研究可为岩质边坡稳定性分析提供新的思路和方法，对于岩土工程领域的理论研究和实际工程运用具有重要的意义。
四、预期成果本研究预期实现以下几个方面的成果：1. 探讨三维有限元强度折减法在岩质边坡稳定性分析中的应用原理和方法。
2. 建立合理的岩质边坡模型，并对模型进行强度折减分析。
3. 分析强度折减对边坡稳定性的影响，探索最优的折减方案。
4. 分析岩质边坡的变形和破坏机制，提供较为准确的预测和分析结果。
浅谈有限元技术在岩土工程中的应用
科技信息工程技术浅谈有限元技术在岩土工程中的应用李 源1 边辉颜2 冯天明3( 1. 石家庄经济学院工程学院; 2. 石家庄经济学院校园规划处; 3 . 石家庄经济学院教务处)[ 摘 要] “有限元”技术经历了几十年的发展历史, 在其理论和算法的同时日趋完善, 在各类相应的工程领域上得到广 泛应用, 对于岩土工程领域来说有限元技术的不断应用促进了它的发展。
[ 关键词] 有限元 发展 岩土工程 应用— 298 —科技信息工程技术( 上接第 29 7 页)建筑工程施工企业必须加强合同意 识, 重视合同管理, 要真 正意识到合同管理的重要性。
强调按合同要求施工, 而不是用行 政命令来干预市场。
承包人作为建筑市场的主体, 进行建筑施工 活动必须 要按照市 场的规律要 求, 健 全和完善内 部各项管 理制 度, 使合同管 理专业化, 确立合 同与成本、工期质 量等管理 子系 统的界面, 将合同管理融入施工项目管理全过程中。
2 、加强合同的法律意识, 减少合同纠纷 由于 承包人缺乏 法律和合 同意识, 对其中合 同条款往往 未 做详细推敲和认真约定, 特别是对违约责任, 违约 条件未做具体 约定, 这直接导致了工程合同纠纷的产生。
因此, 在签订合 同过 程中, 承包人 要增强法 律意识, 对合同合 法性、严 密性进行 认真 审查, 以减少合同产生纠纷的因素。
3 、建立以合同管理为核心的组织机构 建筑 工程项目的 建设各方 要重视合同 管理机构 的设置, 合 同归口管理工作, 使合同管理专业化, 如在组织机 构中设立合同 管理 专职 工程师, 合 同管理 员, 并具 体定义 合同 管理人 员的 职 能, 同时对项目经理人负责。
这样使项目经理能及时、准确 了解 工程的种种情况, 从整体上把握工程的顺利进行。
4 、重视建筑工程施工合同示范文本的作用 《建设工程施工合同( 示范文本) 》具有鲜明的指导和示 范作 用, 签订合同的双方可以以示范文本作为协商、谈 判的依据。
岩土体三维非线性渗流有限元数值分析
第23卷 第18期岩石力学与工程学报 23(18)：3076～30802004年9月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept .，20042003年4月11日收到初稿，2003年6月20日收到修改稿。
* 国家自然科学基金(50239070)重点项目资助课题。
作者 朱海军 简介：男，25岁，2003年7月于武汉大学水利水电学院获硕士学位，现为武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室博士研究生，主要从事岩土体中渗流规律的研究。
E-mail ：Zhuhj99 @ 。
岩土体三维非线性渗流有限元数值分析*朱海军 周创兵(武汉大学水利水电学院 武汉 430072)摘要 从渗流机理的角度研究了在达西定律不适用的情况下岩土体三维非线性渗流问题，讨论了非线性渗流的影响因素和表达公式。
进行了岩土体的三维非线性渗流有限元数值分析，根据试验确定的非线性渗流关系式，运用伽辽金有限元法导出了非线性的控制方程组，并用直接迭代法进行求解，讨论了迭代收敛标准以及提高计算精度和加速收敛的技术等问题。
所给出的算例，其计算结果与理论解十分吻合。
初步研究表明，本方法具有编程简单、计算效率高和收敛速度快等优点。
关键词 岩土力学，渗流，非线性，有限元分类号 TU 452，O 357.3 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2004)18-3076-053D NONLINEAR SEEPAGE ANALYSIS FOR ROCK-SOILSWITH FINITE ELEMENT METHODZhu Haijun ，Zhou Chuangbing(School of Hydraulic and Electric Engineering ，Wuhan University ， Wuhan 430072 China )Abstract From the point of seepage mechanism ，3D nonlinear seepage analysis is made for the case in which Darcy law is not available. The controlling factor and formula representation of nonlinear seepage are discussed. 3D nonlinear seepage analysis is carried out on rock-soils with FEM ，based on an empirical nonlinear relation between seepage velocity and hydraulic gradient. The nonlinear seepage controlling equations are derived by using Galerkin FEM ，and numerically solved by direct iteration. Some issues ，including the criteria of iteration convergence ，improvement of the calculation precision ，and acceleration of convergence ，are discussed. An explanatory example is given ，and the numerical result is very close to theoretical solution. The study result shows that the presented approach is of simplicity for programming ，high computational efficiency and fast convergence. Key words rock and soil mechanics ，seepage ，nonlinearity ，FEM1 引 言渗流是指流体在多孔介质中的流动，可分为线性渗流和非线性渗流。
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Abstract: In the 3-D finite element analysis of complex geotechnical structures such as earth-rockfill dams, the hexahedral elements with a high precision are generally adopted with being supplemented by some degradation elements as transition. Because of their poor geometric properties, the degradation elements could degrade the precision of the finite element method. One way to overcome such a problem is to adopt transitional isoparametric elements. Here the interpolation functions, integral coordinates and weighting coefficients are summarized for some common transitional elements such as 3D wedge, tetrahedron and pyramid elements and implemented into a finite element program. By comparing the finite element analysis results of an ideal earth dam using hexahedron elements and pyramid elements, respectively, it is shown that the pyramid elements are sufficient with regard to the precision. The three kinds of transitional elements are then used in analyzing a real earth-rockfill dam, and the numerical results show that use of transitional isoparametric elements can improve the computional accuracy to some extent. Finally, the quadratic isoparametric elements are analyzed and adopted in a dynamic analysis of the elastoplasticity problem. Use of the quadratic isoparametric elements can substantially improve the precision in calculating the excess pore pressure. Keywords: geotechnical engineering; finite elements; transitional isoparametric element; interpolation function; integral scheme
1
引
言
程的数值分析中，有限元方法也是一种非常重要的 方法[1
－2]
。
有限元计算在现代工程问题的仿真分析中起着 举足轻重的作用，特别是随着现代计算机硬件、计 算科学的飞速发展，有限元几乎成了大型工程安全 评估的不可或缺的手段。在土石坝、边坡等岩土工
几何模型在空间上的离散是有限元前处理中的 重要一环。 有限元网格剖分的质量， 如单元长宽比、 单元形状扭曲程度等，会在一定程度上影响数值计 算的精度。在常用的三维有限元单元类型中，六面
第5期
董威信等：三维过渡等参单元在岩土工程有限元分析中的应用
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在这 3 种单元（图 1(b)、(c)、(d)）中，对于四 面体单元和楔形体单元，文献[10] 已给出了其插值 函数和高斯积分方案。 表 1、 2 分别给出了四面体单 元和楔形体单元的高斯积分点局部坐标和积分点权 重。
表 1 四面体等参单元积分点局部坐标和权重 Table 1 Integral coordinates and weighting coefficients of tetrahedron isoparametric element
5 13 6 17 18 ζ 14
16
12 11 η
6
15
1
3
(a) 六面体单元 ζ 4
5 10 11 η 7 6 3 2 ξ 1 6 7 10
9 1 5 ξ 2
8
13 12 9 8 3 4 η
(c)四面体单元
(d)金字塔单元
图 1 六面体单元和各过渡单元 Fig.1 Hexahedral element and some transitional elements
ζ 8 15 7 19 1 9 2 ξ 10 3 12 11 2 (b)楔形单元 ζ η 20 4 5 14 ξ 7 10 13 9 8 4
。土石坝由于施工分级
较多且材料分区复杂，导致网格剖分比较困难。 解决该问题的途径之一是将几何模型全部剖分 成六面体单元，其优点是整体精度较高，但其缺点 也很明显，即在复杂边界的细部或材料分区交界处 需要剖分大量的细小单元以实现渐进过渡，这不仅 要花费大量的时间和精力，还会因产生大量的节点 和单元而增加有限元计算规模。 解决该问题的另一途径是在复杂的边界处采用 退化的过渡性六面体单元，即四面体单元、楔形单 元和金字塔（四棱锥）等按六面体单元处理，采用 六面体单元的形函数，这不可避免地出现实际一个 点表示两个或多个节点的现象。这种方法的优点是 编程简单，整体单元数和节点数较少，计算速度较 快，而其明显的缺点是在很多情况下精度较低[6]。 还有一种解决问题的途径是，在复杂的边界条 件或材料分界处采用混合的等参元过渡，即四面体 单元、楔形单元和金字塔（四棱锥）等采用各自的 形函数，而不是按六面体单元处理。这种方法的优 点是，既能使网格数目适中，又能保证计算具有较 高的精度，其缺点是在划分网格时要区分不同的单 元类型。本文将对这一方法进行总结和讨论。 另外，在某些情况下，如渗透系数很小时的动 力固结分析，需要用到高阶单元。本文也引入了各 过渡单元的二次单元的插值形式，并进行了弹塑性 有限元动力计算。
[8]
3
过渡单元的插值函数和积分格式
有些文献中，仅从六面体等参单元的插值公式
3.1 C0 型单元 出发，将过渡单元理解为单元节点的“合并” ，相应 的插值函数累加作为新的节点的插值函数，如将 图 1(a)的节点 5、 6、 7、 “合并” 8 ， 只需将 N5 N6 N7 N8 作为图 1(d)中金字塔单元的插值函数 N5，N1～ N4 不变。这样处理导致的结果就是，在某些角点出 现雅克比矩阵行列式为 0 的情况。虽然这样处理后 的过渡单元可以应用于有限元计算（因为数值积分 点一般在单元内部，不会出现雅克比行列式为 0 的 情况） ， 但由于过渡单元形态不好， 会导致其精度较 差[6]。所以，过渡单元需要推导其本身的插值函数 和积分格式。
收稿日期：2013-12-17 基金项目：国家自然科学基金资助项目（ No. 51379103，No. 51179092） ；国家重点实验室项目（ No. 2013-KY-4） 。 第一作者简介：董威信，男，1988 年生，博士研究生，主要从事高土石坝方面的研究工作。E-6 年生，博士，教授，主要从事边坡和高土石坝方面的研究工作。E-mail: yuyuzhen@
Application of three-dimensional transitional isoparametric elements to finite element analysis of geotechnical engineering problems
DONG Wei-xin, WANG Xiang-nan, WANG Yuan, YU Yu-zhen
第 36 卷第 5 期 2015 年 5 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.05.029
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 No.5 May 2015
三维过渡等参单元在岩土工程 有限元分析中的应用
董威信，王翔南，王 远，于玉贞
（清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084）
摘 要： 土石坝等复杂土工结构物有限元三维建模中多采用精度较高的六面体单元辅以部分过渡用的退化单元， 而退化单元 由于形态不好，会导致有限元计算精度较差。解决该问题的途径之一是采用过渡性的等参元。总结了几种常遇到的过渡等参 单元（楔形体、四面体、金字塔）的插值函数和高斯积分局部坐标和权重，并编入了有限元程序。通过比较六面体单元和金 字塔单元剖分理想土石坝的有限元计算结果， 说明所引入的金字塔单元是满足精度要求的。 将各种过渡单元应用于实际土石 坝工程的有限元计算，结果表明，使用过渡等参单元是可以在一定程度上提高计算精度的。最后讨论了二次单元在弹塑性有 限元动力计算中的应用。二次单元的使用，可以改善动力计算中的超静孔压分布，提高计算精度。 关 键 词：岩土工程；有限元；过渡等参单元；插值函数；积分格式 文献识别码：A 文章编号：1000－7598 (2015) 05－1455－08 中图分类号：TB 115
积分点号 1 2 3 4