固体电子学PPT课件
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固体物理 第五章 固体电子论基础1
5
5.一些金属元素的自由电子密度 一些金属元素的自由电子密度
元 素 Li Na K Cu Ag Mg Ca Zn Al In Sn Bi z 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 n/1028m-3 4.70 2.65 1.4 8.47 5.86 8.61 4.61 13.2 18.1 11.5 14.8 14.1 rs/10-10m 1.72 2.08 2.57 1.41 1.60 1.41 1.73 1.22 1.10 1.27 1.17 1.19 rs/a0 3.25 3.93 4.86 2.67 3.02 2.66 3.27 2.30 2.07 2.41 2.22 2.25
n= z
ρNA
M
ne2E j = nev = τ 2m
设电子平均自由程为l， 设电子平均自由程为 ，则 τ
2
zρNAe2E j= τ 2mM
(A m )
2
=l v
电流密度可写成
zρNAe E l j= × 2mM v
6.电导率σ 电导率
(A m )
2
j zρNAe l σ= = × 2mM v E
2
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动 电子的运动不同于气体分子的运动， 电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典 理论来描述。 理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计 即费米 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 3.电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的 4.电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成
5.一些金属元素的自由电子密度 一些金属元素的自由电子密度
元 素 Li Na K Cu Ag Mg Ca Zn Al In Sn Bi z 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 n/1028m-3 4.70 2.65 1.4 8.47 5.86 8.61 4.61 13.2 18.1 11.5 14.8 14.1 rs/10-10m 1.72 2.08 2.57 1.41 1.60 1.41 1.73 1.22 1.10 1.27 1.17 1.19 rs/a0 3.25 3.93 4.86 2.67 3.02 2.66 3.27 2.30 2.07 2.41 2.22 2.25
n= z
ρNA
M
ne2E j = nev = τ 2m
设电子平均自由程为l， 设电子平均自由程为 ，则 τ
2
zρNAe2E j= τ 2mM
(A m )
2
=l v
电流密度可写成
zρNAe E l j= × 2mM v
6.电导率σ 电导率
(A m )
2
j zρNAe l σ= = × 2mM v E
2
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动 电子的运动不同于气体分子的运动， 电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典 理论来描述。 理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计 即费米 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 3.电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的 4.电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成
固体物理课件
e 2 晶体中有3N个振动模 晶体中有 个振动模 C = k ( ∑ B k T ) (eℏω j / kBT − 1)2 V 1） 爱因斯坦模型 ） j =1 B 假设N个原子构成的晶体 个原子构成的晶体， 假设 个原子构成的晶体，
所有的原子以相同的频率 ω0振动 2） 德拜模型 ） 以连续介质的弹性波来代表格 波，将晶格看作是各向同性的 连续介质
V (r + R) = V (r )
布洛赫定理
具有晶格周期性时， 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波 函数满足薛定谔方程 ℏ2 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2m —— 方程的解具有以下性质
ψ ( r + Rn ) = e ik ⋅R ψ ( r )
ω = 2
−
− i (ωt − naq )
2
β
m
ω
aq sin m 2
−π a
β
π π < q ≤ a a
q=
µn = µn+ N 2π
Na
× h —— h为整数 为整数
π a o 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
能量本征值 ε n = ( n q + 1 ) ℏ ω q
q
晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 系统能量本征值
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
模型 运动方程 试探解
m µ n = − β (µ n − µ n−1 ) − β (µ n − µ n+1 )
..
一维晶格振动 一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β
固体电子学PPT
三维情况： a
2
a3 a1
三维原胞呈平行六面体，且每个原胞中仅有一个格点，原胞
的体积等Rn于每n个1a格1点在n空2a间2 占n据3的a3空间。
n1，n2，n3为包括零在内的任意整数
晶体中任一物理量沿基矢方向平移基矢的整数倍，保持性质不 变，体现了平移对称性。
2. 在波矢空间里——倒格子
晶体结构的周期性
补充：简并定态微扰
设Hˆ 0的 Ek 能级有f度简并,将f
个波函数记成 i (i=1,2,3…..),
f
0
k
Ci0 i
(1)
i 1
只考虑零级近似波函数与一级能量修正:
(Hˆ 0
Hˆ ) k(0)
(Ek (0)
Ek(1) )
(0) k
(2)
(1)式代入(2)式中, … …
f
f
f
f
Hˆ 0
Ci0i
Ci0Hˆ i
Ci0
Ek(
0) i
Ci0 Ek(1) i
i 1
i 1
i 1
i 1
f
f
Ci0Hˆ i Ci0Ek(1)i
i 1
i 1
两端左乘 m 并积分
f
f
Ci0
* m
Hˆ
i
d
Ci0
E (1) k
*
mi
d
i 1
i 1
f
f
Ci0H m i Ci0Ek(1) mi
i 1
11
2) 正、倒格子间的关系
I. ai b j 2 ij i, j 1, 2, 3
II. 倒格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数的(2π )3倍。
第八章 固体材料的电子结构与物理性能
图3-10 磁化机制示意图
四、材料的反铁磁性
1932年尼尔发现铂、钯、锰、铬等金属和某些合金的磁化率随温度的变化很 小，但数值却相当高，这些物质称为反铁磁性材料。 在温度高于某一温度TN (尼尔温度)时，反铁滋性体的磁化率与温度的关系为
C T
而当在TN以下温度时，χ随温度的降低而减小，且几乎与磁场强度无关。 尼尔提出了双次点阵的反铁磁性理论，他假设晶体中顺磁离子的点阵可以分 为相互穿插的两个“次点阵”A与B，次点阵A中的每一个离子的任何一个最邻 近的离子均位于次点阵B上，这就使得相邻的两个次点阵的磁矩全部反平行取 向，因而在晶体内存在两种内场的相互作用。等轴简单点阵与等轴体心点阵可 以满足这种条件。于是，在极低温度下，由于相邻原于的自旋完全反向，其磁 矩几乎完全抵消，故磁化率χ几乎接近于“0”。当温度上升时，使自旋相反的作 用减弱，χ增加。而当温度升至尼尔点以上时，热骚动的影响较大，此时反铁 磁体与顺磁体有相同的磁化行为。
+4 +4
两种载流子
+4 +4 +4
空穴导电的 实质是共价 键中的束缚 电子依次填 补空穴形成 电流。故半 导体中有电 子和空穴两 种载流子。
+4
+4 电子移动方向
+4
价电子填补空穴 空穴移动方向 +4 +4 +4
外电场方向
结论
1.本征半导体中存在数量相等的两种载流
子，即自由电子和空穴。
2.本征半导体的导电能力取决于载流子
五、铁氧体的磁性
铁氧体是含铁酸盐的陶瓷质磁性材料。接材料的结构分类，日前已有尖晶石型、 石榴石型、磁铅石型以及钙铁矿型、钛铁矿型和钨青铜型等六种，新的类型还陆续出 现。但从研究详尽、生产和使用已普及的角度来看，重要的是前面三种。 为了解释铁氧体的磁性，尼尔认为铁氧体中A位与B位的离子它们的磁矩应是反平 行取向的，这样彼此的磁矩就会抵消。但由于铁氧体内总是含有两种或以上的阳离子， 而这些离子各具有大小不等弱磁矩(或有些离子完全没有磁性)，加以占A位或B位的离 子致目也不相同，因此，晶体内由于磁性的反平行取向而导致的抵消作用，通常并不 一定会使磁性完全消失而变成反铁磁休。这就住往保留了“剩余磁矩”，表现出一定 的铁磁性。这称为“亚铁磁性”或“铁氧体磁性”。
第二章能带理论ppt课件
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
《紧束缚模型》课件
针对异质结、PN结、
和新型材料设计的计算方
MESFET和太阳能电池等特
法
定结构的紧束缚模型
3 拓扑量子计算
基于拓扑态的量子比特设 计与操控
结论
紧束缚模型是固体电子学中的基础概念，对材料制备、器件物理、拓扑物态、 甚至量子计算等都有着重要的理论指导作用。
《紧束缚模型》PPT课件
探索固体电子学的基础：紧束缚模型。
基本原理
晶格结构
价电子轨道
电子跃迁机制
Hamiltonian算符
紧束缚模型方程
Ψ = cn,i |n,i> $\after EisH$ Ψ = E |Ψ>
表象转换
时间演进算子
如何求解
基态陈述及坐标变换
相关数学原理
线性代数与群论
与金ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导体电子结构的关系
1
禁带与导电性
半满禁带结构引起金属导体的高电导率
2
固体结构与电荷密度波
高维晶格结构导致电子间的相互作用
3
拓扑绝缘体
平带与耗散态的割裂导致绝缘体宽带结构的拓扑相变
研究历史
亨利·比洛斯及原始论文
极限、缺陷、以及工程难题
基于紧束缚模型的材料预测与设 计
应用
1 半导体器件物理属性 2 计算材料科学
研究
材料物性预测、材料发现
固体电子学光电效应课件
固体电子学光电效应课件
所以光的波长越短，即频率越高，其光子的能量也越大； 反之，光的波长越长，其光子的能量也就越小。 在光线作用下，物体内的电子逸出物体表面向外发射的现象称为外光电效应。向外发射的电子叫光电子。基于外光电效应的光电器件有光电管、 光电倍增管等。 光照射物体，可以看成一连串具有一定能量的光子轰击物体，物体中电子吸收的入射光子能量超过逸出功A0时，电子就会逸出物体表面，产生光电子发射，超过部分的能量表现为逸出电子的动能。
固体电子学光电效应课件
Definition of laser
A laser is a device that generates light by a process called STIMULATED EMISSION. The acronym LASER stands for Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation Semiconducting lasers are multilayer semiconductor devices that generates a coherent beam of monochromatic light by laser action. A coherent beam resulted which all of the photons are in phase.
法布里－珀罗 (F-P) 谐振腔
100%
90%
固体电子学光电效应课件
Diode Laser
固体电子学光电效应课件
Typical Application of Laser
The detection of the binary data stored in the form of pits on the compact disc is done with the use of a semiconductor laser. The laser is focused to a diameter of about 0.8 mm at the bottom of the disc, but is further focused to about 1.7 micrometers as it passes through the clear plastic substrate to strike the reflective layer. The reflected laser will be detected by a photodiode. Moral of the story: without optoelectronics there will no CD player!
所以光的波长越短，即频率越高，其光子的能量也越大； 反之，光的波长越长，其光子的能量也就越小。 在光线作用下，物体内的电子逸出物体表面向外发射的现象称为外光电效应。向外发射的电子叫光电子。基于外光电效应的光电器件有光电管、 光电倍增管等。 光照射物体，可以看成一连串具有一定能量的光子轰击物体，物体中电子吸收的入射光子能量超过逸出功A0时，电子就会逸出物体表面，产生光电子发射，超过部分的能量表现为逸出电子的动能。
固体电子学光电效应课件
Definition of laser
A laser is a device that generates light by a process called STIMULATED EMISSION. The acronym LASER stands for Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation Semiconducting lasers are multilayer semiconductor devices that generates a coherent beam of monochromatic light by laser action. A coherent beam resulted which all of the photons are in phase.
法布里－珀罗 (F-P) 谐振腔
100%
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固体电子学光电效应课件
Diode Laser
固体电子学光电效应课件
Typical Application of Laser
The detection of the binary data stored in the form of pits on the compact disc is done with the use of a semiconductor laser. The laser is focused to a diameter of about 0.8 mm at the bottom of the disc, but is further focused to about 1.7 micrometers as it passes through the clear plastic substrate to strike the reflective layer. The reflected laser will be detected by a photodiode. Moral of the story: without optoelectronics there will no CD player!
固体电子近自由电子近似优秀课件
a
时不为零，此时：
k'H ˆ(1) kL 1L 0U(x)ei2m axdx um
8
证明：
1
L
Lei(kk')xU(x)dxum
0
0
k'km2π a
k'km2π
a
当 k'k m2π
a
L 10 Lei(k k')xU (x)d xL 10 Le i m 2 a xU (x)dxu m
当 k'k m2π
固体电子近自由电子近似优秀 课件
紧束缚近似适用于近邻原子波函数相互交叠较小，电子在一个原子附近， 主要受到该原子势场作用的情形。因此特别适用于固体内层电子。
紧束缚近似模型中，以孤立原子势场作为零级近似，其它原子势场的 作用作为微扰项。
金属的价电子很容易脱离原子核的束缚，其行为很接近自由电子，主 要受到一个起伏很小的晶格周期势场的作用。此时，紧束缚近似不再是 一个好的近似，因为此时价电子并不是束缚在原子附近，孤立原子的电 子轨道不是好的零级近似。需采用近自由电子近似。
单电子哈密顿算符记做：
H ˆ 2 d2 U(x) 2me dx2
令：
H ˆ(0)
2
2me
d2 d x2
U0
则有：
H ˆ(1) U(x)U0
i2mx
ume a
m0
H ˆH ˆ(0)H ˆ(1)
当周期势场的起伏很小时（近自由电子近似的适用条件）， H(1)代表周期势场的起伏，比起H(0)来很小，可以作为微扰项。
当 k 取 值 m/a 附 近 时 ， 在 -m/a 附 近 有 一 状 态 ， 二 者 相 差 m2/a，能量又非常接近，简并微扰的结果使原来能级高的更
时不为零，此时：
k'H ˆ(1) kL 1L 0U(x)ei2m axdx um
8
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1
L
Lei(kk')xU(x)dxum
0
0
k'km2π a
k'km2π
a
当 k'k m2π
a
L 10 Lei(k k')xU (x)d xL 10 Le i m 2 a xU (x)dxu m
当 k'k m2π
固体电子近自由电子近似优秀 课件
紧束缚近似适用于近邻原子波函数相互交叠较小，电子在一个原子附近， 主要受到该原子势场作用的情形。因此特别适用于固体内层电子。
紧束缚近似模型中，以孤立原子势场作为零级近似，其它原子势场的 作用作为微扰项。
金属的价电子很容易脱离原子核的束缚，其行为很接近自由电子，主 要受到一个起伏很小的晶格周期势场的作用。此时，紧束缚近似不再是 一个好的近似，因为此时价电子并不是束缚在原子附近，孤立原子的电 子轨道不是好的零级近似。需采用近自由电子近似。
单电子哈密顿算符记做：
H ˆ 2 d2 U(x) 2me dx2
令：
H ˆ(0)
2
2me
d2 d x2
U0
则有：
H ˆ(1) U(x)U0
i2mx
ume a
m0
H ˆH ˆ(0)H ˆ(1)
当周期势场的起伏很小时（近自由电子近似的适用条件）， H(1)代表周期势场的起伏，比起H(0)来很小，可以作为微扰项。
当 k 取 值 m/a 附 近 时 ， 在 -m/a 附 近 有 一 状 态 ， 二 者 相 差 m2/a，能量又非常接近，简并微扰的结果使原来能级高的更
第13章固体中的电子(12)
B
在氢原子的 L 壳层中，电子可能具有的量子数(n，l，ml， ms)是 (A)(1，0，0，-1/2)。 (B)(2，1，-1，1/2)。 (C)(2，0，1，-1/2)。 (D)(3，1，-1，-1/2)。 B
在原子的 L 壳层中，电子可能具有的四个量子数 (n，l，ml，ms)是 (1) (2，0，1，1/2)。 (2) (2，1，0，-1/2)。 (3) (2，1，1，1/2)。 (4) (2，1，-1，-1/2)。 以上四种取值中，哪些是正确的？ (A) 只有 (1)、(2) 是正确的。 (B) 只有 (2)、(3) 是正确的。 (C) 只有 (2)、(3)、(4) 是正确的。 (D) 全部是正确的。
氩(Z = 18)原子基态的电子组态是： (A) 1s2 2s8 3p8。 (B) 1s2 2s22p6 3d8。 (C) 1s2 2s22p6 3s23p6。 (D) 1s2 2s22p6 3p43d2。
C
三、电子的总的角动量 J J L S 这一角动量的合成叫自旋轨道耦合
当 n 一定，l 可取 n 个值，
这个结果是因为：
现在知道，一切微观粒子都有自旋，按自旋分类： (1) 费米子：自旋为半整数，如 s = 1/2，3/2 如电子，中子，质子，中微子， 反西格玛负超子 Σ （王淦昌等，1959年） —— 服从泡利不相容原理。
(2) 玻色子：自旋为整数， 如 s = 0， 1 介子，光子等。 —— 不服从泡利不相容原理。
C
氢原子中处于 2p 状态的电子，描述其四个量子数 (n，l，ml，ms)可能取的值为 (A)(3，2，1，-1/2)。 (B)(2，0，0，1/2)。 (C)(2，1，-1，-1/2)。 (D)(1，0，0，1/2)。
兰州大学固体物理第6章自由电子论ppt课件
温度的变化很小。
总电子数：
N 0 D( )
f (.T ) dε=常数
（不随温度变化）
N T 0
F N 0 F D( )
f (.T ) dε=常数
即： F N T 0
或
0 F
D( )
f T
d 0
又
cel 0 D( )
f T
d
再加上一项等于零的积分对Cel无影响 则：
cel 0 D( )
sω
dsω Kω
相应的电子气的轨道密度的一般表达式为：
D(ε)
V 4π 3
sε
dsε k ε
(由于自旋×2)
总电子数与费米能的关系：
N
V
3
2
(
2m
2
F
3
)2
在波式空间中能量为的等能面所包围
的轨道数为：
N
V
3
2
(2m
3
2) 2
下面推导此式：
k
2m
2
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：
4/3πk3，每个k值占的体积为(2π/L)3，每
2 z
)
=恒常
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等 能面是一系列同心球面。
电子在T=0k时所能填充到的最高 等能面称为费米面，我们知道自由电 子的等能面是球面，在T=0k时，费米 面把电子填充过的轨道与电子未填充 过的轨道完全分开了，即费米面内所 有的轨道都被填充，费米面外边都是 空轨道，这一点对金属是非常主要的， 因为只有费米面附近的电子才能决定 金属的动力学性质。
电子气的轨道密度为抛物线关系，费米分 布函数为：
在T=0时，轨道全占满，但当温度T上升 时，费米面附近的电子可能激发到高轨道上 去，在温度T时能受热激发的电子数(只看到 数量级)大约为：（kBT/εF）N，则在温度T 时电子气热能的增加为：
固体电子结构
BaO
2 2 135 140 3091 1923 3.3
3.2..3 离子极化
未极化的负离子
极化的负离子
离子的极化率(α)： 描述离子本身变形性的物理量。 离子的极化力(f )： 描述一个离子对其他离子变形的影响能力。
1.离子的极化率(α ) 一般规律：
① 离子半径 r ： r 愈大， α 愈大。
CsCl型
晶格：
简单立方
配位比： 8:8
(红球－Cs+ ,
绿球－Cl-)
晶胞中离子的个数： Cs Cl
：1个 -：8 1
1个
8
ZnS型(立方型)
晶格：面心立方
配位比：4:4 (红球－Zn2+ , 绿球－S2-) 晶胞中离子的个数： Zn2：4个
S2-：6 1 8 1 4个 28
r/pm 97
99
96
95
2.离子极化力(f ) 一般规律：
①离子半径 r ：r 小者，极化力大。 ②离子电荷：电荷多者，极化力大。 ③离子的外层电子构型：
f ：(18+2)e-,18e- > 9－17e- >8e当正负离子混合在一起时，着重考虑
正离子的极化力，负离子的极化率，但是 18e构型的正离子(Ag+, Cd2+ 等)也要考虑其 变形性。
上述数据代入上式求得：
△ rHm,6 =-689.1kJ·mol-1 则：U =689.1kJ·mol-1
2.Born-Lande公式
U KAZ1Z2 (1 1 )
R0
n
当 R0 以pm，U 以 kJ mol 1 为单位时，
U 138940 AZ1Z2 (1 1 ) kJ mol 1
固体电子学基础讲义第二章
xn1 xn
设平衡位置时，两相邻原子间的相互作用能 为U (a) ，产生相对位移后为 U (a )。将U (a ) 在平衡位置用泰勒级数展开：
dU 1 d 2U 2 U (a ) U (a) ( ) a ( 2 ) a dr 2 dr
2.4 确定振动谱的实验方法
晶格中晶格振动的频率和波矢间的关系，即 振动的色散关系，称之为晶格振动的振动谱。 可利用光子与晶格振动的相互作用确定晶格 振动谱。这种相互作用可以理解为光子受到声 子的非弹性散射。 设频率和波矢分别为ω 及k的入射光子，散 射后，频率和波矢变成ω ’及k ’ ，同时在晶格中 产牛或吸收了一个声子，其频率和波矢分别为 Ω 及q。光子与声子的相互作用过程中，同样也 要满足动量守恒和能量守恒定律。
对应于每介q值有两个不同的ω ，一个是光 学波，另一个是声学波。因此角频率数为2N。 晶格振动被矢的数目＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶体的自由度数
2.2 晶格振动的量子化 声子
我们知道，微观粒子的运动要用量子理论来 描写。 量子力学中，力学量用算符表示，能量算符 即哈密顿算符为 2
ˆ p 1 ˆ H m 2 x 2 2m 2
在上述假想的周期性边界条下有：
x1 Ae 则 即 e
iqNa
i ( qa t )
x N 1 Ae (l为整数)
i[ q ( N 1) a t ]
1
qNa 2l
由于q介于(
描写晶格振动状态的被矢q只能取一些分立的 值。 N N
a a N N 将l 限制在： q 2 2 , ), 则l 介于 ( 2 , 2 )
一近似等腰三角形的关系。
于是可近似求 得声子波矢：
固体电子学 第四章 半导体中的载流子
Ge和Si的晶体结构与金刚石相似。每个原子的最近邻有四 个原子，组成正四面体最外层有四个价电子，恰好与最近邻 原子形成四个共价键。
n 型半导体
Si Si Si Si Si
Si Si P
空带
ED：施主电离能
施主能级 Eg
满带
掺入施主杂质后，半导体中电子浓度增加，n>p，半导体的导电性 以电子导电为主，故称为N型半导体。施主杂质又被称为N型杂质。
第四章 半导体中的载流子
计算机、数码相机、手机等 公交卡、银行卡、电话卡等
热敏器件、太阳能电池、激光器、各 种照明器件、显示器件、图像器件等
二极管、三极管等基本电子器件
半导体材料（Si、Ge）
§4.1 本征半导体与杂质半导体
• 极低温下，半导体能带为全 满或全空。 • 室温下，少量电子跃迁，导 电。
在绝对零度时： E<EF时，f(E)=1； E>EF时，f(E)=0； E=EF时，f(E)发生突变。 在温度很低时：
表示在费米能级，被电子填充的几 率和不被电子填充的几率是相等的。
波尔兹曼（Boltzmann）分布函数
当E-EF》kBT时,
EEF
e kB0T 1
所以 fF (E)
1 e EEF
提供给电子大于禁带宽度能量的任何物理作用都会引起电 子跃迁。
n代表导带电子浓度；p代表价带空穴浓度。
对于本征激发满足： n=p
价带顶附近的电子热激发到导带底所需的能量最低，因此 这是最易发生的本征激发过程。
认为导带中的电子处在导带底附近，价带中的空穴处在价 带顶附近。
4.1.2 杂质半导体
•向导带提供电子的杂质称为施主； •能接受电子并向价带提供空穴的杂质称为受主； •含有杂质原子的半导体称为杂质半导体； •由于掺杂引起禁带中出现的能级，称为杂质能级；
n 型半导体
Si Si Si Si Si
Si Si P
空带
ED：施主电离能
施主能级 Eg
满带
掺入施主杂质后，半导体中电子浓度增加，n>p，半导体的导电性 以电子导电为主，故称为N型半导体。施主杂质又被称为N型杂质。
第四章 半导体中的载流子
计算机、数码相机、手机等 公交卡、银行卡、电话卡等
热敏器件、太阳能电池、激光器、各 种照明器件、显示器件、图像器件等
二极管、三极管等基本电子器件
半导体材料（Si、Ge）
§4.1 本征半导体与杂质半导体
• 极低温下，半导体能带为全 满或全空。 • 室温下，少量电子跃迁，导 电。
在绝对零度时： E<EF时，f(E)=1； E>EF时，f(E)=0； E=EF时，f(E)发生突变。 在温度很低时：
表示在费米能级，被电子填充的几 率和不被电子填充的几率是相等的。
波尔兹曼（Boltzmann）分布函数
当E-EF》kBT时,
EEF
e kB0T 1
所以 fF (E)
1 e EEF
提供给电子大于禁带宽度能量的任何物理作用都会引起电 子跃迁。
n代表导带电子浓度；p代表价带空穴浓度。
对于本征激发满足： n=p
价带顶附近的电子热激发到导带底所需的能量最低，因此 这是最易发生的本征激发过程。
认为导带中的电子处在导带底附近，价带中的空穴处在价 带顶附近。
4.1.2 杂质半导体
•向导带提供电子的杂质称为施主； •能接受电子并向价带提供空穴的杂质称为受主； •含有杂质原子的半导体称为杂质半导体； •由于掺杂引起禁带中出现的能级，称为杂质能级；
固体电子学 第二章 晶格振动和晶体的缺陷
力学量连续取值
（n=0,1,2…..）
即能量只能取一些分立值。
对于一维简单格子的情况，只考虑最近邻粒子间的相互作用， 则晶体的势能为：
动能为：
U
2
（n 1 -n）2
n
T 1
2
n
mn2
势能函数包含有依赖于两原子坐标的交叉项，在处理多自由度的 振动问题时，往往引入新的坐标---正则坐标：
它与原坐标的关系：
A
1
2
m
2 A
相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负 号，即对于声学波，相邻原子都是沿着一个方向振 动的。
当 q 0时 ， A 0， 则 （ B / A ） 1。 于是原子的位移变成
x2n x2n1
对长声学波，原胞内不同原子以相同的振幅和位 相作整体运动，其振动概况如图所示。
的一维复式格子，如图所示。
设相邻两个不 同原子构成一个 分子，分子内两
AB
b
a
原子平衡位置的间距为b，恢复力常数为β1 ；两分 子间两原子对应的恢复力常数为β2 。质量为 m 的 原子位于...2n-1，2n+1，2n+3...各点，质量为 M 的原子位于...2n-2，2n，2n+1...各点。
若只考虑相邻原子的相互作用，则第 2n+1 个原
* 相隔一个晶格常数a 的同种原子，位相差为qn。
把上式代入动力学方程，整理后得
1 2 M 2
A
1
e iqa
2
B0
1 2e iqa A 1 2 m 2 0
若A、B 有非零解，则其系数行列式必零，即
1 2 M 2 1 2eiqa
由此可以解得
a
1
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(Hˆ 0
Hˆ ) k(0)
(Ek (0)
Ek(1) )
(0) k
(2)
(1)式代入(2)式中, … …
f
f
f
f
Hˆ 0
Ci0i
Ci0Hˆ i
Ci0
Ek(
0) i
Ci0 Ek(1) i
i 1
i 1
i 1
i 1
f
f
Ci0Hˆ i Ci0Ek(1)i
3. 正、倒格子之间的关系
1) 倒格(基)矢
设某晶体原胞的基矢为 a1 , a 2 , a3,
则倒格子基矢的定义为：
b1 2πa2 a3 b2 2πa3 a1 b3 2πa1 a2
a1 (a2 a3 )
——原胞体积
倒格矢：倒格子中任一格点的位置矢量
2) 晶胞、原胞、基矢
晶体结构，可看作由格点沿空间三个不同方向，各按一定的距
离周期性的平移而构成。故晶体的周期性又称为平移对称性。 晶胞：晶格中的重复单元(两个特性)；
1、平行堆积可以充满整个晶体
2晶、体任的意物两理个性晶质胞相相同对应的a点2 a上a13，
单电子近似：假设每一个电子都处在周期性排列且固定不动 的原子实势场和其它自由运动的电子的平均势场中运动，总 的势场具有与晶格同周期的周期性势场。
2.1 晶体结构的周期性
一.晶体结构的特点
构成晶体的基本微粒可以是原子、离子、分子、分子团等。
晶体由基本微粒作有序排列而成，具有严格的周期性或 平移对称性。
i 1
i=1
i=2
i=f
m=1
H11
Ek1
H12
m=2
H 21
H 22 Ek1
m=f H f 1
H f 2
H1f
c1 0
H 2 f
c20
0
H ff
Ek1
cf0
上式是以系数 Ci0为 未知数的一次齐次方程组，
Rn
n1a1
n2a2
n3a3
n1，n2，n3为包括零在内的任意整数
晶体中任一物理量沿基矢方向平移基矢的整数倍，保持性质不 变，体现了平移对称性。
2. 在波矢空间里——倒格子
晶体结构的周期性
Qrv Q
rv
v Rl
v Rl —晶格格矢
晶体物理量 具有相同的周期性
波矢空间中描述方便 v
周期性结构是晶体有别于 非晶体的最根本特征。
几何外形 熔点 各向异性
晶体
非晶体
二.晶体结构的周期性的描述
1. 在坐标空间里——空间点阵(正格子) 1) 晶格、格点、空间点阵
晶格：晶体粒子的重心周期性排列所组成的骨架 格点：晶体粒子的重心的位置（结点）
空间点阵：格点的总体
•
它有非零解的条件是系数行列式为零
a1 2πb2 b3 a2 2πb3 b1
* *
a3 2πb1 b2 *
2.2 金属自由电子模型
补充：简并定态微扰
设Hˆ 0的 Ek 能级有f度简并,将f
个波函数记成 i (i=1,2,3…..),
f
0
k
Ci0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi
(1)
i 1
只考虑零级近似波函数与一级能量修正:
i 1
i 1
两端左乘 m 并积分
f
f
Ci0
* m
Hˆ
i
d
Ci0
E (1) k
*
mi
d
i 1
i 1
f
f
Ci0H m i Ci0Ek(1) mi
i 1
i 1
f
(H m i Ek1 mi )Ci0 0 (m 1,2, f )
a1，a2，a3 的选择不具有唯一性
二维的情况： 晶胞：晶格中的重复单元(两个特性)；
原胞：最小的重复单元
基矢构成的原胞呈平行四边形，且每个原胞中仅有一个格点
基矢：构成原胞的边矢量
二维点阵中， 1、2、3、4均为晶胞， 其中1、2、3是原胞
•• • • •• ••
B
a•2
•
1
•C •
•
2
••
3
•
•
0•a1
•
A
•
•
4
•
•
•
••••••••
格矢：晶格中任一格点的位置矢量
Rn=n1a1+n2a2 (n1,n2为任意 数)
三维情况：
a a3 2 a1
三维原胞呈平行六面体，且每个原胞中仅有一个格点，原胞
的体积等于每个格点在空间占据的空间。
固体电子学导论
岳贤军 南通大学电子信息学院电子工程系
第2章 晶体中电子的状态
2.1 晶体结构的周期性 2.2 金属自由电子模型 2.3 周期势场和布洛赫定理 2.4 紧束缚近似模型
晶体中电子状态理论模型
1. 自由电子模型
在费米统计基础上的金属中自由电子气的量子理论。 缺点：不能解释晶体为何有结合力，为何可分为导体、半导 体、绝缘体。 2. 固体能带模型 认为电子在晶体所有格点上的离子和其它所有电子产生的势 场中运动，其势能是位置的函数。
3
(a2
a3 )
{[(a3
a1 )
a2
]a1
[(a3
a1 )
a1 ]a2 }
(2
)3 (a2 a3 ) a1 3
(2 )3
=0
III. 正格子基矢和倒格子基矢之间的关系
b1 2πa2 a3 b2 2πa3 a1 b3 2πa1 a2
所有波矢 Kn 代表点的集合 构成波矢空间的格子(点阵) ——倒格子
Q rv
Cev iKn
grv
n
n
Q
rv
v Rl
Cev iKn
g
rv
v Rl
n
n
C e e v iKn
grv
vv iKn gRl
n
n
vv
Kn gRl 2
为整数
满足晶体周期性 的波矢选择条件
11
2) 正、倒格子间的关系
I. ai b j 2 ij i, j 1, 2, 3
II. 倒格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数的(2π )3倍。
简证： 倒格子原胞体积
*
b1
(b2
b3 )
(2
)3 (a2
a3 ) [(a3 3
a1)
(a1
a2 )]
(2 )3