椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造

Ｂａ０满足Ｊ ＝ 去（ ＋＿ ， （，） Ｆ ） Ｍ ＿ Ｐ Ｐ Ｂ）求点Ｍ 的
＼ ／
二、 发现： 椭圆内相交弦斜率之积 的有趣结
论 这 两道 高考 试 题 除了在 问题 背景 、试题 结构
坐标 ；
（） ２ 设直线 ｌ Ｙ： ｋｘ＋Ｐ ｌ： ｌ 交椭圆 ｒ ｃ、 于
Ｄ 两 点 ， 直 线 １ Ｙ＝ ｌ ｘ于 点 Ｅ．若 ｌ 交 ２： ｖ ２ ２一
、
源起： 两道 结 构 相似 的 数学 高考 试 题
试题一
பைடு நூலகம்
２ １ 年上海数学高考 （ 压轴题： ００ 理）
已知椭 圆ｒ的方程为 ＋ Ｕ ＝ １ ｎ＞ｂ＞０， （ ） Ｕ
点 Ｊ的坐 标 为 （ ，） Ｆ ） 一０ｂ．
（） １ 若直角坐 标平面上 的点 Ｍ 、 Ａ（， ｂ， Ｏ一 ）
一
（） １ 求右焦点坐 标是 （， ） 且经过 点 （ ２ ２ ０， 一， 、２ 的椭 圆的 标准 方 程 ； ／） ／
—
２ 口
数 学教 学
积为 定 值 一１
２ １ 年第 ６ ０１ 期
从 上述 两道 高考 题 中， 依次 提炼 出有 关椭 可 圆 中相 交 弦 的两个 一 般 化结 论， 们分别 是 ： 它
个 命 题， ３ 第 小题 则是 考 查学 生能 否 应用 此 结 论
Ｍ Ⅳ和 Ｄ相交于点 Ｅ（ 为了便于研 究， 本文中 各条与椭 圆相关的结论和性质均以此题设为条 件） ．
＾ ＝一 ５ ｌ ０５ 口 ｓ ０ 米 厘 Ｏ
完成一个几何构造 （ 解答过程不赘述） 就命题而 ． 言， 题 的试 题结 构 和题 中数学 结 论 的另 一 种表 此
年 上海 市 数学 高考 的压轴 试 题 时， 结合 过 去 的一 些 解题 经 验， 发现 了椭 圆 中几类 相 交 弦斜 率 之积 的有 趣 的共 性 结 论 ， 由此 深入 ， 究 了有 关 面 并 探 积 最 大 的 椭 圆 内接 三 角 形 和 内接平 行 四边 形 的
一
（） ２ 已知椭 圆 的方程是 ＋ ＝ １ｎ＞ （
为直径， 而在 △ＰＭⅣ 中， Ｍ 和 ＰⅣ 的斜率之 Ｐ
（） ｋ ・ ２ 一０ ， ａ 若 １ ｋ ＝ 则相交弦的交点 Ｅ必 －
为弦 Ｄ的中点 （ 图１． 如 ） （） ｂ 当直线 Ｚ平行移动时， Ｄ的中点轨迹就 ２
在直线 １上， １ 且满足 ・２ 一 （ １ ｋ ＝ 如图２． ） 经分析可知， 结论 （） ａ 和结论 （） ｂ 互为逆命题，
一
的一个命题， ３ 第 小题则是考查学生能否应用该
结论 完成 寻 找椭 圆中 心的 几何 作 图过 程 （ 答过 解 程 不赘 述 ） ． 这 两 道 试 题 都 体 现 出 常 见 的数 学 问题 研 究 的思维过程， 即先解决一个或一类特殊的问题， 然后将结论加以推广或转化， 并应用于新的问题 情 境 中．
步骤， 并求 出使 、 ２ 在 的 的取值 范 围． Ｐ存
０， １ ２ 两条不垂直 于对称轴的直 线， ）１ 、１是 其中 ２过 椭 圆 中 心 ０且 与 椭 圆 交 于 Ｍ 、 Ⅳ 两 点， １ 斜
率 为 ｋ ； 线 １交椭 圆于 Ｃ、Ｄ 两 点， 率 为 ２ ｌ直 ２ 斜 ，
本题的核心在于第２ 小题的结论所给 出的一
ｂ＞ ０．设 斜 率 为 后的直 线 Ｚ交 椭 圆 于 、Ｊ ） ． Ｅ ｝
两点， ＡＢ的中点为 Ｍ ． 明： 证 当直线ｆ 平行移动
时， 点 Ｍ 在 一条 过 原 点 的定 直 线上 ； 动
（） ３ 利用 （） ２ 所揭示 的椭圆几何性 质， 用作 图 方 法 找 出下 面给 定 椭 圆 的中心 ， 要写 出 作 图步 简
笔 者将 这 两 个结 论 转化 为椭 圆相交 弦 的一个 性
质：
图４
性质 １ 坐标平面 内， ： 中心在原点， 焦点在 轴上的椭圆中一条弦恰被过椭圆中心的另一条 弦平分的充要条件是这两条相交弦的斜率之积
我 们将此 结论 类 比至 椭 圆时 ， 就能 得到 上述 性质 ， 可等 价地 叙 述为 ： 其
性质 ２ 坐标平 面内， ： 中心在原点， 焦点在 轴上的椭圆中一 内接三 角形的一条边若经过椭 圆中心， 则该三 角形另两条边所在直线的斜率之
２ １ 年第 ６ ０１ 期
数 学教 学
６ ｌ ９
椭 圆 中面积 最大 的 内接三 角形 和 平行 四边形 构造
２ ０ 上海市普陀区教育学院教学研究室 刘 达 ０６ ０３
椭 圆中有关 内接三 角形和 内接平 行四边形 面积的最值问题， 近年在专业杂志上有过一些同 行 们各具 匠 心 的研 究 和 结 论．笔 者 在 研 究 ２ １ ００
骤 ， 在 图 中标 出椭 圆 的 中心． 并 试题 二 的核心 也在 于第 ２ 题 的结论 所给 出 小
般 构 造 方 法 ．本 文 特 将 笔 者 的探 究 心 路 整 理
成 章， 同行 交 流 ． 望 能为 日益 升温 的 高 中数 供 希 学 教学 中的 研 究性 学 习提供 些 教 学 素材 ．
现 形 式 早 在２ ０ 年 上海 春 季 数 学 高考 卷 的 压 轴 ０５
Ｉ ＝Ｏｆ ’ ｉ ｔ ｉ
ｈ ，］＝ －Ｏ３ｆ ￣ｈ ．ｉ
６ ３Ｏ 厘 米 ０
一
醚
题 中就有 过 体 现， 以下 试题 二 ． 即
试题二
２０ 年上海春季数学高考压轴题： ０５
图 ｌ 图 ２
一
和解 题 思路 方面 有 不少 共性 之 外 ， 笔者 还 发现这
两道试题 中涉及的数学核心命题还有以下关联：
～
，
证 明： 为 ＣＤ 的 中点 ； Ｅ
２
。２ ．
０
设椭 圆的方程为 ＋
＝ １ 。 ＞ ｂ＞ （
（） ３对于椭圆Ｆ 上的点Ｑ（ Ｓ ｂ ｉ （ ＜ ａ Ｏ ， ｓ ）０ Ｃ ｎ ０ ＜丌 ， ） 如果椭圆 ｒ 上存在不同的两个交点 尸 、 １ 尸 满 足 Ｐ １ ２ Ｐ ＋ＰＰ ＝ＰＱ， 出求 作 点 、 ２ ２ 写 Ｐ 的