上海市七宝中学2019_2020学年高二数学9月月考试题(含解析)

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2019-2020年高二9月月考数学纯含解析

2019-2020年高二9月月考数学纯含解析请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = （） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，314q a a =，即16312⨯=a ，解得21=a考点：等比数列的通项公式2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中, a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6= （）A ．B ．7C ．6D ．【答案】A 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，所以a 4a 5a 6＝25 故答案为25考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．3．复数11Z i =-的模为（）A ．12B C D ．2【答案】B 【解析】试题分析：因为复数11Z i =-，则222111==-=i z 考点：复数的模的求法4．二项式91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是（）A ．84B ．-84C ．126D ．-126【答案】B 【解析】试题分析：：由于二项式的通项公式为 r r r r rr r x C xx C T 299991)1()1(--+-=-= 令9-2r=3，解得 r=3，∴展开式中x 3的系数是（−1）3•8439-=C故答案为-84．．考点：二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数 5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=10，S 20 =30，则S 30 = （） A ．50 B ．60 C ．80 D ．90 【答案】D 【解析】试题分析：等差数列{a n }中，2030,1020,10s s s s s --也成等差数列，易得S 30 =90考点：等差数列性质6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：在锐角ABC ∆中，C a A c cos 3sin =,由正弦定理得，,cos sin 3sin sin C A A C =，解得3tan =C 3π=C 所以又因为3π=B ,所以ABC ∆是等边三角形，33sin 2221=⨯⨯=∆πABC s 考点：正弦定理与三角形面积公式 7．若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为（）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 【答案】B【解析】试题分析：337131231|311332131<=⨯-⨯==<x S ;12ln 1ln 2ln |ln 212<=-==x S ; 213|x e S =e e -=23>,所以213S S S <<考点：定积分8．．函数3212y x x =-在区间[1,3]-上的最大值和最小值分别为（）A ．18,-．54,12- C ．-．10,-【解析】试题分析：),2)(2(61262'+-=-=x x x y 令,0'=y 则2=x ，舍去）2(-当101=-=y x 时，，282-==y x 时，当,183==y x 时，比较三个数的大小，最大的是最大值，最小的是最小值，所以答案为A 考点：函数的导数与最值9．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A ．324 B ．648 C ．328 D ．360 【答案】C 【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）．考点：排列组合知识10．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（）A ．35种B ．16种C ．20种D ．25种【答案】D 【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有45C 种方法，二是选甲，共有35C 种方法，三是选乙，共有35C 种方法，把这3个数相加可得结果为25 考点：排列组合公式11．若a 、b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是（）A ．a 2+b 2>2ab B ．a+b ≥ C ．1a +1b D ．b a +a b ≥2 【答案】D【解析】试题分析：答案A ，b a =时可取等号，答案B b a ,均为负数时不成立，答案C ，b a ,均为负数时不成立答案D 对，也可用特殊值法考点：基本不等式成立条件12．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：34224,2122≥++=+≥+xx x x x x x ，4273332733≥+++=+x x x x x x 成立，观察上面各式，按此规律若45ax x +≥，则正数a =（） A ．4 B ．5 C ．44 D ．55【解析】试题分析：观察给出的各个不等式，不难得到112x x +≥，2223x x +≥，3334x x+≥，从而第4个不等式为4445x x +≥，所以当45a x x+≥时，正数44a =，选C ．考点：寻找规律，归纳推理13．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法为（） A ．72 B ．36 C ．52 D ．24 【答案】B 【解析】试题分析：当丙在第一或第五位置时,有2=24（种）方法;当丙在第二或第四位置时,有2=8（种）方法;当丙在第三位置时,有=4（种）方法,则不同的排法种数为24+8+4=36．考点：排列组合知识14．用数学归纳法证明“42n-1＋3n+1（n ∈N *）能被13整除”的第二步中，当n=k ＋1时为了使用归纳假设，对42k+1＋3k+2变形正确的是（）A ．16（42k-1＋3k+1）-13×3k+1B ．4×42k ＋9×3kC ．（42k-1＋3k+1）＋15×42k-1＋2×3k+1D ．3（42k-1＋3k+1）-13×42k-1【答案】A 【解析】试题分析：假设当时k n =，11234+-+k k 能被13整除，当时1+=k n 21234+++k k 应化成11234+-+k k 形式，所以答案为A考点：数学归纳法 15．．设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′（x ）g （x ）＋f （x ）g′（x ）> 0，且g （－3）＝0，则不等式f （x ）g （x ）<0的解集是（） A ．（－3,0）∪（3，＋∞） B ．（－3,0）∪（0,3） C ．（－∞，－3）∪（3，＋∞） D ．（－∞，－3）∪（0,3）【答案】D 【解析】试题分析：解：令h （x ）=f （x ）g （x ），则h （-x ）=f （-x ）g （-x ）=-f （x ）g （x ）=-h （x ），因此函数h （x ）在R 上是奇函数．①∵当x ＜0时，h′（x ）=f′（x ）g （x ）+f （x ）g′（x ）＞0，∴h （x ）在x ＜0时单调递增，故函数h （x ）在R 上单调递增．∵h （-3）=f （-3）g （-3）=0，∴h （x ）=f （x ）g （x ）＜0=h （-3），∴x ＜-3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=-h（-3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．故答案为（-∞，-3）∪（0，3）．．考点：构造函数，函数的奇偶性单调性第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）16．a ，b ∈R ，a ＋bi ＝（1＋2i ）（1－i ）（i 为虚数单位），则a ＋b 的值为．【答案】4 【解析】试题分析：因为a ，b ∈R ，a ＋bi ＝（1＋2i ）（1－i ）（i 为虚数单位），所以a ＋bi=3+i,所以⎩⎨⎧==13b a ,所以a+b=4考点：复数的乘法及复数相等的条件17．62⎛- ⎝的展开式中的第四项是________．【答案】－160x【解析】试题分析：根据二项展开式的通项公式=-⨯⨯=)1(233364xC T x160-考点：二项展开式的通项公式 18．若2bex⎰dx ＝6，则b ＝________．【答案】4e 【解析】试题分析：2bex⎰=2x ln |be =2e b ln 2ln -6=,解得4e b = 考点：定积分19．设f （n ）＝1＋111123431n ⋯＋＋＋＋－（n ∈N *），则f （k ＋1）－f （k ）＝________．【答案】111.33132k k k ＋＋＋＋【解析】试题分析：=)(k f 13131211-+⋅⋅⋅+++k ,=+)1(k f 13131211-+⋅⋅⋅+++k 23113131+++++k k k ,所以，-+)1(k f =)(k f 13131211(-+⋅⋅⋅+++k )23113131+++++k k k (-)13131211-+⋅⋅⋅+++k =111.33132k k k ＋＋＋＋考点：寻求规律，数学归纳法20．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，2)1(+n n 【解析】试题分析：设等比数列{a n }的公比q ，8216143===a a q 解得q=2， ∴a n =a 1q n-1=2×2n-1=2n，∴b n =log 2a n =log 22n=n ， ∴b 1=1，∵b n =n 是首项为1，公差为1的等差数列，2)1(2)(1+=+=n n b b n s n n 考点：等差数列和等比数列的性质和求和公式三、解答题（题型注释）21．（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）= *)(2)4)(3(N n n n ∈++．（2）用数学归纳法证明不等式*)(2131211N n n n∈<++++．【答案】见解析【解析】试题分析：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n 0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立试题解析：证明：（1）①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=2)41)(31(++10=左边=右边．②假设n=k 时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=2)4)(3(++k k那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=2)4)(3(++k k +（k+4）=2)5)(4(++k k等式成立．综上1+2+3+…+（n+3）=*)(2)4)(3(N n n n ∈++成立．（2）证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立． ②假设当n=k （k≥2）时成立，即*)(2131211N k k k∈<++++那么当n=k+1时，左边=11211131211++<++++++k k k k∵4k 2+4k ＜4k 2+4k+1，可得k k +2212+<k ，即：1212211211121122+=++<+++=+++=++k k k k k k k k k k k．这就是说n=k+1时不等式也成立．综上①②可知不等式对所有的n ∈N *考点：数学归纳法证明不等式22．（1）设0,0>>b a ，求证: .2233ab b a b a +≥+ （2）已知正数．．x 、y 满足2x+y=1，求yx 11+的最小值及对应的x 、y 值．（3）已知实数x y z 、、满足3694222=++z y x ， x y z ++的最大值及对应的x 、y 、z 值．【答案】（1）见解析；（2）x 1y =时11x y+有最小值为3+。

2019-2020年高二上学期9月月考数学试题含答案

2019-2020年高二上学期9月月考数学试题含答案考试范围：必修5第一、二章考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为A 12-=n a nB )21()1(n a n n --=C )12()1(--=n a n n D)12()1(+-=n a n n2．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =A ．21-B ．2-C ．2D ．21 3．若∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =A. 14-B. 14C. 23-D. 234．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A ．1B ．2C ．2±D ．45．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132l o g l o g b b ++……314log b +等于A. 5B. 6C. 7D.86．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=600C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=450 7．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 8．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（） Am 3400Bm 33400 Cm 33200 Dm 32009．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n nT S n n ，则55b a （） A32 B 149 C 3120 D 9710．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++=（） A.(1)2n n + B.2(1)n n + C.21n n + D.2(1)n n +二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________ 12. 已知数列｛a n ｝的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项a n =__ 13．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =23,则∠C = 14．△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = 15．在钝角△ABC 中，已知a=1,b=2,则最大边c 的取值范围是____________ 。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.若复数z=a+i1−2i(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则|a+2i|等于()A. 2B. 2√2C. 4D. 82.条件p：π4<α<π2，条件q：f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.在三棱锥中，，是等腰直角三角形，，为中点.则与平面所成的角等于()A. B. C. D.4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=CD=1，DD1=2，则直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为()A. √3010B. √1010C. √7010D. 3√1010二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1⋅z2是实数，则实数t等于______．6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则|z2z1|=______ ．7.设复数z1=1+i，z2=−2+xi(x∈R)，若z1⋅z2∈R，则x的值等于______．8.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”，那么母线长为2√2的“标准圆锥”的体积为______ ．9.若z∈C，且|z+3+4i|≤2，则|z|的取值范围为____________．10.在复数集中分解因式：a4−b4=．11.在复平面内，三点A，B，C分别对应复数z A，z B，z C，若z B−z Az C−z A =1+43i，则△ABC的三边长之比为______．12.若2cos2x=1，则x=______13.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱BB1，CC1爬到点A1，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC1爬到点A1.如图，设∠PAB=α，∠QBC=β，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则α+β=______ ．14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=3，AD=AA1=2，E点在棱D1C1上，且D1E=13D1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为______．15.给出下列命题：①如果，是两条直线，且//，那么平行于经过的任何平面；②如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；③若直线，是异面直线，直线，是异面直线，则直线，也是异面直线；④已知平面⊥平面，且∩=，若⊥，则⊥平面；⑤已知直线⊥平面，直线在平面内，//，则⊥．其中正确命题的序号是．16.如图，一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此立方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.计算下列问题：18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；=λ(λ∈(0,1)，点N在线段A1B上，(Ⅲ)点M在线段B1C上，且B1MB1C的值(用含λ的代数式表示)．若MN//平面A1ACC1，求A1NA1B19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求直线PC与底面ABCD所成角的余弦值．20.已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，M为CD的中点．(1)求证：AM//平面BCE；(2)求证：AM⊥平面CDE；(3)求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．21.在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”.已x．知函数f(x)=1−1+x(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；|x1−x2|；(2)设x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，证明：|f(x2)−f(x1)|<12≤1−bx恒成立，求实数a，b的取值范围．(3)当x∈[0,1]时，不等式1−ax≤√1+x【答案与解析】1.答案：B解析：先用复数的乘除运算将z计算化简，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．解：z=a+i1−2i =(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−2+(2a+1)i5.根据纯虚数的概念得出{2a+1≠0a−2=0∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|=√22+22=2√2故选B．2.答案：B解析：解：∵π4<α<π2，∴1<tanα，∴f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，∴p是q的充分条件；而f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，必有tanα>1，解得α∈(kπ+π4,kπ+π2)(k∈Z)，由q不是p的充分条件．综上可知：p是q的充分不必要条件．故选B．由π4<α<π2，可得1<tanα；而反之不成立．当a>1时，函数y=log a x在(0,+∞)是增函数．据此即可判断出答案．充分函数y=tanα、y=log a x的单调性及充分、必要条件的意义是解题的关键．3.答案：B解析：试题分析：先作PO⊥平面ABC，垂足为O，根据条件可证得点O为三角形ABC的外心，从而确定点O为AC的中点，然后证明BO是面PAC的垂线，从而得到∠BEO为BE与平面PAC所成的角，在直角三角形BOE中求解即可。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二(上)10月月考数学试卷

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为___ 2.（填空题.3分）计算 (1002)×(14−23) =___ ． 3.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．若|a ⃗+b ⃗⃗| 不超过5.则k 的取值范围是___ ．4.（填空题.3分）若 |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ .则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ．5.（填空题.3分）已知 a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ .若 a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形.则m=___ ．6.（填空题.3分）已知行列式 |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| 中的元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项.则此行列式的值是___ ．7.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.2）. b ⃗⃗ =（2.3）.则“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的___ 条件．8.（填空题.3分）（理）若平面向量 a ⃗ 满足| a ⃗i |=1（i=1.2.3.4）且 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0（i=1.2.3）.则| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |可能的值有___ 个．9.（填空题.3分）在△ABC 中.∠A=60°.M 是AB 的中点.若|AB|=2.|BC|=2 √3 .D 在线段AC 上运动.则 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．10.（填空题.3分）已知函数 f (x )=√3|sin π2x|(0＜x ≤4038) .其图象的最高点从左到右依次记为A 1.A 2.A 3.….A 2019.其图象与x 轴的交点从左到右依次记为B 1.B 2.B 3.….B 2019.则 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 11.（填空题.3分）设 f (x )=x (12)x+1x+1 .O 为坐标原点.A n 是函数图象上横坐标为n （n∈N *）的点.向量 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 i ⃗=(1，0) 的夹角为θn .则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn ＜ 53 的最大正整数是___ ．12.（填空题.3分）已知O 是三角形ABC 的外心.AB=2.AC=1.∠BAC=120°．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则m-n=___ ．13.（单选题.5分）若从平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点.得到的向量中有n （n∈N *）个是两两不相等的.则n 的最大值是（） A.6 B.8 C.10 D.1214.（单选题.5分）任意四边形ABCD 内有一点O 满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .则O 点的位置是（） A.对角线的交点 B.对边中点连线的交点 C.BD 的点 D.AC 的中点15.（单选题.5分）已知向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）.向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.2）.向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 cosα. √2 sinα）.则向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为（） A.[0. π4] B.[ π4 . 5π12 ] C.[ 5π12 . π2 ] D.[ π12 . 5π12 ]16.（单选题.5分）三角形ABC 中.BC 边上的中垂线分别交BC.AC 于D.M.若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .AB=2.则AC=（）A.3B.4C.5D.617.（问答题.0分）用行列式讨论关于x.y 的方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0 的解的情况．18.（问答题.0分）在△ABC 中. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 ．（1）求AB 边的长度；（2）求sin (A−B )sinC的值．19.（问答题.0分）已知两点M （-1.0）.N （1.0）.且点P （x.y ）使 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列．（1）求x 与y 满足的关系式.并写出x 的取值范围；（2）记θ为 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.求tanθ的取值范围．20.（问答题.0分）如图.点Q 在第一象限.点F 在x 轴正半轴上.△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ．（1）求S 关于θ的解析式；（2）设 |OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c (c ≥2) .求点Q 的坐标；（3）在（2）的条件下.若 S =34c .求 |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值和此时点Q 的坐标．21.（问答题.0分）平面直角坐标系中.射线y=x （x≥0）和y=2x （x≥0）上分别依次有点A 1.A 2.….A n .…和点B 1.B 2.….B n .….其中A 1（1.1）.B 1（1.2）.B 2（2.4）.且 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| （n=2.3.4.…）．（1）用n 表示 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点A n 的坐标；（2）用n 表示 |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点B n 的坐标；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 的面积关于n 的表达式S n .并求S n 的最大值．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为___ 【正确答案】：[1]6【解析】：利用代数余子式的定义直接求解．【解答】：解：三阶行列式 |147258369| 中.元素4的代数余子式的值为：（-1）3 |2839| =-（18-24）=6．故答案为：6．【点评】：本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法.考查代数余子式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（填空题.3分）计算 (1002)×(14−23) =___ ．【正确答案】：[1] (14−46)【解析】：直接用矩阵相乘公式代入求解．【解答】：解： (1002)×(14−23) = (14−46) .故答案为： (14−46) ．【点评】：本题考查矩阵相乘.属于基础题．3.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．若|a ⃗+b ⃗⃗| 不超过5.则k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-6.2]【解析】：根据向量模的计算公式.列出一个关于K 不等式.解不等式.即可求出K 的取值范围．【解答】：解：∵ a ⃗=(−2，2)，b ⃗⃗=(5，k)．a ⃗+b ⃗⃗=(3，2+k)则|a ⃗+b ⃗⃗|=√9+(2+k)2 ≤5 ∴-6≤k≤2 故答案为：[-6.2]【点评】：求 |a ⃗| 常用的方法有： ① 若已知 a ⃗=(x ，y) .则 |a ⃗| = √x 2+y 2 ； ② 若已知表示 a ⃗ 的有向线段 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的两端点A 、B 坐标.则 |a ⃗| =|AB|= √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ③ 构造关于 |a ⃗| 的方程.解方程求 |a ⃗| ．4.（填空题.3分）若 |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ .则向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ．【正确答案】：[1] 2π3【解析】：根据向量 c ⃗⊥a ⃗ .得到 c ⃗•a ⃗=0 .然后求出 a ⃗•b ⃗⃗ .利用数量积的应用求向量夹角即可．【解答】：解：∵ |a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ .且 c ⃗⊥a ⃗ . ∴ c ⃗•a ⃗=0 .即（ a ⃗+b ⃗⃗ ） •a ⃗=a ⃗2+a ⃗•b ⃗⃗=0 . ∴1+ a ⃗•b ⃗⃗=0 . 解得 a ⃗•b⃗⃗=0 -1=-1. 设向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ.则cos θ=a ⃗⃗•b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=−12×1=−12. ∵0≤θ≤π. ∴ θ=2π3．故答案为： 2π3．【点评】：本题主要考查数量积的应用.要求熟练掌握数量积的应用.比较基础． 5.（填空题.3分）已知 a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ .若 a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形.则m=___ ．【正确答案】：[1]-7【解析】：由所给三个向量可构成三角形.得 a ⃗ + b ⃗⃗ - c ⃗ = 0⃗⃗ .由此列式可求m 的范围．【解答】：解：∵ a ⃗=4i ⃗+3j ⃗ . b ⃗⃗=mi ⃗−2j ⃗ . c ⃗=−3i ⃗+j ⃗ . a ⃗ . b ⃗⃗ . c ⃗ 可构成三角形；∴ a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线. b ⃗⃗ 与 c ⃗ 不共线. a ⃗ + b ⃗⃗ - c ⃗ = 0⃗⃗ ；∴ m 4 ≠ −23 . m −3 ≠ −21 .（4+m+3） i ⃗ +（3-2-1） j ⃗ = 0⃗⃗ ； ∴m≠- 83 .m≠6．m=-7．故答案为：-7．【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算.考查了向量共线的坐标表示.考查了数学转化思想.是基础题．6.（填空题.3分）已知行列式 |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| 中的元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项.则此行列式的值是___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意等比关系代入求解．【解答】：解：因为元素a n+j （j=1.2.3.….9）是等比数列{a n }的第n+j 项. 所以设等比数列的公比为q.则a n+2=qa n+1. a n+3=q 2a n+1 . a n+4=q 3a n+1 .…. a n+9=q 8a n+1 . ∴ |a n+1a n+2a n+3a n+4a n+5a n+6a n+7a n+8a n+9| = |a n+1qa n+1q 2a n+1q 3a n+1q 4a n+1q 5a n+1q 6an+1q 7a n+1q 8a n+1| = q 9a n+13|1qq 21qq 21q q 2| =0.（两列（或行）相同的行列式值为0）. 故答案为：0【点评】：本题考查行列式.等比数列.属于基础题．7.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.2）. b ⃗⃗ =（2.3）.则“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的___ 条件．【正确答案】：[1]充分不必要【解析】：先求 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =3λ+6-2λ-3＜0.解得：λ＜-3.得到夹角是钝角的充要条件.从而进行判断．【解答】：解： m ⃗⃗⃗ =λ（1.2）+（2.3）=（λ+2.2λ+3）.则 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =3λ+6-2λ-3=λ+3. 若 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 夹角为钝角.则λ+3＜0.解得λ＜-3.因为λ＜-4是λ＜-3的充分不必要条件.所以“λ＜-4”是“向量 m ⃗⃗⃗=λa ⃗+b ⃗⃗ 与向量 n ⃗⃗ =（3.-1）的夹角为钝角”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查了向量的夹角的余弦值.是一道基础题．8.（填空题.3分）（理）若平面向量 a ⃗ 满足| a ⃗i |=1（i=1.2.3.4）且 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0（i=1.2.3）.则| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |可能的值有___ 个．【正确答案】：[1]3【解析】：由 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得 a i ⃗⃗⃗⃗⊥a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .分类作图可得结论．【解答】：解：由 a i ⃗⃗⃗⃗•a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得 a i ⃗⃗⃗⃗⊥a i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 若四向量首尾相连构成正方形时（图1）.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=0. 当四向量如图2所示时.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 当四向量如图3所示时.| a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+a 3⃗⃗⃗⃗⃗+a 4⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 √2 . 故答案为：3【点评】：本题考查平面向量的模长.涉及分类讨论的思想.属中档题．9.（填空题.3分）在△ABC 中.∠A=60°.M 是AB 的中点.若|AB|=2.|BC|=2 √3 .D 在线段AC 上运动.则 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 2316【解析】：把向量用 DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示.可化简数量积的式子为 (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316 .由余弦定理可得AC 的长度.进而可得 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的范围.由二次函数区间的最值可得答案．【解答】：解：∵ DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 故 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2+32×2×|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60° = |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−32|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+2 = (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316. 设AC=x.由余弦定理可得 (2√3)2=x 2+22−2•2•xcos60° . 整理得x 2-2x-8=0.解得x=4或x=-2（舍去）. 故有 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ∈[0.4].由二次函数的知识可知当 |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 34 时. (|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−34)2+2316 取最小值 2316 故答案为： 2316【点评】：本题考查平面向量的数量积的运算.涉及余弦定理和二次函数的最值.属中档题． 10.（填空题.3分）已知函数 f (x )=√3|sin π2x|(0＜x ≤4038) .其图象的最高点从左到右依次记为A 1.A 2.A 3.….A 2019.其图象与x 轴的交点从左到右依次记为B 1.B 2.B 3.….B 2019.则 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-8072【解析】：根据题意即可得出 A 1(1，√3)，A 2(3，√3)，A 3(5，√3) .…. A 2018(4035，√3)，A 2019(4037，√3) ；B 1（2.0）.B 2（4.0）.B 3（6.0）.….B 2018（4036.0）.B 2019（4038.0）.从而可求出 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4.从而可求出答案．【解答】：解：根据题意得. A 1(1，√3)，A 2(3，√3)，A 3(5，√3) .…. A 2018(4035，√3)，A 2019(4037，√3) ；B 1（2.0）.B 2（4.0）.B 3（6.0）.….B 2018（4036.0）.B 2019（4038.0）. ∴ A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4. A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗• A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4.A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(A 2018B 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =（1. √3 ）•（2.-2 √3 ）=-4.∴ A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+B 2018A 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•A 2019B 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4×2018=-8072．故答案为：-8072．【点评】：本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法.向量数量积的运算.向量数量积的坐标运算.考查了计算能力.属于中档题． 11.（填空题.3分）设 f (x )=x (12)x +1x+1.O 为坐标原点.A n 是函数图象上横坐标为n （n∈N *）的点.向量 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 i ⃗=(1，0) 的夹角为θn .则满足tanθ1+tanθ2+t anθ3+…+tanθn ＜ 53 的最大正整数是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意可得 OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（n.n （ 12）n +1n+1 ）.tanθn =（ 12 ）n + 1n (n+1) =（ 12 ）n + 1n - 1n+1.由数列的分组求和、裂项相消求和.构造函数.判断出符合条件的最大整数n 的值．【解答】：解： OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（n.n （ 12 ）n + 1n+1 ）. tanθn =（ 12 ）n + 1n (n+1) =（ 12 ）n + 1n - 1n+1 .可得tanθ1+tanθ2+…+tanθn =（ 12 + 14 +…+ 12n ）+（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ） =12(1−12n )1−12+1- 1n+1 =2- 12n - 1n+1 .由题意可得2- 12n - 1n+1 ＜ 53 .即为 12n + 1n+1 ＞ 13 . 函数g （n ）= 12n + 1n+1 （n∈N*）为减函数.g （1）=1.g （2）= 14 + 13 ＞ 13 .g （3）= 18 + 14 = 38 ＞ 13 .g （4）= 116 + 15 = 2180 ＜ 13 . 故最大整数n 的值为3．故答案为：3．【点评】：本题考查了由向量求夹角.数列的求和.不等式.解题的关键是认真审题得出tanθn 的表达式.以及熟练掌握数列求和的技巧．12.（填空题.3分）已知O 是三角形ABC 的外心.AB=2.AC=1.∠BAC=120°．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则m-n=___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：建立直角坐标系.求出三角形各顶点的坐标.因为O 为△ABC 的外心.把AB 的中垂线p 方程和AC 的中垂线q 的方程.联立方程组.求出O 的坐标.利用已知向量间的关系.待定系数法求m 和n 的值．【解答】：解：如图：以A 为原点.以AB 所在的直线为x 轴.建立直角坐标系：则A （0.0）.B （2.0）.C （- 12 . √32 ）. ∵O 为△ABC 的外心.∴O 在AB 的中垂线p ：x=1 上.又在AC 的中垂线 q 上. AC 的中点（- 14 . √34 ）.AC 的斜率为- √3 . ∴中垂线q 的方程为 y- √34 = √33 （x+ 14 ）.把直线p 和q 的方程联立方程组解得△ABC 的外心O （1. 2√33）. 由条件 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 得（-1.-2√33 ）=m （2.0）+n （- 12 . √32 ）=（2m- 12 n. √32n ）； ∴2m - 12 n=0-1. √32 n=- 2√33； m=- 56 .n=- 43 ； ∴m -n= 12 ．故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了求两条直线的交点坐标的方法.三角形外心的性质.向量的坐标表示及向量相等的条件.待定系数法求参数值.同时考查了运算求解的能力.属中档题．13.（单选题.5分）若从平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点.得到的向量中有n （n∈N *）个是两两不相等的.则n 的最大值是（） A.6 B.8 C.10 D.12【正确答案】：B【解析】：可以画出平行四边形ABCD.可以看出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这8个向量是两两不相等的.从而可得出n 的最大值．【解答】：解：如图.在平行四边形ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的端点构成的向量中.以下8个向量.是两两不相等的：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .再增加任何一个向量.都会和这8个向量中的一个相等.∴n 的最大值是8．故选：B ．【点评】：本题考查了相等向量的定义.向量的定义.考查了推理能力.属于基础题．14.（单选题.5分）任意四边形ABCD 内有一点O 满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .则O 点的位置是（） A.对角线的交点 B.对边中点连线的交点 C.BD 的点 D.AC 的中点【正确答案】：B【解析】：首先根据题意作图.然后由三角形法则.即可求得向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的和向量.即可得出正确选项【解答】：解：如图：分别取四边形ABCD 各边的中点E 、F 、G 、H ． ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ . ∴2 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ⇒ OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；即O 是EG 的中点.则点O 为一组对边中点连线的中点．故选：B ．【点评】：此题考查了平面向量的知识．注意数形结合思想的应用与三角形法则的应用是解此题的关键．15.（单选题.5分）已知向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）.向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.2）.向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 cosα. √2 sinα）.则向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为（） A.[0. π4 ] B.[ π4 . 5π12 ] C.[ 5π12 . π2 ] D.[ π12 . 5π12 ] 【正确答案】：D【解析】：利用CA 是常数.判断出A 的轨迹为圆.作出A 的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．【解答】：解：| CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 .∴A 点在以C 为圆心. √2 为半径的圆上. 当OA 与圆相切时对应的位置是OA 与OB 所成的角最大和最小的位置 OC 与x 轴所成的角为 π4 ；与切线所成的为 π6所以两个向量所成的最小值为 π4−π6=π12 ；最大值为 π4+π6=5π12故选：D ．【点评】：本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．16.（单选题.5分）三角形ABC 中.BC 边上的中垂线分别交BC.AC 于D.M.若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .AB=2.则AC=（）A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：根据条件可得出 DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 .从而根据 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 可得出 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 .进而得出 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12 .然后根据余弦定理即可求出AC 的值．【解答】：解：∵DM⊥BC .∴ DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 .且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6 . ∴ (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =6. ∴ 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12 .且AB=2. 在△ABC 中.根据余弦定理得. AC 2=AB 2+BC 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4+BC 2−(BC 2−12)=16 . ∴AC=4．故选：B ．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件.向量加法的几何意义.向量数乘的几何意义.向量的数量积运算及计算公式.余弦定理.考查了计算能力.属于中档题．17.（问答题.0分）用行列式讨论关于x.y 的方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0 的解的情况．【正确答案】：【解析】：分情况m=-1、m=3.m≠-1.m≠3三种情形进行讨论.计算即可．【解答】：解：根据题意.方程组 {x +my =−6(m −2)x +3y +2m =0的解.D= |1mm −23| =3-m （m-2）=-（m-3）（m+1）.D x =|−6m −2m 3|=−18+2m 2=2(m −3)(m +3) .D y =|1−6m −2−2m |=−2m +6(m −2)=4m −12=4(m −3) .所以.当m=-1时.D=0.Dx≠0.方程组无解；当m=3时.D=Dx=Dy=0.方程组有无穷多个解；当m≠-1且m≠3时.D≠0.方程组有唯一的解 {x =−2(m+3)m+1y =−4m+1．【点评】：本题重点考查了方程组与行列式之间的关系.分类讨论思想及其应用等知识.属于中档题．解题关键是分类中如何划分“类”．18.（问答题.0分）在△ABC 中. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 ．（1）求AB 边的长度；（2）求sin (A−B )sinC的值．【正确答案】：【解析】：（1）直接根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) .再结合 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3 即可求出求AB 边的长度；（2）结合已知及（1）可得：2bcosA=1.2acos （π-B ）=-3；再利用正弦定理把所有的边都用角表示出来得到sinAcosB=3sinBcosA.再代入所求即可得到结论．【解答】：解：（1）∵ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−3=1 ． ∴ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ．即AB 边的长度为2．（5分）（2）由已知及（1）有：2bcosA=1.2acos （π-B ）=-3. ∴acosB=3bcosA （8分）由正弦定理得：sinAcosB=3sinBcosA （10分） ∴ sin (A−B )sinC = sin (A−B )sin (A+B )=sinAcosB−cosAsinB sinAcosB+cosAsinB =12 （12分）【点评】：本题是对向量的数量积以及两角和与差的正弦函数的综合考查．在解决问题的过程中.用到了解三角形常用的方法之一：边转化为角．19.（问答题.0分）已知两点M （-1.0）.N （1.0）.且点P （x.y ）使 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列．（1）求x 与y 满足的关系式.并写出x 的取值范围；（2）记θ为 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.求tanθ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设出要求轨迹的点的坐标.根据所给的两个点的坐标写出要用的向量.做出向量的数量积.根据 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列.列出不等式和等式.整理整式得到结果．（2）求两个向量的夹角.根据球向量夹角的公式.先用求出数量积和模的乘积.求出角的余弦值.根据同角的三角函数的关系.用已知条件表示出tanθ.然后推出结果．【解答】：解：（1）记P （x.y ）.由M （-1.0）.N （1.0）得=（-1-x.-y ）. =（1-x.-y ）.=（2.0）. .是公差小于零的等差数列 ∴即x 2+y 2=3（x ＞0）.∴点P 的轨迹是以原点为圆心. √3 为半径的右半圆．（2）解：（1）记P （x.y ）.由M （-1.0）.N （1.0）得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1-x.-y ）. PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-x.-y ）. MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0）. NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（x+1） ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2-1. NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（1-x ）. ∵ MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成公差小于零的等差数列． ∴ {x 2+y 2−1=12×[2(1+x )+2(1−x )]2(1−x )−2(1+x )=0 . 即x 2+y 2=3（x ＞0）.∴点P 的轨迹是以原点为圆心. √3 为半径的右半圆．（2）点P 的坐标为（x 0.y 0）.则x 02+y 02=3. PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-1=2. ∵| PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(1+x 0)2+y 02•√(1−x 0)2+y 02 = √(4+2x 0)(4−2x 0) =2 √4−x 02 . ∴cosθ= PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 1√4−x 02. ∵0＜x 0≤ √3 .∴ 12 ＜cosθ≤1.0≤θ＜ π3.sinθ= √1−cos 2θ = √1−14−x 02 .tanθ= sinθcosθ= √3−x 02 =|y 0|∈（- √3 . √3 ）．【点评】：这是一个综合题.求轨迹的问题.向量的数量积.等差数列的定义.求向量的夹角.同角的三角函数关系.综合性较强．这是一个难题.20.（问答题.0分）如图.点Q 在第一象限.点F 在x 轴正半轴上.△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ．（1）求S 关于θ的解析式；（2）设 |OF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c (c ≥2) .求点Q 的坐标；（3）在（2）的条件下.若 S =34c .求 |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值和此时点Q 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件即可得出 S =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sinθ=tanθ2；（2）根据 |OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c 以及 OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 即可得出 |FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1c•cosθ.从而得出Q 点的坐标为 (c +1c，tanθc) ；（3）根据 S =34c 以及 S =tanθ2 即可得出 tanθc=32 .从而得出 |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(c +1c )2+94 .根据函数c +1c 在[2.+∞）上是增函数.即可求出 c +1c ≥52 .从而得出c=2时. |OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取得最小值.并可求出该最小值.并可求出此时的点Q 的坐标．【解答】：解：（1）∵△OFQ 的面积为S. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ. OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 .∴ S =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sinθ=12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosθ•tanθ = 12OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•tanθ=tanθ2. 即S 关于θ的解析式为： S =tanθ2；（2）∵ |OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=c .且 OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 . ∴ c •|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•cosθ=1 . ∴ |FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1c•cosθ. ∴ Q (1c+c ，tanθc) ；（3）∵ S =34c .且 S =tanθ2. ∴ 34c =tanθ2 . ∴ tanθ=32c . ∴tanθc=32 .∴ Q (1c +c ，32) . ∴ |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(c +1c )2+94. ∵ c +1c 在[1.+∞）上单调递增.且c≥2. ∴ c +1c ≥52 . (c +1c )2+94≥172.∴c=2时. |OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值为 √342 .此时 Q (52，32) ．【点评】：本题考查了向量数量积的计算公式.三角形的面积公式.函数 y =x +1x的单调性.增函数的定义.考查了计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）平面直角坐标系中.射线y=x （x≥0）和y=2x （x≥0）上分别依次有点A 1.A 2.….A n .…和点B 1.B 2.….B n .….其中A 1（1.1）.B 1（1.2）.B 2（2.4）.且 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| （n=2.3.4.…）．（1）用n 表示 |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点A n 的坐标；（2）用n 表示 |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 及点B n 的坐标；（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 的面积关于n 的表达式S n .并求S n 的最大值．【正确答案】：【解析】：本题第（1）题根据题意可发现数列{| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是一个等差数列.则写出| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |关于n 的表达式.即可得到点A n 的坐标；第（2）题先计算出| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 .再根据题干条件|B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .可得数列{| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是一个等比数列.即可得到| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |关于n 的表达式.再根据点B 1.B 2.….B n .…均在射线y=2x （x≥0）上.可得| OB n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |代入后利用等比数列求和公式可得结果.设点B n 的坐标为（t.2t ）.则√t 2+(2t )2 = √5 •[3-（ 12 ）n-2]．解出t 的值可得点B n 的坐标；第（3）题先求出|OA n |及点B n到直线y=x 的距离为d.进一步可求得 S △OA n B n = 12 •|OA n |•d .同理可得 S △OA n+1B n+1 .则S n = S A n A n+1B n+1B n = S △OA n+1B n+1 - S △OA n B n .求出S n 的表达式.再利用不等式组 {S n ≥S n+1S n ≥S n−1.计算可得到S n 的最大值．【解答】：解：（1）由题意.| OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 . ∵ |OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+√2 .∴数列{| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是以 √2 为首项. √2 为公差的等差数列． ∴| OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 + √2 •（n-1）= √2 n ． ∴点A n 的坐标为（n.n ）．（2）由题意. B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.2）.则| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 ．∵ |B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .∴数列{| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}是以 √5 为首项. 12 为公比的等比数列．∴| B n B n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √5 •（ 12 ）n-1．∵点B 1.B 2.….B n .…均在射线y=2x （x≥0）上. ∴| OB n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+| B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √5 + √5 + √5 • 12 +…+ √5 •（ 12 ）n-2= √5 + √5 •[1+ 12 +（ 12 ）2+…+（ 12 ）n-2] = √5 + √5 •1−(12)n−11−12= √5 •[3-（ 12 ）n-2]．设点B n 的坐标为（t.2t ）.则 √t 2+(2t )2 = √5 •[3-（ 12 ）n-2]．解得t=3-（ 12）n-2．∴点B n 的坐标为（3-（ 12 ）n-2.6-（ 12 ）n-3）．（3）由（1）（2）.可知O （0.0）.A n （n.n ）.B n （3-（ 12 ）n-2.6-（ 12）n-3）． |OA n |= √n 2+n 2 = √2 n.设点B n 到直线y=x 的距离为d.则 d=|3−(12)n−2−6+(12)n−3|√1+1 =3−(12)n−2√2∴ S △OA n B n = 12 •|OA n |•d= 12 • √2 n•3−(12)n−2√2 =n[ 32 -（ 12 ）n-1]．同理可得 S △OA n+1B n+1 =（n+1）[ 32 -（ 12 ）n ]． ∴S n = S A n A n+1B n+1B n = S △OA n+1B n+1 - S △OA n B n =（n+1）[ 32 -（ 12 ）n ]-n[ 32 -（ 12 ）n-1]= n−12n + 32．根据不等式组{S n≥S n+1S n≥S n−1 .有{n−12n+32≥n2n+1+32 n−12n+32≥n−22n−1+32.解得2≤n≤3．∵S1= 32＜S2=S3= 74＞S4= 2716＞…∴S n的最大值为74．【点评】：本题主要考查向量、解析几何与数列的综合问题.考查了转化思想的应用.等差数列与等比数列的基础知识.数列最大值的求法.考查逻辑思维能力和数学运算能力．本题属综合性较强的较难题．。

2019-2020年高二上学期9月月考数学(文)试卷含解析

2019-2020年高二上学期9月月考数学（文）试卷含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 1612．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C的轨迹方程，并说明它是什么曲线．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．2014-2015学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2，2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是=，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 16考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2 ），根据正三角形的性质=tan30°=求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后求得这个正三角形的边长．解答：解：设其中一个顶点是（x，2 ）因为是正三角形所以=tan30°=即解得x=12所以另外两个顶点是（12，4 ）与（12，﹣4 ）则这个正三角形的边长为故选B．点评：本题主要考查抛物线的应用．利用抛物线性质解决解三角形问题的关键．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 ．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题结果即可．解答：解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，注意否定的形式．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：求出p的等价条件，利用q是p的充分条件，确定m的取值范围．解答：解：由x2﹣7x+10≤0，解得2≤x≤5，即p：2≤x≤5．，设A={x|2≤x≤5}∵命题q可知：m≤x≤m+1，设B={x|m≤x≤m+1}，∵q是p的充分条件，∴B⊆A，，解得：2≤m≤4．∴m的取值范围是2≤m≤4．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C的轨迹方程，并说明它是什么曲线．考点：椭圆的标准方程；正弦定理．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，根据椭圆的定义可知：点C的轨迹是椭圆（去掉左右顶点）．解答：解：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，满足椭圆的定义．设椭圆方程为，则a′=5，c′=4，∴=3，则轨迹方程为（x≠±5），图形为椭圆（不含左，右顶点）．点评：本题考查了椭圆的定义，属于基础题．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：1619495736；sdpyqzh；caoqz；minqi5；刘长柏；maths；ywg2058；qiss；孙佑中；sxs123（排名不分先后）菁优网2015年9月15日。

2020学年高二数学9月月考试题文(含解析)

2019学年高二9月月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列是公差为1的等差数列，为的前项和，若，是（）A. B. C. 10 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】试题分析：该数列为等差数列，且，即，解得.考点：等差数列，数学文化.3. 在等差数列中，若，则的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C..... ................4. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，代入上式可得，即，因为，所以，所以，所以，故选C.考点：三角的面积公式；余弦定理；同角三角函数的基本关系式.5. 已知在中.若的解有且仅有一个，则满足的条件是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】已知在中，，要使的解有且仅有一个，即三角形形状唯一，有两种情况：①为直角三角形；②为钝角三角形，若为直角三角形，，可得，此时；若为钝角三角形，可得，综上，或，故选D.6. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意设，，则，，，∴由余弦定理可得，∴由正弦定理可得，故选：A．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理．7. 已知等差数列的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直线不过点），则等于（）A. 20B. 10C. 40D. 15【答案】B【解析】∵M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），∴a6+a15=1，∴a1+a20=1，∴.本题选择B选项.8. 已知等差数列的前项和为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：本题是关于等差数列前项和公式应用的题，关键是掌握等差数列的性质。

上海市闵行区七宝中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

上海市闵行区七宝中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知平面内向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(m,3m −2)，且平面内的任意向量c⃗ 都可以唯一的表示成c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ为实数)，则m 的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (−∞,+∞)D. (−∞,2)∪(2,+∞) 2. 直线l:y =k(x −1)与椭圆x 23+y 24=1的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C:x 22−y 2=1相交于A ，B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |=( ) A. 2√2 B. 2√3 C. 3√3 D. 4√34. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，存在实数λ，μ满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则实数λ，μ的关系为( ) A. λ2+μ2=1 B. 1λ+1μ=1 C. λμ=1 D. λ+μ=1二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 直线x +y +1=0的倾斜角是__________.6. 若焦点在y 轴上的椭圆x 2a +y 24=1的长轴长是短轴的2倍，则a = ______ ．7. 若抛物线y =ax 2的焦点F 的坐标为(0,−1)，则实数a 的值为______ ．8. 在复平面内，复数z 满足z =|√3+i|1+i，则z 对应点的坐标是______ ． 9. 若复数z =a 2−2a −3+(a +1)i 为纯虚数，则实数a =__________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线x 2−y 2=4的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ΔABC 是等边三角形，则ΔABC 的面积为________．11. 已知点P(2,3)到经过原点的直线l 的距离为2，则直线l 的方程是________．12. 已知直线l ：y =k(x +2√2)与椭圆x 2+9y 2=9交于A ，B 两点，若|AB|=2，则k =________． 13. (1)在△ABC 中，已知AB =2，AC 2−BC 2=6，则tan C 的最大值是________.(2)已知直线l 过点P(1,2)且与圆C ：x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．14.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=−4的距离小2，则动点P的轨迹方程为．15.已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2.若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为______ ．16.已知实数x，y满足x2+y2=3，则的取值范围为______ ．x−2√3三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知z=(x+1)+(y−1)i在复平面所对应的点在第二象限，求x与y的取值范围．18.已知直线l：y=k(x−n)与抛物线y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1x2≠0)两点．(Ⅰ)若直线l过抛物线的焦点F，求x1x2的值；(Ⅱ)若x1x2+y1y2=0，求n的值．19.已知圆C：x２+y２=r２，过圆上点P(x0,y0)(x0y0≠0)作圆的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x28+y24=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线l过点F1，且|AF2|+|BF2|=16√23，求直线l的方程；(2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q，A2Q分别交椭圆C于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查平面向量基本定理的应用，考查向量共线问题和向量的坐标运算，属基础题．根据已知，由平面向量基本定理可得向量a⃗，b⃗ 不共线，利用向量共线的充分必要条件列出不等式，即可解得m≠2，从而得到m的取值范围．【解答】解：由题意可知，向量a⃗，b⃗ 不共线，所以1×(3m−2)−2m≠0，解得m≠2，即m的取值范围是(−∞,2)∪(2,+∞).故选D．2.答案：B解析：【分析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，属于基础题．根据直线恒过椭圆内部的点(1,0)，易得直线和椭圆的交点个数．【解答】解：∵直线l恒过点(1,0)，而点(1,0)在椭圆的内部，∴直线l与椭圆恒有2个交点，故选B．3.答案：D解析：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，属于中档题．往往考虑利用“平方差法”加以解决.利用平方差法：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程.进而求弦长．解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，则12x12−y12=1，12x22−y22=1，两式相减得12(x 1−x 2)(x 1+x 2)−(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴x 1−x 2=y 1−y 2，即k AB =1，故所求直线方程为y −2=1(x −4)，即x −y −2=0．联立{y =x −2x 22−y 2=1，整理得x 2−8x +10=0，由韦达定理得x 1+x 2=8,x 1x 2=10，则|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√82−40=4√3．故选D ．4.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量基本定理运用，属于基础题．解法一：取特殊点进行求解；解法二：依题意得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得1=λ2+μ2即可求解．解：解法一取特殊点，取C 为优弧AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得λ=μ=√22，只有选项A 符合.故选A ．解法二依题意得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得1=λ2+μ2.故选A ．5.答案：3π4解析：直线x +y +1=0的斜率k =−1，∴直线x +y +1=0的倾斜角3π4.故答案为：3π4. 6.答案：1解析：解：∵椭圆x 2a +y 24=1的焦点在y 轴上，∴4>a >0，且椭圆的长半轴长为2，短半轴长为√a ，由长轴长是短轴的2倍，得2=2√a ，即a =1．故答案为：1．由题意与椭圆方程得到椭圆的长半轴长和短半轴长，再由长轴长是短轴的2倍列式求得a 的值．本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何性质，是基础题．7.答案：−14解析：解：抛物线y =ax 2的标准方程为x 2=1a y ，∵抛物线y =ax 2的焦点坐标为(0,−1)，∴14a =−1，∴a =−14故答案为：−14．先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a 的值．本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题． 8.答案：(1,1)解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z 满足z =|√3+i|1+i =√(√3)2+12(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴z =1+i ，∴z 对应点的坐标是(1,1)．故答案为：(1,1)．9.答案：3解析：本题考查复数的概念，属于基础题．由题意，{a 2−2a −3=0a +1≠0，解得即可．解：∵复数z=a2−2a−3+(a+1)i为纯虚数，∴{a2−2a−3=0，解得a=3，a+1≠0故答案为3．10.答案：12√3解析：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．先求出双曲线x2−y2=4的左顶点为A(−4,0)，根据双曲线的对称性，设出B(x1,y1)，C(x1,−y1)的坐标，根据△ABC是等边三角形得(x1+2)2+y12=(−y1−y1)2，求出x1和y1的值，由此得BC=4√3，从而可以算出面积．解：双曲线x2−y2=4的左顶点为A(−2,0)，根据双曲线的对称性，可设B(x1,y1)，C(x1,−y1).由△ABC是等边三角形⇒AB=BC，得：(x1+2)2+y12=(−y1−y1)2，又x12−y12=4，∴x12−2x1−8=0，∴x1=−2或x1=4右支的范围是x≥0，所以x1=4，从而y1=±2√3，由此BC=4√3，×(4√3)2=12√3．可以算出面积：S=√34故答案为12√3．11.答案：x=0或5x−12y=0解析：本题考查了直线的点斜式方程与点到直线的距离公式，属于基础题．当直线斜率不存在时方程可得，当直线斜率存在时，利用点到直线的距离公式求出k，则方程可求．解：当斜率不存在时，直线方程为x=0，此时点P到直线l的距离为2，当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx−y=0．由点P(2,3)到直线l的距离公式可知√k2+1=2，解得：k=512，直线方程为x=0或5x−12y=0，故答案为x=0或5x−12y=0．12.答案：±√33解析：由题意，由直线y=k(x+2√2)，得直线过椭圆的左焦点F(−2√2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=k(x+2√2)代入椭圆x2+9y2=9，可得(1+9k2)x2+36√2k2x+72k2−9=0，x1+x2=−36√2k21+9k2，x1x2=72k2−91+9k2，利用弦长公式得到关于k的方程，解得即可．解：椭圆x2+9y2=9，即椭圆x29+y2=1，所以椭圆的焦点坐标为(±2√2,0)，因为直线y=k(x+2√2)，所以直线过椭圆的左焦点F(−2√2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=k(x+2√2)代入椭圆x2+9y2=9，可得(1+9k2)x2+36√2k2x+72k2−9=0，所以x1+x2=−36√2k21+9k2，x1x2=72k2−91+9k，所以|AB|=√1+k2·√(x1+x2)2−4x1x2=6(1+k2)1+9k2，因为|AB|=2，所以6(1+k 2)1+9k 2=2，所以k =±√33．故答案为±√33．13.答案：(1)2√55(2)3x −4y +5=0或x =1解析：【分析】 (1)本题以三角形为背景，考查直线的斜率和基本不等式知识．其中到两个定点的距离的平方差为定值的点的轨迹是直线．为了刻画点C 的变化，可建立平面直角坐标系帮助解题． (2)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若果用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．解：(1)建立平面直角坐标系xOy ，使得A(−1,0)，B(1,0)，设C(x,y)，其中y >0．由AC 2−BC 2=6，得(x +1)2+y 2−(x −1)2−y 2=6．得x =32，所以k AC =25，k BC =2y.因此tanC =k BC −k AC1+k BC ⋅k AC =8y 5+4y 2=85y +4y ≤2√55，当且仅当y =√52时取等号． (2)当直线斜率存在时，设直线的方程为y =k(x −1)+2，即kx −y −k +2=0．因为S =12CA ⋅CB ⋅sin∠ACB =1，所以12×√2×√2×sin∠ACB =1，所以sin∠ACB =1.即∠ACB =90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1.所以√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +5=0．当直线斜率不存在时，直线方程为x =1，经检验符合题意．综上所述，直线方程为3x −4y +5=0或x =1．方法突破根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑截距是否为零以及其存在性．14.答案：x 2=8y解析：本题考查求轨迹方程，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用抛物线的定义即可求解．解：由题意，得动点P 到点A(0,2)的距离与到直线y =−2的距离相等，故P 点的轨迹是以(0,2)为焦点的抛物线，其轨迹方程为x 2=8y ，故答案为x 2=8y ．15.答案：√53解析：解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF 2相切于M 点，连接OM ，PF 2，∵M ，O 分别是PF 2，F 1F 2的中点， ∴MO//PF 1，且|PF 1|=2|MO|=2b ， OM ⊥PF 2，∴PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|=2c ， ∴|PF 2|=2√c 2−b 2，根据椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|=2a ， ∴2b +2√c 2−b 2=2a ， ∴a −b =√c 2−b 2，两边平方得：a 2−2ab +b 2=c 2−b 2， c 2=a 2−b 2代入并化简得：2a =3b ， ∴b =23，a =1，c =√1−49=√53，∴e =ca =√53，即椭圆的离心率为√53．故答案为：√53．先设切点为M，连接OM，PF1，根据已知条件即可得到|PF1|=2b，并且知道PF1⊥PF2，这样即可可求得|PF2|=2√c2−b2，这样利用椭圆的定义便得到2b+2√c2−b2=2a，化简即可得到b=23，根据离心率的计算公式即可求得离心率e．本题考查中位线的性质，圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2−b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题．16.答案：[−√33,√3 3]解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，而x−2√3的几何意义表示过A(2√3,0)与圆上的点的直线的斜率，显然直线与圆在上方与圆相切时，斜率最小，在下方与圆相切时，斜率最大，由OA=2√3，OB=√3，得∠OAB=30°，∴直线AB的斜率是−√33，同理可求：直线在圆的下方时即蓝色直线的斜率是：√33故答案为：[−√33,√33]．画出满足条件的平面区域，根据x−23的几何意义结合图象求出其范围即可．本题考查了x−2√3的几何意义，考查数形结合思想，考查直线斜率公式，是一道基础题．17.答案：解：复数Z所对应的点在第二象限，Z为(x+1,y−1)，由题得{x +1<0,y −1>0,所以{x <−1,y >1.解析：本题目主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于容易题．18.答案：解：(Ⅰ)由题设知，抛物线焦点F(1,0)，…2分于是直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0，…4分显然△=4(k 2+2)2−4k 4=4(k 2+1)>0…5分由根与系数的关系得x 1x 2=k 2k2=1.…6分(Ⅱ)显然k ≠0，由{y =k(x −n)y 2=4x 消去x 得y 2−4k y −4n =0由题设△=16k 2−16n >0，即1+nk 2>0①由根与系数的关系，得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4n ，②…10分又x 1x 2+y 1y 2=0，y 12=4x 1，y 22=4x 2，得y 1y 2=−16，由②得n =4，代入①式检验成立，所以n =4.…12分．解析：(Ⅰ)求出抛物线焦点，直线l 方程为y =k(x −1)(k ≠0)，代入y 2=4x 利用韦达定理求出x 1x 2的值即可．(Ⅱ)通过{y =k(x −n)y 2=4x 消去x 利用韦达定理，通过x 1x 2+y 1y 2=0，转化求解n 即可．本题考查抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．19.答案：解：k OP =y 0x 0，切线斜率k l =−x 0y 0，切线方程为y =−x 0y 0⋅(x −x 0)+y 0，即x 0x +y 0y =x 02+y 02，又因为x 02+y 02=r 2，所以切线方程为x 0x +y 0y =r 2．解析：本题主要考查圆的切线方程的知识点，首先求出切线斜率k l =−xy 0，将切线方程设出，由已知过得点P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)，即可求出切线方程．20.答案：解：(1)由椭圆定义得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8√2，则|AB|=8√23．因为直线l 过点F 1(−2,0)，所以m =2k ，即直线l 的方程为y =k(x +2)．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =k(x +2),x 2+2y 2−8=0,整理得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0． ∴ x 1+x 2=−8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2．由弦长公式|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=8√23，代入整理得1+k 21+2k 2=23，解得k =±1．所以直线l 的方程为y =±(x +2)，即x −y +2=0或x +y +2=0． (2)设直线l 方程y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =kx +m,x 2+2y 2−8=0,整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−8=0． ∴ x 1+x 2=−4km2k +1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1．以AB 为直径的圆过原点O ，即OA →⋅OB →=0． ∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=0．将y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m 代入，整理得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0．将x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1代入，整理得3m 2=8k 2+8．∵点P 是线段AB 上的点，满足OP ⊥AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，∴ |OP|=d ，于是|OP|2=d 2=m 2k 2+1=83(定值)，∴点P 的轨迹是以原点为圆心，√83为半径的圆，且去掉圆与x 轴的交点．故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=83(y ≠0).解析：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，定点和定值问题，动点的轨迹方程，考查学生的计算化简能力，问题分析转化能力．(1)根据椭圆定义得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8√2，则|AB|=8√23，设出直线l 的方程y =k(x +2)，与椭圆联立，得到韦达定理 x 1+x 2=−8k 21+2k2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2，利用弦长公式表示出线段AB 的长度，从而求出k 值．(2)设出直线l 的方程y =kx +m ，与椭圆联立，得到韦达定理 x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，由圆过点O ，得到3m 2=8k 2+8，求出|OP|的表达式，发现|OP|2是个定值．21.答案：解：(1)椭圆的一个焦点F 1(−√3,0)，则另一个焦点为F 2(√3,0)，由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2，又b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1;(2)证明：设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则直线A 1Q 的方程为y =t 3(x +2)，与x 24+y 2=1联立，解得M(−8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9)，同理N(8t 2−24t 2+1,4t4t 2+1)，所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9−4t4t 2+1−8t 2+184t 2+9−8t 2−24t 2+1=−2t4t 2+3，所以直线MN 的方程为y −12t 4t 2+9=−2t 4t 2+3(x −−8t 2+184t 2+9)，则y =−2t4t 2+3(x −4)，所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为(4,0)．解析：(1)由由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2，b 2=a 2−c 2求得b 的值，求得椭圆方程；(2)设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，分别求出M ，N 的坐标，根据斜率公式和求出直线方程，则可得y =−2t4t 2+3(x −4)，即可求出定点坐标．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，考查计算能力，属于中档题．。

2019-2020年高二9月月考数学(理)试题含答案

2019-2020年高二9月月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题4．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －15．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 6．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．给出下列命题，其中真命题为( ) A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x ＞1是1x＜1的充要条件8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c 则“a ≤b ”是 “sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 9．已知p ：1x ＋1＞0；q ：lg(x ＋1＋1－x 2)有意义，则¬p 是¬q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ：命题q ：若x >y ，则x 2>y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则¬p 为 ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤112．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________．14．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则¬p 是____________．15．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 16．已知命题p ：|x 2－x |≠6，q ：x ∈N ，且“p ∧q ”与“¬q ”都是假命题，则x 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(1)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(2)已知集合P ＝{x |－1<x <3}，S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．18．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除． (2) ∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2.(3)∃ x 0∈{x |x ∈Z }，log 2x 0>2.19．设p：关于x的不等式a x＞1(a＞0且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x ＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．20．已知命题p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．已知命题p：方程x2－2mx＋m＝0没有实数根；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0.(1)写出命题q的否定“¬q”．(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式．(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．参考答案：一、选择题1．B2.B3.D4．C5．D6.B7．C8．A9．A10．C11．B12．C 二、填空题13．圆的切线到圆心的距离等于半径 14．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 15．(－2,2] 16．3 三、解答题17．逆命题：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题；否命题：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2，是真命题；逆否命题：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题．(2)因为S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}＝{x |(x ＋1)(x ＋a )<0}，P ＝{x |－1<x <3}＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}，因为x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.18．(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (2)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (3)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 19．a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 20．m 的取值范围是(0,3]． 21．(1)¬q ：∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0. (2)－2≤m ≤0或1≤m ≤2.22．p ，q 有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.。

2019-2020学年上海市七宝中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市七宝中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-r r ,且平面内的任一向量cr都可以唯一表示成c a b λμ=+r(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( )A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b r r不共线即可.【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+r r r(,λμ为实数),则,a b r r一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠,所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（） A ．没有交点 B ．有一个交点C ．有两个交点D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-= ，令30,270x y x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系.【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270x y x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C +=可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部，所以直线与椭圆必相交，所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P 为AB 的中点，则这样的直线（）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k xk k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()121y x -=±- 与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点，由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题. 4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=u u u v u u u v，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=u u u v u u u v u u u v v，则实数,λμ的关系为 A ．221λμ+= B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===u u u v u u u v u u u v ，且0OA OB ⋅=u u u v u u u v.因为0OC OA uOB λ++=u u u v u u u v u u u v v ，即 OC OA uOB u u u v u u u v u u u vλ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】[)0,p【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度. 范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：[)0,p 【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,4m ±-【解析】根据方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可. 【详解】因为方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以224c a b m =-=-所以焦点坐标为：(0,4m ±-. 故答案为：(0,4m ±-. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a =，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题.83i 对应点的直线的倾斜角为_________；【答案】56π 【解析】3i 对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】3i -对应点)3,1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103330k ==-- ，所以3tan 3α=-，又因为[0,)απ∈ ，所以56πα=. 故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】当0a b ==时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误. ②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________；【答案】33【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到3AB k =由此得到直线AB 的方程，求出点(3B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，3AB k =，所以直线AB 的方程是()313y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ，解得2x = 或1x =- （舍去），所以(3B ，所以1233332∆ABC S =创=故答案为：33【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，2-22111k k k +++=+，解之得43k =-，得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1， ∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________；【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x 联立得，291840x x -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x 联立得，291840x x -+= ，解得513x =-或513x =+，所以51x =-或 51x =-或51x =+或51x =--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________；【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++= 且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解.【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-，因为 2l 也通过定点()2,3-，将()2,3-代入220++=m x y n ，得226n m =-.故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题. 14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y ()2211x y x ++=+ ，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】设(),P x y ， ()2211x y x ++=+ ，两边平方化简整理得222yx x =- ，当0x > 时，20y =，当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩. 故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________；【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论.【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切，所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=，故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______. 【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=.于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧¼ACB 并集.故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x a b =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时：（1）在复平面上z 对应的点在第二象限？（2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可.【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上，所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得5x =【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-；（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px = 代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m => 代入22y px =，解得12,22,y pm y pm ==- ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2p x =，代入22y px =，得1,2y p y p ==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2p y k x =-，代入22y px =，得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m => 代入22y px =得12,22,y pm y pm ==-因为212y y p ⋅=-，所以22(2pm p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-，所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以直线过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=u u u r u u r，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥u u u r u u r，即有0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--u u u r u u r由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥u u u ru u r，即有0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点，有()()0000,,,PM xx y y CM x y =--=u u u ru u r，因为PM CM ⊥u u u ru u r，所以0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r，即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM xx y y CM x a y b =--=--u u u ru u r，因为PM CM ⊥u u u ru u r，所以0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r，即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200()()-+-=x a y b r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=.【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x = 【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())123,0,3,0F F -，设动点P (),x y ，因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆. 因为22,3,1a c b === ，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m = ，得33,1,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，直线1A R 的方程是3363y x =+，直线2A Q 的方程是332y x =-交点为(13S . 若331,,1,22R Q ⎛⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,3S . 若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =.以下证明对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y yx =++ ，得10162y y x =+. 设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ，由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- . 所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题.21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点232. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b+=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可. （2）设()(),,,Mm n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n yx x m x =--，直线BN 的方程为()22n y x x X m=-- ，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100y n x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =.【详解】根据题意，椭圆的长轴长：222223232112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得22a = ，又2211b a =-= ，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,Mm n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN 的方程为()22n y x x X m=-- ②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③ ， ()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程，所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b+=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。

精品解析：上海市七宝中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)

七宝中学2019-2020学年高二上10月月考数学卷一、填空题(本大题共12题，满分54分)只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为________.【答案】6【解析】【分析】利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值为：328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.2.计算10140223⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭__________.【答案】14 46⎛⎫ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】根据二阶矩阵乘法法则进行计算,即可得到结论【详解】10140223⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()11+021403140122042346⨯⨯-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⨯+⨯-⨯+⨯-⎝⎭⎝⎭故答案为：14 46⎛⎫ ⎪-⎝⎭【点睛】本题考查二阶矩阵的乘法,考查运算能力3.已知向量a =(-2，2)，b =(5，k )，若5a b +≤，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】[-6，2] 【解析】【分析】先得到()3,2a b k +=+,根据模的定义代入不等式,解出k 即可【详解】由题,()3,2a b k +=+, (235a b +=+≤,62k ∴-≤≤,即[]6,2k ∈-故答案：[]6,2-【点睛】本题考查向量加法的坐标运算,考查模的定义,考查运算能力 4.若1,2,a b c a b ===+，且c a⊥，则向量a 与b 的夹角为【答案】120 【解析】依题意()212cos 0a c a a b a a b θ⋅=⋅+=+⋅=+=，故1cos ,1202θ=-=. 5.已知43a i j =+，2b mi j =-，3c i j =-+，若a ，b ，c 可构成三角形，则m =____________. 【答案】-7 【解析】【分析】若a ，b ，c 可构成三角形,则可得0a b c +-=,代入求解即可【详解】若a 、b 、c 可构成三角形,则0a b c +-=,即()()()43230i j mi j i j ++---+=()()433210m i j ∴+++--=430m ∴++=7m ∴=-故答案为：7-【点睛】本题考查向量法判断三角形,考查向量的加减法,考查运算能力,考查平面向量基本定理的应用6.己知行列式123456789n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++中的元素n i a +(j =1，2，3，...，9)是等比数列{}n a 的第n +j 项，则此行列式的值是___________. 【答案】0【解析】【分析】由题意,得到每两行元素成比例,进一步得到结果【详解】由题可知元素n i a +(j =1，2，3，...，9)是等比数列{}n a 的第n +j 项,则该行列式的两行元素成比例,故行列式为0 故答案为：0【点睛】本题考查行列式的运算,考查行列式的性质,考查等比数列的定义7.已知向量a =(1，2)，b =(2，3)，则“4λ-＜”是“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”成立的___________条件. 【答案】充分非必要【解析】【分析】根据“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”求出λ的范围,进而判断是何种条件【详解】由题, ()2,23m a b λλλ=+=++,若m 与()3,1n =-的夹角为钝角,则0m n ⋅<且m 与n 不是共线且反向的向量,即()()322330λλλ+-+=+<且22331λλ++≠-,即3λ<- ∴“4λ-＜”是“向量m a b λ=+与向量n =(3，-1)的夹角为钝角”的充分非必要条件.故答案为：充分非必要【点睛】本题考查向量法求夹角,考查充分非必要条件,考查数量积的应用,考查运算能力8.若平面向量i a 满足1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++可能的值有____________个. 【答案】3 【解析】试题分析：因为1223340,0,0a a a a a a ⋅=⋅=⋅=，所以122334,,a a a a a a ⊥⊥⊥，所以1324//,//a a a a ，设3142,a xa a y a ==，因为1i a =1,1x y =±=±，123412(1)(1)a a a a x a y a +++=+++，所以 22221234(1)2(1)(1)(1)(1a a a a x a x y a a y a +++=++++⋅++=+1,1x y =±=±，所以当1,1x y ==时，1234(1a a a a +++===当1,1x y =-=-，时1234(10a a a a +++===，当1,1x y ==-，时1234(12a a a a +++===，当1,1x y =-=，时1234(12a a a a +++===，综上1234a a a a +++可能的值有3个。

上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(原卷+解析版)

10.在正方体中，给出下面四个命题：
① ；② 与夹角为120∘；③ ；④正方体的体积是，则正确的命题是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐一判断即可.
【详解】建立空间直角坐标系，如图：
，，，
，，故①正确；
设与夹角为，
，，
所以，因为
所以与夹角为120∘，故②正确；
，，
，故③正确；
正方体的体积为
但是，故④错误.
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示、空间向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
11.如图，半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段，分别与球面交于点、，则三棱锥的体积是__________．
【详解】∵点到直线的距离为定值，
∴点落在以轴、底面半径为圆柱的侧面上，且该侧面与三棱锥侧面的交线为椭圆的一部分．
①设其与的交点为，此时最大．由题意可得，点到的距离为，∴点为的中点．又，
在中，由余弦定理可；
②当点落在的垂直平分线上时，最小．
易得，∴ ，
从而，
A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④
16.如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（）
A.3B.5C.9D.21
三、解答题
17.设函数的定义域为集合，函数在[-3，-1]上存在零点时的的取值集合．
七宝中学高二下期末数学试卷

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二(下)期末数学试卷

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={（x.y ）|x 2+y 2=1}.B={（x.y ）|y=-x}.则A∩B 中元素的个数是___ ．2.（填空题.3分）若平面α外的直线a 与平面α所成角为θ.则θ的取值范围是___ ．3.（填空题.3分）已知 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2）.则直线AM 和CN 所成角的余弦值是___ ．4.（填空题.3分）在北纬45°圈上有A 、B 两点.若该纬度圈上A 、B 两点间的劣弧长为 √24 πR （R 为地球的半径）.则A 、B 两点间的球面距离是___ ．5.（填空题.3分）设x 、y 满足约束条件 {x +2y −2≥0x −y +1≥02x −y −4≤0 .则z=2x+y 的最大值是___ ．6.（填空题.3分）不等式mx 2-mx-2＜0对任意x∈R 恒成立的充要条件是m∈___ ．7.（填空题.3分）某圆柱的高为2.底面周长为16.其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正（主）视图上的对应点为A.圆柱表面上的点N 在侧（左）视图上的对应点为B.则在此圆柱侧面上.从M 到N 的路径中.最短路径的长度为 ___ ．8.（填空题.3分）有一多边形ABCD 水平放置的斜二测直观图A′B′C′D′是直角梯形（如图所示）.其中∠A'B′C′=45°.B′C′⊥C′D′.A′D′=D′C′=1.则原四边形ABCD 的面积为___ ．9.（填空题.3分）正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中.AB=AD=1.E 为BB 1中点.若点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ .且BP || 平面AED 1.则λ=___ ．10.（填空题.3分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.给出下面四个命题： ① （ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=3（ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2； ② AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°； ③ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ④ 正方体的体积是| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.则正确的命题是___ ．11.（填空题.3分）如图.半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α.垂足为B.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形.线段AC.AD 分别与球面交于点M 、N.则三棱锥A-BMN 的体积是___ ．12.（填空题.3分）在三棱锥A-BCD中.AC=AD=BC=BD=10.AB=8.CD=12.点P在侧面ACD上.且到直线AB的距离为√21 .则PB的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）已知直线n⫋平面α.则m || n是m || α的（）A.充要条件B.充分非必要条件件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题.3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G分别为棱1.A1B1的中点.用过点E.F.G的平面截正方体.则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A.B.C.D.15.（单选题.3分）中国有悠久的金石文化.印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体.但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体.它的所有顶点都在同一个正方体的棱上.且此正方体的棱长为1．则该半正多面.正确的有（）体：① 有12个顶点；② 有14个面；③ 表面积为3；④ 体积为56A. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ② ④D. ① ② ③ ④16.（单选题.3分）如图.已知正四面体A 1A 2A 3A 4.点A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A 10分别是所在棱中点.点P 满足 A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x A 4A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y A 4A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z A 4A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且x+y+z=1.记| A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min .则当1≤i .j≤10且i≠j 时.数量积 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •A i A j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的不同取值的个数是（）A.3B.5C.9D.2117.（问答题.0分）设函数f （x ）=lg （x 2+2x-3）的定义域为集合A.函数g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]上存在零点时的a 的取值集合B ．（1）求A∩B ；（2）若集合C={x|x+2p≥0}.若x∈C 是x∈A 充分条件.求实数p 的取值范围．18.（问答题.0分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中的棱长为2.O 1是A 1C 1中点．（1）求证：AO 1 || 平面DBC 1；（2）设BB 1的中点为M.过A 、C 1、M 作一截面.并求出截面面积．19.（问答题.0分）设一正方形纸片ABCD边长为4厘米.切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形.剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形.沿虚线折起.恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计）.图中AH⊥PQ.O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等.请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ的底角为x.试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数.并求S范围．20.（问答题.0分）如图.在Rt△SOA中.∠OSA= π.斜边SA=4.半圆H的圆心H在边OS上.且与6SA相切.现将Rt△SOA绕SO旋转一周得到一个几何体.点B为圆锥底面圆周上一点.且∠AOB=90°．（1）求球H的半径；（2）求点O到平面SAB的距离；（3）设P是圆锥的侧面与球的交线上一点.求PO与平面SAB所成角正弦值的范围．21.（问答题.0分）设集合A的元素均为实数.若对任意a∈A.存在b∈B.c∈C．使得b+c=a且b-c=1.则称元素最少的B和C为A的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”.依此类推…（1）设A={3.5.7}.直接写出集合A的“孪生集”；（2）设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C.若使集合∁B∪C（B∩C）中元素个数最少且所有元素之和为3.证明：A中所有元素之和为3n；（3）若A={a k|a k=a1+2（k-1）.1≤k≤n.k∈N*}.请直接写出A的“n级孪生集”的个数.设A的所有”n级孪生集”的并集为Ω.若Ω=M1∪M2∪M3；求有序集合组（M1.M2.M3）的个数．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={（x.y ）|x 2+y 2=1}.B={（x.y ）|y=-x}.则A∩B 中元素的个数是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：解方程组 {x 2+y 2=1y =−x 即可得出A∩B 中的元素个数．【解答】：解：解 {x 2+y 2=1y =−x得. {x =−√22y =√22 或 {x =√22y =−√22.∴A∩B 元素的个数是2．故答案为：2．【点评】：本题考查了描述法的定义.元素、集合的定义.交集的定义及运算.考查了计算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）若平面α外的直线a 与平面α所成角为θ.则θ的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0. π2 ]【解析】：当直线a || 平面α时.θ取最小值0.当直线a⊥平面α时.θ取最大值 π2 .当a 与平面α相交且不垂直时.θ∈（0. π2 ）.由此能求出θ的取值范围．【解答】：解：平面α外的直线a 与平面α所成角为θ. 当直线a || 平面α时.θ取最小值0. 当直线a⊥平面α时.θ取最大值 π2. 当a 与平面α相交且不垂直时.θ∈（0. π2 ）.∴平面α外的直线a 与平面α所成角为θ.则θ的取值范围是[0. π2 ]．故答案为：[0. π2 ]．【点评】：本题考查线面角的取值范围的求法.考查空间中线面关系等基础知识.考查空间想象能力.是基础题．3.（填空题.3分）已知 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2）.则直线AM 和CN 所成角的余弦值是___ ．【正确答案】：[1] 45【解析】：利用向量夹角余弦函数公式直接求解．【解答】：解：设直线AM 和CN 所成角为θ. ∵ AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2）. ∴cosθ= |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √5•√5= 45 ． ∴直线AM 和CN 所成角的余弦值为 45 ．故答案为： 45 ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法.考查向量夹角余弦函数公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．4.（填空题.3分）在北纬45°圈上有A 、B 两点.若该纬度圈上A 、B 两点间的劣弧长为 √24 πR （R 为地球的半径）.则A 、B 两点间的球面距离是___ ．【正确答案】：[1] πR3【解析】：先求出北纬45°圈所在圆的半径.是A 、B 两地在北纬45°圈上对应的圆心角.得到线段AB 的长.设地球的中心为O.解三角形求出∠AOB 的大小.利用弧长公式求A 、B 这两地的球面距离．【解答】：解：北纬45°圈所在圆的半径为 √22 R.它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于 √24 πR （R 为地球半径）.∴ √24 πR=θ× √22 R （θ是A 、B 两地在北纬45°圈上对应的圆心角）. 故θ= π2 .∴线段AB=R. ∴∠AOB= π3 .∴A 、B 这两地的球面距离是 πR3 . 故答案为： πR3 ．【点评】：本题考查球的有关经纬度知识.球面距离.弧长公式.考查空间想象能力.逻辑思维能力.是基础题．5.（填空题.3分）设x 、y 满足约束条件 {x +2y −2≥0x −y +1≥02x −y −4≤0 .则z=2x+y 的最大值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：作出不等式组表示的平面区域.由z=2x+y 可得y=-2x+z.则z 表示直线y=-2x+z 在y 轴上的截距.截距越大.z 越大.结合图象即可求解z 的最大值．【解答】：解：作出x 、y 满足约束条件 {x +2y −2≥0x −y +1≥02x −y −4≤0 表示的平面区域.如图所示：由z=2x+y 可得y=-2x+z.则z 表示直线y=-2x+z 在y 轴上的截距.截距越大.z 越大作直线2x+y=0.然后把该直线向可行域平移. 当直线经过A 时.z 最大由 {x −y +1=02x −y −4=0 可得A （5.6）.此时z=16．故答案为：16．【点评】：本题主要考查了线性规划知识的应用.求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义． 6.（填空题.3分）不等式mx 2-mx-2＜0对任意x∈R 恒成立的充要条件是m∈___ ．【正确答案】：[1]（-8.0]【解析】：由不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立.得m=0或{m≠0(−m)2+8m＜0 .由此能求出不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件．【解答】：解：∵不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立.∴m=0或{m≠0(−m)2+8m＜0 .解得-8＜m≤0．∴不等式mx2-mx-2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈（-8.0]．故答案为：（-8.0]．【点评】：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．7.（填空题.3分）某圆柱的高为2.底面周长为16.其三视图如图.圆柱表面上的点M在正（主）视图上的对应点为A.圆柱表面上的点N在侧（左）视图上的对应点为B.则在此圆柱侧面上.从M到N的路径中.最短路径的长度为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √5【解析】：判断三视图对应的几何体的形状.利用侧面展开图.转化求解即可．【解答】：解：由题意可知几何体是圆柱.底面周长16.高为：2.直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B.则在此圆柱侧面上.从 M到N的路径中.最短路径的长度：√22+42=2√5．故答案为：2√5．【点评】：本题考查三视图与几何体的直观图的关系.侧面展开图的应用.考查计算能力.属于中档题．8.（填空题.3分）有一多边形ABCD 水平放置的斜二测直观图A′B′C′D′是直角梯形（如图所示）.其中∠A'B′C′=45°.B′C′⊥C′D′.A′D′=D′C′=1.则原四边形ABCD 的面积为___ ．【正确答案】：[1]3 √2【解析】：由四边形ABCD 水平放置的直观图得出四边形ABCD 的各边关系.再求四边形ABCD 的面积．【解答】：解：四边形ABCD 水平放置的直观图是直角梯形. 且∠A'B'C'=45°.A'D'=D'C'=1.D'C'⊥B'C'. 所以B′C′=2A′D′=2.A′B′= √2 ；所以四边形ABCD 中.AB=2A′B′=2 √2 .AD=A′D′=1.BC=B′C′=2. 且AB⊥BC .AD || BC.所以四边形ABCD 的面积为S= 12×（1+2）×2 √2 =3 √2 ．故答案为：3 √2 ．【点评】：本题考查了水平放置的直观图性质等应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题． 9.（填空题.3分）正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中.AB=AD=1.E 为BB 1中点.若点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ .且BP || 平面AED 1.则λ=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先猜想点P 为AD 的中点.取AD 1的中点F.连接EF 、PF.再证明BP || 平面AED 1．结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形BPFE 为平行四边形.从而BP || EF.然后由线面平行的判定定理可证得BP || 平面AED 1．【解答】：解：如图所示.分别取AD 1、AD 的中点F 、P.连接EF 、PF.此点P 即为所求．理由如下：∵F 、P 分别为AD 1、AD 的中点.∴FP || D 1D.FP= 12 D 1D.∵E 为BB 1中点.∴BE= 12 BB 1.又D 1D || BB 1.∴FP || BE .FP=BE.∴四边形BPFE 为平行四边形.∴BP || EF .∵BP⊄平面AED 1.EF⊂平面BPFE.∴BP || 平面AED 1．由于P 为AD 的中点.所以λ=1．故答案为：1．【点评】：本题考查空间中线与面的平行关系.对于找点问题.一般可采用先猜后证的思想.熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键.考查学生的空间立体感、逻辑推理能力.属于中档题．10.（填空题.3分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.给出下面四个命题： ① （ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=3（ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2； ② AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°； ③ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ④ 正方体的体积是| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.则正确的命题是___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：通过空间向量的运算以及向量的模.判断 ① 的正误；利用建立空间直角坐标系.求解向量的夹角判断 ② 的正误；利用空间向量的数量积判断 ③ 的正误；利用向量的数量积的值判断 ④ 的正误；【解答】：解：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.设正方体的棱长为1.对于 ① （ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=（ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2= |A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =3.3（ A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=3.所以 ① 正确；② 建立如图所示的坐标系.则 AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0-1）. A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.-1）.AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦函数值为 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = −1√2×√2=- 12 . 所以 AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°.所以 ② 正确；③ A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.1.-1）•（0.-1.-1）=0.所以 ③ 正确；④ | AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= |0•CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =0.所以正方体的体积是| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ • CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.不正确；故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查命题的真假.空间向量的坐标运算以及数量积的应用.夹角的求法.考查计算能力． 11.（填空题.3分）如图.半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α.垂足为B.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形.线段AC.AD 分别与球面交于点M 、N.则三棱锥A-BMN 的体积是___ ．【正确答案】：[1] 8√375 R 3【解析】：AB=2R.BC=R.AC= √5 R.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形.ABC∽△AMB . AM AC =45 .类似有 AN AD = 45 . V A−BMN V A−BCD = S △AMN S △ABC =（ 45 ）2.由此能求出三棱锥A-BMN 的体积．【解答】：解：∵AB=2R .BC=R.AC= √5 R.半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α.垂足为B.△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形. 线段AC.AD 分别与球面交于点M 、N.∴∠BAM=∠BAC.∠AMB=∠ABC=90°. ∴△ABC∽△AMB.∴ AB AM = ACAB.∴A M= 4√55R .∴ AMAC =45.类似有ANAD= 45.∴ V A−BMN V A−BCD = S△AMNS△ABC=（45）2= 1625.∴三棱锥A-BMN的体积：V A-BMN= 1625×13×√34×R2×2R = 8√375R3．故答案为：8√375R3．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法.考查球、三棱锥的结构特征等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．12.（填空题.3分）在三棱锥A-BCD中.AC=AD=BC=BD=10.AB=8.CD=12.点P在侧面ACD上.且到直线AB的距离为√21 .则PB的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][ √92−16√7 . √57 ]【解析】：由题意画出图形.可知P的轨迹.求出tan∠PAB的范围.得到AH.BH的范围.再由勾股定理求解BP的范围．【解答】：解：如图.∵P 到直线AB 的距离为 √21 为定值.∴P 在以AB 为轴.底面半径为 √21 的圆柱的侧面上. 由题设条件可知.P 的轨迹为侧面ACD 与圆柱侧面的交线.是椭圆的一部分．（平面ACD 与轴AB 不垂直.该平面与圆柱侧面的交线为椭圆）．如图设CD 的中点为M.连接AM.BM.由AC=AD=BC=BD=10.CD=12.知AM⊥CD .BM⊥CD .且AM=BM=8．连接AP 并延长交CD 于Q.连接BQ.则AQ=BQ ．∴cos∠BAQ= 12AB AQ =4AQ. ∵AM≤AQ≤AC .即8≤AQ≤10.∴cos∠BAQ= 4AQ ∈（ 25，12）.则tan∠BAQ∈[ √3 . √212 ]．过P 作PH⊥AB 于H.则PH= √21 ．∴AH= PH tan∠BAQ ∈[2. √7 ].则BH∈[8- √7 .6].∴PB= √BH 2+PH 2 ∈[ √92−16√7 . √57 ]．故答案为：[ √92−16√7 . √57 ]．【点评】：本题考查空间中点、线、面间的距离计算.考查空间想象能力与思维能力.考查运算求解能力.是中档题．13.（单选题.3分）已知直线n ⫋平面α.则m || n 是m || α的（）A.充要条件B.充分非必要条件件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：D【解析】：直线n⫋平面α.则m || n⇒m || α或m⊂α.m || α⇒m与n平行或异面．【解答】：解：直线n⫋平面α.则m || n⇒m || α或m⊂α.m || α⇒m与n平行或异面.∴m || n是m || α的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.考查线面平行、线面平行的性质等基础知识.考查空间想象能力.是基础题．14.（单选题.3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G分别为棱1.A1B1的中点.用过点E.F.G的平面截正方体.则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：首先求出截面的图形.进一步利用三视图求出结果．【解答】：解：正方体被经过E、F、G点的平面所截.其中左边的正方形的左上顶点A被切去.故少一个角.右下面留一个斜棱.故左视图为C．故选：C ．【点评】：本题考查的知识要点：三视图的应用．15.（单选题.3分）中国有悠久的金石文化.印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体.但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体.它的所有顶点都在同一个正方体的棱上.且此正方体的棱长为1．则该半正多面体： ① 有12个顶点； ② 有14个面； ③ 表面积为3； ④ 体积为 56 .正确的有（）A. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ② ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：C 【解析】：由图形即可判断 ① ② ；由半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上.可得正方形和正三角形的边长.计算即可判断 ③ ；利用割补法计算可得半正多面体的体积.即可判断 ④ ．【解答】：解：由图形可得该半正多面体共有12个顶点.14个面.故 ① ② 正确；半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上.且此正方体的棱长为1.可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点.所以该半正多面体的棱长为 √22 .故半正多面体的面积为6× √22 × √22 +8× √22 × √22× sin60°=3+2 √3 .故 ③ 错误；半正多面体的体积为1-8× 13 × 12 × 12 × 12 × 12 = 56 .故 ④ 正确．故选：C ．【点评】：本题考查正方体的切割后的多面体的性质.属于中档题．16.（单选题.3分）如图.已知正四面体A 1A 2A 3A 4.点A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A 10分别是所在棱中点.点P 满足 A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x A 4A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y A 4A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z A 4A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且x+y+z=1.记| A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min .则当1≤i .j≤10且i≠j 时.数量积 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •A i A j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的不同取值的个数是（）A.3B.5C.9D.21【正确答案】：B 【解析】：先根据空间向量四点共面的向量表达式得到点P 在平面A 1A 2A 3内.又由 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min 可得到 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面A 1A 2A 3.再结合向量数量积的几何意义即可求解．【解答】：解：∵点P 满足 A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x A 4A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y A 4A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z A 4A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且x+y+z=1.∴点P 在平面A 1A 2A 3内.由| A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| A 4P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min .可得 A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面A 1A 2A 3.由向量数量积的几何意义.A i A j 在 A 4Q 的投影有 5 种情况： 0，±12|A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，±|A 4Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴ 数量积 A 4Q •A i A j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的不同取值的个数是 5．故选：B ．【点评】：本题考查空间向量四点共面的向量表达式.向量数量积的几何意义.难点在意将数量积转化为几何意义来解题.属于难题．17.（问答题.0分）设函数f （x ）=lg （x 2+2x-3）的定义域为集合A.函数g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]上存在零点时的a 的取值集合B ．（1）求A∩B ；（2）若集合C={x|x+2p≥0}.若x∈C 是x∈A 充分条件.求实数p 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）先分别求出集合A.B.由此能求出A∩B ．（2）求出集合C={x|x+2p≥0}={x|x≥-2p}.由x∈C 是x∈A 充分条件.得到C⊆A .由此能求出实数p 的取值范围．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）=lg （x 2+2x-3）的定义域为集合A.∴A={x|x 2+2x-3＞0}={x|x ＜-3或x ＞1}.∵函数g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]上存在零点时的a 的取值集合B.g （x ）=a+ 1|x| -x 在[-3.-1]有解.∴a=x - 1|x| =x+ 1x ∈[- 103 .-2].∴B=[- 103 .-2].∴A∩B=[- 103 .-3）．（2）∵集合C={x|x+2p≥0}={x|x≥-2p}.x∈C 是x∈A 充分条件.∴C⊆A .∴-2p ＞1.解得p ＜−12 ．∴实数p 的取值范围是（-∞.- 12 ）．【点评】：本题考查交集、实数的取值范围的求法.考查函数性质、交集定义、充分条件等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．18.（问答题.0分）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中的棱长为2.O 1是A 1C 1中点．（1）求证：AO 1 || 平面DBC 1；（2）设BB 1的中点为M.过A 、C 1、M 作一截面.并求出截面面积．【正确答案】：【解析】：（1）连接AC.BD.设AC∩BD=O.连接OC1.证明四边形AOC1O1为平行四边形.得AO1 || C1O.再由直线与平面平行的判定.得到C1O⊂平面DBC1.（2）找出过A、C1、M的平面截正方体的截面图形.再由三角形面积公式求解．【解答】：解：（1）证明：如图.连接AC.BD.设AC∩BD=O.连接OC1.由AA1 || CC1.AA1=CC1可得四边形AA1C1C为平行四边形.则AC || A1C1.又C1O1=AO.∴四边形AOC1O1为平行四边形.得AO1 || C1O．而A1O⊄平面DBC1.C1O⊂平面DBC1.∴AO1 || 平面DBC1；（2）连接AM.C1M.设平面AMC1与平面AA1D1D交于AN.由平面AA1D1D || 平面BB1C1C.且平面AMC1∩平面BB1C1C=C1M.平面AMC1∩平面AA1D1D=AN.∴C1M || AN．同理可得AM || C1N.得到四边形AMC1N为平行四边形.在Rt△ABM与Rt△C1B1N中.求得AM=C1M.即四边形AMC1N为菱形.得N为DD1的中点．∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.∴MN= 2√2 .AC1=√22+22+22=2√3．∴截面面积S= 1×2√2×2√3=2√6．2【点评】：本题考查直线与平面平行的判定.考查空间想象能力与运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）设一正方形纸片ABCD边长为4厘米.切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形.剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形.沿虚线折起.恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计）.图中AH⊥PQ.O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等.请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ的底角为x.试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数.并求S范围．【正确答案】：a .结合【解析】：（1）设出正四棱锥的棱长a.正方形纸片ABCD边长为4厘米.可得AH= √32正四棱锥的棱长都相等.即可求解a的值.（2）设PH=b.值AH=btanx.由2atanx+2a=4 √2 .即可得a.在表示出正四棱锥的侧面积S.利用基本不等式即可S范围.a . 【解答】：解：（1）设出正四棱锥的棱长a.正方形纸片ABCD边长为4厘米.可得AH= √32a+a=AC=4√2 .∵正四棱锥的棱长都相等.即2×√32∴ a=2√6−2√2．故得正四棱锥的棱长为2√6−2√2；（2）由题意.设PH=b.则AH=btanx.由2atanx+2a=4 √2 . 可得a= 2√2tanx+1.从而侧面积S= 4×12×PO•AH=2a2•tanx = 16tanx(tanx+1)2.其中tanx∈（1.+∞）；∴S= 16tanx+1tanx +2∈（0.4）.故得S范围是（0.4）．【点评】：本题主要考查了正四棱锥的几何性质.正四棱锥中的棱长、高、体积的计算.建立函数模型并求其最值的方法.有一定的难度．20.（问答题.0分）如图.在Rt△SOA中.∠OSA= π6.斜边SA=4.半圆H的圆心H在边OS上.且与SA相切.现将Rt△SOA绕SO旋转一周得到一个几何体.点B为圆锥底面圆周上一点.且∠AOB=90°．（1）求球H的半径；（2）求点O 到平面SAB 的距离；（3）设P 是圆锥的侧面与球的交线上一点.求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围．【正确答案】：【解析】：（1）令SA 与圆切于K.则有SO=3r.即可求解．（2）由等体积法得V O-SAB =V S-OAB ⇒ 13S △SAB •d =13S △OAB •SO .即可得点O 到平面SAB 的距离；（3）如图建立空间直角坐标系.求得平面SAB 的法向量 n ⃗ =(x ，y ，z) .设PO 与平面SAB 所成角为α.则sinα= |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = |√6sin(θ+π4)+√3|2√7【解答】：解：（1）如图.令SA 与圆切于K.∵∠OSA= π6 .∴SH=2r .（r 为球半径）∴SO=3r .∵在Rt△SOA 中.∠OSA= π6 .斜边SA=4.∴SO=2 √3 .OA=2.∴r= SO3=2√33．（2）由等体积法.V O-SAB =V S-OAB ⇒ 13S △SAB •d =13S △OAB •SO .∵S △SAB = 12AB •√SA 2−(AB 2)2= 12×2√2•√16−2=2√7 .S △OAB =2. ∴d= 2√217 .即点O 到平面SAB 的距离为 2√217；（3）如图建立空间直角坐标系.则A （0.2.0）.B （2.0.0）.S （0.0.2 √3 ）.P （cosθ.sinθ. √3 ）. SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，−2√3) . SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−2√3 ）. PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cosθ，−sinθ，−√3) .设平面SAB 的法向量 n ⃗ =(x ，y ，z) .由 {SA ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0SB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0 ⇒ {y =√3z x =√3z∴ n ⃗ =(√3，√3，1) . 设PO 与平面SAB 所成角为α.则sinα= |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = |√6sin(θ+π4)+√3|2√7 . √6+√32√7 ]. ∴PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围为：[0.√42+√2114 ]．【点评】：本题考查了空间几何体内切球问题、线面角求解.考查了数学运算、直观想象等核心素养.属于中档题．21.（问答题.0分）设集合A的元素均为实数.若对任意a∈A.存在b∈B.c∈C．使得b+c=a且b-c=1.则称元素最少的B和C为A的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”.依此类推…（1）设A={3.5.7}.直接写出集合A的“孪生集”；（2）设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C.若使集合∁B∪C（B∩C）中元素个数最少且所有元素之和为3.证明：A中所有元素之和为3n；（3）若A={a k|a k=a1+2（k-1）.1≤k≤n.k∈N*}.请直接写出A的“n级孪生集”的个数.设A的所有”n级孪生集”的并集为Ω.若Ω=M1∪M2∪M3；求有序集合组（M1.M2.M3）的个数．【正确答案】：【解析】：（1）根据集合定义直接得到答案；（2）将集合 A 中元素从小到大排列：a1＜a2＜…＜a n.则“孪生集” B={a1+12，a2+12，…，a n+1 2} . C={a1−12，a2−12，…，a n−12} .a1.a2.….a n构成公差为 2 的等差数列.计算得到答案；（3）A 的“n级孪生集”的个数为 2n.计算元素个数得到答案．【解答】：解：（1）B={2.3.4}.C={1.2.3}；（2）将集合 A 中元素从小到大排列：a1＜a2＜…＜a n.则其“孪生集“ B={a1+12，a2+12，…，a n+12} . C={a1−12，a2−12，…，a n−12} .设集合D=∁（B∪C）（B∩C）.由于a1−12∈C，a1−12∉B，a n+12∈B，a n+12∉C .因此集合 D 中元素个数card（D）≥2.若card（D）=2.则有a k+12=a k+1−12(1≤k≤n−1) .即a k+1-a k=2（1≤k≤n-1）.因此a1.a2.….a n构成公差为 2 的等差数列.D={a1−12，a n+12} .所以a1−12+a n+12=a1+a n2=3 .进而a1+a2+⋯+a n=(a1+a n)n2=3n．（3）A 的“n 级孪生集”的个数为 2n.A 所有“n 级孪生集”的并集Ω 的元素个数为 2n+n-1.每个元素至少属于 M1.M2.M3中的一个.所以有序集合组（M1.M2.M3）的个数为(23−1)2n+n−1=72n+n−1．【说明】由（2）知.A 所有“1 级孪生集”为B={a1+12，a1+32，…，a1+2n−12}，C={a1−12，a1+1 2，…，a1+2n−32} .它们的并集Ω={a1−12，a1+12，…，a1+2n−32，a1+2n−12}有 n+1=21+n-1 个元素；A 所有“2 级孪生集“为{a1+34，a1+54，…，a1+2n+14}，{a1−14，a1+14，…，a1+2n−34} . {a1+14，a1+3 4，…，a1+2n−14}，{a1−34，a1−14，…，a1+2n−54} .它们的并集Ω={a1−34，a1−14，…，a1+2n−14，a1+2n+14} .有 n+3=22+n-1 个元素；A 所有“3 级孪生集“为{a1+78，a1+98，…，a1+2n+58}，{a1−18，a1+18，…，a1+2n−38} .{a1+38，a1+58，…，a1+2n+18}，{a1−58，a1−38，…，a1+2n−78} .{a1+58，a1+78，…，a1+2n+38}，{a1−38，a1−18，…，a1+2n−58} .{a1+18，a1+38，…，a1+2n+18}，{a1−78，a1−58，…，a1+2n−98} .它们的并集Ω={a1−78，a1−58，…，a1+2n+38，a1+2n+58} .有 n+7=23+n-1个元素；A 所有“n 级孪生集“的并集Ω={a1−(2n−1)2n ，a1−(2n−3)2n，…，a1+2n+(2n−3)2n} .其中第 2 个元素的分子和最大元素的分子和恰为2a1+2n.即所有元素从小打到大构成首项为a1−(2n−1)2n .公差为12n−1的等差数列.所以共有a1+2n+(2n−3)2n−a1−(2n−1)2n12n−1+1=2n+n−1项.也即A所有“n 级孪生集”的并集Ω 的元素个数为 2n+n-1．【点评】：本题考查集合的定义.集合元素的个数和元素和.已在考查学生的应用能力.属于难题．。

上海市闵行区七宝中学2019_2020学年高一数学上学期9月月考试题(含解析)

上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一数学上学期9月月考试题（含解析）一：填空题。

1.点(2,3)P -关于y 轴对称的点的坐标为________ 【答案】(2,3) 【解析】【分析】根据点关于y 轴对称点的特征，求得P 点关于y 轴的对称点.【详解】点关于y 轴对称，横坐标相反，纵坐标相同，故()2,3P -关于y 轴对称点的坐标为()2,3.故填：()2,3.【点睛】本小题主要考查点关于y 轴对称点的特征，属于基础题.2.函数y =x 的取值范围是________ 【答案】35x <≤ 【解析】【分析】根据分母不为零，偶次方根被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数定义域.【详解】依题意3050x x ->⎧⎨-≥⎩，解得35x <≤.故填：35x <≤.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要考虑分式的分母、偶次方根的被开方数，属于基础题.3.已知反比例函数ky x=（0k ≠），当0x <时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y kx k=-的图像不经过第________象限【答案】三【解析】【分析】根据反比例函数的单调性求得k 的范围，由此判断出一次函数不经过的象限. 【详解】由于函数k y x=0x <时递增，故k 0<，由()1y kx k k x =-=-可知，直线过()1,0，且斜率小于零，由此可判断一次函数y kx k =-不经过第三象限.故填：三.【点睛】本小题主要考查反比例函数的单调性，考查一次函数过定点以及一次函数经过的象限，属于基础题.4.x =-的解的集合为________ 【答案】{}1- 【解析】【分析】先求得x 的范围，然后两边平方求得方程的解的集合.【详解】依题意0x -≥，解得0x ≤x =-两边平方得22x x +=，解得1x =-或2x =，由于0x ≤，故1x =-，所以方程的解的集合为{}1-.故填：{}1-.【点睛】本小题主要考查含有根式的方程的解法，解题过程中要注意x 的取值范围，属于基础题.5.反比例函数2y x=的图像与一次函数y x b =-+的图像在第一象限内有交点，则b 的最小值为________【答案】【解析】【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式，利用判别式为非负数且0b>列不等式组，解不等式组求得b的最小值.【详解】由于反比例函数2yx=过第一、三象限，一次函数y x b=-+斜率为10-<，两个函数公共点在第一象限，故0b>，由2yxy x b⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y得220x bx-+=，其判别式280b-≥，结合0b>解得22b≥，故b的最小值为22.故填：22.【点睛】本小题主要考查反比例函数、一次函数的图像交点问题，考查一元二次方程有解的条件，属于基础题.6.如图，过△ABC的重心G作BC的平行线，分别交AB、AC于点E、F，若4EF=，则BC=_______【答案】6【解析】【分析】根据三角形重心的性质列方程，解方程求得BC的长.【详解】由于G是三角形ABC的重心，且//EF BC，所以23EFBC=，所以362EFBC==. 故填：6.【点睛】本小题主要考查三角形重心的性质，考查平行线的性质，属于基础题.7.已知0x y z++≠，a、b、c均不为0，且xay z=+，ybx z=+，zcx y=+，则111a b ca b c++=+++_______【答案】1【解析】【分析】化简已知条件，由此求得表达式的化简结果. 【详解】由xa y z=+，yb x z=+，zc x y=+得1,1,1x y z x y z x y za b c y z x z x y ++++++=+=+=++++，所以111,,111y z x z x y a x y z b x y z c x y z +++===+++++++++，所以111a b ca b c ++=+++1x y z x y z x y z x y z++=++++++. 故填：1.【点睛】本小题主要考查代数式的运算，属于中档题.8.已知点(1,1)A 和点(3,2)B ，在直线y x =-上有一个点P ，满足PA PB +最小，则PA PB +的最小值是________ 【答案】5 【解析】【分析】根据对称性求得A 关于直线y x =-对称点的坐标'A ，由'A B 求得PA PB +的最小值.【详解】由于()1,1A 在y x =上，所以点A 关于直线y x =-的对称点为()'1,1A --，所以PA PB +的最小值为'5A B ==.故填：5.【点睛】本小题主要考查点关于直线对称点问题，考查类似将军饮马的最短距离和问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9.已知方程|53||54|7x x ++-=，则x 的取值范围是_______ 【答案】3455x -≤≤ 【解析】【分析】化简原方程，利用绝对值的几何意义，求得x 的取值范围. 【详解】由|53||54|7x x ++-=得347555x x ++-=，方程表示数轴上到35-和45的距离和为75的点，而35-和45的距离是75，故符合题意的x 的范围是3455x -≤≤.故填：3455x -≤≤. 【点睛】本小题主要考查利用绝对值的几何意义解方程，属于基础题.10.关于x 方程221(43|43|)2x x x x k -+--+=有两个不同的根，则k 的取值范围是_____ 【答案】(1,0)- 【解析】【分析】根据x 的取值范围去绝对值，求得方程左边的表达式，根据方程根的个数，结合图像，求得k 的取值范围.【详解】当1x ≤或3x ≥时，方程为0k =，不符合题意.当13x <<时，方程为()()2431,3x x k x -+=∈，画出()()2431,3y x x x =-+∈的图像如下图所示，由图可知，要使方程()()2431,3x x k x -+=∈有两个不相同的根，则需()1,0k ∈-. 故填：(1,0)-.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的方程的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知集合{1,2,3,,}M n =⋅⋅⋅（1n >，*n ∈N ），则M 的所有非空子集的元素和为_______（只需写出数学表达式）【答案】22()2n n n -+⋅【解析】【分析】求得含1个元素的子集的元素和、求得含2个元素的子集的元素和、以此类推，求得含n 个元素的子集的元素和，然后相加，求得M 所有非空子集的元素和. 【详解】含1个元素的子集的元素和为()()11112n n n C C -+++⋅-L ，含2个元素的子集的元素和为()()22112n n n C C -+++⋅-L ，……以此类推含1n -个元素的子集的元素和为()()11112n n n n n C C ---+++⋅-L ，含n 个元素的子集的元素和为()12nn n C +++⋅L .上述n 个式子相加得()()()1212111112n n n n n n n n n n C C C C C C ----+⎡⎤+++++++⎣⎦L L ()2122222n n n n n n --+=⋅=+⋅. 故填：()222n n n -+⋅.【点睛】本小题主要考查集合非空子集元素和的计算，考查等差数列前n 项和公式，考查二项式展开式的二项式系数和公式，属于中档题.12.当一个非空数集F 满足条件“若,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”时，称F 为一个数域，以下四个关于数域的命题：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2019F ∈；（3）集合{|3,}P x x k k ==∈Z 为数域；（4）有理数集为数域；其中，真命题的编号为________（写出所有真命题的编号）【答案】（1）（2）（4）【解析】根据新定义数域的概念，对四个命题逐一分析，由此得出真命题的编号. 【详解】对于（1），当a b =时，0a b F -=∈，故（1）正确. 对于（2），当a b =时，1aF b=∈，所以11,21,,20181+++L 都是F 的元素，故（2）正确. 对于（3）由于33,3P P ∈∉，故P 不是数域.对于（4）有理数集满足,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈.故（4）正确.综上所述，正确的命题编号为：（1）（2）（4）. 故填：（1）（2）（4）.【点睛】本小题主要考查新定义集合的理解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题.二.选择题13.已知关于x 的一次函数27y mx m =+-在15x -≤≤上的函数值总是正的，则m 的取值范围是（） A. 7m > B. 1m >C. 17m ≤≤D. 以上都不对【答案】A 【解析】【分析】根据一次函数的单调性列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】由于一次函数是单调函数，依题意有2705270m m m m -+->⎧⎨+->⎩，解得7m >，故选A.【点睛】本小题主要考查一次函数的性质，考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.14.m 是一个完全平方数，则（） A. 1m -一定是完全平方数 B. 1m -一定不是完全平方数 C. 2m +一定是完全平方数 D. 2m +一定不是完全平方数【答案】D 【解析】对m 取特殊值，排除错误选项，从而得出正确结论.【详解】当4m =时，13m -=不是完全平方数，26m +=不是完全平方数，由此排除A,C 两个选项.当1m =时，10m -=是完全平方数，由此排除B 选项.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查完全平方数的特点，考查特殊值解选择题的方法，属于基础题.15.如图，反比例函数3y x=-（0x >）图像经过矩形OABC 边AB 的中点E ，交边BC 于F 点，连结EF 、OE 、OF ，则△OEF 的面积是（）A.32B.94C.73D.52【答案】B 【解析】【分析】设出A 点坐标，求得,,B E F 的坐标，利用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求得三角形OEF 的面积.【详解】设(),0,0A a a >，则366,,,,,2a E a B a F a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩形OABC 的面积为66a a ⋅=，三个直角三角形的面积为131********222222424a a a a a a ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=，所以三角形OEF 的面积为159644-=，故选B. 【点睛】本小题主要考查反比例函数上点的坐标的特点，考查利用割补法求三角形面积，属于基础题.16.如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（）个A. 17个B. 64个C. 81个D. 72个【答案】D 【解析】【分析】先解不等式组求得x 的取值范围，根据整数解的情况，确定有序对的个数. 【详解】由9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩得98a bx ≤<，不妨设1n =，故a 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种可能，b 可取9,10,11,12,13,14,15,16共8种可能，可以满足整数解有1个，为1.所以有序数对(),a b 共有9872⨯=个，故选D.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，考查分步计数原理，考查整数的性质，考查分析与思考的能力，属于基础题.三.解答题17.求3232x x x ++-除以2x -的商式与余数. 【答案】商式23715x x =++，余式28=. 【解析】【分析】设商为2ax bx c ++，利用()()22x ax bx c -++的展开式与3232x x x ++-比较，求得,,a b c的值，进而求得商式和余式.【详解】设商为2ax bx c ++，()()22x ax bx c -++()()32222ax b a x c b x c =+-+--，所以32121a b a c b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得3,7,15a b c ===，()()223715x x x -++22330x x x =++-，由()32223233028x x x x x x ++--++-=可知，余式为28.【点睛】本小题主要考查多项式除法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18.如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.【参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数】【答案】202m【解析】【分析】利用梯形面积，减去弓形面积，求得阴影部分面积.【详解】连接,,OA OB AB ，过O 作OG CD ⊥交AB 于E ，交劣弧»AB 于F .过A 作AH CD ⊥交CD 于H ，过B 作BI CD ⊥交CD 于I .由于228AB AE BE ===，5OB OA ==，所以3,2,3OE FE OF OE EG EF FG ==-==+=，所以3AH BI ==，在直角三角形ADH 中，3tan ,tan 56,2AH D DH DH DH===o ，同理求得2CI =，所以28212CD =++=，故梯形ABCD 的面积为8123302+⨯=.在直角三角形OAE 中4sin 0.85AOE ∠==，故53,106AOE AOB ∠≈∠=o o ，所以扇形OAFB 的面积为1063522360⨯⨯≈，而三角形AOB 的面积为183122⨯⨯=，所以弓形AFB 的面积为221210-=，故阴影部分面积为2301020m -=.【点睛】本小题主要考查与圆有关的面积计算，考查梯形面积公式、扇形面积公式，考查分析与思考、解决问题的能力，属于中档题.19.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，弧AC 的圆心为B ，过弧AC 上的点P 作弧AC 的切线，与AD 、CD 分别相交于点E 、F ，BP 的延长线交AD 边于点G .（1）设AE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当2AE =时，求EG 的长.【答案】（1）3666x y x -=+，(0,6)x ∈；（2）52. 【解析】【分析】（1）根据切线长定理求得,PE PF 的长，在直角三角形DEF 中利用勾股定理求得y 与x 的关系式.（2）以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，又,E F 坐标，求得直线EF 的斜率，进而求得直线BP 的斜率，由此求得AG 长，进而求得EG 的长.【详解】（1）根据切线长定理得,PE AE x PF CF y ====，且6,6DE x DF y =-=-，直角三角形DEF 中由勾股定理得()()()22266x y x y +=-+-，化简得3666x y x -=+，由066x <-<，解得06x <<，也即函数定义域为()0,6.所以函数解析式为()()3660,66x y x x-=∈+.（2）当2AE =时，由（1）知3CF =.以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,6,6,0,2,6,6,3A C E F ，所以直线EF 的斜率为633264-=--，所以与EF 垂直的直线BG 的斜率为43，而4tan tan 3AB AGB GBC AG ∠=∠==，所以3942AB AG ==，所以95222EG AG AE =-=-=.即EG 长为52.【点睛】本小题主要考查圆的切线长定理，考查勾股定理，考查坐标法求解几何问题，属于中档题.20.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称点00(,)x x 为函数()f x 的不动点.（1）已知函数2()f x ax bx b =+-（0a ≠）有不动点(1,1)和(3,3)--，求a 、b ；（2）若对于任意的实数b ，函数2()f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，3b =；（2）(0,1).【解析】【分析】（1）根据不动点的定义列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）根据不动点的概念列式，利用一元二次方程根的个数与判别式的关系列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）依题意()()11393943f a b b a f a b b a b ⎧=+-==⎪⎨-=--=-=-⎪⎩，解得1,3a b ==. （2）首先0a ≠，依题意20000()f x ax bx b x =+-=有两个不同的解，即()20010ax b x b +--=有两个不同的解，所以()2140b ab ∆=-+>，即()24210b a b +-+>对任意b R ∈都成立，所以()24240a ∆=--<，即216160a a -<，()10a a -<，解得01a <<.所以实数a 的取值范围是()0,1.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查一元二次不等式根的个数与判别式的关系，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.21.设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1}}n k A t t t t αα==⋅⋅⋅∈（1,2,,k n =⋅⋅⋅），对于集合A 中任意元素12(,,,)n x x x α=⋅⋅⋅和12(,,,)n y y y β=⋅⋅⋅，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+--++--+⋅⋅⋅++--. （1）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α、β，当α、β相同时，(,)M αβ是奇数，当α、β不同时，(,)M αβ是偶数，求集合B 中元素个数的最大值.【答案】（1）(,)2M αα=，(,)1M αβ=；（2）4.【解析】【分析】（1）利用(,)M αβ的定义，求得(,)M αα和(,)M αβ的值.（2）当4n =时，根据α、β相同时，(,)M αβ是奇数，求得此时集合B 中元素所有可能取值，然后验证α、β不同时，(,)M αβ是偶数，由此确定集合B 中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦； (,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦. （2）当4n =时，依题意当α、β相同时，(,)M αβ()()()()1122334412x x x x x x x x =+++++++⎡⎤⎣⎦1234x x x x =+++为奇数，则1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”或者“1个1和3个0”.当α、β不同时：①当1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”时，元素为()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1.②当1234,,,x x x x 中有“1个1和3个0”时，元素为()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.综上所述，不管是①还是②，集合B中元素个数的最大值为4.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.。

上海市七宝中学2019-2020学年高二数学9月月考试题(含解析)

上海市七宝中学2019-2020学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。

【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________【答案】(3,)+∞ 【解析】【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。

【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。

3.已知向量(2,1)a =-r ，(3,4)b =r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影为________【答案】25- 【解析】【分析】a r 在向量b r方向上的投影为a b br r g r ，即可求解.【详解】向量a r 在向量b r方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b a a b b-+<>====-r r r rr r r r g g g r r r g【点睛】a r 在向量b r 方向上的投影a b b r r g r ， b r 在向量a r 方向上的投影a b ar r g r ，可以直接使用，基础题。

4.已知点P 是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-uu u r uuu r ，若212P P PP λ=uuu r uuu r ，则实数λ=________ 【答案】23-【解析】【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。

2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎叶图如图所示．在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是()A. 93B. 92C. 91D. 902.如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A. MN//ABB. MN与BC所成的角为45°C. OC⊥平面VACD. 平面VAC⊥平面VBC3.甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试，三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为A. B. C. D.4.已知z1≠−1，z1−1z1+1=bi(b∈R)，z=4(z1+1)2−1，则z对应的点在()A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知集合={直线}，={平面}，.若，给出下列四个命题：①②③④其中所有正确命题的序号是．6.已知(x+1x)9展开式中x5的系数是______；7. 两人射击命中目标的概率分别为现两人同时射击目标，则目标能被命中的概率为。

(用数字作答)8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AD =12BC =2，∠ABC =90°，∠C =45°，E 为BC 中点，现将△CDE 沿DE 折起，使得平面CDE ⊥平面ABED ，连接AC 、BC ，设M 为CE 中点，动点P 在平面CBE 和平面CDE 上运动，且始终满足AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为______．9.10. 在(2x −1√x )5的展开式中，x 2的系数为______．11. 某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立．则该生只取得一门课程A 的概率为______ 12. 给出下列命题：①若f′(x 0)=0，则函数f(x)在x =x 0处有极值； ②m >0是方程x 2m+y 24=1表示椭圆的充要条件；③若f(x)=(x 2−8)e x ，则f(x)的单调递减区间为(−4,2)； ④双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线x 2b 2−y 2a 2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为2√2 其中为真命题的序号是______ ．13. 已知f(x +1)=x 2+2x +3，则f(2)的值为______．14. 第一排有5个座位，安排4个老师坐下，其中老师A 必须在老师B 的左边，共有______ 种不同的排法(结果用数字表示)．15. 周五下午，我们1，2两个班的课分别都是语文，数学，物理，和自习．由于我们两个班的语文，数学，物理老师都一样的，即同一时间，某位老师只能在其中一个班上课，现教务处有______种排课方案．16. 已知集合M ={x||x|<1}，N ={a}，若M ∪N =M ，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知(1−x+x2)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14.求：(1)a0+a1+a2+⋯+a14．(2)a1+a3+a5+⋯+a13．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，且∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN//平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A−MN−Q的平面角的余弦值．19.(本小题满分12分)已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

上海市七宝中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷+解析版)

【详解】设直线的方程为，即
∵点到的距离为1，
∴ ，解之得，
得的方程为．
当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1，
∴直线的方程为或．
故答案为或
【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．
8.直线与曲线的公共点的个数为_________；
A. B. C. D.
三、解答题.
17.已知，设，当为何值时：
（1）在复平面上对应的点在第二象限？
（2）在复平面上对应的点在直线上.
18.已知直线与抛物线交于两点.
（1）求证：若直线过抛物线的焦点，则；
（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.
19.（1）若圆方程是，求证：过圆上一点的切线方程为 .
【答案】
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角定义来确定.
【详解】由直线倾斜角的定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.
范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
（2）若圆的方程是，则过圆上一点的切线方程为_______，并证明你的结论.
20.已知双曲线的两焦点为，为动点，若 .
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若，设直线过点，且与轨迹交于两点，直线与交于点.试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二(下)期中数学试卷

2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是___ ．2.（填空题，3分）若（2x+1）11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2-（a1+a3+…+a11）2=___ ．3.（填空题，3分）某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯互独立的，遇到红灯的概率都是13的概率为___ ．4.（填空题，3分）在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P到该二面角棱的距离为___ ．5.（填空题，3分）若C n1+3C n2+32C n3+3n−2C n n−1+3n−1=85，则n=___ ．6.（填空题，3分）7172除以100的余数是___ ．7.（填空题，3分）甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为___ ．8.（填空题，3分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：① 若a⊥b，a⊥α，则b || α；② 若a || α，α⊥β，则a⊥β；③ 若a⊥β，α⊥β，则a || α；④ 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．其中正确的命题序号是___ ．9.（填空题，3分）若y=√x−4+√18−3x，则y的取值范围是___ ．10.（填空题，3分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有___ 种不同的选法．（用数字作答）11.（填空题，3分）在5月6日返校体检中，学号为i（i=1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有___ 种．12.（填空题，3分）设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B满足：|A∩B|=k并且A∪B=S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k-覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|=n，则S的“k-覆盖”个数为___ ．13.（单选题，3分）在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A.100B.85C.65D.5514.（单选题，3分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（）A.4条B.6条C.8条D.10条15.（单选题，3分）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（）A. 1240B. 1160C. 71440D. 118016.（单选题，3分）四棱锥P-ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A.B.C. D.17.（问答题，0分）若 (√x 6+1√x 6)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18.（问答题，0分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：EF || 平面PAD ；（2）若∠PDA=45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．19.（问答题，0分）如图，梯形ABCD 中，AD || BC ，∠ABC= π2 ，AB=a ，AD=3a ，∠ADC=arcsin √55 ，PA⊥面ABCD ，PA=a ．求：（1）二面角P-CD-A 的大小（用反三角函数表示）；（2）点A 到平面PBC 的距离．20.（问答题，0分）是否存在等差数列{a n }，使 a 1C n 0+a 2C n 1+a 3C n 2+⋯+a n+1C n n =n •2n+1 对任意n∈N *都成立？若存在，求出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．21.（问答题，0分）规定 C x m =x (x−1)…(x−m+1)m!，其中x∈R ，m 是正整数，且 C x 0=1 ，这是组合数 C n m （n 、m 是正整数，且m≤n ）的一种推广．（1）求 C 124 的值；（2）设x ＞0，当x 为何值时，C x 3(C x 1)3 取得最小值？（3）组合数的两个性质：① C n m =C n n−m ．② C n m +C n m−1=C n+1m ．是否都能推广到 C x m （x∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是___ ．【正确答案】：[1]相交、平行、异面【解析】：以正方体为载体，列举出所有可能结果，由此能判断两直线的位置关系．【解答】：解：在正方体AC1中，E是AA1的中点，F是BB1的中点，A1B1 || 平面ABCD，A1D1 || 平面ABCD，B1C1 || 平面ABCD，EF || 平面ABCD，A1B1∩A1D1=A1，A1D1 || B1C1，A1D1和EF是异面直线，∴直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是相交、平行、异面．故答案为：相交、平行、异面．【点评】：本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2.（填空题，3分）若（2x+1）11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2-（a1+a3+…+a11）2=___ ．【正确答案】：[1]-311【解析】：在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311，再令x=-1可得（a0+a2+a4+…+a10）-（a1+a3+a5+…+a11）=-1，相乘，即得所求．【解答】：解：∵ (2x+1)11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311．再令x=-1可得（a0+a2+a4+…+a10）-（a1+a3+a5+…+a11）=-1．两式相乘可得(a0+a2+⋯+a10)2−(a1+a3+⋯+a11)2 =-311，故答案为-311．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数，是解题的关键，属于中档题．3.（填空题，3分）某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为___ ．【正确答案】：[1] 427【解析】：这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前2次都遇到绿灯，第3次遇到红灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率．【解答】：解：某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前2次都遇到绿灯，第3次遇到红灯，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为P=（1- 13）2× 13= 427．故答案为：427．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，3分）在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P到该二面角棱的距离为___ ．【正确答案】：[1] 2√213【解析】：过P分别作两平面和棱的垂线，解三角形即可求出答案．【解答】：解：过A作平面α，β的垂线，设垂足分别为A，B，设α∩β=l，作PC⊥l，垂足为C，连接AC，BC，∵PA⊥α，∴PA⊥l，又l⊥PC，PA∩PC=P，∴l⊥平面PAC，∴l⊥AC，同理可得：l⊥BC，∴∠BCA为二面角α-l-β的平面角，设∠ACP=θ，则∠BCP= 2π3-θ，由题意可知PA=1，PB=3，∴PC= 1sinθ = 3sin(2π3−θ)，即1sinθ = 3√32cosθ+12sinθ，化简可得tanθ= √35，∴AC= 1tanθ = 5√3，故PC= √PA2+AC2 = √253+1 = 2√213．故答案为：2√213．【点评】：本题考查了线面垂直的性质，解三角形，属于中档题．5.（填空题，3分）若C n1+3C n2+32C n3+3n−2C n n−1+3n−1=85，则n=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：凑成二项式定理展开式的右边的形式；逆用二项式定理，将多项式写出二项式形式．【解答】：解：由C n1+3C n2+32C n3+3n−2C n n−1+3n−1=85，得：3C n1+32C n2+33C n3+3n−1C n n−1+3n =255，即（1+3）n-1=255，所以4n=256，所以n=4．故答案为4．【点评】：本题考查了组合及组合数公式，解答此题的关键是熟练掌握二项式定理的形式，属基础题．6.（填空题，3分）7172除以100的余数是___ ．【正确答案】：[1]41【解析】：利用二项式定理化简7172=（70+1）72，求出展开式的后2项，即可得到7172除以100的余数．【解答】：解：7172=（70+1）72= ∁720•7072+ ∁721•7071+…+ ∁7270•702+ ∁7271•70+ ∁7272•1=m•102+72×70+1=m•102+5000+41（m∈N），即7172除以100的余数为41．故答案为：41．【点评】：本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法、整除的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.（填空题，3分）甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为___ ．【正确答案】：[1] 2932【解析】：基本事件总数n=4×4×4×4=256，至少有两位同学选择时间相同的对立事件是四个人的时间各不相同，四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m= A44 =24，由此能求出至少有两位同学选择时间相同的概率．【解答】：解：甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，基本事件总数n=4×4×4×4=256，至少有两位同学选择时间相同的对立事件是四个人的时间各不相同，四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m= A44 =24，则至少有两位同学选择时间相同的概率为P=1- mn =1−24256= 2932．故答案为：2932．【点评】：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.（填空题，3分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：① 若a⊥b，a⊥α，则b || α；② 若a || α，α⊥β，则a⊥β；③ 若a⊥β，α⊥β，则a || α；④ 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．其中正确的命题序号是___ ．【正确答案】：[1] ④【解析】：对于① ，b || α或b⊂α；对于② ，a与β相交、平行或a⊂β；对于③ ，a || α或a⊂α；对于④ ，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】：解：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：对于① ，若a⊥b，a⊥α，则b || α或b⊂α，故A错误；对于② ，若a || α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故② 错误；对于③ ，若a⊥β，α⊥β，则a || α或a⊂α，故③ 错误；对于④ ，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④ 正确．故答案为：④ ．【点评】：本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．9.（填空题，3分）若y=√x−4+√18−3x，则y的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [√2，2√2]【解析】：令x=4+2sin2t，t∈[0，π2]，再借助于三角函数的性质即可求解结论．【解答】：解：因为y= √x−4 + √18−3x；令x=4+2sin2t，t∈[0，π2]；则y= √2 sint+ √6 cost=2 √2 sin（t+ π3）；∵t∈[0，π2]⇒t+ π3∈[ π3，5π6]；∴当t= π2时，y取最小值√2；当t= π6时，由取最大值2 √2；即y∈[ √2，2 √2 ]．故答案为：[ √2，2 √2 ]．【点评】：本题考查了三角代换法求函数值域，属于中档题．10.（填空题，3分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有___ 种不同的选法．（用数字作答）【正确答案】：[1]1000【解析】：用间接法，首先由排列组合数公式求出5人服务队的选法A 82 C 63 =1120种，再求出没有女生的选法A 62 C 43 =120种，相减即可．【解答】：解：从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队共有A 82 C 63 =1120种，若没有女生则有A 62 C 43 =120种，则服务队中至少有1名女生的选法有1120-120=1000种．故答案为：1000．【点评】：本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，可以避免讨论，简化计算．11.（填空题，3分）在5月6日返校体检中，学号为i（i=1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有___ 种．【正确答案】：[1]252【解析】：由5位同学体重增加量的个数为依据分成5类，每一类先定元素再把元素分给5位同学计算出分法，相加即可．【解答】：解：根据五位同学的体重增加量中的元素个数分为5类，第一类增加元素一个时有C 61 =6种；第二类增加元素二个时有C 62 C 41 =60种；第三类增加元素三个时有C 63 C 42 =120种；第四类增加元素四个时有C 64 C 43 =60种；第五类增加元素五个时有C 65 =6种；则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有6+60+120+60+6=252种．故答案为：252．【点评】：本题考查分类和分步基本原理，组合的应用，有一定的综合性，关键是找到以体重增量的多少为依据分为5类，属于中档题．12.（填空题，3分）设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B满足：|A∩B|=k并且A∪B=S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k-覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|=n，则S的“k-覆盖”个数为___ ．【正确答案】：[1] C n k•2n−k【解析】：根据题意，分2步进行分析： ① 在集合S 的n 个元素中任选k 个， ② 集合S 中还有（n-k ）个元素，假设这（n-k ）个元素组成集合M ，分析集合M 的子集，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 若|S|=n ，即集合S 中有n 个元素，在其中任选k 个，有 C n k 种取法，② 集合S 中还有（n-k ）个元素，假设这（n-k ）个元素组成集合M ，集合M 有2n-k 个子集，则S 的“k -覆盖”个数为 C n k •2n−k ；故答案为： C n k •2n−k【点评】：本题考查分步计数原理的应用，涉及集合的运算，注意将原问题转化为分步计数原理问题，属于基础题．13.（单选题，3分）在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A.100B.85C.65D.55【正确答案】：D【解析】：因为S 2= ∑(x i −x )2n i=1n =10.2，其中n=40， x =82，S 2=10.2，计算排除可以得出结果．【解答】：解：因为S 2= ∑(x i −x )2n i=1n =10.2，所以 ∑(x i −x )40i=1 =40×10.2=408，若存在x=55，则（x- x ）2=（55-82）2=729＞ ∑(x i −x )40i=1 =408，则方差必然大于10.2，不符合题意，所以55不可能是所有成绩中的一个样本．故选：D ．【点评】：本题考查平均数、方差的意义，比较基础．14.（单选题，3分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中与AD 1成60°角的面对角线的条数是（）A.4条B.6条C.8条D.10条【正确答案】：C【解析】：作出正方体ABCD-A1B1C1D1的图象，根据图象先找出与AD1成60的直线条数，再找出直线条数，选出正确答案【解答】：解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和D1点的正方体面的对角线与它组成的角都是60°，这样就有4条，根据正方体的性质，在正方体的各侧面上的对角线平行的也满足条件，故一共有8条，故选：C．【点评】：本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，本题解题的关键是利用正方体的性质，看出面的对角线之间所成的角．15.（单选题，3分）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（）A. 1240B. 1160C. 71440D. 1180【正确答案】：B【解析】：解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为22事件数，即可得到结论．【解答】：解：一天显示的时间总共有24×60=1440种，和为22有08：59，09：49，09：58，17：59，18：49，18：58；19：39；19：48；19：57总共有9种，故所求概率为P= 91440 = 1160 ；故选：B ．【点评】：本题考查的是古典概型，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是解题的关键．16.（单选题，3分）四棱锥P-ABCD 底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：先确定轨迹是2个平面的交线，PC 的中垂面α和正方形ABCD 的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】：解：∵MP=MC ，∴M 在PC 的中垂面α上，点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD 的交线，∵ABCD 为正方形，侧面PAD 为等边三角形，∴PD=CD ，取PC 的中点N ，有DN⊥PC ，取AB 中点H ，可证 CH=HP ，∴HN⊥PC ，∴点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是HD ．故选：B ．【点评】：本题考查面面垂直的性质，轨迹的确定方法．17.（问答题，0分）若 (√x 6+√x 6)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得， 2C n 2=C n 1+C n 3 ，解方程可求n（2）先写出二项展开式的通项，然后令x 的次方为0，求出r 即可判断【解答】：解：（1）由题意可得， 2C n 2=C n 1+C n 3∴ n 2−n =n +n (n−1)(n−2)6 化简可得，n 2-9n+14=0∵n≥3∴n=7（2）无常数项， T r+1=C n r x 7−2r6其中7−2r6=0时r=3.5∉Z，故不存在【点评】：本题主要考查了二项展开式的系数性质及展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识．18.（问答题，0分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF || 平面PAD；（2）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）取PD中点G，连接AG、FG，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG是平行四边形，AG || EF，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到EF || 平面PAD；（2）过G作GH⊥AD，垂足为H，则可得∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角．【解答】：（1）证明：取PD中点G，连接AG、FG，因为E、F分别为AB、PC的中点，所以AE= 12 AB，GF || DC且GF= 12DC，又在矩形ABCD中AB || CD且AB=CD，所以AE || GF且AE=GF，所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG || EF且AG=EF又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD．所以EF || 平面PAD；（2）解：∵AG || EF，∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH || PA∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，∵∠PDA=45°，G为PD的中点∴∠GAH=45°即EF与平面ABCD所成的角为45°．【点评】：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，考查线面角，熟练掌握判定定理内容、正确找出线面角是关键，AB=a，AD=3a，19.（问答题，0分）如图，梯形ABCD中，AD || BC，∠ABC= π2∠ADC=arcsin √5，PA⊥面ABCD，PA=a．求：5（1）二面角P-CD-A的大小（用反三角函数表示）；（2）点A到平面PBC的距离．【正确答案】：【解析】：（1）作AE⊥直线CD于E连PE．由PA⊥面ABCD，根据三垂线定理知PE⊥CD．可得∠PEA是二面角P-CD-A的平面角．利用已知，分别在Rt△AED和Rt△PAE中求出即可．（2）作AH⊥PB于H．利用线面垂直的判定与性质定理即可得出AH⊥面PBC，因此AH的长为点A到面PBC的距离．在等腰Rt△PAB中求出即可．【解答】：解：（1）作AE⊥直线CD于E连PE．由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD．∴∠PEA是二面角P-CD-A的平面角．在Rt△AED中，AD=3a，∠ADE=arcsin √55．∴AE=AD•sin∠ADE= 3√55a在Rt△PAE，中tan∠PEA= PAAE = √53．∴∠PEA=arctg √53即二面角P-CD-A的大小为arctg √53．（2）作AH⊥PB于H．由PA⊥面ABCD，∵BC⊥AB，∴PB⊥BC．又PB∩AB=B，∴BC⊥面PAB．∴BC⊥AH．∴AH⊥面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离．在等腰Rt△PAB中，AH= √22a．∴点A到平面PBC的距离是√22a．【点评】：熟练掌握线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、二面角的作法、直角三角形的边角关系、点到平面的距离求法等是解题的关键．20.（问答题，0分）是否存在等差数列{a n}，使a1C n0+a2C n1+a3C n2+⋯+a n+1C n n=n•2n+1对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．【解析】：假设存在等差数列a n =a 1+（n-1）d ，满足题意，通过对 a 1C n 0+a 2C n 1+a 3C n 2+⋯+a n+1C n n =n •2n+1 整理，找出a 1=0，d=4，即可说明存在数列，求出数列{a n }的通项公式即可．【解答】：证明：假设存在等差数列a n =a 1+（n-1）d ，满足要求 a 1C n 0+a 2C n 1+a 3C n 2+⋯+a n+1C n n =n •2n+1 ；即使 a 1C n 0+a 2C n 1+a 3C n 2+⋯+a n+1C n n =n •2n+1 =a 1（ ∁n 0 + ∁n 1 +…+ ∁n n ）+d （ ∁n 1 +2 ∁n 2+3 ∁n 3 +…+n ∁n n ）=a 1•2n +nd （C n-10+C n-11+…+C n-1n-1）=a 1•2n +nd•2n-1依题意a 1•2n +nd•2n-1=n•2n+1；2a 1+n （d-4）=0对n∈N +恒成立，∴a 1=0，d=4，所求的等差数列存在，其通项公式为a n =4（n-1）．故存在，且a n =4n-4．【点评】：本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．21.（问答题，0分）规定 C x m =x (x−1)…(x−m+1)m! ，其中x∈R ，m 是正整数，且 C x 0=1 ，这是组合数 C n m （n 、m 是正整数，且m≤n ）的一种推广．（1）求 C 124 的值；（2）设x ＞0，当x 为何值时，C x 3(C x 1)3 取得最小值？（3）组合数的两个性质：① C n m =C n n−m ．② C n m +C n m−1=C n+1m ．是否都能推广到 C x m （x∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．【解析】：（1）由新定义代入计算即可．（2）由组合数公式转化成关于x 的函数，利用二次函数求最值．（3）利用组合数公式的性质，新定义直接化简判断．【解答】：解：（1）C 124 = 12×11×10×94!=495；（2）因为C x 3(C x 1)3 = x (x−1)(x−2)6x 3 = 16 [2（ 1x ）2-3（ 1x ）+1]，则 1x = 34 ，即 x =43 时， C x 3(C x 1)3 取得最小值，最小值为 −148 ；（3）性质 ① 不能推广，例如 C −124 有意义， C −12−16 无意义；性质 ② 能推广，它的推广形式为 C x m +C x m−1=C x+1m （x∈R ，m 是正整数），证明如下：当m=1时， C x 1+C x 0=x +1=C x+11 ；当m≥2时， C x m +C x m−1=x (x−1)(x−2)…(x−m+1)m!+x (x−1)(x−2)…(x−m+2)(m−1)! = x (x−1)(x−2)…(x−m+2)(m−1)![x−m+1m +1]=x (x−1)(x−2)…(x−m+2)(x+1)m!=C x+1m ．【点评】：本题类比组合数公式，性质引入新定义，考查学生认知能力，计算能力，属于中低档题．。

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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市七宝中学2019-2020学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。

【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。

3.已知向量(2,1)a =-r ，(3,4)b =r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影为________【答案】25- 【解析】【分析】a r 在向量b r方向上的投影为a b br r g r ，即可求解.【详解】向量a r 在向量b r方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b a a b b -+<>====-r r r rr r r r g g g r r r g【点睛】a r 在向量b r 方向上的投影a b b r r g r ， b r 在向量a r 方向上的投影a b ar rg r ，可以直接使用，基础题。

4.已知点P 是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-uu u r uuur ，若212P P PP λ=uuu r uuu r ，则实数λ=________【答案】23-【解析】【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。

【详解】解：1213PP PP =-uu u r uuur ⟹122213PP PP PP PP +=-+uu u r uuu r uuu r uuu r ⟹12223PPPP =uuu r uuu r⟹21223P P PP =-uuu r uuu r 故：λ=23-【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题。

5.已知向量a r 、b r 满足||1a =r ，||2b =r ，且它们的夹角为120°，则向量2a b +r r 与向量a r夹角的大小为________【答案】13π- 【解析】【分析】根据平面向量的数量积以及夹角公式，计算即可。

【详解】解：2a b +===r r()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g又∵ 向量夹角的范围为[]0,π ，∴向量2a b +r r 与向量a r夹角的大小为π- 【点睛】此题考查向量求模和向量的数量积公式，以及学生的计算能力，属于基础题。

6.已知正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=________【答案】53【解析】【分析】找一组基向量分别表示出,,AC AM BD u u u r u u u u r u u u r，再用待定系数法即可求得。

【详解】解：令,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r则1,,=2AC a b AM a b BD b a =+=+-u u u r r r u u u u r r r u u u r r r ，有∵AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r，∴11+=+22a b a b b a a b λμλμλμ+=+--r r r r r r r r （）（）()+()， ∴=11+=12λμλμ-⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：4=31=3λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴5+=3λμ 【点睛】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．7.已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n，n ＋1)，n∈N *，则n= . 【答案】2 【解析】【分析】把要求零点函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．8.若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、4-适当排序后可构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p q +=________ 【答案】26 【解析】【分析】a ，b 是函数f （x ）＝x 2−px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，可得a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p＞0，q ＞0，△＝p 2−4q ＞0．不妨设a ＜b ．由于a ，b ，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得−4，a ，b 或b ，a ，−4成等差数列，a ，−4，b 或b ，−4，a 成等比数列，即可得出．【详解】解：∵a ，b 是函数f （x ）＝x 2−px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点， ∴a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p ＞0，q ＞0，△＝p 2−4q ＞0．不妨设a ＜b ．由于a ，b ，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ∴−4，a ，b 或b ，a ，−4成等差数列，a ，−4，b 或b ，−4，a 成等比数列， ∴b −4＝2a ，ab ＝（−4）2，解得a ＝2，b ＝8． ∴p ＝10，q ＝16．满足△≥0．则p ＋q ＝26．故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】【分析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦ 因为g()x 为偶函数，所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈，由0>ω，所以ω的最小值为32，故答案为：32．【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．10.若数列{}n a 满足110a =，11810n n a a n +=++（*n ∈N ），记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则n →∞=________ 【答案】16【解析】【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入n →∞求得答案．【详解】解：由11810n n a a n +=++，得110a =，又110a =，∴2118110a a -=⨯+，3218210a a -=⨯+，…118(1)10n n a a n --=-+，累加得：[]2118(1)1812(1)10(1)1092n n n a a n n n n n ⨯-=++++-+-=+=+L ．3n ===则16n n →∞→∞== 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋅⋅⋅，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，那么2222123nna a a a a +++⋅⋅⋅+（3n ≥）是斐波那契数列的第________项【答案】1n + 【解析】【分析】利用21n n n a a a ++=+，结合叠加法，即可得出结论．【详解】解：∵21n n n a a a ++=+，∴2111()n n n n n n n n a a a a a a a a +--=+=+g g， 21121112()n n n n n n n n a a a a a a a a -------=+=+g g， …232221a a a a a =+g g ，∴22221121n n n n a a a a a a +-=++++g L ，∴22221231nn na a a a a a +++++=L 故答案为：1n +．【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题．12.已知数列{}n a 满足*(,01)n n a n k n N k =⋅∈<<，给出下列命题：①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当k1k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项. 请写出正确的命题的序号__________．【答案】③④【解析】分析：由于()()1111n n nn n k n kaa n k n+++⋅+==⋅，再根据k 的条件讨论即可得出.详解：①当12k =时，12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，()111112212n n n n n a n a nn ++⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∴==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，当1n =时，12a a =，因此数列{}n a 不是递减数列，故①不正确；②当112k <<时，()()1111n n nn n k n ka a n k n +++⋅+⋅∴==⋅，由于()111122n k k k n n+<<<+<因此数列{}n a 一定有最大项，故②不正确；③当102k <<时，()()1111112n n nn n k n k a n a n k nn+++⋅+⋅+∴==<≤⋅，1n n a a +∴<，因此数列{}n a 为递减数列，正确；④当k1k -为正整数时，()()11111n n nn n k n k a a n k n+++⋅+⋅===⋅，因此数列{}n a 必有两项相等的最大项，故正确. 综上可知：只有③④正确. 故答案为：③④.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二.选择题13.若0x >，则函数121y x x =++的最小值为（）121211【答案】B 【解析】分析】构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解。