同济大学数值计算课件
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同济大学高等数学1-5极限的运算法则PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
第11页11
极限计算 一些基本极限（已经证实或显著）
第12页12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
分母有理化
解:
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
35第35页
练习 求 lim x ( x2 1 x) x
解:
原式= lim x
x
lim
x 2 1 x x
1 1
1
1 x2
1
2
36第36页
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )
2) x x0 时, 对
0 型 , 约去公因子， 0
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
6 第6页
问: 无穷大是否有类似性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小乘积是什么？
说不清楚，有各种可能
第7页
求
极限计算 一些基本极限（已经证实或显著）
第12页12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
分母有理化
解:
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
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练习 求 lim x ( x2 1 x) x
解:
原式= lim x
x
lim
x 2 1 x x
1 1
1
1 x2
1
2
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内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )
2) x x0 时, 对
0 型 , 约去公因子， 0
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
6 第6页
问: 无穷大是否有类似性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小乘积是什么？
说不清楚，有各种可能
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求
同济高等数学课件(完整版)详细
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
例8
讨论函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导，a , b应取什么值.
《数值计算》课件
《数值计算》PPT课件
数值计算是一门重要的数学领域，涉及到各种数值分析和计算方法的应用。 本课程将介绍数值计算的基本概念、常见方法、实例分析以及误差分析等内 容，帮助学生更好地掌握数值计算技术。
第一部分：引言
课程概述
介绍数值计算课程的目标、 内容和学习方法。
数值计算的基本概念
解释数值计算涉及的基本概 念，如数值方法、误差分析 和数值稳定性。
介绍高斯消元法、LU分解法和特征值计 算等常用的矩阵计算方法。
第三部分：数值计算实例分析
割线法求解方 程
详细解释使用割线法 求解方程的步骤和应 用场景。
三点逼近法求 解曲线拟合
介绍使用三点逼近法 进行曲线拟合的原理 和实际应用。
数值求解微分 方程
探讨数值方法在求解 微分方程和模拟动态 系统中的作用。
数值计算的应用前景
展望数值计算在科学、工程 等领域的未来应用前景。
数值计算的挑战与机遇
分析数值计算所面临的挑战 和带来的机遇，如算法优化 和计算性能提升。
线性回归分析 实例
展示如何使用数值计 算方法进行线性回归 分析以预测未来趋势。
第四部分：数值计算的误差分析
Байду номын сангаас
1 四舍五入误差
探讨数值计算中由于四舍五入引起的误差及 其影响。
2 截断误差
解释截断误差在数值计算中的产生和如何控 制。
3 舍入误差
说明舍入误差是由于浮点数表示而引入的误 差。
4 稳定性与精度
讨论数值计算算法的稳定性和精度对计算结 果的影响。
第五部分：数值计算的软件工具
MATLAB的使用
介绍使用MATLAB软件进行数值计算和数据分析的相 关技巧。
Python的使用
数值计算是一门重要的数学领域，涉及到各种数值分析和计算方法的应用。 本课程将介绍数值计算的基本概念、常见方法、实例分析以及误差分析等内 容，帮助学生更好地掌握数值计算技术。
第一部分：引言
课程概述
介绍数值计算课程的目标、 内容和学习方法。
数值计算的基本概念
解释数值计算涉及的基本概 念，如数值方法、误差分析 和数值稳定性。
介绍高斯消元法、LU分解法和特征值计 算等常用的矩阵计算方法。
第三部分：数值计算实例分析
割线法求解方 程
详细解释使用割线法 求解方程的步骤和应 用场景。
三点逼近法求 解曲线拟合
介绍使用三点逼近法 进行曲线拟合的原理 和实际应用。
数值求解微分 方程
探讨数值方法在求解 微分方程和模拟动态 系统中的作用。
数值计算的应用前景
展望数值计算在科学、工程 等领域的未来应用前景。
数值计算的挑战与机遇
分析数值计算所面临的挑战 和带来的机遇，如算法优化 和计算性能提升。
线性回归分析 实例
展示如何使用数值计 算方法进行线性回归 分析以预测未来趋势。
第四部分：数值计算的误差分析
Байду номын сангаас
1 四舍五入误差
探讨数值计算中由于四舍五入引起的误差及 其影响。
2 截断误差
解释截断误差在数值计算中的产生和如何控 制。
3 舍入误差
说明舍入误差是由于浮点数表示而引入的误 差。
4 稳定性与精度
讨论数值计算算法的稳定性和精度对计算结 果的影响。
第五部分：数值计算的软件工具
MATLAB的使用
介绍使用MATLAB软件进行数值计算和数据分析的相 关技巧。
Python的使用
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
《同济版高数》课件
数学是一门美丽而强大的学 科，它存在于生活的方方面 面，深深影响着我们的世界。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
《同济大学高等数学》PPT课件
p t q t dt
而在整个时间段 在整个时间段
内T1，,T销2售量为
T2 qt dt T1
T内1，,T销2 售收入为
T2 pt qt dt T1
则整个时间段
T内1，,T销2 售商品的平均价格为
T2 pt qt dt p T1 T2 qt dt
T1
将此平均价格称为价格函数 关于权p函t数 在时间
k1的, 加k2权,平均,值kn。
特别，当 ki 1 i 1时, 2，, 加权,平n均值即为
算术平均值。
如果用函数 p来反t映商品一个时间段
内的
销售价格的变化情况，函数 来反映q单t位时间内的
销售量，那么在小时间段
内t，,t销售d量t为
T1,T2
q t dt
在小时间段 t,t内，d销t售收入为
二、加权平均值
在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算 术平均值，而是加权平均值.
下面的例子就说明了加权平均值的作用.
设某商店销售某种商品，以每单位商品售价 元，销
p1
售了 q个1单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价 p2 元，销售了 个q单2位的商品，则在整个销售过程中，
所销售商品的平均价格为
则可以用
1
n
n i1
yi
1 n
n i1
f
xi
来近似表示函数 在f 区x间 上的算a术,平b均值.
自然地，称极限
y lim y0 y1
n
n
为函数 f 在x区间 上的a算,b术平均值.
yn1
若 f 在x 上a可,b积，则
y lim y0 y1 yn1
n
n
i t 周期性非恒定电流 的有效值是这样规定的： T i t R 如果在一个周期 内， 在负荷电阻 上消耗的平均
《数值计算》课件
《数值计算》PPT课件
CATALOGUE
目录
引言数值计算基础线性方程组求解插值与拟合数值积分与微分优化算法数值计算的实践应用
01
引言
数值计算是计算机科学和数学的一个重要交叉领域，主要研究如何利用数学方法解决各种实际问题，特别是在处理大规模、复杂数据时。
本课程将介绍数值计算的基本原理和方法，包括线性代数、微积分、插值、拟合、数值积分、微分方程等。
多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数，使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛，但缺点是当数据点较多时，多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
梯形法
辛普森法
复合梯形法和复合辛普森法
ห้องสมุดไป่ตู้
复合差分法
复合差分法是通过将函数定义域分成若干个子区间，并在每个子区间上分别使用差商法或中心差分法进行计算，然后求和得到函数导数的近似值。
数值微分的基本概念
数值微分是一种近似计算函数导数的方法，通过选取适当的离散点，利用差分公式来逼近函数导数的值。
差商法
差商法是一种简单的数值微分方法，通过计算函数在相邻离散点之间的差商来逼近函数导数的值。
数据拟合
THANKS
感谢观看
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法，常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式，然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于实现，但缺点是当数据点较多时，插值多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
CATALOGUE
目录
引言数值计算基础线性方程组求解插值与拟合数值积分与微分优化算法数值计算的实践应用
01
引言
数值计算是计算机科学和数学的一个重要交叉领域，主要研究如何利用数学方法解决各种实际问题，特别是在处理大规模、复杂数据时。
本课程将介绍数值计算的基本原理和方法，包括线性代数、微积分、插值、拟合、数值积分、微分方程等。
多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数，使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛，但缺点是当数据点较多时，多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
梯形法
辛普森法
复合梯形法和复合辛普森法
ห้องสมุดไป่ตู้
复合差分法
复合差分法是通过将函数定义域分成若干个子区间，并在每个子区间上分别使用差商法或中心差分法进行计算，然后求和得到函数导数的近似值。
数值微分的基本概念
数值微分是一种近似计算函数导数的方法，通过选取适当的离散点，利用差分公式来逼近函数导数的值。
差商法
差商法是一种简单的数值微分方法，通过计算函数在相邻离散点之间的差商来逼近函数导数的值。
数据拟合
THANKS
感谢观看
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法，常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式，然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于实现，但缺点是当数据点较多时，插值多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
现代数值计算 高等学校教材 教学课件 作者 同济大学计算数学教研室 kj3
lk (xi ) = 1, i = k , 0, i = k . (5)
则称lk (x )为节点xi (i = 0, 1, · · · , n)上的拉格朗日插值基函 数。k 为某固定的整数。
§3.1 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日(Lagrange)插 值基函数
很容易找到lk (x )： lk (x ) = Ak (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk −1 )(x − xk +1 ) · · · (x − xn ) 其中Ak 为待定系数。 由条件lk (xk ) = 1 可定Ak ，于是 lk (x ) = =
n j =0 j =k (x −x0 )(x −x1 )···(x −xk −1 )(x −xk +1 )···(x −xn ) (xk −x0 )(xk −x1 )···(xk −xk −1 )(xk −xk +1 )···(xk −xn ) x −xj xk −xj
(6)
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
记所要求的多项式为Ln (x )：
n n n
Ln (x ) =
j =0
yj lj (x ) =
j =0
yj
i =0 i =j
x − xi xj − xi
(7)
当n = 1时，拉格朗日插值多项式(7)为 L1 (x ) = l0 (x )y0 + l1 (x )y1 即 L1 (x ) = x − x1 x − x0 y0 + y1 x 0 − x1 x1 − x0 (8)
第3章 多项式插值与样条插值
同济大学数学系计算数学教研室
本章和第4章论述的主题: 函数表达的问题
则称lk (x )为节点xi (i = 0, 1, · · · , n)上的拉格朗日插值基函 数。k 为某固定的整数。
§3.1 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日(Lagrange)插 值基函数
很容易找到lk (x )： lk (x ) = Ak (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk −1 )(x − xk +1 ) · · · (x − xn ) 其中Ak 为待定系数。 由条件lk (xk ) = 1 可定Ak ，于是 lk (x ) = =
n j =0 j =k (x −x0 )(x −x1 )···(x −xk −1 )(x −xk +1 )···(x −xn ) (xk −x0 )(xk −x1 )···(xk −xk −1 )(xk −xk +1 )···(xk −xn ) x −xj xk −xj
(6)
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
记所要求的多项式为Ln (x )：
n n n
Ln (x ) =
j =0
yj lj (x ) =
j =0
yj
i =0 i =j
x − xi xj − xi
(7)
当n = 1时，拉格朗日插值多项式(7)为 L1 (x ) = l0 (x )y0 + l1 (x )y1 即 L1 (x ) = x − x1 x − x0 y0 + y1 x 0 − x1 x1 − x0 (8)
第3章 多项式插值与样条插值
同济大学数学系计算数学教研室
本章和第4章论述的主题: 函数表达的问题
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《同济版高数》课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
多元函数的极限与连续性
总结词
理解多元函数的极限与连续性的 概念和性质，掌握判断多元函数 极限与连续性的方法。
多元函数的极限
理解极限的定义，掌握计算多元 函数极限的方法，如分别求极限 、累次极限等。
多元函数的连续性
理解连续性的概念，掌握判断多 元函数在某点或某区域的连续性 的方法。
极限的概念与性质
总结词
极限是高数的核心概念，理解极限的概念和性质是学习高数的关键。
详细描述
极限是指当自变量趋近某一值时，因变量的变化趋势。极限的性质包括唯一性 、局部有界性、局部保序性等。这些性质在高数的各个章节中都有重要的应用 。
极限的运算规则
总结词
掌握极限的运算规则是解决极限问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的解法
总结词
掌握一阶常微分方程的解法是解决这类问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的一般形式是dy/dx = f(x, y)，可以 通过分离变量法、积分因子法、公式法等求解。
高阶常微分方程的解法
总结词
理解高阶常微分方程的解法一般形式是y''(x) + p1(x)y'(x) + p2(x)y(x) = f(x)，可以通过降 阶法、变量代换法、积分因式分解法等求解
则更加注重应用和与其他学科的交叉融合，不断涌现出新的分支和领域。
高数与其他学科的联系
要点一
总结词
高数与其他学科有着密切的联系，如物理、工程、计算机 科学等。这些学科在高数的理论和方法的基础上不断发展 。
要点二
详细描述
高数与物理学的联系尤为紧密，许多物理问题的解决需要 高数的理论和方法。例如，在力学、电磁学、光学等领域 中，高数的微积分和向量分析被广泛应用。在工程领域中 ，高数的理论和方法也是解决实际问题的关键工具。计算 机科学在高数的基础上发展出了算法设计和数据结构等重 要领域。此外，经济学、统计学等领域也与高数有着密切 的联系。
同济大学 工程数学 第1章 数值分析与科学计算引论PPT课件
13
2021年3月19日
4.战争的预测与评估问题
甲乙双方军备竞赛的数学模型:
dx dt
cx
ay
(1)
dy
dt
bx
dy
微分方程模型！
14
2021年3月19日
第一章 绪论
❖ 1.1 计算方法的意义 ❖ 1.2 误差及有关概念 ❖ 1.3 数值计算中必须注意的几个原则
1.1 计算方法的意义
主要内容：
❖ 实际计算中， 由于真值 x总是未知的， 通常取
__
(x)
x
__
x x
__
__
x
x
作为 x的相对误差.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，
记作 r ， 即 r
__
.
|x|
根据定义，上例中 x与 的y 相对误差限分别为
x
__
10%,
x
y
__
0.5%
y
可见 _y近_ 似 的y程度比 近_x_似 的程x度好.
❖ 通常准确值x 是未知的， 因此误差 也x 是未知的.
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
上界，即
__
x x x
则 叫做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x，读出和该长
__
度接近的刻度 x，
_x_是
x的近似值， 它的误差限是 0 .5 m，m
于是
课程简介
科学和工程计算是工程类硕士研究生的一 门应用性很强的 重要基础课程，是计算机 科学的重要内容。 科学计算是工程实践的重要工具，本课程 主要研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法 及其理论，简称数值计算方 法或数值分析。
同济大学高等数学第六版上第一章第五节-极限运算法则PPT课件
x l x 0 i f ( m x ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 )),且 Q (x0)0, 则有
f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 .
由无穷小运算法则,得
-
15
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B )0.(1)成立.
[f( x ) g ( x ) ] ( A B ) (A )B ( ) AB
(A B ) 0.
(2)成立.
limf([x)n ][lim f(x)n ].
⑤定理的条件： limf(x),limg(x) 存在
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商
⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
-
18
五、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末 称函数f (x) 当x x0(或x )时为无穷小,
记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
例如,
lim six n0, 函s数 ix n是x当 0时的无 . 穷 x 0
-
2
lim1 0, x x
函数 1是当 x时的无. 穷小 x
lim(1)n 0, n n
数{列 (1)n}是n 当 时的无 . n
f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 .
由无穷小运算法则,得
-
15
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B )0.(1)成立.
[f( x ) g ( x ) ] ( A B ) (A )B ( ) AB
(A B ) 0.
(2)成立.
limf([x)n ][lim f(x)n ].
⑤定理的条件： limf(x),limg(x) 存在
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商
⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
-
18
五、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末 称函数f (x) 当x x0(或x )时为无穷小,
记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
例如,
lim six n0, 函s数 ix n是x当 0时的无 . 穷 x 0
-
2
lim1 0, x x
函数 1是当 x时的无. 穷小 x
lim(1)n 0, n n
数{列 (1)n}是n 当 时的无 . n
(同济大学)高等数学课件D11_1常数项级数
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n 1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 S n(n 1 ,2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
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例6. 利用柯西审敛原理判别级数 解: 对任 p 意 Z,有
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END
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
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注意: nl im un 0并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2nSnn1 1n 12n1 3 2 1 n
k1
这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S.
n1
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说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un(1)2n,vn(1)2n1,
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
S un , vn
n 1
n1
同济大学高等数学ppt第一章
同济大学高等数 学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
同济大学第五高数PPT课件
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx N 2 px
q
;
第20页/共45页
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x 6
x3 ( x 2)( x 3)
数或反三角函数为 u.
第6页/共45页
例5 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
第26页/共45页
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
f ( x)dx ex2 C ,
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A [1 2 3]
Column vector:
A [1 2 3]
Column vector:
A [1; 2;3]
A [1 2 3]'
Matrix:
1 2 3 A 4 5 6 7 8 9
A [1 2 3 456 7 8 9]
二、The future of scientific computing
Sep. 1996, America DOE proposed “ASCI” plan（加速战略计算创新） The object of ASCI: In computer platform with 1014 Flop/s （ 100万亿次/秒）, 3D complete physics processing, complete scalable, high precision scientific simulation computing will be done.
四、How to learn?
The teaching style: idea + practice Point policy : exam + three projects 70 points + 30 points
五、Relation between Matlab and Numerical method
Climate Prediction
The three kernel problems in scientific computing:
suitable mathematical modeling high efficiency numerical method high performance computer platform
一、The position of scientific computing
1.
In scientific research The third eye of the modern scientific research. The three methods of the modern scientific research: Theory Experiment Scientific computing
No.1 in Shanghai(94) Magic cubic( 魔方) 0.18 Pflops/s
high performance computer platform --- Histoty
Top1 (Jun.18, 1993)-------60GFlops Top1 (Jun.18, 2012)-------16,324,751GFlops 19 years--------2.7e5
二、The future of scientific computing
Origin: scientific computing method will take place experiment method in scientific research.
二、The future of scientific computing
2. numerical computing of certain quantities
Differentiation (4) 微分 Integration (5) 积分 Ordinary Differential Equations (8) 常微分方程 Systems of Linear Equations (6) 线性方程组 Locating roots of equations (3)方程求根
Design: using CAD software to design to outer curve of car or plane. The two preliminary factor: beautiful smaller drag force Computing: using computational air dynamics, obtaining the drag force of car or plane. Judgement: if the computed drag force > the required drag force, then repeat step (1),(2); else exit from the iteration loop, stop.
2. In engineering and industrial application ----becoming wider.
The conclusion comes from IT TOP 500.
二、The future of scientific computing
is beautiful but the path is full of difficulties
I can compute traces of planets, but I can‟t imagine madness of human being. ---------------Newton
三、outline of the course
1.
the three preliminary problems of numerical computing: the problem of representing functions within a computer Interpolation (4) 插值 Approximation by Spline Functions (7) 样条 近似 Smoothing of Data and the method of least squares (10) 数据光滑和最小二乘方法
Relation between Calculator and the basic arithmetic operations addition, subtraction, multiplication, division.
Ax b
x A\b
Chapter 1 Basics of Matlab
Let us image the style of scientific research after “ASCI” plan is finished: (As an example, car‟s or plane‟s outer curve design)
An iterative process with three steps
3.numerical computing of random quantities Monte Carlo methods and simulation
四、How to learn?
Mathematics is classified into three categories: Baby mathematics + Cemetery mathematics + Church mathematics Baby mathematics emphasizes on new ideas Cemetery mathematics emphasizes on proof Church mathematics emphasizes on comment
3.Arrays with Special Structure
A 1:10
A 2: 0.5: 4
4. Special Matrices
A eye(3)
A ones(3, 4)
A zeros(2, 4)
5. Matrix Operations
C A B
Importance of scientific computing:
Foreign university, since 1970. Chinese university, since 1990. Tongji University, since 1999.
一、The position of scientific computing
M-file Example
%m-file to compute Fibonacci numbers f=[1 1]; i=1; While f(i)+f(i+1)<1000 f(i+2)=f(i)+f(i+1); i=i+1; end
8. Plotting of Graphs
x=0:0.2:3; y=x.^2&#hod and computer algorithm
陈素琴 同济大学数学系
References:
1. Applied Numerical Methods for Engineering and Scientists, Singiresu S.Rao, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ07458, 2002. 2. Numerical Analysis, David Kincaid, Ward Cheney, Brooks/Cole Publishing Company, 1996.
1.
Matlab: Matrix Laboratory, 1970s Variables （变量） Variables name: start with a letter and can have a length of up to 31 characters. Type: matrices.
2. Arrays and Matrices （数组和矩阵） Row vector: