圆的有关性质教案

教学过程

一、课堂导入

圆是日常生活中最为常见和最为常用的图形，近几年的中考考试频率较高，其中圆的相关性质考察较多，所以掌握它的基本解题思路和方法尤为重要。今天这堂课重在熟悉不同类型问题，灵活添加辅助线，提高思维应变能力

二、复习预习

圆的定义:圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆

圆的旋转不定性：圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．圆的相关概念：圆心、半径、直径、弦、弧（优弧和劣弧）

二、知识讲解

知识点一：垂径定理（构造直角三角形，应用勾股定理）

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

知识点2、等对等定理（等量关系的转化）

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等

在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等

知识点3、圆周角定理（角的转化）

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半

三、例题精析

【例题1】

【题干】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．3

【解析】：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．

【答案】：连接OC，

∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，

在Rt△OCP中，

∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故选C．

【例题2】

【题干】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（）

A．2B．8C．2D．2

【解析】：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，

设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，

在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，

在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，

在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．

【答案】：D

【例题3】【题干】如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于（）

A．60° B．70° C．120°D．140°

【解析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ＝2α＋2β．【答案】：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；

△OAB中，OA＝OB，

则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，

同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°．

【例题4】【题干】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；

，求⊙O的直径．

（2）若BC=3，sin∠P=3

5

【解析】(1)要证明CB∥PD ，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P

（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=53，即AC

BC =53，所以可以求得圆的直径 【答案】（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；

（2）解：连接AC∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=35，即=35

， 又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．

四、课堂运用

【基础】

1、如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）

A．36°B．46°C．27°D．63°

【解析】：根据BE是直径可得∠BAE=90°，然后在▱ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，继而可求得∠AEB 的度数．

【答案】：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，

∴∠B=∠ADC=54°，∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，

∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°．故选A．

2、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

【解析】：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在R t△AOD 中，利用勾股定理即可求r的值．

【答案】：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，

∵OD⊥AB，

∴AD=AB=×8=4cm，

设OA=r，则OD=r﹣2，

在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，

解得r=5cm．

故选C．

【巩固】

1、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）

A．cm B．cm C．cm D．4cm

【解析】：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证

△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD 的长．

【答案】：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），

∴弧CD=弧BD，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，

∴△AOF≌△OED，∴OE=AF=AC=3cm，

在Rt△DOE中，DE==4cm，

在Rt△ADE中，AD==4cm．故选A．