数列中an与Sn地关系

对于任意一个数列，当定义数列的前

n 项和通常用S n 表示时，记作 S n = a i +玄:+…十a n ,此时通项公

而对于不同的题目中的 a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用

a n = S n — S n -i (n> 2)

去解决不同类型的问题呢？

我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的

a n 与S n 相关的问题:

归纳起来常见的角度有：

角度一：直观运用已知的 S n ,求a n ；

角度二：客观运用 a n = S n — S n -i (n> 2)求与a n , S n 有关的结论； 角度三：a n 与S n 的延伸应用.

角度一：直观运用已知的 S n ，求a n|

方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)： (1)先利用a i = S 求出a i ;

⑵用n — 1替换S 中的n 得到一个新的关系，利用a n = Sn — S n — i (n > 2)便可求出当n 》2时a n 的表达式； ⑶对n= 1时的结果进行检验，看是否符合 n 》2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公

式合写；如果不符合，则应该分

n = 1与n 》2两段来写.

同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前

n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，

这样才能更好的运用 S n 求解.如：a 1+ 2a 2 + 3a 3+・・・+ na n = 2n — 1，其中a 1+ 2a 2+ 3a 3+・・・+ na n 表示数列 ｛na n ｝的前n 项和.

1. 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = n —2n + 2, 则数列｛a n ｝的通项公式为( )

A .

a n = 2n — 3

B.

a n = 2n+ 3

1, n= 1

1, n = 1

C. a n =

D . a n =

I 2n — 3, n 》2

12n+ 3, n 》2

【解析】 当n 时，a

n = S — S n -1 = 2n — 3 .当n = 1时，a 1 = S 1 = 1,不满足上式.

【答案】C

2

.(2015 河北石家庄一中月考)数列｛ a n ｝满足：a 1 + 3a ?+ 5a 3+ …+ (2n — 1) a *= (n — 1) 3-n+1

+ 3(n€ N

*),

则数列的通项公式 a n = ___________ .

式a n =

S i , n

= 1

,

S n — S

n -1 , n

》2

【解析】当n 》2时，a i + 3a 2+ 5a 3+…+ (2n — 3) a n -1= (n — 2) •+ 3;则用已知等式减去上式得 (2n — 1）

a n = （2n — 1） 3n ,得為=3n ;当 n= 1 时，a i = 3，满足上式；故 a n = 3n

.

【答案】a n = 3n

3. （2015天津一中月考）已知｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足log 2（S n +1） = n+ 1,贝V a n = __________ . 【解析】由已知得 S n + 1 = 2n +1,贝y S n = 2n +1

— 1;当 n 》2 时，a n = S n — S n -1 = 2n +

1 — 1 — 2n + 1 = 2n

；当 n= 1时，a 1 = S 1 = 3,不满足上式；故

4. (2015四川成都树德期中)已知｛a n ｝是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 5= 45, a ?+ a 6= 14.

(1)求｛a n ｝的通项公式；

⑵若数列｛b n ｝满足：号+》+•••+第

=a n + 1(n€ N *)，求｛b n ｝的前n 项和. 【解】(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d,则d>0,

由 a 2+ a 6= 14,可得 a 4= 7 由 a 3a 5= 45,得(7 — d)(7 + d) = 45,解得 d= 2 或 d = — 2(舍)

/.an =玄4 + (n — 4)d = 7 + 2(n — 4),即 a n = 2n — 1.

(2)令 c n = 2,则 C 1+ C 2 + C 3+…+ C n = a *+ 1 = 2n ①

当 n 》2 时，C 1 + C 2 + C 3+・・・+ C n -1 = 2(n — 1) ② 由①一②得，C n = 2

,

当n = 1时，C 1= 2,满足上式；

则 C n = 2(n € N *),即器=2，•/ b n = 2n +1

, 故数列｛b n ｝是首项为4 ,公比为2得等比数列，

4(1 — 2n

) n +2

/•数列｛b n ｝的前n 项和S n =

1 —

2 = 2

— 4.

角度二：客观运用 a n = S n — S n -i (n 》2),求与a n , S n 有关的结论

此类题目中，已知条件往往是一个关于

a n 与S n 的等式，问题则是求解与

a n , S .有关联的结论.那么

我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留 a n ,还是S n •那么，主要从两个方向

【答案】 a

n =

2n

， n= 1

n 》2

n = 1

n 》2