抽屉原理精华及习题(附答案)

第九讲 抽屉原理

一、 知识点：

1． 把27个苹果放进4个抽屉中，能否使每个抽屉中苹果数均小于等于6？那么至少有一

个抽屉中的苹果数大于等于几？

2． 把25个苹果放进5个抽屉中，能否使每个抽屉中苹果数均小于等于4？那么至少有一

个抽屉中的苹果数大于等于几？

上述两个结论你是如何计算出来的？

★规律：用苹果数除以抽屉数，若余数不为零，则“答案”为商加1，若余数为零，则“答

案”为商。

★抽屉原则一：

把n 个以上的苹果放到n 个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。

★抽屉原则二：

把多于m ×n 个苹果放到n 个抽屉中,无论怎样放,一定能找到一个抽屉,它里面至少有(m +1)个苹果。

二、 基础知识训练（再蓝皮书）

1、 把98个苹果放到10个抽屉中， 无论怎么放， 我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少含有 个苹果。

2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢， 它里面至少含有 只鸽子。

3、从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的 抽屉，从它里面至少拿出了 个苹果。

4、从 个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉， 从它当中至少拿了7个苹果。

三、 思路与方法：

在抽屉原理问题，难在有些题目抽屉没有直接给出，要求我们自己根据题意去造抽屉，但我们也不要为此感到困难，往往在题目有一句关键的话，告诉我们抽屉的性质，我们可以根据此性质来构造抽屉即可。

训 练 题

1． 六（1）班有49名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86

分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同。”请问王老师说的对吗？为什么？

2． 从100,,3,2,1 这100个数中任意挑选出51个数来，证明在这51个数中，一定：

（1）有2个数互质； （2）有两个数的差为50；

3． 圆周上有2000个点，在其上任意地标上1999,,2,1,0 （每一点只标一个数，不同的点

标上不同的数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的；两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。

4．有一批四种颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各种信号.证明:在200个信号中至少有4个信号完全相同.

5．在3×7的方格表中，有11个白格，证明：

（1）若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格；

（2）只有一个白格的列至少有3列。

6．一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时，这篛流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？

7．在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？

8．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多少人？9．某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？

10．某此选举，有5名候选人，每人只能选其中的一人或几人，至少有人参加选举，才能保证有4人选票选的人相同

11．一次考试有20道题，有20分基础分，答对一题加3分，不达不加分也不减分，答错一题减1分，若有100人参加考试，至少有多少人得分相同？

12．一次数学竞赛，有75人参加，满分20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980分，问至少有几个人得分相同？

第九讲抽屉原理提示与答案

提示：

1．关键词：成绩相同；抽屉性质：有相同成绩的人在同一个抽屉中，所以我们要根据成绩来造抽屉；

2．关键词：数互质；抽屉性质：抽屉中已有数，并且同一抽屉中的数互质；

关键词：差为50；抽屉性质：抽屉中已有数，并且同一抽屉中的数差为50；

3．从反面考虑问题，假设所有这样的和均小于2999，这样每个和最大为2998，我们用两种方法来计算一下所有数的和即可；

4．关键词：信号完全相同；抽屉性质：同一抽屉中放的信号均相同；

5．反证法；

6．想想一个车床至少要有几个人会，假设有一个车床只有3个人会可以吗？那这3个人如果有一天都没来，会怎样？

7．关键词：选票选的人完全相同；抽屉性质：选的人完全相同的人在一个抽屉中；

8．想想一共有多少种分值，注意有些分值得不到；

9．先不考虑总分，你能算出至少有几人得分相同吗？然后再考虑总分，注意此时从最好或最外的方面来考虑。

答案：

1．对，

2．（1）相邻两数为一组，构成一个抽屉，共50个抽屉；

（2）差为51的两数为一组，构成一个抽屉，共50个抽屉；

3．假设所有这样的和均小于2999，这样每个和最大为2998，这样一共2000个和的最大可

能值为：2998×2000＝5996000；在上述算法中，0至2000这2000个数，每个数都算了3次，这样上述的2000个和应该等于（0＋1＋2…＋2000）×3＝5997000。与最大可能值为5996000矛盾，所以假设不成立。

4．四种颜色的小旗，任意取出三面后排列共可组成4×4×4＝64个信号；这将64个信号作为抽屉即可。

5．略

6．假设有一个车床只有3个人会使用，这样某一在这3个人都没来，这时这条流水线就不能正常运转，所以每个车床至少应有4个会使用，这样需进行4×5＝20轮培训；

下面说明，进行20轮培训一定可以。若对3个人进行全能培训，使他们对这5个车床均会使用，对剩下的5个人，分别进行1、2、3、4、5这5号车床中的一个车床的培训，使他们5个人在场可使流水线正常运转，这样任意五人在场就都可使流水线正常运转，则此时对工人进行的培训正好是20轮。

7．从5人中选1人有5种选法；从5人中选出2人有10种选法；从5人中选中3人也有10种选法，从5人中选出4人有5种选法；从5人中选出5人有1种选法，综上，共有31种不同的选法，将这31种不同的选法做为31个抽屉，由抽屉原理知：答案为：31×3＋1＝94；

8．分别计算一下第一名、第二名、第三名、……各得多少分，会发现，最高分为80分，最低分为0分，但中间有一些分值得不到，它们是79,78,75。所以共有81－3＝78种分值，将这78种分值做为78个抽屉，抽屉原理得答案为：2

9．如果不考虑总分980，易得至少有4人得分相同，现加入条件980分，

（1）若最多有4人得分相同，此时这75人得分最高可能为：4个20分，4个19分,…

4个3分,3个2分，总和为834分，所以最多有4人得分相同不可能；

（2）若最多有5人得分相同，此时这75人得分最高可能为：5个20分，5个19分,…

5个6分,总和为975分，所以最多有5人得分相同不可能；

（3）若最多有6分得分相同，此时易知这75人得分可以满足980分这个条件，综上，此题答案为6人。

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