14-3梅涅劳斯定理和塞瓦定理.题库学生版
梅涅劳斯定理与塞瓦定理
塞瓦定理 设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：∵△ADC 被直线BOE 所截，∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①而由△ABD 被直线COF 所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S △BOD/S △COD=(S △ABD-S △BOD)/(S △ACD-S △COD)=S △AOB/S △AOC ③同理 CE/EA=S △BOC/ S △AOB ④ AF/FB=S △AOC/S △BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设,111BCM ACMABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM BCMAP BQ CR M S S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB S BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR AP BQ M CM AB R PC QA RB BP CQ AR AR PC QA R B ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=‘拻‘证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：再证充分性：若，设与相交于，且直线交于，由塞瓦定理有：，于是：ARR R R B RB AB R R AP BQ CR M ’‘’＝因为和都在线段上，所以必与重合，故、、相交于一点点；交于一点；：证明：三角形的中线例1111111111111111111,,1AC BA CBABC AA BB CC C B AC B A AC BA CB AC C B BA AC CB B A ABC ∆⋅⋅====⋅⋅=∴∆证明：记的中线，，，我们只须证明而显然有：即成立，交于一点；】证明：三角形的角平【练习1】证明：锐角三角形的【练习22ABC C AB L L AC BC M N AN BM P CP AB∆∠⊥例：在锐角中,角的平分线交于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是，证明：111CK AB CK BM AN P CK BM AN AM CN BKMC CNMC NB AKAM BK AM ALAML AKC AK NB AK ACBK BC AL BCBNL BKC NB BL AC BL⊥⋅⋅==⋅=∆≅∆⇒=∴∆≅∆⇒=⋅=证：作下证、、三线共点，且为点，要证、、三线共点，依塞瓦定理即要证：又即要证明：即要证1AL BC AC BLCK BM AN P CP AB⋅=∴∴⊥依三角形的角平分线定理可知：、、三线共点，且为点3.AD ABC D BC P AD BP CP AC AB E F EDA FDA∆∠∠例设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝A AD DE DF M N EDA FDA ∠=∠证：过作的垂线，与、的延长线分别交于、。
九年级数学第13讲.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.目标预备班.学生版
梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形． GF EDCBAGFE DCBAH3H 2H 1F E DCBA证法一：如左图，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF= ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．知识导航板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理13梅涅劳斯定理 与塞瓦定理如果1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．ECD B FA习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：FA EA FC EB=． EFBDCA习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB． DEBMCA夯实基础【例2】 如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．NMDCF EBA习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．CEFD BH GA【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1BE CFEA FA+=． GFEA探索提升【例4】 如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．FDECBA习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x 的值．x 1085F DE CBA【例5】 如图， 在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．QRA非常挑战习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．F EDCBA塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点．PFEDCBA证明： ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD⋅⋅=． 两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． 知识导航板块二 塞瓦定理及其逆定理F PF'ED C BAFED CB A证明： ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B⋅⋅='，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B '='， ∴AB AB FB F B ='，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图． ∴BD EA DC AC=，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF =． ∴//BE FC ，∴AD BE FC ∥∥．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．探索提升ZYXCBA习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYX CBA【例7】 如图， M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC的中点D ，求证：EF BC ∥．FDEMBA习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN 必平分梯形的两底．N CPDMBQA。
相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(学生版)
相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型梅内劳斯(Menelaus，公元98年左右)，是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。
梅涅劳斯(定理)模型：如图1，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF FB ⋅BDDC⋅CEEA=1．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果AF FB⋅BD DC ⋅CEEA=1，则F、D、E三点共线．图1图2塞瓦(G·Gevo1647-1734)是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦(定理)模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1。
注意：①梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
1(2023.浙江九年级期中)如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：AE:ED=2AF:FB．2(2023.重庆九年级月考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．AM为BC边上的中线，CD⊥AM于点D，CD的延长线交AB于点E．求AEEB．3(2023.湖北九年级期中)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，AE =EB ，AD DC=23，BD 与CE 交于点F ，S △ABC =40．求S AEFD ．4(2023.江苏九年级月考)已知AD 是△ABC 的高，点D 在线段BC 上，且BD =3，CD =1，作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G ，求CG ．5(2023.广东九年级专项训练)如图，在△ABC 中，∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，∠B 的平分线与边CA 交于点Q ，∠C 的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．6(2023上·广东深圳·九年级校联考期中)梅涅劳斯(Menelaus )是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与△ABC 的三边AB ,BC ,CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有AF FB ⋅BD DC ⋅CEEA=1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图2，过点A 作AG ∥BC ，交DF 的延长线于点G ，则有AF FB =AG BD ，CE EA =CDAG，∴△AGF ∽△BDF ，△AGE ∽△CDE ，∴AF FB ⋅BD DC ⋅CE EA =AG BD ⋅BD DC ⋅CDAG=1．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图3，△ABC 三边CB ,AB ,AC 的延长线分别交直线l 于X ,Y ,Z 三点，证明：BX XC ⋅CZ ZA ⋅AYYB=1．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：(2)如图4，等边△ABC 的边长为3，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且BF =2AF ,CF 与AD 交于点E ，试求AE 的长．(3)如图5，△ABC 的面积为4，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接FD 交AC 于E ，求四边形BCEF 的面积．7(2023.山东九年级月考)如图：P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 边上的点．若AP ，BQ ，CR 相交于一点M ，求证：BP PC ⋅CQ QA ⋅ARRB=1．8(2023.浙江九年级期中)如图，在锐角△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：∠EDH =∠FDH 。
第3讲-梅涅劳斯定理与塞瓦定理
第三讲 梅涅劳斯定理与塞瓦定理梅涅劳斯定理如果一条不通过A 、B 、C 三点的直线与△ABC 的边BC 、CA 、AB 所在直线分别交于X 、Y 、Z ， 则1AZ BX CY ZB XC YA ⋅⋅=．塞瓦定理已知平面上△ABC 和点P （P 不在△ABC 三边上），直线AP 、BP 、CP 分别与直线BC 、CA 、AB 交于点X 、Y 、Z ，则1AZ BX CYZB XC YA⋅⋅=梅涅劳斯定理与塞瓦定理的逆定理也成立．角元塞瓦定理若△ABC 中，直线AD 、BE 、CF 交于一点，则sin sin sin 1sin sin sin CAD ABE BCFDAB EBC FCA∠∠∠⋅⋅=∠∠∠．上述结论被称为塞瓦定理的角元形式．其逆定理也是成立的．例1. 如图，已知△ABC 中，AD 、BE 、CF 交于一点P ．（1）已知54BP PE =，32CP PF =，求BDDC ． （2）已知31AP PD =，43BP PE =，求CPPF． （3）已知74AF FB =，32AE EC =，求APPD．例2. 已知BE 、CF 为△ABC 的两条内角平分线，A ∠的外角平分线与BC 的延长线相交于D ．求证：D 、E 、F 共线．例3. △ABC 中，40BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、AB 上，40CBD ∠=︒，70BCE ∠=︒，BD 、CF 相交于点F ．求证：AF ⊥BC ．例4. 过△ABC 的顶点A 作外接圆的切线与对边相交于点1A ，类似定义1B 、1C ，证明：1A 、1B 、1C 三点共线．例5. 如图，在△ABC 中，P 为高AD 上一点．延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ．求证：ADE ADF ∠=∠． A 1C 1'''的三组对应边AB与A B''交于点X，AC与A C''交于点Y，BC与B C''交于例6.如图，△ABC和△A B C点Z，且X、Y、Z三点共线．求证：直线AA'、BB'、CC'相交于一点或相互平行．Array例7.圆内接六边形ABCDEF的三组对边AB和DE、BC和EF、CD和F A所在直线分别交于L、M、N，证明：L、M、N三点共线．L。
14-3梅涅劳斯定理和塞瓦定理
14-3梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版XXX定理和塞瓦定理中考要求：掌握比例及平行线分线段成比例定理的内容及其推论，能够应用定理解决相似的问题。
知识点一：比例的基本性质比例的基本性质有以下几点：XXX，这一性质称为比例的基本性质，由它可推出许多比例形式。
2.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bd}{ac}$ （反比定理）。
3.$\dfrac{ac}{ab}=\dfrac{bd}{dc}=\dfrac{ab+dc}{ad+bc}$ （更比定理）。
4.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$ （合比定理）。
5.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}$ （分比定理）。
6.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a+c}{b+d}$ （合分比定理）。
7.$\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{ma}{mb} \cdot \dfrac{na}{nb} \cdot \cdot \cdot \dfrac{ma}{mn}=\left(\sum\limits_{i=1}^na_i\right) : \left(\sum\limits_{i=1}^n b_i\right)$ （等比定理）。
知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：如下图，如果$l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$，则$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{AC}{DF}$。
2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果$DE \parallel BC$，则$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$，反之如果有$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DE}{BC}$，那么$DE \parallel BC$。
初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.（有答案）
初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.（有答案）第 1 页板块一梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．证法一：如左图，过C 作CG ∥DF证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG=??=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、．则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ??=??=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA=，则F 、D 、E 三点共线．【例1】如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．【解析】∵直线FEC 是ABD △的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ??=．而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ??=，即2AE AF ED BF=．习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：FA EAFC EB=．【解析】直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知1CD BE AFDB EA FC=，又因为BD BC =，所以1BE AF EA FC ?=，即FA EAFC EB=．习题2. 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=?，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB．【解析】由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，由射影定理224AD AD AM AC DM DM AM CM===?．对ABM △和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AE BC MD EB CM DA ??=，即21114AE EB ??=．所以2AE EB=．知识导航夯实基础梅涅劳斯定理与塞瓦定理【例2】如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．【解析】∵直线AE 是BCD △的梅氏线，∵直线AF 是BCD △的梅氏线，习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．【解析】∵HFC 是ABD △的梅氏线，∵D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =，∵GEC 是ABD △的梅氏线，【例3】过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1BE CFEA FA+=．【解析】作直线AG 交BC 于M ，同理，2CF DCFA DM=，而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+=【例4】如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．【解析】对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1EF CD AB FC DA BE ??=，即32121EF FC ??=，所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△，进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ??=-=-==△△△．习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x的值．【解析】对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1CD AB EF DA BE FC ??=，即1823115152x x +??=+，解得22x =．【备选】如图，ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC △的面积．【解析】对ABD △和截线COF ，由梅氏定理得：1AF BC DO FB CD OA ??=，即41132BC CD ??=，所以32BC CD =，所以3BCBD=．所以33105315ABC ABD S S ==?=△△．【例5】如图，在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线，则BQ 是ABC ∠的平分线，则 CR 是ACB ∠的平分线，则??①②③得非常挑战探索提升第 3 页因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P 、Q 、R 三点共线．习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．【解析】如图，CD BE AF 、、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交AB AC BC 、、于D E F 、、．过C 作BE 的平行线，则BCP CBE EBD CPB ∠=∠=∠=∠，所以BPC △是等腰三角形．则PB CB =．则有：CE PB CBEA BA BA ==．同理AD AC DB CB =；BF BA FC AC=．所以1CE AD BF CB AC BA EA DB FC BA CB AC ??=??=．所以D E F 、、共线．板块二塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AFDC EA FB=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点．证明：∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）．证明：⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B='，又已知1BD CE AF DC EA FB ??=，∴AF AF FB F B'='，∴'F 与F 重合∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图．∴BD EA DC AC=，又已知1BD CE AF DC EA FB ??=，∴1EA CE AF AC EA FB ??=，即CE FB AC AF=．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．【例6】（1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．探索提升知识导航（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．【解析】（1）由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB=，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点．这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，．三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC=??=．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点，这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．【解析】由ABX CBZ △∽△得：BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得：AZ ACAY AB =；由AXC BYC △∽△可得：YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BCBZ AY CX BC AB AC=??=．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX BY CZ ，，共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】如图，M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．【解析】对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：1AF BD CEFB DC EA=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ?=．进而AF AEFB EC=，所以EF BC ∥．习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN必平分梯形的两底．∵1MD AQ BC DA QB CM=（由塞瓦定理得）板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合【备选】如图，E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF 交于点P ，AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．【解析】∵P 为ABC △的塞瓦点．∵EPB 为ACD △的梅氏线，【备选】如图，四边形ABCD 的对边AB 和DC ，DA 和CB 分别相交于点L K ，，对角线AC 与BD 交于点M ．直线KL 与BD 、AC 分别交于点F G 、．求证：KF KGLF LG=．【解析】对DKL △与点B 应用塞瓦定理得：1DA KF LCAK FL CD=．对DKL △和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得：1DA KG LCAK GL CD=．非常挑战进而可得KF KGLF LG．第 5 页。
第14讲 梅涅劳斯定理及塞瓦定理(二)
第十四讲 梅涅劳斯定理及塞瓦定理（二）
【例1】如图，在ΔABC 中，∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，∠B 的平分线与边CA 交于点Q ，∠C 的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．
【例2】在凸四边形ABCD 中，点N 在CD 上，BN 与AC 交于点M ，若
AM CN AC CD
，且S ΔABC =1， S ΔABD =3，S ΔBCD =4，求证：点M 、N 分别为AC 与CD 的中点．
【例3】已知：ΔABC 与Δ'''A B C ，直线'AA 、'BB 、'CC 交于一点O ，又知直线AC 与''A C 交于点P ，直线BC 与''B C 交于点R ，直线AB 与'B'A 相交于点Q ，求证：P 、Q 、R 共线．
塞瓦定理：
如果ΔABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、F，如
图，那么BD CE AF
DC EA FB
⨯⨯=1．通常称点P为ΔABC的塞瓦点．
塞瓦定理的逆定理：
如果点D、E、F分别在ΔABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并且BD CE AF
DC EA FB
⨯⨯=1．那
么AD、BE、CF相交于一点（或平行）．
【例5】如图，M为ΔABC内一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点D．求证：EF∥BC．
【例6】如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N，求证：直线MN必平分梯形的两底．。
高中数学竞赛平面几何基础——梅涅劳斯和赛瓦定理练习题(原卷版)
梅涅劳斯定理和赛瓦定理梅涅劳斯定理：(此定理常用于证明三点共线的问题)若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线 分别交于,,P Q R ，则1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=作平行线：作CM //PQ ,则,BP BR CQ RM PC RM QA AR ==,1BP CQ AR BR RM ARPC QA RB RM AR RB⋅⋅=⋅⋅= 面积法：,,,BPQ ARQ AQB PCQARP PCQ BRP BRQ BPQ APQ S S S S S BP AR CQ PC S RB S S S QA S =====得证梅涅劳斯定理逆定理：P Q R ABC BC CA AB BP 1P Q R PC CQ ARQA RB ∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，，若，则、、三点共线；塞瓦定理1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是边上的点，则、、的分别是、、设M QRACPB,1BCM ACMABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM BCM AP BQ CR M S S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB S BP CQ AR PC QA RB∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：＝1：如图四边形ABCD 的内切圆分别切AB ,BC ,CD ,DA 于点E ,F ,G ,H ,求证：HG ,AC ,EF 交于一点.△ABC 中，D ,E 分别在CB ,CA 上，且AD ,BE 分别为∠BAC 和∠ABCDE 交AB 于M ，证明CM 为∠ACB 的外角平分线.涉及定理：角平分线定理ABDF ,AB ,DF 交于C ，BD ,AF 交于E ，连接BF ,AD ,CE ,设AD 延长线交CE 于N , 证明：NDANMD AM =.△ABC 的底边BC 为直径作半圆，分别与边AB ，AC ,交于D ,E ,分别过点D ,E ,作BC 的垂线，垂足依次为F ,G ,线段DG 和EF 交于点M ，求证AM ⊥BC .5：△ABC ，一个过A ,B 的圆交边AC ,BC 于D ,E ,AB ,DE 交于点F ，BD ，CF 交于点M ，求证： MF =MC 的充分条件是2MC MD MB =⋅.6.如图，△ABC 的三个顶点A ,B ,C 各作其外接圆的切线，分别与相应的顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点D ,E ,F 关系.7.如图，1O 和2O 与△ABC 的三边所在的直线都相切，E ,F ,G ,H 为切点，并且EG ,FH ,对的延长线交于点P .求证P A ⊥BC .ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD .在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ,延长DF ，交BC 于G ，求证：∠GAC =∠EAC .ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积之比是3:4:1,点M,N分别在AC,CD上，满足AM:AC=CN:CD,并且B,M,N共线，求证M,N分别是AC,CD的中点.P为△ABC内点，过P的直线l,m,n分别垂直于AP,BP,CP，若l交BC于Q,m交AC于R，n交AB于S,证明：Q,S,R共线.AB=AD，BC=CD，过O的两条线段分别交AB,BC,CD,DA于G,F,H,E,GF,EH交BD于I,J求证：OI=OJ.。
梅涅劳斯定理与塞瓦定理
梅涅劳斯定理与塞瓦定理板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF BD CE 1FB DC EA ．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．A GAAGFF FH1H2 EEEH3B C D B C D B C D证法一：如左图，过C作CG∥DF∵D B FBDC FG，E C FGAE AFAF BD CE AF FB FG∴1FB DC EA FB FG AF．证法二：如中图，过A作AG∥BD交DF的延长线于G∴A F AGFB BD，B D BDDC DC，C E DCEA AGAF BD CE AG BD DC三式相乘即得：1．FB DC EA BD DC AG证法三：如右图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于H、H、H．123则有A H∥BH∥CH，123所以A F BD CEAH BHCH123FB DC EA BH CH AH2311．梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，AF BD CE如果1FB DC EA，则F、D、E三点共线．夯实基础【例1】如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：AE:ED2AF:FB．AFEB D C【解析】∵直线FEC是△ABD的梅氏线，AE DC BF∴1．而ED BC FA D CBC12，∴A E1BFED2FA1，即A E2AFED BF．习题1.在△ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点F．求证：FA EAFC EB．FAEB D C【解析】直线截△ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知CD BE AF1DB EA FC，又因为BE AFBD BC，所以1，即EA FC F A EA FC EB．习题2.如图，在△ABC中，ACB90，AC BC．AM为BC边上的中线，CD AM于点D，CD的延长线交AB于点E．求A E EB．CMDB AE【解析】由题设，在Rt△AMC中，CD AM，AC2CM，2AD AD AM AC由射影定理24．DM DM AM CMAE BC MD对△ABM和截线EDC，由梅涅劳斯定理，1，即EB CM DA A EEB21141．AE所以2EB．探索提升【例2】如图，在△ABC中，D为AC中点，BE EF FC，求证：BM:MN:ND5:3:2．ADNMB E F C【解析】∵直线AE是△BCD的梅氏线，BM DA CE∴1MD AC EB．∴B MMD12211，∴B MMD11∵直线AF是△BCD的梅氏线，BN DA CF∴1ND AC FB，∴B NND11221，B NND41．∴BM:MN:ND5:3:2．习题3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE:EF:FD4:3:1．求AG:GH:AB．AGEHFB D C【解析】∵HFC是△ABD的梅氏线，AH BC DF∴1．HB DC FA∵D为BC的中点，AE:EF:FD4:3:1，∴B CDC21，D FFA17．∴A HHB21171，∴A HHB72．∵GEC是△ABD的梅氏线，AG BC DE∴1GB DC EA，∴A GGB21111，∴A GGB12．∴AG:GH:HB3:4:2．∴AG:GH:AB3:4:9．【例3】过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB的延长线于点D．BE CF求证：1．EA FAA AF FE EG GD B C D B M C【解析】作直线AG交BC于M，∵MG:GA1:2，BM MC．∴A E BD MGEB DM GAA E BDEB DM121．∴E B BDAE2DM．同理，C F DCFA2DM，而BD DC BD BD2BM2(BD BM)2DM∴B E CF BD DC2DMEA FA2DM2DM2DM1．【例4】如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，AE EB，于点F，S△ABC40．求S AEFD．A DDC23，BD与CE交ADEFC BEF CD AB 【解析】对△ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1FC DA BE ，即E FFC32211，所以1EFFC3．所以11S△S△S△，BFE BEC ABC48进而2111S S△S△S△4011．AEFD ABD BEF ABC5840习题4.如图，在△ABC中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x 的值．AE5xF108DCBCD AB EF 【解析】对△ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1DA BE FC x22．，即18x2315x1521，解得【备选】如图，△ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC的面积．CEOD354030ABFAF BC DO 【解析】对△ABD和截线COF，由梅氏定理得：1FB CD OA ，即4BC13CD21，所以BC CD 32BC，所以3BD．所以S△ABC3S△ABD3105315．非常挑战【例5】如图，在△ABC中，A的外角平分线与边BC的延长线交于点P，B的平分线与边CA交于点Q，C的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线．ARQB C P【解析】AP是BAC的外角平分线，则BP AB①PC CABQ是ABC的平分线，则CQ BC②QA ABCR是ACB的平分线，则AR CA③RB BC①②③得BP CQ AR AB BC CA1PC QA RB CA AB BC因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线．习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．ABCD E FAPBCD E F【解析】如图，CD、BE、AF分别为三角形ABC的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．过C作BE的平行线，则BCP CBE EBD CPB，所以△BPC是等腰三角形．则PB CB．则有：C E PB CB EA BA BA．同理A D ACDB CB ；B F BAFC AC．CE AD BF CB AC BA所以1EA DB FC BA CB AC所以D、E、F共线．．板块二塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果△ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、BD CE AFF，如图，那么1DC EA FB．通常称点P为△ABC的塞瓦点．AF EPB D C证明：∵直线FPC、EPB分别是△ABD、△ACD的梅氏线，BC DP AF∴1 CD PA FBDB CE AP，1BC EA PD．BD CE AF两式相乘即可得：1DC EA FB．塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并BD CE AF且1，那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）．DC EA FBEFAAF' EF PB DC BD C证明：⑴若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F'．由塞瓦定理得：BD CE AF'1，DC EA F BBD CE AF又已知1，∴DC EA FB A F AFFB F B，∴AB ABFB F B，∴FB F B．∴F'与F重合∴CF'与CF重合∴AD、BE、CF相交于一点．⑵若AD与BE所在直线不相交，则AD∥BE，如图．∴B D EADC ACBD CE AF，又已知1DC EA FB，∴EA CE AF1，即AC EA FB C E FB AC AF．∴BE//FC，∴AD∥BE∥FC．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．探索提升【例6】（1）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ三线共点．AZ YB X C（2）若AX，BY，CZ为△ABC的三条内角平分线．求证：AX，BY，CZ三线共点．AZYB X CBX CY AZ【解析】（1）由条件知，BX XC，YC YA，ZA ZB．∴1XC YA ZB根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX，BY，CZ共点．，这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：B X AB CY BC AZ AC，，．XC AC YA BA ZB BCBX CY AZ AB BC AC三式分别相乘，得：1．XC YA ZB AC AB BC根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX，BY，CZ共点，这个点称为这个三角形的内心．习题6.若AX，BY，CZ分别为锐角△ABC的三条高线，求证：AX，BY，CZ三线共点．AZYBX C【解析】由△ABX∽△CBZ得：B X ABBZ BC；由△BYA∽△CZA得：A Z ACAY AB；由△AXC∽△BYC可得：Y C BCCX ACBX AZ YC AB AC BC．所以1．BZ AY CX BC AB AC根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX，BY，CZ共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】如图，M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过B C的中点D，求证：EF∥BC．AFEMB CDAF BD CE【解析】对△ABC和点M应用塞瓦定理可得：1FB DC EA．又因为BD DC，所以AF CE FB EAAF AE1．进而FB EC，所以EF∥BC．习题7.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N．求证：直线MN必平分梯形的两底．MPD CNA Q B【解析】∵AB∥CD∴MD CMDA BCMD BC∴1DA CM∵MD AQ BC1（由塞瓦定理得）DA QB CMAQ∴1QB，∴AQ QB∵D P PCAQ QB，∴DP PC．板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，E、F分别为△ABC的AC、AB边上的点，且AE3EC，BF3FA，BE、CF交于点P，AP的延长线交BC于点D．求AP:PD的值．AFEPB D C【解析】∵P为△ABC的塞瓦点．∴A F BD CE1BD1FB DC EA3DC31∴B DDC91，∴B DBC910．∵EPB为△ACD的梅氏线，∴A P DB CE APPD BC EA PD911031 AP10∴PD3【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点L，K，对角线AC与BD 交于点M．直线KL与BD、AC分别交于点F、G．求证：K F KGLF LG．DAMCBK F L GDA KF LC【解析】对△DKL与点B应用塞瓦定理得：1．AK FL CD．DA KG LC 对△DKL和截线ACG应用梅涅劳斯定理可得：1AK GL CD 进而可得K F KG．LF LG。
初中数学相似三角形(梅涅劳斯定理与塞瓦定理)(无答案)
相似三角形板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．GF EDCBAGFE DCBAH3H 2H 1F E DCBA证法一：如左图，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF= ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．知识导航梅涅劳斯定理与塞瓦定理【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．EC D B FA【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AF ED BF=．习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：FA EAFC EB=． EFBDCA夯实基础习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB． DEBMCA【例2】 如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．NMDCF EBA【解析】 ∵直线AE 是BCD △的梅氏线，∴1BM DA CE MD AC EB ⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=，∴11BM MD = ∵直线AF 是BCD △的梅氏线， ∴1BN DA CF ND AC FB ⋅⋅=， ∴11122BN ND ⋅⋅=，41BN ND =． ∴::5:3:2BM MN ND =．探索提升习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．CEFD BH GA【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1BE CFEA FA+=．M DGFECB A【解析】 作直线AG 交BC 于M ，∵:1:2MG GA =，BM MC =． ∴AE BD MG EB DM GA ⋅⋅112AE BD EB DM =⋅⋅=． ∴2EB BD AE DM=． 同理，2CF DCFA DM=， 而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+= ∴21222BE CF BD DC DM EA FA DM DM DM+=+==．【例4】 如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．FDECBA【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=，即32121EF FC ⋅⋅=， 所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△， 进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫=-=-=⋅= ⎪⎝⎭△△△．习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x的值．x 1085F D E CBA【备选】如图，ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC △的面积．354030O F ECDBA【例5】 如图， 在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．P C B QRA【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线，则BP ABPC CA=① BQ 是ABC ∠的平分线，则 CQ BCQA AB=② CR 是ACB ∠的平分线，则 AR CARB BC=③ ⨯⨯①②③得1BP CQ AR AB BC CAPC QA RB CA AB BC⋅⋅=⋅⋅= 因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P 、Q 、R 三点共线．习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．F EDCBAP F EDCBA非常挑战板块二 塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点． PFED CB A证明： ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD⋅⋅=． 两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． F PF'ED C BAFED CB A证明： ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B⋅⋅='，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B '='， ∴AB AB FB F B ='，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．知识导航⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图． ∴BD EA DC AC=，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF =． ∴//BE FC ，∴AD BE FC ∥∥．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA【解析】 （1）由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=， 根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点．这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，． 三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点， 这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYX CBA探索提升【例7】 如图， M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．FDEMBA【解析】 对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AEFB EC=，所以EF BC ∥．习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN必平分梯形的两底．BQ ANCP DM．板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合【备选】如图，E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF 交于点P ，AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．ABCD EFP非常挑战【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点L K，，对角线AC与BD 交于点M．直线KL与BD、AC分别交于点F G、．求证：KF KGLF LG．F LKMDCBA。
四个重要定理(梅涅劳斯,塞瓦,托勒密,西姆松)
四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】【评注】梅氏定理4． 以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。
求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
第四讲 塞瓦定理、梅涅劳斯定理.尖子
梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．证法一：如左图，过C 作CG ∥DF ∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF =∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=．证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G ∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG=三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DC FB DC EA BD DC AG ⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、．则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．知识点睛模块一梅涅劳斯定理和逆定理相似——塞瓦定理、梅涅劳斯定理【例1】如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，AE ：EF ：FD=4：3：1．求AG ：GH ：AB．【例2】如图，在△ABC 中，∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，∠B 的平分线与边CA 交于点Q ，∠C 的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R三点共线．【巩固】过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1=+F A CF EA BE。
典型例题塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点．证明：∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD ⋅⋅=．两式相乘即可得：1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF相交于一点（或平行）．证明：⑴若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B ⋅⋅='，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B '='，∴AB AB FB F B='，∴FB F B '=．∴'F 与F 重合∴'CF 与CF ∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图．∴BD EA DC AC =，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF=．∴//BE FC ，∴AD BE FC ∥∥．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．知识点睛模块二塞瓦定理及其逆定理【例3】如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN 必平分梯形的两底．【例4】（1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．【巩固】如图，M 为△ABC 内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF//BC．典型例题【例5】（1）如图1，若O 是△ABC 的重心（），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：21=AD AO （2）如图2，若O 是△ABC 的重心，若AB ＝5，点G 从A 出发，在AB 边上以每秒一个单位的速度向B 运动，运动时间为t 秒，连GO ，直线GO 交直线AC 与H 点（G 、H 均不与△ABC 的顶点重合）.求OHGO （用含有t的式子表示）【例6】△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的动点，BD=mCD ，AE=nEC ，AD 与BE 相交于点O ．（1）如图1，当m=2，n=1时，BE OB =___________，CDOES AOE S 四△=___________；（2）当m=1.5时，求证：CEAE OD OA 35=；（3）如图2，若CO 的延长线交AGB 于点F ，当m 、n 之间满足关系式时，AF=2BF ．（直接填写结果，不要求证明）能力提升【例7】已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当OA=OB ，且D 为OA 中点时，求PCAP 的值；（2）如图2，当OA=OB ，且41=AO AD 时，求APAD 的值．（3）如图3，当AD ：AO ：OB=1：n ：n 2时，直接写出AP AD 的值．【习题1】在△ABC 中，AD ：BD=1：1，AE ：CE=1：2，BE 与CD 交于点P ，则BP ：PE=（）A ．2：1B ．1：2C ．2：3D ．3：2【习题2】如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD +的值为（）A.52 B.1 C.32D.2真题赏析课后作业【习题3】如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 上任意一点，BE 交AD 于O ．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO ；②当21131+==AC AE 时，有222+=AD AO ；③当31141+==AC AE 时，有322+=AD AO ；…；则当111=AC AE 时，AD AO =（）A ．51B ．112C ．61D ．132【习题4】如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上，AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．【习题5】若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．【习题6】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD+BC=CD，E为CD上一点，且DE=DA．（1）如图1，作EF⊥AB于F，交AC于M试说明ME，MF的数量关系并说明理由；（2）如图2，连接DF、CF，求证：∠DFE=∠CFE;（3）如图3，连接BE延长交AD的延长线于G，若E点到AB的距离为85，则1BC+1DG的值为____（直接写出结果，不解答）．。
梅内劳与赛瓦定理
梅内劳斯定理与塞瓦定理一、定理梅内劳斯定理 ：设X 、Y 、Z 分别是ABC ∆的边BC,CA,AB 或其延长线的点，且有奇数个点在边的延长线上，则X 、Y 、Z 三点共线的充分条件是1=⋅⋅ZB AZ YA CY XC BX塞瓦定理：设X 、Y 、Z 分别是ABC ∆的边BC,CA,AB 或其延长线的点，且有偶数个点在边的延长线上，则AX,BY ,CZ 三线共点或平行的充分条件是1=⋅⋅ZB AZ YA CY XC BX二、例题1、在ABC ∆的边BC 上任取一点D ，设A D B ∠和ADC ∠的角平分线分别交AB,AC 于F 和E 。
求证：AD,BE,CF 相交于同一点。
CD2、已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上任意一点，E 是AC 延长线上的一点，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于F ．求证：FD ＝FE ．E3、ABC 中,D 是BC 上的点,13BD DC =,E 是AC 的中点,,AD BE 交于点,O CO 交AB 于F .求四边形BDOF 的面积与ABC 的面积之比.D4、 过ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F.，求证：1=+FACF EA BE 。
D5、如图ABC ∆中，90A ∠=，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F .若:2:BE ED AC DC =.求证:ADB FDC ∠=∠.C F6、在四边形ABCD 中，BCD ABD ∆∆,和ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M,N 分别在AC,CD 上，满足AM:AC=CN:CD ，并且B,M,N 三点共线，求证M 与N 分别是AC 和CD 的中点。
C7、设AD 是ABC ∆的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任意一点，BP,CP 分别与AC,AB 交于E 和F ，则EDA FDA ∠=∠CD三、练习1、设等腰直角三角形,90,ABC A E ∠=是AC 中点，D 在BC 上，AD BE ⊥，求证：AEB CED ∠=∠。
数学初中竞赛 ：《梅涅劳斯定理和塞瓦定理》训练(含答案)
训练与解析：1．如图，在△ABC中，AB＞AC，内切圆⊙I与边BC切于点D，AD与⊙I的另一个交点为E，⊙I的切线EP与BC的延长线交于点P，CF∥PE且与AD交于点F，直线BF与⊙I交于点M、N，M在线段BF上，线段PM与⊙I交于另一点Q．证明：∠ENP＝∠ENQ．证明：如图，设⊙I与AC、AB分别切于点S、T，连接ST、AI、IT，设ST与AI交于点G．则IE⊥PE，ID⊥PD，故I、E、P、D四点共圆，∵AS2＝AE•AD＝AG•AI，∵∠EAG＝∠DAI，∴△AEG∽△AID，∴∠AGE＝∠AID，∴E，G，D，I四点共圆，∴I、G、E、P、D五点共圆，∴∠IGP＝∠IEP＝90°，即IG⊥PG，∴P、S、T三点共线，对直线PST截△ABC，由梅涅劳斯定理知，∵AS＝AT，CS＝CD，BT＝BD，∴，设BN的延长线与PE交于点H，对直线BFH截△PDE，由梅涅劳斯定理知，∵CF∥BE，∴，∴，∴PH＝HE，∴PH2＝HE2＝HM•HN，∴，∴△PHN∽△MHP，∴∠HPN＝∠HMP＝∠NEQ，∵∠PEN＝∠EQN，∴∠ENP＝∠ENQ．2．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH＝90°．证明：作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ．＝＝＝•①＝•＝•②由①②得：＝，又∵∠MBA＝∠MCA，∴△MBQ∽△MCP，∴点M、A、P、Q四点共圆，即点M、A、P、Q、H五点共圆，又AH为直径，∴∠AMH＝90°．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC＝∠EAC．证明：如图，连接BD交AC于H，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．对△BCD用塞瓦定理，可得①因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理知．代入①式得②因为CI∥AB，CJ∥AD，则，．代入②式得．从而CI＝CJ．又由于∠ACI＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠DAC＝∠ACJ，所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC＝∠JAC，即∠GAC＝∠EAC．4．如图，四边形ABFD中，C、E分别为BF、DF上一点，且∠BAC＝∠DAE，BE、CD交于点G，连接AG，求证：∠FAC＝∠GAE．证明：根据三角形的面积公式知，＝＝，＝＝，＝＝．又根据梅涅劳斯定理知，＝1．所以××＝1．整理即可得到：＝．又因为∠BAC＝∠DAE，所以∠FAC＝∠GAE．5．梅涅劳斯定理是古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的．它指出，如果一条直线与△ABC的三条边AB、BC、CA（或其延长线）分别交于F、D、E，则有＝1．解答以下两个问题：（1）如图1所示，AB＝AC＝6，D为BC中点，点E在AC上，CE＝2，点F在AB的延长线上，求FB的长．（2）如图2所示，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC中点，E在AB上，AE ＝2EB，连接AD、CE，求证：AD⊥CE．解：（1）∵AC＝6，CE＝2，∴AE＝AC﹣CE＝4，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AB＝6，∴AF＝AB+FB，根据梅涅劳斯定理得，＝1，∴，∴FB＝6；（2）如图，过点B作BF⊥BC交CE的延长线于F，∴∠CBF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠CBF＝180°，∴BF∥AC，∴∠ACE＝∠F，∠CAE＝∠FBE，∴△ACE∽△BFE，∴＝2，∴AC＝2BF，∵点D是BC的中点，∴BC＝2CD，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∴BF＝CD，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF，∴∠CAD＝∠BCF，∴∠ACE+∠CAD＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∴AD⊥CE．6．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点E，AD、BC的延长线交于点H，过点E作FG∥AB交AD于点F，交BC于点G，求证：AG、BF、EH三线共点．证明：∵FG∥AB，∴，，∴•＝1，同理：＝1，∵点E为△HAB的赛瓦点，∴＝1，∴＝1，∴＝1，∴AG、BF、EH三线共点．7．如图，在△ABC中，AQ平分∠BAC，QD⊥BC交BC于点D，在BC上取一点E，使得∠BAD ＝∠CAE，在AE上存在一点K，使得∠KBC＝2∠BQD，求证：QK平分∠BKC．证明：如图，作∠CBK的角平分线交QK于I，延长AD，AE交BQ，CQ于M，N，连接CM交AB的延长线于X，连接BN交AC的延长线于Y，BN，CM交于F，AQ交BC于G，设∠BAM＝∠CAN＝α，∠MAQ＝∠NAQ＝β，∵AQ平分∠BAC，∴①，∵∠KBC＝∠2∠BQD＝2∠CBI，∵QD⊥BC，∴∠DBQ+∠BQD＝90°＝∠DBQ+∠CBI，∴BI⊥BQ，由同角的内、外角平分线互相垂直，得：BQ平分∠XBC，∴，∵②，③，由①②③得，＝1，由塞瓦定理的逆定理得，BN，CM，AQ交于一点F，点F对于△ABC，由塞瓦定理（延长线）得，＝1，∴，∴C Y＝④，∵，∴⑤∵，∴⑥由⑤⑥得，，∴⑦，由④⑦得，，∴，由角平分线的逆定理得，CQ平分∠BCY，∴Q是△KBC的旁心，∴QK平分∠BKC．8．如图，已知△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，B在AD上的射影为E，EB交AM于N，求证：DN∥AB．证明：延长BE、AC交于点F，连接ME，如图：∵AE平分∠BAC，AE⊥BE，∴BE＝EF，∵BM＝CM，∴EM∥AF，∴，∴，对于△BDE和截线AMN，由梅涅劳斯定理可得，∴，∴，∴DN∥AB．证毕．9．如图，在梯形ABCD的对角线AC的延长线上任取一点P，过点P与梯形两条底边的中点的连线分别交腰AB、CD于点M、N，求证：MN∥AD∥BC．证明：对于△ABC和截线MKP，由梅涅劳斯定理可得：，∵BK＝CK，∴；对于△ACD和截线PNL，由梅涅劳斯定理可得：，∵AL＝LD，∴，∴，∴MN∥AD∥BC．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D点和E点在AC，AB边上，且DE∥BC．P为线段DE 上一点，使得∠CPB＝90°，CP的延长线交AB于点M，延长AP交BC于点Q，过Q作PB 的平行线交PC于点H，交AC于点S，T为BC延长线上一点，且满足＝+，连接TS．求证：TS⊥DQ．证明：如图，连接DT、ET，∵DE∥BC，∴，，∴，∵QS∥PB，∴，∴，∵＝+，∴，∴，由梅涅劳斯定理的逆定理可知E、H、T三点共线，∴，∴CT＝DP，∵CT∥DP，∴TCPD是平行四边形，∴DT∥CP，∵QS∥PB，CP⊥PB，∴QS⊥DT，∵DC⊥TQ，∴S是△TDQ的垂心，∴TS⊥DQ．证完．11．如图，设P为▱ABCD内任意一点，过P作EF∥AB，GH∥BC，EF交A，BC于点E，F，GH 交AB，DC于点G，H，且AC，GF，EH不平行．求证：A C，GF，EH相交于一点．证明：设AC、EH相交于点K，对于△CAD与截线EHK，由梅涅劳斯定理可得：，∵ABCD是平行四边形，且EF∥AB，GH∥BC，∴，，∴，由梅涅劳斯定理的逆定理可知G、F、K三点共线，∴AC，GF，EH相交于一点．12．如图所示，已知D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，AD，CE交F，BF，DE交于G，过G作BC的平行线MN，交AB，CE，AC于M，H，N，求证：GH＝NH．解：过点E作ES∥BC，交AC于点S，∴，∵NM∥BC，∴，对于△ABF及截线EGD，由梅捏劳斯定理可得：，∴，由梅捏劳斯定理可知：S、H、D共线，∴，∴GH＝HN．13．在△ABC中，D，E分别为AB，AC上一点，DE交AF于H，HG⊥BC，连接DG，GE．（1）证明：GH为△DGE的一条平分线；（2）过H的一条直线交DF，AE分别于M，N，证明：GH为△MNG的一条角平分线．证明：（1）延长ED与CB的延长线交于K，对于直线CBK截得△ADE，由梅涅劳斯定理得：••＝1①，对于点F与△ADE，由塞瓦定理得：••＝1②，①＝②得：＝，∴线段DE被点H、K调和，∵∠KGH＝90°，由调和点列结论1得，GH平分∠DGE，即GH为△DGE的一条平分线；（2）延长NM交BC于S，连接AM并延长，交BC于T，对于直线STC截得△AMN，由梅涅劳斯定理得：••＝1①，对于点F与△AME，由塞瓦定理得：••＝1②，①＝②得，＝，∴线段MN被点H、S调和，∵∠KGH＝90°，由调和点列结论1得，GH平分∠MGN，即GH为△MNG的一条角平分线．14．定理3 （梅涅劳斯（M enelaus）定理）：一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB（或它们的延长线）分别交于P，Q，R．证明：．证明：如图，由三角形面积的性质，有①，②，③．由①×②×③，得．15．由矩形ABCD的外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线MQ和MP，向另两边延长线引垂线MR，MT．证明：PR与QT垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上．解：连接BD交PR于N，连接QN、DM、DB、AM、BN、MN、TN、MC，显然M、P、Q共线，R、M、T共线，在矩形APMR中，∠1＝∠2＝∠3，∴R、D、N、M四点共圆，∴R、D、N、Q、M五点共圆，∴∠RNQ＝90°，∠6＝∠7，在矩形QCTM中，∠5＝∠4＝∠2，∴∠5+∠6＝∠2+∠7＝90°，∴∠NQT＝∠5+∠DQM+∠6＝180°，∴N、Q、T共线，∴TQ⊥PR且它们的交点在矩形的一条对角线上．。
初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)
第 1 页板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．证法一：如左图，过C 作CG ∥DF证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AF ED BF=． 习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：FA EAFC EB=． 【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知1CD BE AFDB EA FC⋅⋅=，又因为BD BC =，所以1BE AF EA FC ⋅=，即FA EAFC EB=． 习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB． 【解析】 由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，由射影定理224AD AD AM AC DM DM AM CM⋅===⋅． 对ABM △和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AE BC MD EB CM DA ⋅⋅=，即21114AE EB ⋅⋅=．所以2AE EB=．知识导航夯实基础梅涅劳斯定理与塞瓦定理【例2】 如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =． 【解析】 ∵直线AE 是BCD △的梅氏线，∵直线AF 是BCD △的梅氏线，习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ． 【解析】 ∵HFC 是ABD △的梅氏线，∵D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =， ∵GEC 是ABD △的梅氏线，【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1BE CFEA FA+=． 【解析】 作直线AG 交BC 于M ，同理，2CF DCFA DM=， 而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+=【例4】 如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=，即32121EF FC ⋅⋅=，所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△，进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫=-=-=⋅= ⎪⎝⎭△△△． 习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x的值．【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1CD AB EF DA BE FC ⋅⋅=，即1823115152x x +⋅⋅=+，解得22x =．【备选】如图，ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC △的面积．【解析】 对ABD △和截线COF ，由梅氏定理得：1AF BC DO FB CD OA ⋅⋅=，即41132BC CD ⋅⋅=，所以32BC CD =，所以3BCBD=．所以33105315ABC ABD S S ==⨯=△△．【例5】 如图， 在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线，则BQ 是ABC ∠的平分线，则 CR 是ACB ∠的平分线，则 ⨯⨯①②③得非常挑战探索提升第 3 页因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P 、Q 、R 三点共线．习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点． 【解析】 如图，CD BE AF 、、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交AB AC BC 、、于D E F 、、．过C 作BE 的平行线，则BCP CBE EBD CPB ∠=∠=∠=∠， 所以BPC △是等腰三角形．则PB CB =．则有：CE PB CBEA BA BA ==． 同理AD AC DB CB =；BF BA FC AC=． 所以1CE AD BF CB AC BA EA DB FC BA CB AC ⋅⋅=⋅⋅=．所以D E F 、、共线．板块二 塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点． 证明： ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． 证明： ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B⋅⋅='，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B'='， ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图． ∴BD EA DC AC=，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF=． 说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．探索提升知识导航（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．【解析】 （1）由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点． 这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，． 三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点， 这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．【解析】 由ABX CBZ △∽△得：BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得：AZ ACAY AB =； 由AXC BYC △∽△可得：YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BCBZ AY CX BC AB AC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX BY CZ ，，共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】 如图， M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．【解析】 对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AEFB EC=，所以EF BC ∥． 习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN必平分梯形的两底． ∵1MD AQ BC DA QB CM⋅⋅=（由塞瓦定理得） 板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合【备选】如图，E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF 交于点P ，AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．【解析】 ∵P 为ABC △的塞瓦点．∵EPB 为ACD △的梅氏线，【备选】如图，四边形ABCD 的对边AB 和DC ，DA 和CB 分别相交于点L K ，，对角线AC 与BD 交于点M ．直线KL 与BD 、AC 分别交于点F G 、．求证：KF KGLF LG=． 【解析】 对DKL △与点B 应用塞瓦定理得：1DA KF LCAK FL CD⋅⋅=．对DKL △和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得：1DA KG LCAK GL CD⋅⋅=．非常挑战进而可得KF KGLF LG．第 5 页。
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知识点A 要求B 要求Ｃ要求比例及定理 熟知定理内容掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题 会运用定理及其推论的内容来解决相似的问题一、比例的基本性质1),a cad bc b d=⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b db d a c=⇔=(反比定理); 3)a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理); 4)ac a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5)a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6)a c a b c db d a bc d++=⇔=--(合分比定理); 7)(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理). 二、平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则AB DE AC DF =，BC EF AC DF =， AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE AB AC BC ==，反之如果有AD AE DEAB AC BC==，那么DE ∥BC 知识点睛中考要求梅涅劳斯定理和塞瓦定理ABCDEEDC B A三、梅涅劳斯定理梅内劳斯（Menelaus ，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理．梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线的充分必要条件是：1CX BZ AYXB ZA YC⋅⋅=． 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上．Z YcabXCBA c ab YZXACB证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则1CX BZ AYXB ZA YC⋅⋅=． 设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则CX c XB b =，BZ b ZA a =、AY a YC c =，三式相乘即得1CX BZ AY c b aXB ZA YC b a c ⋅⋅=⋅⋅= （2）充分性，即若1CX BZ AYXB ZA YC⋅⋅=，则X 、Y 、Z 三点共线． 设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：1CX BZ AY XB ZA Y C'⋅⋅='又因为1CX BZ AY XB ZA YC ⋅⋅=，所以AY AYY C YC '='． 因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线．梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CX XB 、BZ ZA 、AYYC三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线．四、塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G ·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．塞瓦定理：从ABC △的每个顶点出发作一条塞瓦线AX BY CZ ，，．则AX BY CZ ，，共点的充分必要条件是1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=． PC 'B 'ZYXCBA充分性命题：设ABC △的三条塞瓦线AX BY CZ ，，共点，则必有1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=． 必要性命题：设ABC △中，AX BY CZ ，，是三条塞瓦线，如果1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=，则AX BY CZ ，，三线共点．我们先证明充分性命题．如图，设AX BY CZ ，，相交于P 点，过A 作BC 边的平行线，分别交BY CZ ，的延长线于B C ''，．由平行截割定理，得BX AB CY BC AZ AC XC AC YA AB ZB BC ''===''，，．上面三式两边分别相乘得：1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=我们再证明必要性命题．Z 'ZYX PCB A假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连CP 交AB 于Z '．则CZ '也是一条过P 点的ABC △的塞瓦线．根据已证充分性命题，可得1BX CY AZ XC YA Z B '⋅⋅='，由因为1BX CY AZ XC YA ZB ⋅⋅=，进而可得AZ AZZ B ZB'='．所以AZ AZAB AB'=，因此AZ AZ '=．所以Z '与Z 重合，从而CZ '和CZ 重合，于是得出AX BY CZ ，，共点． 塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式．一、梅涅劳斯定理【例1】 已知△ABC 中，D 是BC 的重点，经过D 的直线交AB 与E ，交CA 的延长线于F ．求证：FA EAFC EB=． EFBDCA【例2】 如图所示，△ABC 中，∠ABC =90°，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于D ，CD的延长线交AB 于E ．求AEEB．DEBMCA【例3】 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F ．使12BD CE AF DC EA FB ===．若BE 与CF ，CF 与AD ，AD 与BE 的交点分别为1A 、1B 、1C例题精讲求证：11117A B C ABCS S =△△． A 1C 1B 1FE CDBA【例4】 如图所示，△ABC 的三条外角平分线BE 、AD 、CF ，与对边所在直线交于E 、D 、F 三点，求证：D 、E 、F 三点共线．FEDCBA【例5】 如图所示，设D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，BD 与CE 交于F ，AE EB =，23AD DC =．40ABC S =△．求AEFD S ． FDEC BA【例6】 如图所示，△ABC 内三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x 的值．x 1085F DE CBA【例7】 如图所示，△ABC 被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC 的面积．354030O F EDBA【例8】 ABC △中，D E ，分别是BC ，CA 上的点，且::1::1BD DC m CE EA n ==，．AD 与BE 交于F ，问ABF △的面积与ABC △面积的比值是多少？GDEFBA【例9】 P 是平行四边形ABCD 内任意一点，过P 作AD 的平行线，分别交AB 于E ，交CD 于F ；又过P作AB 的平行线，分别交AD 于G ，交BC 于H ，又CE ，AH 相交于Q ． 求证：D P Q ，，三点共线．KQP H GFED CB A二、塞瓦定理【例10】 设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，共点．ZYXCBA【例11】 若AX BY CZ ，，分别为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，共点．ZYXCB【例12】 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三角高线，求证：AX BY CZ ，，共点．ZYX CBA【例13】 如图，设M 为ABC △内一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AM 交于F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．FDEMBA【例14】 锐角三角形ABC △中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：EDH FDH ∠=∠．HABCD FE【例15】 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ．求证：GAC EAC ∠=∠．F GEDCBA【例16】 如图，四边形ABCD 的对边AB 和CD ，AD 和BC 分别相交于L K ，，对角线AC 与BD 交于M ．直线KL 与BD ，AC 分别交于F G ，．求证：KF KGLF LG． FGKMDCBA。