高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值

第1讲 三角恒等变换与三角函数的化简、

求值

高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切，C 级要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切，B 级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.

真 题 感 悟

1.(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.

解析 法一 ∵tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π4＝

tan α－tan π

4

1＋tan αtan π4＝

tan α－11＋tan α＝1

6，

∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝7

5.

法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4＋tan π4

1－tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16×1

＝

75. 答案 7

5

2.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5

5. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.

解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝4

3cos α.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，

因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－

5 5，

所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25

5，因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝4

3，所以tan 2α＝

2tan α

1－tan2α

＝－

24

7，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）

1＋tan 2αtan（α＋β）

＝－

2

11.

考点整合1.三角函数公式

(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin α

cos α＝tan α.

(2)诱导公式：对于“kπ

2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关

系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.

(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β±sin αsin β；

tan(α±β)＝

tan α±tan β1tan αtan β.

(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(5)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cos φ＝

a

a2＋b2

，sin φ

＝

b

a2＋b2

.

2.公式的变形与应用

(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). (2)升幂、降幂公式

1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2

α＝1＋cos 2α2.

(3)角的拆分与组合

2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＝⎝

⎛⎭⎪⎫π

4＋α－π4＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫

α－π3＋π

3

等.

热点一 三角函数式的化简与求值

【例1】 (1)(2018·泰州模拟)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋1

2

2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪

⎫π4＋x ＝________.

(2)若tan α＝2tan π

5，则

cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π5＝________. 解析 (1)原式＝12（4cos 4x －4cos 2

x ＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4－x ·cos 2

⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝（2cos 2x －1）2

4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x

＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝1

2cos 2x .

(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5

sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α

tan π5＋1tan αtan π5－1＝

2＋1

2－1

＝3. 答案 (1)1

2cos 2x (2)3

探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.