两角差的余弦公式的说课稿

两角差的余弦公式说课稿

教材分析

1、教材所处的地位和作用：

《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学容，是本模块第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展。其中心任务是通过已学知识,探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面已学的诱导公式的推广，也是后面其它和（差）角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用，是本章的重点容之一。

2、重点，难点以及确定的依据：

对本节课来说，学生最大的困惑在于如何得到公式．所以，本节课的教学重点是：两角差的余弦公式的探究和应用；

教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明；引导学生通过主动参与,独立探索。教学目标设计

（1）知识与技能：

本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识结构体系．

（2）过程与方法：

创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．

（3）情感、态度与价值观：

体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事的科学态度和科学精神．

教法设计

1、学情分析：

学生刚刚学习了同角三角函数的变换及平面向量的知识，对用举反例推翻猜想、运用单位圆、用向量解决三角问题已经有了一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明的水平． 2、教学手段：

(1)从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位．

(2)本节课的教法采用了“一个主题两种教学”的设计模式．一个主题：公式探究与应用，两种教学：显形教学（知识能力教学）、隐性教学（情商培养），实践两种教学相互促进的人性化教学理念．

(3)在课堂上营造、开放、平等的教学氛围，注重教学评价的多元性，将简单的结果评价上升为对过程的评价；将一味的知识评价拓展为能力评价，突出学生的主体性，实现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面发展学生打下基础．

(4)通过计算机技术，给学生提供一种验证猜想合理性的途径. （教学媒体设计） 课堂结构设计：

引入课题，提出猜想，实验探究，严谨证明，例题训练，课堂小结 教学过程设计 1、引入课题：

例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F 与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F 的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F 作用在物体上的功W ．

解： W =)60cos(β-︒⋅⋅=⋅S F S F

= 30)60cos(β-︒．

提问：1、解决问题需要求什么? 2、你能找到哪些与β有关的条件?

3、能否利用这些条件求出)60cos(β-︒？如果能，提出你的猜想．

4、怎样检验这些猜想是否正确？

【设计意图】生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，也与物理（功的定义）、哲学（透过现象看本质）等相关学科相联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习

F

热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程． 2、提出猜想：

分析：可见，我们的公式的形式应该与cos cos sin sin αβαβ、

和、均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想． 用具体值检验猜想的合理性．

【设计意图】鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气． 4、严谨证明： （利用向量）

前一章我们刚刚学习完向量，并用向量知识解决了相关的几何问题，这里，我们能否用向量知识来推导两角差的余弦公式呢？我们来仔细观察猜想的结构，我们在什

（学生：向量的数量积！）

证明：在平面直角坐标系单位圆O 的交点分别为A 、B =)sin ,(cos αα从特殊情况去猜测公式的结构形式．

令ββπβαπαcos )cos()cos(,-=-=-=则：

令ββπ

βαπ

αsin )2

cos()cos(,2

-=--

=--

=则：

令150,60αβ=︒=︒则cos()cos(15060)cos90αβ-=︒-︒=︒＝0 猜想：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

)

)sin ,)(cos sin ,(cos )cos(ββααβα==

-=αβαβsin sin cos cos +

∴)cos(βα-=αβαβsin sin cos cos + （0≤βα-≤π） 思考：1、βα-作为两向量的夹角，有没有限制条件？

2、如果βα-不在［０，π］这个区间，我们的结论还会成立吗？怎样给

出证明？（引导学生找到βα-与夹角θ之间的关系）

【设计意图】让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法在数学探究过程中的简洁性。

思考：1、βα-作为两向量的夹角，有没有限制条件？

2、如果βα-不在［０，π］这个区间，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（引导学生找到βα-与夹角θ之间的关系）

推广完善：令θ为、的夹角， 则22()k k k Z αβπθβαπθ-=+-=+∈或 无论哪种情况，都有θβαcos )cos(=-βαβαθβαsin sin cos cos cos )cos(+==-即 小结：两角差的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（其中βα、为任意角，简记为)(βα-C ）

思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）

【设计意图】引导学生关注两个向量的夹角θ与α-β的联系与区别，并通过观察和讨论，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．

（介绍单位圆的三角函数线法）

除了以上的证明方法，是否还有其它证法呢？

我们发现，)cos(

βα-这里涉及的是三角函数，是βα-这个角的余弦问题，那我们还能不能考虑在单位圆里用三角函数线来推导呢？

请同学们课后自己在单位圆中画出βα、、βα-，并考虑如何用角βα,的正弦线、余弦线来表示βα-的余弦线?