3.3 高斯光束的传播特性

L 2z
一、等相位面的分布
任意点
参照点
1、等相位面——行波场中相位相同的点连成的曲面
2、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程，由 x, y, z 0,0, z0
代入
(
x,
y,
z)
k
L 2
(1
)
1
2
x2
L
y2
(m
n
1)(
2
)
(3 29)
2z / L
对于基模，得
(x, y, z) k[ L (1
exp ix,
y, z
二、基模振幅分布和光斑尺寸
1、振幅分布
对基横模TEM00
U 00
Cmn
exp
1
2
2
x2 y2
s2
基横模TEM00的光强
I 00
U
2 00
Cm2 n
exp
1
4
2
x2 y2
s2
——基模截面是高斯函数
2、光斑尺寸振幅下降为最大值1/e时的光斑半径
2z L
(z) s
2
1 2 s
可以证明，在近轴情况下，共焦场在z0处的等相位面近似 为球面。令：
R0
z0 [1
(L 2z0
)2 ]
(3 38)
则有：
z
z0
x2 y2 2R0
R0
1
x2 y2 R0 2
R0
R02 x2 y2 R0
R02 x2 y2 z z0 R0 2
球面方程
——证明了等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面
2
1
4z2 L2
(z) s 1 2 s
2
2
ωs xs2 ys2 L
1
4z2 L2
(z)
L [1 ( 2z )2 ] 2 L
①当 z=0 时，z 达到最小值
0
1 2
s
1 2
L
——高斯光束的基模腰斑半径(光腰或束腰)
②当 z f L 时，即在镜面上时，有： 2
z
20
2
2z) 2z L L 1 (2z L)2
x2
y2 ] (m n 1)(
L
2
) (0,0, z0 )
k
L 2
1
2z
2z L
1
L 2
z
2
x2
L
y
2
2
z
k
L 2
1
2z0 L
2
z0
L
若忽略由于z的变化而造成附加相移因子的微小变化，则在近轴情况下， z处的等相位面方程为：
2. 在其传播过程中曲率中心不断改变 3. 其振幅在横截面内为一高斯光束 4. 强度集中在轴线及其附近 5. 等相位面保持球面，但曲率不断改变
3.3.4 高斯光束的高亮度
一. 亮度B:单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围 内输出去的辐射功率。
B I SΩ
立体角 Ω 与远场发散角 的关系：
介质能量的提取就大，对模 式振荡作贡献的粒子数越多， 就有可能获得大的输出功率。
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
此外，还决定一个模式能 否振荡，与其它模式的竞 争情况等。
3、计算：对称共焦腔基模
的模体积：看成底半径为 ω0，高为L的圆柱体。
V000
L02
1 2
Ls2
L2
2
s
20
L
无穷远处等相位面为平 面，曲率中心在z=0处
光束可近似为一个 由z=0 点发出的半径为z0的球面波。
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 值。
R0
z0 [1
(L 2z0
)2 ]
z0 [1
(
f z0
)2 ]
x2 y2 zz
0 2R(z)
5.当 z0 0 时，
例角为11一0^光(-3斑)r半ad径，为计1算m距m的离连光续源激1米光处器的的辐辐射射亮功度率。为普1W通，光远源场（发半散径
为1cm）要达到同样亮度，辐射功率为多少？如果是脉宽为1ns辐射 功率为1W的激光器，计算辐射能量；如果是飞秒（fs）激光器呢？ 如何理解飞秒激光器；计算辐射能量是1J飞秒激光器的辐射功率。
高阶模：
Vm0n
1 2
L ms ns
（2 m
1）（ 2n
1）L2
2
（2m 1）（ 2n 1）V000
问题：模式竞争中，基模还是高阶 模更容易获得优势。
4 模体积的意义
模体积的概念在激光振荡及腔体设计中都具有重要意 义。定性地说，某一模式的模体积描述该模式在腔内所扩 展的空间范围。模体积大，对该模式的振荡有贡献的激发 态粒子数就多，因而，也就可能获得大的输出功率；模体 积小，则对振荡有贡献的激发态粒子数就少，输出功率就 小。（激光器件设计中的一个主要问题是，如何获得尽可能大的模体
0
1 (2z)2 L
镜面光束半径：
s 20
远场发散角：
2 2 0
容易看出，高斯光束的主要特征参量取决于激光器发出的光波长和谐振 腔的腔长（二者共同决定了激光束腰）。
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的光斑半径 w与等相位面曲率半径R
解 (1)
R(z0) 0
zz 0 0
6.当 z0 0 时，
R(z0) 0 z z 0 0
——共焦腔的等相面是凹面向着腔的中心的球面
结论:在z ＜ 0 处,光束是沿着z的方向传播的会聚球面波;
在z = 0处变成一个平面波;
在 z＞0处又变成发散球面波。
三.共焦场的等相位面的分布图
共焦场等相面的分布 可以证明： 如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反 射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返 回,这样共焦场分布将不会受到扰动.这是非常重要的性质.
w0
L 2
L
2 w02
2
3.14 3.14
106 106
2m
z=0.5m
(2)
w(z) w0
1 4z2 L2
w0
1 4 0.52 1.12mm 22
R(z) z L2 0.5 22 2.5m
4z
4 0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位 面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束腰斑半径w0及 腰位置(光波长为=3.14m)
在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从 中心(即传输轴线)向外平滑地降落。
花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。
2 exp ix, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
umn x, y, z CmnHm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
来自百度文库
exp
1
2
2
x2 y2 ws2
而
B太阳 1.2 10 3W /(cm2 sr )
BAr 105 B太阳
（十万倍）
估算上述PW激光器的亮度
三.小结一下高斯光束的主要特征参量：
束腰半径：
0
L 2
波振面曲率半径：
R0
z [1 (02 )2 ] z
z [1 ( L )2 ] 2z
光束有效截面半径：
(z) 0
1 ( z )2 02
一、共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umn x, y, z CmnHm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
exp
1
2
2
x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
1
Hm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
exp
2 1
2
x2 y2 ws2
行波场横向振幅分布因子
—厄米—高斯函数
模体积大，对该模式的振荡有贡献的激发态粒子数就多 就•可能获得大的输出功率；
3.3.3 高斯光束的远场发散角
一、定义：
基模远场发散角 2：双曲线两根渐近线之间的夹角：
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
2 lim 2(z)
z z
(z) 0
1 (
z
)2
2 0
2 2 2 2 L 0
高阶模的有效截面半径：
wm 2m 1w0
高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
w2s相y位因 子
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
exp
i x,
y,
z
3.29
传播因子
位相弯曲因子
附加相移因子
(x, y, z) k[ L (1
2
2z
2z L
L
) 1 (2z
L)2
x2
y2
] (m n 1)(
L
2
)
———决定了共焦场的位相分布
arctan L 2z
L
镜面有效截面半径
3、 (z在) 纵截面上的表达式
( 0
z)
1 2
L [1 2 s
(
1 2
2z )2] L
L
(
z
)
0
1
(
z
2 0
)2
2 02
z2
(
2 0
)2
1
2 02
(
z
2 0
2
)2
1
——光斑半径随z按照双曲线规律变化。
三、 模体积
1、定义：描述某一腔模在腔 内扩展的空间体积。
2、意义：模体积大。对激活
Ω (R)2 R2 2
远场发散角的单位为弧度（rad），立体角的单位为球面度（sr）
二.一般的激光器是向着数量级约为10－6 sr的立体角范围内输 出激光光束的。而普通光源发光(如电灯光)是朝向空间各个 可能的方向的，它的发光立体角为4π sr。相比之下，普通光 源的发光立体角是激光的约百万倍。
激光的高强度和高亮度
一台普通的红宝石激光器发出激光亮度，比太阳亮度高8 个数量级(几千万倍） 连续发光激光器功率：几毫瓦，几百瓦，几瓦，十几瓦 目前可达几千瓦，几万瓦 脉冲激光器：毫焦耳，焦耳，几十焦耳，目前可达几千 焦耳，几万焦耳 时间，空间都得到压缩的激光，其功率密度比会聚的太 阳光高几十亿倍！
解
w(z) w0
1
4z2 L2
L 2z2 2 L
R(z) z L2 4z
得 L 0.40m z 0.40m 腰位置在该处左方0.40m 高斯光束腰斑半径
w0
L 2
3.14106 0.40 0.447mm 2 3.14
典型的激光器谐振腔
模体积 激光模式在腔内所能扩展的空间范围。
B I SΩ
Ω (R)2 R2 2
计算该拍瓦激光器的辐射能量和亮度（发散角与上例相同)
数值例:
器件
辐射能量 脉冲时间
普通红宝石激光器
1J
调Q红宝石激光器
1J
调Q及锁模红宝石激光器 1J
10-4s 10-9s 10-12～10-13s
P 104W 109W 1012～1013 W
*结论:输出能量一定时, 激光器由于脉冲时间缩短可使△I很大; 而且因θ(或Ω)很小, 故亮度B很大。
由 0s 20 可知,镜面上的光斑尺寸,基模体积和远
V000
L
2 0
场发散角等高斯光束的参数都可以通过
2 2 基模腰斑半径(“腰粗”)ω0来表征,故 0 “腰粗”是高斯光束的一个特征参数.
计算表明： 2 内含86.5%的光束总功率
小结：高斯光束的基本性质
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯 球面波
二.讨论
R0
z0 [1
L ( 2z0
)2 ]
z0 [1
(
f z0
)2 ]
注：高斯光束等相面的曲率中 心并不是一个固定点，它要随 着光束的传播而移动。
束腰处的等相位面为平面， 曲 率中心在无穷远处
1.当 z0 0 时，R(z0 ) 2.当 z0 时，R(z0 ) 3.当 z0 f 时，R(z0 ) z0 4.当 z0 f 时，R(z0 ) L 2 f
例2
测量实验室中的一台Ar+激光器，获得如下数据： （1）在输出镜上光斑半径r≈0.5mm,(2)光束发散角 θ≈0.5×10-3rad,(3)连续输出功率△I=1W,求激光器辐射亮度。
解：输出镜面上光束截面积 S r2 7.5103cm2
光束所占立体角 2 7.5107 sr
B I 2 108W /(cm2 sr) S
积。）
一种模式能否振荡？能获得多大的输出功率？它与其 他模式的竞争能如何？所有这些不仅取决于该模式损耗的 高低，也与模体积的大小有密切的关系。
3.3.2 高斯光束的相位分布
(
x,
y,
z)
k
L 2
(1
)
1
2
x2
L
y
2
(m
n
1)( 2
)
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umnx, y, z CmnHm
2z
z z0
1
L 2z L
2
x2
y2 L
2z0
L
1
2z0 L
2
x2 y2 L
x2 y2
2z0
1
L 2z0
2
3、等相位面的特点
2z
2z0
z
z0
1
L 2z L
2
x2 y2 L
1
L 2z0 L
2
x2 y2 L
x2 y2
2z0
1
L 2z0
2
3.3 高斯光束的传播特性
回顾 ——求解对称开腔中的自再现模积分方程,了解输 出激光的具体场的分布
高阶模结线所致光斑强度分布的不均匀，限制了它的应用，基 模相对均匀，是高斯分布光束，高斯光束有和平面光束和球面 光束完全不同的传输特性。
前瞻 —— 研究高斯光束的传播特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
2 2 2 2 L 0
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
观察基模的腰与方向性的关系。注意影响方向性的因素。
例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 0.638m
2 2 2 2.3103 rad L
某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 10.6m
2 5.2103 rad
一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是表 明激光具有很好的方向性。