《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案()命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)

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第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识能否忆起] 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真 的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 二、四种命题及其关系 1．四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若 p，则 q 若 q，则 p 若綈 p，则綈 q 若綈 q，则綈 p
解析：选 C 由 A⊆B，得 A∩B＝A；反过来，由 A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得 A⊆B. 因此，A⊆B 是 A∩B＝A 成立的充要条件． 4 ． “ 在 △ ABC 中 ， 若 ∠ C ＝ 90°， 则 ∠ A 、 ∠ B 都 是 锐 角 ” 的 否 命 题 为 ： ____________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90° ， 结论：∠A、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C≠90° ，则∠A、∠B 不都是锐角”． 答案：“在△ABC 中，若∠C≠90° ，则∠A、∠B 不都是锐角” 5．下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件； ③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件． 解析：①由 2>－3⇒/ 22>(－3)2 知，该命题为假；②由 a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知，该命 题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又 a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为 真命题． 答案：②③
a－4≤2， a－4<2， 即 或 解得－1≤a≤6. a＋4>3 a＋4≥3，
[答案] [－1,6] 由题悟法 利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定 义，其思维方式是： (1)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p⇒q 且 q⇒/ p； (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，则 p⇒/ q，且 q⇒p； (3)若 p 是 q 的充要条件，则 p⇔q. 以题试法 3． (2013· 兰州调研)“x∈{3， a}”是不等式 2x2－5x－3≥0 成立的一个充分不必要条件， 则实数 a 的取值范围是( A．(3，＋∞) 1 C. －∞，－2 ) 1 B. －∞，－2∪[3，＋∞) 1 D. －∞，－2∪(3，＋∞)
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③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”等价． 解析：对于①，若 log2a>0＝log21，则 a>1，所以函数 f(x)＝logax 在其定义域内是增函 数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命 题的逆命题是“若 x＋y 是偶数，则 x、y 都是偶数”，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b ∈M，则 a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④
充分必要条件的判定
典题导入 [例 2] (1)(2012· 福州质检)“x<2”是“x2－2x<0”的( A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ) )
(2)(2012· 北京高考)设 a，b∈R，“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的( A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
[自主解答] ①中否命题为“若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当 m>0 时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆 否命题正确． [答案] B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时， 首先要分清命题的条件与结论， 再比较每个命题的条件 与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的 有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”； 判定命题为真命题时要进行推理， 判定命题 为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 以题试法 1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”；
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 三、充分条件与必要条件 1．如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． 2．如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件． [小题能否全取] 1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( 1 1 A．若 ＝ ，则 x＝y x y )
充分必要条件的应用
典题导入 [例 3] 已知 p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且 q 是 p 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围为________． [自主解答] 设 q，p 表示的范围为集合 A，B， 则 A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)． 由于 q 是 p 的充分而不必要条件，则有 A B，
2
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答] (1)取 x＝0，则 x －2x＝0，故由 x<2 不能推出 x2－2x<0；由 x2－2x<0 得 0<x<2，故由 x2－2x<0 可以推出 x<2.所以“x<2”是“x2－2x<0”的必要而不充分条件． (2)当 a＝0，且 b＝0 时，a＋bi 不是纯虚数；若 a＋bi 是纯虚数，则 a＝0.故“a＝0”是 “复数 a＋bi 是纯虚数”的必要而不充分条件． [答案] (1)B (2)B 由题悟法 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若 p，则 q”及其逆命题的真假进 行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是 B 的什么条件” 中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是 B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以 通过其逆否命题的真假加以区分． 以题试法 2．下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)在△ABC 中，p：A＝B，q：sin A＝sin B； (2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0. 解：(1)若 A＝B，则 sin A＝sin B，即 p⇒q.
a＋b a＋b a＋b 解析： 选 D 由 a>0， b>0 不能得知 > ab， 如取 a＝b＝1 时， ＝ ab； 由 > ab 2 2 2 a＋b 不能得知 a>0，b>0，如取 a＝4，b＝0 时，满足 > ab，但 b＝0.综上所述，“a>0，b>0” 2 a＋b 是“ > ab”的既不充分也不必要条件． 2 4． 已知 p： “a＝ 2”， q： “直线 x＋y＝0 与圆 x2＋(y－a)2＝1 相切”， 则 p 是 q 的( A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
A．若 x ≥1，则 x≥1 或 x≤－1 B．若－1<x<1，则 x2<1 C．若 x>1 或 x<－1，则 x2>1 D．若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1 解析：选 D x2<1 的否定为：x2≥1；－1<x<1 的否定为 x≥1 或 x≤－1，故原命题的逆 否命题为：若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1. 6．(2011· 天津高考)设集合 A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞ 0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 ) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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又若 sin A＝sin B，则 2Rsin A＝2Rsin B，即 a＝b. 故 A＝B，即 q⇒p. 所以 p 是 q 的充要条件． (2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A， q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或 x≤－1}＝B， ∵A B， ∴p 是 q 的充分不必要条件．
解析：选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 π π α＝ ，则 tan α＝1”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠ ”． 4 4 3．(2012· 温州适应性测试)设集合 A，B，则 A⊆B 是 A∩B＝A 成立的( A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
四种命题的关系及真假判断
典题导入 [例 1] 下列命题中正确的是( )
①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若 m>0，则 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题； 1 ④“若 x－3 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题． 2 A．①②③④ C．②③④ B．①③④ D．①④
B．若 x2＝1，则 x＝1
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C．若 x＝y，则 x＝ y
D．若 x<y，则 x <y
2
2
1 1 解析：选 A 由 ＝ 得 x＝y，A 正确，易知 B、C、D 错误． x y π 2．(2012· 湖南高考)命题“若 α＝ ，则 tan α＝1”的逆否命题是( 4 π A．若 α≠ ，则 tan α≠1 4 π C．若 tan α≠1，则 α≠ 4 π B．若 α＝ ，则 tan α≠1 4 π D．若 tan α≠1，则 α＝ 4 )
)
解析：选 D a⊥b⇔2(x－1)＋2＝0，得 x＝0. 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析：选 B 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． a＋b 3．(2013· 武汉适应性训练)设 a，b∈R，则“a>0，b>0”是“ > ab”的( 2 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ) )
1 解析：选 D 由 2x2－5x－3≥0 得 x≤－ 或 x≥3. 2
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∵x∈{3，a}是不等式 2x －5x－3≥0 成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的 互异性 a≠3， 1 ∴a≤－ 或 a>3. 2
2
1．(2012· 福建高考)已知向量 a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则 a⊥b 的充要条件是( 1 A．x＝－ 2 C．x＝5 B．x＝－1 D．x＝0
解析：选 A 由直线 x＋y＝0 与圆 x2＋(y－a)2＝1 相切得，圆心(0，a)到直线 x＋y＝0 的距离等于圆的半径，即有 |a| ＝1，a＝± 2.因此，p 是 q 的充分不必要条件． 2 )
5．(2012· 广州模拟)命题：“若 x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(
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1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分
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(必要)条件． 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的 不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”． 2．从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性， 因而， 当判断原命题的真假比较 困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．