椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造
关于椭圆中面积最大的内接多边形的一个定理
关于椭圆中面积最大的内接多边形的一个定理椭圆中面积最大的内接多边形定理：椭圆的内接多边形是指围绕着椭圆的多边形，在被准确的拟合在椭圆上，而且椭圆外的任意一点都不在其内的多边形。
椭圆上面积最大的内接多边形定理是指椭圆上的某一内接多边形面积大小和其他内接多边形比较，则它的面积最大。
椭圆上内接多边形的定义：椭圆内接多边形，通常也叫为内切多边形，是指围绕着椭圆的多边形，被准确的拟合在椭圆上，而且椭圆外的任意一点都不在其内的多边形，也就是全方位拟合椭圆的多边形，椭圆内接多边形也可以由一个最小正多边形，此多边形就是此椭圆的内接多边形，如果此多边形的边数小于椭圆的最小正多边形的边数，那么此多边形就是此椭圆的内接多边形。
一般来说，内接多边形是椭圆的内部，外接多边形在椭圆的外部，而且两者之间没有相交点。
椭圆上最大面积内接多边形定理：这一定理指出，当内接于椭圆的多边形尺寸不固定时，则被称为椭圆的内接多边形的面积最大的一种是椭圆的正多边形，正多边形可以是平行六边形、八边形或十二边形。
正多边形的面积是其他内接多边形的面积的最大的，正多边形的对边均相等，是所有内接于椭圆的多边形中面积最大的形状。
此定理在解释中有不同的途径。
主要可以靠几何方法和数学分析方法。
几何方法，指的是当椭圆圆心向一边滚动时，依靠共轭弦原理，椭圆内接多边形的最大面积依赖于椭圆的宽度和长度；数学分析方法，即椭圆的椭圆积分等数学运算，从某一面积的比例开始，通过计算可以求得椭圆下内切多边形的最大面积，进而推出此定理。
此定理在实际应用中有显著的意义，它为构造最优内接多边形提供了可靠的指导，有条件地增加了椭圆内接多边形的面积；在生活中也常常采用此定理来设计更节省材料、节约费用的多边形外形机构；在建筑结构的施工中也正是如此，并能节约成本、提高建筑物的质量。
在本文中，我们讨论了椭圆上最大面积内接多边形定理，介绍了此定理的定义、解释及应用，表明它正是为构造最优内接多边形提供了重要依据，在我们的生活中有重要的意义。
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第8讲 椭圆(核心考点讲与练)解析
第8讲 椭圆(核心考点讲与练)1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距．若设动点为P ，则①当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． ②当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段． ③当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．（2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-（3）椭圆的参数方程①椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ,(02)sin x a y b ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=⎩．②椭圆22221y x a b +=的参数方程是()πϕϕϕ20,sin ,cos ≤≤⎩⎨⎧==a y b x2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=（称为通经，为最短的过交点的弦）（5）焦半径：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c -（6）焦点三角形面积：122tan 2PF F Sb θ=（其中12F PF θ=∠） 因为1200122PF F S c y c y =⋅⋅=⋅，所以2120tan2F PF b c y ∠=⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点（7）椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点．3、点与椭圆的位置关系已知点00(,)P x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>（1F ，2F 为椭圆的焦点），则（1）点P 在椭圆上220012221||||2x y PF PF a a b ⇔+=⇔+=；（2）点P 在椭圆外220012221||||2x y PF PF a a b ⇔+>⇔+>； （3）点P 在椭圆内220012221||||2x y PF PF a a b⇔+<⇔+<．考点一：椭圆及其标准方程例1．（2021·上海市长征中学高二期中）已知椭圆的中心在坐标原点O ，对称轴是坐标轴，焦点在x 轴上，焦距为，该椭圆的标准方程是__________．【答案】22193x y +=【分析】利用椭圆定义即可得到椭圆的标准方程.【详解】解：根据题意，椭圆的焦距是x 轴上，则其焦点坐标为(与0)，其中c又由椭圆经过点，则2a6即3a =，则222963b a c =-=-=，则椭圆的标准方程22193x y +=；故答案为：22193x y +=．例2．（2019·上海市西南位育中学高二期中）设椭圆的左､右焦点分别为1 F ､2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的标准方程为___________.【答案】22143x y +=【分析】直接利用椭圆中a ､b ､c 的关系，求出椭圆的方程.【详解】解：由于椭圆的左､右焦点分别为1F ､2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，所以22c =，解得1c =，24a =，故椭圆的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.例3．（2022·上海市延安中学高二期末）若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是)(10,3F -，则椭圆的标准方程为___________.【答案】221123y x +=【分析】由题意设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则有24,3a b c ==，再结合222a b c =+求出,a b ，从而可求出椭圆的方程【详解】由题意设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则222243a bc a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得3a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 所以椭圆方程为221123y x +=，故答案为：221123y x +=例4．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F，点1,⎛- ⎝⎭在椭圆C 上，过点F 作一直线交椭圆于P ，Q 两点，且坐标原点O 关于点F 的对称点记为T ； （1）求椭圆的方程；（2）求PQT △面积的最大值；（3）设点P '为点P 关于x 轴的对称点，求证：Q ，P '，T 三点共线；【答案】（1）2212x y +=；（23）证明见解析.【分析】（1）由椭圆焦点和椭圆所过的一个点列方程组求解；（2）由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由121||||2PQT S FT y y =-△能推导出PQT △面积的最大值； （3）11212122(,),(,),(2,)P x y Q x x y y TQ x y P ''-=-+=-，通过计算212212()(2)()x x y x y y ---+可得结果.【详解】解：（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F，点1,2⎛- ⎝⎭在椭圆C 上，222211112a b a b ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩， 解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）设过点F 的直线方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12122221,22m y y y y m m +=-=-++，12y y -===由条件可知点(2,0)T ，1211||||22PQTS FT y y =-=△， 令212t m =+，则1(0,]2t ∈，则PQT S ==≤△当且仅当12t =，即0m =（此时PQ 垂直于x 轴）时等号成立，所以PQT S △2； （3）11212122(,),(,),(2,)P x y Q x x y y TQ x y P ''-=-+=-， 由212212()(2)()x x y x y y ---+1221122()x y x y y y =--++122112(1)(1)2()my y my y y y =-+-+++ 12122()my y y y =-++22122022mm m m --=-⋅+=++ 所以P Q '与QT 共线， 即Q ，P '，T 三点共线.例5．（2021·上海·上外浦东附中高三阶段练习）如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在12,l l 之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y +=．（1）求椭圆段的方程；（2）已知直线l 过点1F 与“椭圆帽”的交于两点为M ，N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程；（3）已知P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l 经过点1F ，与“椭圆帽”交于两点为M ，N ，若10F P MN ⋅=，求PM PN ⋅的取值范围．【答案】（1）221,42x y x +=≤2）y x =y x =--3）⎡⎤-⎣⎦【分析】（1）设椭圆方程，根据))22,F A ，即可求得方程；（2）根据11F N =， 12F M =，设点(),,M x y x ≤M 坐标即可得到直线方程；（3）根据题意11PM PN F M ⋅=-，转化为求1F M 的范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22222221,0,x y a b a b c a b+=>>=+，由图可得))22,F A ，所以21b c a ==，所以2,a b c ===椭圆段的方程：221,42x y x +=≤≤（2）由题11F N =，所以12F M =，设(),,M x y x ≤，(22221424x y x y ⎧+==⎪⎨⎪+⎩，解得：0x =或x =所以(M或(0,M ，所以直线l的方程：y x =+y x =- （3）若10F P MN ⋅=，()()2111111111PM PN PF F N PF F M PF F M F N F M ⋅=+⋅+=+⋅=-，当M 点在右侧圆弧上时，13,1F M ⎡∈+⎣，当M 点在左椭圆弧上时，[]11,3F M ∈，所以PM PN ⎡⎤⋅∈-⎣⎦例6．（2021·上海·闵行中学高三期中）如图，椭圆22:12x C y +=的左右焦点分别为12F F 、，设()00,P x y 是第一象限内椭圆C 上的一点，12PF PF 、的延长线分别交椭圆C 于点()()111222,,、Q x y Q x y ．（1）若2PF x ⊥轴，求2PF 的值；（2）若1260F PF ∠=︒，求12F PF △的面积及点P 的坐标； （3）求12y y -的最大值． 【答案】（1）2（2）12F PF △P 的坐标⎝⎭（3 【分析】（1）由椭圆方程求出,,ab c ，从而可得2F 坐标，将其横坐标代入椭圆方程中可求出2PF 的值，（2）设12,PF m PF n ==，则由椭圆的定义可得2228m mn n ++=，由余弦定理可得224m n mn =+-，从而可求出43=mn ，进而可求出12F PF △的面积和点P 的坐标， （3）设点P 的坐标为00(,)x y ，则直线1PF 的方程为00(1)1y y x x =++，代入椭圆方程中求出01023y y x =-+，同理可求得02023y y x =-，从而可得0012002323y y y y x x -=--+-化简后结合基本不等式可得答案（1）由椭圆22:12x C y +=，得222,1a b ==，则1,1a b c ===，所以12(1,0),(1,0)F F -，当1x =时，2112y +=，得y =所以22PF =（2）设12,PF m PF n ==，则122PF PF m n a +=+== 所以2228m mn n ++=，在12F PF △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得22212(2)2cos c m n mn F PF =+-∠,即224m n mn =+-， 所以解得43=mn ，所以12F PF △的面积为12114sin 223mn F PF ∠=⨯=所以122P c y ⋅⋅=，得P y =所以21123P x +=，解得P x 或P x =（舍去），所以点P 的坐标为⎝⎭（3）设点P 的坐标为00(,)x y （000,0x y >>），则直线1PF 的方程为0(1)1yy x x =++，将其代入椭圆方程中可得()()2220201121y x x x ++=+， 整理得2220000(23)4340x x y x x x ++--=，所以2000103423x x x x x --=+，得0103423x x x --=+，所以000011000034(1)(1)112323y y x y y x x x x x --=+=+=-++++， 同理可求得02023y y x =-， 所以0012002323y y y y x x -=--+- 000020(23)(23)49y x y x x -++=--0020449x y x =--002220004492x y x x y =-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭002200818x y x y =+0000818x y y x =≤=+ 当且仅当000018x y y x =，即00x y ==所以12y y -例7．（2021·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，且椭圆Γ过点(、5(2,)3，过点F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点（点P 在x 轴的上方）.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若20PF QF +=，求点P 的坐标；（3）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在常数λ，使得120k k λ+=?若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）34⎛ ⎝⎭（3）存在，15λ=- 【分析】（1）代入已知两点坐标求得,a b 得椭圆方程；（2）设()()111,0P x y y >，()22,Q x y .由20PF QF +=，可用11,x y 表示出22,x y ，然后把,P Q 的坐标代入椭圆方程可解得11,x y ；（3）设存在常数λ，使得120k k λ+=.由题意可设直线l 的方程为2x my =+，点()11,P x y ，()22,Q x y ，求出()()11211222123333y y x k x y k y x x λ-+-===+-，把22(,)x y 代入椭圆方程，变形出223x y -，代入把λ表示出12y y ，12y y +的表达式．然后把直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得1212,y y y y +，再代入λ的表达式可得常数．（1）因为椭圆Γ过点(、5(2,)3，则有2242519b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆Γ的标准方程为22195x y +=.（2）设()()111,0P x y y >，()22,Q x y .由（1）知，()2,0F . 因为20PF QF +=，则有()()()11222,22,0,0x y x y --+--=，即()()121262,20,0x x y y ----=，所以1212620,20,x x y y --=⎧⎨--=⎩解得12126,2,2x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即116,22x y Q -⎛⎫- ⎪⎝⎭. 分别将P 、Q 两点的坐标代入22195x y +=得221122111,956221,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎪⎨-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩解得113,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩113,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 所以所求点P的坐标为34⎛ ⎝⎭.（3）设存在常数λ，使得120k k λ+=.由题意可设直线l 的方程为2x my =+，点()11,P x y ，()22,Q x y ，则()()11211222123333y y x k x y k y x x λ-+-===+-. 又因为2222195x y +=，即2222599y x =--，即()22225339x y x y +=--， 所以()()()()1212121299533555y y y y x x my my λ---==++++即()122121295525y y m y y m y y λ--=⎡⎤+++⎣⎦（*） 又由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225920250m y my ++-=，()290010m =+>△，且1222059my y m +=-+，1222559y y m =-+.代入（*）得 22222591595252055255959m m m m m m λ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭-==⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦即15λ=-，所以存在常数15λ=-，使得120k k λ+=.例8．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）给定椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，称圆2222x y a b +=+为椭圆E 的“伴随圆”．已知椭圆E 中1b =（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，与其“伴随圆”交于C 、D两点，||=CD①请将2m 用含有k 的关系式表示（不需给出k 的范围）； ②求弦长||AB 的最大值．【答案】（1）2213x y +=（2）()22314m k =+；max ||2AB =【分析】（1）由离心率得,a c 关系，结合1b =及关系式，可求,a c ，进而得到椭圆E 的方程；（2）①由圆的几何关系求得弦心距，再结合圆心到直线距离公式可求m 关于k 的关系式；②联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简，结合基本不等式可求||AB 的最大值．（1）由题可知，1b =，c e a =，又222a b c =+，解得223,2a c ==，故椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）①由（1）可求“伴随圆”为：224x y +=，因为||=CDd =d ==，解得()22314m k =+； ②联立直线与椭圆方程2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222316330k x kmx m +++-=，由0∆>得22310k m +->，由()22314m k =+得2910k +>，k ∈R ，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k --+=⋅=++，由弦长公式可得：AB2，当且仅当2219,k k k ==max ||2AB = 例9．（2021·上海虹口·高二期末）阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b ab +=>>的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点(1,0)M 且斜率不为0的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）求AOB 面积的最大值；（3）设椭圆E 的左､右顶点分别为P ，Q ，直线PA 与直线4x =交于点F ，试问B ，Q ，F 三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）32；（3）共线，证明见解析.【分析】（1）根据条件列出关于a ,b ,c 的方程组，并注意a ,b ,c 的平方关系，求解即得a ,b 的值，进而得到方程；（2）设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得AOB 面积关于t 的函数表达式，适当换元，整理变形，可利用对勾函数的单调性求得最大值；（3）先求得直线PA 方程，进而求得它与直线4x =交于点1164,2y F x ⎛⎫⎪+⎝⎭，然后证明0Q BQ F k k =-，即可得到结论.【详解】（1）由题意可得：222=2+ab a c a b c π⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a =，b =1c =，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690t y ty ++-=，122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，121=2AOB S OM y y ⋅-==令m 1m ≥)，则2661313OABm Sm m m==++，设()13f m m m=+，函数()f m 在区间[1,)+∞单调递增，知()()14min f m f ==， 即当1m =，即0=t 时，S 取到最大值32.（3）由（2）知点()()11122,,,A x y B x y 在直线l 的方程为1x ty =+上，且122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.易知椭圆E 的左､右顶点分别为()2,0P -，()2,0Q ，直线PA 方程为：()1122y y x x =++， 它与直线4x =交于点F ，则1164,2y F x ⎛⎫⎪+⎝⎭，由于BQ k ，QF k 都存在，且()()()()11112111123112602320232422222Q B FQ y k y x y x y x y y k x x x x x -+---+-=-=-=---++- ()()()()()()()()()222111121212121269323313234340222222t t y ty y ty y y ty y t t x x x x x x --⋅-⋅+--+-++====+-+-+-， 故BQ QF k k =于是于是B ，Q ，F 三点共线.【点睛】注意（2）中的直线的设法1x ty =+是为和求面积121=2AOB SOM y y ⋅-相适应的；注意求最值中的换元思想和函数思想的运用；注意（3）中的利用韦达定理的结论进行化简及运算的准确性.例10．（2021·上海杨浦·一模）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过右焦点2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于M ､N 两点，动点P ､Q 分别在直线MN 与椭圆C上.已知122F F =，1△MNF的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段PQ 的中点在y 轴上，求三角形1F QP 的面积；（3）是否存在以1F Q ､1F P 为邻边的矩形1F PEQ ，使得点E 在椭圆C 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（22；（3）存在，且Q点坐标为(1,-,(2-. 【分析】（1）1△MNF 的周长是4a ，求得a ，由焦距得c ，然后求得b 得椭圆方程； （2）线段PQ 的中点在y 轴上，得Q 点横坐标，代入椭圆方程得Q 点纵坐标，此时1QF x ⊥轴，易得其面积；（3）假设存在以1F Q ､1F P 为邻边的矩形1F PEQ ，使得点E 在椭圆C 上，设(1,)P t ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，由平行四边形对角线互相平分把E 点坐标用,P Q 点坐标表示，然后把,Q E 坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出11,,x y t 的关系，结合起来可得0=t 或10t y +=，再分别代入求得11,x y ，得结论．（1）由已知224c a =⎧⎪⎨=⎪⎩a =1c =，从而1b ==，椭圆方程为2212x y +=；（2）显然1P x =，线段PQ 的中点在y 轴上，则1Q x =-，1QF x ⊥轴，2112y +=，y =，所以21211222PQF S y F F =⨯==； （3）假设存在以1F Q ､1F P 为邻边的矩形1F PEQ ，使得点E 在椭圆C 上， 设(1,)P t ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，1(1,0)F -，因为四边形1F PEQ 是矩形，一定为平行四边形，所以212x x =+，21y y t =+，,P Q 都在椭圆上，221112211112(2)()12x y y x y t ⎧+=+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，变形得2112220t y t x +++=①， 又11QF PF ⊥，所以110FQ F P ⋅=，即1111(1,)(2,)2(1)0x y t x y t +⋅=++=，1122x ty +=-②， ②代入①得210t y t +=，0=t 或1y t =-，0=t 时，11x =-，1y =P 与2F 重合，Q点坐标为(1,-；1y t =-时，12x =-2-1y =Q 点坐标为(2-．所以存在满足题意的Q 点，其坐标为(1,-,(2-. 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆中的存在性命题．解题方法是假设存在，设出点Q 的坐标，由平行四边形求出E 点坐标，然后把,Q E 的坐标全都代入椭圆方程，再由垂直得向量的数量积为0，得出11,,x y t 的关系，从而达到求解的目的．本题考查学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于难题．例11．（2021·上海崇明·一模）如图，已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆C 上位于第一象限的点，M ，N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足PM PN ⊥且11F M F N ⊥，线段PN 交x 轴于点Q .（1）若152PF =，求点P 的坐标；（2）若四边形1F MPN 为矩形，求点M 的坐标； （3）求证:||||PQ QN 为定值. 【答案】（1）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()0,2（3）证明见解析 【分析】（1）结合椭圆的定义求得P 点的坐标. （2）利用向量垂直列方程，化简求得M 点的坐标. （3）利用向量垂直列方程，化简求得||||PQ QN 为定值.（1）椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ===，()11,0F -，112253,4,22PF PF PF PF =+==，设()00,P x y ，且P 在第一象限，000,0x y >>，222200001,341243x y x y +=+=. 则()()22000220002511341,392124x x y P y x y ⎧=++=⎧⎪⎪⎪⎛⎫⇒⇒⎨⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎪-+=⎩⎪⎩. （2）设()()1210,,0,,0M y N y y >， 由于11F M F N ⊥，所以20y <.()()111212121,1,10,1F M F N y y y y y y ⋅=⋅=+==-①，由于PM PN ⊥，所以()()()()201002001020,,PM PN x y y x y y x y y y y ⋅=----=+-- ()()222200120120012010x y y y y y y x y y y y =+-++=+-+-=②，由于四边形1F MPN 为矩形，1MF MP ⊥，所以()()21100100111,,0MF MP y x y y x y y y ⋅=--⋅-=--+=③， 由于四边形1F MPN 为矩形，1NF NP ⊥，所以()()21200200221,,0NF NP y x y y x y y y ⋅=--⋅-=--+=④， ③-④并化简得()()()21021210y y y y y y y ---+=，()()210210y y y y y --+=⎡⎤⎣⎦，由于210y y -≠，所以()0210210,y y y y y y -+==+，代入②得：22220010,1,1x y y x x +--===，2200012393,442x y y -===，代入③得：2113102y y --+=，由于10y >，故解得12y =，所以()0,2M . （3）令0022||,||y PQ t y y t QN y ===--（0t >）， 由①②得2200202110x y y y y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，22002021241103y y y y y ⎛⎫-+--+-= ⎪⎝⎭， 2020211303y y y y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，将02y y t =-代入得22222211303y t y y t y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，222221303y t y t t -+-=， 222223390y t y t t -+-=，()()223330ty t t -+-=，()()22330tyt +-=，由于2230ty +>，所以30,3t t -==.所以||3||PQ QN =为定值. 【点睛】本小题破题关键在于利用向量运算表示垂直，构建各个量之间的等量关系式，进而化简得出题目的所求. 考点二：椭圆的简单几何性质例1．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）椭圆2251162x y +=的焦点坐标为________．【答案】()0,3±【分析】由椭圆的几何性质可直接求解.【详解】将椭圆化成标准式得2212516y x +=，故2225,16a b ==，焦点在y 轴上，所以29c =，3c =，故椭圆2251162x y +=的焦点坐标为()0,3±，故答案为：()0,3±例2．（2022·上海交大附中高二期末）圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，则实数m 的值是__________.【答案】43【分析】根据圆锥曲线焦点在x 轴上且离心率小于1，确定a ,b 求解即可. 【详解】因为圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，所以曲线为椭圆，且2211,a b m==， 所以2222221114c a b e a a m -===-=， 解得43m =，故答案为：43例3．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）已知椭圆221167x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的动点P 的坐标为(),P P x y ，且12F PF ∠为钝角，则P x 的取值范围是________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】由12F PF ∠为钝角，可得120PF PF ⋅<，再根据点P 在椭圆上，可得227716P P x y =-，从而可得出答案.【详解】解：椭圆221167x y +=的焦点为()13,0F -、()23,0F ，则()()123,,3,P P P P PF x y PF x y =---=--， 因为12F PF ∠为钝角，所以120PF PF ⋅<，即()()2330P P P x x y ---+<，又因点P 在椭圆上，则221167P P x y +=，即227716P P x y =-，所以22797016P P x x -+-<，解得P x <<.所以P x 的取值范围是⎛ ⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭. 例4．（2020·上海·复旦附中模拟预测）已知12,F F 是椭圆22:142x y E +=的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则12F P F P ⋅的取值范围是____________ 【答案】[]0,2【分析】求出焦点坐标，设出()P m n ,（n ≤≤椭圆方程表达出2122F P F P n ⋅=-，结合n 的取值范围，得到12F P F P ⋅的取值范围.【详解】由24a =，22b =，解得：2222c a b =-=，所以c =()1F ，)2F ，因为P 是椭圆E 上任一设点，设()P m n ,（n ≤≤），则22142m n +=，即2242m n =-，其中()()2221222F P F P m n m n m n n ⋅=⋅=-+=-，因为n以202n ≤≤，2022n ≤-≤，所以12F P F P ⋅的取值范围是[]0,2. 故答案为：[]0,2例5．（2022·上海宝山·一模）如图，已知1F ､2F 是椭圆22Γ:14xy +=的左､右焦点，M ､N 是其顶点，直线:(0)l y kx m k =+>与Γ相交于A ，B 两点.（1）求△2F MN 的面积P ；（2）若2l F N ⊥，点A ，M 重合，求B 点的坐标；（3）设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ､2k ，记以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为1S ､2S ，OAB 的面积为S ，若1k ､k ､2k 恰好构成等比数列，求12()S S S +的最大值.【答案】（1；（2）2213⎛- ⎝⎭；（3）最大值为54π. 【分析】（1）由题可得()())22,0,0,1,M N F -，利用面积公式即求；（2）由题可得直线方程，联立椭圆方程利用韦达定理即得；（3）由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，利用韦达定理及三角形面积公式及条件可得S ，又利用条件可求1254S S π+=，再利用基本不等式即得. （1）∵2214x y +=，∴()())22,0,0,1,M N F -，∴△2F MN 的面积P (2112122MF ON ==⨯⨯=（2）∵2F N k =，又2l F N ⊥，点A ，M 重合，∴l k =)2y x +，由)22214y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得21348440x x ++=， 则44213B x -⋅=， ∴2213B x =-，22213B y ⎫=-+⎪⎭∴B点的坐标为2213⎛-⎝⎭. （3）由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，∴()()()2228414410km k m ∆=-+⋅⋅->，即2214m k <+，()2121222418,1414m km x x x x k k-+=-=++， 又1k ，k ，2k 恰好构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即()2120km x x m ++=，∴22228041k m m k -+=+，又0,0k m >≠， ∴12k =，可得22m <，()212122,21x x m x x m +=-=-，∵点O 到直线AB的距离为d =∴1212S AB d x =-==，又222212121,144x x y y +=+=，∴()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦，∴2212525()424m m S S S ππ-++=≤⋅=，m =即1m =±时等号成立， ∴12()S S S +的最大值为54π. 例6．（2021·上海黄浦·一模）设常数0m >且1m ≠，椭圆Γ：2221x y m+=，点P 是Γ上的动点．（1）若点P 的坐标为()2,0，求Γ的焦点坐标；（2）设3m =，若定点A 的坐标为()2,0，求PA 的最大值与最小值；（3）设12m =，若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），求证：O 到直线PQ的距离是定值．【答案】（1）()),；（2）最大值为5；（3）详见解析.【分析】（1）由题可得2m =，c =（2）由题可得()222282459x PA x y x =-+=-+，利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+，联立椭圆方程可得()2224210k xktx t +++-=，利用韦达定理及条件可得2215k t +=，进而可得O 到直线PQ 的距离为定值，当直线PQ 斜率不存在时，可得x =O 到直线PQ 的距离为定值，即证.（1）∵椭圆Γ：2221x y m+=，点P 的坐标为()2,0，∴2m =，c =∴Γ的焦点坐标为()),；（2）设(),P x y ，又()2,0A ，由题知2219x y +=，即2219x y =-，∴()()222222288912214599942x x PA x y x x x ⎛⎫=-+=-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，又33x -≤≤，∴当3x =-时，2PA 取得最大值为25；当94x =时，2PA 取得最小值为12；∴PA 的最大值为5（3）当12m =时，椭圆Γ：2241x y +=，设()()1122,,,P x y Q x y ，当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+，则由2241y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得()2224210k x ktx t +++-=， ∴()()()222212122221,,2441044kt t x x x x kt k t k k--+==∆=-+->++， 由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()12120x x kx t kx t +++=，即()()22121210k x x kt x x t ++++=，∴()22222121044t ktk kt t k k--+⋅+⋅+=++，可得2215k t +=，满足0∆>，∴O 到直线PQ 的距离为d =当直线PQ 斜率不存在时，OP OQ ⊥，可得直线方程为x =O 到直线PQ 综上，O 到直线PQ 的距离是定值．例7．（2021·上海静安·一模）如图1，已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，点B 是椭圆Γ的上顶点，椭圆Γ上一点A ⎛ ⎝⎭到两焦点距离之和为（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若点P Q 、是椭圆Γ上异于点B 的两点，BP BQ ⊥，且满足32=PC CQ 的点C 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）设x 轴上点T 坐标为(2,0)，过椭圆Γ的右焦点F 作直线l （不与x 轴重合）与椭圆Γ交于M 、N 两点，如图2，点M 在x 轴上方，点N 在x 轴下方，且2=FM NF ，求||+TM TN 的值．【答案】（1）2212x y +=（2）2 1.y x =±+（3【分析】（1）根据题意得221112a b+=，2a =，解方程即可得答案； （2）由题知直线,BP BQ 的斜率都存在，设直线BP 的斜率为k ，直线BQ 的斜率为1k-，进而得直线BP 的方程为1y kx =+，与椭圆联立方程解得点P 的横坐标为2412kx k =-+，同理得点Q 的横坐标242kx k =+，再结合32=PC CQ 解得24k =，即可得答案； （3）由题设直线l 的方程为1x my =+，点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则120,0y y ><，进而联立方程并结合韦达定理得线段MN 的中点D 的坐标为222(,)22m m m -++，故||2(TM TN +=，再结合2=FM NF 得227m =，代入即可得答案. （1）解：设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，因为椭圆Γ经过点A ⎛ ⎝⎭，所以221112a b +=，因为椭圆Γ上一点A ⎛ ⎝⎭到两焦点距离之和为2a =所以1a b ==，所以椭圆Γ的标准的方程为2212x y +=.（2）解：由题知直线,BP BQ 的斜率都存在，设直线BP 的斜率为k ， 则由BP BQ ⊥知直线BQ 的斜率为1k-，所以直线BP 的方程为1y kx =+， 代入椭圆方程得：22(12)40k x kx ++=，因为0x =是该方程的解，所以点P 的横坐标为2412kx k =-+， 将上述的k 用1k-代替，即得到点Q 的横坐标242kx k =+， 因为32=PC CQ ，所以223424122k kk k ⨯⨯=++，解得24k =， 所以直线BP 的方程为2 1.y x =±+（3）解：椭圆Γ的右焦点F 坐标为()1,0，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程得22(2)210m y my ++-=， 设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则120,0y y ><， 所以12122221,0,22m y y y y m m +=-=-<++ 所以()12122224x x m y y m +=++=+ 所以线段MN 的中点D 的坐标为222(,)22mm m -++， 所以||2||2(TM TN TD +== 又因为2=FM NF ，所以11222,2y yy y =-=-， 所以12y y= 222m m -+，两边平方得221422m m =+，解得227m =，所以227TM TN +===+13||8TM TN +=例8．（2022·上海交大附中高二期末）己知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点坐标为()1,0，离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为-1，求线段AB 的长；（3）如图，设椭圆上一点R 的横坐标为1（R 在第一象限），过R 作两条不重合直线分别与椭圆C 交于P 、Q 两点、若直线PR 与QR 的倾斜角互补，求直线PQ 的斜率的所有可能值组成的集合.【答案】（1）2212x y +=；（2；（3）.【分析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a 即可计算得解.(2)将1y kx =+代入椭圆C 的方程，再结合给定条件求出k 值即可计算出AB 的长. (3)设出直线PR 的方程，再与椭圆C 的方程联立求出点P 坐标，同理可得点Q 坐标，计算PQ 的斜率即可作答.（1）依题意，椭圆C 的半焦距c =1，而2c e a==，解得a =2221b a c =-=， 所以椭圆C 的方程是：2212x y +=.（2）由22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得：22(21)40k x kx ++=，解得10x =，22421kx k =-+， 于是得线段AB 的中点2221(,)2121k M k k -++，直线OM 斜率为112k -=-，解得12k =，因此，212142|||12()12AB x x ⨯=-==⨯+， 所以线段AB（3）由(1)知，点R，依题意，设直线PR的斜率为(0)t t≠，直线PR方程为：(1)y t x=-，由22(22y tx tx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y并整理得，222(21)4(210t x t t x t+-+--=，设点(,)P PP x y，则有Px=QR的斜率为-t，设点(,)Q QQ x y，同理有Qx=，于是得直线PQ的斜率2(1)(1)P Q P QPQP Q P Qt ty y t x t xkx x x x---+-===--==，所以直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2a，2b的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.一、单选题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高三阶段练习）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c+=+；②1122a c a c-=-；③1212c a a c>；④l212c a a c<.其中正确式子的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【分析】由1212,a a c c >>，可判定①不正确；由1122,a c PF a c PF -=-=，可判定②正确；由1122a c a c -=-，得到()()221221a c a c +=+，结合椭圆的性质，求得2211121122b a c b a c +=+，进而可判定③正确，④不正确.【详解】由图象可知1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，所以①不正确； 因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，所以②正确；由1122a c a c -=-，可得1221a c a c +=+，可得()()221221a c a c +=+，整理得22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，因为12b b >，所以1212c a a c >，所以③正确，④不正确. 故选：B.2．（2022·上海·高三专题练习）已知两定点(1,0)A -､(1,0)B ，动点(,)P x y 满足tan tan 2PAB PBA ∠⋅∠=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．2212y x -=B ．221(0)2y x y -=≠ C ．2212y x +=D ．221(0)2y x y +=≠ 【答案】D【分析】根据斜率公式可得()2(0)11PA PB y y k k y x x ⋅=⋅-=≠+-，化简即可得到答案； 【详解】tan tan 2PAB PBA ∠⋅∠=，∴ ()2(0)11PA PB y yk k y x x ⋅=⋅-=≠+-， ∴221(0)2y x y +=≠，故选：D.3．（2020·上海市嘉定区第二中学高二阶段练习）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12【答案】C【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆23x ＋y 2＝1知，该椭圆的长半轴a =A 是椭圆的一个焦点，设另一焦点为F ，而点F 在BC 边上，点B ，C 又在椭圆上，由椭圆定义得2,2BA BF a CF CA a +=+=，所以ABC 的周长4l AB BC CA AB BF CF CA a =++=+++==故选：C4．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆22221x y a b +=分别过点(2,0)A 和点B ⎛ ⎝⎭，则该椭圆的焦距为（ ）A B ．2 C ．D ．【答案】C【分析】根据椭圆过点(2,0)A 和点B ⎛ ⎝⎭，得到2a =，221314a b +=联立求解.【详解】因为椭圆过点(2,0)A 和点B ⎛ ⎝⎭，所以2a =，且221314a b +=，可得：24,a =21,b =222413c a b =-=-=，所以c =2c =故选：C.5．（2022·上海·复旦附中高二期末）2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘-4卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功.已知天绘-4卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为m 千米，距地球表面最远点的距离为n 千米，地球可近似地看作一个半径为R 千米的球体，则天绘-4卫星的运动轨道的短轴长为（ ）千米.A ．2m n R ++ B．C ．22++m n RD【答案】B【分析】利用题意可通过近地点和远地点和地球的半径建立等式联立求得c 的表达式，进而利用222b a c =-，求得b ． 【详解】解：由题意22m n Ra ++=，且22m n R c m R ++-=+，①22m n R c n R +++=+，② 2n mc -∴=，所以2b = 故选：B ．6．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知实数A ，B ，C 满足0ABC ≠，则“0ABC >”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】D【分析】先求出方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．【详解】∵方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆，化成椭圆方程的标准形式221x y C C A B+=∴00C A CB C C B A⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪≠⎪⎩，即000A B C A B >⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪≠⎩或000A B C A B <⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪≠⎩；故“0ABC >”推不出“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”， 充分性不成立； “方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”也推不出“0ABC >”， 必要性不成立；即“0ABC >”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的非充分非必要条件． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记椭圆的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于基础题.7．（2022·上海·高三专题练习）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.8．（2022·上海·高三专题练习）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220cb -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．9．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(](),11,-∞-⋃+∞D ．[1,0)(1,)-+∞【答案】C【分析】先分析出||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144x y C λ+=为椭圆，只需点()2,0A -落在椭圆内，列不等式求出λ的范围；若当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，只需把||2y x =+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出λ的范围.【详解】如图示：||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144x y C λ+=为椭圆时，即0λ>，只需点()2,0A -落在椭圆内，即240144λ+<，解得：1λ>；当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，即0λ<，渐近线方程：y =要使曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，1≤，解得：1λ≤-.所以实数λ的取值范围是(],1(1,)-∞-+∞ 故选：C 二、填空题10．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 在焦点为1F 、2F 的椭圆221169x y +=上，则12PF PF +=______．【答案】8【分析】根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：因为点P 在焦点为1F 、2F 的椭圆221169x y+=上，所以216a =，所以4a =，所以1228PF PF a +==， 故答案为：811．（2022·上海·高三专题练习）设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>的左顶点A ，过点A 的直线。
“椭圆中一类三角形面积最大值”的几何法讨论
“椭圆中一类三角形面积最大值”的几何法讨论作者：钟建新黄化宇来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第04期摘要：本文讨论以一条固定长的动弦为三角形的一边，以椭圆中心为顶点的等腰三角形面积的最大值问题. 几何法从椭圆可以看成是圆压缩或拉伸变形的角度来讨论，得出该问题的最大值. 在讨论过程中看出△AOB面积变化的趋势.关键词:椭圆；三角形面积；最大值；几何法文中提出：给定一个椭圆，以它的一条固定长的动弦为三角形的一边，以椭圆中心为顶点的等腰三角形，并探索面积的最大值问题. 证明定理的代数方法比较烦琐，引理中设置的辅助函数也十分意外，不容易想到. 不妨换个角度：从椭圆可以看成是圆压缩或拉伸变形的结果来讨论这个定理，不仅简单明了，还可以进一步看出△AOB面积变化的趋势.引理1 顶点在原点，底边为圆周x2+y2=a2上的弦的等腰三角形，在圆被压缩成椭圆+=1（0图1证明如图1建立直角坐标系. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则以O为顶，弦AB为底边的等腰三角形OAB的面积为S△OAB=001x1y1 1x2y2 1=x1y1x2y2.当圆x2+y2=a2经压缩变换x′=x，y′=y（0S△OA′B′=00 1x1y11x2y2 1=••001x1y1 1x2y2 1=•x1y1x2y2=S△OAB .同理，圆x2+y2=a2经拉伸变换x′=x，y′=y（0推论1 以圆x2+y2=a2内的弦为底，圆心为顶点的等腰三角形面积最大时，由圆经压缩（或拉伸）成椭圆后所对应的三角形面积也最大.引理2 圆x2+y2=a2中以弦AB=l为底边，圆心O为顶点的等腰三角形，当顶角是直角时面积最大.图2证明如图2，圆内长度为l的弦AB在任何位置时，它与圆心所构成的△OAB的面积S△OAB=ld=l=•.因为l2+（4a2－l2)=4a2是定值，所以当l2=4a2－l2时S△OAB取得最大值. 即l=a 时有最大面积S△OAB=a•a=，此式也说明了当三角形的顶角是直角时面积最大.推论2 半径为a的圆内接矩形，当一边（不妨设AB=l>0）逐渐增大至a时面积最大（此时邻边则逐渐减小至a）.（为了保证压缩后弦AB的长度l保持不变，不妨假设弦AB始终与压缩方向垂直，平行于x轴的位置）证明对于圆x2+y2=a2作压缩变换x′=x，y′=y（0由推论2知，当弦长l在0同理，对圆x2+y2=b2作拉伸变换x′=x，y′=y（0变为椭圆+=1，等腰△OAB变形为等腰三角形OA′B′，如图4.S△OAB=ld=l=•，S△OA′B′=S△OAB=•l•=，最大值S△OA′B′=S△OAB=•==S△OAB，即等腰三角形OA′B′的面积S△OA′B′=•?摇随着l（0最后可以归纳成定理.定理以椭圆+=1（0。
关于椭圆内接平行四边形的几个定理
关于椭圆内接平行四边形的几个定理
吕中伟;杨伟国
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2005(000)004
【摘要】关于椭圆内接平行四边形的问题，我们都有一个感性认识，即平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心．例如在任意椭圆内接矩形问题，一般都默认内接矩形的对称中心即为椭圆的对称中心，且各边平行于椭圆的对称轴．固然以上处理方式在某种程度特定环境下有可取之处，
【总页数】2页(P46-47)
【作者】吕中伟;杨伟国
【作者单位】215500,江苏省常熟市中学;215500,江苏省常熟市中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造 [J], 刘达
2.椭圆内接与外切平行四边形的几个命题 [J], 张明贤;陈辉
3.过椭圆焦点的内接平行四边形的面积与周长问题的探究 [J], 杨志明
4.一类椭圆内接三角形的又几个定值 [J], 何重飞
5.一类椭圆内接三角形的几个定值命题 [J], 何重飞;严运华
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椭圆中一个三角形面积最大值的探求
椭圆中一个三角形面积最大值的探求作者：罗永高来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第10期摘要:求在不同条件下椭圆中三角形面积的最大值是高考的常见题型,本文经过探索,得到了该三角形的三类面积最大值问题及相应的解决方法.关键字:三角形;最大值;设点法已知椭圆上的两个动点与椭圆中心组成一个三角形,探求在不同条件下该三角形面积的最大值,在近几年的高考中频频出现.本文给出该三角形的三类面积最大值问题的求法.问题1已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,d为原点O到直线AB的距离,则当d∈a,a时,(S△AOB)max=•;当d∈b,a时,(S△AOB)max=;当d∈0,b时,(S△AOB)max=•.证明设直线AB的方程为y=kx+m,?摇则d=.联立y=kx+m,+=1,所以(b2+a2k2)x2+2ka2mx+a2m2-a2b2=0.所以AB==.(1)记直线AB的倾斜角为θ,则1+k2=,b2+a2k2=.即AB=2ab.(2)可以验证当θ=90°时,(2)式也成立.设f(θ)=,令=t,则t∈,. 所以f(θ)=f(t)=-d2t2+t,其中t∈,.因为f(t)的对称轴为t=,所以当当≤≤,即d∈b,a时,[f(t)]max=f=. 所以ABmax=. 所以(S△AOB)max=;当>,即d∈0,b时,[f(t)]max=f=. 所以ABmax=. 所以(S△AOB)max=.从上述的证明过程可以发现,解决问题的关键是(2)式,它揭示了AB与d的函数关系,令AB=l,?摇a2-c2cos2θ=t,t∈[b2,a2],则d2=-t2+t, (3)由(3)式可知,当AB的长度为定值时,同样可求S△AOB的最大值.思考已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,若直线AB的斜率为定值,求△AOB面积的最大值.问题2 已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,O为坐标原点,若OA⊥OB,则△AOB面积的最大值为ab.证明设A(ρ1cosα,ρ1sinα),Bρ2cosα+,ρ2sinα+.则ρ==,ρ=,所以S△ABC=ρ1ρ2=.所以当sin2α=0时,(S△AOB)max=ab.从上述证明过程中,容易发现+=+,其几何意义为原点到直线AB的距离为常数.思考已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点,c为半焦距,O为坐标原点,若OA⊥OB,求AB的最大值.问题3 已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)上的两个动点, O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为ab.?摇证明因为S△AOB=•sin∠AOB=,所以S△AOB=•=•.设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),所以S△AOB=absin(α-β).所以当sin(α-β)=±1时,(S△AOB)max=.思考求椭圆+=1(a>b>0)中内接四边形ABCD面积的最大值.本文针对三个问题,采取了三种不同的解法,充分展示了解析法的特点及其魅力. 特别是问题2和问题3,似乎是难以逾越的问题,但通过不同的设点方法,竟轻松一跃而过,令人拍案叫绝,乐而忘返.。
椭圆内接四边形面积最大值
椭圆内接四边形面积最大值1. 了解椭圆和内接四边形的基本概念大家好，今天我们要聊聊一个数学问题，听起来可能有点高深，但别担心，我会用最简单的语言给大家解释清楚。
首先，我们得明白什么是椭圆。
椭圆其实就是一个被拉长的圆，形状有点像橄榄球。
它的两条轴线——长轴和短轴——就像是椭圆的“骨架”，把椭圆撑起来了。
而内接四边形，就是指那个四边形的四个角都在椭圆的边界上，像是一个小四边形被“夹在”椭圆里面。
2. 进入正题：内接四边形的最大面积2.1. 说到内接四边形，我们要搞清楚怎么才能让它的面积最大化。
这个问题听起来有点像在研究如何做一道完美的披萨，既要面饼够薄，又要配料丰富，才能口感最佳。
实际上，数学家们已经发现，答案其实相当简单而又美妙。
2.2. 经过一些深入的研究，我们知道，椭圆内接四边形的面积最大值其实是在它变成一个矩形的时候。
就是这么简单，没错，答案就是矩形。
听起来是不是有点像“常规套路”？但这就是问题的真相。
换句话说，只要你把内接四边形做成一个矩形，它的面积就能达到最大值。
3. 为什么是矩形？探究一下原理3.1. 既然我们知道最大面积的四边形是矩形，那接下来我们就得来挖掘一下其中的奥秘。
其实，问题的关键在于矩形的对角线长度和它的长短边关系。
简单说，矩形的对角线是最长的，而当四边形变成矩形时，这些对角线恰好把椭圆的最大“空地”给覆盖住了。
就像你在一个圆圈里画了一个最大的矩形，它会把圆圈里最大的区域都填满一样。
3.2. 如果我们换成其他形状，比如梯形或是任意四边形，虽然它们看起来有点特别，但实际上它们的面积就不如矩形那样最大。
就好比你在一个球场上打篮球，跑到每一个位置时，总会发现那个矩形区域能够容纳的空间最多。
4. 实际应用：数学中的美妙与趣味4.1. 这个结果不仅在数学中很有趣，还在实际应用中有很多用处。
比如说，当设计一些需要填满空间的物体时，我们可以利用这个原理，做出最优的设计。
这不仅能帮助我们解决问题，还能让我们在解决问题的过程中感受到数学的魅力。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 椭圆内接三
椭圆内接三角形最大面积的另一种证明 ab S R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P f R f Q f P f Jensen x f xx x x x x x f x x x f x x x f Jensen R Q P R P PQR ab S b a b a b a S b a b a b a by a x ABC ABC ABC 433)(321,233sin sin sin 4,833)3(sin sin sin sin )3ln(sin )sin sin ln(sin 3sin ln )3sin(ln 3sin ln sin ln sin ln )3(3)()()()(0sin 1sin cos cos sin sin )(,sin cos )(),0(,sin ln )(,sin sin sin 41,2,2Q ),2-(,),,0(22)2-(,2sin 2)sin 2-sin(42sin 2sin 2sin 4)2cos 2(cos 22sin 2cos 22sin 2cos 22sin )sin()sin (sin sin )sin(sin 1)2,0(,,,)(,)(,)()sin()sin()sin( sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 112331sin cos 1sin cos 1sin cos ,433,1sin cos 1sin cos 1sin cos 2120C B A )sin ,cos C ),sin ,cos B ),sin ,cos A 1max 33222222==-=-≤=≤≤=++≤++++≤++<-=∙-∙-=''='∈====+=++=+=+--+=++--+=+-+=++-=∈++=-=-=--+---=+-=≤≤=<<<≤=+∆∆∆时等号能成立，所以，即离心角成等差数列且当】式成立。
椭圆内接多边形面积最大值
椭圆内接多边形面积最大值1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一个有趣又看似复杂的话题——椭圆内接多边形的面积最大值。
别担心，我保证不讲那些复杂的公式，让我们一起用轻松幽默的方式来理解这个问题。
想象一下，如果你有一个椭圆，里面可以画一个多边形，那这个多边形的面积最大可以有多大？这就像是在椭圆这个大家庭里，找出最能展现自己风采的小伙伴！是不是听起来很有意思？2. 椭圆的基本概念首先，我们得搞清楚什么是椭圆。
椭圆就像是一颗椭圆形的鸡蛋，外面光滑，里面却可以容纳不少内容。
它的两个焦点像是一对亲密的朋友，无论怎么转动，总是形影不离。
椭圆的主要特点是它的长短轴，长轴就是那条特别拉长的线，短轴则是它的小伙伴。
我们可以把椭圆想象成一个大舞台，而多边形就像是这个舞台上表演的小演员，想在这里占据最大的位置。
2.1 椭圆与多边形的关系好了，咱们明白椭圆是什么了，现在来聊聊它跟多边形的关系。
想象一下，你要在这个椭圆里放一个多边形，比如说三角形、正方形甚至是五边形。
可是，想要让它们的面积最大，就得在椭圆的限制下，灵活变动，像是个变色龙一样。
这就像在一个超大的游乐场里，想尽可能多地玩到各种游戏，怎么才能不让自己掉队呢？2.2 为什么选择正多边形说到多边形，咱们不妨聊聊正多边形。
你知道吗，正多边形就像是超级英雄，凭借着对称性，能在椭圆里优雅地舞动。
其实，正多边形的优势就藏在它的结构里。
比如说，正六边形，六条边均匀分布在椭圆内，像是在为椭圆量身定做的一样，面积自然就大得惊人。
你可不能小看这六条边，组合起来的力量可真不是盖的！3. 最大面积的探讨那么，怎样才能求出这个最大面积呢？其实，简单来说，就是把多边形的每条边都紧贴椭圆的边缘，咱们把这称为“内切”。
就像打篮球，你得紧紧贴着三分线，才能保证投篮的角度最佳。
通过几何的思维，正多边形的边数越多，它就越接近椭圆的边缘，面积也会相应地增加。
简直是画龙点睛，完美无瑕！3.1 数学小秘密哎，你知道吗，其实数学里也有小秘密。
微专题椭圆中三角形面积最值问题探究
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四、问题的一般形式
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例4 已知椭圆E:〒+ y2 = 1,直线= kx +
中学数学研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2019年第6期
此时"吐间的距离"芳，直线与椭圆联立
方程得
卩=尽 + "*22 lx2 + 4y2 = 4
+ %血皿 +4m*2 -4 = 0.
由 A = ( - 8Qm) - 36(4m2 -4) > OnO < m _ &匹m
< 3.由韦达定理知衍+ % = ―g ，光1%2 二
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AB = a/1 + ni I Ji -y21 ,</ = 1* 1* ,S^Oab = V
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得到(m2 + 4)y2 + 2mty + i2 - 4 = 0, A = 4m2f2 -
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若 c <0,令 a = - ctan0,b = c2 sec20,由 abc
(完整word版)椭圆内接三角形的最大面积
椭圆内接三角形的最大面积最早接触到这个题目时是在一节数学课上，当时有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。
讲完该题后，胡远东老师于是提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。
循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。
解法如下：首先我们在椭圆上任意找两相异点A 、B ，连接AB在椭圆上找一点C 使得C 处的切线l 斜率等于k AB ，存在两点C ，选择使面积较大的一个C ，这样以AB 为一边的三角形中，三角形ABC 面积最大。
平移AB ，可以找到一个更大的三角形A ’B ’C ，如果我们证明每一个这样的三角形A ’B ’C 面积相等，那么这样的三角形A ’B ’C 的面积都是最大面积。
反过来，若固定一个C 点，作其切线l ，在椭圆上找一平行于l 的弦ABC ，使之面积最大。
那么，这样的三角形ABC 与上述三角形A ’B ’C 一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC 面积相等。
证明：设椭圆的方程为 12222=+b y a x (a>b>0)，C 点坐标为（x 0，y 0）。
12222=+b y a x两边对x 求导，0'2222=+y b y a x ，所以y ’=ya xb 22- 所以0202y a x b k k l AB -== 设AB 方程为y=m x y a x b +-0202则 y=m x y a x b +-0202 （1） 12222=+by a x（2） 1220220=+by a x （3） （1）（2）联立得0)(222200222022042022=-+-+b m a x y m x b x y a x b y b a 又因为2002202*21**121)(AB AB ABC k y m y a x b a k m S +-+-∆+=∆而)(2)]([4)(44))((44))((44)(442222200220222220420224222042022202202222042022204202222042222022042022202204b m a m x y b y b m a m x b y b m b a m x b y b m x b y a b m x b y b m x b y b a m x b b m a y a x b y b a y m x b --=--=--=-+-=-+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∆204202422022042022*y b y a b a y a x b y b a a ==+=所以2202222200*20*002202)(22)(b b m y b m a m x y a b m y a y m y a x b m S ---=-∆=-+-∆= 30002220222022222202)()1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=----=m b y b m b y b b a b b b m y m b y b a b b m y b m a m b y a 令300)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m b y b m b y b m h ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m b y b m b y b b y m b y b m b y b m b y b b y m b y b b y m b y b m b y b b y m h 020000200002030022333)(' 令h ‘（m ）=0，则02y b m =（重根舍）或022y b m -=（此时可验证h ‘‘（022y b -）＜0） ∴当022y b m -=有h （m ）=h （m ）max 此时S （m ）=S （m ）max =ab b b b a 4332323=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即每一个三角形ABC 面积相等。
椭圆内接四边形面积最大值
椭圆内接四边形面积最大值哎呀，你是不是以为只有跑步机上的椭圆才有趣呢？其实，数学中的椭圆也有很多故事要讲，尤其是当我们把它和四边形捆绑在一起时。
这听上去是不是有点晦涩？别担心，我来把这件事说得简单明了，让你听得懂，记得牢。
今天我们要聊的就是：如何在椭圆里找出那个面积最大的四边形。
这话题虽说听着有些复杂，但其实背后藏着不少妙趣横生的数学故事呢。
首先，椭圆，咱们可以把它想象成一个被轻轻压扁的圆，像个胖胖的橄榄。
它的两个“长短”不一样的轴，分别叫做长轴和短轴。
我们可以把四边形想象成在这片橄榄上“开派对”的一群朋友，他们每一个都得在这个橄榄里找到自己的位置。
这些朋友一开始可能随意地摆放，但我们总是希望他们站在最合适的地方，以使整个四边形的面积最大化。
好啦，言归正传，咱们说的四边形是内接于椭圆的，这意味着四边形的四个顶点都在椭圆的边缘上。
如何让这个四边形的面积最大呢？这就有点像是我们在拼图游戏里拼出最大的那个完整图案一样。
别急，先把复杂的数学公式丢一边，我们先来简单了解一下这个问题。
首先，椭圆内接四边形的面积最大值是个小秘密，它和我们的日常生活有点像——总是找最佳的位置，才能得到最好的效果。
数学家们通过聪明的脑袋瓜子，发现了一个有趣的结论：当四边形是一个正方形时，它的面积就能达到最大。
是不是听上去很神奇？这就像你买鞋子时发现，最适合你脚型的那双鞋子穿上最舒服一样，正方形就是在椭圆里“最舒适”的形状。
那么，为啥正方形这么牛？其实，正方形的对角线恰好和椭圆的两条轴对齐，这样它能够在椭圆内的空间里“挤”出最大面积。
可以说，正方形在椭圆中“站得稳，跑得快”，完全是因为它的对称性和角度分布都正好对上了椭圆的最佳位置。
说到这里，你可能会问，这个面积最大值到底是多少呢？别急，这里有个有趣的公式。
假设椭圆的长轴和短轴分别是2a和2b，正方形的最大面积就等于4ab。
是不是感觉这个公式挺简单的？其实，背后是数学家们经过无数次的实验和推导才得出的哦。
椭圆的内接正三角形的面积最大值
椭圆是一种非常特殊的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
其中之一就是椭圆内能内接正三角形。
那么，椭圆的内接正三角形的面积最大值是多少呢？在这篇文章中，我们将探讨椭圆内接正三角形的性质，并通过数学推导来解答这个问题。
一、椭圆的定义及性质椭圆是一个平面上的闭合曲线，它有两个焦点和一个长轴和短轴。
椭圆的数学定义是：到两个焦点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆具有许多重要的性质，比如任意一点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度；椭圆上任意一点的切线在焦点处与椭圆的两条直径平分角等。
二、椭圆内接正三角形的性质椭圆内接正三角形是指一个正三角形的三个顶点分别位于椭圆上的三个不同点上，且这个正三角形的内角都是直角。
椭圆内接正三角形具有如下的性质：1. 椭圆内接正三角形的三个顶点将椭圆分成六个部分，这三个部分是锐角三角形，另外三个部分是补角三角形；2. 椭圆内接正三角形的三个顶点分别位于椭圆的三个不同的焦点上；3. 任意一点到椭圆的一个焦点的距离减去该点到另一个焦点的距离的绝对值等于一个常数，这个常数就是椭圆的长轴长度。
三、椭圆内接正三角形的面积椭圆内接正三角形的面积是一个十分有趣的数学问题。
我们希望找到椭圆内接正三角形的面积最大值。
首先我们假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，接下来我们将通过数学推导来解决这个问题。
1. 定义变量我们假设椭圆上的三个顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，其中A、B、C分别位于椭圆的三个不同焦点上。
2. 椭圆方程由椭圆的定义可知，椭圆的方程是：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 13. 椭圆内接正三角形的面积公式椭圆内接正三角形的面积可以通过三个顶点的坐标来求解，假设S为椭圆内接正三角形的面积，则有：S = (1/2) * |x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2|4. 椭圆内接正三角形的面积最大值我们知道椭圆的方程是一个二次方程，我们可以通过对椭圆方程进行变形并利用拉格朗日乘子法求解S的极值，从而得到椭圆内接正三角形的面积最大值。
椭圆的内接三角形问题
椭圆的最大面积内接三角形的周长最值问题（安徽省马鞍山市第二中学当涂分校 孙世宝 邮编：243100）文献[1]中提出了这样一个猜想：椭圆的具有最大面积的三角形中，周长取最值的三角形一定是等腰的. 笔者的研究表明，这个猜想是正确的. 下文以,∑∏分别表示循环和、循环积. 为了便于后面应用，先给出一个引理.引理：,x R ∀∈则有如下的一系列恒等式（1）22cos()cos cos()0;33x x x ππ-+++=； （2）22222222223cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33332x x x x x x ππππ-++-=-++-= （3）333223cos ()cos cos ()cos3;334x x x x ππ-+++= （4）44444422229cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33338x x x x x x ππππ-+++=-+++= （5）5552215cos ()cos cos ()cos6;3316x x x x ππ-+++= （6）66622315cos ()cos cos ()cos6;333216x x x x ππ-+++=+ （7）221cos()cos cos()cos3;334x x x x ππ-+= （8）22223cos()cos cos os()cos()cos();33334x x xc x x x ππππ-++++-=- 利用复数或三角恒等变换都能给出上述结论的证明，此处从略.问题的解答：设椭圆的方程为22221(0),x y a b a b+=>>ABC ∆是其一面积最大的内接三角形. 利用仿射变换x X a yY b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，椭圆将变为单位圆22'''1,.X Y ABC A B C +=∆→∆此时'''A B C ∆是内接于单位圆，且具有最大面积，它是等边三角形.这样可设它的各点的坐标为'''2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333A B C ππππθθθθθθ++--于是相应的2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333A a b B a b C a b ππππθθθθθθ++-- 利用两点间距离公式算得：ABC ∆的周长()L θ=以下为计算方便，记：2222(0,1),2,2(),2().33a b k a b ππαθβθγθ-=∈==+=-+则'()()L L θθ== 这样'()0L θ=即：0= ① 下面求解满足方程①的所有,θ这是解决前面猜想的至关重要的一步.记sin A =sin B =sin C γ=方程①即：0,A B C ++=这样()()0.A B C A ⋅+-=∑∏ 展开来就是：2242,A B A =∑∑将前面的式子代入得到：222(1cos )sin sin (1cos )k k ααβγ-⋅-∑∏422sin (1cos )(1cos )k k αβγ=--∑ ② 记方程②的左右两边的式子分别为,P Q ，则：2322222(1cos cos cos cos )(sin sin sin sin cos )P k k k k ααβααβαβγ=-+-⋅-∑∑∑∑∏利用引理（2x θ=）可算得：31cos 0,cos cos ,cos cos6,44ααβαθ==-=∑∑∏ 2221sin sin (cos()cos())4a a αβββ=+--∑∑242121191339(cos 2cos )cos cos 1,432168221616πγγγ=-=-+=-⋅+=∑∑∑∑ 2222sin sin cos (1cos )(1cos )cos αβγαβγ=--∑∑22cos (cos cos )cos cos cos cos γαβγαβγ=-++⋅∑∑∑∏23390(cos )cos cos6cos621616γγθθ=---=∑，于是23931(1cos6)(1cos6);844P k k k θθ=--⋅-⋅ 23401234,Q c c k c k c k c k =++++其中409sin ,8c α==∑ 4412sin (cos cos )2sin cos c αβγαα=-+=∑∑=223592(1cos )cos 2cos 4cos 2cos cos6,8αααααθ=-=-+=-∑∑∑∑ 422222223459sin (cos 4cos cos cos )(1cos )(3cos )cos 6,23216c αββγγααθ=++=--=-+∑∑44392sin cos cos (cos cos )2cos sin cos6,16c αβγβγααθ=-+==∑∑∏ 42222224sin cos cos (1cos )cos cos c αβγαβγ==-∑∑22222c o s c o s 2c o s c o s c o s βγααα=-+⋅∑∑∏∏ 2(c o s c o s )2c o s c o s βγαα=-⋅∑∑∏2222c o s c o s c o s ααα-+⋅∑∏∏ 299cos 6.1632θ=- 这样利用,P Q =即222(cos 61)(1)0,(0,1),t t t θ--=∈2cos 61,(),6n n Z πθθ==∈代入方程①检验后知道这确是其全部解. 我们不难检验周长函数()L θ具有周期,3T π=故要求其值域，只需考查[0,]3πθ∈ 这一小段就可以了，在这个范围内函数只有一个极值点,6πθ=又(0)()3L L π===()6L π=(0)L +>（()(0)6L L π>⇔< 这两个值就是最值.此时取最大值时三顶点坐标为：11,),(,),(0,);22A bB bC b -取最小值时三顶点坐标为：11(,0),(,),(,),....2222A a B a C a ---这样的周长取最值的三角形共有4个，都是等腰的，并且它们的顶点就是椭圆的顶点. （把,0,1,...,11.6i i πθ==的值全部求一下，也能得到同样的两个值，所对应的三角形也都是等腰的,共4个）笔者把它叙述为如下的结论.定理：椭圆的具有最大面积的内接三角形中，周长最大、最小的三角形都是等腰的.（各2个）其一个顶点在椭圆的长轴端点时，周长最小; 一个顶点在椭圆的短轴端点时，周长最大.参考文献：1．刘培杰主编.400个最新世界著名最值问题. 哈尔滨工业大学出版社，2008年9月第一版，330.P。
椭圆内接等腰三角形面积最大值
椭圆内接等腰三角形面积最大值椭圆内接等腰三角形面积最大值椭圆是一种非常特殊的几何图形，它的形状优美、典雅，而且在数学中有着广泛的应用。
其中，椭圆内接等腰三角形面积最大值问题就是一个比较典型的例子。
在这篇文章中，我们将详细探讨这个问题，并给出解决方案。
1. 椭圆内接等腰三角形的性质首先，我们需要了解一下椭圆内接等腰三角形的性质。
对于一个椭圆来说，它有两个焦点和两条主轴。
我们可以通过调整主轴的长度和方向来改变椭圆的形状。
如果我们在椭圆上任取两个点A、B，并以它们为端点画出一条线段AB，则这条线段可以被分成两段，分别连接A、B与两个焦点F1、F2。
如果我们把这两条线段长度相等，则得到的就是一个内接等腰三角形。
根据勾股定理，我们可以得到以下结论：AF1² + BF2² = AB²因为AF1 + BF2 = AB（由于是等腰三角形），所以可以得到：AF1² + (AB - AF1)² = AB²化简后可以得到：AF1 = AB / √2也就是说，椭圆内接等腰三角形的底边长度等于椭圆长轴的一半。
2. 椭圆内接等腰三角形面积的计算接下来，我们来计算一下椭圆内接等腰三角形的面积。
设椭圆长轴为a，短轴为b，则椭圆方程为：x² / a² + y² / b² = 1对于任意一点(x, y)，它到两个焦点F1、F2的距离之和等于2a。
根据勾股定理，我们可以得到：√(x - c)² + y² + √(x + c)² + y² = 2a其中c是焦距之一（c² = a² - b²）。
将上式平方，化简后可以得到：y² = a² - x² / 4c因此，我们可以将椭圆内接等腰三角形分成两个直角三角形和一个等边三角形。
设底边长度为l，则有：S = l/2 * √(a² - l/2) * l/2化简后可以得到：S = l³ / (4√(4a² - l²))3. 椭圆内接等腰三角形面积最大值的求解现在，我们来求解椭圆内接等腰三角形面积的最大值。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆椭圆内接三角形最大面积的另一种证明素材新人教A版选修2_1
1 椭圆内接三角形最大面积的另一种证明 ab S R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P f R f Q f P f Jensen x f xx x x x x x f x x x f x x x f Jensen R Q P R P PQR ab S b a b a b a S b a b a b a by a x ABC ABC ABC 433)(321,233sin sin sin 4,833)3(sin sin sin sin )3ln(sin )sin sin ln(sin 3sin ln )3sin(ln 3sin ln sin ln sin ln )3(3)()()()(0sin 1sin cos cos sin sin )(,sin cos )(),0(,sin ln )(,sin sin sin 41,2,2Q ),2-(,),,0(22)2-(,2sin 2)sin 2-sin(42sin 2sin 2sin 4)2cos 2(cos 22sin 2cos 22sin 2cos 22sin )sin()sin (sin sin )sin(sin 1)2,0(,,,)(,)(,)()sin()sin()sin( sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 112331sin cos 1sin cos 1sin cos ,433,1sin cos 1sin cos 1sin cos 2120C B A )sin ,cos C ),sin ,cos B ),sin ,cos A 1max 33222222==-=-≤=≤≤=++≤++++≤++<-=•-•-=''='∈====+=++=+=+--+=++--+=+-+=++-=∈++=-=-=--+---=+-=≤≤=<<<≤=+∆∆∆时等号能成立，所以，即离心角成等差数列且当】式成立。
内接于椭圆的面积最大的多边形
内接于椭圆的面积最大的多边形
刘建安
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1990(000)003
【摘要】本刊90年第一期上刊登了《椭圆的最大内接三角形》[1]一文后,陆续收到了南京大学陈永林、浙江台州师专洪方权、山东临沂教育学院徐彦明、江苏宝应县城北中学周进东、湖南教育学院周元生、湖南平江三中黄仁寿、浙江永康县芝英中学俞和平、吉林双阳县高级中学高振山、安徽无为县职中周邦云、浙江缙云中学孙永和、陕西镇坪县教研室赵临龙等同志的来稿,指出该文中的三个猜想是成立的,并用多种方法给予了证明。
猜想固然明显,但提供的证明都很巧妙、可贵,只可惜本刊篇幅有限,不能一一刊登。
【总页数】2页(P37-38)
【作者】刘建安
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆内接多边形的最大面积 [J], 姚皖容;罗钊
2.关于椭圆内接多边形面积的最大值问题 [J], 米其韬
3.面积有相同最大值的椭圆内接多边形 [J], 瞿靖
4.椭圆内接多边形的最大面积及其性质 [J], 罗曦;李光辉
5.椭圆内接多边形面积的最大值 [J], 杨全超
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椭圆内接多边形的最大面积
椭圆内接多边形的最大面积
姚皖容;罗钊
【期刊名称】《成都大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(027)003
【摘要】证明了椭圆的内接m多边形的最大面积V(m)2 ≤1/2mr1r2sin2π/m,并给出三维空间的椭球的内接四面体的最大体积及n维空间中超椭球的内接单形的最大体积的两个猜想.
【总页数】2页(P204-205)
【作者】姚皖容;罗钊
【作者单位】都江堰市教师进修学校,四川,都江堰,611830;成都大学,信息科学与技术学院,四川,成都,610106
【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.椭圆内接三角形最大面积的一种探求 [J], 姚海
2.如何作椭圆内接最大面积三角形 [J], 张琼
3.仿射性质求椭圆内接三角形的最大面积 [J], 冯福存
4.椭圆内接多边形的最大面积及其性质 [J], 罗曦;李光辉
5.椭圆最大面积内接n边形的性质 [J], 钱从新
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性质 ２ 坐标平 面内， ： 中心在原点， 焦点在 轴上的椭圆中一 内接三 角形的一条边若经过椭 圆中心， 则该三 角形另两条边所在直线的斜率之
个 命 题， ３ 第 小题 则是 考 查学 生能 否 应用 此 结 论
Ｍ Ⅳ和 Ｄ相交于点 Ｅ（ 为了便于研 究， 本文中 各条与椭 圆相关的结论和性质均以此题设为条 件） ．
＾ ＝一 ５ ｌ ０５ 口 ｓ ０ 米 厘 Ｏ
完成一个几何构造 （ 解答过程不赘述） 就命题而 ． 言， 题 的试 题结 构 和题 中数学 结 论 的另 一 种表 此
一
的一个命题， ３ 第 小题则是考查学生能否应用该
结论 完成 寻 找椭 圆中 心的 几何 作 图过 程 （ 答过 解 程 不赘 述 ） ． 这 两 道 试 题 都 体 现 出 常 见 的数 学 问题 研 究 的思维过程， 即先解决一个或一类特殊的问题， 然后将结论加以推广或转化， 并应用于新的问题 情 境 中．
２ １ 年第 ６ ０１ 期
数 学教 学
６ ｌ ９
椭 圆 中面积 最大 的 内接三 角形 和 平行 四边形 构造
２ ０ 上海市普陀区教育学院教学研究室 刘 达 ０６ ０３
椭 圆中有关 内接三 角形和 内接平 行四边形 面积的最值问题， 近年在专业杂志上有过一些同 行 们各具 匠 心 的研 究 和 结 论．笔 者 在 研 究 ２ １ ００
、
源起： 两道 结 构 相似 的 数学 高考 试 题
试题一
２ １ 年上海数学高考 （ 压轴题： ００ 理）
已知椭 圆ｒ的方程为 ＋ Ｕ ＝ １ ｎ＞ｂ＞０， （ ） Ｕ
点 Ｊ的坐 标 为 （ ，） Ｆ ） 一０ｂ．
（） １ 若直角坐 标平面上 的点 Ｍ 、 Ａ（， ｂ， Ｏ一 ）
ｂ＞ ０．设 斜 率 为 后的直 线 Ｚ交 椭 圆 于 、Ｊ ） ． Ｅ ｝
两点， ＡＢ的中点为 Ｍ ． 明： 证 当直线ｆ 平行移动
时， 点 Ｍ 在 一条 过 原 点 的定 直 线上 ； 动
（） ３ 利用 （） ２ 所揭示 的椭圆几何性 质， 用作 图 方 法 找 出下 面给 定 椭 圆 的中心 ， 要写 出 作 图步 简
笔 者将 这 两 个结 论 转化 为椭 圆相交 弦 的一个 性
质 内， ： 中心在原点， 焦点在 轴上的椭圆中一条弦恰被过椭圆中心的另一条 弦平分的充要条件是这两条相交弦的斜率之积
我 们将此 结论 类 比至 椭 圆时 ， 就能 得到 上述 性质 ， 可等 价地 叙 述为 ： 其
一
（） １ 求右焦点坐 标是 （， ） 且经过 点 （ ２ ２ ０， 一， 、２ 的椭 圆的 标准 方 程 ； ／） ／
—
２ 口
数 学教 学
积为 定 值 一１
２ １ 年第 ６ ０１ 期
从 上述 两道 高考 题 中， 依次 提炼 出有 关椭 可 圆 中相 交 弦 的两个 一 般 化结 论， 们分别 是 ： 它
步骤， 并求 出使 、 ２ 在 的 的取值 范 围． Ｐ存
０， １ ２ 两条不垂直 于对称轴的直 线， ）１ 、１是 其中 ２过 椭 圆 中 心 ０且 与 椭 圆 交 于 Ｍ 、 Ⅳ 两 点， １ 斜
率 为 ｋ ； 线 １交椭 圆于 Ｃ、Ｄ 两 点， 率 为 ２ ｌ直 ２ 斜 ，
本题的核心在于第２ 小题的结论所给 出的一
现 形 式 早 在２ ０ 年 上海 春 季 数 学 高考 卷 的 压 轴 ０５
Ｉ ＝Ｏｆ ’ ｉ ｔ ｉ
ｈ ，］＝ －Ｏ３ｆ ￣ｈ ．ｉ
６ ３Ｏ 厘 米 ０
一
醚
题 中就有 过 体 现， 以下 试题 二 ． 即
试题二
２０ 年上海春季数学高考压轴题： ０５
图 ｌ 图 ２
Ｂａ０满足Ｊ ＝ 去（ ＋＿ ， （，） Ｆ ） Ｍ ＿ Ｐ Ｐ Ｂ）求点Ｍ 的
＼ ／
二、 发现： 椭圆内相交弦斜率之积 的有趣结
论 这 两道 高考 试 题 除了在 问题 背景 、试题 结构
坐标 ；
（） ２ 设直线 ｌ Ｙ： ｋｘ＋Ｐ ｌ： ｌ 交椭圆 ｒ ｃ、 于
Ｄ 两 点 ， 直 线 １ Ｙ＝ ｌ ｘ于 点 Ｅ．若 ｌ 交 ２： ｖ ２ ２一
为直径， 而在 △ＰＭⅣ 中， Ｍ 和 ＰⅣ 的斜率之 Ｐ
（） ｋ ・ ２ 一０ ， ａ 若 １ ｋ ＝ 则相交弦的交点 Ｅ必 －
为弦 Ｄ的中点 （ 图１． 如 ） （） ｂ 当直线 Ｚ平行移动时， Ｄ的中点轨迹就 ２
在直线 １上， １ 且满足 ・２ 一 （ １ ｋ ＝ 如图２． ） 经分析可知， 结论 （） ａ 和结论 （） ｂ 互为逆命题，
年 上海 市 数学 高考 的压轴 试 题 时， 结合 过 去 的一 些 解题 经 验， 发现 了椭 圆 中几类 相 交 弦斜 率 之积 的有 趣 的共 性 结 论 ， 由此 深入 ， 究 了有 关 面 并 探 积 最 大 的 椭 圆 内接 三 角 形 和 内接平 行 四边 形 的
一
（） ２ 已知椭 圆 的方程是 ＋ ＝ １ｎ＞ （
骤 ， 在 图 中标 出椭 圆 的 中心． 并 试题 二 的核心 也在 于第 ２ 题 的结论 所给 出 小
般 构 造 方 法 ．本 文 特 将 笔 者 的探 究 心 路 整 理
成 章， 同行 交 流 ． 望 能为 日益 升温 的 高 中数 供 希 学 教学 中的 研 究性 学 习提供 些 教 学 素材 ．
一
和解 题 思路 方面 有 不少 共性 之 外 ， 笔者 还 发现这
两道试题 中涉及的数学核心命题还有以下关联：
～
，
证 明： 为 ＣＤ 的 中点 ； Ｅ
２
。２ ．
０
设椭 圆的方程为 ＋
＝ １ 。 ＞ ｂ＞ （
（） ３对于椭圆Ｆ 上的点Ｑ（ Ｓ ｂ ｉ （ ＜ ａ Ｏ ， ｓ ）０ Ｃ ｎ ０ ＜丌 ， ） 如果椭圆 ｒ 上存在不同的两个交点 尸 、 １ 尸 满 足 Ｐ １ ２ Ｐ ＋ＰＰ ＝ＰＱ， 出求 作 点 、 ２ ２ 写 Ｐ 的