卫星速度模型

数学建模
模型建立
首先引入基向量
ur cos i sin j u sin i cos j
r rur
u u r u ur
则向径可表示为 于是
行星运动的 速度和加速度
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一、万有引力定律
万有引力定律的发现是伟大科学家 牛顿的重大贡献之一。牛顿在开普 勒第三定律基础上运用微积分推导 出了万有引力定律。
开普勒行星运动三定律： 1）各颗行星分别在不同的椭圆轨 道上绕太阳运行，太阳位于这些椭 圆的一个焦点上； 2）每颗行星运行过程中单位时间 内太阳-行星向径扫过的面积是常 数； 3）各颗行星运行周期的平方与其 椭圆轨道长半轴的三次方成正比。
只需再证A2/p是常数即 可得到万有引力定律
1 2 r A 2
4 2 m Mm f r0 : k 2 r0 2 r r
4 2
TA ab
假设1）、3）
A2 p
kM

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二、三级火箭发射卫星（1）
随着航天技术的发展， 卫星发射已成为人类进 行科学探索、征服太空 的重要手段。有关资料 表明，一般都是用三级 火箭发射各种科学卫星。 那么，为什么不用单级 火箭而用三级火箭来发 射卫星呢？
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问题分析
建立极坐标系描述任意一颗行星的椭圆运行轨道 以太阳为坐标原点，r = 0 以椭圆长半轴方向为θ=0， 用向径 r (t) (r(t),θ(t)) 表示行星的位置：
u ur
r
θ
O 太阳
P 行星
r
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模型假设
1）轨道方程 a, b为长短半轴，e为离心率。
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1. 单级火箭发射卫星的可能性 问题分析：
卫星被发射到太空后应在预定高度的轨道上运行，为 克服地球引力和大气阻力的影响，必须保证卫星被发 射时具有足够高的速度。
首先分析卫星所需的速度（即火箭运行的末端速度）， 然后分析火箭如何达到所需的末端速度。
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模型I: 卫星速度模型
模型假设：
ru u r r r 2 r r r ur r 2r u




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模型建立
根据假设
1 2 r A 2
有
=
2 A 4 Ar , r2 r3
2 4 A r 2 ur (4) pr 2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
(3)
将（1）（3）代入（2）
因为 r rur 和 f mr

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模型建立
2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
源自文库gR 2 k M
mv 2 F2 r
mgR 2 F1 r2
卫星所需速度！
卫星在太空中做匀速 圆周运动时的向心力
g g vR R r Rh
受力平衡：F1 = F2 !!
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模型建立与求解
g g vR R r Rh
h (km) v (km/s) 0 7.92
h v
400 7.69 600 7.58
g 9.81m/s2 , R 6400km
800 7.47 1000 7.37 1800 7.00
在星箭分离的瞬间火箭系统整体应该达到 卫星所需的速度。该系统很难达到如此高 的速度要求（接近第一宇宙速度！）
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作业
教材第一章：
1) 地球是半径为 R 的均匀球体 2) 卫星质量 m，在距地面高度为h 的平面轨道上做匀速圆周运动
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模型建立与求解
当卫星在距地球高度为 h 的平面 轨道上做匀速圆周运动时，其受 地球的引力为：
kMm 卫星在地面的重量 mg 2 R
M 地球质量 k万有引力常数 r=R+h卫星的球心距
kMm F1 2 r
p b2 2 r ,p , b a 2 (1 e 2 ) 1 e cos a
1 2）单位时间内向径 r (t) 扫过的面积是常数A，即 r A 2
2
3）行星运行周期 T 满足 T 2 a 3，其中 为绝对常数，与 哪颗行星无关 。 4）行星运行时受的作用力 f 等于行星加速度 r 和质量m的乘 积，即 f mr
（1）
2r 0 r
2 u 2r u r r r r r




2 u r r r r
2 Ae sin p


（2）
对
r
p 1 e cos
求导
r
结合（1）式
4 A2 e 2 A2 ( p r ) r cos 2 pr pr 3
数 学 建 模
哈尔滨理工大学 应用数学系
数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 ——勒内· 笛卡尔
第1章 数学建模概述
主讲人：陈东彦 教授
dychen_2004@aliyun.com
哈尔滨理工大学 应用数学系
第 2 讲 物理领域中的数学建模(I)
一、万有引力定律 二、三级火箭发射卫星（1）