运筹学-第六章图与网络分析
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前面几个例子涉及到的对象之间的“关系” 具有“对称性”，即如果甲与乙有这种关系， 那么同时，乙与甲也有这种关系。但在现实 生活中，有许多关系不具有这种对称性，比 如，球队比赛的胜负关系，甲胜乙，那么乙 就不能胜甲。反映这种非对称关系，不能只 用一条连线，可以用一条带箭头的连线表示。 如球队 胜了球队 ，可以从 引一条带箭头的 连线到 。如图6-7反映了五个球队的胜负情况。
2018/4/17
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图论是运筹学中有着广泛应用的一个分支。 管理科学 、计算机科学 、信息论 、控制论 、 物理 、化学 、生物学 、心理学等不同领域内的 许多问题都可以描述为图论模型来解决。 随着科学技术的发展以及电子计算机的出现 和应用，20世纪 50年代，图论的理论得到了进 一步的发展。将宠大复杂的工程和管理问题用图 描述，可以解决很多工程设计和管理决策的最优 化问题。 欧拉 (E. Euler)在 1736年发表图论方面的第 一篇论文解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，被公 认为是图论的创始人。
2018/4/17
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图6-7 球队胜负关系图
综上，一个图是由一些点和一些点之间 的连线（不带箭头和带箭头）组成。为区 别起见，把两点之间不带箭头的连线成为 边，带箭头的连线成为弧。 2018/4/17 18
1、无向图 (1)无向图 定义6-1无向图是由点及边所构成的无序二元 组 V ,E ，记为 G V ,E ，其中 V v1 , v2 ,...,vn E e1 ,e2 ,..,em 是 n个点的集合，简称顶点集； 是m条边的集合，简称边集合。连接点 vi ,v j V 的边记为 v j ,vi 。 vi ,v j 或 图6-8即为无向图，图中：
2018/4/17 3
图6-1 光纤铺设位置分析
2018/4/17 4
考虑到光纤技术在中心之间高速通信的优 势，所以不需在每两个中心之间都用一条光 纤把他们直接连接起来。那些需要光纤直接 连接的中心有一系列的光纤连接他们。 因此，公司面临的问题是如何选择在哪两 个中心之间铺设光纤，能够使得每两个中心 之间都是联通的，但是同时总的通信成本又 是最低的。
6.1 图与网络基本知识
在生产和日常生活中经常碰到各种各样的图： 公路或铁路交通图、管网图、电网图、通讯联络 图等.. 运筹学中所研究的图（graph）是上述各类 图的抽象概括，它表明一些研究对象和这些对象 之间的相互联系。如交通图是表明一些城镇及城 镇之间的道路沟通情况；管网图是表明供应源、 用户、中间加压站之间管网的联系情况等。
第六章
图与网络分析
2018/4/17
1
学习目标
理解有向图、无向图的相关概念 理解树、支撑树、最小支撑树的概念 掌握求解支撑树和最小支撑树的破圈法和避圈法 掌握求解最短路的算法 掌握求解最大流的算法 掌握求解最小费用最大流的算法
2018/4/17
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Modern公司的光纤联网问题
Modern公司决定铺设最先进的光纤网络，以 便为它的主要中心之间提供高速的数据、声 音和图像等高速通信。该公司的主要中心包 括公司的总部、巨型计算机、研究区、生产 和配送中心，根据各中心的分布，公司分析 设计了可能的光纤铺设位置如下图6-1所示， 每条虚线旁边的数字表示在该位置铺设光纤 所需的成本（单位：百万美元）。
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18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河 (普 雷· 格尔河)，河上有七座桥连结着河的两岸和 河中的两个小岛，如图6-2所示。当时，那里 的人们热衷于这样的问题：一个散步者能否 走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回 到出发点。没有人想出这种走法，也没有人 证明不存在这种走法，这就是著名的“七桥” 难题 。
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图6-5 物资运输关系图
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由此看出，用图来描述事物间的联系， 不仅直观清晰，便于统观全局，而且图中 点的相对位置，连线的长短曲直，对于反 映对象之间的关系并不重要。如上述球队 比赛的例子也可以用6-6所示的图表示，这 与图6-4没有本质的区别。
图6-6 球队赛事关系图
2018/4/17
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例6-1 为了反映五个球队的赛事关系，可 以用点表示球队，用点间连线表示两个球队 已进行过比赛，如图6-4所示。其中点 分别表 示5个球队，两点的连接表示两球队之间的赛 事关系。因此，从图中可反映出 球队分别与 球队有赛事； 球队还与 球队， 球队还与 球 队有赛事。
2018/4/17
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图6-4 球队赛事关系图
2018/4/17
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例6-2 为了描述城市间的交通，可以用点表 示城市，用点间连线表示城市间的道路，如 果连线旁标注城市间的距离——网络图中称 为权，形成加权图，就称为网络图，就可进 一步研究从一个城市到另一个城市的最短路 径；或者标上单位运价，就可分析运费最小 的运输方案。图6-5是一张7个城市间物资运 输关系的运输网示意图， 表示7个城市，箭 线旁的数字表示物流的单位运价。
2018/4/17
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欧拉把这个试验化为下图所示的一个图论 问题。它用结点A，B，C，D分别表示对应的陆 地，用边来表示连接陆地的桥。这样哥尼斯堡七 桥问题就转化 为下图中寻求 一条包含每边 一次的回路问 题。
图6-3 “七桥难题”图 解
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Fra Baidu bibliotek
欧拉证明七桥问题无解，因为图中的每个点 都只与奇数条线相关联，不可能将这个图不重复 地一笔画成。 从而解决了这一难题，它的抽象 与论证方法开创了图论科学的研究。 随着科学技术的发展以及电子计算机的出现 与广泛应用，二十世纪五十年代，图论的理论得 到进一步发展。将庞大复杂的工程系统和管理问 题用图描述，可以解决很多工程设计和管理决策 的最优化问题。 例如，完成工程任务的时间最少，距离最短， 费用最省等等。图论受到数学、工程技术及经营 管理等各个方面越来越广泛的重视。 2018/4/17 10
前面几个例子涉及到的对象之间的“关系” 具有“对称性”，即如果甲与乙有这种关系， 那么同时，乙与甲也有这种关系。但在现实 生活中，有许多关系不具有这种对称性，比 如，球队比赛的胜负关系，甲胜乙，那么乙 就不能胜甲。反映这种非对称关系，不能只 用一条连线，可以用一条带箭头的连线表示。 如球队 胜了球队 ，可以从 引一条带箭头的 连线到 。如图6-7反映了五个球队的胜负情况。
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图论是运筹学中有着广泛应用的一个分支。 管理科学 、计算机科学 、信息论 、控制论 、 物理 、化学 、生物学 、心理学等不同领域内的 许多问题都可以描述为图论模型来解决。 随着科学技术的发展以及电子计算机的出现 和应用，20世纪 50年代，图论的理论得到了进 一步的发展。将宠大复杂的工程和管理问题用图 描述，可以解决很多工程设计和管理决策的最优 化问题。 欧拉 (E. Euler)在 1736年发表图论方面的第 一篇论文解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，被公 认为是图论的创始人。
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图6-7 球队胜负关系图
综上，一个图是由一些点和一些点之间 的连线（不带箭头和带箭头）组成。为区 别起见，把两点之间不带箭头的连线成为 边，带箭头的连线成为弧。 2018/4/17 18
1、无向图 (1)无向图 定义6-1无向图是由点及边所构成的无序二元 组 V ,E ，记为 G V ,E ，其中 V v1 , v2 ,...,vn E e1 ,e2 ,..,em 是 n个点的集合，简称顶点集； 是m条边的集合，简称边集合。连接点 vi ,v j V 的边记为 v j ,vi 。 vi ,v j 或 图6-8即为无向图，图中：
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图6-1 光纤铺设位置分析
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考虑到光纤技术在中心之间高速通信的优 势，所以不需在每两个中心之间都用一条光 纤把他们直接连接起来。那些需要光纤直接 连接的中心有一系列的光纤连接他们。 因此，公司面临的问题是如何选择在哪两 个中心之间铺设光纤，能够使得每两个中心 之间都是联通的，但是同时总的通信成本又 是最低的。
6.1 图与网络基本知识
在生产和日常生活中经常碰到各种各样的图： 公路或铁路交通图、管网图、电网图、通讯联络 图等.. 运筹学中所研究的图（graph）是上述各类 图的抽象概括，它表明一些研究对象和这些对象 之间的相互联系。如交通图是表明一些城镇及城 镇之间的道路沟通情况；管网图是表明供应源、 用户、中间加压站之间管网的联系情况等。
第六章
图与网络分析
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学习目标
理解有向图、无向图的相关概念 理解树、支撑树、最小支撑树的概念 掌握求解支撑树和最小支撑树的破圈法和避圈法 掌握求解最短路的算法 掌握求解最大流的算法 掌握求解最小费用最大流的算法
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Modern公司的光纤联网问题
Modern公司决定铺设最先进的光纤网络，以 便为它的主要中心之间提供高速的数据、声 音和图像等高速通信。该公司的主要中心包 括公司的总部、巨型计算机、研究区、生产 和配送中心，根据各中心的分布，公司分析 设计了可能的光纤铺设位置如下图6-1所示， 每条虚线旁边的数字表示在该位置铺设光纤 所需的成本（单位：百万美元）。
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18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河 (普 雷· 格尔河)，河上有七座桥连结着河的两岸和 河中的两个小岛，如图6-2所示。当时，那里 的人们热衷于这样的问题：一个散步者能否 走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回 到出发点。没有人想出这种走法，也没有人 证明不存在这种走法，这就是著名的“七桥” 难题 。
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图6-5 物资运输关系图
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由此看出，用图来描述事物间的联系， 不仅直观清晰，便于统观全局，而且图中 点的相对位置，连线的长短曲直，对于反 映对象之间的关系并不重要。如上述球队 比赛的例子也可以用6-6所示的图表示，这 与图6-4没有本质的区别。
图6-6 球队赛事关系图
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例6-1 为了反映五个球队的赛事关系，可 以用点表示球队，用点间连线表示两个球队 已进行过比赛，如图6-4所示。其中点 分别表 示5个球队，两点的连接表示两球队之间的赛 事关系。因此，从图中可反映出 球队分别与 球队有赛事； 球队还与 球队， 球队还与 球 队有赛事。
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图6-4 球队赛事关系图
2018/4/17
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例6-2 为了描述城市间的交通，可以用点表 示城市，用点间连线表示城市间的道路，如 果连线旁标注城市间的距离——网络图中称 为权，形成加权图，就称为网络图，就可进 一步研究从一个城市到另一个城市的最短路 径；或者标上单位运价，就可分析运费最小 的运输方案。图6-5是一张7个城市间物资运 输关系的运输网示意图， 表示7个城市，箭 线旁的数字表示物流的单位运价。
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欧拉把这个试验化为下图所示的一个图论 问题。它用结点A，B，C，D分别表示对应的陆 地，用边来表示连接陆地的桥。这样哥尼斯堡七 桥问题就转化 为下图中寻求 一条包含每边 一次的回路问 题。
图6-3 “七桥难题”图 解
2018/4/17
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Fra Baidu bibliotek
欧拉证明七桥问题无解，因为图中的每个点 都只与奇数条线相关联，不可能将这个图不重复 地一笔画成。 从而解决了这一难题，它的抽象 与论证方法开创了图论科学的研究。 随着科学技术的发展以及电子计算机的出现 与广泛应用，二十世纪五十年代，图论的理论得 到进一步发展。将庞大复杂的工程系统和管理问 题用图描述，可以解决很多工程设计和管理决策 的最优化问题。 例如，完成工程任务的时间最少，距离最短， 费用最省等等。图论受到数学、工程技术及经营 管理等各个方面越来越广泛的重视。 2018/4/17 10