塑性力学第三章 塑性本构关系

（3—25）
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R 代表屈服曲面上各点对应的应力偏张量的矢量
长度。由（3.7） OS 2 J 2 得： R= OS = 2 J 2 代入（3—25）式得： Mises 屈服条件的第一种表达方式： s2 （3—26） J2 由 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 的定义式可 把上式变成 Mises 屈服条件的第二种表达方式： 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 s （3—27） 说明： （1）在π平面上，Mises 屈服轨迹是一个半径为
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π平面上的屈服轨迹为正六边形 ABCDEF，如图 3.8
所示。 下 面 分 析 （ 3 — 20 ） 式 与 屈 服 轨 迹 正 六 边 形 ABCDEF 的对应关系。
OA 是应力空间中的 Oσ1 轴在π平面上的投影， 因此 A 点对应单向应力状态。 而 A 点又在屈服曲面上， 因此应有 O σ 1= σ 1= σ s ，投影到 π 平面上，应乘以
2
（3—15）代入（3—14 ）得屈服条件为： σ1－σ3 =σs （3—16） 设由薄壁筒扭转实验得到的屈服剪应力为τs， 纯 扭转也是复杂应力状态的特例，因此也应满足（ 3— 14） 。将τmax=τs，代入（3—14）得： k =τs （3—17） 代入（3—15）得： 在 Tresca 屈服条件下σs 和τs 的关系： τs= s （3—18）
§3.4
Tresca 屈服条件
实验表明，最大剪应力达到一定数值时材料就开 始屈服，屈服条件为： τmax=k （3—14） k 为常数。 一、 各主应力按大小顺序排列 （即 σ1＞σ2＞σ3） 1 3 τmax=
2
代入（3—14）得： ‘ σ 1 － σ3 = 2 k （3—14 ） 设单向拉伸实验的屈服应力为σs， 单向拉伸是复 ‘ 杂应力状态的特例，因此也应满足（3—14 ） 。将σ1= σs，σ2=σ3=0 代入（3—14‘）得： k= s （3—15）
‘ ’
§3.5
Mises 屈服条件
Tresca 屈服条件完全忽视了居于中间大小的主应 力对材料屈服的影响，这是和实际有出入的。
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Mises 用 Tresca 屈服条件的屈服轨迹正六边形 ABCDEF 的外接园作为屈服轨迹。 由（3—23）式知圆的半径为 圆的方程为：
2 2 R = s 3
2
2 σs， 3




3 2 2 2 4 6 4J 2 27 J 3 9 s J 2 6 s J2 s 0 （3—22）
是 J3 的偶函数。 （3—16） 、 （3—21）和（3—22）是 Tresca 屈服 条件的三种不同的表达方式。该屈服条件常用在主应 力大小顺序为已知的问题上。 说明： （1）在应力空间中表示 Tresca 屈服条件的屈服 曲面是一个以等倾线为轴线的无限长正六角柱面。在
2
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‘
二、各主应力不按大小顺序排列 （3—16）可改写为： σmax－σmin =σs （3—19） （3—19）等价于下式中至少有一个式子成立： 1 3 s 0 0 3 s 1 1 2 s 0 （3—20） 1 2 s 0 2 3 s 0 2 3 s 0 （3—20）等价于 1 2 2 s2 2 3 2 s2 3 1 2 s2 0 （3—21） （3—21）是各主应力大小顺序未知时屈服的必 要条件。 上式可化为：
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（1）简单加载 ：在加载过程中各应力分量按某 0 0 一参数 t 成比例地单调增长，即 ij t ij （这里 ij 为 某一固定的应力状态）时，称为简单加载，即比例加 载。简单加载时，在应力空间中代表应力状态的点在 0 连接原点 O 与代表应力状态 ij 的点 A 的直线上移动。 加载路径是通过原点的直线。 （2）复杂加载 ：不符合上述比例关系的加载方 式叫复杂加载。 复杂加载时 加载路径可以是通过原点或不通过 原点的曲线或折线。 （二）简单加载原理 简单加载定义是针对受力物体中一点应力状态 给定的。但荷载是施加在整个物体上，这样就提出一 个问题：满足什么样的条件，才能在物体内所有各点 上实现简单加载呢 ?苏联力学家提出的简单加载定理 部分地回答了这个问题。 简单加载定理：对小变形的受力物体，满足下列 三个条件即可保证物体内所有各点都处于简单加载 （充分条件） ： （1）物体上所有外加荷载（包括表面力和体积 力）成比例增长。如有位移边界条件，只能是零位移 边界条件； （2）应力强度和应变强度呈幂关系 i A in ; （3）材料不可压缩，即泊松比μ= 。
3
与（3—18）式相比可知，Tresca 屈服条件和 Mises 屈 服条件在τs 和σs 的关系上有约 15％的差异。 因此，Mises 屈服条件和 Tresca 屈服条件在单向
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拉压应力状态下完全一致，在纯剪切时二者差异最 大，约为 15％。 （4）对于平面应力状态，σ3 = 0， （3—27）式化 为： 2 2 （3—29） 12 1 2 2 s 在应力空间中， σ3=0 平面 （ σ 1， σ2 坐标面） 与 Mises 屈服曲面的交线为一斜椭圆，它外接于 Tresca 屈服轨 迹的斜六边形。 §3.6 加载曲面和加载准则 （一）加载曲面（后继屈服面） 由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈 服以后，其应力保持常值。卸载后再重新加载时其屈 服应力的大小也不改变 （没有强化现象） 。 对于强化材 料，在开始屈服之后，随着塑性变形的发展其应力值 继续增加。卸载后再重新加载至原来开始屈服的应力 时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的应力，材 料才再次屈服。因此对于强化材料，重新加载时的屈 服应力要高于原始加载时的屈服应力，这就是强化现 象。而复杂应力状态与单向拉伸状态是类似的，即： 复杂应力状态下，理想塑性材料在应力空间中的 屈服曲面具有固定的大小和形状，屈服以后经过卸载 并重新加载，仍然保持原来的屈服曲面。 对于强化材料，我们把在应力空间中由屈服条件 规定的曲面叫做初始屈服曲面，记做Σ，若加载至超
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1 s s 1 1 2 s 1 2 s 2 s 2 s
‘ ’ ‘ ’
（3—24）
σ3 = 0 的平面（σ1，σ2 坐标面）与正六角柱屈
服曲面的交线为斜六边形 A B C D E F 。 方程组 （3 ‘ ’ ’ ‘ ’ ‘ ‘ ’ —24）中各式分别代表 A B 、D E 、F A 、C D 、 ’ ‘ ‘ ’ B C 、E F 各边。
2 s 的圆。 它的屈服曲面是一个以等倾线为轴线的无 3
1 6
3
限长圆柱面。 （2）以σ1 =σs，σ2 =σ3 = 0 代入（3—27）式， 得到恒等式，说明 Mises 屈服条件符合单向拉伸实验 的结果。 （3）对于纯剪应力状态，屈服时应有σ1=τs，σ 2=0，σ3=－τs，代入（3—27）得： τs = s =0.557σs （3—28）
图 3.8
代入前面得到的算式(OS)x =
1 ( 1 3 ) ，得： 2
1 3 s 。 故知，AB 边代表（3—20）式中的第一式，其中 A 点 =－30°为单向拉伸应力状态。B 点ωσ=30°为单 向压缩应力状态。G 点ωσ=0°为纯剪切应力状态。 同理可证，DE、FA、CD、BC、EF 各边分别代 表（3—20）式中的后五式。C、E 都代表单向拉伸应 力状态，D、F 都代表单向压缩应力状态，各边中点 都代表纯剪切应力状态。 （2）对于平面应力状态， σ3=0，方程组（3— 20）化为：
1 2 1 sin ，而 cos ， sin 1 ， 因此， OA （正 3 3 3
2
六边形的边长）为： OA = s sin
2 s 3
（3—23）
对 AB 边上任意何一点 S 都有： s
(OS ) x OA cos 30 2
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出了屈服曲面后卸载，然后再重新加载时，屈服曲面 比初始屈服面 Σ 向外扩大了，这就是强化现象 。 以 Σ‘表示这个扩大了的新屈服面，称为后继屈服面或 加载曲面； 以 =0 表示加载曲面，称为加载函数。
（二）加载准则 如果通过屈服条件判断材料已进入塑性阶段，则 下一步必须确定其应力状态的变化是加载达是卸载。 因为在塑性阶段对于加载和卸载其应力应变关系服从 不同规律，加载时还要产生新的塑性变形，卸载时则 不产生新的塑性变形。 对于单向应力状态，这个问题是很容易回答的。 无论是拉伸还是压缩， 其应力绝对值增大时即为加载， 减小时即为卸载。但在复杂应力状态下就不那么简单 了。可能出现一些应力分量绝对值增加而另一些分量
3
强度 i 3J 2 ，因此，也可以把 i 看成屈服函数 f， 这时的加载准则为： 对强化材料 dσi＞0 或 d J2＞0，加载 dσi＜0 或 d J2＜0，卸载 （3—35） dσi = 0 或 d J2 = 0，中性变载 对理想塑性材料 dσi= 0 或 d J2 = 0，加载 （3—36） dσi＜0 或 d J2＜0，卸载 加载时材料产生新的塑性变形，故产生塑性比功 增量 dW p ij d ijp ＞0。 （比功为单位体积所作之功） ， 而 卸载 或 中 性 变载 时 ， 不 产生 新 的 塑 性变 形 ， 即 p d ij = 0，故 dW p 0 （由于塑性变形不能恢复，故塑性 比功不可能为负） 。 所以也可以根据 dW p 来判断加载或 卸载：
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dWp＞0，加载 （3—37） dWp=0，卸载或中性变载 说明： 加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态而 言。在加载过程中某些应力分量可能增加而另一些可 能减小，但只要根据加载准则判断是加载，则就说在 这个点是加载。如是加载，则在所有方向上都要使用 塑性应力应变关系；如是卸载，则在所有方向上都要 使用弹性应力应变关系。 §3.7 简单加载和复杂加载 （一）加载方式 对一个复杂应力状态，可以根据加载过程中各个 应力分量是否成比例增长而分为简单加载与复杂加 载两种方式。
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绝对值减小的情况，这时究竟应该是加载还是卸载 呢？必须有一个准则来判断。 在建立屈服条件时， 曾根据屈服函数 f ( ij ) 的大小 来判断材料是否屈服，于是可以想到，可依照应力状 态变化时的屈服函数 f 值的变化来判断是加载还是卸 载。 材料是强化材料时，在应力空间中，代表应力状 0 态 ij 的 A 点当应力状态变化、 移向初始屈服曲面 Σ 以 外，即 df＞0 时为加载。A 向 Σ 面以内移动时，即 df ＜0 时为卸载。A 在 Σ 面上移动时，即 df = 0 时为中 性变载。故 对强化材料： df＞0，加载 df＜0，卸载 （3—33） df = 0，中性变载 由实验结果得知，加载时产生新的塑性变形，卸 载及中性变载时均不产生新的塑性变形，其各应力分 量与各应变分量的改变服从弹性规律。 对理想塑性材料，一旦进入塑性阶段以后，在应 力空间中代表应力状态的点均位于屈服曲面 f ( ij ) =C 上。由于没有强化现象产生，应力状态变化时，尽管 塑性变形还可以不断增长， 而屈服函数 f ( ij ) 的值却不 能再增长。即不可能有 df＞0 的情况出现。代表应力 状态的点只能在屈服面上移动，这时有 df = 0，属于 加载。 当代表应力状态的点移向屈服面以内时， df＜0，
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属于卸载。 故对理想塑性材料： df＜0，卸载 df = 0，加载 采用 Mises 屈服条件时 ， J 2
s2
3
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（3—34） ，与屈服条件
f （ 1 , 2 , 3 ） = C 相 比 较 ， J2 就 是 屈 服 函 数 s2 f（ 1 , 2 , 3 ） ， 就是常数 C。所以 df=dJ2。而应力