计算机图形学曲线和曲面造型
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续。一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光 滑。在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方 向，曲率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | d d k( k u p ) u u u 0 d d k(k u p ) u u u 0
形系统中对曲面的表示、设计、显示和分析。
• 曲面造型起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外
形放样工艺，由Coons、Bezier等大师奠定其理 论基础。如今已形成了以有理B样条曲面 (Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐 式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这 两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合 (Fitting)、逼近(Appr整o理x课i件mation)这三种手段为骨2
计算机图形学
第三专题
曲线和曲面造型
整理课件
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计
(Computer Aided Geometric
Design,CAGD) 和 计 算 机 图 形 学 (Computer
Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图
整理课件
3
整理课件
4
• 1975年以来美国Syracuse大学的Versprille首次
提出有理B样条(NURBS)方法。后来Piegl和Tiller 等人的功绩，使NURBS 方法成为现代曲面造型 中最为广泛流行的技术。
• NURBS 方法可以精确地表示二次规则曲线曲面，
实现了用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲
从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中
最重要的基础。
整理课件
5
曲面造型的发展趋势
计算机图形显示 几何设计对象
制造工业 激光测距扫描
真实性 实时性 交互性 多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
整理课件
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
面。具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状
更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条 方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲 线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线 曲面。
• 国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业
产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法
作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，
曲面等百度文库性
6
二. 曲线和曲面的理论基础
2.1 曲线的参数表示
曲线的参数方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。当t在参数 域[a,b]内连续变化时，就得到了曲线。为了方便起见，
可以将[a,b]区间规范化成[0，1]。
整理课件
7
曲线参数表示矢量方程式 p p (t) (x (t) ， y (t) ， z (t))
整理课件
• 1964年美国麻省理工学院的Coons提出给定封闭
曲线的四条边界定义一块曲面的的曲面描述方法。 这种方法存在形状控制与连接问题。
• 1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控
制多边形设计曲线的新方法。该方法简单易用，而
且解决了整体形状控制问题，为曲面造型的进一步 发展奠定了坚实的基础。Bezier方法仍存在连接问 题和局部修改问题。
p (t) x (t)i y (t)j z (t)k
给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。当t在参数 域[a,b]内连续变化时，就得到了曲线。为了方便起见，
可以将[a,b]区间规范化成[0，1]。
整理课件
8
曲线参数方程实例
螺旋线的参数方程可以写为
xaco ts
yasi nt 或
zvt
x a cos
• 1974年提出了B样条方法，该方法继承了Bezier方
法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较 成功地解决了局部控制问题和连接问题，从而使自
由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。不能
精确表示圆锥曲线及初等解析曲面，造成了产品几
何定义的不唯一。曲线曲面没有统一的数学描述形 式，容易造成生产管理混乱。
s(0 ,0 )s,(0 ,1 )s,(1 ,0 )s,(1 ,1 ) 曲面的四个整角理点课件
11
2.3 曲线曲面的参数连续
• 在几何造型设计中，单一的曲线往往难以描述复杂的形状，
形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段 间的连接则满足某种连续性条件。
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连
整理课件
10
矢量方程式为 s s u ,v ( ) ( x ( u ,v )y ( , u ,v )z ( u ,,v ))
当参数u,v在参数域[0，1]中连续变化时，其对应点 (x, y, z)
就形成一张曲面。
当u=u0时，
v 表示曲面上一条沿V方向的空间曲线，称为 向线，
s s u 0 v ( ) ( x ( u 0 ,v )y ( , u 0 ,v )z ( u ,0 ,v ))
u 当v=v0时，类似地，可以定义 向线。
s s ( u ,v 0 ) ( x ( u ,v 0 )y ( , u ,v 0 )z ( u ,,v 0 ))
u v 向线和 向线称为曲面的参数曲线(等参数线)。u，v 分别等于0，1时的参数曲线。
s(0 ,v )s,(1 ,v )s,(u ,0 )s,(u ,1 )曲面的边界曲线
y
a
sin
z b
(t, b v)
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．即
:0 0, z:b 0 b 0 b ,
2, 上升的高度 h2b螺距
整理课件
9
2.2 曲面的参数表示
双参数描述表达式
x x(u,v)
y
y (u , v )
z z ( u , v )
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u 1 u u 2,v 1 v v 2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | d d k( k u p ) u u u 0 d d k(k u p ) u u u 0
形系统中对曲面的表示、设计、显示和分析。
• 曲面造型起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外
形放样工艺，由Coons、Bezier等大师奠定其理 论基础。如今已形成了以有理B样条曲面 (Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐 式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这 两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合 (Fitting)、逼近(Appr整o理x课i件mation)这三种手段为骨2
计算机图形学
第三专题
曲线和曲面造型
整理课件
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计
(Computer Aided Geometric
Design,CAGD) 和 计 算 机 图 形 学 (Computer
Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图
整理课件
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• 1975年以来美国Syracuse大学的Versprille首次
提出有理B样条(NURBS)方法。后来Piegl和Tiller 等人的功绩，使NURBS 方法成为现代曲面造型 中最为广泛流行的技术。
• NURBS 方法可以精确地表示二次规则曲线曲面，
实现了用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲
从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中
最重要的基础。
整理课件
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曲面造型的发展趋势
计算机图形显示 几何设计对象
制造工业 激光测距扫描
真实性 实时性 交互性 多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
整理课件
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
面。具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状
更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条 方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲 线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线 曲面。
• 国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业
产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法
作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，
曲面等百度文库性
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二. 曲线和曲面的理论基础
2.1 曲线的参数表示
曲线的参数方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。当t在参数 域[a,b]内连续变化时，就得到了曲线。为了方便起见，
可以将[a,b]区间规范化成[0，1]。
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曲线参数表示矢量方程式 p p (t) (x (t) ， y (t) ， z (t))
整理课件
• 1964年美国麻省理工学院的Coons提出给定封闭
曲线的四条边界定义一块曲面的的曲面描述方法。 这种方法存在形状控制与连接问题。
• 1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控
制多边形设计曲线的新方法。该方法简单易用，而
且解决了整体形状控制问题，为曲面造型的进一步 发展奠定了坚实的基础。Bezier方法仍存在连接问 题和局部修改问题。
p (t) x (t)i y (t)j z (t)k
给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。当t在参数 域[a,b]内连续变化时，就得到了曲线。为了方便起见，
可以将[a,b]区间规范化成[0，1]。
整理课件
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曲线参数方程实例
螺旋线的参数方程可以写为
xaco ts
yasi nt 或
zvt
x a cos
• 1974年提出了B样条方法，该方法继承了Bezier方
法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较 成功地解决了局部控制问题和连接问题，从而使自
由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。不能
精确表示圆锥曲线及初等解析曲面，造成了产品几
何定义的不唯一。曲线曲面没有统一的数学描述形 式，容易造成生产管理混乱。
s(0 ,0 )s,(0 ,1 )s,(1 ,0 )s,(1 ,1 ) 曲面的四个整角理点课件
11
2.3 曲线曲面的参数连续
• 在几何造型设计中，单一的曲线往往难以描述复杂的形状，
形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段 间的连接则满足某种连续性条件。
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连
整理课件
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矢量方程式为 s s u ,v ( ) ( x ( u ,v )y ( , u ,v )z ( u ,,v ))
当参数u,v在参数域[0，1]中连续变化时，其对应点 (x, y, z)
就形成一张曲面。
当u=u0时，
v 表示曲面上一条沿V方向的空间曲线，称为 向线，
s s u 0 v ( ) ( x ( u 0 ,v )y ( , u 0 ,v )z ( u ,0 ,v ))
u 当v=v0时，类似地，可以定义 向线。
s s ( u ,v 0 ) ( x ( u ,v 0 )y ( , u ,v 0 )z ( u ,,v 0 ))
u v 向线和 向线称为曲面的参数曲线(等参数线)。u，v 分别等于0，1时的参数曲线。
s(0 ,v )s,(1 ,v )s,(u ,0 )s,(u ,1 )曲面的边界曲线
y
a
sin
z b
(t, b v)
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．即
:0 0, z:b 0 b 0 b ,
2, 上升的高度 h2b螺距
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2.2 曲面的参数表示
双参数描述表达式
x x(u,v)
y
y (u , v )
z z ( u , v )
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u 1 u u 2,v 1 v v 2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，