专题01 动点问题中的最值、最短路径问题(原卷版)

合集下载

2020年中考数学复习之动态问题专题01 动点问题中的最值、最短路径问题(原卷版) (1)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求P A+PB的最小值的作图.P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k .二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（）OA .817 B . 717 C . 49 D . 59例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.例4. （2019·天津）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2Q b y +2QM +b 的值.例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm ．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为 2cm ．例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.B D。

动点与最值题中考数学重难点专题全国通用版含答案(原卷+解析版)

OA BC 2 3 ；②当点 D 运动到 OA 的中点处时， PC 2 PD2 7 ；③在运动过程中， CDP 是一个
－１－
定值；④当△ODP
为等腰三角形时，点
D
的坐标为
2
3 3
,
0
．其中正确结论的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．如图，在 Rt
ABO
中， OBA
于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分 ABC 时，AP 的长度为（）
8
A．
13
15
B．
13
25
C．
13
32
D．
13
3．如图是函数 y x2 2x 3(0 x 4) 的图象，直线 l / / x 轴且过点 (0, m) ，将该函数在直线 l 上方的图
象沿直线 l 向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最
－８－
25．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一点，以 DE 为边作正方形 DEFG，DF 与 BC 交于点 M，延长 EM 交 GF 于点 H，EF 与 GB 交于点 N，连接 CG. （1）求证：CD⊥CG；
1 MN
（2）若 tan∠MEN= ，求的值；
3 EM 1
（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在运动过程中，EM 的长能否为？请说明理由.
－５－
19．如图， ABC 是⊙O 的内接三角形，且 AB 是⊙O 的直径，点 P 为⊙O 上的动点，且 BPC 60 ，
⊙O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是___．

专题—最短路径问题(含解答)

专题—最短路径问题一．选择题（共7小题）1．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（）A．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确解：∵四边形OABC为正方形，∴A、C两点关于直线OB对称（轴对称的性质），∴连接CD，则CD即为PD+PA和的最小值（两点之间，线段最短），∴用到的数理依据是“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”．故选：C．2．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP•OQ=（）A．5B．4C．3D．2解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，∵点B是矩形ACPD的中心，∴点P即为AB延长线上的点，此时P（3，0）即OP=3；作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，∵A′（﹣1，2），B（2，1），设过A′B的直线为：y=kx+b，则，解得，∴Q（0，），即OQ=，∴OP•OQ=3×=5．故选：A．3．已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，∴∠OP′P″=∠OP″P′=（180°﹣80°）÷2=50°，又∵∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°．故选：B．4．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF 分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．5．如图，点P是∠AOB内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．10解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=5．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5，故选：A．6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B 的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．二．填空题（共9小题）7．如图所示，点A在直线a外，点B在直线a上，在直线a上找一点P，使AP+BP 最小的点P有1个，其位置是B点．解：由题意得使AP+BP最小的点P有1个，其位置是B点，故答案为：1，B点．8．如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小，∠PMO=45°．解：∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．9．四边形ABCD中，∠BAD=136°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为88度．解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD 分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=136°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=44°∴∠AMN+∠ANM=2×44°=88°．故答案为：8810．如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是2．解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA 交于点Q，与OB交于点R，此时△PQR的周长最小．从图上可看出△PQR的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2．∴△PQR周长的最小值是2．即PQ+QR+RP的最小值是2故答案为：2．11．已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是CD和BC上的点．求作：点M、N，使△AMN的周长最小．作法：如图2，（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´=DA；（2）延长AB，在AB的延长线上截取BA″=BA；（3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N．则点M、N即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短．解：根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短作图；故答案为：①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，∠D=∠B=90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为100°．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠130°=50°，由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°13．如图，△ABC中，∠A=15°，AB是定长．点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2，则AB的长是4．解；作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，∵点B关于AC的对称点B'，∴∠B'AE=∠CAB=15°，∵BF⊥AB'，∵BF即为BE+ED的最小值，即BF=2，∴AB=4，故答案为：414．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是12解：设∠PO A=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．故答案为：12三．解答题（共9小题）15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB=1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．解：连接AB，作AF⊥BD于点F，则BF=BD﹣AE=0.5km，∴AF=1.2，作A关于直线L的对称点A′，连接A′B到L交于点C，则C点为水厂所在地，如图，过B作BD⊥L于D，作A′G⊥BD于点G，∵BG=BD+DG=3.5，A′G=AF=1.2，CD=2÷3.5×1.2=，EC=1.2﹣=，∴AC+BC=A′C+BC=A′B=3.7km，∴总费用为3.7×1.8=6.66万元．16．如图，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边l1的P1点去让马饮水，然后再到河岸边l2的P2点去，再次让马饮水，最后骑马到D点，他应如何选择饮水点P1，P2．才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？解：如图，作点C关于l1的对称点C′，点D关于l2的对称点D′，连接C′D′，交于l1，l2于点P1，点P2，连接CP1，P1P2，P2D，所以路程CP1+P1P2+P2D最短．17．八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给D处的小红，最后回到C处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）解：如图所示，小花所走的行走路线为：CM﹣MN﹣ND，所走的总路程最短．18．尺规作图：（1）如图①，江边A，B两个村庄准备集资建造一个自来水厂，请你确定一个厂址，使得从自来水厂到A，B两村所用的水管最短．（2）如图②，P是∠A0B内部一点，试在角的两边上各找一个点E，F，使△PEF 的周长最小．解：（1）如图①，过A点关于江边的对称点C，再连接CB，BC与江边的交点Q 即为自来水厂厂址；（2）如图②，作点P关于OA对称的点M，作点P关于OB对称的点N，连接MN，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．19．如图，为了做好2013年沈阳全运会起降的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到B 地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？【解答】解：如图所示，交警小队沿A→C→D→B走才能使总路程最短．20．如图所示，A、B为公路l同旁的两个村庄，在l上找一点P．（1）当P到A、B等距离时，P在何处？（2）当P到两村距离之和最小时，P在何处？解：（1）因为点P到两个村庄A，B的距离相等，所以P应建在AB的垂直平分线和l的交点处，理由是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，如图1：，（2）作点A关于直线l的对称点，连接A′B交直线于点P，点P就是设置的点，如图2：21．如图，A、B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道上修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A、B两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据．解：如图，过点B作BC垂直国道，且使BC等于国道宽a，连接AC交国道边缘与M，作MN∥BC即可．理由：两点之间线段最短．22．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？在下图中画出路径，不写画法但要说明理由．（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．故桥建立在MN处符合题意．23．如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；（2）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．解：（1）如图1所示，（2）如图2，作AA'垂直于河岸a，使AA′等于河宽，连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线a，则MN∥AA′且MN=AA′，于是MNAA′为平行四边形，故MA′=NA．根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．故桥建立在M、N处符合题意．。

专题01动点问题中的最值、最短路径问题

专题01动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想) ，本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.1.两点之间，线段最短;2.垂线段最短；3.若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB最大，最大值为线段AB的长(如下图所示)(1)单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置.如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.(2)双动点模型P是/ AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△ PMN周长最小值P关于动点所在直线OA、OB的对称点P' P'连接P''与动点所在直线的交2y ax h k,当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答.（详见精品例题解析）二、精品例题解析例1. （2019 •凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12, AE=3,点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ丄EP,交CD于点Q,贝U CQ的最大值为_______________【答案】4.【解析】解：••• PQ丄EP,•••/ EPQ=90°，即/ EPB+Z QPC=90•••四边形ABCD是正方形，•••/B=Z C=90。

，/ EPB + Z BEP=90°•••/ BEP= Z QPC,作图方法：作已知点P5.二次函数的最大（小）值BE BPCP CQ•/ AB=12 , AE=3,••• BE=9,设CQ=y, BP=x, CP=12 —x, (0<x<12)9 x12 x yx 12 x9【解析】解：& ABE =- BE OA 4BE,2当BE取最小值时，△ ABE面积为最小值设x=—5与x轴交于点G,连接DG,因为D为CF中点，△ CFG为直角三角形，1所以DG = 一CD 5•••当x=6 时, y有最大值为4，即CQ的最大值为 4.【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.例2. （2019 •自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0) , ( 0,8) •点C、F分别是直线x= —5 和x轴上的动点, CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点丘，当厶ABE面积取最小值时, ta n尹sJKX=-38A.17B.仃C. 9D.2 ，• D点的运动轨迹为以G为圆心，以5半径的圆上，如图所示由图可知：当AD 与圆G 相切时，BE 的长度最小，如下图,x= - 5过点E 作EH 丄AB 于H ,•/ OG=5 , OA=8 , DG=5 ,△ AOEs^ ADG ,AO ADOE DG10求得：OE= — ,3故答案为B.【点睛】此题解题的关键是找到厶 ABE 面积最小时即是 AD 与D 的远动轨迹圆相切的时刻.进而构造以在RtA ADG 中，由勾股定理得: AD=12,由 OB=OA=8，得:BE =14，/ 3B=45 ° , AB=8、2 ••• EH = BH = ^BE 7、2,AH=AB-BH = 3 17 2 3 ••• tan / BAD =-EH 7.2 IT 117 2 17, 3x=-/ BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解例3. （2019 •南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出结论：①点A从点O出发，到点O为止，点E经过的路径长为12 n①①OAB的面积的最大值为144;①当OD最大时，点1 解：根据题意可知：OE= AB=12,2即E的轨迹为以O为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分），90根据弧长公式，得点E的路径长为：180 12=6 n，故①错误;因为AB=24,当斜边AB上的高取最大值时，①OAB的面积取最大值,点O在以AB为直径的圆上（圆心为E）,当OE丄AB时，斜边AB上的高最大,1所以①OAB的面积取最大值为：24 12=144，故②正确；连接OE、DE,得：OD < OE+DE，当O、E、D三点共线时取等号，即OD的最大值为25,如图，过点D作DF丄y轴于F，过点E作EG丄y轴于G,B在x轴B运动至点D的坐标为（生空，竺空），其中正确的结论是26 26 （填写序号）【解析】【答案】见解析【解析】解：••• bx C 经过点A( - 1,0), ••• 1+b+c=0, bx •••点 Q ( b 1 y Q ）在抛物线y 2 34，x 2bx c 上, 12 EG DF ,25AF AD 5EG 7E ^,5 】DF5设 DF=x ，在 RtA ADF 中，由勾股定理得:221x 2 -x 25，解得: 25 26 x= 26125『26在RtAODF 中，由勾股定理得： 0F=='26即点D 的坐标为（摯6 125 262626），故③正确• 综上所述，答案为：②③ 例4. (2019 •天津) 已知抛物线 2x bx c ( b 、c 为常数，b>0)经过点 A(- 1,0)，点 M(m,0)是x 轴正半轴上的动点若点(b 在抛物线上，当-、2AM 2QM 的最小值为一—时，求b 的值. 4 即即Q b 1, b 32 2 4\ 2AM 2QM QM所以只要构造出QM 即可得到、2AM 2QM的最小值取N (1,0)，连接AN,过M作MG丄AN于G,连接QM，如图所示,△ AGM为等腰直角三角形,GM二乎AM，即当G、M、Q三点共线时, GM + MQ取最小值，即2AM 2QM取最小值, 此时△ MQH为等腰直角三角形,3，GM^A『^m 1.• ,2 AM 2QM QM =233&4• b 3 , 1 b 1•/ QH=MH , =b m，解得：m=—2 4 2 2 4联立①②得：7m=—,b=4.4②即当、、2AM3^/22QM的最小值为竺兰时，b=4.4【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将2QM转化为QM ，进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解例5. （2019 •舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF 重合，AC 12cm .当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为______________ cm ；连接BD，则△ ABD的面积最大值为2【答案】24-1236、2 24、3 12 .6【解析】解：如图1所示，当E运动至E' F滑动到F '时,过D '作D 'G丄AC于G , D '丄BC交BC延长线于点H ,可得/ E 'D 'G= / F 'D ' , D ''=' '••• RtA E 'D 3 RtA F'D'H ,••• D 'G = G'H,• D '在/ ACH的角平分线上，即C, D, D'三点共线.通过分析可知，当D''丄AC时，DD '的长度最大，随后返回初始D点，如图2所示，D点的运动路径为D T D J D，行走路线长度为2DD '图2•••/BAC=30 ° , AC=12, DE=CD••• BC =4、、3 , CD =DE =6、.2 ,由图知：四边形 E 'CF'D '为正方形，CD ' EF=12 ,• DD ' =D '-CD=12-6、2,D 点运动路程为 2DD ' =2412.2 ;如图3所示，当点D 运动至D '时，△ ABD '的面积最大，最大面积为:S 正方形 E 'CF 'D' S AAE 'D ' S ABD 'F=- 4 3 8、3 6：22 - 12 - 6& 4、3 6、22 2 2= 36、、2 24.3 12.6【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到 D 点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度•例6. (2019 •巴中)如图，在菱形 ABCD 中，连接BD 、AC 交于点0,过点0作0H 丄BC 于点H ，以0 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M.(1) 求证：DC 是圆O 的切线；(2) 若AC=4MC ，且 AC=8，求图中阴影部分面积；S ^ABC(3)在(2)的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH + PM的值最小，并求出最小C【答案】见解析.【解析】(1)证明：过点0作ON丄CD于N,AC是菱形ABCD的对角线，••• AC 平分/ BCD ,•/ OH 丄BC, ON 丄CD ,•OH=ON,又OH为圆O的半径，•ON为圆O的半径，即CD是圆O的切线.(2)由题意知：OC=2MC=4, MC=OM=2 ,即OH=2,在RtAOHC 中，OC=2OH ,可得：/ OCH=30。

2021学年初二数学专题几何模型--第1讲-几何动点最值问题1--(有详解)

几何模型------动点最值问题教学内容入门测试1、如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为( C )A.15°B.22.5°C.30°D.45°2、如图所示，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为( A )3、4、A.6 B.8 C.9 D.12知识导学几何最值问题所涉及到原理{几何最值问题{1.两点之间线段最短2.垂线段最短3.三角形两边之差小于第三边（由1推导而来）4.圆外一点到圆上距离最值问题（由1推导而来）分类细分大致分析思路一线线段最值单动点型 1、关键是找到动点的运动轨迹2、再利用最短路径原理解题双动点型利用等量代换、和差关系、勾股定理或三角形边角关系转化为单动点问题知识讲解知识点一：单线段的最值问题【知识梳理】类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

类型二：动点轨迹--圆或圆弧型（初三学了圆之后再讲）类型三：动点轨迹--不确定型考法指导动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

最短路径问题(珍藏版纯word版)-1(1)

第 11 讲：轴对称【问题概述】初中数学最值问题是每年年中考必出题，更更是图论研究中的⼀一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路路径组成的）中两结点之间的最短路路径。

【问题原型】“将军饮⼀马”，“造桥选址”，“费⼀马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三⻆角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】⻆角、三⻆角形、菱形、矩形、正⼀方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路路】找对称点实现“折”转“直”，近两年年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．⼀一．【⼗十⼗二个基本问题】在直线l上求⼀一点P，使PA+PB 值最⼀小。

在直线l上求⼀一点P，使PA+PB 值最⼀小．与在直线l1 、l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周⼀长最⼀小．【问题4】作图在直线l1 、l2 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周⼀长最⼀小。

P的＇与两直．【问题5】“造桥选址”作图直线 m∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M 、N ，使 MN ⊥ m ，且 AM+MN+BN 的值最⼀小。

将点 A 向下平移 MN 的⼀长度单位得 A ＇，连 A ＇B ，交 n 于点 N ，过 N 作 NM ⊥ m 于M .两点之间线段最短． AM +MN +BN 的最⼀小值为 A ＇B +MN ．【问题 6】作法作图原理理在直线 l 上求两点 M 、N （M 在左），使 MN a ，并使 AM +MN +NB 的值最⼀小 . 将点 A 向右平移 a 个⼀长度单位得A ＇，作 A ＇关于 l的对称点 A ＇，连 A ＇B ，交直线 l 于点 N ，将 N 点向左平移 a 个单位得M ．两点之间线段最短． AM +MN +BN 的最⼀小值为 A ＇ B +MN ．【问题 7】作法作图原理理在 l 1 上求点 A ，在 l 2 上求点 B ，使 PA +AB 值最⼀小．作点 P 关于 l 1 的对称点 P ＇，作P ＇B ⊥ l 2 于B ，交l 1 于 A ．点到直线，垂线段最短 PA +AB 的值最⼀小为 P ＇B【问题 8】作法作图原理理A 为 l 1 上⼀一定点，B 为l 2 上；A 为 l 1 上⼀一定点， B 为 l 2 上⼀一定点，在 l 2 上求点M 在l 1 上求点N ，使 AM+MN+NB 的值最⼀小．作点 A 关于 l 2 的对称点A ＇，作点 B 关于 l 1 的对称点 B ＇，连 A ＇B 交l 2 于M ，交 l 1 于 N .＇两点之间线段最短AM+MN+NB 的最⼀小值为线段 A ＇B ＇的⼀长．【问题 9】作法作图原理理在直线 l 上求⼀一点 P ，使的值最⼀小 .连 AB ，作 AB 的中垂线与直线 l的交点即为 P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0 .【问题 10】作法作图原理理在直线 l 上求⼀一点 P ，使的值最⼀大 .作直线 AB ，与直线l 的交点即为 P ．三⻆角形任意两边之差⼀小于第三边≤AB . 【问题 11】作法作图原理理在直线 l 上求⼀一点 P ，使的值最⼀大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三⻆角形任意两边之差⼀小于第三边≤A B ＇ .【问题 12】“费⼗马点”作法作图原理理△ABC 中每⼀一内⻆角都⼀小于 120°，在△ABC 内求⼀一点 P ，使 PA +PB +PC 值最⼀小．所求点为“ 费⼀马点”，即满⼀足∠ APB ＝∠ B PC ＝∠ APC ＝120°．以 AB 、AC 为边向外作等边 △ABD 、△ACE ，连 CD 、BE 相交于 P ，点 P 即为所求．两点之间线段最短． PA +PB +PC 最⼀小值＝ CD ．⼀二．“⼀一次对称”常⼀见模型:【精品练习】1．如图所示，正⼀方形 ABCD 的⼀面积为 12，△ABE 是等边三⻆角形，点 E 在正⼀方形 ABCD 内，在对⻆角线AC 上有⼀一点P，使PD+PE 的和最⼀小，则这个最⼀小值为（）A.2B.C.3D. 2．如图，在边⼀长为2 的菱形ABCD 中，∠A BC＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD 交于点E、F，则△CEF 的周⼀长的最⼀小值为（）A.2 C.2＋ D. 43．四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD 上分别找⼀一点M、N，使△AMN 的周⼀长最⼀小时，∠A MN+∠A NM 的度数为（）A．120° B．130° C．110°D．140°4．如图，在锐⻆角△ABC 中，AB＝4 ，∠B AC＝45°，∠B AC＝45°，∠B AC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最⼀小值是。

八年级下册数学重难点题型(人教版)专题动点与最短路径、图形长度最值问题大视野(原卷版)

专题动点与最短路径、图形长度最值问题大视野最短路径原理1：两点之间线段最短；原理2：垂线段最短（1）二维平面内前提：A点B点是固定点，点P是x轴上一动点。

当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；（2）立体图形中常见的有立方体、长方体、楼梯、树木绕绳问题解决方法：将立体图形曲面展开成平面图形，标出起始位置，借助勾股定理求解。

题型一、线段最值问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（）A．5B．4C．1.5D．3例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为______cm．例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2B．6C．﹣2D．4例4. 【2109·福州市期中】如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC 为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是例5. 【2019·厦门大学附中期末】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A．3B．5C．7D题型二、最短路径问题例1.【2019·十堰市外国语期末】如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A.3B.4C.5D.6例2. 【2019·厦门市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点之间的距离之和P A+PB的最小值是例3. 【2019·遵义市期中】如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．B．C D．6例4. 【2019·北京101中学期末】如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为______．【刻意练习】1. 【2019·抚顺市期中】如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．2. 【2019·鞍山市期末】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．+5D．353. 【2019·临洮县期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F 是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．4. 【2019·成都市期末】如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE绕点A 在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN的取值范围是______．5. 【2019·武汉市期末】如图，在菱形ABCD中，E为AB中点，P是BD上一个动点，则下列线段的长度等于P A+PE最小值的是（）A.BCB.CEC.DED.AC6. 【2019·固始县期末】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A.3√1+πB.3√2D.3√1+π2C.3√4+π227. 【2019·黄石期中】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE的最小值为（）B.√2C.2√2D.3√2A.28.【2019·广州市番禺区期末】如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行______cm．9. 【2019·桑植县期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．10.【2019·泉州市期末】已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．①求证：△PBE是等边三角形；②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．11.【2019·宿迁市期末】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的格点图中，点A、B、C都是格点．（1）点A坐标为______；点B坐标为______；点C坐标为______；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（3）已知M（1，4），在x轴上找一点P，使|PM-PB|的值最大（写出过程，保留作图痕迹），并写出点P 的坐标______．。

2022中考压轴：最短路径及最值问题（一）

2022中考压轴：最短路径及最值问题（一）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF 的长；
【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【点睛】本题考查圆与动点的综合问题，切线判定掌握两条原则，即是半径、是直角；涉及动点问题常需要分类讨论，解题时首先选取特殊情况求解，借此观察一般情况下动点运动规律；线段和最值问题通常利用对称性质做辅助线解答，可与将军饮马模型进行对比练习．【点睛】本题考查等边三角形与动点的综合问题，难度主要在于辅助线的构造，核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性，利用线段等量替换将问题转化到同一条直线，线段和最值另一典型题型为将军饮马，可对比练习．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键．。

中考数学几何专项练习：动点路径线段最值问题(原卷)

中考数学几何专项练习：动点路径线段最值问题一、填空题3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为4．如图Rt△ABC中，∠6．已知：如图，等腰直角ABC 4=AD ，52CD =，BC 的长为7．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，△ADE ∽△ABC ，点N 是AC 的中点，连接8．如图，在ABCD Y 中，=60B ∠︒12．已知菱形ABCD13．如图，在四边形ABCD中，=AD 取最大值时，AC的长为．16．如图，△ABC中，AB＝2，∠18．如图，点C在线段AB上，等腰AC=连接MB，若63AB=，619．如图，正方形ABCD的边长为作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段21．如图，在矩形ABCD中，AB=⊥运动．连接EF，过点D作DG EF B运动到点C的过程个，线段BG22．如图，在矩形ABCD则AG的最小值为24．已知在Rt ABC当点E到达点C时，点26．在菱形ABCD中，、相等，连结AP BQ27．如图，在菱形ABCD中，AB连接OD'，CD'，当线段OD'的长度最小时，28．如图，在正方形ABCD中，AB＝2称点M，连接BM交直线l于点N，当α＝31．平面直角坐标系xOy如图所示，以原点32．如图，在正方形ABCD 中，交于点P ．现将正方形BEFG 绕点（1）当旋转30°时，CE ＝（2）当正方形BEFG 绕点B 旋转一周时，点33．如图，在ABC ∆中，C ∠则线段BD 长度的最小值为36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2点P作PQ⊥PC交BC边于点Q，则40．如图，矩形ABCD 中，AB 翻折，使得点B 落在点B'处，若点为．二、解答题41．如图1，在Rt ABC △中，ABC ∠同一平面内，将ADE V 绕点A 逆时针旋转，射线(1)如图2，在旋转过程中，BPC ∠的角度是否不变？若不变，请求出BPC ∠的度数．(2)如图2，当120BAD ∠=︒时，求线段PC 的长．(3)连接DC ，当线段PC 取得最小值时，求线段DC 的值．42．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点F 为DE 中点，连接(1)如图1，当点A′恰好与点C重合，求DE的长；(2)如图2，当点A’落在BC的延长线上，且A’E⊥AB，求AD的长；(3)如图3，若AE=CE，连接A’B，F是A’B的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段大值．。

(完整版)九年级第9讲(1)最值与轨迹问题专题

❖ 共线类最值问题 ✧ 单动点共线最值1. 如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD+CD 的最小值是（）2．如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED,EB ，则△BDE 周长的最小值为（）A ．52B ．32C ．252+D ．232+3。

已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A （5,0)，OB=45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1）,当CP+DP 最短时，点P 的坐标为( )A 。

(0，0） B.（1,21） C 。

（56,53) D.(710，75）4。

如图,已知在矩形ABCD 中，AB=4,BC=2,点M ，E 在AD 上,点F 在边AB 上，并且DM=1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 的和最小时，ME 的长度为( ）A ．4B ．23C ．32D ．32+A ．31B ．94C ．32D ．95✧ 多动点最值1．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 为AC 的中点,点E 为BC 的中点,点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为( )A ．3B ．24C ．32D ．342．如图，已知正比例函数y=kx （k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为(0,4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y=kx （k ＞0)的图象上的两个动点,则AM+MP+PN 的最小值为( ） A ．2 B ．4 C ．32 D ．3✧ 动线段类型1. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=________时,四边形APQE的周长最小．2．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2,-3)，B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a=___________时，四边形ABDC的周长最短．翻折衍生的圆弧轨迹问题1。

专题01 一次函数压轴题(十大题型)(原卷版)

(1)OC 的长为______，OD 的长为______；(2)如图，点()1,M a -是线段CD 上一点，连接OM ，作ON 并判断MON △的形状；(3)如备用图，若点()1,E b 为直线AB 上的点，点P 为y 轴上的点，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时(1)求直线CD 的函数表达式和点D 的坐标；(2)点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．①若直线BP 将ACD 的面积分为7:9两部分，试求点②点P 是否存在某个位置，将BPD △沿着直线BP 翻折，使得点在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2：取值范围问题(1)求点A 的坐标；(2)若点C 在第二象限，ACD ①求点C 的坐标；②直接写出不等式组4x kx +>③将CAD 沿x 轴平移，点C(1)求点C 的坐标及直线BC 的表达式；(2)在点E 运动的过程中，若△DEF 的面积为5，求此时点(3)设点E 的坐标为（0，m ）；①用m 表示点F 的坐标；②在点E 运动的过程中，若△DEF 始终在△ABC 的内部（包括边界）题型3：最值问题5．已知一次函数()134502y kx k k =++≠．的坐标为(),a a ，求CM MP +的最小值．6．如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:1l y x =+与x 轴交于点A ，直线2:33l y x =-与x 轴交于点B ，与1l 相交于C 点，过x 轴上动点(),0E t 作直线3l x ⊥轴分别与直线1l 、2l 交于P 、Q 两点．(1)①请直接写出点A ，点B ，点C 的坐标：A ______，B ______，C ______．②若2PQ =，求t 的值；(2)如图2，若E 为线段AB 上动点，过点P 作直线PF PQ ⊥交直线2l 于点F ，求当t 为何值时，PQ PF -最大，并求这个最大值．题型4：旋转问题7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象交y 轴于点()0,1A -，交x 轴交于点B ，且2OB OC OA ==，过点C 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)点E 是线段CD 上一动点，直线BE 与y 轴交于点F ．①若BDF V 的面积为8，求点F 的坐标；②如图2，当点F 在y 轴正半轴上时，将直线BF 绕点B 顺时针旋转45︒后的直线与线段CD 交于点M ，连接FM ，若1OF MF =+，求线段MF 的长．备用图(1)求直线1l 的表达式；(2)过M 作y 轴的平行线，分别交直线1l ，直线2l 于点D ，E ，连接DE ，①当3m =时，求DE 的长；(1)求n 的值及直线2l 的表达式；(2)在直线2l 上是否存在点E ，使BO ABE A S S =△△若存在，则求出点(3)如图2，点P 为线段AD 上的一个动点，一动点H(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt BPM 直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长度是否发生变化？若不变，求出线段长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．题型6：定值问题11．如图1所示，直线l ：10y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于(1)若点D坐标为(12，3)．①求直线BC的函数关系式；②若Q为RS中点，求点P坐标．(2)在点P运动的过程中，PQCR的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．题型7：新定义题型13．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，表是探究过程中的部分信息：x…2-1-01232y x=-…4a2-14(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称x=时，函数有最小值，最小值为B．当0x>时，y随x的增大而增大C．当0③若12x -≤≤，则y 的取值范围为【拓展提升】18．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的数”．例如：对于函数12y x =和231y x =-，则函数1y ，2y 的“和函数”3y =(1)已知函数1y x =和2=y ①写出3y 的表达式，并求出当②函数1y ，2y 的图象如图①所示，则．．．．(2)已知函数4y x =和5y =，这两个函数的“和函数”记为6y ．按照上图的速度步行前往学校，记录下小东10天到达学校所用的时间，如表．上学日期4号5号6号7号8号11号到达学校所用时间（单位：min）2524.825.324.925.124.8某天早上7：20，小东按照上表的速度步行上学．t（0＜t≤10）分钟后，小明骑自行车以从小区出发，沿着相同的路线上学．骑行7分钟后，自行车因零件损坏无法继续骑行，小明只好将自行车停在路边非机动车停靠点（停车时间忽略不计），改用步行前往学校．为了赶时间，小明的步行速度不小于。

动点问题中的最值、最短路径问题-备战2021年中考数学解题方法之探究十法(解析版)

中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型(原卷版)

中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKINGPLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

【典例精析】例题1．（2020·全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】 ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +====故答案为：【针对训练】1．（2018·湖北中考真题）如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（）A ．4 B ．2 C ．1 D ．22．（2017·江苏中考真题）如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =PA ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______，3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

动点最值问题

动点中的最值问题专题两点之间距离最长（最短）问题：【例1】如图1，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（）A ．21B ．5C ．1455 D ．52【练习】1、如图2，△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为_________.2、如图3，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.两条线段之和最小问题：【例2】如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE =2,EM+CM 的最小值为_________.【练习】1、如图5所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为_________．2、如图6，在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是_________．3、如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是O 上的两点，过A 作AC ⊥MN 于点C ，过B 作BD ⊥MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN ＝20，AC ＝8，BD ＝6，图1 图2 图3图4 图5 图6则PA ＋PB 的最小值是__________.【例3】如图7，点A （a ，1）、B （﹣1，b ）都在双曲线3y (x<0)x =-上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是（）A ．y x =B ．y x 1=+C ．y x 2=+D ．y x 3=+【练习】如图8，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为（）A ．132B ．312C ．3192+D ．27【例4】如图9，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=230．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（）A ．6B ．8C ．10D ．12综合题：【例5】如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长．图7图8 图9【例6】在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【例7】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【例8】如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上师范存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，点M 在y 轴负半轴上，且M （0，-1），在抛物线上是否存在点N ，使以B,A,M,N 为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.图3M。

2020数学中考备考-专题01 动点问题中的最值、最短路径问题

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB -最大，最大值为线段AB 的长（如图1所示）；4. 最短路径模型（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如图2所示，P 是x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值的作图. （2）双动点模型点P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.如图2所示图3 5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、精品例题解析例1. （2019凉山）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为【解析】∵PQ ⊥EP ，∴∠EPQ =90°，即∠EPB +∠QPC =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠C =90°，∠EPB +∠BEP =90°，∴∠BEP =∠QPC ，∴△BEP ∽△CPQ ，∴BE BPCP CQ=，∵AB =12，AE =3， ∴BE =9，设CQ =y ，BP =x ，CP =12－x ，（0<x <12），∴912x x y=-，即()()21216499x x y x -==--+， ∴当x =6时，y 有最大值为4，即CQ 的最大值为4.例2.（2019自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（）A .817B .717C .49D .59【解析】S △ABE =142BE OA BE ⨯⨯=,当BE 取最小值时，△ABE 面积为最小值.，设x =－5与x 轴交于点G ，连接DG ，因为D 为CF 中点，△CFG 为直角三角形，所以DG =152CD =,∴D 点的运动轨迹为以G 为圆心，以5半径的圆上，如图1所示，由图可知：当AD 与圆G 相切时，BE 的长度最小，如下图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵OG =5，OA =8，DG =5，在Rt △ADG 中，由勾股定理得：AD =12，△AOE ∽△ADG ， ∴AO AD OE DG =,求得：OE =103，由OB =OA =8，得：BE =143，∠B =45°，AB=∴EH =BH=23BE =,AH =AB -BH=3，∴tan ∠BAD=717EH AH ==,故选B .图1 图2例3.（2019南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.【解析】根据题意可知：OE =12AB =12,即E 的轨迹为以O 为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分），根据弧长公式，得点E 的路径长为：9012180π⨯⨯=6π，故①错误；因为AB =24,当斜边AB 上的高取最大值时，△OAB 的面积取最大值，点O 在以AB 为直径的圆上（圆心为E ），当OE ⊥AB 时，斜边AB 上的高最大，所以△OAB 的面积取最大值为：124122⨯⨯=144，故②正确；连接OE 、DE ，得OD ≤OE +DE ，当O 、E 、D 三点共线时取等号，即OD 的最大值为25，如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，过点E 作EG ⊥y 轴于G ,可得1225EG OE DF OD ==,即1225EG DF =，512AF AD EG AE ==,即51125AF EG DF ==,设DF =x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理，得221255x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x =26，在Rt △ODF 中，由勾股定理，得OF D 的坐标为)2626125,262625(，故③正确，综上所述，答案为②③. 例4.（2019天津）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.若点Q （1,2Q b y +2QM +时，求b 的值. 解：∵2y x bx c =-+经过点A (－1,0)， ∴1+b +c =0，即21y x bx b =--- ∵点Q （1,2Q b y +）在抛物线2y x bx c =-+上，∴324Q b y =--，即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，∵b >0，∴Q 222QM AM QM ⎛⎫+=+⎪⎝⎭所以只要构造出AM QM ⎫+⎪⎝⎭2QM +的最小值取N （1,0），连接AN ，过M 作MG ⊥AN 于G ，连接QM ，如图所示，△AGM 为等腰直角三角形，GM AM ，即当G 、M 、Q 三点共线时，GM +MQ 取最小值，2QM +取最小值，此时△MQH 为等腰直角三角形，∴QM 324b ⎫+⎪⎭，GM =2AM =)12m +)322=2122244b QM AM QM m ⎛⎫⎤⎫+=++++=⎪⎥⎪⎭⎝⎭⎣⎦① ∵QH =MH ，∴324b +=12b m +-，解得m =124b -②，联立①②，得m =74，b =4.2QM +b =4. 例5. （2019舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为 2cm ．【解析】如图1所示，当E 运动至E ’，F 滑动到F ’时，过D ’作D ’G ⊥AC 于G ，D ’H ⊥BC 交BC 延长线于点H ，可得∠E ’D ’G =∠F ’D ’H ，D ’E ’=D ’F ’，∴Rt △E ’D ’G ≌Rt △F ’D ’H ，∴D ’G =G ’H ,∴D ’在∠ACH 的角平分线上，即C ，D ，D ’三点共线. 通过分析可知，当D ’E ’⊥AC 时，DD ’的长度最大，随后返回初始D 点，如图2所示，D 点的运动路径为D →D ’→D ，行走路线长度为2DD ’；∵∠BAC =30°，AC =12，DE =CD ∴BC=CD =DE=，由图知：四边形E ’CF ’D ’为正方形，CD ’=EF =12，∴DD ’=CD ’-CD=12-,D 点运动路程为2DD ’=24-3所示，当点D 运动至D ’时，△ABD ’的面积最大，最大面积为：'''''''ABC AE D BD F E CF D S S S S ++-△△△正方形=(((211112222⨯+⨯--⨯⨯=+D '图1 图2 图3例6. （2019巴中）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M . （1）求证：DC 是圆O 的切线；（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值.D（1）证明：过点O 作ON ⊥CD 于N ，AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴AC 平分∠BCD ，∵OH ⊥BC ，ON ⊥CD ， ∴OH =ON ，又OH 为圆O 的半径， ∴ON 为圆O 的半径，即CD 是圆O 的切线.（2）由题意知：OC =2MC =4，MC =OM =2，即OH =2，在Rt △OHC 中，OC =2OH ，可得：∠OCH =30°，∠COH =60°，由勾股定理得：CH==23OCH OMHS S S π-=-△阴影扇形（3）作点M 关于直线BD 的对称点M ’，连接M ’H 交BD 于点P ，可知：PM =PM ’即PH +PM =PH +PM ’=HM ’，由两点之间线段最短，知此时PH +PM 最小， ∵OM ’=OM =OH ，∠MOH =60°， ∴∠MM ’H =30°=∠HCM ， ∴HM ’=HC=即PH +PM的最小值为在Rt △M ’PO 及Rt △COD 中，OP =OM ’tan 30°=3，OD =OCtan 30°，即PD =OP +OD=B D。

中考数学瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷+解析版)

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。

动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。

【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题
动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.
其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.
一、基础知识点综述
1. 两点之间，线段最短；
2. 垂线段最短；
3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；
（1）单动点模型
作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求P A+PB的最小值的作图.
P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.
作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.
5. 二次函数的最大（小）值
()2
y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k .
二、主要思想方法
利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析
例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为
例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（）
O
A .
817 B . 717 C . 49 D . 59
例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；①①OAB 的面积的最大值为144；①当OD 最大时，点D 的坐标为)26
26125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.
例4. （2019·天津）已知抛物线2
y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2
Q b y +
2QM +
b 的值.
例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm ．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为 2
cm ．
例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .
（1）求证：DC是圆O的切线；
（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；
（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.
B D。