2020-2021学年上海交大附中高二(上)期末数学试卷

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上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数1sin 22y x =的最小正周期T =__________；【答案】π 【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可详解：由三角函数的周期公式可知：函数122y sin x =的最小正周期22T ππ== 故答案为π点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =______．【答案】0 【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-，即2222ax x ax x -=--，整理得20ax =在R 上恒成立， ∴0a =．故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 3. 若集合{}2A x x =<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A B =______．【答案】{}12x x -<<## ()1,2- 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合A ，求解分式不等式求得集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-，故可得A B ={|12}x x -<<.故答案：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______. 【答案】2. 【解析】【分析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -=_____【答案】3 【解析】【分析】欲求1(10)f-,根据原函数的反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =的值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去）那么1(10)3f-=故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}1 【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=，故答案为：{}1.7. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B 、，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数12y x y x αα==、的图像三等分，即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【答案】1 【解析】【分析】求出,M N 的坐标，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==，所以12(,)33M ，21(,)33N ，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α，21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α，则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα，所以121=αα．故答案为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________．【答案】[2,)+∞. 【解析】【分析】根据01a <<和1a >两种情况讨论，令()0f x ≥，得出不等式，即可求解.【详解】当01a <<时，令()0f x ≥，可得20a -≥，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当1a >时，令()0f x ≥，可得20a -≥，即2a ≥，即实数a 的取值范围[2,)+∞，综上可得，实数a 的取值范围[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞.9. 已知函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则实数a 的值为_________．【答案】-2 【解析】【分析】根据函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，分()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解. 【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，所以当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增时，()f x 的最小值为(0)12f =≠-，不成立；当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减时，()f x 的最小值为()22f a π==- ，此时()()2sin cos 5,04f x x x x πϕϕ⎛⎫=-+=--<< ⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,22x ππϕ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，成立；当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调时，()2()sin cos 1sin ϕ=+=++f x a x x a x ，令212a -+=-，解得 3a =3a =当 3a =()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以 min ()1f x =，不成立；当3a = ()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，min ()3f x =-，不成立；故实数a 的值为-2，故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=；②存在实数α，使3sin cos 2αα+=；③5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程；⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>．其中所有正确命题的序号是_____________．【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 22,24πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误；对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝，因为()cos 2cos2x x -=，所以函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭，所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但2sin sin 2==αβ，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________．【答案】(],4-∞- 【解析】【分析】由参变量分离法可得出41ln x x e x a x---≤，利用已知条件求出函数41ln x x e x y x ---=在()1,+∞上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】1x >，ln 0x ∴>，由4ln 1x x e a x x --≥+可得44ln 11ln ln x x x x e x e x a x x------≤=，由于不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且存在01x >，使得()0004ln 0g x x x =-=，所以，()4ln 4ln 1114ln ln x x x x x e x x x--+----≥=-，当且仅当0x x =时，等号成立，4a ∴≤-.因此，实数a取值范围是(],4-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12. 设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212mn m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度 A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l ，r ，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r ，弧长l ，则24 112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =，所以圆心角为 2lr=，故选：A.14. 对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B. 3和1C. 2和4D. 1和2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c和Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数．解：f （1）=asin1+b+c 和 f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c 和和+和得：f （1）+f （﹣1）=2c 和c和Z和f （1）+f （﹣1）是偶数故选D考点：函数的值．15. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+．设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点，不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-，同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 16. 设函数3()22,||1xxf x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（）A. 12p p ､中仅1p 是q 的充分条件B. 12p p ､中仅2p 是q 的充分条件C. 12p p ､都不是q 的充分条件D. 12p p ､都是q 的充分条件【答案】D 【解析】【分析】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0.()()0()()f a f b f a f b +≥⇒≥-，即g (a )＋h (a )≥－g (b )－h (b )，即g (a )＋h (a )≥g (－b )＋[－h (b )]，①当a ＋b ≥0时，a ≥－b ，故g (a )≥g (－b )，又h (x )＞0，故h (a )＞－h (b )，∴此时()()0f a f b +，即1p 是q 的充分条件；②当220a b a b ≥-⇒≥时，a ≥0，a b a ≤≤a b a -≤-≤(i)当a ≥1时，a a b ≤a ，故g (a )≥g (－b )；此时，h (a )＞0，－h (b )＜0，∴h (a )＞－h (b )，∴()()0f a f b +成立； (ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即()()0f a f b +成立； (iii)∵g (x )在R 上单调递增，h (x )在(－∞，0)单调递增， ∴()()()f x g x h x =+在(－∞，0)单调递增， ∵f (－1)＝0，∴f (x )＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x ≥0时，g (x )≥0，h (x )＞0，∴f (x )＞0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a a ＜1，11a b a -<≤≤，∴f (a )＞0，f (b )＞0， ∴()()0f a f b +成立.综上所述，20a b -时，均有()()0f a f b +成立，∴2p 是q 的充分条件. 故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f (x )拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. 和1）求实数a取值范围；和2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】和1和[1,0]- ;和2和见解析. 【解析】【详解】试题分析和和1和由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论．试题解析和和1）令101xx+>-，解得11x -<<和所以()1,1A =-和因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤和即实数a 的取值范围是[]1,0-和2和函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭和11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．和1和①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ表达式，并写出θ的范围：②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 表达式，并写出x 的范围：和2和怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．【答案】（1）①400s ()in 2g θθ=()2cm，π02θ<<；②24()200x g x θ=-()2cm ，020x <<.（2）当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm 【解析】【分析】（1）①用BOC θ∠=和半径表达出边,AB BC ，进而表达出面积并写出θ的取值范围，②用(cm)BC x =表达出222400AB OB x ==-x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接OC ，则20OC =cm ，sin 20sin BC OC θθ=⋅=cm ，cos 20cos OB OC θθ=⋅=cm ，则40cos AB θ=cm ，则800sin cos 400)2(sin g AB BC θθθθ⋅===()2cm ，π02θ<<.②连接OC ，则20OC =cm ，由勾股定理得：2400OB x =- cm ，222400AB OB x ==-cm ，则20()240AB BC x x g θ⋅==-()2cm ，020x <<，【小问2详解】由（1）知：400s ()in 2g θθ=，π02θ<<，所以()20,πθ∈，当π22θ=，即π4θ=时，400s ()in 2g θθ=取得最大值，最大值为4002cm ，此时π40cos202cm 4AB ==，π20sin1024BC ==cm ，所以当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=．（e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．和1和解方程：()cosh 2x =；和2和类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：()sinh x y +=________，并证明；和3和若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(ln 23x =+或(ln 23x =；（2）()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，证明见解析；（3）74a ≥. 【解析】【分析】（1）由已知可得出2e 4e 10x x -+=，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知e e 12t t a --≥+恒成立，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由()e e cosh 22x xx -+==，可得2e 4e 10x x -+=，可得e 23x =±(ln 23x =或(ln 23x =.【小问2详解】解：()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，右边()()()()()()()()e e e e e +e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y y x y x y ----=-++-+=()e e e e e e e e e e sinh 42x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yx y +----+----+--+--+-+--===+.【小问3详解】解：[]0,ln 2t ∈，则1e 2t≤≤，则()()e e e e sinh cosh 22t t x xa t x ---+=+=+，所以，e e e e e e 122t t x xx x a ----+-=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则e e 12t ta --≥+恒成立，因为函数e ty =、e ty -=-均为[]0,ln 2上增函数，故函数()e e 12t tg t --=+在[]0,ln 2上为增函数，所以，()()max 7ln 24a g t g ≥==. 20. 对闭区间I ，用I M 表示函数()y f x =在I 上的最大值．和1和对于4()f x x x=+，求[1,4]M 的值：和2和已知()sin cos 32f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()y f x =偶函数，[,]3a b M =b a -的最大值：和3和已知()sin f x x =，若有且仅有一个正数a 使得[0,][,2]a a a M kM =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5 （2）43π（3）112k << 【解析】【分析】小问1：判断()y f x =的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得2a =，根据()y f x =的最大值判断,a b 范围，即可求解；小问3：讨论01k <<与1k ≤，当[0,][,2]a a a M kM =时，判断正数a 的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x <时，由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意[]12,2,4∈x x ，且12x x <时，由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4()f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增；又44(1)15(4)4514f f =+=+＝，＝所以[1,4]5M = 【小问2详解】由于()y f x =偶函数，所以()()66f f ππ-= 则sin cos sin cos 63626362a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得2a =则()2sin cos 332f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[,]3a b M =522,33k a b k k Z ππππ+≤<≤+∈ 故b a -的最大值为43π. 【小问3详解】①当01k <<时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M <，所以02a π<<，若04a π<<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin 22sin cos a a a a a M ==所以sin 2sin cos a k a a =，得1cos 2a k=；若102k <≤时，有[)1cos 1,2a k=∈+∞，此时a 无解；若122k <<时，有12cos ,122a k ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，此时a 有一解； 21k ≤<时，有112cos 22a k ⎛=∈ ⎝⎦，此时a 无解；若42a ππ≤<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin12a a M π==所以sin a k =，因为2sin a ⎫∈⎪⎪⎣⎭若102k <≤时，此时a 无解，若1222k <<时，此时a 无解；若212k ≤<时，此时a 有一解； ②当1k ≤时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M ≥，所以2a π≤，有[0,]sin12a M π==，则[,2]1a a kM =若1k =，则[,2]1a a M =得π2a 或54a π=等，若1k <，[,2]1a a k M =，则1sin a k =或1sin 2a k =，在5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a必有两解．综上所述：112k << 21. 定义域为R 的函数()y f x =，对于给定的非空集合A ，A ⊆R ，若对于A 中的任意元素a ，都有()()f x a f x +≥成立，则称函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”. （1）给定集合{}1,1A =-，函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”，求证：函数()y f x =是周期函数；（2）给定集合{}1A =，()2g x ax bx c =++，若函数()y g x =是“集合A 上的Z -函数”，求实数a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合[]0,1A =，函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，求证：“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”．【答案】（1）证明见解析；（2）0a =，0b ≥，R c ∈；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）推导出()()1f x f x ≥+且()()1f x f x +≥，可得出()()1f x f x =+，由此可证得结论成立；（2）由已知可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，由此可得出a 、b 、c 所满足的条件；（3）利用Z -函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1f x f x -≥，可得()()1f x f x ≥+，对任意的R x ∈，()()1f x f x +≥，所以，()()1f x f x =+，因此，函数()y f x =为周期函数. 【小问2详解】解：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1g x g x +≥，即()()2211a x b x c ax bx c ++++≥++，可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，所以，200a a b =⎧⎨+≥⎩，即0a =，0b ≥，R c ∈.【小问3详解】证明：若函数()y h x =是周期函数，设其周期为()0T T >，因为函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，则存在()10,1a ∈、N k *∈，使得()111ka T k a ≤≤+，所以，1101T ka a ≤-≤<，()1011k a T a ≤+-≤<，对任意的0R x ∈，()()()()()()0010101100h x h x a h x ka h x ka T ka h x T h x ≤+≤≤+≤++-=+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()001010h x h x a h x ka h x T =+==+=+，所以，对任意的[]00,x x x T ∈+，()()0h x h x =，对任意的Z n ∈，()()00h x h x nT =+，并且[][][]000000R 2,,,x T x T x T x x x T =---+，所以，对任意的R x ∈，()()0h x h x C ==为常数，即“()y h x =是周期函数”⇒“()y h x =是常值函数”；若函数()y h x =是常值函数，对任意的R x ∈、a A ∈，()()h x a h x +≥成立，且()12h x h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，函数()y h x =是周期函数. 即“()y h x =是周期函数”⇐“()y h x =是常值函数”.综上所述，“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z -函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。

2023-2024学年北京交大附中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.）1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（） A ．15B ．310C ．35D ．122．在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（） A ．（﹣1，﹣2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，2，3）3．若cos α=35，则sin （3π2−α）＝（）A ．35B ．−35C ．45D ．−454．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值等于（） A ．√55B ．25C ．45D ．2√555．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，α∥β，则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，则点C 1到直线CE 的距离为（） A ．13B ．√33C ．√53D ．√637．某停车场的停车收费标准如表所示：李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（） A ．13.5元B ．18.5元C ．20元D ．27.5元8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V =13(S 上+√S 上S 下+S 下)⋅ℎ） A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸9．如图，棱长均相等的三棱锥P ﹣ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD ＝x ，锐二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为θ．当x 增大时，（）A ．θ增大B ．θ先增大后减小C ．θ减小D ．θ先减小后增大10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E 使得B 1D ⊥平面BED 1； ③D 1E +BE 的最小值为√2+1；④对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；⑤M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分）11．已知向量a →=(−2，2，−2)，b →=(−1，6，−8)，c →=(λ，0，−6)，若a →⊥c →，则λ＝；若a →，b →，c →共面，则λ＝．12．在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，则(BE →+CE →)⋅BC →= ．13．设动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1上（含内部），且D 1P →=λD 1B →，当∠APC 为锐角时，写出实数λ的一个可能的取值．14．如图，在四棱锥P ﹣ABED 中，DE ∥AB ，BE ⊥DE ，AB ＝2DE ＝2PE ＝2，BE =√3，PE ⊥平面ABED ，则异面直线PB 与AD 之间的距离为．15．定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离．（1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为．三、解答题16．（12分）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM ⊥平面ABB 1A 1；（Ⅱ）求证：AC 1∥平面CMB 1．17．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC ∩BD ＝O ，且PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，F ，G 分别是PB ，PD 的中点，E 是P A 上一点，且AP ＝3AE ．（1）求证：GF ⊥PC ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线P A 与平面EFG 所成角的正弦值．条件①：BD =2√3；条件②：∠DAB =2π3．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +4（a ∈R ）．（Ⅰ）若f （1）＝0，求不等式f （x ）≤0的解集；（Ⅱ）若f （1）＝2，求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．19．（15分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）．将△ACD 沿AC 折起到△ACD '位置，使得平面D ′AC ⊥平面BAC （如图2）．（1）求二面角A ﹣BD '﹣C 的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68？若存在，求出PQ PD′的值；若不存在，请说明理由．20．（15分）如图1，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，PB ∥平面CEM ．（1）求证：MP ＝2DM ；（2）求点B 到面PEC 的距离；（3）若在棱PB ，PE 分别取中点F ，G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由．21．（15分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，⋯，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，⋯，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，⋯，x n ）和γ＝（y 1，y 2，⋯，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n ．设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，⋯，t in ），i ＝1，2，⋯，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若a i ⋅a j ={p ，i =ji ，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）．（1）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2），说明理由；（2）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明．2023-2024学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.）1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（） A ．15B ．310C ．35D ．12解：设随机抽出一本是故事书为事件A ，基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为3， ∴P （A ）=310，故选：B ．2．在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（） A ．（﹣1，﹣2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，2，3）解：在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（1，2，3）．故选：D ．3．若cos α=35，则sin （3π2−α）＝（）A ．35B ．−35C ．45D ．−45解：因为cos α=35，所以sin （3π2−α）＝﹣cos α=−35．故选：B ．4．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值等于（） A ．√55B ．25C ．45D ．2√55解：法一：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B 1（0，0，2），B （0，0，0），C 1（0，1，2），AB 1→=（﹣1，0，2），BC 1→=（0，1，2），设异面直线AB 1与BC 1所成角为θ，则cos θ=|AB 1→⋅BC 1→||AB 1→|⋅|BC 1→|=4√5⋅√5=45． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为45．法二：将直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1还原为长方体如图所示，则异面直线AB 1与BC 1所成角即为AB 1与AD 1所成角，在三角形AB 1D 1中，AB 1＝AD 1=√5，B 1D 1=√2，根据余弦定理cos ∠B 1AD 1=5+5−22×√5×√5=45．∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为45．故选：C ．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，α∥β，则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：m ⊂α，α∥β，由m ⊥n ，可得n ∥β或n ⊂β或n 与β相交，相交也不一定垂直，反之，由n ⊥β，可得n ⊥α，而m ⊂α，则m ⊥n ．则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的必要不充分条件．故选：B ．6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，则点C 1到直线CE 的距离为（） A ．13B ．√33C ．√53D ．√63解：如图，过C 1作C 1H ⊥EC 与点H ，根据题意易知△ECC 1为直角三角形，且EC 1=√52，CC 1＝1，∴EC =√54+1=32，∴点C 1到直线CE 的距离为C 1H =EC 1×CC 1EC =√52×132=√53．故选：C ．7．某停车场的停车收费标准如表所示：李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（） A ．13.5元B ．18.5元C ．20元D ．27.5元解：根据题意得60÷15×2.5+30÷15×3.75+1＝10+7.5+1＝18.5（元），则李明应缴纳的停车费为18.5元．故选：B ．8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V =13(S 上+√S 上S 下+S 下)⋅ℎ） A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． ∵积水深9寸，∴水面半径为12（14+6）＝10寸，则盆中水的体积为13π×9（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．∴平地降雨量等于588ππ×142=3（寸）．故选：B ．9．如图，棱长均相等的三棱锥P ﹣ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD ＝x ，锐二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为θ．当x 增大时，（）A ．θ增大B ．θ先增大后减小C ．θ减小D ．θ先减小后增大解：由题意，三棱锥P ﹣ABC 是正四面体，以△PBC 的重心为坐标原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设三棱锥P ﹣ABC 的棱长为2√3，则PG ＝3，OP ＝2，所以OA 2＝AP 2﹣PO 2＝12﹣22＝8，所以B(−1，−√3，0)，A(0，0，2√2)，C(−1，√3，0)，P(2，0，0)，因为二面角A ﹣BD ﹣C 为锐二面角，所以D(√32x −1，2√3−x2，0)，所以AB →=(−1，−√3，−2√2)，AD →=(√32x −1，2√3−x2，−2√2)，设平面ABD 的法向量为m →=(t ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0m →⋅AD →=0，即{−t −√3y −2√2z =0(√32x −1)t +(2√3−x2)y −2√2z =0，令y =−√3x ，则t =4√3−x ，z =√2x −√6，所以m →=(4√3−x ，−√3x ，√2x −√6)，因为OA ⊥平面PBC ，所以平面PBC 的一个法向量为n →=(0，0，1)，所以cosθ=|m →⋅n →|m →|⋅|n →||=|√2x−√6|√(4√3−x)2+(√3x)2+(√2x−√6)2=1√6√2x 2−4√3x+6x 2−2√3x+9=1√6√2−12(x−√3)2+6，因为0＜x ＜2√3，所以当x =√3时，cos θ取得最小值0，此时θ取得最大值π2，当x ＞√3或x ＜√3时，cos θ都变大，即θ变小．故选：B ．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E 使得B 1D ⊥平面BED 1； ③D 1E +BE 的最小值为√2+1；④对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；⑤M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5解：对于①，V B−BED1=V D1−BEB1=13S△BEB1⋅ℎ，显然S△BEB1是定值，因为D1A1⊥平面ABB1A1，所以h是定值，所以三棱锥B1﹣BED1的体积是定值，①正确；对于②，若存在点E，使得B1D⊥平面BED1，又BD1⊂平面BED1，可得BD1⊥B1D，所以四边形BDD1B1为正方形，即BB＝B1D1，这与B1D1=√2BB1矛盾，②错误；对于③，如图，将侧面AA1D1D与侧面AA1B1B展开铺平，则D1E+BE的最小值√5，③错误；对于④，当点E在点A时，平面BED1即是平面ABD1，此时AP与平面BED1相交，故不存在点P符合要求，④错误；对于⑤，如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得A1C⊥BD，A1C⊥BC1，且BD ，BC 1是平面BDC 1内两条相交直线，所以A 1C 上平面BDC 1，又DM ⊂平面BDC 1，所以A 1C ⊥DM ，因为M 是BC 1上的动点，且过点A 1的截面α垂直DM ，所以截面α过点C ，截面α交D 1C 1与G ，交AB 于H ，设D 1G ＝x （0≤x ≤1），则A 1G =√1+x 2，CG =√(1−x)2+1，在△A 1GC 中，可得cos ∠A 1GC =1+x 2+x 2−2x+2−32√1+x 2⋅√x 2−2x+2=x 2−x√1+x 2⋅√x 2−2x+2，sin ∠A 1GC =√1−(x 2−x√1+x 2⋅√x 2−2x+2)2=√2√1+x 2⋅√x 2−2x+2，则该截面的面积为S =2×12A 1G ⋅CGsin∠A 1GC =√2x 2−2x +2=√2⋅√(x −12)2+34，因为x ∈[0，1]，所以当x =12时，S min =√62，此时G ，H 分别是D 1C 1和AB 的中点，当M 是BC 1中点时，DM ⊥BC 1，即DM ⊥GH ，所以DM ⊥平面A 1HCG ，满足题意，⑤正确．故选：A ．二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分）11．已知向量a →=(−2，2，−2)，b →=(−1，6，−8)，c →=(λ，0，−6)，若a →⊥c →，则λ＝ 6 ；若a →，b →，c →共面，则λ＝ 15 ．解：∵a →⊥c →，∴a →⋅c →=0，又∵向量a →=(−2，2，−2)，c →=(λ，0，−6)， ∴﹣2λ+12＝0， ∴λ＝6．∵a →，b →，c →共面，∴c →=x a →+yb →，∴（λ，0，﹣6）＝x （﹣2，2，﹣2）+y （﹣1，6，﹣8）， ∴{λ=−2x −y 0=2x +6y −6=−2x −8y ，解得{x =−9y =3λ=15，故答案为：6；15．12．在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，则(BE →+CE →)⋅BC →= 0 ．解：如图(BE →+CE →)⋅BC →=(BE →+CE →)⋅(BE →+EC →)=(BE →+CE →)⋅(BE →−CE →)=BE →2−CE →2，因为|BE →|=|CE →|，所以(BE →+CE →)⋅BC →=0；故答案为：0．13．设动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1上（含内部），且D 1P →=λD 1B →，当∠APC 为锐角时，写出实数λ的一个可能的取值16（答案不唯一）．解：设正方体的棱长为1，AP ＝x ，D 1P ＝t ，则AC =√2，在△APC 中，由余弦定理得cos ∠APC =x 2+x 2−22x 2=x 2−1x2，若∠APC 为锐角，则x 2−1x 2＞0，则x 2＞1，当点P 与D 1重合时，∠APC ＝60°，符合题意，此时λ＝0，在△AD 1P 中，AD 1=√2，cos ∠AD 1P =√63，于是由余弦定理得x 2=2+t 2−2⋅√2⋅t ⋅√63，于是2+t 2−2⋅√2⋅t ⋅√63＞1，即3t 2−4√3t +3＞0，解之得：t ＞√3或t ＜√33，由D 1B =√3，故λ＞1（舍）或0＜λ＜13．所以实数λ的取值范围是0≤λ＜13，取λ=16即可．故答案为：16（答案不唯一）．14．如图，在四棱锥P ﹣ABED 中，DE ∥AB ，BE ⊥DE ，AB ＝2DE ＝2PE ＝2，BE =√3，PE ⊥平面ABED ，则异面直线PB 与AD 之间的距离为 2√217．解：以点E 为坐标原点，ED ，EB ，EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所的空间直角坐标系，则 A （2，√3，0），B （0，√3，0），P （0，0，1），D （1，0，0），则AD →=(−1，−√3，0)，PB →=(0，√3，−1)，PD →=(1，0，−1)，设n →=(x ，y ，z)，满足n →⊥AD →，n →⊥PB →，{n →⋅AD →=0n →⋅PB →=0，即{−x −√3y =0√3y −z =0，令y ＝1，则x =−√3，z =√3，故n →=(−√3，1，√3)，所以异面直线PB 与AD 之间的距离为：|n →⋅PD →n→|=√3，√3)⋅(1√7=2√217．故答案为：2√217． 15．定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离．（1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为 4π ；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为163π+8．．解：（1）与定点O 距离等于1的点所围成的几何体是一个半径为1的球，所以其表面积为4π；（2）分析可知，到距离等于1的点所围成的几何体是一个棱长为2，2，2的长方体和4个高为2，底面半径为1的半圆柱以及四个半径为1的四分之一球所围成的几何体，所以其体积为：2×2×2+4×12×π×12×2+4×14×43π×13=8+4π+43π=163π+8．故答案为：（1）4π；（2）163π+8．三、解答题16．（12分）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM ⊥平面ABB 1A 1；（Ⅱ）求证：AC 1∥平面CMB 1．（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC，∵CM⊂平面ABC，∴AA1⊥CM，∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，又AA1∩AB＝A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，∴CM⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接OM，则O为BC1的中点，∵M为AB的中点，∴OM∥AC1，∵OM⊂平面CMB1，AC1⊄平面CMB1，∴AC1∥平面CMB1．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD＝O，且PO⊥平面ABCD，PO＝2，F，G分别是PB，PD的中点，E是P A上一点，且AP＝3AE．（1）求证：GF⊥PC；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线P A与平面EFG所成角的正弦值．条件①：BD=2√3；条件②：∠DAB=2π3．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（1）证明：∵G ，F 分别为PD ，PB 中点，∴GF ∥DB ， ∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∴AC ⊥BD ， ∵PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，又PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC ， ∵PC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥PC ， ∴GF ⊥PC ；（2）解：如图以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若选①，∵BD =2√3，底面ABCD 是边长为2的菱形，∴OA ＝1，OD =OB =√3，若选②，∵∠DAB =2π3，底面ABCD 是边长为2的菱形，∴OA ＝1，OD =OB =√3，则A （1，0，0），B(0，√3，0)，D(0，−√3，0)，P （0，0，2），G(0，−√32，1 ），F(0，√32，1)．∴PA →=(1，0，−2)，AP →=(−1，0，2)，OA →=(1，0，0)，又AP ＝3AE ，∴AE →=13AP →，∴OE →=OA →+13AP →=(23，0，23)， ∴E(23，0，23)，EF →=(−23，√32，13)，EG →=(−23，−√32，13)，设平面EFG 法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅EF →=−23x +√32y +13z =0n →⋅EG →=−23x −√32y +13z =0，取n →=(1，0，2)，设直线P A 与平面EFG 所成角为θ．则sinθ=|PA →⋅n→|PA →||n →||=−3√5⋅√5=35． ∴直线P A 与平面EFG 所成角的正弦值为35． 18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +4（a ∈R ）．（Ⅰ）若f （1）＝0，求不等式f （x ）≤0的解集；（Ⅱ）若f （1）＝2，求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）因为f （x ）＝x 2+ax +4且f （1）＝0，所以a +5＝0，解得a ＝﹣5，所以f （x ）＝x 2﹣5x +4，由f （x ）≤0，得f （x ）＝x 2﹣5x +4≤0，即（x ﹣4）（x ﹣1）≤0，解得1≤x ≤4，即原不等式的解集为[1，4]；（Ⅱ）因为f （1）＝2，所以a +5＝2，所以a ＝﹣3，所以f （x ）＝x 2﹣3x +4＝（x −32）2+74，因为x ∈[﹣2，2]，所以函数在[﹣2，32]上单调递减，在（32，2]上单调递增，所以当x =32时函数取得最小值f （x ）min ＝f （32）=74；当x ＝﹣2时函数取得最大值f （x ）max ＝f （﹣2）＝14；（Ⅲ）因为对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立，即对任意x ∈（0，+∞），不等式x 2+ax +4＞0恒成立，即﹣a ＜x +4x对任意x ∈（0，+∞）恒成立，因为x +4x≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x =4x ，即x ＝2时取等号；所以﹣a ＜4，即a ＞﹣4，所以a ∈（﹣4，+∞）．19．（15分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）．将△ACD 沿AC 折起到△ACD '位置，使得平面D ′AC ⊥平面BAC （如图2）．（1）求二面角A ﹣BD '﹣C 的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68？若存在，求出PQ PD′的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点，所以BC ＝2，∠ABC =π，AB ＝4，所以AC ⊥BC ，AC ⊥DP ，因为平面D ′AC ⊥平面BAC ，平面D ′AC ∩平面BAC ＝AC ，D 'O ⊂平面D ′AC ，D ′O ⊥AC ，所以D ′O ⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，OD ′两两垂直，以O 为坐标原点，OA ，OP ，OD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则D '（0，0，1），C(−√3，0，0)，B(−√3，2，0)，A （√3，0，0），所以D ′C →=(−√3，0，−1)，CB →=(0，2，0)，AB →=(−2√3，2，0)，AD ′→=(−√3，0，1)，设平面BCD '的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅D′C →=−√3x −z =0n →⋅CB →=2y =0，取x ＝1，得n →=(1，0，−√3)，设平面ABD ′的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅AB →=−2√3x 1+2y 1=0m →⋅AD′→=−√3x 1+z 1=0，取x 1＝1，得m →=(1，√3，√3)，设二面角A ﹣BD '﹣C 的平面角为θ，由法向量的方向可知，＜m →，n →＞=θ，所以cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=|1−√3×√3|2×7=√77，则二面角A ﹣BD ′﹣C 的余弦值为√77；（2）设PQPD′=t （0≤t ≤1），则PQ →=tPD′→，因为P （0，1，0），PD ′→=（0，﹣1，1），则Q （0，1﹣t ，t ），CQ →=(√3，1−t ，t)，由（1）知平面BCD ′的一个法向量为n →=(1，0，−√3)，所以CQ 与平面BCD ′所成角的正弦值为|cos ＜CQ →，n →＞|=|CQ →⋅n →||CQ →||n →|=|3−3t|2√3+(1−t)2+t =√68，化简得3t 2﹣7t +2＝0，解得t =13或t ＝2（舍去），故存在PQ PD′=13，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68． 20．（15分）如图1，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，PB ∥平面CEM ．（1）求证：MP ＝2DM ；（2）求点B 到面PEC 的距离；（3）若在棱PB ，PE 分别取中点F ，G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由．解：（1）证明：如图所示：连接BD 与CE 交于点Q ，连接MQ ，PB ∥平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面MEC ＝MQ ，故PB ∥MQ ，△BCQ ﹣△DEQ ，故BQ QD=BC DE=2，即BQ ＝2QD ，△PBD ∽△MQD ，故PMMD=BQ QD=2，即MP ＝2DM ．（2）过P 作PH ⊥BE 交BE 于H ，PB ＝PE ＝1，故PH =√22， V P ﹣BCE =13S △BCE ×PH =13×12××2×√22=√26，PH ⊥BE ，平面PBE ⊥平面BCDE ，平面PBE ∩平面BCDE ＝BE ，PH ⊂平面PBE ，故PH ⊥平面BCDE ， EC ⊂平面BCDE ，则PH ⊥EC ，BE =√2，EC =√2，BC ＝2，故BC 2＝BE 2+EC 2，故BE ⊥EC ，BE ∩PH ＝H ， BE ，PH ⊂平面PBE ，故EC ⊥平面PBE ， PE ⊂平面PBE ，故EC ⊥PE ，S △PBC =12×PE ×CE =12×1×√2=√22，设点B 到面PEC 的距离为h ，则13S △PBC •h ＝V P ﹣BCE =√26，故h ＝1．即点B 到面PEC 的距离为1．（3）M ∈CFG ．理由如下：如图所示：延长ED 到N ，使得DE ＝DN ，连接PN ，GN ，四边形BCNE 为平行四边形，F ，G 分别为PB ，PG 中点，则FG ∥BE ，故FG ∥CN ，则CNGF 四点共面，D 为EN 中点，且MP ＝2DM ，故M 为△PEN 重心，G 是PE 中点，NG 为△PEN 中线，所愉M ∈NG ，所以M ∈平面FCNG ，即M ∈平面CFG ．21．（15分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，⋯，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，⋯，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，⋯，x n ）和γ＝（y 1，y 2，⋯，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n ．设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，⋯，t in ），i ＝1，2，⋯，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若a i ⋅a j ={p ，i =j i ，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）．（1）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2），说明理由；（2）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明．解：（1）对于A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}，则（1，1，0）•（1，1，0）＝1+1+0＝2，同理（1，0，1）•（1，0，1）＝（0，1，1）•（0，1，1）＝2，而（1，1，0）•（1，0，1）＝1+0+0＝1，同理（1，1，0）•（0，1，1）＝（1，0，1）•（0，1，1）＝1，所以A 具有性质T （3，2）．（2）假设存在集合A 具有性质T （4，p ），易知集合A 有4个元素且p ∈{0，1，2，3，4}， ①若p ＝0，则A ＝{（0，0，0，0）}，不符合4个元素，舍去；②若p ＝1，则A ⊆{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}，又因为（1，0，0，0）•（0，1，0，0）＝0，所以不满足，舍去； ③若p ＝2，则A ⊆{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}，又因为（1，1，0，0）•（0，0，1，1）＝（1，0，1，0）•（0，1，0，1）＝（1，0，0，1）•（0，1，1，0）＝0，所以这3组每组至多只能有一个包含于A ，所以A 至多只有3个元素，矛盾，舍去；④若p＝3，则A⊆{（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，又因为（1，1，1，0）•（1，1，0，1）＝2，所以不满足，舍去；⑤若p＝4，则A＝{（1，1，1，1）}，只有一个元素，舍去，综上可知，不存在具有性质T（4，p）的集合A．。

2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】

数学模拟试卷03第I 卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <，故22a b >推不出a b >，故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==，又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤，故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误；当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误；当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知，函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称），所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-，由()2f x ≤，解得：()22f x -≤≤，由()f x 在R 上单调递增，解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π；【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π，则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==，故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+，故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟，由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<，解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <；当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤．综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞．故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ，由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =，故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-，故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-，即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+；（2）假设满足条件实数m ，n 的存在，由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+，又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去），假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦，设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1，由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故()g x 在[]21,log 3无意义，所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解，综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

2021-2022学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷

2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.514.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和215.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞016.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】：解：由三角函数的周期公式可知，函数y= $\frac{1}{2}$ sin2x的最小正周期为T= $\frac{2π}{2}$=π故答案为：π．【点评】：本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin （ωx+φ）的最小正周期为；T= $\frac{2π}{|ω|}$．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．【解答】：解：由奇函数定义有f（-x）=-f（x），则f（-1）=a-2=-f（1）=-（a+2），解得a=0．【点评】：本题考查奇函数定义．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|-1＜x＜2}【解析】：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】：解：∵集合A={x||x|＜2}=（-2，2）B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}=（-1，+∞）∴A∩B=（-1，2）={x|-1＜x＜2}故答案为：{x|-1＜x＜2}【点评】：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】：解：∵lg（2x+1）+lgx=1，∴lg（x（2x+1））=lg10，∴ $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x+1＞0}\\{x(2x+1)=10}\end{array}\right.$ ，解得：x=2．故答案为：{2}．【点评】：本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：欲求f-1（10），根据原函数的反函数为f-1（x）知，只要求满足于f（x）=10的x 的值即可，故只要解方程f（x）=10即得．【解答】：解：令f（t）=10，则t=f-1（10），当t＜0有2t=10⇒t=5，不合，当t≥0有t2+1=10⇒t=-3（舍去）或t=3，那么f-1（10）=3故答案为：3．【点评】：本题主要考查了反函数，一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=f（y）．若对于y在C中的任何一个值，通过x=f（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=f（y）就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=f（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f-1（x）．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1}【解析】：利用余弦函数和指数函数的图象化简集合A，求解二次方程化简集合B，然后直接取交集运算．【解答】：解：函数y=3cos2πx与y=3x的图象如图，所以A={x|3cos2πx=3x，x∈R}={x1，x2，1}，B={y|y2=1，y∈R}={-1，1}，所以A∩B={x1，x2，1}∩{-1，1}={1}．故答案为{1}．【点评】：本题考查了交集及其运算，考查了余弦函数和指数函数的图象，解答的关键是由余弦函数和指数函数的图象化简集合A．是基础题．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【解答】：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M $(\frac{1}{3}，\frac{2}{3})$N $(\frac{2}{3}，\frac{1}{3})$ ，分别代入y=xα，y=xβ$α={log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}，\;\;\;β={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$$αβ={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}\bullet {log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}=1$故答案为：1【点评】：本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2，+∞）【解析】：根据指数函数的图象与性质，求出f（x）恒过定点，结合题意列不等式求出a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）中，令x+1=0，得x=-1，所以f（-1）=1-2=-1，即f（x）的图象过定点（-1，-1）；由f（x）的图象不经过第四象限，则f（0）=a-2≥0，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题主要考查了指数型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，可分a≥0与a＜0两类讨论，结合题意求得实数a的值．【解答】：解：∵函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，① 若a≥0，则y=asinx≥0，y=cosx≥0，f（x）≥0，与题意不符；② 若a＜0，则y=asinx与y=cosx均在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）min=f（ $\frac{π}{2}$）=a=-2，符合题意，故答案为：-2．【点评】：本题考查三角函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与逻辑思维能力及运算求解能力，属于中档题．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：根据二倍角公式得到sinαcosα= $\frac{1}{2}$ sin2α，结合正弦函数的值域可判断① 正误；根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα= $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）结合正弦函数的可判断② 正误；根据诱导公式得到 $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，再由余弦函数的奇偶性可判断③ 正误；将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ +$\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1，根据正弦函数的对称性可判断④ 正误．利用反例判断⑤ 的正误，即可．【解答】：解：对于① ，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；① 错误．对于② ，由$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ，得 $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{2}$ ，矛盾；② 错误．对于③ ， $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，是偶函数；③ 正确．对于④ ，将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\f rac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ + $\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1， $x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的图象的一条对称轴方程．④ 正确．对于⑤ ，不妨取β=60°，α=390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴ ⑤ 不正确．故③ ④ 正确故答案为：③ ④ ．【点评】：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．是基础题．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4]【解析】：根据函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，得到x0=4lnx0，e x0=x04，根据函数h（x）的单调性求出x0的范围，根据f（x0）=-（a+4）lnx0≥0，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】：解：x-4e x-alnx≥x+1，即 $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx≥x+1，令f（x）= $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx-x-1，（x＞1），函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，则h（x0）=x0-4lnx0=0，则x0=4lnx0，则e x0= ${{x}_{0}}^{4}$ ，h′（x）=1- $\frac{4}{x}$ = $\frac{x-4}{x}$ ，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增，而h（1）=1，h（4）=4-4ln4＜0，故1＜x0＜4，故f（x0）= $\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-x0-1=$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-4lnx0-1=-（a+4）lnx0≥0，∵lnx0＞0，∴a+4≤0，故a≤-4，故a的取值范围是（-∞，-4]，故答案为：（-∞，-4]．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][1，13]【解析】：根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可．【解答】：解：二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），则Δ=4-4mn=0，解得：mn=1，且m＞0，又f（1）=m-2+n≤2，n= $\frac{1}{m}$ ，则m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，∴ $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$= $\frac{{m}^{2}}{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$ + $\frac{\frac{1}{{m}^{2}}}{1{+m}^{2}}$= $\frac{{m}^{6}+1}{{m}^{2}(1{+m}^{2})}$= $\frac{{m}^{4}{-m}^{2}+1}{{m}^{2}}$=m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1，而由m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，m＞0，得2≤m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ ≤14，故m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1的取值范围是[1，13]，即 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围是[1，13]，故答案为：[1，13]．【点评】：本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是中档题．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.5【正确答案】：A【解析】：结合扇形面积公式及弧长公式可求l，r，然后结合扇形圆心角公式可求．【解答】：解：设扇形半径r，弧长l，则$\left\{\begin{array}{l}{l+2r=4}\\{\frac{1}{2}lr=2}\end{array}\right.$ ，解得r=1，l=2，所以圆心角为 $\frac{l}{r}$ =2．故选：A．【点评】：本题主要考查了扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．14.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6C.2和4D.1和2【正确答案】：D【解析】：求出f（1）和f（-1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（-1）为偶数．【解答】：解：f（1）=asin1+b+c ①f（-1）=-asin1-b+c ②① + ② 得：f（1）+f（-1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（-1）是偶数故选：D．【点评】：本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．15.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0【正确答案】：B【解析】：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．【解答】：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）= $\frac{1}{x}$ 是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞-x1＞0，即x1+x2＞0，-y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0【点评】：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．16.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件【正确答案】：D【解析】：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g （x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，根据这些信息即可判断．【解答】：解：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g（x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，f（a）+f（b）≥0⇒f（a）≥-f（b），即g（a）+h（a）≥-g（b）-h（b），即g（a）+h（a）≥g（-b）+[-h（b）]，① 当a+b≥0时，a≥-b，故g（a）≥g（-b），又h（x）＞0，故h（a）＞-h（b），∴此时f（a）+f（b）≥0，可得p1是q的充分条件；② 当a-b2≥0时，则有：a≥0， $-\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}$ ， $-\sqrt{a}≤-b≤\sqrt{a}$ ，（i）当a≥1时，a≥ $\sqrt{a}$ ，则-b≤a，故g（a）≥g（-b）；此时，h（a）＞0，-h（b）＜0，∴h（a）＞-h（b），∴f（a）+f（b）≥0成立；（ii）当a=0时，b=0，f（0）+f（0）=6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（-∞，0）单调递增，∴f（x）=g（x）+h（x）在（-∞，0）单调递增，∵f（-1）=0，∴f（x）＞0在（-1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，∴f（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）＞0在（-1，+∞）恒成立，故当0＜a＜1时，a＜ $\sqrt{a}$ ＜1，-1＜- $\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}＜1$ ，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．综上所述，a-b2≥0时，均有f（a）+f（b）≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．【点评】：本题的关键是将函数f（x）拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练运用．17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【正确答案】：【解析】：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0可求得f（x）的定义域A，由B=（a，a+1），且B⊆A，列式计算可求得答案；（2）可证得f（x）+f（-x）=0，从而可得结论成立．【解答】：解：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0得-1＜x＜1，∴函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域A=（-1，1）；又B=（a，a+1），且B⊆A，∴ $\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$ ，解得-1≤a≤0，即a∈[-1，0]；（2）证明：∵f（x）+f（-x）=lg $\frac{1+x}{1-x}$ +lg $\frac{1-x}{1+x}$ =lg（ $\frac{1+x}{1-x}$ • $\frac{1-x}{1+x}$ ）=lg1=0，∴f（-x）=-f（x），f（-x）≠f（x），∴函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【正确答案】：【解析】：（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】：解：如图所示，（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cosθ（其中0＜θ＜ $\frac{π}{2}$）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ= $\frac{π}{4}$时，S取最大值为400，此时BC=10 $\sqrt{2}$ ；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ 时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 $\sqrt{400-{x}^{2}}$ （其中0＜x＜20），∴S=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ≤x2+（400-x2）=400，当且仅当x2=400-x2，即x=10 $\sqrt{2}$ 时，S取最大值400；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC= $\frac{π}{4}$时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】：本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．【正确答案】：sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）【解析】：（1）cosh（x）=2，即e x+e-x=4，化简得（e x）2-4e x+1=0，即可求解，（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），将双曲正弦与双曲余弦函数分别代入左右两边验证，即可证明，（3）分析可知a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，利用函数的单调性可求得实数a的取值范围．【解答】：解：（1）cosh（x）=2，即：e x+e-x=4，整理得（e x）2-4e x+1=0，解得：x=ln（2± $\sqrt{3}$ ）．（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），理由：左边=sinh（x+y）= $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，右边=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）= $\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$ ×$\frac{{e}^{y}+{e}^{-y}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ × $\frac{{e}^{y}-{e}^{-y}}{2}$ = $\frac{{e}^{x+y}+{e}^{x-y}-{e}^{y-x}-{e}^{-x-y}}{2}$ × $\frac{1}{2}$ +$\frac{{e}^{x+y}+{e}^{y-x}-{e}^{x-y}-{e}^{-x-y}}{4}$ = $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，左边等于右边，于是sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）成立．（3）因为t∈[0，ln2]，则1≤e t≤2，则a=sinh（t）+cosh（x）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ，所以a- $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ = $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ≥ $\sqrt{{e}^{x}\bullet {e}^{-x}}$ =1，当且仅当x=0时取等号，则a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，因为函数y=e t，y=-e-t均为[0，ln2]上的增函数，故函数g（t）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1在[0，ln2]上为增函数，所以a≥g（t）min=g（0）=1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质，函数的单调性，基本不等式，构造函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）判断y=f（x）的单调性即可求解；（2）由偶函数求得a=2，根据y=f（x）的最大值判断a，b范围，即可求解；（3）讨论0＜k＜1与1≤k，当M[0，a]=kM[a，2a]时，判断正数a的取值个数，即可求解．【解答】：解：（1）对任意x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＞0$ ，对任意x1，x2∈[2，4]，且 x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＜0$ ，所以 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增；又 $f(1)=1+\frac{4}{1}=5，f(4)=4+\frac{4}{4}=5$ ，所以M[1，4]=5；（2）由于y=f（x）是偶函数，所以 $f(-\frac{π}{6})=f(\frac{π}{6})$，则 $asin(-\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(-\frac{π}{6}+\frac{π}{2})=asin(\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(\frac{π}{6}+\frac{π}{2})$，解得a=2；则 $f(x)=2sin(x+\frac{π}{3})+cos(x+\frac{π}{2})=\sqrt{3}cosx$ ，因为 ${M}_{[a，b]}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $\f rac{π}{3}+2kπ≤a＜b≤\frac{5π}{3}+2kπ，k∈Z$，故b-a的最大值为 $\frac{4π}{3}$．（3）① 当0＜k＜1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]＜M[a，2a]，所以 $0＜a＜\frac{π}{2}$，若 $0＜a＜\frac{π}{4}$时，有M[0，a]=sina，M[a，2a]=sin2a=2sinacosa，所以sina=2ksinacosa，得 $cosa=\frac{1}{2k}$ ；若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈[1，+∞)$，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，此时a有一解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1\;\\;时，\\;\\;有cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ 时有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，此时 a 无解；若$\frac{π}{4}≤a＜\frac{π}{2}$时，有$M_{[0，a]}=sina，M_{[a，2a]}=sin\frac{π}{2}=1$，所以sina=k，因为$sina∈[\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1$ 时，此时a有一解；② 当k≥1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]≥M[a，2a]，所以 $\frac{π}{2}≤a$，有 $M_{[0，a]}=sin\frac{π}{2}=1$，则 $M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，若k=1，则M[a，2a]=1 得 $a=\frac{π}{2}$或 $a=\frac{5π}{4}$等，若 $1＜k，M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，则 $sina=\frac{1}{k}$ 或 $sin2a=\frac{1}{k}$ ，在$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$上，a 必有两解．综上所述： $\frac{1}{2}＜k＜1$ ，即k的取值范围是（ $\frac{1}{2}$ ，1）．【点评】：本题考查了三角函数的最值问题，用到分类讨论的思想，属于难题．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【正确答案】：【解析】：（1）推导出f（x）≥f（x+1）且f（x+1）≥f（x），可得出f（x）=f（x+1），由此能证明结论成立；（2）由已知可得2ax+a+b≥0对任意x∈R恒成立，由此能求出实数a、b、c所满足的条件；（3）利用Z-函数的定义、函数的周期性的定义，结合充分条件、必要条件的定义，能证明结论成立．【解答】：解：（1）证明：由题意得对任意x∈R，f（x-1）≥f（x），可得f（x）≥f（x+1），对任意的x∈R，f（x+1）≥f（x），∴f（x）=f（x+1），∴函数y=f（x）是周期函数．（2）由题意可知，对任意的x∈R，g（x+1）≥g（x），即a（x+1）2+b（x+1）+c≥ax2+bx+c，∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴ $\left\{\begin{array}{l}{2a=0}\\{a+b≥0}\end{array}\right.$ ，∴a=0，b≥0，c∈R．（3）证明：若函数y=h（x）是周期函数，设其周期为T（T＞0），∵函数y=h（x）是集合Ah的Z-函数，则存在a1∈（0，1），k∈N*，使得ka1≤T≤（k+1）a1，∴0≤T-ka1≤a1≤1，0≤（k+1）a1-T≤a＜1，对任意的x0∈R，h（x0）≤h（x0+a1）≤•••≤h（x0+ka1）≤h[（x0+ka1）+T-ka1]=h（x0+T）=h（x0），∴h（x0）=h（x0+a1）=•••=h（x0+ka1）=h（x0+T），∴对任意的x∈[x0，x0+T]，h（x）=h（x0），对任意的n∈Z，h（x0）=h（x0+nT），且R=•••∪[x0-2T，x0-T]∪[x0-T，x0]∪[x0，x0+T]∪•••，∴对任意的x∈R，h（x）=h（x0）=C为常数，即”y=h（x）是周期函数“⇒”y=h（x）是常值函数“，若函数y=h（x）是常值函数，对任意的x∈R，a∈A，h（x+a）≥h（x）成立，且h（x+ $\frac{1}{2}$ ）=h（x），∴函数y=h（x）是周期函数，即”y=h（x）是常值函数“⇒”y=h（x）是周期函数“，综上，“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【点评】：本题考查周期函数、充要条件的证明，考查满足条件的实数的求法，考查函数的周期性、函数值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

2020-2021学年北京交大附中七年级(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年北京交大附中七年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共24分，每小题2分）.1．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠BC．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定2．新型冠状病毒肺炎是21世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到2020年12月24日，我国累计确诊96074例，累计治愈89743例，将96074用科学记数法表示应为（）A．9.6074×105B．9.6074×104C．96.074×103D．0.96074×1053．如图，点A是北京动物园中的猩猩馆，点B是叶猴馆，叶猴馆在猩猩馆的方位可以大致表示为（）A．南偏西62°B．北偏西62°C．南偏西28°D．北偏东62°4．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数c满足﹣a＜c＜a，则下列判断正确的是（）A．b+c＜0B．|b|＜|c|C．a+c＞0D．ac＜05．下列计算正确的是（）A．a+2b＝3ab B．7a2﹣2a＝5aC．4a﹣（﹣a）＝5a D．（3﹣a）﹣（2﹣a）＝1﹣2a6．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥7．若代数式﹣5x8y3与2x2n y3是同类项，则常数n的值（）A．2B．3C．4D．68．若关于x的方程mx﹣2＝x+1的解是x＝3，则m的值为（）A．B．2C．1D．9．下列说法错误的是（）A．直线AB和直线BA是同一条直线B．若线段AB＝5，AC＝3，则BC不可能是1C．画一条5厘米长的线段D．若线段AM＝2，BM＝2，则M为线段AB的中点10．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．35°11．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．50°D．55°12．定义：如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝log a N．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的序号有（）①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝3，则a＝50；④log2128＝log216+log28．A．①③B．②③C．①②③D．②③④二、填空题（本大题共24分，每小题3分）13．比较大小：﹣5﹣5.5（填“＜”、“＞”或“＝”）．14．计算：20°35′+15°40′＝．15．单项式﹣x2y的系数是，次数是．16．写出方程3x﹣y＝5的一组解．17．如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺（填是或者不是）直的，判断依据是．18．已知线段AB＝5，点C在直线AB上，AC＝2，则BC的长为．19．如图，将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β相等的是，∠α与∠β互补的是．（填序号）20．如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为．三、解答题（本大题共52分，第21题22题中每小题8分，共16分，第23题5分，第24题5分，第25题6分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）21．计算：（1）7﹣（﹣6）+5×（﹣3）；（2）8+（﹣3）2×（﹣）÷|﹣2|．22．解下列方程（组）：（1）3x﹣2＝6﹣x；（2）．23．已知a﹣2b+1＝0，求代数式5（2ab2﹣4a+b）﹣2（5ab2﹣9a）﹣b的值．24．如图，已知点A、B、O、M，请按下列要求作图并解答．（1）连接AB；（2）画射线OM；（3）在射线OM上取点C，使得OC＝2AB（尺规作图，保留作图痕迹）；（4）在图中确定一点P，使点P到A、B、O、C四个点的距离和最短，请写出作图依据．25．列方程解应用题《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高cm，放入一个大球水面升高cm；（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球、小球各多少个？（3）若放入一个钢珠可以使液面上升k厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到41厘米，则k的整数值为．（球和钢珠完全在水面以下）26．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝3AB，延长线段BC至点D，使CD ＝2AB，点M、N分别是线段AB、CD的中点．（1）若AD＝12，求线段MN的长．（2）若MN＝a，请直接写出线段AD的长．27．如图1，在平面内，已知点O在直线AB上，射线OC、OE均在直线AB的上方，∠AOC ＝α（0°＜α＜30°），∠COE＝2α，OD平分∠COE，∠DOF与∠AOC互余．（1）若∠AOE：∠BOE＝1：5，则∠α＝°；（2）当OF在∠BOC内部时，①若α＝20°，请在图2中补全图形，求∠EOF的度数；②判断射线OF是否平分∠BOD，并说明理由；（3）若∠EOF＝4∠AOC，请直接写出α的值．28．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为﹣1、3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．（1）如图1，a＝﹣1．①若c＝2，点D、E、F在数轴上分别表示数﹣3、5、7，在这三个点中，点是点A、C的双倍绝对点；②若|a﹣c|＝2，则b＝；（2）若a＝3，|b﹣c|＝5，则c的最小值为；（3）线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数﹣4、﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A、C同时沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共24分，每小题2分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的.1．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠BC．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定【分析】依据∠A＜45°，∠B＞45°，即可得出∠A与∠B的大小关系．解：由图可得，∠A＜45°，∠B＞45°，∴∠A＜∠B，故选：B．2．新型冠状病毒肺炎是21世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到2020年12月24日，我国累计确诊96074例，累计治愈89743例，将96074用科学记数法表示应为（）A．9.6074×105B．9.6074×104C．96.074×103D．0.96074×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：96074＝9.6074×104．故选：B．3．如图，点A是北京动物园中的猩猩馆，点B是叶猴馆，叶猴馆在猩猩馆的方位可以大致表示为（）A．南偏西62°B．北偏西62°C．南偏西28°D．北偏东62°【分析】方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．解：如图所示，∠BAC约为62°，故B在A的南偏西62°方向，故选：A．4．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数c满足﹣a＜c＜a，则下列判断正确的是（）A．b+c＜0B．|b|＜|c|C．a+c＞0D．ac＜0【分析】由已知得出a、b、c的范围，再逐项判断即可．解：由图可知：1＜a＜2＜b，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜c＜a，∴﹣2＜﹣a＜c＜a＜2＜b，∴b+c＞0，故A不符合题意；∵|b|＞2，|c|＜2，∴|b|＞|c|，故B不符合题意；∵﹣a＜c＜a，1＜a＜2∴a+c＞0，故C符合题意；∵﹣2＜﹣a＜c＜2，c可能为正数，∴ac可能大于0，故D不符合题意；故选：C．5．下列计算正确的是（）A．a+2b＝3ab B．7a2﹣2a＝5aC．4a﹣（﹣a）＝5a D．（3﹣a）﹣（2﹣a）＝1﹣2a【分析】各式去括号合并得到最简结果，即可做出判断．解：A、a+2b不能合并，不符合题意；B、7a2﹣2a不能合并，不符合题意；C、4a﹣（﹣a）＝4a+a＝5a，符合题意；D、（3﹣a）﹣（2﹣a）＝3﹣a﹣2+a＝1，不符合题意．故选：C．6．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥【分析】根据正方体、圆锥、三棱柱、圆柱及其表面展开图的特点解题．解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥．故选：A．7．若代数式﹣5x8y3与2x2n y3是同类项，则常数n的值（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．解：∵代数式﹣5x8y3与2x2n y3是同类项，∴2n＝8，∴n＝4，故选：C．8．若关于x的方程mx﹣2＝x+1的解是x＝3，则m的值为（）A．B．2C．1D．【分析】根据方程的解满足方程，把方程的解代入方程，可得关于m的一元一次方程，根据解方程，可得答案．解：把x＝3代入mx﹣2＝x+1，得3m﹣2＝3+1，解得m＝2，故选：B．9．下列说法错误的是（）A．直线AB和直线BA是同一条直线B．若线段AB＝5，AC＝3，则BC不可能是1C．画一条5厘米长的线段D．若线段AM＝2，BM＝2，则M为线段AB的中点【分析】依据直线、线段的和差关系以及中点的概念进行判断，即可得出结论．解：A．直线AB和直线BA是同一条直线，说法正确，不合题意；B．若线段AB＝5，AC＝3，则BC最短为2，不可能是1，说法正确，不合题意；C．画一条5厘米长的线段，说法正确，不合题意；D．若线段AM＝2，BM＝2，则M不一定是线段AB的中点，故原说法错误，符合题意．故选：D．10．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．35°【分析】设这个角为x°，则这个角的余角＝（90°﹣x°），根据题意可得出方程，解出即可．解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90°﹣x°），根据题意，得90﹣x＝x+15，解得：x＝50．所以这个角的度数为50°，故选：C．11．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．50°D．55°【分析】根据折叠的性质和平角的定义，先求出∠1+∠4的度数，再确定∠2的度数．解：由折叠的性质知：∠1＝∠3＝∠AED′，∠2＝∠4＝∠DED′，∵∠AED′+∠DED′＝180°，∴∠1+∠4＝90°．即∠1+∠2＝90°．当∠1＝30°时，∠2＝60°．故选：B．12．定义：如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝log a N．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的序号有（）①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝3，则a＝50；④log2128＝log216+log28．A．①③B．②③C．①②③D．②③④【分析】结合对数的定义和乘方解题．解：∵61＝6，∴log66＝1，说法①不符合题意；∵34＝81，∴log381＝4，说法②符合题意；∵43＝64，∴log464＝3，∴a+14＝64，∴a＝50，说法③符合题意；∵27＝128，24＝16，23＝8，∴log2128＝7，log216+log28＝4+3＝7，∴log2128＝log216+log28，说法④符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共24分，每小题3分）13．比较大小：﹣5＞﹣5.5（填“＜”、“＞”或“＝”）．【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．解：|﹣5|＝5，|﹣5.5|＝5.5，∵5＜5.5，∴﹣5＞﹣5.5，故答案为：＞．14．计算：20°35′+15°40′＝36°15′．【分析】根据“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行换算．解：∵35′+40′＝75′＝1°15′，∴20°35′+15°40′＝36°15′，故答案为：36°15′．15．单项式﹣x2y的系数是﹣，次数是3．【分析】直接利用单项式的系数、次数确定方法得出答案．解：单项式﹣x2y的系数是：﹣，次数是：3．故答案为：﹣；3．16．写出方程3x﹣y＝5的一组解（答案不唯一）．【分析】将x＝2代入方程求出y为1，即可确定出一对整数解．解：方程3x﹣y＝5的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．17．如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺不是（填是或者不是）直的，判断依据是两点确定一条直线．【分析】直接利用直线的性质，两点确定一条直线，由此即可得出结论．解：∵甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合，∴甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的，判断依据是：两点确定一条直线．故答案为：不是，两点确定一条直线．18．已知线段AB＝5，点C在直线AB上，AC＝2，则BC的长为7或3．【分析】根据题意分点C在点A左侧和点C在点A右侧两种情况进行讨论，再根据线段之间的和差关系进行求解即可．解：由题意可知AB＝5，AC＝2，当点C在点A左侧时，BC＝AC+AB＝5+2＝7；当点C在点A右侧时，BC＝AB﹣AC＝5﹣2＝3，综上所述，BC的长为7或3．故答案为：7或3．19．如图，将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β相等的是②③，∠α与∠β互补的是④．（填序号）【分析】根据平角的意义，同角的余角相等，互为补角，互为余角的意义逐项探索∠α和∠β的关系即可．解：图①中，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，图②中，根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，图③中，∠α＝180°﹣45°＝135°，∠β＝180°﹣45°＝135°，因此∠α＝∠β，图④中，∠α+∠β＝180°，所以∠α与∠β相等的有②③，∠α与∠β互补的有④，故答案为：②③，④．20．如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为12或30．【分析】根据角平分线定义列出方程即可求解．解：∵∠BOC＝60°且OQ所在直线恰好平分∠BOC，∴∠BOQ＝∠BOC＝30°或∠BOQ＝180°+30°＝210°，∴10t＝30+90或10t＝90+210，解得t＝12或30．故答案为：12或30．三、解答题（本大题共52分，第21题22题中每小题8分，共16分，第23题5分，第24题5分，第25题6分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）21．计算：（1）7﹣（﹣6）+5×（﹣3）；（2）8+（﹣3）2×（﹣）÷|﹣2|．【分析】（1）根据有理数的乘法和加减法可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题．解：（1）7﹣（﹣6）+5×（﹣3）＝7+6+（﹣15）＝13+（﹣15）＝﹣2；（2）8+（﹣3）2×（﹣）÷|﹣2|＝8+9×（﹣）×＝8+（﹣6）＝2．22．解下列方程（组）：（1）3x﹣2＝6﹣x；（2）．【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．解：（1）移项得：3x+x＝6+2，合并得：4x＝8，解得：x＝2；（2）方程组整理得：，①+②×2得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：2﹣4y＝2，移项合并得：﹣4y＝0，解得：y＝0，则方程组的解为．23．已知a﹣2b+1＝0，求代数式5（2ab2﹣4a+b）﹣2（5ab2﹣9a）﹣b的值．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解：原式＝10ab2﹣20a+5b﹣10ab2+18a﹣b＝﹣2a+4b＝﹣2（a﹣2b），因为a﹣2b+1＝0，所以a﹣2b＝﹣1，则原式＝﹣2×（﹣1）＝2．24．如图，已知点A、B、O、M，请按下列要求作图并解答．（1）连接AB；（2）画射线OM；（3）在射线OM上取点C，使得OC＝2AB（尺规作图，保留作图痕迹）；（4）在图中确定一点P，使点P到A、B、O、C四个点的距离和最短，请写出作图依据．【分析】（1）（2）（3）根据几何语言画出对应的几何图形；（3）利用两点之间线段最短，连接OA、BC，它们的交点P使点P到A、B、O、C四个点的距离和最短，解：（1）如图，AB为所作；（2）如图，射线OM为所作；（3）如图，点C为所作；（4）如图，点P为所作，作图依据为：两点之间线段最短．25．列方程解应用题《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm；（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球、小球各多少个？（3）若放入一个钢珠可以使液面上升k厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到41厘米，则k的整数值为13，3，1．（球和钢珠完全在水面以下）【分析】（1）设放入一个小球使面升高x厘米，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设放入大球m个，小球n个，根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到结果；（3）设在玻璃桶内同时放入z个小球和钢珠时，水面上升到41厘米，根据题意列出关系式，即可确定出k的整数解．解：（1）设放入一个小球水面升高x厘米，由图形得：3x＝32﹣26，解得：x＝2，设放入一个大球水面升高y厘米，由图形得：2y＝32﹣26，解得：y＝3．故放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm．故答案为：2，3；（2）设放入大球m个，则小球（10﹣m）个，根据题意得：3m+2（10﹣m）＝52﹣26，解得：m＝6，则10﹣m＝10﹣6＝4．答：应放入大球6个，小球4个；（3）设在玻璃桶内同时放入z个小球和钢珠时，水面上升到41厘米，根据题意得：zk+2z＝41﹣26，解得：k＝，当z＝1时，k＝13；当z＝3时，k＝3；当z＝5时，k＝1．故k的整数值为13，3，1．故答案为：13，3，1．26．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝3AB，延长线段BC至点D，使CD ＝2AB，点M、N分别是线段AB、CD的中点．（1）若AD＝12，求线段MN的长．（2）若MN＝a，请直接写出线段AD的长．【分析】（1）先根据已知求出AB＝2，再根据中点的性质和线段的和的运算求MN即可；（2）先根据中点的性质和线段和的运算求出AB＝m，再根据线段和的运算求AD即可．解：（1）如图所示：∵BC＝3AB，CD＝2AB，∴AD＝AB+BC+CD＝AB+3AB+2AB＝6AB＝12，∴AB＝2，BC＝6，CD＝4，∵M、N分别是线段AB、CD的中点，∴MB＝AB＝1，CN＝CD＝×4＝2，∴MN＝MB+BC+CN＝1+6+2＝9；（2）∵MN＝MB+BC+CN＝AB+3AB+AB＝AB＝m，∴AB＝m，∴AD＝6AB＝6×m＝m．27．如图1，在平面内，已知点O在直线AB上，射线OC、OE均在直线AB的上方，∠AOC ＝α（0°＜α＜30°），∠COE＝2α，OD平分∠COE，∠DOF与∠AOC互余．（1）若∠AOE：∠BOE＝1：5，则∠α＝10°；（2）当OF在∠BOC内部时，①若α＝20°，请在图2中补全图形，求∠EOF的度数；②判断射线OF是否平分∠BOD，并说明理由；（3）若∠EOF＝4∠AOC，请直接写出α的值．【分析】（1）根据平角的定义，结合已知条件即可求解；（2）①根据∠DOF与∠AOC互余，求出∠DOF，即可得出求解∠EOF；②通过角之间的关系得到∠DOF＝∠BOF，从而判断出OF平分∠BOD；（3）根据∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF＝180°，即可得出α的值．解：（1）∵AB为直线，∴∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE：∠BOE＝1：5，∴∠AOE＝180°×＝30°，∵∠AOC＝α，∠COE＝2α，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝3α＝30°，∴α＝10°；故答案为：10．（2①∵α＝20°，∠DOF+∠AOC＝90°，∴∠DOF＝90°﹣α＝70°，∵∠COE＝2α，OD平分∠COE，∴∠DOE＝α＝20°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠DOE＝70°﹣20°＝50°，②∠DOF＝90°﹣α，∴∠BOF＝180°﹣∠AOC﹣∠COD﹣∠DOF＝180°﹣α﹣α﹣（90°﹣α）＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α；∴∠DOF＝∠BOF；∴0F平分∠BOD；（3）∠EOF＝4∠AOC＝4α，OD平分∠COE且∠COE＝2α，则∠DOE＝∠COD＝2α，∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝5α＝∠BOF．∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF＝α+α+5α+5α＝180°，∴12α＝180°，∴α＝15°．28．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为﹣1、3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．（1）如图1，a＝﹣1．①若c＝2，点D、E、F在数轴上分别表示数﹣3、5、7，在这三个点中，点E是点A、C的双倍绝对点；②若|a﹣c|＝2，则b＝﹣5或3；（2）若a＝3，|b﹣c|＝5，则c的最小值为﹣2；（3）线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数﹣4、﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A、C同时沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．【分析】（1）①根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解；②根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解；（2）由已知条件结合新定义可得|3﹣b|＝2|3﹣c|，再分两种情况：①当c＝b+5时，②当c＝b﹣5时，列算式计算比较可求解；（3）可分两种情况：①当PQ在AC左端时，Q点最有可能先成为A，C的双倍绝对点；②当PQ在AC右端时，P点最有可能最先成为A，C的双倍绝对点，根据双倍绝对点的定义列式计算可求解．解：（1）①∵a＝﹣1，c＝2，∴|﹣1﹣b|＝2|﹣1﹣2|，解得b＝5或﹣7，∴点E是点A，C的双倍绝对点，故答案为E；②∵a＝﹣1，|a﹣c|＝2，∴|﹣1﹣b|＝2×2，解得b＝﹣5或3，故答案为﹣5或3；（2）∵|b﹣c|＝5，∴c＝b+5或c＝b﹣5，∵a＝3，∴|3﹣b|＝2|3﹣c|，①当c＝b+5时，|3﹣b|＝2|3﹣b﹣5|，解得b＝﹣7或，∴c＝﹣2或；②当c＝b﹣5时，|3﹣b|＝2|3﹣b+5|，解得b＝13或，∴c＝8或，综上，c最小值为﹣2，故答案为﹣2；（3）①当PQ在A左端时，Q点最有可能先成为A，C的双倍绝对点，由题意得|t+3﹣3t+2|＝4，解得t＝或（舍去），∴t≥；由题意得|t+3﹣3t+4|＝4，解得t＝或（舍去），∴t≤，综上，t的取值范围为≤t≤．②当PQ在A右端时，P点最有可能最先成为A，C的双倍绝对点，同法可得，满足条件的t的值为≤t≤，综上所述．满足条件的t的值为：≤t≤或≤t≤．。

2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第9讲双曲线(核心考点讲与练)练习

第9讲双曲线(核心考点讲与练)1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支．2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b bc a >>=-．② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b bc a >>=-．3、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长；b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长；c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距．（2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称．（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈．（4）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线．①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y 关于x 的直线即可．例如在()222210,0x y a b a b-=>>中，求渐近线即解：22220x y a b -=，变形为 b y x a =±，所以by x a=±即为双曲线的渐近线． ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线．③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c的关系．（5）通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，22b PQ a=（6）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122cot 2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）考点一：双曲线及其标准方程例1．（2021·上海浦东新·一模）若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A ．B ．CD 例2．（2022·上海·高三专题练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数）A B ．CD 3例3．（2022·上海市延安中学高二期末）若方程)()(221251k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为___________.例4．（2021·上海长宁·一模）已知双曲线22:16y M x -=的左，右焦点为12F F 、，过1F 的直线l 与双曲线M 的左、右支分别交于点AB 、.若2ABF 为等边三角形，则2ABF 的边长为____________例5．（2021·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______.例6．（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线Г：222x y -=的左､右焦点，点D 为线段1F O 的中点，直线MN 过点2F 且与双曲线右支交于()()1122,,,M x y N x y 两点，延长MD ､ND ，分别与双曲线Г交于P ､Q 两点.（1）已知点M ，求点D 到直线MN 的距离；（2）求证：()1221212x y x y y y -=-；（3）若直线MN ､PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1､k 2.试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理由.例7．（2021·上海青浦·高二期末）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M 到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求道路M-N-P的曲线方程；（2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？例8．（2021·上海·位育中学高二期中）已知点1F 、2F ，为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为1P 、2P ，求证：12PP PP ⋅为定值．考点二：双曲线的简单几何性质例1．（2021·上海静安·一模）已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A ，两条渐近线与以A 为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是___________．例2．（2022·上海市延安中学高二期末）若双曲线的离心率为2，则此双曲线两条渐近线的夹角的大小为___________.例3．（2021·上海奉贤·一模）已知曲线22116x y a +=的焦距是10，曲线上的点P 到一个焦点的距离是2，则点P 到另一个焦点的距离为__________.例4．（2022·上海·复旦附中高二期末）过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________.例5．（2022·上海市延安中学高二期末）已知两点13,2A ⎛⎫-⎪ ⎭⎝､15,2B ⎛⎫⎪ ⎭⎝，给出下列4个曲线方程：①4210x y +-=；②229x y +=；③22114436y x +=；④22114436y x -=.则曲线上存在点P 满足AP BP =的曲线方程是___________（写出所有满足条件的曲线的序号）例6．（2021·上海松江·一模）2222Γ:1(0,0).2x y a b y x a b -=>>=±已知双曲线的焦距为渐近线方程为（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m R ∈，直线y kx m =+与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围；（3）若过点()1,0的直线l 与双曲线Γ交于M N ､两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.例7．（2022·上海交大附中高二期末）已知函数()10y x x=≠的图像为曲线C ，点1F 、(2F .（1）设点()00,P x y 为曲线C 上在第一象限内的任意一点，求线段1PF 的长（用0x 表示）；（2）设点Q 为曲线C 上任意一点，求证：12QF QF -为常数；（3）由（2）可知，曲线C 为双曲线，请研究双曲线C 的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.例8．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点(P，它的两条渐近线分别为0x-=.x=和0（1）求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C的左､右焦点分别为1F､2F，过左焦点1F作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求△ABF2周长的取值范围.D例9．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，(1,0)是它的一个顶点.(1,2)d =是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C 的方程；（2）设(0,1)P ，M 为双曲线右支上动点，当|PM |取得最小时，求四边形ODMP 的面积；（3）若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值.一、单选题1．（2021·上海市长征中学高二期中）双曲线221x y -=右支上一点P (a ，b )到直线y x =，则a +b 的值是（） A ．12-B ．12C ．12-或12D ．2或122．（2021·上海市长征中学高二期中）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上，则该双曲线的焦距与实轴比值的取值范围为（）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．3．（2021·上海徐汇·一模）已知曲线||||:143x x y y C +=-，对于命题：①垂直于x 轴的直线与曲线C 有且只有一个交点；②若 ()()111222,,,P x y P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x -<-，下列判断正确的是（） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题4．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）已知F 1、F 2分别是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点00(,)A x y 是双曲线所在平面内的一个定点，点P 是该双曲线上的动点，关于1||||PF PA +的最小值，有下列命题∶ ①使得1||||PF PA +取最小值的点P 有且仅有一个∶②当x 0> 0时，1||||PF PA + 的最小值为1||AF ∶ . ③当x 0<0时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a -∶④当22002201x y a b<-<且00x >时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a +；⑤当2200221x y a b->且x 0<0时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a -.其中真命题的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2021·上海·高三专题练习）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛⎫⎪⎝⎭D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．（2021·上海普陀·一模）设点12F F ､是双曲线22:14x C y -=的左､右两焦点，点M 是C 的右支上的任意一点，若2210F M F F ⋅>，则12MF MF +的值可能是（）A ．4B ．C ．5D ．二、填空题7．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知方程2212x y a a+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则a 的取值范围是__________.8．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合，则=a ___________.9．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线221x y m-=的一个焦点为(2,0)F ，则实数m =__________．10．（2021·上海市建平中学高三期中）双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为___________11．（2021·上海杨浦·一模）若双曲线221y x m-=的渐近线方程为2y x =±，则实数m =___________.12．（2021·上海市长征中学高二期中）已知双曲线 22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =______________13．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的渐近线方程为320x y ±=，且c =则双曲线的方程为___________.14．（2021·上海·曹杨二中高三期中）若双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则b =___________.15．（2021·上海·格致中学高三阶段练习）双曲线22154x y -=的焦点到渐近线的距离等于___________.16．（2021·上海金山·一模）设P 为直线2y x =上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线2214x y -=的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为___________17．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）若将方程6=化简为22221x y a b-=的形式，则22a b -=___________.18．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）已知点()0,0O ，()2,0A -，()2,0B .设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =OP =_____.19．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为____________.20．（2021·上海浦东新·一模）已知实数,x y 满足14x xy y +=，则24x y +-的取值范围是___________. 三、解答题21．（2021·上海市建平中学高二期中）已知双曲线2222:1x y a bΓ-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点P （如图）．（1）若(1,2)d =是双曲线的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程；（2）若||1PA =，||5PB =，||2PC =，||6PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且12||4A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：是否存在定点T ，使得TM TN ⊥恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．22．（2021·上海市长征中学高二期中）点()()000,P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15．（1）求ba的值；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上的一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．23．（2021·上海奉贤·一模）第一象限内的点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，双曲线的左､右焦点分别记为12F F ､，已知1212,2,PF PF PF PF O ⊥=为坐标原点. （1）求证：2b a =；（2）若2OF P △的面积为2，求点P 的坐标.24．（2021·上海市向明中学高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=.（1）写出过双曲线C 的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；（2）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点.若||MF =M 点的坐标；（3）设斜率为(||k k <的直线2l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥.。

2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ，，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ，，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)

2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =，所以正整数n 为8．故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误；第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误；令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确；故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==，又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ，所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ，连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ．又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<．因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===，所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算；（2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=，乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==，所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习2.1 坐标平面上的直线解析版

专题2.1 坐标平面上的直线【章节复习专项训练】【考点1】：直线的方程例题1．（2020·上海师大附中高二期末）直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2，故选：D .【变式1】（2021·上海市奉贤中学高二期末）如图，平面上过点P (1，2)的直线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴，垂足分别为M ，N .则满足2020PAMPBNS S-=的直线有（）条A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，分别令x =0，y =0，求得点A ，B 的坐标，然后由2020PAMPBNSS-=求解.【详解】因为过点P (1，2)，且斜率存在，设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，令x =0，y =2-k ；令y =0，x =2k k- 2(,0),(0,2)k A B k k-∴-， 2,2,AM PM BN k k∴=-==-，2020PAMPBNSS-=，121()21()202022k k ∴⨯-⨯-⨯⨯-=，即2404040k k --=，0k <，所以k 的取值只有一个，故这样的直线有一条. 故选：B【变式2】（2021·上海高二期末）直线1123x y l -+=:的一个方向向量可以是（） A ．(2，3) B ．(2-，3)C ．(3，2)D ．(3-，2)【答案】A【分析】将直线方程转化为()3112y x +=-，求得斜率即可. 【详解】直线1123x y l -+=:可化为：()3112y x +=-，所以直线的斜率为32k，所以直线的一个方向向量可以是(2,3) 故选：A【变式3】（2020·上海曹杨二中高二期末）已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b < D ．0a <，0b <【答案】A【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得出答案. 【详解】令0x =，则y b =；令0y =，则x a = 所以(0,),(,0)b a 在直线1x ya b+=上因为直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限所以0,0a b >> 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线所过象限求参数范围，属于基础题.例题2．（2020·上海市建平中学高二期末）过点()1,2C ，且与直线20x y --=垂直的直线方程为______. 【答案】30x y +-=【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为所求直线与直线20x y --=垂直，所以所求直线的斜率为1-，因为所求直线过点()1,2C ，所以所求直线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=，故答案为：30x y +-=【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题【变式1】（2020·上海曹杨二中高二期末）过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______. 【答案】270x y --=【分析】根据直线的垂直关系，设出所求直线方程，将()3,2P -代入方程，即可求解. 【详解】所求直线与直线210x y ++=垂直，设该直线方程为20x y c -+=，()3,2P -代入上式方程得7c =-，所以所求的直线方程为270x y --=. 故答案为：270x y --=.【点睛】本题考查直线的位置关系求方程，利用直线的位置关系合理设方程是解题的关键，属于容易题. 【变式2】（2020·上海市控江中学高二期末）经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）已知点()1,2A ,()3,0B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是_____．【答案】10x y --=【分析】先求出AB 的中点M 的坐标,再求出直线AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程. 【详解】解:设M 的坐标为(),x y ，则1322x,2012y,所以()2,1M . 因为直线AB 的斜率为120113k , 所以线段AB 垂直平分线的斜率2111k , 则线段AB 的垂直平分线的方程为112y x 化简得10x y --=. 故答案为：10x y --=【点睛】本题考查求线段AB 的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB 的中点M 的坐标利用A 与B 的坐标求出直线AB 的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率根据M 的坐标和求出的斜率写出AB 的垂直平分线的方程即可.【变式4】（2020·上海高二期末）若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【分析】利用直线l 的点方向式方程即可得出．【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=．故答案为：2365x y -+=．【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式5】（2021·上海市松江二中高二期末）若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________ 【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.【变式6】（2020·上海师大附中高二期末）直线10x y -+= 上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转90°得直线l ，则直线l 的方程是____________．【答案】70x y +-=【详解】(,3,4)P l 的倾斜角为4590135,tan1351k ︒-︒=︒=︒=-，则其方程为43y x -=-+，即70x y +-=. 故答案为：70x y +-=.【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________.【答案】2x -y -3=0【分析】根据题意求出线段AB 的垂直平分线即可求解. 【详解】线段AB 的中点为(2，1)，201042AB k -==--，线段AB 的垂直平分线为：y =2(x -2)+1，即2x -y -3=0 AC =BC ，∴三角形的外心､重心､垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为2x -y -3=0. 故答案为：2x -y -3=0.【变式8】（2020·华东师范大学附属周浦中学高二期末）直线l 经过点(3,5)P -，且(1,2)n =是直线l 的一个法向量，则直线l 的一般式方程是________. 【答案】270x y ++=【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】直线的法向量为(1,2)n =，则直线的方向向量为(2,1)m =-，直线的斜率为12k =- 由点斜式可得：1(5)(3)2y x --=--，即270x y ++= 故答案为：270x y ++=【变式9】（2020·上海市三林中学高二期末）过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线的方程______. 【答案】210x y --=【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于-1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程. 【详解】方法一，直线20x y +=的斜率是-2，则与这条直线垂直的直线方程的斜率是12， ∴过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线方程为()1012y x -=-，即210x y --=；方法二，设与直线20x y +=垂直的直线方程为20x y a -+=，且该垂线过过点()1,0，∴11200a ⨯-⨯+=，解得1a =-，∴这条垂线的直线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目.例题3．（2021·上海高二期末）已知直线l 与直线250x y +-=平行，并且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的一般式方程. 【答案】240x y ++=或240x y +-=【分析】设所求直线方程为()205x y C C ++=≠-，求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于C 的方程，进而可求得直线l 的方程.【详解】由于直线l 与直线250x y +-=平行，设直线l 的方程为()205x y C C ++=≠-，在直线l 的方程中，令0x =，可得y C =-；令0y =，可得2Cx =-. 所以，直线l 交x 轴于点,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，交y 轴于点()0,C -. 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则214224C C C ⨯-⨯-==，解得4C =±. 因此，直线l 的方程为240x y ++=或240x y +-=.【变式1】（2020·上海高二期末）已知直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=. (1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【分析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果．（2）直接利用夹角公式的应用求出结果．【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=．所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ．所以2112tan||141k kk kπ-==+，解得3m=或13-．【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【考点2】：直线的倾斜角和斜率例题1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期末）直线210x y+-=的倾斜角为（）.A．arctan2B．arctan2-C．()arctan2π--D．arctan2π-【答案】D【分析】先根据所给直线的斜率-2，直线的斜率是倾斜角的正切，得到[)tan=20ααπ-∈，，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果.【详解】因为直线210x y+-=的斜率2k=-，所以[)tan=20ααπ-∈，，，所以=arctan2απ-.所以直线210x y+-=的倾斜角为arctan2π-.故选：D【点睛】求斜率的方法：①定义法：()tan90kαα=≠；②两点法求斜率：()212121y yk x xx x-=≠-；③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率.【变式1】（2020·上海高二期末）下图中的直线1l、2l、3l的斜率分别为1k、2k、3k,则（）A．123k k k<<B．312k k k<<C．321k k k<<D．132k k k<<【答案】D【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：10k <,20k >,30k >,且直线3l 的倾斜角小于直线2l 的倾斜角,所以32k k <,综上可知：132k k k <<.故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.【变式2】（2020·上海高二期末）已知l 过定点()4,5的直线的一个方向向量是()2,3d =-，则直线l 的点方向式方程可以为（） A ．()()3425x y -=- B ．45=23x y --- C ．()()34250x y -+-= D ．45=32x y -- 【答案】B【分析】利用直线的点向式方程可以直接得到所求的方程．【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3d =-且经过点()4,5，故直线l 的点向式方程为45=23x y ---．故选：B ．【点睛】本题考查直线的点向式方程，注意点向式方程的标准形式，此题属于基础题．【变式3】．（2021·上海市建平中学高二期末）直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y =x 对称的直线l '的倾斜角不可能为（） A ．θ B ．2θπ- C ．πθ-D ．32πθ- 【答案】C【分析】可分类讨论求出对称直线l '的倾斜角，然后判断．【详解】当[0,]2πθ∈时，直线l '的倾斜角为2θπ-，当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l '的倾斜角为32πθ-，当4πθ=时，直线l '的倾斜角为4πθ=，因此ABD 均可能，只有C 不可能．实际上当直线l '倾斜角为πθ-时，直线l '与直线l 关于和x 轴垂直的直线对称．故选：C ．【变式4】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）若直线0ax by c 的一个法向量()3,1n =-，则该直线的倾斜角为（） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据直线的方程可得直线的法向量，结合题设条件可得,a b 的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.【详解】由直线的方程为0ax by c可得直线的法向量为(),m a b =，故,m n 共线，所以()1b a ⨯-=，即ab-=，设直线的倾斜角为[)()0,θθπ∈，则tan θ=3πθ=.故选：B.例题2．（2020·上海市进才中学高二期末）直线210x y -+=的倾斜角为________．【答案】1arctan2【分析】根据直线方程求出直线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】直线210x y -+=的斜率12k =，所以直线的倾斜角是1arctan 2. 故答案为：1arctan2. 【变式1】（2020·上海高二期末）直线40x my 的倾斜角为4π,则m 的值是_____．【答案】1【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得m 值. 【详解】解：直线40x my 的倾斜角为4π. 所以该直线的斜率为tan 14π=,所以11m=,解得：1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.【变式2】（2020·上海市七宝中学）直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】0,【分析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度. 范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出．【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭，则l 的斜率tan [1θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式4】（2020·上海复旦附中高二期末）一个方向向量为(1,3d =的直线的倾斜角的大小是__________．【答案】60︒【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为(1,3d =，所以直线的斜率为k = 所以直线的倾斜角的大小是60︒. 故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【变式5】（2020·上海市金山中学高二期末）直线l ：4y =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π；【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan θ=. 【详解】解：设直线的倾斜角为θ，由直线l 的方程为：4y =+可得tan θ= 又[)0,θπ∈，所以3πθ=，故答案为：3π.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.【变式6】（2021·上海市松江二中高二期末）若直线l 的参数方程是2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，则l 的斜率为________．【答案】-2【分析】把参数方程消参化为斜截式方程即可求出斜率．【详解】由2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，消去参数t 可得23y x =-+，所以直线的斜率2k =- 故答案为2-【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的互化，属于基础题．【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 【答案】arctan 2π-【分析】根据斜率公式tan k α=化简即可.【详解】解：由题意得tan 2,arctan 2k ααπ==-∴=- 故答案为：arctan 2π-.【变式8】（2021·上海高二期末）直线1:10l x y +-=与直线2:20l x y -+=夹角的大小为___________. 【答案】2π 【分析】根据直线方程求得两直线的斜率，进而可求得倾斜角，即可求得答案.【详解】直线1:10l x y +-=的斜率为-1，因为倾斜角[0,)απ∈，即tan 1α=-，所以1l 的倾斜角为34π，同理直线2:20l x y -+=的斜率为1，所以2l 的倾斜角为4π，所以直线1l 与2l 的夹角为3442πππ-=. 故答案为：2π 【变式9】（2021·上海曹杨二中高二期末）若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-，故方向向量的横纵坐标之比为1-，故d 可以是()1,1-，故答案为：()1,1-.【变式10】（2020·上海曹杨二中高二期末）设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(][),14,-∞-+∞【分析】画出图象求出定点与A 、B 两点连线的斜率，即可求出实数k 的取值范围．【详解】解：直线2y kx =-恒过定点()0,2-，由题意平面内两点()1,2A ，()3,1B -，直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，如图求出定点与A 、B 两点连线的斜率，()122410k --==-．()212130k --==---，所以直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是(][),14,-∞-+∞，故答案为：(][),14,-∞-+∞【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力．【变式11】（2020·上海高二期末）已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式12】（2020·上海高二期末）直线210x y +-=的倾斜角为________．【答案】arctan 2π-【分析】先求直线210x y +-=的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可. 【详解】直线210x y +-=的斜率为2k =-,设倾斜角为α,所以tan 2α,则arctan 2απ-= 故答案为：arctan 2π-【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力．【变式13】（2020·上海市控江中学高二期末）若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25，则实数k 的值为_____.【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos 5β=，sin 5β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 【变式14】．（2020·上海交大附中高二期末）直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.例3．（2019·上海高二期末）已经直线:1l y kx =-与两点()()1,5,4,2.A B - （1）若l 与直线AB 平行，求它们之间的距离以及l 的倾斜角；（2）若l 与线段AB 无公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）d =；3arctan 5θπ=-；（2）36,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由两点连线斜率公式可求得AB k ，即k ，从而得到直线l 方程及tan θ、直线AB 方程；根据反三角函数可求得倾斜角θ，利用平行直线间距离公式可求得所求距离d ；（2）首先确定直线恒过定点()0,1C -，可知临界状态为,AC BC ，利用两点连线斜率公式求得,AC AB k k ，可知(),AC AB k k k ∈，从而得到结果. 【详解】（1）由,A B 坐标可得：523145AB k -==--- ∴直线AB 方程为：()3245y x -=--，即35220x y +-= l 与直线AB 平行 35AB k k ∴==- 3:15l y x ∴=--，即3550x y ++=设直线l 倾斜角为θ 3tan 5θ∴=- 3arctan 5θπ∴=-直线l 与直线AB之间距离34d ==（2）由题意知，直线l 恒过点()0,1C -51610AC k +∴==---，213404BC k +==- l 与线段AB 无公共点 (),AC AB k k k ∴∈，即36,4k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题是对直线部分知识的综合考查，涉及到直线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行的位置关系的应用、平行直线间距离公式、根据直线与线段交点情况求解斜率范围的问题，属于基础题. 【考点3】：两条直线的位置关系例题1．（2020·上海高二期末）直线210x y ++=与直线36100x y 的位置关系是（） A ．相交 B ．重合C ．平行D ．垂直【答案】C【分析】根据直线的一般方程满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【详解】解: 直线210x y ++=与直线36100x y ,满足1213610, 故直线210x y ++=与直线36100x y 平行. 故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【变式1】．（2020·上海市金山中学高二期末）已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”；由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”，即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 【变式2】．（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【详解】解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=，当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件；当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a aa a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．例题2．（2021·上海闵行中学高二期末）过点()3,5与直线y x m =+垂直的直线方程是___________. 【答案】80x y +-=【分析】设与y x m =+垂直的直线方程为y x n =-+，利用过的点，求出n 即可. 【详解】设所求直线为y x n =-+ 过点()3,5，故8n = 直线方程为80x y +-= 故答案为：80x y +-=【变式1】．（2021·上海位育中学高二期末）已知直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，则a =________ 【答案】25【分析】利用两条直线垂直的等价条件可得()3210a a +-=，解方程即可求a 的值. 【详解】因为直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，所以()3210a a +-=，解得：25a =，故答案为：25.【变式2】．（2021·上海市进才中学高二期末）若直线1:210l ax y ++=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则a 的值为_________. 【答案】23-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算. 【详解】因为12l l ⊥，所以2(1)0a a ++=，得23a =-. 故答案为：23-【变式3】．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）已知直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为______. 【答案】arctan 3【分析】求出两直线的斜率，利用相交两直线的夹角公式求解而得. 【详解】直线220x y +-=和10x y -+=的斜率分别为k 1=-2，k 2=1，设直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为(0)2πθθ<≤，而两直线不垂直，由夹角公式得：121221tan ||||311(2)1k k k k θ---===++-⋅，所以arctan 3θ=. 答案为：arctan 3【变式4】．（2020·上海闵行中学高二期末）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay --=，且12l l ⊥，则实数a =_________. 【答案】0【分析】依据两条直线垂直充要条件12120A A B B +=直接计算即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()1100a a a ⨯+-⨯-=⇒= 故答案为：0【变式5】．．（2020·上海高二期末）已知直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则实数m =________．【答案】2-【分析】根据直线互相平行的判定公式得到结果. 【详解】直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则24102m m -⨯=⇒=±，当2m =时，1l 和2l 化简为：1:22l x y +=，2:22l x y +=，此时，1l 与2l 重合，故2m =时不符合题意当2m =-时，1l 和2l 化简为：1:20l x y -=，2:220l x y -+=，此时，1l 与2l 不重合且平行，故2m =-时符合题意故答案为：2-.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.【变式6】．（2020·上海高二期末）直线10x y ++=与直线30x y -+=的夹角大小等于___________. 【答案】2π【分析】算出两条直线的斜率，根据它们的乘积为1-可得它们的夹角．【详解】设两条直线的夹角为θ，直线10x y ++=的斜率为11k =-，直线30x y -+=的斜率为21k =，因为121k k =-，所以两条直线垂直，所以2πθ=．故答案为：2π．【点睛】本题考查直线的夹角，注意先判断它们是否垂直，如果不垂直，则利用夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+来计算，本题属于容易题．【变式7】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）已知直线1:220++=l x ay 与直线2:(1)310l a x y -++=平行，则实数a 的值为__________ 【答案】2-或3【分析】根据两直线平行，直接列式求解. 【详解】12//l l ，22131a a ∴=≠-，解得：2a =-或3a =. 故答案为：2-或3【变式8】．（2020·上海高二期末）直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________. 【答案】90︒【分析】先利用斜率之积为1-，判定两直线垂直，即可得解.【详解】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知，两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为1-，从而判定两直线是否垂直是关键点.【变式9】．（2020·上海格致中学高二期末）若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________. 【答案】32【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题.【变式10】．（2020·上海高二期末）已知直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，若12l l ⊥，则实数a =_________.【答案】0或12- 【分析】若直线1l ：1110A x B y C ++=与直线2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=，代入数据计算即得. 【详解】直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，且12l l ⊥，()()1+210a a a ∴⨯-⨯+=,即220a a +=，解得0a =或12a =-. 故答案为：0a =或12a =-. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.【变式11】．（2020·上海市三林中学高二期末）已知直线1l ：()6180x t y +--=，直线2l ：()()46160t x t y +++-=，若1l 与2l 平行，则t =______.【答案】-5【分析】由平行关系可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程验证排除重合可得.【详解】由题意可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程可得5t =-或8t =，经验证8t =时直线重合，应舍去故当5t =-时，两直线平行.故答案为：-5.【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.【变式12】．（2021·上海市奉贤中学高二期末）已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____．【答案】3或5【分析】由两直线平行得出()()()23243k k k --=--，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】直线()()1:3410l k x k x y -+-++=与()2:23230l k x y --+=平行，()()()23243k k k ∴--=--，整理得()()350k k --=，解得3k =或5.当3k =时，直线1:10l y +=，23:02l y -=，两直线平行；当5k =时，直线1:210l x y -+=，23:202l x y -+=，两直线平行. 因此，3k =或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.例题3．（2020·上海高二期末）已知二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解，求k 的值：【答案】32k 【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解, 则()322k x y k --=与()32120x k y k ++++=平行, 由3223212k k k k ---=≠++，解得：32k ．经过验证满足题意． 32k ∴=时方程组无解．【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.【考点4】：点到直线的距离例题1．（2020·上海市七宝中学）直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【分析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++=∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-，得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++=【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．【变式1】．（2020·上海高二期末）若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为______________.【分析】线段OP 的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：原点到直线的距离d==故||OP【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．【变式2】．（2020·上海高二期末）已知点()4,1P,点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点P与点Q距离的最小值为_____．【分析】先将212x y=转化为直线220x y--=,再求点P到直线220x y--=的距离即可.【详解】解: 点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点Q在直线220x y--=上,则点P与点Q距离的最小值即为点P到直线220x y--=的距离:d===故点P与点Q故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式的运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.【变式3】．（2019·上海市进才中学高二期末）圆22240x y x y+-+=的圆心到直线3450x y+-=的距离等于________。

2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷

2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ．2.（填空题，3分）关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) ，则此方程组的解x+y=___ ．3.（填空题，3分）设 a ⃗=(32，sinα) ， b ⃗⃗=(cosα，13) ，且 a ⃗ || b ⃗⃗ ，则cos2α=___ ． 4.（填空题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 ，则a=___ ．5.（填空题，3分）已知平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 ，| b ⃗⃗ |=2， a ⃗•b ⃗⃗ =-3，则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ．6.（填空题，3分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…，S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12．希望证明S n =n(2n 2+1)3，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k 到k+1应添的项是___ ．（不用化简）7.（填空题，3分）已知 a ⃗ + b ⃗⃗ + c ⃗ = 0⃗⃗ ，且| a ⃗ |=3，| b ⃗⃗ |=4，| c ⃗ |=5，则 a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ =___ ， a ⃗ • b⃗⃗ =___ ． 8.（填空题，3分）若数列{a n }为无穷等比数列，且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2，则a 1的取值范围是___ ．9.（填空题，3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 10.（填空题，3分）已知向量 a ⃗ =（5，5）， b ⃗⃗ =（λ，1），若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为___ ．11.（填空题，3分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且OA=2，OC=4，AC=5，则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．12.（填空题，3分）已知平面直角坐标系内定点A （1，1），动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，动点C 满足| CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ．13.（单选题，3分）要得到函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象，只需将函数y=3sin2x 的图象（）A.向左平移 π3个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 π6 个单位长度 D.向右平移 π6 个单位长度14.（单选题，3分）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ，λ∈[0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心15.（单选题，3分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个16.（单选题，3分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（） A.6 B. 83 C. 127 D.417.（问答题，0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 ，并对解的情况进行讨论．18.（问答题，0分）已知x∈R ，设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx ，sinx-cosx ）， n ⃗⃗ =（2sinx ，sinx+cosx ），记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值，并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （C ）=2，c=2 √3 ，求△ABC 的面积S 的最大值．19.（问答题，0分）已知△ABC 内接于⊙O ，AB=c ，BC=a ，CA=b ，⊙O 的半径为r ．（1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，试求∠BOC 的大小；（2）若A 为动点，∠BAC=60°， AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试求λ+μ的最大值．20.（问答题，4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2= n (n+1)(2n+1)6，其中n∈N*．（1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2，其中n∈N*，求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 ，求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以 an为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，等于这些内接矩形面积之和．a n×k×（ a n）2 +a n×k×（ 2a n）2 +a n×k×（ 3a n）2+…+ a n×k×（ n−1na ）2，当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n ）2+k•（ 2n ）2+k•（ 3n ）2+…+k•（n−1n ）2]2• a n= n→∞ 12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2=x．抛物线y= √x、x轴及直线AB：x=4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21.（问答题，0分）设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n=3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任）n-1+3n-3成立．意的n∈N*，都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ．【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得结果．【解答】：解：arcsin （sin 5π6 ）=arcsin 12 = π6 ，故答案为： π6 ．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．2.（填空题，3分）关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) ，则此方程组的解x+y=___ ．【正确答案】：[1] 307【解析】：推导出 {2x +y =63x −2y =0 ，由此能求出x+y 的值．【解答】：解：∵关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) ，∴ {2x +y =63x −2y =0 ，解得 {x =127y =187 ， ∴x+y= 307．故答案为： 307 ．【点评】：本题考查方程的解求法，考查增广矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，3分）设 a ⃗=(32，sinα) ， b ⃗⃗=(cosα，13) ，且 a ⃗ || b ⃗⃗ ，则cos2α=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值，再求cos2α的值．【解答】：解：由 a ⃗=(32，sinα) ， b ⃗⃗=(cosα，13) ，且 a ⃗ || b ⃗⃗ ，则sinαcosα- 32 × 13 =0，所以sinαcosα= 12 ，所以sin2α=1；所以2α= π2 +2kπ，k∈Z ；所以cos2α=0．故选：0．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题． 4.（填空题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 ，则a=___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：由题意化简函数f （x ），将函数的对称轴代入可得辅助角的值，进而求出正切值，可得a 的值．【解答】：解：由题意显然a≠0，当a ＞0时，f （x ）= √a 2+1 sin （x+α），且tanα= 1a ，因为函数的一条对称轴为x= π3，所以 π3+α= π2+kπ，k∈Z ，所以α= π6+kπ，k∈Z ，则tanα=tan （ π6+kπ）= √33，所以 √33= 1a，解得：a= √3 ；当a ＜0，则f （x ）=- √a 2+1 sin （x+α），且tanα= 1a ，下面运算相同，综上所述，可得a= √3 ，故答案为： √3 ．【点评】：本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质，属于基础题．5.（填空题，3分）已知平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 ，| b ⃗⃗ |=2， a ⃗•b ⃗⃗ =-3，则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] √7【解析】：求出（a⃗+2b⃗⃗）2，开方即为| a⃗+2b⃗⃗ |．【解答】：解：（a⃗+2b⃗⃗）2= a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 =3-12+16=7，∴| a⃗+2b⃗⃗ |= √7．故答案为：√7．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6.（填空题，3分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，，在应用数学归纳法求证上式时，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n= n(2n2+1)3第二步从k到k+1应添的项是___ ．（不用化简）【正确答案】：[1]（k+1）2+k2【解析】：分别写出n=k与n=k+1时S n中的项，然后确定从k到k+1应添的项．【解答】：解：当n=k时，S n=12+22+32+…+k2+…+32+22+12，那么，当n=k+1时，S k+1=12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2，故答案为：（k+1）2+k2．【点评】：本题考查数学归纳法证题的步骤，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗，且| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=4，| c⃗ |=5，则a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗=___ ，a⃗• b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-25; [2]0【解析】：首先，根据a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗得到c⃗=−(a⃗+b⃗⃗)，然后，根据| c⃗ |=5，求解a⃗•b⃗⃗=0，然后，再求解a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗的值．【解答】：解：∵ a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗，∴ c⃗=−(a⃗+b⃗⃗)，∵| c⃗ |=5，∴（a⃗+b⃗⃗）2=25，∴| a⃗|2+2a⃗•b⃗⃗+|b⃗⃗|2 =25，∵| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=4，∴9+2 a⃗•b⃗⃗ +16=25，a ⃗•b⃗⃗=0 ， ∴ a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ = a ⃗ • b ⃗⃗ + c ⃗ •（ a ⃗ + b ⃗⃗ ） = a ⃗•b ⃗⃗ -（ a ⃗+b ⃗⃗ ）2 =0-25=-25．故答案为：-25；0．【点评】：本题重点考查了平面向量的基本运算，数量积的运算性质等知识，属于中档题． 8.（填空题，3分）若数列{a n }为无穷等比数列，且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2，则a 1的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-4，-2）∪（-2，0）【解析】：设公比为q ，由题意可得0＜|q|＜1，且 a11−q =-2，解不等式可得所求范围．【解答】：解：数列{a n }为无穷等比数列，且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2，设公比为q ，可得0＜|q|＜1，且a 11−q=-2，则q=1+ a12 ，由0＜|1+ a12 |＜1，解得-4＜a 1＜-2或-2＜a 1＜0，故答案为：（-4，-2）∪（-2，0）．【点评】：本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 9.（填空题，3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n }是公比为q 的等比数列， ∴ |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =a 1a 5a 9+a 4a 8a 3+a 2a 6a 7-a 7a 5a 3-a 8a 6a 1-a 4a 2a 9 = a 13q 12 + a 13q 12 + a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 =0．故答案为：0．【点评】：本题考查三阶行列式的值的求法，考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.（填空题，3分）已知向量 a ⃗ =（5，5）， b ⃗⃗ =（λ，1），若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-7，1）∪（1，7）【解析】：可先求出 a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) ，根据题意即可得出 {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0，然后解出λ的值即可．【解答】：解： a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) ， ∵ a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 的夹角是锐角， ∴ (a ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)＞0 ，且 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 不共线， ∴ {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0 ，解得-7＜λ＜7且λ≠1，∴实数λ的取值范围为（-7，1）∪（1，7）．故答案为：（-7，1）∪（1，7）．【点评】：本题考查了向量坐标的加法和减法运算，向量数量积的计算公式，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．11.（填空题，3分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且OA=2，OC=4，AC=5，则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]- 52【解析】：建立坐标系，设O （m ，n ），C （a ，b ），根据条件得出O ，C 的坐标之间的关系，再计算 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设O （m ，n ），B （a ，0），D （0，b ），则C （a ，b ）， ∵OA=2，OC=4，AC=5，∴ {a 2+b 2=25m 2+n 2=4(m −a )2+(n −b )2=16 ，整理可得：am+bn= 132 ．又 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-m ，-n ）， OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-m ，b-n ）， ∴ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m （m-a ）+n （n-b ）=m 2+n 2-（am+bn ）=4- 132 =- 52 ．故答案为：- 52 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12.（填空题，3分）已知平面直角坐标系内定点A （1，1），动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ．【正确答案】：[1]24π【解析】：本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】：解：因为动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆，又因为动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆，当B 点在圆上运动时，C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π-12π=24π．【点评】：本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成一整个圆，属于中档题．13.（单选题，3分）要得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象，只需将函数y=3sin2x的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度【正确答案】：C【解析】：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6），故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位即可实现目标．【解答】：解：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6），故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位，即可得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象．故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，属于中档题．14.（单选题，3分）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ，λ∈[0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【正确答案】：B【解析】：先根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，确定 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BAC 的角平分线一致，再由OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 可得到 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|），可得答案．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BAC 的角平分线一致又∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ，∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|） ∴向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心故选：B ．【点评】：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15.（单选题，3分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【正确答案】：B【解析】：根据等差数列的性质，可推得a 100=0，进而可得数列{a n }为递增数列，a 99＜0，a 101＞0，根据题意，b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当n≤97时，b n ＜0；当n=98，n=99，n=100时，b n =0；当n≥101时，b n ＞0．所以{b n }的前n 项和S n 最小时，n=97或n=98或n=99或n=100，共4个．【解答】：解：∵数列{a n }为等差数列 ∴a 1+a 199=a 2+a 198=…=a 99+a 101=2a 100，又∵a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，即199a 100=0， ∴a 100=0．又∵a 1＜0，∴数列{a n }为递增数列， ∴a 99＜0，a 101＞0， ∵b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），∴{b n }的前n 项和S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2，当n≤97时，b n ＜0，当n=98，n=99，n=100时，b n =0，当n≥101时，b n ＞0，∴{b n }的前n 项和S n 最小时，n=97或n=98或n=99或n=100，共4个．故选：B ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质，考查数列的前n 项和的最值，考查学生运算和推理的能力，属于中档题．16.（单选题，3分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（） A.6 B. 83 C. 127 D.4【正确答案】：D【解析】：先设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，于是得到点O 是△A 1B 1C 1的重心，则 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k ，再结合三角形面积公式即可求出△ABC 的面积与△BOC 的面积，进而得到答案．【解答】：解：不妨设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图所示，根据题意则 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ，即点O 是△A 1B 1C 1的重心，所以有 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k ，又因为 S △OBCS△OB 1C 1=OB•OCOB1•OC 1=121 ， S △OABS△OA 1B 1=OA•OB OA1•OB 1=114 ， S △OACS△OA 1C 1=OA•OC OA1•OC 1=16 ，那么 S △OBC =121k ， S △OAB =114k ， S △OAC =16k ， S △ABC =S △OAB +S △OAC −S △OBC =(114+16−121)k =421k ，故△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为 421k 121k =4 ．故选：D ．【点评】：本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．17.（问答题，0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 ，并对解的情况进行讨论．【正确答案】：【解析】：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0），解得a ，可得方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0），解得a ，可得方程组无解．（3）若a=2时，方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 ，解出即可判断出结论．．若a-2≠0， a1 ≠ 3a−2 ，解出可得方程组有唯一解．【解答】：解：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0），则a=3，此时两条直线重合，方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0），则a=-1，此时两条直线平行，方程组无解．（3）若a=2时，方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 ，解得 {x =−2y =−13 ．若a-2≠0， a 1≠ 3a−2，则a≠3，-1，2，此时两条直线相交，方程组有唯一解 {x =−a−4a+1y =−1a+1．【点评】：本题考查了方程组的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.（问答题，0分）已知x∈R ，设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx ，sinx-cosx ）， n ⃗⃗ =（2sinx ，sinx+cosx ），记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值，并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （C ）=2，c=2 √3 ，求△ABC 的面积S 的最大值．【正确答案】：【解析】：结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f （x ）=2sin （2x- π6 ）．（1）根据正弦函数的图象可知，当2x- π6 = −π2 +2kπ时，f （x ）可取得最小值．（2）易知C= π3 ，由余弦定理得，cosC= a 2+b 2−c 22ab ，再利用基本不等式的性质可求出ab 的最大值，然后根据S △ABC = 12 absinC 即可得解．【解答】：解：f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ =2 √3 sinxcosx+（sinx-cosx ）（sinx+cosx ）= √3 sin2x-cos2x=2sin （2x- π6 ）．（1）∵x∈R ，∴2x - π6 ∈R ，当2x- π6 = −π2 +2kπ，即x= −π6 +kπ，k∈Z 时，f （x ）min =2×（-1）=-2．故f （x ）的最小值为-2，此时x= −π6 +kπ，k∈Z ．（2）∵f （C ）=2，∴2sin （2C- π6 ）=2，∴2C - π6 = π2 +2π，k∈Z ，即C= π3 +kπ，k∈Z ． ∵C∈（0，π），∴C= π3 ．由余弦定理知，cosC= a 2+b 2−c 22ab ，即 12 = a 2+b 2−122ab ≥ 2ab−122ab ，当且仅当a=b 时，取等号．∴ab≤12，∴S △ABC = 12 absinC≤ 12×12×√32= 3√3 ．故△ABC 的面积S 的最大值为 3√3 ．【点评】：本题考查平面向量与解三角形的综合运用，包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.（问答题，0分）已知△ABC 内接于⊙O ，AB=c ，BC=a ，CA=b ，⊙O 的半径为r ．（1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，试求∠BOC 的大小；（2）若A 为动点，∠BAC=60°， AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试求λ+μ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，得∴- OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，等式两边同时平方，即可求得cos∠BOC=- √32 ，进而求得∠BOC= 56π ．（2）因为⊙O 中，∠BAC=60°，所以∠BOC=120°， AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，等式两边同时平方，可得λ2+μ2=λμ+1，根据均值不等式，即可求得λ+μ≤2．【解答】：解：（1）∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2， ∵AO=OB=OC=r ，∴r 2=4r 2+2•2• √3 r 2•cos∠BOC+3r 2，计算得cos∠BOC=- √32 ，由题，∠BOC∈（0，π）， ∴∠BOC= 56π ．（2）由题，⊙O 中，∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°， AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（ λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2， ∴r 2=λ2r 2+2•λ•μr 2•cos120°+μ2r 2， ∴λ2+μ2=λμ+1，根据题意，可知λ＞0，μ＞0， ∴（λ+μ）2=3λμ+1≤3• (λ+μ)24+1，（当且仅当λ=μ时等式成立），∴（λ+μ）2≤4 ∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想，属于中档题．20.（问答题，4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2=n (n+1)(2n+1)6，其中n∈N*．（1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2，其中n∈N*，求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948，求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以 an 为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，等于这些内接矩形面积之和．a n ×k×（ a n ）2 +a n ×k×（ 2a n ）2 +a n ×k×（ 3a n ）2+…+ an ×k×（ n−1na ）2，当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n）2+k•（ 2n）2+k•（ 3n）2+…+k•（n−1n ）2]2• an= n→∞ 12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y 2=x ．抛物线y= √x 、x 轴及直线AB ：x=4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【正确答案】：【解析】：（1）直接利用关系式的应用求出函数的值．（2）利用合比性质的应用求出n 的值．（2）首先求出被积函数原函数，进一步求出定积分的值．【解答】：解：（1）f （20）=（-59）2+（-56）2+...+（-5）2+（-2）2+12+42+...+（58）2， =12+22+32+...+592-[32+62+92+ (572)=12+22+32+…+592-[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2] =12+22+32+…+592-[9×（12+22+32+…+192）] =59×(59+1)×(2×59+1)6 -9× 19×(19+1)(2×19+1)6=47980；（2） 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 ，由合比性质可知 12+32+⋯+(2n+1)2+22+42+⋯+(2n )222+42+⋯+(2n )2 = 49+4848，所以(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]64×n (n+1)(2n+1)6= 9748，解得n=72，所以自然数n 的值为72．（3）S= ∫√x 40dx = 23x 32|04=163．【点评】：本题考查的知识要点：数列的求和，合比性质，定积分，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21.（问答题，0分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n +a n =3，n∈N*，数列{b n }满足：对于任意的n∈N*，都有a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-1+…+a n b 1=（ 13 ）n-1+3n-3成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列c n =a n b n ，问：数列{c n }中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）将n 换为n-1，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-1+…+a n b 1=（ 13 ）n-1+3n-3中的n 换为n-1，乘以 13 ，相减可得所求通项公式；（3）求得c n =a n b n = 2n−13n−1 ，讨论单调性，假设存在三项c s ，c p ，c r 成等差数列，其中s ，p ，r∈N*，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论．【解答】：解：（1）由2S n +a n =3， ① 得2S n-1+a n-1=3，（n≥2）， ②由 ① - ② 得2a n +a n -a n-1=0，即a n = 13 a n-1（n≥2）．对 ① 取n=1得，a 1=1≠0，所以a n ≠0，所以{a n }为等比数列，首项为1，公比为 13 ，即a n =（ 13）n-1，n∈N*．（2）由a n =（ 13 ）n-1，可得对于任意n∈N*．有b n + 13 b n-1+（ 13 ）2b n-2+…+（ 13 ）n-1b 1=（ 13 ）n-1+3n-3， ③ 则b n-1+ 13 b n-2+（ 13 ）2b n-3+…+（ 13 ）n-2b 1=（ 13 ）n-2+3n-6，n≥2， ④则 13 b n-1+（ 13 ）2b n-2+（ 13 ）3b n-3+…+（ 13 ）n-1b 1=（ 13 ）n-1+n-2，n≥2， ⑤ 由 ③ - ⑤ 得b n =2n-1（n≥2），对 ③ 取n=1得，b 1=1也适合上式，因此b n =2n-1，n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n =a n b n = 2n−13n−1 ，则c n+1-c n =2n+13n - 2n−13n−1 = 4(1−n )3n，所以当n=1时，c n+1=c n ，即c 1=c 2，当n≥2时，c n+1＜c n ，即{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减，故c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞…，假设存在三项c s ，c p ，c r 成等差数列，其中s ，p ，r∈N*，由于c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞…，可不妨设s ＜p ＜r ，则2c p =c s +c r （*），即2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1，因为s ，p ，r∈N*，且s ＜p ＜r ，则s≤p -1且p≥2，由数列{c n }的单调性可知，c s ≥c p-1，即 2s−13s−1 ≥ 2p−33p−2 ，因为c r =+ 2r−13r−1 ，＞0，所以 2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1 ＞ 2p−33p−2 ，即以2(2p−1)3p−1 ＞ 2p−33p−2，化简得p ＜ 72，又p≥2且p∈N*，所以p=2或p=3，当p=2时，s=1，即c 1=c 2=1，由r≥3时，c r ＜c 2=1，此时c 1，c 2，c r 不构成等差数列，不合题意．当p=3时，由题意s=1或s=2，即c s =1，又c p =c 3= 59 ，代入（*）式得c r = 19 ．因为数列{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减，且c 5= 19 ， r≥4，所以r=5．综上所述，数列{c n }中存在三项c 1，c 3，c 5或c 2，c 3，c 5构成等差数列．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2023-2024学年上海市宝山区上海交大附中高三上学期期末考试数学试卷含详解

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期高三数学期末测试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.抛物线24y x =的焦点坐标是______.2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}2430B x x x =-+≥，则A B = __________.3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．4.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．5.函数tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω的最小正周期为4，则ω=____________．6.已知随机变量X 的分布为2130.160.440.40-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25E X +=__________.7.已知空间向量()()()1,2,4,5,1,3,,,1PA PB PC m n ==-=-.若,,,P A B C四点共面，则1017m n +=__________.8.已知直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，直线l 上的动点P 满足：点P 到直线=1x -的距离d PF≥恒成立，则动点P 所对应轨迹的长度为__________.9.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()12345i x i =，，，，，平均数为x ，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1234i y i =，，，，平均数为y ，下面说法正确的是__________.（写出所有正确选项）①新数据的极差可能等于原数据的极差.②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.③若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差.④若x y =，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()210n n n S S n ++-=（n 为正整数）.记()1()||nn i i f x a x i ==⋅-∑，若函数()2024y f x kx=+的值域为R ，则实数k 的取值范围是__________.11.函数()e xf x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.12.若对于任意自然数n ，函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n -+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.二､选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件14.如图，三棱柱111 ABC A B C -中，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（）A.直线1CC 与直线1B E 是异面直线B.直线1CC 与直线AE 是共面直线C.直线AE 与直线11B C 是异面直线D.直线AE 与直线1BB 是共面直线15.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A 、2A 、3A 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）A.()25P B =B.()1511P B A =C.事件B 与事件1A 不相互独立D.1A 、2A 、3A 两两互斥16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上，且其中恰有两个顶点为椭圆C 的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（）A.命题①正确；命题②错误.B.命题①错误；命题②正确.C.命题①，②均正确.D.命题①，②均错误.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2a 是15,a a 的等比中项，525S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b S ++=，求220b b -.18.有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），其中OEMF 是以O 为圆心，120EOF ∠= 的扇形，且弧 EF GH，分别与边BC AD ，相切于点M N ，.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？19.已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，右焦点为F ，动直线l 与圆222:O x y b +=相切于点Q ，与椭圆交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，其中点Q 在y 轴右侧.（1）若直线:20l x y --=过点F ，求椭圆方程；（2）求证：AF AQ +为定值.20.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，点M 是棱1CC 上一个动点（点M 与C ，1C 均不重合）.（1）当点M 是棱1CC 的中点时，求证：直线AM ⊥平面11B MD ；（2）当11D M AB ⊥时，求点1D 到平面1AMB 的距离；（3）当平面1AB M 将正四棱柱1111ABCD A B C D -分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC 的长度.21.已知数列{}n a 满足111,()n n a a f a +==.（1）若π()sin()2f x x A x =+，求最小正数A 的值，使数列{}n a 为等差数列；（2）若()ln 2f x x x =++，求证：21nn a ≤-；（3）对于（2）中的数列{}n a ，求证：22223444[1][1][1]e (1)(1)(1)n a a a +⋅+⋅⋅+<+++上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期高三数学期末测试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.抛物线24y x =的焦点坐标是______.【答案】()1,0【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可.【详解】因为抛物线标准方程为24y x =，所以焦点坐标为()1,0，故答案为：()1,0.2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}2430B x x x =-+≥，则A B = __________.【答案】{}01x x ≤≤【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{24303B x x x x x =-+≥=≥或}1x ≤，所以{}01A B x x ⋂=≤≤.故答案为：{}01x x ≤≤.3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．【答案】6【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.【详解】由()()233log 45log 1x x x --=+得：2245010451x x x x x x ⎧-->⎪+>⎨⎪--=+⎩，即()()()()2150156160x x x x x x x ⎧+->⎪>-⎨⎪--=+-=⎩，解得：6x =.故答案为：6.4.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．【答案】2【分析】根据复数的乘法运算即可得复数z ，即可得z 的虚部.【详解】解：复数()22i 1i 2i 2i 22i z =-=-=+，所以复数z 的虚部为2.故答案为：2.5.函数tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω的最小正周期为4，则ω=____________．【答案】4π±【分析】直接根据三角函数周期公式计算得到答案.【详解】tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω，故4T πω==，故4πω=±.故答案为：4π±.【点睛】本题考查了正切函数周期，属于简单题.6.已知随机变量X 的分布为2130.160.440.40-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25E X +=__________.【答案】7.64【分析】根据期望的计算公式以及性质即可求解.【详解】由题意可得()20.160.4430.4 1.32E X =-⨯++⨯=,所以()()25257.64E X E X +=+=,故答案为：7.647.已知空间向量()()()1,2,4,5,1,3,,,1PA PB PC m n ==-=-.若,,,P A B C 四点共面，则1017m n +=__________.【答案】11-【分析】根基空间向量共面定理结合空间向量坐标表示的线性运算即可得解.【详解】因为,,,P A B C 四点共面，所以,,PA PB PC共面，所以存在唯一实数对(),x y ，使得PC xPA yPB =+，即52143m x yn x y x y=+⎧⎪=-⎨⎪-=+⎩，所以1251417n y m y +=-⎧⎨+=⎩，所以()()17125140n m +++=，所以101711m n +=-.故答案为：11-.8.已知直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，直线l 上的动点P 满足：点P 到直线=1x -的距离d PF ≥恒成立，则动点P 所对应轨迹的长度为__________.【答案】8【分析】设(),1P x x -，根据d PF ≥，求出x 的范围，再根据两点间的距离公式即可得解.【详解】因为直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，所以()1,0F 由题意，设(),1P x x -，由d PF ≥，得1x +≥，即2610x x -+≤，解得33x -≤≤+，所以动点P 所对应轨迹为1,3y x x ⎡=-∈-+⎣，8=.故答案为：8.9.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()12345i x i =，，，，，平均数为x ，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1234i y i =，，，，平均数为y ，下面说法正确的是__________.（写出所有正确选项）①新数据的极差可能等于原数据的极差.②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.③若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差.④若x y =，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.【答案】①②③【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于①，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以①正确；对于②，不妨假设12345x x x x x <<<<，当()24312x x x +=时，若随机删去的成绩是3x ，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以②正确；对于③，若x y =，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以③正确；对于④，若x y =，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，因为540%2⨯=，此时原数据的40%分位数为第二数和第三个数的平均数；删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得440% 1.6⨯=，此时新数据的40%分位数为第二个数，显然新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，所以④错误.故答案为：①②③.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()210nn n S S n ++-=（n 为正整数）.记()1()||nn ii f x a x i ==⋅-∑，若函数()2024y f x kx =+的值域为R ，则实数k 的取值范围是__________.【答案】20242024,,20252025⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用1n n n a S S -=-求出数列的通项公式111n a n n =-+，由裂项相消求和法计算可得2024120242025i i a ==∑.设函数()()202420241()i i g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑，将函数()g x 写出分段函数，根据函数的值域为R 和极限的思想可得当0k >时202410i i k a =±>∑、当0k<时202410i i k a =±<∑，解不等式即可求解.【详解】因为()210n n n S S n ++-=，所以()()1+10n n n S n S ⎡⎤+-=⎣⎦，又因为{}n a 是正项数列，所以()10n n S n +-=，即1n nS n =+，当1n =得1111112a S ==+=，当2n ≥得1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，经检验1n =符合上式，所以111(1)1n a n n n n ==-++.所以202411111120241223202420252025i i a ==-+-++-=∑ .设函数()()202420241()ii g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑，当(,1]x ∈-∞时，1232024()1232024g x a x a x a x a x kx=-+-+-++-+ 20242024123202412202411(232024)()()()ii i ia a a a a a a k x k a x ia ===++++-+++-=-+∑∑ ；同理可得，当(1,2]x ∈时，1()1g x k x =+，当(2,3]x ∈时，2()2g x k x =+，当(2023,2024]x ∈时，2023()2023g x k x =+，当(2024,)x ∈+∞时，2024202411()()()i i i i g x k a x ia ===+-∑∑，即20242024111220232024202411()(),(,1]1,(1,2]2,(2,3]()2023,(2023,2024]()(),(2024,)i i i i i i i i k a x ia x k x x k x x g x k x x k a x ia x ∞∞====⎧-+∈-⎪⎪⎪+∈⎪+∈⎪=⎨⎪⎪+∈⎪⎪+-∈+⎪⎩∑∑∑∑ ，其中()1,2,,2023j k j ∈=R ，由函数()g x 的值域为R 知，当0k >时，lim (),lim ()x x g x g x →-∞→+∞=-∞=+∞，所以202410i i k a =±>∑，即020242025k ±>，解得20242025k >；当0k <时，lim (),lim ()x x g x g x →-∞→+∞=+∞=-∞，所以202410i i k a =±<∑，即020242025k ±<，解得20242025k <-，综上，实数k 的取值范围为20242024(,)(,)20252025-∞-+∞ .故答案为：20242024(,)()20252025-∞-+∞ 【点睛】关键点睛：本题的难点是将函数()()202420241()ii g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑转化为分段函数，利用函数的值域确定关于k 的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用.11.函数()e x f x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.【答案】2e 2##21e2【分析】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，转化为点(),a b 在直线()1e 0tt x y -++=上，根据22a b +的几何意义，可得()2222e 11ta b t +≥-+有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．【详解】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，所以e 0t ta b ++=，即点(),a b 在直线e 0t tx y ++=，又22a b +表示点(),a b 到原点距离的平方，≥2222e1ta bt+≥+有解，令()22e1tg tt=+，可得()()()()()2222222222e12e2e111t t tt t t tg tt t+-=-+'==++，因为2e0t>，210t t-+>，所以()0g t'>恒成立，可得()g t在[]1,3上为单调递增函数，所以当1t=时，()()2mine12g t g==，所以222e2a b+≥，即22a b+的最小值为2e2．故答案为：2e2.12.若对于任意自然数n，函数πcos3y xω⎛⎫=+⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n-+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.【答案】5π6【分析】根据整体法可得零点满足()16π,Z6kx kω+=∈，即可利用0n=时，[][]21,211,1n n-+=-，求解符合条件的,ω结合周期性验证所求,ω满足其他区间即可.【详解】令πππ,Z32x k kω+=+∈,则ππ,Z6x k kω=+∈，函数的零点()16π,Z6kx kω+=∈ω>，当0n=时，[][]21,211,1n n-+=-，此时符合条件的两个零点为故5ππ,66x xωω=-=，故5π16ω-≥-，解得5π6ω≤，当5π6ω=时，5ππcos63y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的零点为()16,Z5kx k+=∈，因此零点为11171319,,1,,,,,5,55555--，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间[][][]1,1,1,3,3,5,- 上恰好有两个零点。

2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知直线l 过点P （2，3），它的一个方向向量为 d⃗ =（1，5），则直线l 的点方向式方程为___ ．2.（填空题，4分）若一条直线的斜率k∈（-1，1），则该直线的倾斜角的取值范围是___ ．3.（填空题，4分）若椭圆x 2+ y 2m =1的焦距是4，则m=___ ．4.（填空题，4分）已知 a ⃗ =（λ，2λ）， b ⃗⃗ =（3λ，2），如果 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围是___ ．5.（填空题，4分）已知三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，则三角形的外接圆方程为___ ．6.（填空题，4分）与两圆（x+2）2+y 2=1，（x-2）2+y 2=1都相切，且半径为3的圆一共有___ 个．7.（填空题，4分）在梯形ABCD 中，AD || BC ，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，若EF || AD 且 AE AB = AD BC = 35 ，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示为___ ． 8.（填空题，4分）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为 √22的圆周上，从整点i 到整点（i+1）的向量记作 t i t i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 3t 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+t 12t 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．9.（填空题，4分）设实数x ，y 满足约束条件 {x ≥0y ≥x 4x +3y ≤12，则 x+2y+3x+1 取值范围是___ ． 10.（填空题，4分）已知非零向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，设 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，定义点集A={F| FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| }，若对于任意的m≥3，当F 1，F 2∈A 且不在直线PQ 上时，不等式| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤k| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数k 的最小值为___ ． 11.（单选题，4分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x+b 1y+c 1=0，l 2：a 2x+b 2y+c 2=0，那么“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.（单选题，4分）P （x 1，y 1）是直线l ：f （x ，y ）=0上一点，Q （x 2，y 2）是l 外一点，则方程f （x ，y ）=f （x 1，y 1）+f （x 2，y 2）表示的直线（）A.与l 重合B.与l 相交于P 点C.过Q 点且与l 平行D.过Q 点且与l 相交13.（单选题，4分）已知 a ⃗⃗⃗⃗、 b ⃗⃗ 均为单位向量，且 a ⃗• b ⃗⃗=0 ．若 |c ⃗−4a ⃗|+|c ⃗−3b⃗⃗|=5 ，则 |c ⃗+a ⃗| 的取值范围是（）A. [3， √10]B.[3，5]C.[3，4]D. [√10， 5]14.（单选题，4分）若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （n∈N *，n≥2）等分点，沿向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向依次为P 1，P 2，…，P n-1，记T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若给出四个数值： ① 294 ② 9110 ③ 19718 ④ 23233 ，则T n 的值可能的共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个15.（问答题，8分）设 a ⃗ ， b⃗⃗ 是两个不共线的非零向量．（1）记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ a ⃗ + b⃗⃗ ），那么实数t 为何值时，ABC 三点共线？（2）若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1且 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角为120°，那么实数x 为何值时，| a ⃗ -x b⃗⃗ |的值最小？16.（问答题，12分）已知过原点的动直线l 与圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0 相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L ：y=k （x-4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A （x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点称Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．（1）求证对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；（2）已知点P（3，1）和直线l：2x-y-1=0，求d（P，l）；（3）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．18.（问答题，12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形．求证：① 直线l1，l2关于原点对称；② 求出该菱形周长的最大值．2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知直线l 过点P （2，3），它的一个方向向量为 d⃗ =（1，5），则直线l 的点方向式方程为___ ．【正确答案】：[1] x−21 = y−35 【解析】：由直线的方向量，可得直线的斜率，根据直线的点斜式可得直线l 得方程．【解答】：解：由直线的方向量为 d⃗ =（1，5），可得直线的斜率k=5．根据直线的点斜式可得，直线l 得方程为：x−21 = y−35．故答案为：x−21 = y−35 ．【点评】：本题主要考查了利用直线方程的点斜率求解直线方程，属于基础试题．2.（填空题，4分）若一条直线的斜率k∈（-1，1），则该直线的倾斜角的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）【解析】：通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出α的范围．【解答】：解：直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若-1＜k ＜1，所以-1＜tanα＜1，所以α∈[0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）．故答案为：[0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）．【点评】：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．3.（填空题，4分）若椭圆x 2+ y 2m =1的焦距是4，则m=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由椭圆定义可知a ＞c=2，故焦点在y 轴上，可解．【解答】：解：由椭圆定义可知，2c=4，∴c=2，又a＞c，故焦点在y轴上∴m-1=22∴m=5故答案为：5【点评】：本题考查了椭圆的定义，焦点的位置，属于基础题．4.（填空题，4分）已知a⃗ =（λ，2λ），b⃗⃗ =（3λ，2），如果a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，则λ的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] λ＜−43或λ＞0且λ≠13【解析】：由题意可得a⃗•b⃗⃗＞0，去除向量同向的情形即可．【解答】：解：∵ a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，∴ a⃗•b⃗⃗=3λ2+4λ＞0，解得λ＜−43或λ＞0，当2λ=6λ2时两向量共线，解得λ=0或λ= 13，已知当λ= 13时，向量同向，不满足题意，∴λ的取值范围为：λ＜−43或λ＞0且λ≠13故答案为：λ＜−43或λ＞0且λ≠13【点评】：本题考查平面向量的数量积与向量的夹角，属基础题．5.（填空题，4分）已知三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，则三角形的外接圆方程为___ ．【正确答案】：[1]x2+y2-7x+3y+2=0【解析】：先求出三角形三个顶点的坐标，再设三角形外接圆方程为 x2+y2+dx+ey+f=0，把三个顶点坐标代入，求出待定系数，可得三角形外接圆方程．【解答】：解：∵三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，故三角形的三个顶点为（0，-1）、（1，1）、（4，-5），设三角形外接圆方程为 x2+y2+dx+ey+f=0，则 {0+1+0−e +f =01+1+d +e +f =016+25+4d −5e +f =0，求得 {d =−7e =3f =2 ，故三角形外接圆方程为 x 2+y 2-7x+3y+2=0，故答案为：x 2+y 2-7x+3y+2=0．【点评】：本题主要考查用待定系数法求圆的一般方程，属于中档题．6.（填空题，4分）与两圆（x+2）2+y 2=1，（x-2）2+y 2=1都相切，且半径为3的圆一共有___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．【解答】：解：因为两圆O 1（x+2）2+y 2=1，O 2（x-2）2+y 2=1是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都外切的有2个，与两圆都内切的有1个，与圆O 1 内切于圆O 2 外切的圆有2个，与圆O 1 外切于圆O 2 内切的圆有2个，共7个，方程分别为：x 2+y 2=9， x2+(y ±2√3)2=9 ， (x +32)2+(y ±√152)2=9 ， (x −32)2+(y ±√152)2=9 ，故答案为：7．【点评】：本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题．7.（填空题，4分）在梯形ABCD 中，AD || BC ，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，若EF || AD 且 AE AB = AD BC = 35，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示为___ ．【正确答案】：[1] 2110b ⃗⃗−2110a ⃗ 【解析】：作出图形，过点A 作DC 的平行线，利用相似，找到线段EG 与线段BH 的等量关系，进而利用向量表示．【解答】：解：过点A 作DC 的平行线交EF 于G ，交BC 于H ，如图所示：因为AD || BC ，EF || BC ，所以AD=GF=CH ，因为 AD BC =35 ，所以BC= 53 AD ，则BH=BC-CH= 53 AD-AD= 23 AD= 23 CH ，所以CH= 32 BH ，因为 AE AB =35 ，而EF || BC ，△AEG∽△ABH ，所以 AE AB =EG BH =35 ，所以EG= 35 BH ，所以EF=EG+GF= 35BH +32BH =2110BH ，又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，所以 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗ ，所以 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2110b ⃗⃗−2110a ⃗ ，故答案为： 2110b ⃗⃗−2110a ⃗ ．【点评】：本题考查了向量的线性表示，三角形相似，比例线段，属于基础题．8.（填空题，4分）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为 √22 的圆周上，从整点i 到整点（i+1）的向量记作 t i t i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 3t 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+t 12t 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] 6√3−9【解析】：把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是 1−√32 ，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】：解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为 1−√32 ，每对向量的夹角为30°， ∴每对向量的数量积为 (1−√32) cos30°= √32(1−√32) ， ∴最后结果为12× √32(1−√32) =6 √3 -9，故答案为：6 √3 -9．【点评】：本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．9.（填空题，4分）设实数x ，y 满足约束条件 {x ≥0y ≥x 4x +3y ≤12，则 x+2y+3x+1 取值范围是___ ．【正确答案】：[1][3，11]【解析】：根据分式的特点将分式转化为斜率形式，利用数形结合即可得到结论．【解答】：解：设z= x+2y+3x+1 = x+1+2(y+1)x+1 =1+2• y+1x+1 ，设k= y+1x+1 ，则k 的几何意义为动点P （x ，y ）到定点D （-1，-1）的斜率．即z=1+2k ，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P 位于直线OA 上，斜率k 最小为1，当P 位于B （0，4）时，斜率k 最大为 4+10+1 =5，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即 x+2y+3x+1 的取值范围是[3，11]，故答案为：[3，11]．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.（填空题，4分）已知非零向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，设 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，定义点集A={F| FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| }，若对于任意的m≥3，当F 1，F 2∈A 且不在直线PQ 上时，不等式| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤k| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数k 的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 34【解析】：根据条件可得MF 平分∠PFQ ，故而F 到P 、Q 的距离比为m ，求出F 的轨迹，得出F 1F 2的最大值，得出k 关于m 恒成立的式子，利用单调性求出k 的最小值．【解答】：解：∵ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴P ，Q ，M 三点共线， ∵ FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ，∴cos∠PFM=cos∠MFQ ， ∴FM 为∠PFQ 的角平分线．由 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得： MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = m m+1QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ FP FQ =MP MQ =m ，以PQ 为x 轴，以PQ 的中垂线为y 轴建立平面坐标系，设PQ=2a （a ＞0），F （x ，y ），则（ FP FQ ）2= (x+a )2+y 2(x−a )2+y 2 =m 2，整理得：（x- a(m 2+1)m 2−1 ）2+y 2= 4m 2a 2(m 2−1)2 ，∴F 的轨迹是圆心为（a(m 2+1)m 2−1 ，0），半径为 2ma m 2−1的圆． ∴| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤ 4ma m 2−1 ， ∴ 4ma m 2−1 ≤2ka ，即k≥ 2m m 2−1 =2m−1m 恒成立，设f （m ）= 2m−1m （m≥3），则f （m ）在[3，+∞）上单调递减，∴f （m ）的最大值为f （3）= 34 ．∴k≥ 34 ．故答案为： 34 ．【点评】：本题考查向量共线定理的运用，考查向量的数量积的几何意义，以及角平分线的性质定理，同时考查函数的单调性的运用，属于难题．11.（单选题，4分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x+b 1y+c 1=0，l 2：a 2x+b 2y+c 2=0，那么“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：两条直线平行时，一定可以得到a 1b 2-a 2b 1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】：解：若“ |a 1b 1a 2b 2| =0则a 1b 2-a 2b 1=0，若a 1c 2-a 2c 1=0，则l 1不平行于l 2，若“l 1 || l 2”，则a 1b 2-a 2b 1=0，∴ |a 1b 1a 2b 2| =0，故“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行的必要不充分条件，故选：B ．【点评】：本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．12.（单选题，4分）P （x 1，y 1）是直线l ：f （x ，y ）=0上一点，Q （x 2，y 2）是l 外一点，则方程f （x ，y ）=f （x 1，y 1）+f （x 2，y 2）表示的直线（）A.与l 重合B.与l 相交于P 点C.过Q 点且与l 平行D.过Q 点且与l 相交【正确答案】：C【解析】：由题意有可得 f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）≠0，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【解答】：解：由题意有可得 f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）≠0，则方程f （x ，y ）-f （x 1，y 1）-f （x 2，y 2）=0即f （x ，y ）-f （x 2，y 2）=0，它与直线l ：f （x ，y ）=0的一次项系数相等，但常数项不相等，故f （x ，y ）-f （x 2，y 2）=0表示过Q 点且与l 平行的直线，故选：C．【点评】：本题考查两直线平行的条件，利用了当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行．13.（单选题，4分）已知a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗均为单位向量，且a⃗• b⃗⃗=0．若|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，则|c⃗+a⃗|的取值范围是（）A. [3， √10]B.[3，5]C.[3，4]D. [√10， 5]【正确答案】：B【解析】：由题意建立平面直角坐标系，得到a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗的坐标，设出c⃗的坐标，代入|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，由其几何意义可得c⃗的终点的轨迹，再由|c⃗+a⃗|的几何意义求得取值范围．【解答】：解：∵ a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗均为单位向量，且a⃗• b⃗⃗=0．∴设a⃗=(1，0)，b⃗⃗=(0，1)，再设c⃗=(x，y)，代入|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，得√(x−4)2+y2+√x2+(y−3)2=5．即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距离和为5，∴ c⃗的终点轨迹是点（4，0）和（0，3）之间的线段，|c⃗+a⃗| = √(x+1)2+y2，表示M（-1，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（-1，0）到直线3x+4y-12=0的距离．∴ |c⃗+a⃗|min = |−3−12|=3．5最大值为|MA|=5．∴ |c⃗+a⃗|的取值范围是[3，5]．故选：B．【点评】：本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离等，关键是利用坐标法解答，属中档题．14.（单选题，4分）若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （n∈N *，n≥2）等分点，沿向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向依次为P 1，P 2，…，P n-1，记T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若给出四个数值： ① 294 ② 9110 ③ 19718 ④ 23233 ，则T n 的值可能的共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：A【解析】：计算 AP k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AP k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出T n 关于n 的函数，分别令T n 与给出的4个数值相等，根据方程有无大于1的正整数解即可作出判断．【解答】：解： AP k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AP k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +k BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•[ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（k+1） BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]= AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 +k （k+1） BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+（2k+1） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1+ k 2+k n 2 - 2k+12n （k=1，2，……，n-1）， ∴T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+ AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（n-1）+12+22+32+⋯+(n−1)2n 2 + 1+2+3+⋯+(n−1)n 2 - 3+5+7+⋯+(2n−1)2n=1- 12n +（n-1）+ (n−1)(2n−1)6n + n−12n - (n+1)(n−1)2n= 5n 2−26n （n∈N *，n≥2）．令 5n 2−26n = 294 ，即10n 2-87n-4=0，方程无整数解，不合题意，令 5n 2−26n = 9110，即25n 2-273n-10=0，方程无整数解，不合题意， 5n 2−26n = 19718 ，即15n 2-197n-6=0，方程无整数解，不合题意，5n 2−26n = 23233，即55n 2-464n-22=0，方程无整数解，不合题意．故选：A ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查等差数列求和，考查方程根的情况判断，属于中档题．15.（问答题，8分）设 a ⃗ ， b⃗⃗ 是两个不共线的非零向量．（1）记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13（ a ⃗ + b ⃗⃗ ），那么实数t 为何值时，ABC 三点共线？（2）若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1且 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角为120°，那么实数x 为何值时，| a ⃗ -x b⃗⃗ |的值最小？【正确答案】：【解析】：（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此等式建立起关于λ，t 的方程求出t 的值；（2）由题设条件，可以 |a ⃗−xb⃗⃗| 表示成关于实数x 的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x 的值．【解答】：解：（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)又 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tb ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(a ⃗+b ⃗⃗) ∴ tb ⃗⃗−a ⃗ = 13λ(a ⃗+b ⃗⃗)−λtb ⃗⃗ ，又 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量 ∴ {t +λt −13λ=013λ=−1 解得 {λ=−3t =12 故存在 t =12 时，A 、B 、C 三点共线（2）∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1 且 a ⃗，b ⃗⃗ 两向量的夹角是120°∴ |a ⃗−xb ⃗⃗|2= a ⃗2−2xa ⃗•b ⃗⃗+x 2b ⃗⃗2 =1+x+x 2=（x+ 12 ）2+ 34∴当x=- 12 时， |a ⃗−xb ⃗⃗| 的值最小为 √32【点评】：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想16.（问答题，12分）已知过原点的动直线l 与圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0 相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L ：y=k （x-4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设M （x ，y ），由条件可知C 1M⊥AB ，从而得到 k C 1M •k AB =−1 ，然后求出M 的轨迹，再根据条件求出x 的取值范围；（2）通过联立直线L 与圆C 1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】：解：（1）圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0⇒(x −3)2+y 2=4 ，∴圆心坐标为（3，0），设M （x ，y ），则可知C 1M⊥AB ，∴ k C 1M •k AB =−1⇒y x−3•yx =−1 ，整理可得： (x −32)2+y 2=94，当动直线与圆相切时，设直线方程：y=kx ，则 {x 2+y 2−6x +5=0y =kx⇒(k 2+1)x 2−6x +5=0 ， ∴ △=36−20(k 2+1)=0⇒k 2=45，∴切点的横坐标为 x =12•6k 2+1=53 ，由圆的性质可得M横坐标的取值范围为(53，3]，所以轨迹方程为(x−32)2+y2= 94，x∈（53，3]．（2）由（1）可得曲线C为圆(x−32)2+y2=94，x∈(53，3]的一部分圆弧EF（不包括E，F），其中E(53，2√53)，F(53，−2√53)，直线L：y=k（x-4）过定点（4，0），① 当直线与圆相切时：d C−l=|52k|√k2+1=32⇒k=±34，② 当直线与圆不相切时，可得k DE=0−2√5 34−53=−2√57，k DF=0−(−2√53)4−53=2√57，数形结合可得：当k∈[−2√57，2√57]时，直线与圆有一个交点，综上所述：k∈[−2√57，2√57]∪{34，−34}时，直线L与曲线C只有一个交点．【点评】：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A （x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点称Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．（1）求证对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；（2）已知点P（3，1）和直线l：2x-y-1=0，求d（P，l）；（3）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用新定义，证明A，B，C三点间的“切比雪夫距离”，满足的不等式即可；（2）设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x，2x-1），可得d（P，Q）=max{|x-3|，|2-2x|}，讨论|x-3|，|2-2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，求得最小值；（3）运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的面积即可．【解答】：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），d（A，C）+d（C，B）=max{|x1-x3|，|y1-y3|}+max{|x3-x2|，|y3-y2|}≥|x1-x3|+|x3-x2|≥|x1-x2|；同理可得d（A，C）+d（C，B）≥|y1-y2|；所以，d（A，C）+d（C，B）≥max{|x1-x2|，|y1-y2|}=d（A，B）；（2）解：设点Q（x，2x-1）为直线l：2x-y-1=0上一点，则d（P，Q）=max{|x-3|，|2x-2|}；由|x-3|≥|2-2x|，解得-1≤x≤ 53，即有d（P，Q）=|x-3|，当x= 53时，取得最小值43；由|x-3|＜|2-2x|，解得x＞53或x＜-1，即有d（P，Q）=|2x-2|，d（P，Q）的范围是（3，+∞）∪（43，+∞）=（43，+∞），无最值，综上可得，P，Q两点的最小值为43，所以d（P，l）= 43；（3）解：设轨迹上动点为P（x，y），则d（C，P）=max{|x-x0|，|y-y0|}=r，等价于{|x−x0|=r|y−y0|≤|x−x0|，或{|x−x0|≤|y−y0||y−y0|=r；所以点P（x，y）的轨迹是以C（x0，y0）为中心，边长为2r的正方形，所以P点所在的曲线所围成图形的面积为4r2．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题也是易错题．18.（问答题，12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形．求证：① 直线l1，l2关于原点对称；② 求出该菱形周长的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求得可得a ，b 的值，则椭圆方程可求；（2） ① 设l 1 的方程为y=kx+m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y=kx+m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得|CD|与|MN|，由四边形CDMN 是菱形，得|CD|=|MN|，得到 m 12=m 22 ，进一步可得m 1=-m 2，说明直线l 1，l 2关于原点对称；② 由题意可得 {x 3=−x 1y 3=−y 1 且 {x 4=−x 2y 4=−y 2，则 MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 1，2y 1) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 2，2y 2) ，结合四边形CDMN 是菱形，得 MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，由数量积的坐标运算可得 3m 12−2k 2−2=0 ，设菱形CDMN 的周长为l ，得l=4|CD|，整理后利用基本不等式求最值．【解答】：（1）解：由题意可知， {b =ca 2=b 2+c 2a 2=2，得a 2=1，b 2=c 2=1．∴椭圆E 的标准方程为 x 22+y 2=1 ；（2） ① 证明：设l 1 的方程为y=kx+m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y=kx+m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），联立 {y =kx +m 1x 2+2y 2=2，得 (1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2 ，由△= 16k 2m 12−4(1+2k 2)(2m 12−2) ＞0，得 2k 2+1−m 12 ＞0（*），x 1+x 2=−4km 11+2k 2 ， x 1x 2=2m 12−21+2k 2 ， |CD|= √1+k 2•|x 1−x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2= √1+k 2•√(−4km 11+2k 2)2−4•2m 12−21+2k 2 = √1+k 2•2√2•√1+2k 2−m 121+2k 2；同理|MN|= √1+k 2•2√2•√1+2k 2−m 221+2k 2， ∵四边形CDMN 是菱形，∴|CD|=|MN|，∴ m 12=m 22 ，又∵m 1≠m 2，∴m 1=-m 2，可得直线l 1，l 2关于原点对称；② ∵椭圆关于原点对称，∴C ，M 关于原点对称，D ，N 关于原点对称，∴ {x 3=−x 1y 3=−y 1 且 {x 4=−x 2y 4=−y 2， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 1，2y 1) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 2，2y 2) ， ∵四边形CDMN 是菱形，∴ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，即 (1+k 2)x 1x 2+km 1(x 1+x 2)+m 12=0 ，∴ (1+k2)•2m12−21+2k2+km1•(−4km11+2k2)+m12=0，化简得：3m12−2k2−2=0．设菱形CDMN的周长为l，则l=4|CD|= 8√2•√1+2k 2•√2k2+1−m121+2k2 = 8•√33√2+2k2•√1+4k21+2k2≤8√33•12(2+2k2+1+4k2)1+2k2=4√3．当且仅当2+2k2=1+4k2，即k2=12时取等号，此时m12=1，满足（*）．∴菱形周长的最大值为4√3．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。

2024-2025学年北京交大附中高二(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则a8=( )A. 9B. 11C. 13D. 152.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a,AD=b,AA1=c，则BD1=( )A. a+b+cB. −a+b+cC. a−b+cD. a+b−c3.已知数列{a n}满足a n+1(1−a n)=1，若a1=−1，则a10=( )A. 2B. −2C. −1D. 124.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m//β，β⊥α，则m⊥αC. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αD. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α5.设S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S3=−3，a5=2，则( )A. {a n}为递减数列B. a3=0C. S n有最大值D. S6=06.如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的3，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是4( )A. 1：3B. 2：5C. 3：5D. 3：47.设S n为数列{a n}的前n项和，a3=6且S n+1=3S n，则a1+a5等于( )A. 12B. 1643C. 55 D. 17038.已知底面边长为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为83，则直线AC与A1B所成角的余弦为( )A. 32B. 22C. 34D. 249.已知等比数列{a n}的首项a1>1，公比为q，记T n=a1a2…a n.(n∈N∗)，则“0<q<1”是“数列{T n}为递减数列”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在直线进行翻折，将△CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是( )A. 点A与点C在某一位置可能重合B. 点A与点C的最大距离为3ABC. 直线AB与直线DE可能垂直D. 直线AF与直线CE可能垂直二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

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2020-2021学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题 1．（3分）复数21i-的虚部为． 2．（3分）直线121:()44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a = ． 3．（3分）已知变量x ，y 满足约束条件241y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则3z x y =+的最大值为．4．（3分）若方程2(3)40x i x ++++=有实数根，则实数的取值是． 5．（3分）抛物线24y x =的准线方程为．6．（3分）若圆锥底面半径为1，则其侧面积为．7．（3分）已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是．8．（3分）在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒东经120︒有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是．9．（3分）P 是双曲线221916x y -=上的一点，1F ，2F 为焦点，若1||7PF =，则2||PF = ．10．（3分）设复数1z ，2z 满足1||1z =，2||2z =，12z z i +=-，则12||z z -= ． 11．（3分）已知异面直线a ，b 所成角为70︒，过空间定点P 与a ，b 成55︒角的直线共有条．12．（3分）三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30︒和45︒的角，且平面ABC 与平面α成60︒的二面角，那么ACB ∠的大小为．二、选择题13．（3分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（3分）已知11(P a ，1)b 与22(P a ，2)b 是直线1(y x =+为常数）上两个不同的点，则关于111:10l a x b y +-=和222:10l a x b y +-=的交点情况是( ) A ．存在，1P ，2P 使之无交点 B ．存在，1P ，2P 使之有无穷多交点 C ．无论，1P ，2P 如何，总是无交点D ．无论，1P ，2P 如何，总是唯一交点15．（3分）平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是△11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是△1BC D 的________心．()A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心16．（3分）正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分三、解答题17．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．（1）若1BM AC ⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若12||3x x -=，求实数p 的值；（2）若12||||3x x +=，求实数p 的值．19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1)．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD ∆和FBC ∆是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC ∆面积的2.2倍．设(0)4FMH πθθ∠=<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？20．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由；（2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围． 21．设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且12||2F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4．（1）求E 的标准方程；（2）设椭圆上3(1,)2P -，判断以22(PF F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2:l y x m =+与曲线E 交于两点C ，(D C ，D 异于点)N ，且满足||||NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．2020-2021学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）复数21i-的虚部为 1 ．【解答】解：复数22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，∴复数21i-的虚部为1．故答案为：1．2．（3分）直线121:()44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a = 12 ．【解答】解：直线121:()44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩， ∴直线1l 的直角坐标方程为260x y -+=．，2:30l ax y ++=，12l l ⊥，210a ∴-=，解得12a =．故答案为：12． 3．（3分）已知变量x ，y 满足约束条件241y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则3z x y =+的最大值为 11 ．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图由3z x y =+得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时直线3y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由21y x y =⎧⎨-=⎩得32x y =⎧⎨=⎩，即(3,2)A ，此时33211z =⨯+=，故答案为：11．4．（3分）若方程2(3)40x i x ++++=有实数根，则实数的取值是 4- ．【解答】解：方程2(3)40x i x ++++=有实数根，设0x 是方程2(3)40x i x ++++=的实数根，200(4)30x x xi ∴++++=20040x x ∴+++=，且030x =，解得4=-．故答案为：4-．5．（3分）抛物线24y x =的准线方程为 116y =- ．【解答】解：整理抛物线方程得214x y =，18p ∴= 抛物线方程开口向上，∴准线方程是116y =-故答案为：116y =-． 6．（3分）若圆锥底面半径为13，则其侧面积为 2π ．【解答】31，所以圆锥的母线为：2，圆锥的侧面积：12222ππ⨯⨯=故答案为：2π．7．（3分）已知三棱锥A BCD -中，2AB CD ==3AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是2．【解答】解：如图，2AB CD ==，3AC BC AD BD ====，取CD 的中点O ，连接AO ，BO ，可得AO CD ⊥，BO CD ⊥，又AOBO O =，则CD ⊥平面AOB ，在ACD ∆中，求得22210(3)()2AO =-= 在BCD ∆中，同理求得10BO ，又2AB ∴2211022()()1222ABO S ∆=-=． ∴三棱锥A BCD -的体积是123ABO V S CD ∆=⨯=23． 8．（3分）在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒东经120︒有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是 3R π．【解答】解：由已知地球半径为R ，则北纬45︒2又两座城市的经度分别为东经30︒和东经120︒ 故连接两座城市的弦长22L R == 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=则A 、B 两地之间的距离是3R π故答案为：3R π9．（3分）P 是双曲线221916x y -=上的一点，1F ，2F 为焦点，若1||7PF =，则2||PF = 13 ．【解答】解：由双曲线的定义知，12||||||26PF PF a -==， 21||||6761PF PF ∴=±=±=或13，焦距12||2291610F F c ==⨯+=，∴当2||1PF =时，12||||810PF PF +=<，不能构成三角形，舍去，2||13PF ∴=．故答案为：13．10．（3分）设复数1z ，2z 满足1||1z =，2||2z =，123z z i +=-，则12||z z -= 6 ．【解答】解：设1z ，2z 在复平面内对应的向量为12,OZ OZ ， 12z z +对应的向量为3OZ ，如图所示，因为123z z i +=-，所以12||2z z +=，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-，所以22221121212||2cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以21||6Z Z =，故1221||||6z z Z Z -==．故答案为：6．11．（3分）已知异面直线a ，b 所成角为70︒，过空间定点P 与a ，b 成55︒角的直线共有 3 条．【解答】解：将直线a ，b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：。