关于一个不等式证明问题的研究
高考数学利用导数研究不等式问题(解析版)题型一：构造法证明不等式
题型一：构造法证明不等式1．（2021·山东德州·高三期中）已知函数()2(1)x f x xe a x =++(其中常数e 2.718=是自然对数的底数).（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意1a ≤，当0x >时，()()23231f x ex a x x x -≥-++.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（1）由()()()()12(1)12x x f x x e a x x e a =+++=++，令()0f x '=，解得1x =-，()ln 2x a =-， ①当102a e-<<， 由()0f x '>，解得()ln 2x a <-或1x >-，由()0f x '<，解得()ln 21a x -<<-，故()f x 在()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞上单调递增；在()()ln 2,1a --上单调递减， ②当12a e=-，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增; ③当12a e<-，由()0f x '>，解得1x <-或()ln 2x a >-， 由()0f x '<，解得()1ln 2x a -<<-故()f x 在(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞上单调递增；在()()1,ln 2a --上单调递减， 综上所述，当102a e-<<时， ()f x 在()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞上单调递增；在()()ln 2,1a --上单调递减， 当12a e=-，()f x 在R 上单调递增; 当12a e<-，()f x 在(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞上单调递增； 在()()1,ln 2a --上单调递减.（2）证明：对任意1a ≤，当0x >时，要证()()23231f x ex a x x x --++≥，需证，20x e a a ax e x x+---≥， 令()2x e a g x a ax e x x=+---， 则()()()21x x e ax a g x x ---'=， 令()x h x e ax a =--，则()x h x e a '=-，因为0x >，1a ≤，所以()0x h x e a '=->，所以()()010h x h a >=-≥，所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()10g x g ≥=，即20x e a a ax e x x+---≥，原不等式成立. 2．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知函数()()248ln x a x x f a x +--=.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2a =时，证明：()242e 64x f x x x >-++.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析（1）由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞.由已知得()()2()()8188x a x x a x a f x x x-++--'== 当0a ≤时,()()0,f x f x '>在(0,)+∞上单调递增,无单调递减区间.当0a >时,令()0f x '>，得8a x >；令()'0f x <，得08a x <<， 所以()f x 在0,8a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,8a ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,8a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,8a ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭. （2）证明：原不等式等价于()e ln 20x x x ϕ=-->，则()1e x x xϕ'=-，易知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增，且()120,1e 102ϕϕ⎛⎫''<=-> ⎪⎝⎭， 所以()x ϕ'在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，此时()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 要证()0x ϕ>即要证()00x ϕ>，由001e 0x x -=，得001e x x =,001ex x =，代入()000e ln 2x x x ϕ=--,得()00012x x x ϕ=+-， 因为()0001220x x x ϕ=+->=， 所以()242e 64x f x x x >-++.3．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数()e 21x f x a x =+-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()()f x x ae x ≥+.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（1）解：()e 2x f x a '=+.①当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '>解得2ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()0f x '<解得2ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. 故()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. （2）证明：原不等式等价于()2(1)x a e ex x -≥-.令()x g x e ex =-，则()e e x g x '=-.当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.∴()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，当且仅当1x =时等号成立.当1x =时，()2(1)x a e ex x -≥-显然成立；当0x >且1x ≠时，0x e ex -≥.欲证对任意的1a ≥，()2(1)x a e ex x -≥-成立，只需证2(1)x e ex x -≥-()()()()2g 1'21x x x e ex x g x e e x =---=---，令()()(),2x h x g x h x e ''==-，令()0,ln 2h x x ='= ()ln 2,0,x h x '<<()g x '递减，()ln 2,0,x h x '>>()g x '递增()()()'ln 222ln 2142ln 20,030g e e g e =---==-=-'故存在()00,ln 2x ∈，使()00g x '=又由(1)0g '=，所以00x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，01x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，1x >时，()0g x '>，()g x 递增，又()()g 00,10g ==，故0x >时，()0g x ≥.综上所述，结论得证。
何为成立 何为恒成立——一个不等式证明引发的教学思考
。
时 ， （
・ ．
．
） 有 最 大 值 手 ，
≥ 手 成 立 ， 证 毕 ．
看完他 的证 明 ， 笔 者没有 立刻 作解释 ， 而是让
１
没问题 ， （ ｙ ＋ ｚ ） （ Ｚ ＋ Ｘ） （ ｘ ＋ ｙ） ≥８也 没 问 题 ， 但
旁边 的同学先看看 ． 旁边 的同学看完后 ， 点点头说 ：
图 ５
其本 质 为不等式 ｆ （ ） ） 图象 需存 在高于
通过 上述分析 ， 可 以清楚地看 到 ， 第 二位 同学在
题也一定 为真． 三、 问题 的鹪 决
图象 来 看 ， ’ ， （ ） 的 图
象 只要有高 出 ｙ ＝ Ｃ图象 的部分 即可， 如图 ４ ． 第二类 ） ＞ ） ，
可 以完 整 表 述 为 ： 对
∈， ， 不等式 ） ＞ （ ） 能够成立 ， 即“ ｊ‰∈， ， 使ｆ （ ｘ 。 ） ＞ｇ （ 。 ） 成立” ，
函数 图象， 如图 ３ ． 由上述分析可 以看 出， 恒成立问题一般都发生 在指定的 区间（ 可以为 Ｒ） 上， 其实质是对 “ Ｖ ∈， ” ， 即 自变量取遍定 义域 内的任意一 个数 ，结 论都成 立， 而非“ ｊ Ｘ ｏ ∈， ” 使结论成立．
２ ． 何为“ 能” 成 立
大值 或极 限最大 值 ） ． 从 函数 图象角度 来看 ， 不管 怎样 左右平移两 函数 图象 ， 厂 （ ） 的图象 一定在
数、 带绝对值 的一次 函数和各类混合 型函数在指定
区间上 的恒成立 问题 ， 更成为 高考 的一 大热 点和难 点． 那 么如何有 效突 破恒成 立 问题 ， 笔 者认 为理解
垒
一类多项式不等式的证明研究
形式在 （ ｎ是 并作为特例给出了 ４次和 ５ 次对称形式正半定 的充
要 条件 。Ｔｍ ｆ ｉｏｔ ｅ的工 作 也 可 以称 为 里程 碑 式 的 ， 他 揭示 了 对 称 不 等 式 次 数 与 变 元 个 数 的 内 在 关 系 。
等式证 明的新途 径了。由于数学机 械化 的大量 成
并 以此方案寻找 一类非负三元六次对称 多项 式空间的极 小 多项式。
关键词
不等 式证 明
Ｂ￣ｍ ｏ ｅ ａ程序
Ｓ ｈｒ ｃ ｕ 分拆
数 学机械 化
中图法分类号
０７； １８
文献标识码
Ａ
长久 以来 ， 等 式证 明都 是 数 学 界 的热 门研 究 不 课题 。很 多经 典 的 结果 广 泛 地 应 用 于 工 程 、 论 各 理
１ 杨 路 的 Ｂｔ ｍ ） ｏｅ ａ适 用 范 围 最 广 ， 理 论 上 而 ｔ 从 言 ， 以完 全 地 解 决 所 有 不 等 式 证 明 问 题 ， 管 有 可 不 理 不等 式还 是无 理 不 等 式 。但 是 ， 少 地方 都 要 用 不
与中国科学院知识创新工程资助 作者简介 ： 黄方剑 ， ， 国科学 院成都 计算机 应用研 究所博 士 男 中 研究生 ， 研究 方 向： 号计算一 符 不等 式证 明、 离几何 应用 、 距 多项
基础 ， 编写 了高 效 程 序 Ｂ ｔｍ ， 程 序 用 以验 证 经 ｏｔ ａ 此 ｅ 典 几何 著作 中的 １０个 定理 ， 使 用 了 短短 几 秒 ０ 只
２０ ０ ７年 ４月 １ ２收到 国家“ ７ ” ９ ３ 计划 （０ ４ Ｂ １０ ３ ２０ Ｃ ３ ８０ ）
１ 三种方案的 比较
２０ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０７ ｃ ．Ｔ ｃ ． ｎｎ ．
一个不等式试题的研究
＋ ＋ 】 南 南 ＜
丽 ＋
．
＋
Ｉ 一１ ＋１一１＋１一１ 、
（ 口＋ｂ （ ７ ） ） ０＋ ６ ’
所 以
命题 １ 对 任意 的 正数 ０ ｂ 有 ，。
＋
＜ 而斋 ・
笔者研究发现 ， 该不等式可推广为命题 １ ．
第 ９期
・
笔者经研究发现 ， 该试题有多种解 法 ， 并得到了推广后不等式 的上界和下界 ， 现整理如下 ， 供同行参 考． 证法 １ （ 分析法） 口 ４ ＝ ， 设 ＋ ｂ ｔ则原不等式等价于
１
一
】
】
３
ｔ ２＋ 而 －ｂ 了＋
３ ２—４６ ｔ
＜ 吾
３
铮
铮
把上 述 ３个 式子 相加 ， 得
丽 ＋１＋ ＜ 厕 一 ６ 丽 ＋ １＋ ＋ √ 丽 ） ６ 丽 志 （ √ 丽 ＝ ．
根据命题 ２的证明， 容易推广得到
１
＜
ｉ
一
研
］ ・
于 是 又得 到如 下推 广．
命题 ３ 对任意的正数 ａｂ 凡 Ｎ＋ 有下面不等式成立 ： ，， ∈ ，
铮
＜ 丽
（） １
（ｔ一 ｂ）（ ｂ）＜ ｔ（ ４ ３ ４ ｔ一９ ９ ｔ ｂ） 一
３ ｔ ８ ４ ６ Ｏ ３ 一 ８ｂ ＋１４ ＞ ，
式（ ） １ 显然成 立．
证法 ２ 先证 明不等式
＋
． ． ．． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．． ．
＜ 三
！．． ．． ．．一 ．．
立． 该不等式等价于
，—．．．． ． —．．．． ．．一 ．．．．． ．． ．．．．． ．．
一个经典三角不等式的多证探究
ｓ ｉ ｎ Ｃ ≤ √ ３ ・√ｓ ｉ ｎ Ａ ＋ｓ ｉ ｎ 日 ＋ｓ ｉ ｎ Ｃ ≤
当且仅当 ４ ：Ｂ ：ｃ时等号成
，
立．
证明 ４ ： 由抽 屉原 理 知 ， 角 Ａ， Ｂ， Ｃ 中必
证明２ ： 由ｓ ｉ ｎ ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｃ＝ （ １
河北理 科教 学研 究
Ｂ ＝ Ｃ时 等 号 成 立 ．
教 法探 讨
ｓ ｉ ｎ ｚ ６ ０ 。 ） ≥０ 成立 ， 从而 ｓ ｉ ｎ Ａ ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ≤ ＋
ｓ ｉ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ ２Ｂ
证明 ６ ： 因为 ２ Ａ ＋２ ＋２ Ｃ ＝２ 丌， 所以 ，
．
于是 ｓ ｉ ｎ Ａ ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ＋ｓ ｉ ｎ ２ ｃ≤
≤ ２ （ ｓ ｉ ｎ
＋
ｎ
＋ Ｃ ＋６ ０ 。
）一
＝
式， 可得 ｓ ｉ ｎ ＋ｓ ｉ ｎ 。 ＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｃ≤ （ ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ＋
ｓ ｉ ｎ Ｃ） （ Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ ＋Ｃ Ｏ Ｓ Ｃ ）＋ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ ＋ｓ ｉ ｎ Ｃ： （ ｓ ｉ ｎ ＋ｓ ｉ ｎ Ｃ） （ Ｃ Ｏ Ｓ ２ Ｂ ＋Ｃ Ｏ Ｓ ２ Ｃ ＋１ ）≤
）： ２ Ｂ， （ 一 Ｏ Ｑ， 一 Ｏ Ｍ）： ２ Ｃ． 由
导 ３ 【 Ｌ
（ ，
（ Ｏ Ｍ＋Ｏ Ｐ＋ ＯＱ） ： ３＋２ （ ｃ ｏ ｓ ２ Ａ ＋ｃ ｏ ｓ ２ Ｂ
ｏ ｓ ２ Ｃ）≥ Ｏ ， 得ｃ ｏ ｓ ２ Ａ ＋ｃ ｏ ｓ ２ Ｂ ＋ｃ ｏ ｓ ２ Ｃ≥ 丢＋ 喜 （ １ ＋ ｃ 。 ｓ ｃ ） ＋ １ 一 ｃ 。 ｓ ２ ｃ ： 一 ＋ｃ
一些不等式的证明及应用开题报告
开题报告题目一些不等式的证明及应用学院数学与统计学院班级09数应6班姓名刘忠颖专业数学与应用数学学号21指导教师董芳芳提交日期2013年3月21日天水师范学院毕业论文（设计）开题报告1、文献研究法根据导数在不等式证明中的应用这一研究目的，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究的问题。
2、个案研究法对导数的性质及其应用加以调查分析，弄清其特点及其应用过程的3、探索性研究法用已知导数的性质及其应用等相关信息，进行探索、创新，进而对导数在不等式证明中的应用进行总结。
4 、经验总结法通过对导数性质及其应用的学习，进行归纳与分析，使之系统化、理论化，总结。
七、可行性论证1、通过查资料进行论证2、通过和老师同学的交谈进行论证3、通过分析总结进行论证八、参考文献【1】华东师范大学.数学分析[M].高等教育出版社【2】樊启斌.数学综合复习解题指南[M].武汉:武汉大学出版社【3】刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .邯郸师专学报【4】华东师范大学数学系数学分析(第三版)上册[M].高等教育出版社【5】周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报【6】陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究【7】陶伟高等数学习题集[M].北京国家行政学院出版社【8】曾捷数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社目录摘要 1引言 1一、利用导数的定义证明不等式 1二、利用微分中值定理证明不等式 31.使用拉格朗日中值定理证明不等式 32.使用柯西中值定理证明不等式 4三、利用函数的单调性证明不等 41.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式 52.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式 5四、利用泰勒公式证明不等式 6五、利用函数的最值(极值)证明不等式 7六、利用函数的凹凸性质证明不等式 8小结9致谢9参考文献9导数在不等式证明中的应用摘要导数是研究函数性质的重要工具之一,也是中学数学中最基本和最重要的内容之一, 利用导数的方法证明不等式是不等式证明中重要的组成部分。
一种证明三元对称不等式方法研究
一种证明三元对称不等式方法的研究摘要:本文将探讨一种证明三元对称不等式的方法,通过一系列例题,来反映这种方法在证明三元对称不等式中(尤其是对称三角不等式)的应用。
关键词:三元对称不等式应用三元对称不等式在不等式中经常出现(尤其是关于三角形的不等式),本人发现许多三元对称不等式都可以通过一种换元方法来证明,下面来介绍这种方法(姑且称为“p-q-m”法)设x,y,z为正数,记p=x+y+z,q=xy+xz+yz,m=xyz,它们满足如下性质:(1)pq/9≥m;(2)p2≥3q;(3)p3+tm≥(3+t/9)pq,只要t≤9;(4)q2≥3pm;(5)q3+tm2≥(3+t/9)pqm,只要t≤9;性质一二是显而易见的(均值不等式),对于性质三,我们先来证明一个引理;引理:舒尔不等式:设x>0,y>0,z>0,x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)≥0; 证明:不妨设x≥y≥z∑x(x-y)(x-z)=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)≥x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)=(x-y)2(y-z)≥0又∑x(x-y)(x-z)=p3+9m-4pq,p3+9m -4pq≥0性质三的证明:p3+tm=p3+9m-(9-t)m ≥4pq-(9-t)pq/9=(3+t/9)pq将yz代替x,xz代替y,xy代替z,性质四由性质二得,性质五由性质三得到。
问题探究:对于不等式p3+tm≥(3+t/9)pq,对于任意x,y,z为正数均成立的充要条件为t≤9吗?回答是肯定的,充分性已证明,我们来证明必要性。
令x=1,y=1,则p=2+z,q=2z+1,m=z,则(2+z)3+tz≥(3+t/9)(2+z)(2z+1)(2+z)(z-1)2≥2t(z-1)2/9;t≤9+4.5z对于z>0恒成立,当z为正无穷小时,t≤9。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究1. 引言1.1 背景介绍不等式是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中起着至关重要的作用。
从初中阶段开始，我们就开始接触不等式知识，但随着学习的深入，难度也不断提升。
正确的掌握不等式知识并运用到实际问题中，对培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要意义。
随着近年来数学竞赛在各个层次的普及，不等式题目也成为了竞赛中的常见考点。
深入研究不等式知识及解题策略对于提高学生在数学竞赛中的表现具有重要意义。
通过系统学习不等式的基础知识，掌握不同类型的不等式解题策略，并通过实例分析各类不等式题目，可以帮助学生更好地掌握不等式知识，提高解题效率。
本文旨在从不等式的基础概念入手，系统梳理不等式的解题策略和常见类型，进而探讨不等式知识在数学竞赛中的应用。
通过深入研究不等式知识，帮助读者更好地理解不等式的重要性及解题技巧，从而在解决实际问题和参加数学竞赛中取得更好的成绩。
1.2 研究意义研究不等式知识解题的策略具有重要的意义。
不等式是数学中的基础知识之一，掌握不等式解题策略可以帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学学习的效率。
不等式在数学竞赛中占据着重要的地位，许多数学竞赛中的题目都涉及到不等式的应用，掌握不等式解题策略可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。
不等式知识的研究也有助于拓展数学思维，培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力。
深入研究不等式知识解题的策略对于提升学生数学素养、促进数学教育的发展具有重要的意义。
通过对不等式知识的研究，可以更好地指导教学实践，为学生提供更加全面和系统的数学教育，推动数学教育教学的不断改进和完善。
1.3 研究方法在不等式知识解题的研究中，研究方法起着至关重要的作用。
研究方法的选择直接影响着研究成果的质量和效果。
一般来说，不等式知识解题的研究方法包括理论研究、实证研究和应用研究。
理论研究是不等式知识解题研究的基础。
通过对不等式的基本概念和性质进行深入剖析，揭示不等式解题的规律和方法。
不等式的证明的若干方法
不等式的证明的若干方法摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题，它渗透于数学研究的各个环节。
而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。
本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
关键词：不等式；证明方法；方法探究前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。
而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。
其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1.不等式的概念不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。
不等式一般形如：f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示“＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2.常见不等式证明的几种方法不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。
对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。
我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2.1利用比较法法证明在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。
比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。
教材中一个不等式复习题的研究
数 学数 学
２０ 年第 １期 ０８ １
教 材 中一个 不等式 复 习题 的研 究
６１ ０ 四川省绵阳南山中学 周 晓 许恒康 ２０ ０
教材上 的一些复 习参考题具有 良好 的教学 价值， 它们对于复 习数学基础知识、基本技能、 基本思想方法和基本应用具有典 型性、示 范性 和启发性， 且对解题 空间留有余地， 为师生提供
了展示 “ 思维体操” 的平台． 下面我们以一个 不等式 复习参考题为例进 行说明．
不等式（） １一
十
１
０ 一 Ｃ
＞
另一方面， ＞６＞ｃ 由 知
— — —
≥
ｆ —ｂ —ｃ ａ ＋ｂ 、
二 ＿ ｃ ｎ ４ ＞ 一 ＿ ：— ／
０ ０ 一ｃ 一ｃ ‘。…
差数列时取等号． 证 明： 由条件知 ０ —ａ ｌ ２＞ ０ ０ —０ ， ２ ３＞ ０ ，
…
不等式的特例） 、６ ： 若０ 都是正数， 则
＋
≤
，
凸 一 一ｎ １ ｎ＞ ０ 故 — ， —
１
— ＋ — —
ｎｎ一１ — ０ｎ ｎｎ — １
＋— —
＋
１ 口１一 ａ ２
＞
（ 半） ｃ＜ ， ＜ （ ） ， ＝ （ｃ ， Ｔ＜ ａ …） ＋
．
ｎ一 １
— —
１
１
＋ —
ａｎ — ａｌ
＞ ０ ．
ａｋ — ａｋ＋ ｌ
・
证法 ２（ ： 等价转化法） 由ａ＞ ｂ＞ｃ 知不等式
。 ， ＝３ ０ ． ；（ ＞ ， ＝ 警） （ ． ∈，’６， ＞ （ ） （ ０ ｃ ｎ ≥ 字） ．
关于微积分中不等式的证明问题
在数 学世界里 ． 不等关 系要 比相等 关系更广泛 的存在 ． 不 等式的 即： （ １ ＋ ｘ ） ｌ ｎ （ １ 慨） ＞ Ｖ１ － ｘ ‘ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ， 所以、 ／ 生 ＜ ｌ ｎ ｎ￣ ． Ｖ Ｉ ａｒｃ ｓｌ 研 究是不 等关 系的一个 重要 内容 ． 数学不等式不仅在数 学的各个分支 上述例子 中对 于构造 的函数 厂 （ ） 的单调性 可以从 一阶导数 的正 都有广泛应用 ， 它还广泛应用在物理 ， 工程 ， 经济 ， 科学等各领域 ． 我们 从 数学 学习这个角度看 ． 从初 等数学到 高等数学 ， 不 等式的证 明一直 负直接判断 出来 ， 但很 多时候 ， 有些题 目 并 不能一步到位 ， 这时 ， 可对 都 占有非 常重要 的地位 ， 它 的题型多变 ， 方法也很多 ， 在初等数 学中主 阶导数 （ 或其一 部分） 在求一次导数 。 根 据二阶导数 的正负 （ 结合相 要 有 比较法 、 综合 法 、 分析 法 、 反证 法 、 换元 法 、 数学归 纳法等 常用 方 应的条件 ） 作出判断． 例： 设ｅ ＜ ａ ＜ ｂ ， 证 明不等式 ： ＞ ６ 法． 在高考 中 。 不等式 的证 明是一个重 点也是难 点． 到 了高等数学 ， 不 等式的证 明仍是 重要 的研究 内容 ． 这里 主要谈谈 高等数 学中常用的证 分析 ： 对 于关 于两个常数 的不等 式 ． 一般 的办法 是将其 中的一个 明不等式 的方法 ． 常数转换成变量 ． 然后 构造辅 助函数 ． 再利用函数 的单调性证 明． 当然 构造辅助 函数时 ． 也要考虑是否直接 构造还是恒等变形后再构造辅 助 １ 利用 中值定理证明不等式 函数． 证 明： 因为 ６ 等价变形为 ｂ ｌ ｎ ａ ＞ ｄ ｎ ｂ ， 所以构造辅 助函数 ） ＝ 中值定理 主要是指 罗尔定理 ． 拉格 朗 日中值定理 ， 柯西 中值定 理 ，
不等式的性质证明
不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。
在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。
本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。
故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。
即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。
证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
不等式证明的开题报告
不等式证明的开题报告不等式证明的开题报告一、引言不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题和推导数学结论中起着重要的作用。
本开题报告将探讨不等式证明的方法和技巧，以及在解决实际问题中的应用。
二、不等式证明的基本方法1. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。
它基于以下两个步骤：首先证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立，通过推理证明当n=k+1时不等式也成立。
这种方法常用于证明与自然数相关的不等式，例如证明n(n+1)/2 > n。
2. 反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法。
它基于以下思路：假设不等式不成立，通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。
这种方法常用于证明与实数相关的不等式，例如证明√2是无理数。
3. 代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。
它基于以下思路：将不等式中的变量用特定的值代入，通过计算得出结果，从而证明不等式成立。
这种方法常用于证明与特定数值相关的不等式，例如证明当x>0时，x^2 > 0。
三、不等式证明的技巧1. 利用基本不等式基本不等式指的是诸如AM-GM不等式、柯西-施瓦茨不等式等常用的不等式。
在证明不等式时，可以利用这些基本不等式进行变形和推导，从而得到所要证明的结果。
2. 利用等价不等式等价不等式指的是与所要证明的不等式具有相同结构但不等号方向相反的不等式。
在证明不等式时，可以通过将所要证明的不等式转化为等价不等式，然后利用已知的结论进行推导，最终得到所要证明的结果。
3. 利用对称性质有些不等式具有对称性质，即交换不等式两边的变量不会改变不等式的成立性。
在证明这类不等式时，可以利用对称性质进行变形和推导，从而得到所要证明的结果。
四、不等式证明的实际应用不等式证明不仅仅是数学理论的研究，还具有广泛的实际应用。
以下是几个不等式在实际问题中的应用示例：1. 经济学中的应用在经济学中，不等式的证明可以用于分析市场供求关系、收入分配等问题。
高中数学不等式问题研究
高中数学不等式问题研究数学是人类活动的重要组成部分，它不仅为人们提供理解世界的理论框架，而且具有极大的助力作用。
在数学中，不等式是一个重要的概念，它用于描述数值的一般性质、属性和特性，从而解答重要的问题。
因此，对不等式的研究不仅是有价值的，而且是必要的。
高中数学不等式是研究不等式的一个重要和重要的部分，在高中数学课程中，学生有机会探究这些不等式。
因此，对高中数学不等式的研究很重要。
高中数学不等式研究的首要任务是从一般性角度探索不等式的基本性质，以及它们怎样解决问题。
在这一阶段，要求学生掌握不等式的基本定义，如何表示不等式，以及不等式的一般解法。
例如，当我们说“x 的平方 - 9大于零”的时候，我们可以用不等式来表示它，x^2 - 9 > 0。
以此为基础，学生可以学习一般的不等式解法，如图形法、分类法和因式分解法等，以及如何灵活应用这些方法来解决不等式问题。
此外，学习高中数学不等式还要求学生了解不同类型的不等式，以及如何求解它们的解。
例如，当我们需要求解多项式不等式的时候，我们可以使用图形法、单调性法和换元法等解法。
另外，高中数学不等式的研究也可以涉及一些比较复杂的概念，如最大值/最小值和多元不等式等。
所以，研究高中数学不等式还需要有较深入的了解。
此外，在高中数学不等式研究中还要涉及一些更加抽象的概念，如极限和不等式的性质。
在这些更抽象的概念中，学生要学习更抽象的概念，如定义、性质、定理、极限等，以及如何应用这些概念来解决实际问题。
在研究高中数学不等式的同时，学生还可以进一步探究数学证明方法，学习如何有效地收集有关不等式的信息，以及如何有效地使用这些信息来构建有效的证明。
综上所述，研究高中数学不等式具有重要的意义，它不仅丰富学生的学习，而且提高他们解决实际问题的能力，为他们建立数学基础。
有着这些重要的意义，数学老师和学生都必须认真探究更加深入的不等式知识，以帮助他们更好的利用数学的能力和知识解决更多复杂的问题。
微积分在不等式证明中的应用探究
微积分在不等式证明中的应用探究微积分是一门非常重要的数学分支，其在数学、物理、工程以及经济学等各个领域都有广泛的应用。
在不等式证明中，微积分也有着很大的作用，可以帮助我们更好地理解和证明不等式。
本文将探讨微积分在不等式证明中的应用。
一、不等式证明的基本思路不等式证明是数学中的一个重要问题，它的基本思路是通过变形来证明不等式的成立。
通常，我们可以将不等式转化成一个函数的形式，然后利用微积分的思想对函数进行研究，进而得到不等式的证明。
二、微积分在不等式中的应用微积分在不等式证明中有着广泛的应用，下面列举几个例子来说明。
1. 极值法极值法是一种常用的证明不等式的方法。
当我们要证明一个不等式时，我们可以先找到函数的极值点，然后利用函数在极值点处的取值来说明不等式成立。
具体实现方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过求解f(x)的导数来找到极值点。
假设f(x)的导数为0，即f'(x)=0，则f(x)在x处取得极值。
根据极值的定义，我们知道当f(x)在极值点处取到最大值或最小值时，不等式a≤f(x)≤b都会成立。
例如，要证明不等式sinx≤x（0≤x≤π/2），我们可以定义函数f(x)=x-sinx，然后求出f'(x)=1-cosx。
当f'(x)=0时，即cosx=1，这时f(x)的极小值为0，因此sinx≤x成立。
2. 积分法积分法也是证明不等式的一种重要方法。
具体方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过积分来获得f(x)在[a,b]上的取值。
具体来说，我们可以定义函数g(x)为a≤g(x)≤b且f(x)≤g(x)，然后计算g(x)在[a,b]上的积分，即∫[a,b]g(x)dx。
由于a≤f(x)≤g(x)且g(x)在[a,b]上的积分一定小于等于f(x)在[a,b]上的积分，因此就能证明不等式的成立。
一个不等式证明思路的剖析及应用
１ 证 明思路 的剖析
立．
对 于 问 题 １的
ａ 十 １ 一
“
＋
Ｄ一 十 １
≤ 是
了
问题 １ 是一 个 条 件不 等 式 ， 条 件 不 等 对 式 的证 明要 抓 住 它 的条 件来 找 出证 明 的 思 路． 问题 １的条件 是 “ ， ∈ Ｒ ａ＋ｂ：１ ， ａ ｂ ， ” 则所证 明 的不等 式 是 在正 数 的 范 围 内 ． 由 而
＋６” 化成 “ ６ 的形式 ， ａ ｎ” 即 ＋ｂ ＝（ ａ＋ｂ ）
一
丢 口，结 ＂６的 数１可 ： ≥６并 合ａ 系 “’得 ” ３， ’ ６ ’
３ ｂ ¨ ６ ＝ｌ ａ ， 以 ａ（ ） 一３ ６ 所
＋
１３＋＝ ａ ｛ ｛ １ ｛ ６６ ５１３＋ ＋ ＋ ×≥ ａ ６６ ８
有最 大值 ”即 ｏ ≤ （ ， ｂ
把 “ 。 化成 “ ｂ 的形 式 ， ａ ６” ａ” 因此 要 把 “ ３ 口 ６” 开三 次方根 ， 这样 就想 到用公 式 “ ａ＋ｂ＋Ｃ ≥
仅仅 抓住 这个最 大值 ． 就是 说 ， 也 我们 要证 明 的不 等式 的思路就 是 要把 所 有含 有 字母 “ ” ａ 和“ ” ｂ 的项 都化成 “ ” ６ 的形 式 ． 具体 如 下 ： 由
＜ｘ ≤ （ ｙ 生 ） 所 以 ４ ｙ≤１ （ ｙ＋ ＝ １， ，ｘ
的项都 化 成“ ｙ 的 形式 ． 因题 中条 件 与结 ｘ” 又 论之 间 的因果 关 系不 明显 ， 以用 分析 法 证 所
明・
２２ ） ＞２ 即 ４ ｙ一１ ， ｘ ≤０ （ ｙ＋２ ２ ） —２＞０ 所 ，
，
】、 ，
２５
，
马尔科夫不等式各种形式的证明及其应用
马尔科夫不等式各种形式的证明及其应用1. 概述马尔科夫不等式是概率论中一种重要的不等式，可以用于估计随机变量的概率分布。
本文将介绍马尔科夫不等式的各种形式及其证明，同时探讨其在实际问题中的应用。
2. 马尔科夫不等式的基本形式马尔科夫不等式的基本形式可以表示为：若X是非负随机变量，且对于任意t > 0，有P(X >= t) <= E(X) / t3. 证明过程马尔科夫不等式的证明过程基于随机变量的定义和概率的性质。
具体证明过程如下：1. 首先，假设X是一个非负随机变量，且其期望为E(X)。
2. 对于任意的正实数t，考虑事件A = {X >= t}，即X的取值大于等于t。
3. 则根据随机变量的定义，有：E(X) = ∫[0, ∞) x f(x) dx其中，f(x)为X的概率密度函数。
4. 对于事件A，由于X的取值大于等于t，可以得到：∫[t, ∞) x f(x) dx ≤ ∫[t, ∞) t f(x) dx5. 将不等式两边同时除以t，得到：∫[t, ∞) (x / t) f(x) dx ≤ ∫[t, ∞) f(x) dx6. 将不等式两边同时求积分，得到：∫[t, ∞) (x / t) f(x) dx ≤ ∫[t, ∞) f(x) dx7. 根据概率的性质，积分结果为概率值，可以得到：P(X >= t) ≤ ∫[t, ∞) f(x) dx8. 根据期望的定义，可以得到：E(X) = ∫[0, ∞) x f(x) dx ≥ ∫[t, ∞) x f(x) dx9. 将不等式两边同时除以t，得到：E(X) / t ≥ ∫[t, ∞) (x / t) f(x) dx10. 结合步骤7和步骤9，可以得到马尔科夫不等式的基本形式：P(X >= t) ≤ E(X) / t4. 马尔科夫不等式的应用马尔科夫不等式在概率论和统计学中有广泛的应用，例如：- 在金融风险管理中，可以利用马尔科夫不等式估计投资损失的概率。
一个初等不等式一个初等不等式论文
一个初等不等式的研究一个初等不等式的研究【摘要】本文通过对一个初等不等式x3+y3+z3≥3xyz(x,y,z∈r+)进行研究，得到若干推广形式及一些应用，文中还留下了几个猜想。
【关键词】不等式；推广；应用；猜想不等式x3+y3+z3≥3xyz,①x,y,z∈r+是中学里一个简单且常见的不等式！然而它的内涵与外延是如此的丰富，似乎出乎我们的意料之外。
本文将给出此不等式的若干推广形式及一些应用，并提出几个猜想。
一、不等式的证明不等式①的证明似乎不难，左-右=12(x+y+z)［(x-y)2+(y-z)2-(z-x)2］≥0即得。
有意义的是由此证明以及经过简单的代数变形，我们可以给出一些有趣的推广及应用。
二、不等式的推广以下我们给出几个命题，题中条件均为x,y,z∈r+。
命题一 (a)x3+y3+z3≥3xyz+z(x-y)2+x(y-z)2+y(z-x)2。
②(b)xyz≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
③命题二 (a)x3+y3+z3≥3xyz+x+m2(y-z)2+y+m2(z-x)2+z+m2(x-y)2。
(其中m=min{x,y,z}) ④(b)xyz-m2［(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2］≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑤命题三 (a)27x2y2z2(x+y+z)3≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑥(b)x2y2z227(x+y+z)327xyz(x+y+z)3+83≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑦不等式③展开后整理即得②，展开后知不等式④与⑤也是等价形式，④显然强于②。
下面证明不等式④，不妨设x≥y≥z,则m=z。
左?右=12（x+y+z)［(x-y)2+（y-z)2+(z-x)2］-x+z2(y-z)2-y+z2(z-x)2-z+z2(x-y)2=12(y-x)(y-z)2+12(x-y)(z -x)2+12(x+y-2z)(x-y)2=12(x-y)［(z-x)2-(y-z)2］+12(x+y-2z)(x-y)2。
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关于一个不等式证明问题的研究
对于不等式，在高中数学中是很常见的，不过对于不等式的解题方法，解题思路也是五花八门，各具特色。
但总的来说，在数学解题之初，人们总是通过对数学问题所涉及的数式、图形、结构、形式等具体对象的观察，从而投过现象去寻求数学问题的基本特征，揭示隐蔽在已知和未知条件中的信息，最后从多角度，多方面获得相对应的解题策略。
设,10,10<<<<b a 求证
22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a 。
设计意图：此题是不等式的证明，能够根据外部特征采用基本不等式求解，但是对于此问题能够采用更加新颖的数学方法求解。
这样能够培养学生的创造性思维和发散性思维。
让学生能够更加灵活的使用多种数学方法。
此问题能够更深层次明白在面对一个数学问题时，对于题目的外在形式及其结构，不但要注重外形上的分析，而且要注重内容上的理解，能从一个孤独静止的数学形式中找出关联活动的数学内容。
实际上，在对数学问题的探究中，同一属性内容能够有多种不同的存有形式，同一数学形式又能够从多种内容上去理解。
在探究解题思路时，要善于将条件和结论向两轴做对角度投影，在这个多角度投影中，数学知识不是孤立的单点或离散的片段，数学方法也不是互不相关的一招一式，他们是不可分割的整体，组成一条又一条的知识链。
解题思路探求的敏捷性、发散性就在于当知识链的某一环节受到刺激时，整条知识链就活跃起来。
方法1
分析：对于此不等式，其左边的每一项的根号内都是两个正数的平方和，所以采用基本不等式()2
222y x y x +≥+（0,0>>y x ）, 将平分和转化为和的平方，消去根号，所以有：
)]1()1[(2
2)]1([22])1[(22)(22)1()1()1()1(2
2222222b a b a b a b a b a b a b a b a -+-+-+++-++≥-+-+-+++-++ 22=
评注：此方法是最常见也最基础的方法，在多数不等式问题中均实用
方法2
分析：从题目中根据a,b 的取值范围,10,10<<<<b a 所以想的三角函数代换法，然后结合不等式的一些性质求解
令βα22cos ,sin ==b a 于是22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++ =βαβαβαβα44444444sin cos sin sin cos cos cos sin +++++++
)sin (cos 2
2)sin (sin 22)cos (cos 22)cos (sin 2222222222βαβαβαβα++++++≥ =22
评注：三角函数在已知参数取值范围情况下的不等式问题中，是使用非常广泛的。
方法3
分析：从要求证的不等式中，每一个小部分都含有根号，并且根号里还有两项的平方，所以能够联想到复数的模长来实行计算。
设i b a i b a bi a bi a z z z z )1()1(,)1(,)1(,4321-+-=-+=+-=+=， 所以22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++ =z z z z 4321
+++ z z z z 4321+++≥ =2222=+i
评注：关于复数的模长，这种解题思路很新颖，但在具体问题中使用不是特别常见，但其思维方式特别富有创造力。
方法4
分析：仍然从题目中a,b 的取值范围,10,10<<<<b a 采用作单位正方形,如图1所示，所证不等式即点M （a,b ）到O （0.0），A(1,0), B(1,1), C(0,1)四点的距离之和不小于22
当,10,10<<<<b a 点M 在正方形OABC 内部，所以
22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++ =MC MB MA MO +++
22=+≥AC OB (M 取对角线交点时不等号去等号)
评注：使用坐标系，这种方法可谓是万能钥匙，在绝大部分问题中，此方法都具有一定的可行性，而且结合图形，更直观，新颖。
图1 图二
方法5
分析：从要证明的结论出发，及各部分式子的结构特点，容易联想到证明勾股定理时所采用的方法，及如图2所示，作单位正方形ABCD ，取DE=AF=a,DG=CH=b,EF 与GH 相交于M ，则M 在正方形ABCD 内。
由勾股定理得 22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++
=MB MA MC MD +++
22=+≥BD AC
评注：数学结合，此方法看是简单，实则难以想到，所涉及知识面相对来说较大，需要在平时解决数学问题过程中多作积累，归纳。
方法6
图3
分析：如图3所示，取线段AC=1，在AC 上取AO=a,过O 作BD ⊥AC,取OD=b ，BD=1，所以 2
121=⋅=BD AC S ABCD 四边形(定值). 因为，面积一定的四边形以正方形的周长为最小，所以ABCD 为正方形，即a=b=
21时， AB+BC+CD+DA=222
24=⨯最小，即 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a
评注：此方法根据面积一定，周长最小，这种方法是很早之前我们都接触过的，只要在平时练习过程多积累对总结，是容易理解，也容易想到。
上面对问题来说，能够从这些方面求解。
对于问题本身，我们也能够作多层次对角度的探究，从而将这类问题实行如下推广
推广1、设10,10,10<<<<<<c b a 求证
+-++++-++++-+++222222222222)1()1()1(c b a c b a c b a c b a
222222222)1()1()1()1()1()1(c b a c b a c b a -++-+-+-+++-+-+
222)1()1()1(c b a -+-+-34≥对于此问题，仍然借鉴上一问题的解题思路，
下面就我们采用方法4的解题，来求解此问题。
此问题较上一题而已，仅仅将二维变成三维，将平面变成了空间立体。
还是根据a,b,c 的取值范围，放到空间直角坐标系中，作一单位正方体，要证明的不等式，及是空间内一点到正方体八个顶点的距离之和，这是很容易得证的。
另外还能够用方法6得出结果。
猜想、如果10,10,10,10<<<<<<<<d c b a 这样的条件，我们能不能假想为四维空间，然后仍然视为空间内到一顶点的距离。
如果延展到n 个，这个结论是否还是成立呢？通过前期我们所作的各种猜想，这是十分可行的。
对于此类问题，就能够用距离来解决。
推广2、设10,10,10<<<<<<c b a 求证
+
-++++-++++-+++3333333333333333)1()1()1(c b a c b a c b a c b a +-+-++-++-++-+-333333333333)1()1()1()1()1()1(c b a c b a c b a
3
333)1()1()1(c b a -+-+-333≥ 猜想2、在推广2成立的基础上，我们能否大胆做出猜想：能否将题中的3次换成n 次是否依然成立呢；或者再将其推广a 、b 、c 、d...n 是还是成立。
总结：通过上面对一简单不等式的探究，我们多方面来思考问题。
同时也能够体现在神奇的
数学世界中，几何不单单是几何，代数也不单单是代数，它们之间有着莫大的联系，在对问题的思考过程中，应该在不同知识之间实行信息转换，解题思路也会在这种转换中诞生。
实际上，在我们求解数学问题过程中，主要是依靠我们的那种对数学题的直觉思维，而这所谓的直觉思维，能够根据一个题目的外部特征，通过视觉获得信息，使用思维辨识其形式、结果和数量关系，从而发现某些规律和性质。
然后再通过视觉上所获得的信息，与我们所解决的问题实行类比，得到启发，再根据所得启发，实行合情猜想及推理。