计算机图形学曲线和曲面造型
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计算机图形学第五章曲线与曲面
2015/9/25
20
第五章：曲线与曲面
2015/9/25
21
第五章：曲线与曲面
2015/9/25
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第五章：曲线与曲面
2015/9/25
23
第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
2015/9/25
推导略
2015/9/25
18
第五章：曲线与曲面
参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参 数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
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7
第五章：曲线与曲面
位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其
几何造型技术的名词解释
几何造型技术的名词解释几何造型技术是一种应用数学几何学原理和方法，用于描述和呈现物体形状和结构的技术。
在现代科技领域，几何造型技术被广泛应用于计算机图形学、工程设计、建筑设计、汽车设计、航空航天等领域。
1. CAD（计算机辅助设计）CAD是几何造型技术的重要应用之一。
它使用计算机软件辅助进行图形设计和模型构建。
通过CAD软件，设计师可以轻松创建三维模型，并进行模拟和分析。
CAD技术大大提高了设计效率和精确度，并广泛应用于工业制造、建筑设计等领域。
2. 曲线和曲面造型曲线和曲面造型是几何造型技术中常用的方法。
曲线可以用来描述二维图形的形状，曲面则用于描述三维物体的形状。
常见的曲线造型方法包括贝塞尔曲线、B样条曲线等，而曲面造型方法则有贝塞尔曲面、B样条曲面等。
这些方法能够准确描述复杂物体的形状，并为后续的分析和加工提供基础。
3. 多边形网格多边形网格是一种常用的离散化表示方法，用于描述三维物体的表面。
它将物体的表面划分成由三角形或四边形组成的网格结构，每个网格点都有自己的坐标和法线向量。
多边形网格可以通过各种技术生成，如手动建模、扫描、造型软件生成等。
它广泛应用于计算机图形学、三维建模等领域。
4. 网格编辑和细分网格编辑和细分是几何造型技术中常用的操作。
在网格编辑过程中，设计师可以对多边形网格进行修改，包括添加、删除或移动网格点等操作，从而调整物体的形状。
而网格细分则是通过对网格进行逐步细化，使其更加平滑和精细。
这些操作可以帮助设计师创建更加复杂和精美的几何模型。
5. 参数化造型参数化造型是一种通过调整参数值来自动生成不同形状的技术。
设计师可以通过改变一些参数值，如长度、角度、比例等，从而快速生成不同形态的模型。
参数化造型技术在计算机辅助设计中经常使用，它提供了一种高效、灵活的方式来生成各种形状。
6. 隐式曲面隐式曲面是一种通过数学方程来描述几何形状的技术。
它可以通过一个或多个方程来表示曲面的形状，而不需要用户指定具体的曲面边界。
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
计算机图形学 曲线和曲面
不规则曲线或曲面：不能确切给出描述整个曲线或曲面的方程，是由实际测量中得到的一系列离散数据 点用拟合方法来逼近的。一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续的曲线或曲面， 称为样条曲线或曲面。比如Hermite样条曲线或曲面、Bezier样条曲线或曲面、B样条曲线或曲面等。
4.1.1 规则曲线或曲面的表示法
Q
P2’
P2 t=0.5
P1
P3
t=0
A
t=1
4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式
根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组：
t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 t = 0.5：P(0.5) = A1+0.5A2+0.25A3 = P2
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
5．参数连续性与几何连续性 设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参 数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
0阶参数连续性：记作C0连续，是指曲线相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。 P(1)=Q(0) 一阶参数连续性：记作C1连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。P’(1)=Q’(0) 二阶参数连续性：记作C2连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。P’(1)=Q’(0)且 P’’(1)=Q’’(0)
[x(t) y(t)] = [t2 t 1]
2 4 2 x1 y1
3
4
1
x2
4.1.1 规则曲线或曲面的表示法
Q
P2’
P2 t=0.5
P1
P3
t=0
A
t=1
4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式
根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组：
t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 t = 0.5：P(0.5) = A1+0.5A2+0.25A3 = P2
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
5．参数连续性与几何连续性 设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参 数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
0阶参数连续性：记作C0连续，是指曲线相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。 P(1)=Q(0) 一阶参数连续性：记作C1连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。P’(1)=Q’(0) 二阶参数连续性：记作C2连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。P’(1)=Q’(0)且 P’’(1)=Q’’(0)
[x(t) y(t)] = [t2 t 1]
2 4 2 x1 y1
3
4
1
x2
计算机图形学第8讲曲线曲面
P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式
如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t
记为Cn
22
参数连续性与几何连续性
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )
1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
Frenet–Serret 公式
21
参数连续性与几何连续性
参数连续性
传统的、严格的连续性 曲线 P = P(t)在 t＝t0 处n阶参数连续，如果它在 t0 处n 阶左右导数存在，并且满足
d k P(t ) d k P(t ) , k 0,1,, n k k dt t t0 dt t t0
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线？
表示最简单 理论和应用最成熟
n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n
计算机图形学 第七讲 曲线和曲面
'
又由式（3.1.6），曲线段P（u）的二阶导矢为
将其代到式（3.1.14），得到如下关系
将其展开并加以整理得到连续性方程
对于空间曲线，式（3.1.15）包含三组方程，分别对应于x，y和z 坐标。与样条函数类似， 为了求得全部型值点处的切矢，还需要指定合成曲线首、末两端的端点条件。
4.端点条件
（1） 指定首、末两端的切矢 T0 和 Tn 在某些情况下，曲线段首、末端切矢的方向是已知的，但其模长需根据经验确定，如飞机的 机身截面左右对称，取其一半构造曲线时，其首、末端的切矢方向必与Z轴平行（图2.2）。 若已知曲线首、末端切矢分别为 T0 和 Tn ，则两个补充方程为 P0' T0 （3.1.16） Pn' Tn 由式（3.1.15）和式（3.1.16），可得求解型值点处切矢 pi （i=0,1…..,n）的方程组：
n
法平面
b P ρ t
从切面
4．曲率
以弧长S为参数 切矢t(s)对弧长 s求导， 所得导矢dt(s)/ds与切矢 相垂直，称为曲率矢量， 其单位矢量称为曲线的单 位主法矢，记为n(s)，其 模长称为曲线的曲率，记 为k(s)。曲率的倒数称为 曲线的曲率半径，记为 ( s)
密切平面
法平面
b
从切面 t
'' 0 '' n
P 1 (u ) B 1u C1u D 1
其二阶导矢分别为：
2 P ( u ) B u Cnu Dn n n
'' P 1 (u ) 2 B1 '' pn (u ) 2 Bn
显然，二次函数的二阶导数为常数，即
'' '' P ( 0 ) P 1 1 (1)
又由式（3.1.6），曲线段P（u）的二阶导矢为
将其代到式（3.1.14），得到如下关系
将其展开并加以整理得到连续性方程
对于空间曲线，式（3.1.15）包含三组方程，分别对应于x，y和z 坐标。与样条函数类似， 为了求得全部型值点处的切矢，还需要指定合成曲线首、末两端的端点条件。
4.端点条件
（1） 指定首、末两端的切矢 T0 和 Tn 在某些情况下，曲线段首、末端切矢的方向是已知的，但其模长需根据经验确定，如飞机的 机身截面左右对称，取其一半构造曲线时，其首、末端的切矢方向必与Z轴平行（图2.2）。 若已知曲线首、末端切矢分别为 T0 和 Tn ，则两个补充方程为 P0' T0 （3.1.16） Pn' Tn 由式（3.1.15）和式（3.1.16），可得求解型值点处切矢 pi （i=0,1…..,n）的方程组：
n
法平面
b P ρ t
从切面
4．曲率
以弧长S为参数 切矢t(s)对弧长 s求导， 所得导矢dt(s)/ds与切矢 相垂直，称为曲率矢量， 其单位矢量称为曲线的单 位主法矢，记为n(s)，其 模长称为曲线的曲率，记 为k(s)。曲率的倒数称为 曲线的曲率半径，记为 ( s)
密切平面
法平面
b
从切面 t
'' 0 '' n
P 1 (u ) B 1u C1u D 1
其二阶导矢分别为：
2 P ( u ) B u Cnu Dn n n
'' P 1 (u ) 2 B1 '' pn (u ) 2 Bn
显然，二次函数的二阶导数为常数，即
'' '' P ( 0 ) P 1 1 (1)
计算机图形学_第十二章_曲线曲面造型
Lecture 12
曲线曲面造型
概述
在CAD/CAM领域，存在大量的曲线与曲面，因此，曲 线与曲面造型技术是CAD/CAM系统的关键技术。
曲线曲面模型可用数学函数或一系列用户指定的数据 点来定义。
曲线表示的基本知识
曲线可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的 曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通 常用参数形式描述曲线 .
B样条曲线的性质
•连续性 •凸包性 •分段参数多项式 •变差缩减性 •几何不变性 •直线保持性 •造型的灵活性
B样条曲线分类
（1）均匀B样条曲线
节点向量中节点为沿参数轴均匀或等间隔分布，所有节点区 间长度为大于零的一个常数，其中i从0一直到n+k。这样的节点 向量定义了均匀B样条曲线（uniform B-spline curve）。
B i, n (t)
C
i n
(1
-
t
)
n
-i
n! t i i!(n - i)!
(1 - t) n-i
(i 0,1 , n)
Bézier曲线
一般折线P0P1…Pn为P(t)的控制多边形；称P0,P1,…,Pn 各点为P(t)的控制顶点。Bézier曲线P(t)与其控制多边形 的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致 形状的勾画，而P(t)是对P0P1…Pn的逼近。
2 1 (4 t)2.......................................(.3 t 4) 2
B2,3
(t
)
1 2
1 (t 2)2.............................................(2 t 2 (t 2)(4 t) 1 (t 3)(5 t)...............(3 t
曲线曲面造型
概述
在CAD/CAM领域，存在大量的曲线与曲面，因此，曲 线与曲面造型技术是CAD/CAM系统的关键技术。
曲线曲面模型可用数学函数或一系列用户指定的数据 点来定义。
曲线表示的基本知识
曲线可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的 曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通 常用参数形式描述曲线 .
B样条曲线的性质
•连续性 •凸包性 •分段参数多项式 •变差缩减性 •几何不变性 •直线保持性 •造型的灵活性
B样条曲线分类
（1）均匀B样条曲线
节点向量中节点为沿参数轴均匀或等间隔分布，所有节点区 间长度为大于零的一个常数，其中i从0一直到n+k。这样的节点 向量定义了均匀B样条曲线（uniform B-spline curve）。
B i, n (t)
C
i n
(1
-
t
)
n
-i
n! t i i!(n - i)!
(1 - t) n-i
(i 0,1 , n)
Bézier曲线
一般折线P0P1…Pn为P(t)的控制多边形；称P0,P1,…,Pn 各点为P(t)的控制顶点。Bézier曲线P(t)与其控制多边形 的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致 形状的勾画，而P(t)是对P0P1…Pn的逼近。
2 1 (4 t)2.......................................(.3 t 4) 2
B2,3
(t
)
1 2
1 (t 2)2.............................................(2 t 2 (t 2)(4 t) 1 (t 3)(5 t)...............(3 t
计算机图形学曲线和曲面造型ppt课件
形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段 间的连接则满足某种连续性条件。
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学第五章曲线和曲面
T(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平 面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平 面称为从切平面。 对于一般参数t，有：
T
2）曲线的曲率和挠率
曲率：
B N
由于T’(s)与N平行，令T’(s)= κN, κ(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为 正，又称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ ，称为曲率半径。 挠率： 由B(s)· Ｔ(s)=0，两边求导，可得： B‘(s)· Ｔ(s)=0； 又由|B(s)|2=1，两边求导，可得： B‘(s)· B(s)=0； 所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)， τ(tau)称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、 等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性， 主要表现在： （1）容易满足几何不变性（与坐标系的选取无关）的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 （3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。 （6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。 （7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
④ 修正弦长参数化法 ，在四种方法中效果最好：
t0 0 t j t j 1 K j Pj 1 j 1,2,, n
Pj j 3 Pj 2 j 1 K j 1 Pj 2 Pj 1 Pj 1 Pj 2 j min Pj 1Pj Pj 1 , , P1 Pn 0 2
计算机图形学ppt课件第八章自由曲线曲面
u
u
u
u
§8.1 曲线和曲面的表示
所以 c'(u) [x'(u), y'(u), z'(u)] 矢函数的导矢也 是一个矢函数，因此也有方向和模。u当 0 ,c(u)/ u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢 。
• 曲线的自然参数方程 设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计 算弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s 作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然 参数方程，弧长则称为自然参数。
• Bezier曲线矩阵表示
➢ 三次Bezier曲线
P1
P2
C(u) (1 u)3 p0 3u(1 u)2 p1 3u2 (1 u) p2 u3 p3
1 3 3 1P0
C(u)
[u3,u2 ,u,1]
3Leabharlann 630P1
P(u)
3 3
1
0
0 0
0 0
P2 P3
P0
P3
图8.3 三次Bezier曲线
• 性质
1、端点
P0,0 S(0,0), P0,m S(0,1)
2、边界曲线Pn,0 S(1,0), Pn,m S(1,1)
S(0,v)， S(u,0)， S(1,v)， S(u,1)为四条Bezier 曲线
3、端点的切平面
4、端点的法线方向
5、凸包性
6、几何不变性
7、变差递减性
§8.3 贝叶斯（Bezier）曲面
当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空 间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。
将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量
S u
计算机图形学——曲线和曲面
1u
n i 1
i 1, 2,L , n 1
n1
p p u P '(u) n 1 u n1 0
Pi
B' i,n
(u)
n
n1 n
i 1
青岛农业大学
7.2.6 Bézier曲线的性质
在起始点u﹦0, B’1,n-1(0)﹦1，其余项均为0，故有: P’(0)﹦n(P1﹣P0)
在终止点u﹦1, Bn-1,n-1(1)﹦1，其余项均为0，故有: P’(1)= n(Pn﹣Pn-1)
Q2
Pn
2
2
n 1
(
Pn
Pn1) 2 (Pn1
Pn2 )
Q 这表明 Pn2 、Pn1 、Pn Q0 、
和
1
Q2 五点共面，并且，
在接合点两条曲线段主法线方向一致，我们还可以断
定： Q2 、 Pn2位于直线
Pn1Q1 的同一侧。
青岛农业大学
Bézier曲线的拼接
G2级Bézier曲线交互拼接方法 Step1：平移多边形顶点Q0,Q1,Q2,Q3使顶点Q0与 顶点P3重合（G0）。 Step2 ： 绕 顶 点 Q0 整 体 旋 转 多 边 形 顶 点 Q0,Q1,Q2,Q3，使顶点P2P3Q1在一条直线上，且顶 点P2和Q1应在P3(Q0)的两侧（G1）。 Step3 ： 绕 Q0Q1 整 体 旋 转 多 边 形 顶 点 Q0,Q1,Q2,Q3 ， 使顶点Q2与顶点P1在直线P2Q1的同侧。 Step4：如果此时Q0-2Q1+Q2=S2(P1-2P2+P3)已满足， 则p(t)和q(t)在Q0处已达到G2连续，否则调整Q2 并重复Step4。
点共线，即： b1 an ( 0)
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• 1974年提出了B样条方法，该方法继承了Bezier方
法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较 成功地解决了局部控制问题和连接问题，从而使自
由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。不能
精确表示圆锥曲线及初等解析曲面，造成了产品几
何定义的不唯一。曲线曲面没有统一的数学描述形 式，容易造成生产管理混乱。
y
a
sin
z b
(t, b高度与转过的角度成正比．即
:0 0, z:b 0 b 0 b ,
2, 上升的高度 h2b螺距
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2.2 曲面的参数表示
双参数描述表达式
x x(u,v)
y
y (u , v )
z z ( u , v )
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u 1 u u 2,v 1 v v 2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
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形系统中对曲面的表示、设计、显示和分析。
• 曲面造型起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外
形放样工艺，由Coons、Bezier等大师奠定其理 论基础。如今已形成了以有理B样条曲面 (Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐 式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这 两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合 (Fitting)、逼近(Appr整o理x课i件mation)这三种手段为骨2
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矢量方程式为 s s u ,v ( ) ( x ( u ,v )y ( , u ,v )z ( u ,,v ))
当参数u,v在参数域[0，1]中连续变化时，其对应点 (x, y, z)
就形成一张曲面。
当u=u0时，
v 表示曲面上一条沿V方向的空间曲线，称为 向线，
s s u 0 v ( ) ( x ( u 0 ,v )y ( , u 0 ,v )z ( u ,0 ,v ))
续。一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光 滑。在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方 向，曲率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | d d k( k u p ) u u u 0 d d k(k u p ) u u u 0
从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中
最重要的基础。
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曲面造型的发展趋势
计算机图形显示 几何设计对象
制造工业 激光测距扫描
真实性 实时性 交互性 多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
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曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学
第三专题
曲线和曲面造型
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一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计
(Computer Aided Geometric
Design,CAGD) 和 计 算 机 图 形 学 (Computer
Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图
u 当v=v0时，类似地，可以定义 向线。
s s ( u ,v 0 ) ( x ( u ,v 0 )y ( , u ,v 0 )z ( u ,,v 0 ))
u v 向线和 向线称为曲面的参数曲线(等参数线)。u，v 分别等于0，1时的参数曲线。
s(0 ,v )s,(1 ,v )s,(u ,0 )s,(u ,1 )曲面的边界曲线
s(0 ,0 )s,(0 ,1 )s,(1 ,0 )s,(1 ,1 ) 曲面的四个整角理点课件
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2.3 曲线曲面的参数连续
• 在几何造型设计中，单一的曲线往往难以描述复杂的形状，
形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段 间的连接则满足某种连续性条件。
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连
p (t) x (t)i y (t)j z (t)k
给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。当t在参数 域[a,b]内连续变化时，就得到了曲线。为了方便起见，
可以将[a,b]区间规范化成[0，1]。
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曲线参数方程实例
螺旋线的参数方程可以写为
xaco ts
yasi nt 或
zvt
x a cos
面。具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状
更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条 方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲 线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线 曲面。
• 国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业
产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法
作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，
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• 1975年以来美国Syracuse大学的Versprille首次
提出有理B样条(NURBS)方法。后来Piegl和Tiller 等人的功绩，使NURBS 方法成为现代曲面造型 中最为广泛流行的技术。
• NURBS 方法可以精确地表示二次规则曲线曲面，
实现了用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲
曲面等距性
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二. 曲线和曲面的理论基础
2.1 曲线的参数表示
曲线的参数方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。当t在参数 域[a,b]内连续变化时，就得到了曲线。为了方便起见，
可以将[a,b]区间规范化成[0，1]。
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曲线参数表示矢量方程式 p p (t) (x (t) ， y (t) ， z (t))
• 1964年美国麻省理工学院的Coons提出给定封闭
曲线的四条边界定义一块曲面的的曲面描述方法。 这种方法存在形状控制与连接问题。
• 1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控
制多边形设计曲线的新方法。该方法简单易用，而
且解决了整体形状控制问题，为曲面造型的进一步 发展奠定了坚实的基础。Bezier方法仍存在连接问 题和局部修改问题。