直线系与圆系方程
直线系与圆系方程
直线系与圆系方程学习目标： 掌握直线系及圆系方程的各种形式与他们的实际含义 学习重点: 利用圆系方程和直线系方程简化数学过程，巧妙解题。
题型一：过定点的直线系：例如2+=mx y 表示恒过定点()2,0的所有的直线例题：若直线2+=mx y 与圆122=+y x （1）只有一个公共点，求m 的值 （2）有两个公共点，（3）没有公共点，求m 的取值范围练习：若关于x320kx k -+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是题型二：互相平行的直线系：例如：m x y +=2例题：若直线m x y +=与曲线21x y -=有两个不同交点，求m 的取值范围变式问法：1、 2、练习：若直线m x y +=2与曲线24x y -=有且只有一个交点，求m 的取值范围题型三：过直线1l ：0111=++C y B x A 与2l ：0222=++C y B x A 交点的直线系为：()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ例题：求过直线1l ：01032=+-y x 和2l ：0243=-+y x 的交点，且垂直于0423=+-y x 的直线方程题型四：圆系方程：1、圆()()222r b y a x =-+-当a 与b 为定值，r 为参数, 圆()()222r b y a x =-+-表示同心圆系当a 与r 为定值，b 为参数，圆()()222r b y a x =-+-表示圆心落在平行于y 轴的直线上的大小相同的圆当b 与r 为定值， a 为参数，圆()()222r b y a x =-+-表示圆心落在平行x 轴的直线上的大小相同的圆当a 与b 为参数，r 为定值, 圆()()222r b y a x =-+-表示大小不变，位置变化的所有的圆2、经过圆1C ：011122=++++F y E x D y x 与圆2C 022222=++++F y E x D y x 的交点的所有的圆：()()102222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x 例题：求过圆1C 04622=-++x y x 圆2C 028622=-++y y x 的交点，且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)
直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。
直线系与圆系方程
此圆过点M（2， 2）， 4 4 0,即 1
所求圆的方程为： 2 y 2 3x 2 0 x
练习:求经过两圆 x 2 y 2 6 x 4 0 和 2 2 x y 6 y 28 0 的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0上的圆的方程
x y x 7 y 32 0
2 2
两圆公共弦方程
若圆 C1：x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0, 圆C 2：x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0相交于 A, B
则称线段AB为两圆的公共弦，且过 的直线的方程为： AB ( D2 D1 ) x ( E2 E1 ) y ( F2 F1 ) 0 简单来说，就是两个圆 相减
4x-3y-6=0 且平行于直线 x - 3y 7 0的直线是: ______ 4
圆系方程
若圆C1：x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0, 圆C2：x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0
则过 C1与C 2交点的圆系方程为： x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0
直线系方程的种类3:
3.过直线l1 : A1 x B1y C1 0与l2 : A2 x B 2 y C2 0 交点的直线系为： A1 x B1y C1 （A2 x B 2 y C2） 0
例3: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
y=x 原点的直线方程是: ______
第二章直线和圆的方程(章末小结)高二数学(人教A版选择性必修第一册)课件
(1)点关于点的对称：中点公式
考的题型之一，此类问题可借
(2)点关于直线的对称：AA'⊥l，AA'的中点在l上
[注]点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)
(3)线关于点的对称：斜率相等，求(1)型对称点
助光学性质：入射角等于反射
角，或使用对称思想(一般找对
称点)解决．
(4)线关于线的对称：求交点P，求(2)型对称点
过圆x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0和直线Ax By C 0交点的圆系方程.
方法归纳——1.三点共线问题
用斜率公式解决三点共线问题的方法
方法归纳——2.两直线交点问题
求两直线的交点的方法：
设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
直线的倾斜角越大，斜率越大(
)
α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0；
所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率。
知识梳理——1.直线的倾斜角和斜率
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
l1∥l2⇔两条直线斜率都不存在
图示
对应关系 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2
相交
O1
O2
R
2
r
1个
R
内切
内含
B
A
r
O1
O2
O1
2个
1个
r
O2
O2
O1
O2
O1
0个
| O1O2 | R r | O1O2 | R r | R r || O1O2 | R r | O1O2 || R r | 0 | O1O2 || R r |
直线与圆的方程
直线与圆的方程方程是数学中重要的概念，是由变量、符号和数字组成的式子，它表示一种规律，可用来描述空间图形的形状和位置关系，其中最基本表示形状的方程是直线和圆的方程。
直线的方程是最基本的平面几何图形，它是两点之间最短的路径，用一元一次方程来表示，例如y=ax+b，其中a和b是实数。
值得注意的是，a是斜率，而b是截距，只有当两个参数都确定，才能确定一条直线，而不确定的参数只能确定一条平行于此直线的直线。
另一种形状的方程是圆的方程。
圆是有界的平面图形，由一个内切圆环和它的内切圆环组成，它的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径，只有当圆心和半径都确定，才能确定一个圆，而不确定的参数只能确定一个相似的圆。
圆的表示方式又有两种，一种是非积分的极坐标形式，如r=a cos （θ）+b sin（θ），其中a和b是实数，θ代表角度。
另一种是标准形式，其方程为（x-x0）2+(y-y0)2=a2，其中（x0，y0）是圆心坐标，a是半径。
圆和直线这两种方程本质上是不同的，此外，它们在坐标系中表示出来的形状也是不同的，直线是一种平行于坐标轴的线，而圆则是一个有界的圆环，它的中心在坐标原点，其半径为a。
圆和直线的方程极大地丰富了几何图形的表达能力，通过对它们的方程的推导和求解，可以更好地理解图形的性质，从而推动几何学的发展，推动数学的发展。
从定义上讲，直线和圆的方程是可以相互转换的。
比如，可以将一元一次方程y=ax+b换成(x-a)2+(y-b)2=r2，这样，直线就可以转换成圆，圆也可以转换成直线。
另一方面，通过对直线和圆的方程求解，可以用它们来解决复杂的数学问题，比如求两个圆的位置关系，求一条直线与一个圆的位置关系，求一条直线与另一条直线的位置关系等等，这些复杂的数学应用可以用直线和圆的方程来解决。
由此可见，直线和圆的方程是数学中至关重要的概念，它丰富了图形的表达能力，并可用来解决复杂的数学问题，是数学发展的基础。
直线系方程和圆系方程教案
直线系方程和圆系方程教案一、直线系方程。
1. 直线的一般方程。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不全为零。
这种形式的方程称为直线的一般方程。
2. 直线的斜截式方程。
直线的斜截式方程是直线方程的一种特殊形式，它可以表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。
3. 直线的点斜式方程。
直线的点斜式方程是直线方程的另一种特殊形式，它可以表示为y y1 = k(x x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
4. 直线的两点式方程。
直线的两点式方程是直线方程的另一种特殊形式，它可以表示为(y y1)/(y2 y1) = (x x1)/(x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两点。
二、圆系方程。
1. 圆的标准方程。
在平面直角坐标系中，一个圆可以用标准方程表示为(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 圆的一般方程。
圆的一般方程是圆方程的一种特殊形式，它可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数且D² + E² 4F > 0。
3. 圆的参数方程。
圆的参数方程是圆方程的另一种特殊形式，它可以表示为x =h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径，θ为参数。
4. 圆的直径式方程。
圆的直径式方程是圆方程的另一种特殊形式，它可以表示为(x x1)(x x2) + (y y1)(y y2) = 0，其中(x1, y1)和(x2, y2)为圆上的两个点。
三、教学内容。
1. 直线系方程的基本概念和性质。
直线的一般方程、斜截式方程、点斜式方程和两点式方程的概念和表示方法。
直线的斜率和截距的概念和计算方法。
高中数学-直线系、圆系方程(学生版)
专题：直线系方程一、直线系方程的概念：具有某种共同性质的所有直线的集合，它们的方程叫直线系方程二、直线系方程1.过定点的直线系：过定点),(00y x P 的直线系方程为： 注：方程0)()(00=-+-y y B x x A （B A ,为待定系数）包括过点),(00y x P 的所有直线，而方程)(00x x k y y -=-（k 为待定系数）不包括直线0x x =，所以设直线的点斜式方程时要先对直线的斜率存不存在进行讨论2.平行直线系：与直线l ：0=++C By Ax 平行的直线系方程为： 例1.求与直线0143=++y x 平行且过点)2,1(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 平行横纵截距之和为37的直线l 的方程3.垂直直线系：与直线l ：0=++C By Ax 垂直的直线系方程为： 例2.求与直线0102=-+y x 垂直且过点)1,2(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 垂直横纵截距之和为1的直的直线l 的方程4.过交点的直线系：若直线1l ：0111=++C y B x A 与直线2l ：0222=++C y B x A 相交于点为),(00y x P ，则方程 表示 ，它包括 ，但不包括 注：过交点P 的直线系方程也可以用方程0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A μλ（μλ,为待定系数），它包括过交点P 的所有直线，但此时方程中有两个参数μλ,例3.求过直线1l ：042=+-y x 与直线2l ：02=-+y x 的交点且满足下列条件的直线l 方程（1）过点)1,2(-P ；（2）与直线062=+-y x 平行；（3）与直线0543=+-y x 垂直例4.已知直线l ：0)1()2()1(=++-+-m y m x m ，求证：无论m 取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标例5.已知直线l ：0355=+--a y ax ，（1）求证：无论a 为何值，直线l 总过第一象限，（2）求证：为使直不过第二象限，求a 的取值范围专题：圆系方程一、圆系方程的概念：具有某种共同性质的所有圆叫圆系，它们的方程叫圆系方程二、圆系方程1.同心圆系：以定点),(b a C 为圆心的圆系方程为2.过直线和圆交点的圆系：已知直线l ：0=++C By Ax 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）若直线l 与圆C 相交，则方程 表示（2）若直线l 与圆C 相切于点P ，则方程 表示表示例1.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值练习：求过直线l ：042=++y x 与圆C ：014222=+-++y x y x 的交点且满足下列条件的圆的方程（1）面积最小（2）圆心在直线012=++y x 上3.与已知圆切于圆上一点的圆系方程：已知点),(b a P 为圆C ：022=++++F Ey Dx y x 上一点，则与圆C 切于点P 的圆系方程为0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数，1-≠λ）若1-=λ，则方程0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数）表示圆C 在点P 处的切线方程例2.求过点)1,4(-且与圆C ：056222=+-++y x y x 切于点)2,1(B 的圆的方程4.过两圆交点的圆系方程：已知圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆2C ：022222=++++F y E x D y x ，则（1）若圆1C 与圆2C 相交于B A ,两点，则 表示 ，它包括 ，但不包括 ，当1-=λ时，方程变为 ，表示（2）若圆1C 与圆2C 相切与点P ，则表示 ，它包括 ，但不包括 ，当1-=λ时，方程变为 ，表示（3）若圆1C 与圆2C 相离，则方程0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 表示某条与两圆连心线垂直的直线方程例3.求过圆1C ：04622=-++x y x 与圆2C ：028622=-++y y x 的交点且圆心在直线l ： 04=--y x 上的圆C 的方程例 4.已知过圆1C ：016222=+-++y x y x ，圆2C ：0112422=-+-+y x y x ，求两圆的公共弦所在的直线方程例5.已知圆C ：422=+y x 及点)4,3(P ，过P 作圆C 的两条切线PB PA ,，B A ,为切点，求弦AB 所在的直线方程。
【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
直线系与圆系方程
x2 y2 D1 x E1 y F1 ( x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
圆系方程
常见的圆系方程：
3、 过 直 线 与 圆 的 交 点 的圆 系 方 程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
_x_2___y_2___D__x____E__y___F_____(_x__2 __y__2 __D__x____E y F ) 0
此方程不包括直线 l2 m( A1 x B1 y C1 ) n( A2 x B2 y C2 ) 0
此方程包括所有过两直线交点的直线。
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
解: 整理该方程得： (x 2y 1) m(x y 1) 0
o
x
过定点的直线系方程
• 如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？
已知直线 l1 : A1x B1y C1 0 ( A12 B12 0) 和直线 l2 : A2x B2 y C2 0 (A22 B22 0) 相交，则过该交点的 直线系方程：
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
直线系和圆系方程及其应用(汇编)
第五讲、直线系方程和圆系方程的应用1．过两直线的交点的直线方程设：l 1:A 1x+B 1y+C 1=0l 2: A 1x+B 1y+C 1=0过两直线的交点的直线为l,则l 方程为: A 1x+B 1y+C 1+λ（ A 1x+B 1y+C 1）=0例1．已知直线经过直线7x+7y=24及x-y=0的交点且和原点的距离为512，求直线方程。
解：设所求直线为7x+7y-24+λ(x-y)=0,变型为（7+λ）x+(7-λ)y-24=0由点到直线距离公式得：d=22)7()7(24λλ-++=512,解得λ=±1 故所直线方程为：4x+3y-12=0或x+4y-12=0。
2．过两圆的交点的圆系方程设：O 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0O 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0过两圆的交点的圆系方程为O,则O 为(x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1)+λ（ x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0例2．求圆心在直线3x+4y-1=0上且过两圆x 2+y 2-x+y-2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程。
解：设方程为x 2+y 2-x+y-2+λ( x 2+y 2-5)=0， 变型为：0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 故圆心为（)1(21,)1(21λλ+-+），代入直线方程得，01_)1(24)1(23=+-+λλ，解得23-=λ所求为：x 2+y 2+2x-2y-11=03．过一圆和一直线的交点的圆系方程设：O:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0l :Ax+By+C=0 则过这个圆和这条直线的交点的圆系方程为O,则O 为(x 2+y 2+Dx+Ey+F)+λ（ Ax+By+C ）=0例3．求过圆x 2+y 2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，圆心在y 轴上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x 2+y 2-2x+λ（x+2y-3）=0变型为x 2+y 2-(2-λ)x+2λy-3λ=0 圆心为（22λ-，-λ）因为圆心在y 轴，故λ=2，所求圆的方程为x 2+y 2+4y-6=0 上述方程的应用，可以起到化繁为简，化难为易的效果。
直线方程和圆的方程概念和知识点总结
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°3．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝1212x x y y --.两条直线(不重合)平行的判定两条直线垂直的判定l∥l(两直线的斜率都存在)⇔l的斜率不存在，l的斜率为0直线的方程直线的点斜式方程和斜截式方程y－y＝k(x－x)y＝kx＋b直线的两点式方程和截距式方程直线的一般式方程关于x 和y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化直线的五种形式的方程比较两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A(a ，b)． (1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0 .(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有⎩⎨⎧=++=++00222111C b B a A C b B a A2．两直线的位置关系两点间的距离公式公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式21P P =212212)()(y y x x -+-.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P (x ，y )的距离22y x OP +=.点到直线的距离、两条平行线间的距离点P (x ，y )到直线两条平行直线圆的标准方程(1)条件：圆心为C (a ，b )，半径长为r . (2)方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r 的圆的方程是x 2＋y 2＝r 2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．＝0表示的图形2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F直线与圆的位置关系：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断直线与圆相切1.圆的切线方程的几个重要结论：（1）经过圆222r y x =+上一点P （x 0 , y 0）的圆的切线方程为200r y y x x =+。
直线和圆的方程公式
直线和圆的方程公式1. 直线的方程公式直线是平面几何中最基本的几何图形之一，它可以用线段扩展而成。
在平面直角坐标系中，直线可以用一般式方程、点斜式方程和斜截式方程来表示。
•一般式方程：一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数且A和B不同时为 0。
这种形式的方程常用于直线的相关计算。
•点斜式方程：点斜式方程的一般形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，m是直线的斜率。
该方程表达了直线上任意一点(x, y)与直线上已知点(x₁, y₁)的斜率相同。
•斜截式方程：斜截式方程的一般形式为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
该方程表达了直线上所有点(x, y)的坐标。
2. 圆的方程公式圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以用一般式方程和标准方程来表示。
•一般式方程：一般式方程的一般形式为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
•标准方程：标准方程的一般形式为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F 是常数且D和E不同时为 0。
标准方程可以通过一般式方程展开推导得到。
3. 方程示例以下是直线和圆的方程示例：•直线方程示例：–一般式方程：2x - 3y + 5 = 0–点斜式方程：y - 4 = -2(x + 1)–斜截式方程：y = 2x - 3•圆方程示例：–一般式方程：(x - 1)² + (y + 2)² = 9–标准方程：x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0这些方程示例展示了如何根据给定的条件得到直线和圆的方程。
它们可用于解决与直线和圆相关的计算和分析问题。
通过了解直线和圆的方程，我们能够更好地理解它们在平面几何中的特性和应用。
【高考数学】直线系和圆系方程
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。
和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。
《直线系方程和圆系方程及其应用》
题醉了
二、典型例题 例题 1 求证：无论 m 取何实数时，直线
2(m + 1)x + (m - 1)y - (m + 3) = 0
恒过定点，并求出定点的坐标.
【规律方法】 （1）分离系数法：一般，去了括号后，根据是否含有 m 的项分组，得
(2x - y - 3) + m(2x + y - 1) = 0 ì ï 2x - y - 3 = 0 从中可得到两个直线方程， 最后， 联立解方程组 í 可得定点坐标； ï î 2x + y - 1 = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的同心圆系方程： x2 + y2 +Dx +Ey + λ = 0 .
2 2 Ax + By + C = 0 x + y +Dx +Ey +F = 0 交点的圆系方程为： 2.过直线 与
x2 + y2 +Dx +Ey +F + λ(Ax +By + C) = 0(λ ? R) ；
m(x + 2y + 3) + n(2x + y - 5) = 0 .
4.一个二次方程表示两个直线方程：例如
(x + 2y) ? (2x y - 5) = 0 就表示两条直线 x + 2y = 0 和 2x + y - 5 = 0 亦即二次方程
2x2 + 2y2 + 6xy - 5x - 10y = 0 就表示以上两条直线.
堂练习
1.方程 x2 - y2 = 0表示的图形是 两条直线x +y = 0和x - y = 0 . 2. 直线系2x - y +m = 0 中任意一条直线与直线系2x + 4y +n = 0 中的任意一条 直线的位置关系是 垂直 . 3.方程 x + y - 6 x + y +3m = 0表示两条直线，求 m 的取值范围.
直线系、圆系方程及其应用
圆系方程及其应用（熟记----大题可以小做）一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。
） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交； 3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
直线与圆的公式
直线与圆的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆是几何中常见的图形，它们在数学中有着重要的地位。
直线是两点之间最短距离的集合，而圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
在解决几何问题时，我们经常需要用到直线与圆的公式来求解。
下面我们来详细介绍一下直线与圆的公式。
一、直线的一般方程直线的一般方程是数学中描述一条直线的基本公式。
一般方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，而x、y是变量。
通过将一般方程进行变换，我们可以得到直线的其他形式方程。
1. 斜截式方程两点式方程是描述一条直线的另一种方程形式，其形式为(x -x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两点。
通过两点式方程，我们可以直接得到直线的方程。
二、圆的标准方程圆的标准方程是数学中描述一个圆的基本公式。
圆的标准方程的一般形式为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
通过标准方程，我们可以方便地确定圆的位置和大小。
2. 一般方程三、直线与圆的位置关系直线与圆是几何中常见的图形，它们之间有着复杂的位置关系。
在解决几何问题时，我们经常需要根据直线与圆的位置关系来求解。
1. 直线与圆的相交直线与圆的相交有三种情况：直线与圆相切、直线与圆相离、直线与圆相交。
当直线与圆相交时，我们可以根据直线的方程和圆的方程来求解交点的坐标。
四、应用举例直线与圆的公式在数学中有着广泛的应用。
我们可以通过一些举例来演示如何应用直线与圆的公式来解决实际问题。
例1：求解直线与圆的交点坐标已知直线的方程为y = 2x + 3，圆的方程为(x - 1)² + (y - 2)² = 4，求解直线与圆的交点坐标。
解：将直线的方程代入圆的方程中，得到(x - 1)² + (2x + 1)² = 4。
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直线系方程 、圆系方程
1、证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. （1,1）.
2、 求证：无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标.
3、不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k+3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．)3,2(
4、求证：不论a, b 为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a －b=0均通过一定点，并求此定点坐标。
5、已知点()00,y x P 是直线0:=++C By Ax l 外一点，则方程()000=+++++C By Ax C By Ax 表示
（ ） A.过点P 且与垂直的直线 B.过点P 且与平行的直线
C.不过点P 且与垂直的直线
D.不过点P 且与平行的直线 【答案】D
6、求过点(14)P -，圆22
(2)(3)1x y -+-=的切线的方程．
4y =或34130x y +-=．
7、 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
x-2y=0或5x+5y+4=0
8、求经过两条直线01032=+-y x 和0243=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方
程. 【答案】0232=-+y x .
9、经过两条直线082=-+y x 和012=+-y x 的交点，且平行于直线0734=--y x 的直线方程.
【答案】0634=--y x .
10、经过两直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
11、直线l 经过08320543=+-=-+y x y x 和的交点，与)5,4()3,2(-B A 两点的距离相等，求直线l 的
方程。
y=(-1/3)x+(5/3)或x=1
1、求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。
x 2+y 2-x+7y -32=0
2、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 0y x 7y 7x 722=+++
3、求与圆020-2y -4x -y x 2
2=+切于点A （-1，-3），且过点B （2,0）的圆的方程
020-y 18x 4-y 7x 722=++
4、求过两圆225x y +=和22
(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
879411-y 411-x 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、求经过直线：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：22y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．
方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０
6、已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，
求实数m 的值。
3
7、圆系22y x +＋2m x ＋（4m ＋10）y ＋10m ＋20＝０（m ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？
外切或内切．
8、求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x +2y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直线：250x y --= 的
圆的方程.
0733-y 718-x 734y x 22=+
+ 9、已知圆O ：222410x y x y +-++=和圆外一点A （3，4），过点A 作圆O 的切线，切点分别为C 、
D ，求过切点C 、D 的直线方程. x+3y-3=0
10、平面上有两个圆，它们的方程分别是x 2+y 2=16和x 2+y 2－6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。
3x －4y －20=0
1．求经过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。
（常数项为零）
2．求经过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程。
（圆心的纵坐标
为零）
3．求经过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。
（半径最小或圆心在直
线上）
4．求经过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。
（圆心到x 轴的距离等于半径）。