2020年高三数学解答题专题训练题精选(含答案解析)(36)
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2020年高考全国III卷理科数学试题(含解析)
一、选择题1.已知集合*{(,)|,,}A x y x y N y x =∈≥，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}A B =，有4个元素，故选C.2.复数113i -的虚部是（ ）A.310-B.110-C.110D.310【答案】D【解析】1131313(13)(13)10i ii i i ++==--+，故选D. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （ ）A.14p p ==30.1=C.14p p ==30.2= 【答案】B等，都为选项中，大部分数4.Logistic 0.23(53)()1t KI t e --=+，其中K *t 约为 （ ）（ln193≈A.60 69 【答案】C1319≈-，∴*66t ≈. 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 （ ） A.1(,0)4 B.1(,0)2 C.(1,0) D.(2,0)【答案】B【解析】不妨设(2,4)D p ，(2,E ，∵OD OE ⊥，∴440OD OE p ⋅=-=，解得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =，其焦点坐标为1(,0)2.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ）A.3135-B.1935-C.1735D.1935【答案】D【解析】由2()||25619a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，又22||27a b a a b b +=+⋅+=，所以()1919cos ,5735||||a a b a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+，故选D.7.在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则cos B = （ ）A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】由余弦定理可知：2222222||||||34||cos 32||||234BC AC AB AB C BC AC +-+-===⋅⨯⨯，可得|| 3 AB =，又由余弦定理可知222222||||||3341cos 2||||2339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯. 故选A.8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A.6+ B. C. D.4+【答案】C棱PC ⊥底面ABC 606=+︒C.9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ= （ ）A.2-B.1-C.1D.2 【答案】D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D.10.若直线l 与曲线y 和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 （ ）A.21y x =+B.122y x =+C.112y x =+ D.1122y x =+ 【答案】D【解析】由y =得y '=假设直线l与曲线y =相切于点0(x ， 则直线l的方程为0)y x x =-，即00x x -+=.由直线l 与圆2215x y +==，解得01x =，故直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F.P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F ∆的面积为4，则a = （ ） A.1D.8 【答案】 A【解析】法一：设1PF m =，则12142PF F S mn ∆==，又ce a=a 所以24tan 45b ︒=又因为c e a ==12.已知5458<，45138<.设5，8，13，则 （ ）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A【解析】易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <， 因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==， 又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <， 综上所述：a b c <<.故选：A. 二、填空题13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________.【答案】7【解析】作出可行域如图所示，由32z x y =+知3122y x z =-+，由图可知，当目标函数过点(1,2)A 时，取得最大值，即max 7z =.14.262()x x+的展开式中常数项是________（用数字作答）.【答案】240【解析】因为2(6)123r r r r r r r ---240.15.________.【答案】3锥的母线长为，可得OD BCOS BS =322r -23316.关于函数1()sin sin f x x x=+. ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称；③()f x 的图像关于直线2x π=对称；④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是________. 【答案】②③【解析】对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--，所以该函数为奇函数，关于原点对称，①错②对；对于③，11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x xπππ-=-+=+=-，所以()f x 关于2x π=对称，③对；对于④，令sin t x =，则[1,0)(0,1]t ∈-，由双勾函数1()f t t t=+的性质，可知()(,2][2,)f t ∈-∞-⋃+∞，所以()f x 无最小值，④错.三、解答题17.设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-. （1）计算23,a a .猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列{2}n n a 的前n 项和n S .【解析】（1）由13a =，134n n a a n +=-，21345a a =-=﹐323427a a =-⨯=，… 猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+. 利用数学归纳法证明：（i ）当1,2,3n =时，显然成立；（ii ）假设()n k k N *=∈时猜想成立，即21k a k =+，则1n k =+时，1343(21)42(1)1k k a a k k k k +=-=+-=++， 所以1n k =+时猜想也成立， 综上（i ）（ii ），所以21n a n =+. （2）令2(2n n n b a ==则12n n S b b b =+++2323252n S =⨯+⨯+由①-②得，1322(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯，化简得(21)2n S n =-⨯18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分別估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据.完成下面的22⨯列联表.并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【解析】（1）根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为1的概率为2162543100100++= 该市一天的空气质量等级为2的概率为5101227100100++=，该市一天的空气质量等级为3的概率为67821100100++=， 该市一天的空气质量等级为4的概率为7209100100++=. （2）由题意，计算得1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=， 即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为350. （3）22⨯列联表如下：由表中数据可得：22100(3383722)K ⨯⨯-⨯所以有95%. 19.如图，在长方体1上且112,2DE ED BF FB ==（1）证明：点1C （2）若12,1,3AB AD AA ===，求二面角1A EF A --的正弦值.【解析】（1）在1AA 上取一点M ，使得12A M AM =，分别连接EM ，1B M ，1EC ， 1FC .在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111 DD AA BB ==， 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，所以1DE AM FB ==， 所以四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形. 所以1//AF MB 且1AF MB =，//AD ME 且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =，所以11//B C ME 且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， 所以11//EC MB ， 所以1//AF EC ，所以点1C ，在平面AEF 内.（2）在长方形1111ABCD A B C D -中，以1C 为原点，11C D 所在直线为x 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 2AB =，1AD =，13AA =所以(2,1,3)A ，E (2,1,0)，则(2,1,EF =-(0,1,1)=--，1(0,1,2)A E =-1111(,,)n x y z =，则1100n EF n AE ⎧⋅=⎧⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =-，设平面1A EF 22(,n x =，则2222210200n EF z y z n A E ⎧⋅==⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎩，取法向量2(1,4,n =所以121212142cos ,||||321n n n n n n ⋅+-<>==⋅⋅设二面角1A EF A -为θ，则42sin 7， 即二面角1A EF A -的正弦值为20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.【解析】（1）c e a ==22516m =，∴C 的方程：221612525x y +=. （2）设直线BP ：(5)y k x =-，与椭圆C 联立可得：2222(116)160400250k x k x k +-+-=.设00(,)P x y ，则202400255116k x k -=+，∴202805116k x k-=+，∴0210||5|116PB x k =-+. ∵BP BQ ⊥，∴直线BQ ：1(5)y x k=--.令6x =，1y k =-，∴1(6,)Q k -，||BQ =∵||||BP BQ =，∴214k =或2164k =. 根据椭圆的对称性，只需讨论12k =和18k =的情况，当12k =时，03x =，||PQ =PQ 点A 到直线PQ 11122APQ S PQ d ∆=.||⋅=当18k =时，03x =-||PQ =∴点A 到直线PQ ∴21|2APQ S PQ d ∆=.|⋅综上52APQ S ∆=.21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直.（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）2()3f x x b '=+，又曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直，∴13()024f b '=+= ，解得34b =-.（2）设0x 为()f x 的一个零点，且011x -≤≤，由题意可知30034c x x =-+，令33()(11)4x x x x ϕ=-+-≤≤，则11()3()()22x x x ϕ'=-+，此时1(1,)2x ∈--，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；11(,)22x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；1(,1)2x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则1(1)4f -=，11()24f -=-，11()24f =，1(1)4f =-，此时1144c -≤≤，再设1x 为()f x 的零点，则31113()04f x x x c =-+=，311131444x x -≤-+≤，整理得2111211(1)(1)01(1)()0x x x x x ⎧-++≤⎪⎨+-≥⎪，解得111x -≤≤， 则()f x 四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 1t ≠），C 与坐标轴交于,A B （1）求||AB ；（2的极坐标方程. 【解析】（1）当x =,求得12y =;当0y =时,求得2t =或t (0,12)和(4,0)-,||AB （2）由（1）得直线3120x y -+=,故直线AB 23.设a ，b ，c R ∈，（1）证明：ab bc ++（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c的最大值，证明：max{,,}a b c ≥. 【解析】（1）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---223()024b a b =-+-<.（2）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，∵1abc =，∴()1ab a b -+=，即：2210ba b a ++=，∵0b ≠，则440b b ∆=-≥. 不妨设b 为max{,,}a b c ，则340b -≥，即b ≥，∴max{,,}a b c ≥。
2020全国3卷高考数学试题解析
2020全国1卷高考数学试题解析1．已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【思路分析】利用交集定义求出{(7,1)A B =，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．由此能求出A B 中元素的个数．【解析】：集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，{(AB x ∴=，*)|,}{(7,1)8,y xy x y N x y ⎧∈=⎨+=⎩，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．A B ∴中元素的个数为4．故选：C ．【总结与归纳】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．复数113i-的虚部是( ) A ．310-B ．110-C ．110D ．310【思路分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：1131313(13)(13)1010i i i i i +==+--+，∴复数113i -的虚部是310．故选：D ． 【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A ．140.1p p ==，230.4p p ==B ．140.4p p ==，230.1p p ==C ．140.2p p ==，230.3p p ==D ．140.3p p ==，230.2p p ==【思路分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．【解析】：选项:()10.120.430.440.1 2.5A E x =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以2222()(1 2.5)0.1(2 2.5)0.4(3 2.5)0.4(4 2.5)0.10.65D x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；同理选项:() 2.5B E x =，() 1.85D x =；选项:() 2.5C E x =，() 1.05D x =；选项:() 2.5D E x =，() 1.45D x =；故选：B ．法二：标准差是反映数据波动的大小，波动越大，则方差越大，根据四个选项概率分布可知B 偏离平均值较大，所以标准差最大.【总结与归纳】本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键．4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(193)ln ≈A ．60B ．63C ．66D ．69【思路分析】根据所给材料的公式列出方程0.23(53)0.951t K K e --=+，解出t 即可．【解析】：由已知可得0.23(53)0.951t K K e --=+，解得0.23(53)119t e --=， 两边取对数有0.23(53)19t ln --=-，解得66t ≈，故选：C ．【总结与归纳】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题5．设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A ．1(4，0)B ．1(2，0)C ．(1,0)D ．(2,0)【思路分析】利用已知条件转化求解E 、D 坐标，通过1OD OE k k =-，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解析】：法一：将2x =代入抛物线22y px =，可得y =±OD OE ⊥，可得1OD OE k k =-，212p -=-，解得1p =，所以抛物线方程为：22y x =，它的焦点坐标1(2，0)．故选：B ．法二：抛物线过顶点O 垂直的两条弦OD OE ⊥，则DE 直线过定点(2,0)p ，则可知221p p =⇒=，所以焦点坐标为1(,0)2【总结与归纳】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-，则cos a <，(a b +>= )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【思路分析】利用已知条件求出||a b +，然后利用向量的数量积求解即可．【解析】：向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-，可得22||225127a b a a b b +=++=-=，cos a <，2()25619575735||||a ab a a b a b a a b ++-+>====⨯⨯+．故选：D ． 【总结与归纳】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．7．在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos (B = ) A ．19B ．13C ．12D ．23【思路分析】先根据余弦定理求出AB ，再代入余弦定理求出结论．【解析】：在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =， 由余弦定理可得2222222cos 4324393AB AC BC AC BC C =+-=+-⨯⨯⨯=； 故3AB =；2222223341cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-∴===⨯⨯，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【思路分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．【解析】：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，2PA AB AC ===，PA 、AB 、AC 两两垂直，故22PB BC PC ===，几何体的表面积为：213322(22)62324⨯⨯⨯+⨯=+故选：C ．【总结与归纳】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan (θ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【思路分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．【解析】：由2tan tan()74πθθ-+=，得tan 12tan 71tan θθθ+-=-，即22tan 2tan tan 177tan θθθθ---=-，得22tan 8tan 80θθ-+=，即2tan 4tan 40θθ-+=，即2(tan 2)0θ-=，则tan 2θ=，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等．10．若直线l 与曲线y =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为( )A ．21y x =+B ．122y x =+C ．112y x =+ D ．1122y x =+【思路分析】根据直线l 与圆2215x y +=相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y =求一解可得答案；【解析】：法一：直线l 与圆2215x y +=相切，那么直线到圆心(0,0)，四个选项中，只有A ，D 满足题意；对于A 选项：21y x =+与y =联立可得：210x +=，此时：无解；对于D 选项：1122y x =+与y =联立可得：11022x =，此时解得1x =；∴直线l 与曲线y =和圆2215x y +=都相切，方程为1122y x =+，故选：D ．法二：设直线l 为y kx b =+=1）设直线与曲线y =0(x ，则01201'|2x x y x k -===，（2）0kx b =+(3)根据（2）（3）可得：b =1）得01x =或015x =-（舍去） 所以12k b ==【总结与归纳】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题，采用选项检验，排除思想做题，有时事半功倍．11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则(a = )A ．1B ．2C ．4D ．8【思路分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a 即可．【解析】：法一：由题意，设2PF m =，1PF n =，可得2m n a -=，142mn =，2224m n c +=，c e a ==可得224164c a =+，可得2254a a =+，解得1a =．故选：A ．法二：122244tan 45PF F b S b ∆==⇒=，根据离心率有225c a=，又因为222c b a =+，所以1a = 【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．12．已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【思路分析】根据ab，可得a b <，然后由8log 50.8b =<和13log 80.8c =>，得到c b >，再确定a ，b ，c 的大小关系．【解析】： 法一：因为45884log 8,log 5,5b ==，因为45455(8)85=>，所以4585>，所以45884log 8log 55b =>=，即45b < 因为4513134log 13,log 8,5c ==，因为45455(13)138=<，所以45138<，所以4513134log 13log 85c =<=，即45c >因为45554log 5,log 3,5a ==，因为45455(5)56252433==>=，所以4553>，所以45554log 5log 3,5a =>=，即45a <， 又因为752187353125=<=，所以75lg3lg5<，所以7lg35lg5<，所以lg35lg57< ，所以lg354lg575a =<< 而5785<，所以5lg87lg5<，所以lg55lg87>，所以lg 55lg87b =>，所以c b a >> 法二 ：2255555583(38)24log 3log 8()1542log log log log a b log +==<=<，a b ∴<； 5458<，554log 8∴<，5log 8 1.25∴>，8log 50.8b ∴=<；45138<，1345log 8∴<，13log 80.8c ∴=>，c b ∴>，综上，c b a >>．故选：A ．【总结与归纳】本题考查了三个数大小的判断，指数对数的运算和基本不等式的应用，考查了转化思想，是基础题．13．若x ，y 满足约束条件0,20,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩则32z x y =+的最大值为 7 ．【思路分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，32z x y =+表示直线在y 轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y 轴上的截距最大值即可．【解析】：先根据约束条件画出可行域，由120x x y =⎧⎨-=⎩解得(1,2)A ，如图，当直线32z x y =+过点(1,2)A 时，目标函数在y 轴上的截距取得最大值时，此时z 取得最大值，即当1x =，2y =时，31227max z =⨯+⨯=．故答案为：7．【总结与归纳】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．262()x x+的展开式中常数项是 240 （用数字作答）．【思路分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解析】：由于262()x x+的展开式的通项公式为123162r r r r T C x -+=，令1230r -=，求得4r =，故常数项的值等于4462240C =，故答案为：240．【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为2．【思路分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．【解析】：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线3BS =，底面半径1BC =，则其高2222SC BS BC =-=，不妨设该内切球与母线BS 切于点D ，令OD OC r ==，由SOD SBC ∆∆∽，则OD BCOS BS=， 即1322rr =-，解得22r =，34233V r ππ==，故答案为：23π．【总结与归纳】本题考查圆锥内切球，考查球的体积公式，数形结合思想，属于中档题．16．关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于y 轴对称．②()f x 的图象关于原点对称．③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ②③ ．【思路分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可．【解析】：对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--；所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；对于③，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-，所以该函数()f x 关于2x π=对称，③对； 对于④，令sin t x =，则[1t ∈-，0)(0⋃，1]，由双勾函数1()g t t t =+的性质，可知，1()(g t t t=+∈-∞，2][2-，)+∞，所以()f x 无最小值，④错；故答案为：②③．【总结与归纳】本题考查了函数的基本性质，奇偶性的判断，求函数的对称轴、值域，属于基础题．17．（12分）设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-．（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{2}n n a 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）利用数列的递推关系式求出2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前n 项和n S ．【解析】：（1）数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-，则21345a a =-=，323427a a =-⨯=，⋯，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+．证明如下：()i 当1n =，2，3时，显然成立，()ii 假设n k =时，21()k a k k N +=+∈成立，当1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++，故1n k =+时成立，由()()i ii 知，21n a n =+，猜想成立，所以{}n a 的通项公式21n a n =+．（2）令2(21)2n n n n b a n ==+，则数列{2}n n a 的前n 项和123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⋯++，⋯①两边同乘2得，23123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⋯++，⋯②①-②得，2132222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⋯+-+218(12)6(21)212n n n -+-=+-+-，所以1(21)22n n S n +=-+．【总结与归纳】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法和数列求和，考查了转化思想和计算能力，属中档题．18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）:（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：2()()()()K a b c d a c b d =++++)k【思路分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为4的概率；（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；（3）由公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算k 的值，从而查表即可，【解析】：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：2162543100100++=； 该市一天的空气质量等级为2的概率为：5101227100100++=； 该市一天的空气质量等级为3的概率为：67821100100++=； 该市一天的空气质量等级为4的概率为：7209100100++=； （2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=；（3）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表，人次400 人次400> 总计空气质量好 33 37 70空气质量不好 22 8 30总计 55 45 100由表中数据可得：222()100(3383722) 5.802 3.841()()()()70305545n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．【总结与归纳】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【思路分析】（1）在1AA 上取点M ，使得12A M AM =，连接EM ，1B M ，1EC ，1FC ，由已知证明四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形，可得1//AF MB ，且1AF MB =，//AD ME ，且AD ME =，进一步证明四边形11B C EM 为平行四边形，得到11//EC MB ，且11EC MB =，结合1//AF MB ，且1AF MB =，可得1//AF EC ，且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，从而得到点1C 在平面AEF 内；（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，以1C 为坐标原点，分别以11C D ，11C B ，1C C 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．分别求出平面AEF 的一个法向量与平面1A EF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1A EF A --的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角1A EF A --的正弦值．【解答】（1）证明：在1AA 上取点M ，使得12A M AM =，连接EM ，1B M ，1EC ，1FC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111DD AA BB ==．又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，1DE AM FB ∴==．∴四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形．1//AF MB ∴，且1AF MB =，//AD ME ，且AD ME =．又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =，11//B C ME ∴且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形，11//EC MB ∴，且11EC MB =，又1//AF MB ，且1AF MB =，1//AF EC ∴，且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，∴点1C 在平面AEF 内；（2）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，以1C 为坐标原点，分别以11C D ，11C B ，1C C 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2AB =，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，(2A ∴，1，3)，(2B ，0，2)，(0F ，1，1)，1(2A ，1，0)，则(2,1,1)EF =--，(0,1,1)AE =--，1(0,1,2)A E =-．设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =．则1111111200n EF x y z n AE y z ⎧=-+-=⎪⎨=--=⎪⎩，取11x =，得1(1,1,1)n =-； 设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =．则222221222020n EF x y z n A E y z ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取21x =，得2(1,4,2)n =． 1212121427cos ,7||||321n n nn n n +-∴<>===． 设二面角1A EF A --为θ，则sin θ==． ∴二面角1A EF A --．【总结与归纳】本题考查平面的基本性质与推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<15，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积．【思路分析】（1）根据ce a=，225a =，22b m =，代入计算2m 的值，求出C 的方程即可； （2）设出P ，Q 的坐标，得到关于s ，t ，n 的方程组，求出(8,1)AP =，(11,2)AQ =，从而求出APQ ∆的面积．【解析】：（1）由c e a =得2221b e a =-，即21511625m =-，22516m ∴=，故C 的方程是：221612525x y +=；（2）由（1）(5,0)A -，设(,)P s t ，点(6,)Q n ，根据对称性，只需考虑0n >的情况，此时55s -<<，504t<， ||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+①，又BP BQ ⊥，50s nt ∴-+=②，又221612525s t +=③， 联立①②③得312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP =，(11,2)AQ =， 22215()|82111|22APQ S AQ AP AQ ∆∴-=⨯-⨯=， 同理可得当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S ∆=，综上，APQ ∆的面积是52． 【总结与归纳】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．21．（12分）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点1(2，1())2f 处的切线与y 轴垂直．（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【思路分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得211()3()022f b '=⨯+=，由此求得b 值； （2）设0x 为()f x 的一个零点，根据题意，30003()04f x x x c =-+=，且0||1x ，得到30034c x x =-+，由0||1x ，对()c x 求导数，可得()c x 在[1-，1]上的单调性，得到1144c -．设1x 为()f x 的零点，则必有31113()04f x x x c =-+=，可得311131444c x x -=-+，由此求得1x 的范围得答案． 【解答】（1）解：由3()f x x bx c =++，得2()3f x x b '=+，211()3()022f b ∴'=⨯+=，即34b =-； （2）证明：设0x 为()f x 的一个零点，根据题意，30003()04f x x x c =-+=，且0||1x ， 则30034c x x =-+，由0||1x ， 令33()(11)4c x x x x =-+-， 2311()33()()422c x x x x ∴'=-+=-+-， 当(1x ∈-，11)(22-⋃，1)时，()0c x '<，当1(2x ∈-，1)2时，()0c x '>可知()c x 在1(1,)2--，1(2，1)上单调递减，在1(2-，1)2上单调递增． 又1(1)4c -=，c （1）14=-，11()24c -=-，11()24c =， ∴1144c -． 设1x 为()f x 的零点，则必有31113()04f x x x c =-+=， 即311131444c x x -=-+， ∴321111321111431(1)(21)0431(1)(21)0x x x x x x x x ⎧--=-+⎪⎨-+=+-⎪⎩，得111x -， 即1||1x ．()f x ∴所有零点的绝对值都不大于1．【总结与归纳】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,(23x t t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩为参数且1)t ≠，C 与坐标轴交于A ，B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【思路分析】（1）可令0x =，求得t ，对应的y ；再令0y =，求得t ，对应的x ；再由两点的距离公式可得所求值；（2）运用直线的截距式方程可得直线AB 的方程，再由由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得所求极坐标方程．【解析】：（1）当0x =时，可得2(1t =-舍去），代入223y t t =-+，可得26412y =++=，当0y =时，可得2(1t =舍去），代入22x t t =--，可得2244x =--=-，所以曲线C 与坐标轴的交点为(4,0)-，(0,12)，则||AB =（2）由（1）可得直线AB 过点(0,12)，(4,0)-，可得AB 的方程为1124y x -=， 即为3120x y -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．【总结与归纳】本题考查曲线的参数方程的运用，考查直线方程的求法和两点的距离公式的运用，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题．23．设a ，b ，c R ∈，0a b c ++=，1abc =．（1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用{max a ，b ，}c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：{max a ，b ，3}4c ．【思路分析】（1）将0a b c ++=平方之后，化简得到222222()0ab ac bc a b c ++=-++<，即可得证；（2）利用反证法，假设0a b c <<<【解答】证明：（1）0a b c ++=，2()0a b c ∴++=， 2222220a b c ab ac bc ∴+++++=，222222()ab ac bc a b c ∴++=-++，1abc =，a ∴，b ，c 均不为0，222222()0ab ac bc a b c ∴++=-++<，0ab ac bc ∴++<；（2）不妨设0a b c <<<1ab c =， 0a b c ++=，a b c ∴--=<，而1123164244a b ab -->=== 故{max a ，b ，3}4c ．。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2， 即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝， 解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)
C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．
2020届高三数学试卷有答案
，选
B.
【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看， 复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目
之一.
2．C 【解析】 【分析】
由题得 CB ={x|x≤2 或 x≥7}，再求 A CB 得解.
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l2 : cos 3，从原点 O 作射线交 l2 于点
M，点 N 为射线 OM 上的点，满足 OM ON 12 ，记点 N 的轨迹为曲线 C．
（Ⅰ）求出直线 l1 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l1 与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 AP AQ 的值． 23．已知函数 f (x) | x 1| | x 2 |.
（1）求不等式 f (x) 1的解集；
（2）若 f ( x) | a 1 | 的解集为实数集 R ，求实数 a 的取值范围.
答案第 6页，总 6页
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1．B 【解析】
参考答案
试题分析：
z
2 1i
2(1 i) (1 i)(1 i)
1
i, z
1
i
答案第 4页，总 6页
的取值范围. 20．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河 北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确 定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最 后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试 点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所 示：
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)及答案解析
试题第1页，总21页绝密★启用前2020年全国统一高考数学试题（理科)（新课标Ⅲ)试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可.试题第2页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．试题第3页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
2020年高考真题：数学(江苏卷)【含答案及解析】
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =I _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4p a + =23，则sin 2a 的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-ÎN ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==°，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO ¢为铅垂线(O ¢在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO ¢的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO ¢的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO ¢的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ¢的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E ¢为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ×uu u r uu u r的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+ÎR 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ³³．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=¥-¥+，，，，求h (x )的表达式；（2）若21ln ,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+¥，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2()(48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =Íéë，求证：n m -£．20.已知数列{}*()În a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a l ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b éù=êú-ëûM 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A r 在直线:cos 2l r q =上，点2π(,6B r 在圆:4sinC r q =上（其中0r ³，02q p £<）．（1）求1r ，2r 的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ÎR ，解不等式2|1|||4x x ++£．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．答案及解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =I _____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =I 故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i=-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636´=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==.故答案为：19.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.【答案】32【解析】【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =Þ=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知2sin ()4p a + =23，则sin 2a 的值是____.【答案】13【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()sin )(1sin 2)4222p a a a a +=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233a a \+=\=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2p -【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为2624´´´圆柱体积为21()222p p ×=所求几何体体积为2p-故答案为：2p-【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x p =-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(26412y x x p p p =-+=-72()()122242k x k k Z x k Z p p p p p -=+Î\=+Î当1k =-时524x p =-故答案为：524x p =-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-ÎN ，则d +q 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ¹.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -æö=+=+-ç÷èø，等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b Q q q q q-==-+---，依题意n n n S P Q =+，即22111212211n n b b d d n n n a n q q q æö-+-=+--+ç÷--èø，通过对比系数可知111212211d d a q b qì=ïïï-=-ïíï=ïï=-ï-îÞ112021d a q b =ìï=ïí=ïï=î，故4d q +=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y -+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451x y y +=∴0y ¹且42215y x y -=∴2245x y +==，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）.13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==°，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】【分析】根据题设条件可设()0PA PD l l =>u u u r u u u r ，结合32PA mPB m PC æö=+-ç÷èøu u u ru u u r u u u r 与,,B D C 三点共线，可求得l ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD l l =>u u u r u u u r ，∵32PA mPB m PC æö=+-ç÷èøu u u r u u u r u u u r ，∴32PD mPB m PC l æö=+-ç÷èøu u u r u u u r u u u r ，即32m m PD PB PC l læö-ç÷èø=+u u u r u u u r u u u r ，若0m ¹且32m ¹，则,,B D C 三点共线，∴321m m l læö-ç÷èø+=，即32l =，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC Ð=°，∴5BC =，设CD x =，CDA q Ð=，则5BD x =-，BDA p q Ð=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD q +-==×，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x p q --+--==×-，∵()cos cos 0q p q +-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC =u u u ru u ur ，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =u u u r u u u r ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD l l =>u u u r u u u r．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得PC AB ^,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB=\^Q设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PAB S d £×+=V 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d ¢=-+£<\=+--+=\=（负值舍去）当04d £<时，0y ¢>；当46d £<时，0y ¢£，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S V 取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ^平面1AB C ，来证得平面1AB C ^平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF Ì/平面11AB C ,1AB Ì平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ^平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以1B C AB ^.由于1,AB AC AC B C C ^Ç=，所以AB ^平面1AB C ,由于AB Ì平面1ABB ，所以平面1AB C ^平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．【答案】（1）sin 5C =；（2）2tan 11DAC Ð=.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC Ð的值，求得sin ADC Ð的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ÐÐ的值，进而求得tan DAC Ð的值.【详解】（1）由余弦定理得2222cos 922352b ac ac B =+-=+-´=，所以b =.由正弦定理得sin sin sin sin 5c b c B C C B b =Þ==.（2）由于4cos 5ADC Ð=-，,2ADC p p æöÐÎç÷èø，所以3sin 5ADC Ð==.由于,2ADC p p æöÐÎç÷èø，所以0,2C p æöÎç÷èø，所以cos 5C ==所以()sin sin DAC DAC p Ð=-Ð()sin ADC C =Ð+Ðsin cos cos sin ADC C ADC C =Ð×+Ð×34555525æö=´+-´=ç÷èø.由于0,2DAC p æöÐÎç÷èø，所以cos 25DAC Ð==.所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ÐÐ==Ð.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO ¢为铅垂线(O ¢在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO ¢的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO ¢的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO ¢的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ¢的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E ¢为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E ¢=米【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ¢¢=-´+´\=||||||8040120AB O A O B ¢¢\=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O ¢=´=，设||O E x ¢=，32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x ¢\=+-\=-=\=(0舍去)当020x <<时，()0f x ¢<；当2040x <<时，()0f x ¢>，因此当20x =时，()f x 取最小值，答：当20O E ¢=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ×uu u r uu u r的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77æö--ç÷èø.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ^，求出31,2A æöç÷èø，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ¹.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ^∴31,2A æöç÷èø∵准线方程为4x =∴()4,QQ y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ×=×--=-=--³-u u u r u u u r ，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ×uu u r uu u r的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A æöç÷èø，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==´´´=×∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =ìí=î，1127127x y ì=-ïïíï=-ïî.∴()2,0M 或212,77æö--ç÷èø.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键.19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+ÎR 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ³³．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=¥-¥+，，，，求h (x )的表达式；（2）若21ln ,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+¥，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2()(48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =Íéë，求证：n m -£．【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k Î；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0h x g x -³，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -³，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ³，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+£+£+对任意的x ÎR 恒成立.令0x =，则00b ££，所以0b =.因此22kx x x £+即()220x k x +-³对任意的x ÎR 恒成立，所以()220k D =-£，因此2k =.故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-¢=×.若k 0<，则()F x 在()0,1上递增，在()1,+?上递减，则()()10F x F £=，即()()0h x g x -£，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意.当0k >时，()F x 在()0,1上递减，在()1,+?上递增，则()()10F x F ³=，即()()0h x g x -³，符合题意.综上所述，0k ³.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++³当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在()0,+?为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x Î+¥，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=³，符合题意.当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k D =+-+£，解得13k -<£.综上所述，k 的取值范围是[]0,3k Î.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -³--+³-对任意[,][x m n ÎÌ恒成立，()423422432x x t t x t t -³--+对任意[,][x m n ÎÌ恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-³对任意[,][x m n ÎÌ恒成立.故222320x tx t ++-³对任意[,][x m n ÎÌ恒成立令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t D =-+>-<-<，此时1n m t -£+<+<，当212t ££，2880t D =-+£，但()234248432x t t x t t -³--+对任意的[,][x m n ÎÌ恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-£对任意的[,][x m n ÎÌ恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-×=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t l l =Î，则n m -=.构造函数()[]()325381,2P l l l l l =-++Î，()()()23103331P l l l l l ¢=-+=--，所以[]1,2l Î时，()0P l ¢<，()P l 递减，()()max 17P P l ==.所以()max n m -=n m -£.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列{}*()În a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a l ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）21,134,2n n n a n -=ì=í׳î（3）01l <<【解析】【分析】（1）根据定义得+11n n n S S a l +-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a l ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1()3n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ；（3）根据定义得111333+11n n n SS a l +-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a l l l ++++-=\==\º\=/Q （2）11221100n n n n n a S S SS ++>\>\->Q111222+1+1()3n nn n S S S S -=-Q 1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S \-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -\-=+\\\=111S a ==Q ，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---\=-=׳21,134,2n n n a n -=ì\=í׳î（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"l -数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S l l +-=\-=-1133+1n n S S \=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n S S S S S S l -=+++1n n S S \=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S l l l -+-++=∵对于给定的l ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"l -数列，且0n a ³1,10,2n n a n =ì\=í³î或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S l l l l -+-++=¹有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S l l l l -+-++=¹可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S l l l l -++-+=¹，不妨设()1310n n S x x S +æö=>ç÷èø，则()3233(1)(2)(1)01x x l l l l -+++-=¹有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x l l l l =-+++-=¹.①当1l <时，32323(2)4(1)004l l l D =+-->Þ<<，即01l <<，此时()3010f l =-<，33(2)02(1)x l l +=->-对，满足题意.②当1l >时，32323(2)4(1)004l l l D =+-->Þ<<，即1l <<()3010f l =->，33(2)02(1)x l l +=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01l <<【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b éù=êú-ëûM 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =ìí=î；（2）121551255M -éù-êú=êúêúêúëû.【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11a M b éù=êú-ëû对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b éùéùéù=êúêúêú---ëûëûëû∴21324a b -=ìí--=-î，解得22a b =ìí=î（2）设1m n Mc d -éù=êúëû，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++éùéù=êúêú-+-+ëûëû∴21202021m c n d m c n d +=ìï+=ïí-+=ïï-+=î，解得25151525m n c d ì=ïïï=-ïíï=ïïï=î∴121551255M -éù-êú=êúêúêúëû【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A r 在直线:cos 2l r q =上，点2π(,6B r 在圆:4sinC r q =上（其中0r ³，02q p £<）．（1）求1r ，2r 的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】（1）1242r r ==，（2）)4p【解析】【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43pr r =\=Q ，因为点B 为直线6p q =上，故其直角坐标方程为3y x =，又4sin r q =对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由22340y x x y y ì=ïíï+-=î解得00x y ==ìíî或1x y ì=ïí=ïî对应的点为())0,0,，故对应的极径为20r =或22r =.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21r q r q q q q ==\=\=Q ，5[0,2),,44p p q p q Î\=Q ，当4pq =时r =当54p q =时0r =-<，舍；即所求交点坐标为当4p 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ÎR ，解不等式2|1|||4x x ++£．【答案】22,3éù-êúëû【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-ìí---£îQ 或10224x x x -££ìí+-£î或0224x x x >ìí++£î21x \-£<-或10x -≤≤或203x <£所以解集为22,3éù-êúëû【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．【答案】（1）15（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD==\^Q 以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -\(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE \=-=\<>==-uu u r uu u r uu u r uuu r 从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =u r11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ì+=×=ìï=\íí++=×=ïîîu v u u u vu uu v u v uu u vQ 令112,1(2,1,1)y x z n =\=-=\=-u r设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =u u r 11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ìì+=×=ïï=+=+=\íí×=ïîï++=îu u v u u u v u uu v u u u v u u u v u u u v uu u v u uv u u u v Q 令111272,5(2,7,5)y x z n =-\==\=-u ur12cos ,n n \<>==u r u u r因此sin 13q ==【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ´´====´´，211131211227++3333333927p p q ´´=´´=´´=´´，211231122222516+0+3333333927q p q ´´+´=´´+=´´=´´（2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----´´=´´=´´，111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----´´+´´=´´+--´=-´´´，因此112122+333n n n n p q p q --+=+，从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+\+-=-，即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-\+=+.又n X 的分布列为nX 012P1n np q --n q np 故1()213n n n nE X p q =+=+.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.。
2020年全国三卷高考数学真题及答案（仅供参考）
2020年全国三卷高考数学真题及答案（仅供参考）（完整的真题图片，请看微头条内容）
2020年三卷数学，谈谈我最大的感受，这套数学题用了大量初中的平面几何知识，如5、7、10，乃至20题解析几何第二问，用割补法就可以求出面积，基本没用传统的设而不求法，着实有点意外。
我觉得出的比较好的两个题，第3题，考察方差的基本数学定义，肯定要考倒一片人，你要是挨着去算方差，恭喜你做了一个大题。
此外12题也还可以，用了类比思想，考察知识迁移，技巧性也还不错。
至于三卷的压轴题，导函数，其实就是分类讨论思想，画出每一类的大致图像，还是能很快的做出来的。
整体来说，今年的三卷还算基础，比去年难度有所降低，而且降得不算少。
河北省2020年高三3月联考理科数学试题(含答案+全解全析)
河北省2020年高三3月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=3-x }，B={x|1<x≤9），则(C R A)∩B=A.(3,9)B.(1,3)C.[3,9] D ．φ 2．已知复数z=ii-25+ 5i ，则|z|= A.5 B ．32 C ．52 D ．23．已知向量a =(0，2)，b =(23 ，x)，且a 与b 的夹角为3π，则x=A ．-2B ．2C ．1D ．-l4．若双曲线C:221x y m-=的一条渐近线方程为3x+2y=0,则m=A.49B.94C.23D.325．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角 形全等，则A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为38 C. |PA|=|PB|=|PC|=6D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为356．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把 苹果近似看成球体）的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在（75，90]内的概率为 附：若X ～N （μ，σ2），则P(μ-σ<X ≤μ+σ)一0.6826，P(μ- 2σ<X ≤μ+2σ) =0. 9544. A.0. 6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544 7．将函数2)63sin(3)(-+-=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间],18[θπ-上的最大值为1，则θ的最小值为A ．3πB ．12πC ．18πD.6π8.函数2ln ||()||x f x x x =-的图象大致为9.设不等式组0,30x y x ⎧+≥⎪⎨⎪≤⎩表示的平面区域为Ω,若从圆C:x 2+y 2=4的内部随机选取一点P,则P 取自Ω的概率为A.524B.724C.1124D.172410.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且在[0,＋∞)上是增函数,不等式f(ax ＋2)≤f(-1)对于x ∈[1,2]恒成立,则a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B 1.1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[0,1]11.已知直线v=k(x-l)与抛物线C ：y 2=4x 交于A ，B 两点，直线y=2k(x-2)与抛物线D ：y 2=8x 交于M ，N 两点，设λ=|AB|-2|MN|,则A.λ<-16B.λ=-16C.-12<λ<0D.λ=-1212.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将l 到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为A. 56383B.57171C.59189D.61242第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．83)12(xx -的展开式中的常数项为 ． 14.函数1)4()(-+-=x x x x f 的值域为 ．15.在数列{a n }中,a 1=1,a n ≠0,曲线y=x 3在点(a n ,a n 3,)处的切线经过点(a 1n +,0),下列四个结论:①223a =;②313a =;③416527i i a ==∑;④数列{a n }是等比数列. 其中所有正确结论的编号是______.16.如图，在三棱锥A-BCD 中，点E 在BD 上，EA=EB=EC=ED ，BD=.2CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含 端点），且AM=CN ，则当四面体C- EMN 的体积取得最大值32时， 三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为 ．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(12分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2a-c=2bcosC. (1)求sin()2A CB ++的值; (2)若3b =,求c-a 的取值范围.18.（12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,BC= CD=l,PD=2 .(l)证明：AB ⊥PD.(2)求二面角A- PB-C 的余弦值．19.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向，为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：(l)从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤=.300250,1480,250100,220,1000,0x x x y 假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.61,121,121,61,31,619月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替．(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；( ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2. 88万元？说明你的理由．20.(12分)已知椭圆C:2221(1)x y a a+=>的左顶点为A,右焦点为F,斜率为1的直线与椭圆C 交于A,B 两点,且OB⊥AB,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M,N 两点,若点P 满足3OP PM =u u u r u u u u r,且NP 与椭圆C的另一个交点为Q,求||||NP PQ 的值. 21.（12分） 设函数f(x)=x-x1，g(x)=tlnx ，其中x ∈(0，1)，t 为正实数． (l)若f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数t 的取值范围； (2)设 H (x) = (lnx-x 2+1)e x +(x 2-l) (l-x1)，证明：对任意x ∈(0，1)，都有H(x)>0．(二)选考题:共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程24,4x t y t =⎧⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程; (2)已知射线(0)2πθαα=<<与C 1交于O,P 两点,与C 2交于O,Q 两点,且Q 为OP 的中点,求α.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x-2|+|2x-1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c 均为正实数,且12a b c m ++=,求a 2+b 2+c 2的最小值.。
高考理科数学(3卷)：答案详细解析(最新)
C．1
D．2
【解析】2 tan
tan(
)
2 tan
1 tan
7
，化简得 tan2
4 tan
4
0
，
4
1 tan
解得 tan 2 .
【答案】D
10．（解析几何）若直线 l 与曲线 y
x
和
x2
y2
1 5
都相切，则
l
的方程为
A．y=2x+1
B．y=2x+ 1
2
C．y= 1 x+1
2
D．y= 1 x+ 1
2020 年高考理科数学（全国 3 卷）答案详解及试题
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（III 卷）答案详解
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1．（集合）已知集合 A {(x, y) | x, y N* , y x}，B {(x, y) | x y 8}，则 A B
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2020 年高考理科数学（全国 3 卷）答案详解及试题
点 A(2,1)时，直线在 y 轴上的截距最大，即 z 有最大值，所以 zmax=7.
图 A13
【答案】7
14．（概率统计）
x2
2 x
6
的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
解法一：构造不等式： 34
53
， 54
83
，同理可得
a
log5
3
3 4
，
b
log8
5
3 4
.
2020高三数学(理科)测试试题及参考答案解析
2020高三测试试题 数学 (理科）一、 选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分 1函数||2)(x x f -=的值域是（ ）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x = D ．x y tan = 3．已知命题:0p x ∃≥，23x=，则A ．:0p x ⌝∀<，23x≠ B ．:0p x ⌝∀≥，23x≠ C ．:0p x ⌝∃≥，23x≠ D ．:0p x ⌝∃<，23x≠4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为A ．6B ．7C ．8D ． 95. 把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合，则a 为A ． 4B ． 2C ． 12 D ． 146．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60 C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线7．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a = （ ） A. 14 B. 28 C. 21 D. 358．已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数，则下面四个结论中正确的是①21a a <与32a a >可能同时成立； ②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b b A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．30cos x dx π=⎰_________ ．10．函数()ln 2f x x x =-的极值点为_________． 11．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________ ． 12．在ABC ∆中，90A ∠=o，且1AB BC ⋅=-u u u r u u u r,则边AB 的长为 ．13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示. 给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是 ． 14．对于数列{}n a ,定义数列}{m b 如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值．（Ⅰ）设{}n a 是单调递增数列,若34a =，则4b =____________ ；（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为*21,n a n n N =-∈，则数列{}m b 的通项是________(1)(2)(3)三 解答：15 （本小题共12分）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边的长分别为,,,a b c 已知5b =，sin 4A =，4ABC S ∆=. （I ）求c 的值； （II ）求sin C 的值 .16 （本小题共12分）在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+（1,2,3...n =），求数列}{n b 的前n 项和n S .17（14分） 已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9].过动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP . （I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值. ．18.（14分）.设a ∈R，函数1,0,())1,0.a x x f x x a x ⎧-+<⎪=--> (Ⅰ) 当a =2时，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若对任何x ∈R ，且0x ≠，都有()1f x x >-，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=L L（I ）求123,,a a a 的值；（Ⅱ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅲ）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围.20 （本小题共14分）对x R ∈，定义1, 0sgn()0, 01, 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（I ）求方程)sgn(132x x x =+-的根；（II ）求函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调区间； （III ）记点集()()(){}sgn 1sgn 1,10,0,0x y S x y xyx y --=⋅=>>，点集()(){}lg ,lg ,T x y x y S =∈，求点集T 围成的区域的面积．21已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数xx x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （1）求数列}{n a 的通项公式． （2）若n k na b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．（3）设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项R Q c n ⋂∈，其中1c 是R Q ⋂中的最小数，11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.高三测试试题 答案数学试题(理科）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） (9)(10) 12 (答案写成坐标形式扣3分) (11) 4950(12) 1 (13) ② ③(14) 43b =， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m ,22,21（也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-==)(2,1)(12,**N k k m k N k k m k b m或(1)3()24m m m b n Z -+=+∈ ）. 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （本小题共12分） 解：（I ）由1sin 2ABC S bc A ∆== …………....……..….…2分 可得，6c = ……………....……..….….4分（II ）由锐角△ABC中sin 4A =可得3cos 4A = …………………...…….....6分由余弦定理可得：22232cos 253660164a b c bc A =+-⨯=+-⨯=， ……..….….8分 有：4a = …….. …………....…….9分 由正弦定理：sin sin c aC A=， …….. …………....…….10分即6sin 4sin 4c AC a=== ................................12分16. （本小题共13分）解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =， ……………………………………1分因为0n a >，所以22a = ……………………………………2分 依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q == ……………………………………3分 因为30a >，所以，2=q …………………………………………..4分所以数列}{n a 通项为12-=n n a ………………………………………...6分（II ）12log 21n n n n b a a n +=+=+- ………………………………………....8分可得232(12)(1)(222...2)[123...(1)]122n nn n nS n --=+++++++++-=+- ….......12分 1(1)222n n n +-=-+…………………………………....13分17. （本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数()f x 的对称轴为3=x ，顶点为)9,3(. . ..........2分方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2ab ac a bf 得0,6,1==-=c b a ...........5分得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分方法二：设9)3()(2+-=x a x f ...........4分由0)0(=f ，得1-=a ...........5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分 )4(23236)('2t t t t t S -=-= ...........9分列表...........11分由上表可得4t =时，三角形面积取得最大值. 即2max 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分 18. （本小题共14分） （Ⅰ）解：当0x <时，1()2f x x=-+， 因为01)(2'>=x x f ，所以()f x 在)0,(-∞上为增函数； 当0x >时，()2)1f x x =--，()f x ¢=， 由()0f x ¢>，解得23x >， 由()0f x ¢<，解得203x <<，所以()f x 在),32(+∞上为增函数，在2(0,)3上为减函数.综上，()f x 增区间为)0,(-∞和),32(+∞，减区间为2(0,)3.（Ⅱ）解：当0x <时，由()1f x x >-，得11a x x -+>-，即 11a x x>+-， 设 1()1g x x x=+-，所以1()[()()]113g x x x=--+--≤-=-（当且仅当1x =-时取等号）， 所以当1x =-时，()g x 有最大值3-，因为对任何0x <，不等式11a x x>+-恒成立， 所以 3a >-；当0x >时，由()1f x x >-)11x a x -->-，即a x <-，设()h x x =-，则211())24h x x =-=-，12=，即14x =时，()h x 有最小值14-，因为对任何0x >，不等式a x <-14a <-. 综上，实数a 的取值范围为134a -<<-.19解：（I ）123137,,248a a a ===…………………………………..3分 （II ）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-L ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+-L ②②-①可得121n n a a +-= …………………………..5分 即：111(1)2n n a a +-=-，又1112a -=-…………………………………..7分 所以数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列…………………..…..8分（Ⅲ）由(2)可得11()2n n a =-， ………………………………………...9分22n n n b -= ………………………………………...10分由111112212(2)302222n n n n n n n n n n nb b +++++-------=-==>可得3n < 由10n n b b +-<可得3n > ………………………………………....11分 所以 12345n b b b b b b <<=>>>>L L故n b 有最大值3418b b ==所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤ ………………………………………....12分如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214n b t t ≤-成立，则2max 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-， ………………………………………....13分解得12t ≥或14t ≤-所以，实数t 的取值范围是11(,][42-∞-+∞U ，） ………………………………14分20解：（I ）当0>x 时，1)sgn(=x ，解方程1132=+-x x ，得0=x （舍）或3=x当0=x 时，0)sgn(=x ，0不是方程0132=+-x x 的解 当0<x 时，1)sgn(-=x ，解方程1132-=+-x x ，得1=x （舍）或2=x （舍） 综上所述，3=x 是方程)sgn(132x x x =+-的根. ...........3分 （每一种情况答对即得1分）（II ）函数)(x f 的定义域是}0{>x x ...........4分当2>x 时，x x x f ln )(-=，011)('>-=x x f 恒成立 ...........5分 当20<<x 时，)ln ()(x x x f --=，11)('-=xx f解0)('>x f 得10<<x ...........6分 解0)('<x f 得21<<x ...........7分 综上所述，函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调增区间是),2(),1,0(+∞，单调减区间是)2,1(. ...........8分（III ）设点(),P x y T ∈，则()10,10xyS ∈．于是有10)10()10()110sgn()110sgn(=⋅--yxy x ，得()()sgn 101sgn 1011xyx y ⋅-+⋅-=当0>x 时，x x xxx=-=->-)110sgn(,1)110sgn(,0110 当0<x 时，x x xxx-=--=-<-)110sgn(,1)110sgn(,0110∴x x x =-)110sgn(同理，y y y=-)110sgn(∴}1),{(=+=y x y x T ...........11分点集T 的正方形，面积为2． ...........13分21解：（1）Q 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上，∴2*2()n S n n n N =+∈, 当n 2≥时，12 1.n n n a S S n -=-=+当ｎ＝1时，113a S ==满足上式，所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+….4分（2）由x x x f 2)(2+=求导可得()22f x x =+‘Q 过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ，22n k n ∴=+.24(21)4n k n n n b a n ∴=⋅+⋅＝.12343445447421)4n n ∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯n T +4（①由①×4，得2341443445447421)4n n +=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯n T +4（②①-②得：()231343424421)4n n n +⎡⎤-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+⨯⎣⎦n T +4-（21141434221)414n n n -+⎡⎤-=⨯+⨯+⨯⎢⎥-⎣⎦（4）-（ 26116499n n ++∴=⋅-n T ………………………………………………………………..9分 （3）{22,},{42,}Q x x n n N R x x n n N **==+∈==+∈Q ,Q R R ∴⋂=.又n c Q R ∈⋂Q ，其中1c 是R Q ⋂中的最小数，16c ∴=.{}n c Q 是公差是4的倍数，*1046()c m m N ∴=+∈.又10110115c <<Q ，*11046115m m N<+<⎧∴⎨∈⎩,解得ｍ＝27. 所以10114c =， 设等差数列的公差为d ，则1011146121019c cd ---＝＝＝， 6(1)12126n c n n ∴=++⨯=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-…………14分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (全国卷III) 解析版
2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学一、选择题1.已知集合*{(,)|,,}A x y x y N y x =∈≥，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 答案： C 解答：{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}AB =，有4个元素，故选C.2.复数113i-的虚部是（ ） A.310- B.110- C.110 D.310答案： D 解答：1131313(13)(13)10i i i i i ++==--+，故选D. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A.140.1p p ==，230.4p p == B.140.4p p ==，230.1p p ==C.140.2p p ==，230.3p p ==D.140.3p p ==，230.2p p ==答案： B 解答：根据每个选项中都有14p p =，23p p =，且411i i p ==∑，∴各选项中样本平均值相等，都为2.5，数值离其平均值之间的差异越大，标准差越大.显然，B 选项中，大部分数值与平均值之间的差异较大，∴选B.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln193≈） A.60 B.63 C.66 D.69 答案： C 解答： 令*0.23(53)0.951tK K e --=+，∴*0.23(53)119te --=，*10.23(53)ln319t --=≈-，∴*66t ≈. 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A.1(,0)4B.1(,0)2C.(1,0)D.(2,0) 答案： B 解答：不妨设D ，(2,4)E p -，∵OD OE ⊥，∴440OD OE p ⋅=-=，解得1p =， 故抛物线C 的方程为22yx =，其焦点坐标为1(,0)2.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ） A.3135- B.1935- C.1735 D.1935答案： D 解答：由2()||25619a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，又22||27a b a a b b +=+⋅+=，所以()1919cos ,5735||||a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+，故选D. 7.在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则cos B =（ ） A.19 B.13 C.12 D.23答案： A 解答：由余弦定理可知：2222222||||||34||cos 32||||234BC AC AB AB C BC AC +-+-===⋅⨯⨯，可得|| 3 AB =，又由余弦定理可知222222||||||3341cos 2||||2339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯. 故选A.8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.642+B.442+C.623+D.423+答案： C 解答：由题可知该几何体是如图所示三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰直角三角形，侧棱PC ⊥底面ABC ，其表面积为：113222222sin6062322S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+︒，故选C.9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A.2-B.1-C.1D.2 答案： D 解答：由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D.10.若直线l与曲线y 2215xy +=都相切，则l 的方程为（ ） A.21y x =+ B.122y x =+ C.112y x =+ D.1122y x =+ 答案： D 解答：由y =y '=，假设直线l与曲线y相切于点0(x ，则直线l的方程为0)y x x =-，即00x x -+=.由直线l 与圆2215x y +==，解得01x =，故直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PFF ∆的面积为4，则a =（ ） A.1 B.2 C.4 D.8A 解答： 法一：设1PF m =，2PF n =，则12142PF F S mn ∆==，2m n a -=，2224m n c +=，可得224c a =+，又ce a==，求得1a =. 法二：由题意知双曲线的焦点三角形面积为122tan 2PF F b S θ∆=. 所以24tan45b ︒=，解得2b =，又因为c e a ===，所以1a =.12.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（ ） A.a b c << B.b a c << C.b c a << D.c a b << 答案： A 解答：易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <， 因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==， 又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <， 综上所述：a b c <<.故选：A. 二、填空题13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________.7解答：作出可行域如图所示，由32z x y =+知3122y x z =-+， 由图可知，当目标函数过点(1,2)A 时，取得最大值，即max7z =.14.262()x x+的展开式中常数项是________（用数字作答）. 答案：240解答： 因为2(6)12316622r r rr r r r r T C xx C x ---+==，由1230r -=得4r =，所以常数项为240.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________. 答案：23解答：分析知圆锥内半径最大的球的应为该圆锥的内切球，如下图，由题可知该圆 锥的母线长为3BS =，底面半径为1BC =，高为2222SC BS BC =-，不妨设该内切圆与母线BS 切于D 点，令OD OC r ==，则由SOD SBC ∆∆∽，可得OD BC OS BS =1322r =-得2r =，此时3423V r π==.16.关于函数1()sin sin f x x x=+. ①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于直线2x π=对称； ④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是________. 答案： ②③ 解答：对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--，所以该函数为奇函数，关于原点对称，①错②对；对于③，11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x xπππ-=-+=+=-，所以()f x 关于2x π=对称，③对；对于④，令sin t x =，则[1,0)(0,1]t ∈-，由双勾函数1()f t t t=+的性质，可知()(,2][2,)f t ∈-∞-⋃+∞，所以()f x 无最小值，④错.三、解答题17.设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-. （1）计算23,a a .猜想的通项公式并加以证明； （2）求数列{2}nn a 的前n 项和n S .答案： 见解析 解答：（1）由13a =，134n n a a n +=-，21345a a =-=﹐323427a a =-⨯=，…猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+.利用数学归纳法证明：（i ）当1,2,3n =时，显然成立；（ii ）假设()n k k N *=∈时猜想成立，即21k a k =+，则1n k =+时，1343(21)42(1)1k ka a k k k k +=-=+-=++，所以1n k =+时猜想也成立， 综上（i ）（ii ），所以21n a n =+.（2）令2(21)2n n n n b a n ==+⨯，则12123252(21)2n nn S b b b n =+++=⨯+⨯+++⨯……①，23123252(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++⨯……②，由①-②得，312112(12)322222(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++⨯-+⨯=+-+⨯-，化简得1(21)22n nS n +=-⨯+.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分別估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据.完成下面的22⨯列联表.并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.答案： 见解析 解答：（1）根据上面的统计数据，可得： 该市一天的空气质量等级为1的概率为2162543100100++=该市一天的空气质量等级为2的概率为5101227100100++=，该市一天的空气质量等级为3的概率为67821100100++=， 该市一天的空气质量等级为4的概率为7209100100++=. （2）由题意，计算得1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=， 即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为350. （3）22⨯列联表如下：由表中数据可得：22100(3383722) 5.820 3.84170305545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上且112,2DE ED BF FB ==.（1）证明：点1C 在平面AEF 内：（2）若12,1,3AB AD AA ===，求二面角1A EF A --的正弦值.答案： 见解析 解答：（1）在1AA 上取一点M ，使得12AM AM =，分别连接EM ，1B M ，1EC ，1FC .在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111 DD AA BB ==，又12DE ED =，12AM AM =，12BF FB =，所以1DE AM FB ==，所以四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形. 所以1//AF MB 且1AFMB =，//AD ME 且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =， 所以11//B C ME 且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形，所以11//EC MB ， 所以1//AF EC ，所以点1C ，在平面AEF 内.（2）在长方形1111ABCD ABC D -中，以1C 为原点，11C D 所在直线为x 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz -，因为2AB =，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，所以(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，则(2,1,1)EF =--，(0,1,1)AE =--，1(0,1,2)AE =-，设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =， 则111111102000n EF x y z y z n AE ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =-，设平面1AEF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则22222221020200n EF x y z y z n A E ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，取法向量2(1,4,2)n =，所以1212127cos ,||||321n n n n n n ⋅<>===⋅⋅，设二面角1A EF A --为θ，则142sin 177θ=-=， 即二面角1A EF A --的正弦值为427.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<4，A ，B 分别为C 的左、右顶点. （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积. 答案： 见解析 解答：（1）54c e a ===，∴22516m =，∴C 的方程：221612525x y +=. （2）设直线BP ：(5)y k x =-， 与椭圆C 联立可得：2222(116)160400250kx k x k +-+-=.设00(,)P x y ，则202400255116k x k -=+，∴202805116k x k-=+，∴0210||5|116PB x k =-=+.∵BP BQ ⊥，∴直线BQ ：1(5)y x k=--.令6x =，1y k =-，∴1(6,)Q k -，||BQ ==∵||||BP BQ =，∴214k =或2164k =. 根据椭圆的对称性，只需讨论12k =和18k =的情况， 当12k =时，03x =，01y =-，∴(3,1)P -，(6,2)Q -.||PQ ，直线316321x y PQ -+==--+.即：30x y +=.点A 到直线PQ 的距离1d ==11152222APQ S PQ d ∆=.||⋅==.当18k =时，03x =-，01y =-，∴(3,1)P --，(6,8)Q -，||PQ =，直线31:6381x y PQ ++=+-+，即79300x y ++=， ∴点A 到直线PQ 的距离2d ==，∴2115|222APQS PQ d ∆=.|⋅==. 综上52APQ S ∆=. 21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直.（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 答案： 见解析 解答： （1）2()3f x x b '=+，又曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直，∴13()024f b '=+= ，解得34b =-.（2）设0x 为()f x 的一个零点，且011x -≤≤， 由题意可知30034c x x =-+， 令33()(11)4x x x x ϕ=-+-≤≤， 则11()3()()22x x x ϕ'=-+，此时1(1,)2x ∈--，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；11(,)22x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；1(,1)2x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则1(1)4f -=，11()24f -=-，11()24f =，1(1)4f =-，此时1144c -≤≤，再设1x 为()f x 的零点，则31113()04f x x x c =-+=，311131444x x -≤-+≤，整理得2111211(1)(1)01(1)()02x x x x x ⎧-++≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得111x -≤≤， 则()f x 的所有零点的绝对值都不大于1. 四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点. （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 答案： 见解析 解答：（1）当0x =时,求得2t =-或1t =（舍）代入223 y t t =-+中,求得12y =;当0y =时,求得2t =或1t =（舍）代入22x t t =--中,求得4x =-,所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(4,0)-,||AB ==（2）由（1）得直线AB 过点(0,12)和(4,0)-,所以直线AB 的解析式为3120x y -+=,故直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=. 23.设a ，b ，c R ∈，0a b c ++=，1abc =. （1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c的最大值，证明：max{,,}a b c ≥答案： 见解析 解答：（1）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---223()024b a b =-+-<.（2）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，∵1abc =，∴()1ab a b -+=，即：2210ba b a ++=，∵0b ≠，则440b b ∆=-≥. 不妨设b 为max{,,}a b c ，则340b -≥，即b ≥∴max{,,}a b c ≥。
2020年高考山东数学卷试题与答案解析(Word域、极致精编版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试——山东数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝( )A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}答案：C解析：A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2＜x ＜4}＝{x |1≤x ＜4}．2．2－i 1＋2i＝( ) A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i答案：D解析：2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－5i5＝－i ．3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C ；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有C ·C ＝60种．4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B解析：画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线，l 是点A 处的水平面的截线，m 是晷面的截线，AB 是晷针所在直线．依题意可知OA ⊥l ，m ∥CD ，AB ⊥m ．由于∠AOC ＝40º，所以晷针与点A 处的水平面所成角∠BAE ＝90º－∠GAE ＝∠OAG ＝AOC ＝40º．5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A ∪B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ∩B ．由题得P (A )＝0.6，P (B )＝0.82，P (A ＋B )＝0.96，所以P (A ∩B )＝P (A )＋P (B )＋P (A ∪B )＝0.6＋0.82－0.96＝0.46．所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT ．有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案：B解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28－16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t ．设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38(t＋t 1)＝2e 0.38t ，即e 0.38t 1＝2，所以t 1＝ln20.38≈1.8．7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则·的取值范用是( )A ．(－2，6)B ．(－6，2)C ．(－2，4)D ．(－4，6)答案：A解析：设P 在AB 上的投影为P'，易得AP'∈(－1，3)．由向量数量积的定义，可知·＝AP'·AB ＝2AP'∈(－2，6)．8．若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0，1]C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，3]答案：D解析：因为定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上也是单调递减，且f (－2)＝0，f (0)＝0．所以当x ∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f (x )＞0；当x ∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0．于是，由xf (x －1)≥0，得⎩⎨⎧x ＜0，－2≤x －1≤0或x －1≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x －1≤－2或0≤x －1≤2或x ＝0，解得－1≤x ≤0或1≤x ≤3．因此，满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( )A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线 答案：ACD解析：对于A ，若m ＞n ＞0，则曲线C ：mx 2＋ny 2＝1是椭圆，易得1m ＜1n ，所以焦点在y 轴上，故A 正确；对于B ，若m ＝n ＞0，则曲线C 是圆，半径为1n，故B 不正确； 对于C ，若mn ＜0，则曲线C 是双曲线，由mx 2＋ny 2＝0，得渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确；对于D ，若m ＝0，n ＞0，则曲线C 可化为y ＝±1n，表示两条直线，故D 正确．10．下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图像，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )答案：BC解析：由函数图像可知T 2＝2π3－π6＝π2，则ω＝2πT＝2．当x 2π3＋π62＝5π12时，y ＝－1，即2×5π12＋φ＝3π2＋2kπ(k ∈Z )，解得φ＝2π3＋2kπ(k ∈Z )．故函数的解析式为y ＝sin(2x ＋2π3＋2kπ)＝sin(2x ＋2π3)．由诱导公式易知sin(2x ＋2π3)＝sin(π3－2x )＝cos(2x ＋π6)．11．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ．a ＋b ≤ 2答案：ABD解析：对于A ，由基本不等式得a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故A 正确；对于B ，因为a －b ＝2a －1＞－1，所以2a －b ＞2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2(a ＋b 2)2＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故C 不正确；对于D ，由基本不等式得(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故D 正确；12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P (X ＝i )＝p i ＞0(i ＝1，2，…，n )，i ＝1n ∑p i ＝1，定义X 的信息熵H (X )＝－i ＝1n∑p i log 2p i ．( )A ．若n ＝1，则H (X )＝0B ．若n ＝2，则H (X )随着p 1的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1，2，…，n )，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1，2，…，m )，则H (X )≤H (Y ) 答案：AC解析：对于A ，若n ＝1，则i ＝1，p 1＝1，所以H (X )＝－1×log 21＝0，所以A 正确．对于B ，若n ＝2，则i ＝1，2，p 2＝1－p 1，所以H (X )＝－i ＝1n∑[p 1log 2p 1＋(1－p 1)log 2(1－p 1)]，当p 1＝14或34时，H (X )相等，所以B 错误．对于C ，若p i ＝1n (i ＝1，2，…，n )，则H (X )＝－i ＝1n∑1nlog 21n ＝－(1n log 21n )×n ＝－log 21n ＝log 2n ，则H (X )随着n 的增大而增大，所以C 正确．对于D ，若n ＝2m ，随机变量Y 的所有可能的取值为1，2，…，m ，且()21j m j P Y j p p +-==+(1,2,,j m =)．()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m m p p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅．()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m m p p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111ii m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 答案：163解析：易得抛物线的焦点为F (1，0)，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程，消去y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．法一：解得x 1＝13，x 2＝3，所以AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝2|13－3|＝163．法二：Δ＝64＞0，则x 1＋x 2＝103，焦点弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163．14．将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 答案：3n 2－2n解析：因为数列{2n －1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n －2}是以1首项，以3为公差的等差数列，所以它们的公共项数列{a n }是以1为首项，以6为公差的等差数列．易得{a n }的前n 项和为3n 2－2n ．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH∥DG ，EF ＝12cm ，DE ＝2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2． 答案：4＋5π2解析：设OA ＝OB ＝r ．由题意得AM ＝AN ＝7，EF ＝12，所以NF ＝5，因为DE ＝2，所以AP ＝5，因此∠AGP ＝∠AHO ＝45º，故△OAH 为等腰直角三角形．在Rt △OQD 中，易得OQ ＝5－22r ，DQ ＝7－22r ，于是tan ∠ODC ＝5－22r7－22r＝35，解得r ＝22．于是，等腰直角△OAH 的面积为S 1＝12×22×22＝4，扇形AOB 的面积S 2＝12×(22)2×3π4＝3π，所以阴影部分的面积为S 1＋S 2－π2＝4＋5π2．16．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 答案：22π． 解析：如图，取B 1C 1的中点为E ，BB 1的中点为F ，CC 1的中点为G ．因为∠BAD ＝60°，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，所以△B 1C 1D 1为等边三角形，因此D 1E ＝3，D 1E ⊥B 1C 1．又四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥D 1E ．因为BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以D 1E ⊥侧面BCC 1B 1．设P 为侧面BCC 1B 1与球面的交线上的任一点，则D 1E ⊥EP ．因为球的半径为5，D 1E ＝3，所以EP ＝2，因此侧面BCC 1B 1与球面的交线上的任一点到E 的距离为2，所以侧面BCC 1B 1与球面的交线是以E 为圆心，EF 为半径的圆上的一段弧．因为∠B 1EF ＝∠C 1EG ＝π4，所以∠FEG ＝π2．所以根据弧长公式可得＝π2×2＝22π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，______?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：由sin A ＝3sin B ，可得ab＝3，不妨设a ＝3m ，b ＝m (m ＞0)．则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3m 2＋m 2－2×3m ×m ×32＝m 2，故c ＝m ． 若选择条件①：则ac ＝3m 2＝3，即m ＝1，此时c ＝m ＝1． 若选择条件②：则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，故sin A ＝32，于是c sin A ＝32m ＝3，得c ＝m ＝23．若选择条件③：则c ＝3b ，与b ＝m ＝c 矛盾，则问题中的三角形不存在．18．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100．解析：(1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ．依题意有a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍)．所以a n ＝2n ．(2)由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以b 1＝0； 易得b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2； b 8＝b 9＝…＝b 15＝3，即有23个3； b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4； b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5； b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6；所以S 100＝1×2＋2×22＋…＋5×25＋6×37＝480．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和SO 2浓度(单位：μg /m 3)，得下表：(1)2150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)PM 2.5浓度与SO 2浓度有关? 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解析：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过10的天数有32＋6＋18＋8＝64天，所以该市一天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率为64100＝0.64．(2)由所给数据，可得2×2列联表为：(3)根据2×2K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(64×10－16×10)280×20×74×26＝3600481≈7.4844＞6.635，所以有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与SO 2浓度有关．20．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． 又因为AD ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ，所以AD ∥l ．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，所以AD ⊥DC ，因此l ⊥DC ． 因为PD ⊥平面ABCD ，AD平面ABCD ，所以AD ⊥PD ，因此l ⊥PD ．因为CD ∩PD ＝D ，所以l ⊥平面PDC ．(2)解：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝AD ＝1，则有D (0，0，0)，C (0，1，0)，A (1，0，0)，P (0，0，1)，B (1，1，0)．设Q (m ，0，1)，则有＝(0，1，0)，＝(m ，0，1)，＝(1，1，－1)．设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则令x ＝1，则z ＝－m ，所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1，0，－m )．所以cos ＜n ，＞＝n ·|n |·||＝1＋0＋m 3·m 2＋1．PB 与平面QCD 所成角的正弦值为|cos ＜n ，＞|＝|1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2m m 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63，当且仅当m ＝1时取等号．所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63．21．已知函数f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析：(1)求导得f'(x )＝e x －1x，所以k ＝f'(1)＝e －1．又f (1)＝e ＋1，所以f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2． 该切线与坐标轴交点分别为(0，2)，(－2e －1，0)，所求三角形面积为12×2×|－2e －1|＝2e －1．(2)法一：因为f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ，所以f'(x )＝ae x －1－1x，且a ＞0．设g (x )＝f'(x )，因为g'(x )＝ae x －1＋1x 2＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f'(x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＝1时，f'(1)＝0，易得f (x )min ＝f (1)＝1，满足f (x )≥1恒成立．当a ＞1，即1a ＜1时，有e 1a －1＜1，所以f'(1a )f'(1)＝a (e 1a －1－1)(a －1)＜0，因此存在唯一的x 0∈(1a，1)，使得f'(x 0)＝ae －1x 0＝0，即ae ＝1x 0，所以ln a ＋x 0－1＝－ln x 0．在(0，x 0)上，f'(x )＜0，f (x )递减；在(x 0，＋∞)上，f'(x )＞0，f (x )递增． 因此f (x )min ＝f (x 0)＝ae －ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1＞1，满足f (x )≥1恒成立．当0＜a ＜1时，f (1)＝a ＋ln a ＜a ＜1，不满足f (x )≥1恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．法二：f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a＋x －1－ln x ＋ln a ≥1，等价于e ln a＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )．显然g (x )为单调增函数，所以又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1． 令h (x )＝ln x －x ＋1，则h'(x )＝1x －1＝1－x x．在(0，1)上，h'(x )＞0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h'(x )＜0，h (x )单调递减．所以h (x )max ＝h (1)＝0．所以ln a ≥0，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．解析：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝6，b 2＝c 2＝3，故椭圆方程为x 26＋y23＝1．(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．当直线MN 的斜率存在时，如图1，设方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程，消去y并整理得(1＋2k 2)x 2＋4km x ＋2m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2． 因为AM ⊥AN ，所以·＝0，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0．将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入，得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0， 亦即(k 2＋1)2m2－61＋2k 2＋(km －k －2)(－4km1＋2k2)＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋m －1)(2k ＋3m ＋1)＝0，所以2k ＋m －1＝0或2k ＋3m ＋1＝0．当2k ＋m －1＝0，直线MN ：y ＝kx ＋1－2k 过定点A (2，1)，不合题意； 当2k ＋3m ＋1＝0，直线MN ：y ＝k (x －23)－13过定点E (23，－13)．当直线MN 的斜率不存在时，可得N (x 1，－y 1)，如图2，代入(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，得(x 1－2)2＋1－y ＝0，又x 216＋y 213＝1，解得x 1＝2(舍)或23，此时直线MN 也过点E (23，－13)．由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，所以AE 的中点Q 满足|QD |为定值，为AE 长度的一半12(2－23)2＋(1＋13)2＝423，由于A (2，1)，E (23，－13)，故中点Q (43，13)．所以存在点Q (43，13)，使得|DQ |为定值．2020年普通高等学校招生全国统一考试——山东数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝( )A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}2．2－i 1＋2i＝( ) A ．1B ．−1C ．iD ．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT ．有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则→AP ·→AB 的取值范用是( )A ．(－2，6)B ．(－6，2)C ．(－2，4)D ．(－4，6)8．若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0，1]C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，3]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( )A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线10．下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图像，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )11．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ．a ＋b ≤ 212．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P (X ＝i )＝p i ＞0(i ＝1，2，…，n )，i ＝1n∑p i ＝1，定义X 的信息熵H (X )＝－i ＝1n∑p i log 2p i ．( )A ．若n ＝1，则H (X )＝0B ．若n ＝2，则H (X )随着p 1的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1，2，…，n )，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1，2，…，m )，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________．14．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝12cm ，DE ＝2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．16．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，______?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和SO 2浓度(单位：μg /m 3)，得下表：(1)2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与SO 2浓度有关? 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，20．如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21．已知函数f(x)＝ae x－1－ln x＋ln a．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．22．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点A(2，1)．(1)求C的方程：(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．。
2020年全国高考数学-全国Ⅲ卷三卷理科解析(Word域、极致精编版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试——全国Ⅲ理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案：C解析：由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4．所以满足要求的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A ∩B 中元素的个数为4．2．复数11－3i的虚部是( )A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案：D解析：因为z ＝11－3i ＝1＋3i (1－3i )(1＋3i )＝110＋310i ，所以复数z ＝11－3i 的虚部为310．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑4i ＝1p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2答案：B解析：易知四种情形中平均数均为x －＝∑4i ＝1x i p i ＝2.5．对于A ，方差s 2A ＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65； 对于B ，方差s 2B ＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85； 对于C ，方差s 2C ＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05； 对于D ，方差s 2D ＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45．因此，B 选项这一组标准差最大．法二：样本数据距离平均数越大，且概率越大时，方差和标准差可能越大．4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为( )(ln19≈3)A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：当I (t *)＝K 1＋e－0.23(t *－53)＝0.95K ，则e 0.23(t *－53)＝19，所以0.23(t *－53)＝ln19≈3，解得t *≈30.23＋53≈66．5．设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．(14，0)B ．(12，0)C ．(1，0)D ．(2，0)答案：B解析：因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，所以∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2，2)，代入抛物线方程得4＝4p ，即p ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(12，0)．6．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos ＜a ，a ＋b ＞＝( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案：D解析：易得a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7．因此，cos ＜a ，a ＋b ＞＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935．7．在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A解析：由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，即AB ＝3．于是cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19．8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．6＋42B ．4＋42C ．6＋23D ．4＋2 3 答案：C解析：根据三视图，在正方体中截取出符合题意的立体图形．在立体图形中，易得S △ABC ＝S △ADC ＝S △CDB ＝12×2×2＝2．易得AB ＝AD ＝DB ＝22，故S △ADB ＝12AB ·AD ·sin60º＝34(22)2＝23．所以，该几何体的表面积是3×2＋23＝6＋23．9．已知2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：D解析：因为2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，所以2tan θ－tan θ＋11－tan θ＝7，解得tan θ＝2．10．若直线l 与曲线y ＝x 和x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12答案：D解析：设直线l 与曲线y ＝x 的切点为(x 0，x 0)，x 0＞0，因函数y ＝x 的导数为y'＝12x ，所以直线l 的方程为y －x 0＝12x 0(x －x 0)，即x －2x 0y ＋x 0＝0．由于直线l 与圆x 2＋y 2＝15相切，则d ＝x 01＋4x 0＝r ＝15，整理得5x 20－4x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－15(舍)．所以，直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，即y ＝12x ＋12．11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案：A解析：因为离心率e ＝ca＝5，所以c ＝5a ．因为F 1P ⊥F 2P ，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2． S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，即|PF 1|·|PF 2|＝8．又由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2a ．因为(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|，即4a 2＝4c 2－16，又c ＝5a ，所以16a 2＝16，解得a ＝1．12．已知55＜84，134＜85．设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案：A解析：由题意可知a ，b ，c ∈(0，1)．a b ＝log 53log 85＝lg3lg5·lg8lg5＜1(lg5)2·(lg3＋lg82)2＝(lg3＋lg82lg5)2＝(lg24lg25)2＜1，所以a ＜b ； 由b ＝log 85，得8b ＝5，因为55＜84，得85b ＜84，所以5b ＜4，得b ＜45；由c ＝log 138，得13c ＝8，因为134＜85，得134＜135c ，所以5c ＞4，得c ＞45．综上所述，a ＜b ＜c ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_________．答案：714．(x 2＋2x )6的展开式中常数项是__________(用数字作答)．答案：240解析：(x 2＋2x )6的二项展开式通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·(2x )r ＝C r6(2)r ·x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以(x 2＋2x )6的展开式中常数项是C 46·24＝240．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案：23π 解析：法一：圆锥内半径最大的球应该是该圆锥的内切球，如图．由底面半径为1，母线长为3，易得高SC ＝22．不妨设该内切球与母线BS 切于点D ，令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，可得ODOS ＝BC BS ，即r 22－r ＝13，解得r ＝22． 此时V ＝43πr 3＝23π．法二：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC ＝2，AB ＝AC ＝3，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ．设内切圆半径为r ，则12×2×22＝S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12×AB ×r ＋12×BC ×r ＋12×AC ×r ＝12×(3＋3＋2)×r ，解得r ＝22，故体积V ＝43πr 3＝23π．16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题：①f (x )的图像关于y 轴对称．②f (x )的图像关于原点对称． ③f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③解析：函数f (x )的定义域为{x |x ≠kπ，k ∈Z }，定义域关于0对称，易得f (－x )＝sin(－x )＋1sin(－x )＝－sin x －1sin x ＝－(sin x ＋1sin x )＝－f (x )，所以f (x )是非零的奇函数，因此图象关于原点对称，故命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f (π2－x )＝sin(π2－x )＋1sin(π2－x )＝cos x ＋1cos x ，f (π2＋x )＝sin(π2＋x )＋1sin(π2＋x )＝cos x ＋1cos x ，则f (π2－x )＝f (π2＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x＜0＜2，命题④错误．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．解析：(1)由题意，a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝3×5－8＝7．猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，故a n ＝2n ＋1． 证明：①当n ＝1时，a 1＝3＝2＋1；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k ＝2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k －4k ＝3(2k ＋1)－4k ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，由数学归纳法知，对任意的n ∈N *，都有a n ＝2n ＋1． (2)由(1)可知，2n a n ＝(2n ＋1)·2n ，则S n ＝3×2＋5×22＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② ①－②得，－S n＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，所以S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2．18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400 人次＞400空气质量好 空气质量不好附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828解析：(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2＋16＋25100＝0.43，等级为2的概率为5＋10＋12100＝0.27，等级为3的概率为6＋7＋8100＝0.21，等级为4的概率为7＋2＋0100＝0.09．(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100×20＋300×35＋500×45100＝350．(3)2×2列联表如下：人次≤400 人次＞400空气质量不好 33 37 空气质量好228 K 2＝100×(33×8－37×22)55×45×70×30≈5.820＞3.841，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1．(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值．解析：(1)在棱CC 1上取点G ，使得CG ＝2C 1G ，连接DG 、FG 、C 1E 、C 1F ．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，易得CG ＝23CC 1＝23BB 1＝BF 且CG ∥BF ，所以四边形BCGF 为平行四边形，因此BC _∥FG ． 又BC _∥AD ，所以FG _∥AD ，因此四边形ADGF 为平行四边形，所以AF _∥DG ． 易得C 1G _∥DE ，所以四边形DEC 1G 为平行四边形，因此C 1E _∥DG ． 所以C 1E _∥AF ，则四边形AEC 1F 为平行四边形，因此点C 1在平面AEF 内．(2)以点C 1为坐标原点，C 1D 1、C 1B 1、C 1C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C 1－xyz ．易得A (2，1，3)，A 1(2，1，0)，E (2，0，2)，F (0，1，1)，故AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2，0，－2)，A 1E →＝(0，－1，2)，A 1F →＝(－2，0，1)．设平面AEF 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，得⎩⎨⎧－y 1－z 1＝0，－2x 1－2z 1＝0，取z 1＝－1，得x 1＝y 1＝1，则m ＝(1，1，－1)．设平面A 1EF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，得⎩⎨⎧－y 2＋2z 2＝0，－2x 2＋z 2＝0，取z 2＝2，得x 2＝1，y 2＝4，则n ＝(1，4，2)．于是cos ＜m ，n ＞＝m ·n |m |·|n |＝33×21＝77．设二面角A －EF －A 1的平面角为θ，则|cos θ|＝77，所以sin θ＝1－cos 2θ＝427，因此，二面角A －EF －A 1的正弦值为427．20．已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0＜m ＜5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．解析：(1)因为椭圆C ：x 225＋y 2m2＝1(0＜m ＜5)，所以a ＝5，b ＝m ．e ＝c a＝1－(b a)2＝1－(m 5)2＝154，解得m ＝54，所以C ：x 225＋y 2(54)2＝1，即x 225＋16y 225＝1．(2)不妨设P ，Q 在x 轴上方，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x ＝6与x 轴交点为N ．因为BP ⊥BQ ，所以∠PBM ＋∠QBN ＝90º，又∠BQN ＋∠QBN ＝90º，所以∠PBM ＝∠BQN ．又|BP |＝|BQ |，所以△PMB ≌△BNQ ．因为椭圆C ：x 225＋16y 225＝1，所以B (5，0)，所以|PM |＝|BN |＝6－5＝1，即y P ＝1，将其代入x 225＋16y 225＝1，可得x P ＝3或－3，所以P 点为(3，1)或(－3，1)．①当P 点为(3，1)时，|MB |＝5－3＝2＝|NQ |，故Q 点为(6，2)． 因为A (－5，0)，可求得直线AQ 的直线方程为2x －11y ＋10＝0，故点P 到直线AQ 的距离为d ＝|2×3－11×1＋10|22＋112＝|5|125＝55，又|AQ |＝(6＋5)2＋(2－0)2＝55，所以△APQ 面积为12×55×55＝52． ②当P 点为(－3，1)时，|MB |＝5＋3＝8＝|NQ |，故Q 点为(6，8)．因为A (－5，0)，可求得直线AQ 的直线方程为8x －11y ＋40＝0，故点P 到直线AQ 的距离为d ＝|8×(－3)－11×1＋40|82＋112＝|5|185＝5185，又|AQ |＝(6＋5)2＋(8－0)2＝185，所以△APQ 面积为12×185×5185＝52． 综上所述，△APQ 的面积为52．21．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．(1)求b ．(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1．解：(1)因为f'(x )＝3x 2＋b ，由题意得f'(12)＝0，即3×(12)2＋b ＝0，则b ＝－34．(2)由(1)得f (x )＝x 3－34x ＋c ，故f'(x )＝3x 2－34＝3(x ＋12)(x －12)．令f'(x )＞0，得x ＞12或x ＜－12；令f'(x )＜0，得－12＜x ＜12．所以f (x )在(－12，12)上递减，在(－∞，－12)，(12，＋∞)上递增．且f (－1)＝f (12)＝c －14，f (－12)＝f (1)＝c ＋14．若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，则f (x )在[－1，1]上有零点，则c －14≤0≤c ＋14，得－14≤c ≤14．当c ＝－14时，易知f (x )的零点为－12和1，满足所有零点的绝对值都不大于1．当c ＝14时，易知f (x )的零点为－1和12，满足所有零点的绝对值都不大于1．当－14＜c ＜14时，f (－1)＝f (12)＝c －14＜0，f (－12)＝f (1)＝c ＋14＞0，所以f (x )的零点x 1∈(－1，－12)，x 2∈(－12，12)，x 3∈(12，1)，满足所有零点的绝对值都不大于1．综上，f (x )所有零点的绝对值都不大于1．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4—4：坐标系与参数方程](10分)22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点．(1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．解析：(1)令x ＝0，则2－t －t 2＝0，解得t ＝－2或1(舍)，则y ＝2－3t ＋t 2＝12，故A (0，12)．令y ＝0，则2－3t ＋t 2＝0，解得t ＝2或1(舍)，则x ＝2－t －t 2＝－4，故B (－4，0)． |AB |＝42＋122＝410．(2)由(1)可知k AB ＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)，即3x －y ＋12＝0．所以，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0．[选修4—5：不等式选讲](10分)(2020全国Ⅲ理23文23)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．(1)证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34．解析：(1)因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．因为abc ＝1，所以a ，b ，c 均不为0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0．(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ．由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0．易得a ＝－b －c ，a ＝1bc ，所以a 2＝(b ＋c )2≥4bc ＝4a ，即a 3≥4，所以a ≥34．即证得max{a ，b ，c }≥34．。
2020届山东省高三高考模拟数学试题(附带详细解析)
……外…………○…………装…学校:___________姓名：……内…………○…………装…绝密★启用前 2020届山东省高三高考模拟数学试题 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 2．若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A ．甲付的税钱最多 B ．乙、丙两人付的税钱超过甲 C ．乙应出的税钱约为32 D ．丙付的税钱最少 5．若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（ ） A ．49 B ．49- C ．59 D ．59- 6．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a << 8．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C D二、多选题9．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同…○…………装…………○学校:___________姓名：___________班…○…………装…………○D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10．已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 不是周期函数 B ．()f x 奇函数 C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．()f x 在52x π=处取得最大值 11．设A ，B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0) C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1 D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 12．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM V 沿直线AM 翻折成1AB M V ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ） A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值 C ．若AB BM =，则1AM B D ⊥ D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 第II 卷（非选择题)………○…………※※请※※不………○…………三、填空题 13．已知两个单位向量a b v v ，的夹角为30o ，(1),0c ma m b b c =+-⋅=v v v v v ，则m =______． 14．已知曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为____________. 15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.16．已知函数()22,,x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若1a =，则不等式()2f x ≤的解集为__________，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________． 四、解答题17． 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．18．已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：CD ⊥平面GAC ；（2）求二面角P AG C --的余弦值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）．（Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ＜． 20．某销售公司在当地A 、B 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A 、B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数，n 表示销售公司每日共需购进食品的件数. （1）求X 的分布列； （2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n =与n 20=之中选其一，应选哪个？ 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v ，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由. 22．已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥求()()21f x f x -的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果.【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆，若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =；若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a=，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =， 综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型. 2．D【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3．B【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4．B【解析】【分析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
辽宁省2020年高考[理数卷]考试真题与答案解析
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辽宁省2020年高考[理数卷]考试真题与答案解析一、选择题1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()U A B ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}2．若α为第四象限角，则A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<03．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块11．若2x －2y <3−x －3−y ，则A ．ln(y-x+1)>0B ．ln(y-x+1)<0C ．ln ∣x-y ∣>0D ．ln ∣x-y ∣<012．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存12n a a a {0,1}(1,2,)i a i ∈= 在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的m (1,2,)i m i a a i +== (1,2,)i m i a a i +== 最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，m m 12n a a a 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 的序列是1()(1,2,3,4)5C k k ≤=A ．B ．C ．D ．11010 11011 10001 11001二、填空题13．已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a –b 与a 垂直，则k=__________．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．15．设复数，满足，，则=__________．1z 2z 12||=||=2z z 123i z z +=+12||z z -16．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．⊂则下述命题中所有真命题的序号是__________．①②③④14p p ∧12p p ∧23p p ⌝∨34p p ⌝∨⌝三、解答题（一）必考题17．中，sin 2A －sin 2B －sin 2C= sinBsinC ．ABC △（1）求A ；（2）若BC=3，求周长的最大值．ABC △18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，20160i i x ==∑2011200i i y ==∑，，．2021)8(0ii x x =-=∑2021)9000(i i y y =-=∑201)()800(i i i y y x x =--=∑（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．12211)(()()()iiini n i ini x y r x y x y x y ===----=∑∑∑2 1.414≈19．已知椭圆C 1：(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 222221x y a b+=的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且．43CD AB =（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|=5，求C 1与C 2的标准方程．20．如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1∥MN ，且平面（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，所成角的正弦值．21．已知函数2() sin sin2f x x x =（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；答案解析1.A2.D3.B4.C5.B6.C7.A8.B9.D 10.C 11.A 12.C 13．14．3615．16．①③④222317．解：（1）由正弦定理和已知条件得，①222BC AC AB AC AB --=⋅由余弦定理得，②2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅由①，②得.1cos 2A =-因为，所以.0πA <<2π3A =（2）由正弦定理及（1）得，23sin sin sin AC AB BCB C A===从而，.23sin AC B =23sin(π)3cos 3sin AB A B B B =--=-故.π33sin 3cos 323sin()3BC AC AB B B B ++=++=++又，所以当时，周长取得最大值.π03B <<π6B =ABC △323+18．解：（1）由已知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值20160120i iy y===∑为60×200=12000．（2）样本的相关系数(,)i i x y (1,2,,20)i = ．20120202211)()800220.94380900(0))((ii iii i ix y y x x r x y y ===--===≈⨯--∑∑∑（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设的方程为，其中.2C 24y cx =22c a b =-不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，,A C ,A B 2b a 2b a -,C D 2c ，故，.2c -22||b AB a=||4CD c =由得，即，解得（舍去），.4||||3CD AB =2843b c a =2322()c c a a ⨯=-2c a =-12c a =所以的离心率为.1C 12（2）由（1）知，，故，2a c =3b c =22122:143x y C c c+=设，则，，故.①00(,)M x y 220022143x y c c +=2004y cx =20024143x x c c+=由于的准线为，所以，而，故，代入①得2C x c =-0||MF x c =+||5MF =05x c =-，即，解得（舍去），.22(5)4(5)143c c c c --+=2230c c --=1c =-3c =所以的标准方程为，的标准方程为.1C 2213627x y +=2C 212y x =20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以．又由已知得AA 1∥CC 1，1MN CC ∥故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面．11EB C F （2）由已知得AM ⊥BC ．以M 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，为单位长，建立如MAMB 图所示的空间直角坐标系M-xyz ，则AB=2，AM=．3连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故．由（1）知平面A 1AMN ⊥23231,(,,0)333PM E =平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．设，则，(,0,0)Q a 22123234(),(,1,4())33NQ a B a a =----故．21123223210(,,4()),||3333B E a a B E =-----=故的普通方程为．2C 224x y -=（2）由得所以的直角坐标为．224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P 53(,)22设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，0(,0)x 220059()24x x =-+解得．01710x =因此，所求圆的极坐标方程为．17cos 5ρθ=23．解：（1）当时，2a =72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式的解集为．()4f x ≥311{|}22x x x ≤≥或（2）因为，故当，即时，222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-2(1)4a -≥|1|2a -≥．所以当a≥3或a≤-1时，．()4f x ≥()4f x ≥当-1<a<3时，，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<所以a 的取值范围是．(,1][3,)-∞-+∞。
2020年全国III卷理科数学高考真题试题及解析
2020年全国高考统一考试(Ⅲ卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6解析：A 、B 集合都是点集，这个要看清楚A 为正整数，且y 大于等于x,B 集合为x 与y 之和等于8，要同时满足A 与B 的条件，可以用列举法把A 点列出来，A 的集合有：（1，7） （2，6） （3，5） （4， 4）四个点评：要看懂集合的含义，用列举法就可以解决此题2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310- B. 110- C. 110 D. 310解析：对复数进行化简，复数的分母中不能出现虚数11(13)131313(13)(13)101010i i i i i i ⨯++===+--⨯+所以虚部分3/10,正确答案为D点评：复数在高考中都是以简单题出现，考试的时候一定要拿准这个分，而且要计算快。
3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====解析：计算选项中样本的方差，发现都是2.5，所以1和4离方差2.5的距离最大，所以它对应概率大时它的标准差也大，即B 项满足要求。
点评：这道题不难，但比较新颖。
4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ） （ln19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t K I t K e--==+0.23(53)1110.9519t e ---== 两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程。
2020海南高考数学应用题及答案解析
2020海南高考数学应用题及答案解析2020年海南高考数学应用题及答案解析一、选择题部分1. 题目：已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 4，求 f(x) = 0 的解。
解析：根据题目，我们需要找到使得 f(x) = 0 的解。
即求出函数的零点。
根据一元二次方程求根的公式，可以得到 x = 1，x = -4 为方程的解。
2. 题目：某学生参加了数学竞赛，试卷一有四道选择题，每道题有五个选项，每选对一题得 5 分，错得 0 分，不答或选错得 -2. 若第一题选对，第二题错，第三题选对，第四题选错，则该学生的得分是多少？解析：根据题目要求，第一题选对得 5 分，第二题错得 0 分，第三题选对得 5 分，第四题选错得 0 分。
因此，该学生的总得分是 5 + 0 +5 + 0 = 10 分。
二、填空题部分1. 题目：已知线段 AB 的长度为 5cm，点 C 到线段 AB 的垂直距离为 3cm，求点 C 到线段 AB 的中点的距离。
解析：首先，我们需要找到线段 AB 的中点，即线段 AB 的长度的一半。
由于线段 AB 的长度为 5cm，所以线段 AB 的中点为 2.5cm。
然后，我们需要求点C 到线段AB 中点的距离，可以使用勾股定理计算。
根据勾股定理，我们可以得到该距离为√(2.5^2 + 3^2) = √(6.25 + 9) =√15.25 ≈ 3.91cm。
2. 题目：某底面为长方形的容器长为10cm，宽为6cm，高为8cm，容器内装满液体后，液面的面积为多少平方厘米？解析：根据题目要求，底面为长方形的容器长为10cm，宽为6cm，液体的高为 8cm。
液面的面积可以通过长方体的体积除以底面的长度得到。
长方体的体积为 10 * 6 * 8 = 480cm^3，底面的长度为 10cm。
因此，液体的面积为 480 / 10 = 48 平方厘米。
三、解答题部分1. 题目：已知两位运动员 A、B 同时从同一起点开始跑步，A 的速度是 B 的两倍，如果 A 先跑到终点，B 还需要跑多长时间才能追上 A？解析：设终点距离为 D，运动员 A 的速度为 V，运动员 B 的速度为V/2。
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2.答案：解：（1）直线 l 经过定点
，
由 ρ=ρcosθ+2 得 ρ2=（ρcosθ+2）2， 得曲线 C 的普通方程为 x2+y2=（x+2）2，化简得 y2=4x+4．
（2）若 ，得
，普通方程为 y=x+2，
则直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ=ρcosθ+2， 联立曲线 ρ=ρcosθ+2，得 sinθ=1，取 θ= ，得 ρ=2， 所以直线 l 与曲线 C 的交点为（2， ）．
Ⅳ
群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力
中度重 活动．
污染
301～ 500
健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾 Ⅴ 重污染 病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群
应尽量减少户外活动．
现统计邵阳市市区 2016 年 10 月至 11 月连续 60 天的空气质量指数，制成如图所示 的频率分布直方图．
解析：（1）直线 l 经过定点
，由 ρ=ρcosθ+2 得 ρ2=（ρcosθ+2）2，即可求曲线 C
的普通方程；
（2）若 ，求直线 l 的极坐标方程，联立曲线 ρ=ρcosθ+2，即可求出直线 l 与曲线 C
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-------- 答案及其解析 --------
1.答案：解：集合 B={x|0≤x≤3}．…（1 分）
（1）若 m=1，则 A={x|-1＜x＜1}， 则 A∩B={x|0≤x＜1}．…（4 分） （2）当 A=∅即 m=-1 时，A∩B=A； 当 A≠∅即 m≠-1 时， （ⅰ）当 m＜-1 时，A=（2m-1，m-2），要使得 A∩B=A，A⊆B，
指数
级 类别 户外活动建议
别
0～50 Ⅰ 优 51～100 Ⅱ 良
可正常活动
101～ 150 151～ 200
轻微污
染
易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病
Ⅲ
轻度污 和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．
染
201～ 250 251～ 300
中度污
染
心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人
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一象限），且 M 是线段 PN 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B． （ⅰ）设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明 为定值； （ⅱ）求直线 AB 的斜率的最小值．
6. 设函数 f（x）=|x+ |+|x-a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若 f（3）＜5，求 a 的取值范围．
（1）求这 60 天中属轻度污染的天数； （2）求这 60 天空气质量指数的平均值； （3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五 组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为 x， y，求事件|x-y|≤150 的概率．
5. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的长轴长为 4，焦距为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过动点 M（0，m）（m＞0）的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P（P 在第
只要
，所以 m 的值不存在．
（ii）当 m＞-1 时，A=（m-2，2m-1），要使得 A∩B=A，A⊆B，
只要，∴m=2．综 Nhomakorabea所述，m 的取值集合是{-1，2}．
解析：（1）化简集合 A，B，即可求 A∩B； （2）若 A∩B=A，A⊆B，分类讨论求实数 m 的取值集合． 本题考查集合的运算与关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中 档题．
当 x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ 求该地上班族 S 的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性,并说明其实 际意义．
4. 空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别， 指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．
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（2）若 ，求直线 l 的极坐标方程，以及直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标．
3. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时 某
地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤 分析显示：当 S中
的
成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
单位：分钟 ,
而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列 问题：
7. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的右焦点为（ ，0），离心率为 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若动点 P（x0，y0）为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直， 求点 P 的轨迹方程．
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8. 已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），函数 f（x）= • ，且 y=f（x）的图象 过点（ ， ）和点（ ，-2）． （Ⅰ）求 m，n 的值； （Ⅱ）将 y=f（x）的图象向左平移 φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数 y=g（x）的图 象，若 y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为 1，求 y=g（x）的 单调递增区间．
9. 已知 p：x2-8x-20≤0；q：1-m2≤x≤1+m2． （Ⅰ）若 p 是 q 的必要条件，求 m 的取值范围； （Ⅱ）若 是 的必要不充分条件，求 m 的取值范围．
10. 双曲线 x2- =1（b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点． （1）若 l 的倾斜角为 ，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设 b= ，若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率．
2020 年高三数学解答题专题训练题精选 36
1. 设集合 A={x|（x-2m+1）（x-m+2）＜0}，B={x|1≤x+1≤4}． （1）若 m=1，求 A∩B； （2）若 A∩B=A，求实数 m 的取值集合．
2. 已知直线 l 的参数方程为
（t 为参数），以 O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=ρcosθ+2，（θ∈[0，2π）） （1）写出直线 l 经过的定点的直角坐标，并求曲线 C 的普通方程；