卫星速度模型
2024届高考一轮复习物理教案(新教材人教版浙江专用)：卫星发射、变轨和对接 双星模型
第2讲 卫星发射、变轨和对接 双星模型目标要求 1.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小.2.会处理人造卫星的变轨和对接问题.3.掌握双星、多星系统，会解决相关问题．考点一 宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v 1＝7.9 km/s ，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度(逃逸速度) v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度1．地球的第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( √ ) 2．月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s.( × )3．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( √ )4．若物体的发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体绕太阳运行．( √ )1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G m 地m R 2＝m v 2R ，得v ＝Gm 地R＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s ≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg ＝m v 2R得v ＝gR ＝9.8×6.4×106 m/s ≈7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πR g＝2π 6.4×1069.8s ≈5 075 s ≈85 min.正是近地卫星的周期． 2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．(3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．例1 宇航员在一星球上以速度v 0竖直上抛一质量为m 的物体，经2t 后落回手中，已知该星球半径为R ，忽略该星球自转，则该星球的第一宇宙速度的大小为( ) A.v 0R t B.2v 0Rt C.v 0R 2tD.4v 0Rt答案 A解析 由题意可知星球表面重力加速度为g ＝v 0t ，由万有引力定律知GMmR 2＝mg ＝m v 12R ，解得v 1＝gR ＝v 0Rt，故选A. 例2 (2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )A ．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/sB ．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s ，小于11.2 km/sC ．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶ 5D ．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 答案 C解析 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G MmR 2＝m v 2R ，可得v ＝GMR，故v 火∶v 地＝1∶5，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v 火＝7.95km/s ，故A 错误，C 正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s ，故B 错误；g 地＝G M 地R 地2，g 火＝G M 火R 火2，联立可得g 地>g 火，故D 错误．考点二 卫星的变轨和对接问题1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G Mmr 12＝m v 2r 1，如图所示．(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G Mm r 12<m v A 2r 1，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在椭圆轨道B 点(远地点)将做近心运动，G Mm r 22>m v B 2r 2，再次点火加速，使G Mmr 22＝m v ′2r 2，进入圆轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B . (2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E 1<E 2<E 3.考向1 卫星变轨问题中各物理量的比较例3 (2023·浙江省名校协作体模拟)北京时间2021年10月16日，神舟十三号载人飞船顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入空间站．飞船的某段运动可近似看作如图所示的情境，圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，设圆形轨道Ⅰ的半径为r ，地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球的自转周期为T ，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A 点，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a ，已知引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．载人飞船若要进入轨道Ⅰ，需要在A 点减速B ．根据题中信息，可求出地球的质量M ＝4π2r 3GT2C ．载人飞船在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能D ．空间站在圆轨道Ⅰ上运行的周期与载人飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期之比为r 3∶a 3 答案 D解析 载人飞船若要进入轨道Ⅰ，要做离心运动，需要在A 点点火加速，故机械能增加，则载人飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能，A 、C 错误；设空间站在轨道Ⅰ运行的周期为T 1，由此可得G Mm r 2＝4π2mr T 12，解得M ＝4π2r 3GT 12，题中T 为地球自转的周期，并非在轨道Ⅰ上的周期，不能利用该数据计算地球质量，B 错误；设在轨道Ⅱ上运行的周期为T 2，根据开普勒第三定律有r 3T 12＝a 3T 22，解得T 1∶T 2＝r 3∶a 3，D 正确．例4 嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后，于2020年12月17日成功返回，最终收获1 731克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是( )A ．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期B ．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上运动时的加速度大小C ．在N 点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回D ．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间 答案 C解析 轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A 错误；在轨道Ⅰ上的N 点和轨道Ⅱ上的N 点受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N 点时的加速度相同，故B 错误；从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N 点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ 返回，故C 正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D 错误．考向2 飞船对接问题例5 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时．为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动．对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)．为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( ) A ．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可 B ．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可 C ．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可 D ．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可 答案 D解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.考点三 双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2. ②两星的周期、角速度相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L . ④两星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2).⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G.2．多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律：常见的三星模型①Gm 2(2R )2＋GMm R 2＝ma 向②Gm 2L2×cos 30°×2＝ma 向 常见的四星模型①Gm 2L 2×cos 45°×2＋Gm 2(2L )2＝ma 向②Gm 2L 2×cos 30°×2＋GmM ⎝⎛⎭⎫ L 3 2＝ma 向例6 如图所示，“食双星”是两颗相距为d 的恒星A 、B ，只在相互引力作用下绕连线上O 点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T 两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G ，地球距A 、B 很远，可认为地球保持静止，则( )A ．恒星A 、B 运动的周期为T B ．恒星A 的质量小于B 的质量C ．恒星A 、B 的总质量为π2d 3GT 2D ．恒星A 的线速度大于B 的线速度 答案 C解析 每隔时间T 两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T ′＝2T ，故A 错误； 根据万有引力提供向心力有G m A m B d 2＝m A 4π2(2T )2r A ＝m B 4π2(2T )2r B ，由题图知r A <r B ，则m A >m B ，故B错误；由B 选项得，两恒星总质量为M ＝m A ＋m B ＝π2d 3GT2，故C 正确；根据v ＝ωr ，两恒星角速度相等，则v A <v B ，故D 错误．例7 (多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X －1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )A ．两者之间的万有引力变大B ．黑洞的角速度变大C ．恒星的线速度变大D ．黑洞的线速度变大 答案 AC解析 假设恒星和黑洞的质量分别为M 、m ，环绕半径分别为R 、r ，且m <M ，两者之间的距离为L ，则根据万有引力定律有G MmL 2＝F 向，恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，在刚开始吞噬的较短时间内，M 与m 的乘积变大，它们间的万有引力变大，故A 正确；双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力有G MmL 2＝mω2r ＝Mω2R ，其中R ＋r ＝L ，解得恒星的角速度ω＝G (M ＋m )L 3，双星的质量之和不变，则角速度不变，故B 错误；根据mω2r ＝Mω2R ，得M m ＝rR，因为M 减小，m 增大，所以R 增大，r 减小，由v恒＝ωR ，v 黑＝ωr ，可得v 恒变大，v 黑变小，故C 正确，D 错误．例8 (多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略．设每颗星体的质量均为m ，三颗星体分别位于边长为r 的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动．已知引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．每颗星体所需向心力大小为2G m 2r 2B ．每颗星体运行的周期均为2πr 33GmC ．若r 不变，星体质量均变为2m ，则星体的角速度变为原来的2倍D ．若m 不变，星体间的距离变为4r ，则星体的线速度变为原来的14答案 BC解析 任意两颗星体间的万有引力大小F 0＝G m 2r 2，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F ＝2F 0cos 30°＝3G m 2r 2，A 错误；由牛顿第二定律可得F ＝m (2πT )2r ′，其中r ′＝r 2cos 30°＝3r3，解得每颗星体运行的周期均为T ＝2πr 33Gm ，B 正确；星体原来的角速度ω＝2πT＝3Gm r 3，若r 不变，星体质量均变为2m ，则星体的角速度ω′＝2πT ′＝6Gmr 3，则星体的角速度变为原来的2倍，C 正确；星体原来的线速度大小v ＝2πr ′T ，若m 不变，星体间的距离变为4r ，则星体的周期T ′＝2π(4r )33Gm＝16πr 33Gm ＝8T ，星体的线速度大小v ′＝2πT ′×4r ′＝πr ′T ，则星体的线速度变为原来的12，D 错误．考点四 星球“瓦解”问题 黑洞1．星球的瓦解问题当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即GMmR 2＝mω2R ，得ω＝GMR 3.当ω>GMR 3时，星球瓦解，当ω<GMR 3时，星球稳定运行． 2．黑洞黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的2倍)超过光速时，该天体就是黑洞．考向1 星球的瓦解问题例9 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3答案 C解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G Mm r 2≥mr 4π2T 2，又知M ＝ρ·43πr 3，整理得密度ρ≥3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2 kg/m 3≈5.2×1015 kg/m 3，故选C.考向2 黑洞问题例10 科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的2倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k ，地球的半径为R ，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v 1, 光速为c ，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( ) A.2v 12R kc 2 B.2kc 2R v 12 C.k v 12R 2c 2 D.2k v 12R c2答案 D解析 地球的第一宇宙速度为v 1＝GMR，则黑洞的第一宇宙速度为v 2＝GkMr，并且有2v 2>c ，联立解得r <2k v 12Rc2，所以D 正确，A 、B 、C 错误．课时精练1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A．卫星的动能逐渐减小B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量答案BD解析在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确．2．(2023·浙江省强基联盟统测)2021年5月15日中国的火星探测器天问一号成功在火星表面着陆，如图为天问一号的降落器“祝融”运行的降低轨道示意图，由椭圆轨道1、椭圆轨道2、圆轨道3、最终经过轨道4落在火星表面附近，最后启动主发动机进行反冲，稳稳地落在火星表面，P点是它们的内切点．关于探测器在上述运动的过程中，下列说法中正确的是()A．探测器在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B．探测器在轨道2上由Q点向P点运动的过程中速度增大，机械能减小C．探测器在轨道1上运行经过P点的速度大于在轨道2上运行经过P点的速度D．轨道4可以看作平抛运动的轨迹答案 C解析探测器从轨道1变到轨道2上需要在P点减速，故机械能减小，所以探测器在轨道1和轨道2上运动时的机械能不相等，故C正确，A错误；探测器在同一轨道运行时，机械能不变，则探测器在轨道2上由Q点向P点运动的过程中速度增大，动能增大，势能减小，机可得，械能不变，故B错误；探测器沿轨道4到落到火星表面上是在做近心运动，由a＝G MR2在降落过程中加速度不断增大，平抛运动的加速度不发生改变，故轨道4不能看成平抛运动的轨迹，故D 错误．3.(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的某固定点O 做匀速圆周运动，如图所示．若A 、B 两星球到O 点的距离之比为3∶1，则( )A ．星球A 与星球B 所受引力大小之比为1∶1 B ．星球A 与星球B 的线速度大小之比为1∶3C ．星球A 与星球B 的质量之比为3∶1D ．星球A 与星球B 的动能之比为3∶1 答案 AD解析 星球A 所受的引力与星球B 所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A 正确；双星系统中，星球A 与星球B 转动的角速度相等，根据v ＝ωr 可知，线速度大小之比为3∶1，故B 错误；A 、B 两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得G m A m BL 2＝m A ω2r A ＝m B ω2r B ，则星球A 与星球B 的质量之比为m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝1∶3，故C 错误；星球A 与星球B 的动能之比为E k A E k B ＝12m A v A 212m B v B2＝m A (ωr A )2m B (ωr B )2＝31，故D 正确．4．(2023·浙江诸暨市模拟)如图所示，“嫦娥一号”发射后绕地球椭圆轨道运行，多次调整后进入奔月轨道，接近月球后绕月球椭圆轨道运行，调整后进入月球表面轨道．已知a 是某一地球椭圆轨道的远地点，b 和c 是不同月球椭圆轨道的远月点，a 点到地球中心的距离等于b 点到月球中心的距离．则“嫦娥一号”( )A ．在a 点速度小于地球第一宇宙速度B ．在a 点和在b 点的加速度大小相等C ．在b 点的机械能小于在c 点的机械能D ．在奔月轨道上所受的万有引力一直减小 答案 A解析 地球第一宇宙速度等于卫星在地球表面轨道绕地球做圆周运动的线速度大小，是卫星绕地球运动的最大环绕速度，故“嫦娥一号”在a 点速度小于地球第一宇宙速度，A 正确；在a 点，根据万有引力提供向心力可得GM 地m r 2＝ma a ，解得a a ＝GM 地r 2，在b 点，根据万有引力提供向心力可得GM 月m r 2＝ma b ，解得a b ＝GM 月r 2，由于a 点到地球中心的距离等于b 点到月球中心的距离，且地球质量大于月球质量，可得a a >a b ，B 错误；卫星绕同一中心天体转动时，从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，此过程卫星的机械能增加，可知同一卫星绕同一中心天体转动时，轨道越高，卫星机械能越大，故“嫦娥一号”在b 点的机械能大于在c 点的机械能，C 错误；在奔月轨道上，卫星受到地球的引力越来越小，受到月球的引力越来越大，可知“嫦娥一号”受到的万有引力先减小后增大，D 错误．5．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16.不计其他星球的影响．忽略该星球的自转，则该星球的第二宇宙速度为( ) A.gr 3B.gr 6C.gr 3D.gr答案 A解析 该星球的第一宇宙速度满足G Mmr 2＝m v 12r ，在该星球表面处万有引力等于重力，则有G Mm r 2＝m g6，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v 1＝gr 6，则该星球的第二宇宙速度v 2＝2×gr6＝gr3，故A 正确． 6.(2023·浙江稽阳联谊学校联考)2022年2月27日，长征八号遥二运载火箭在海南文昌点火起飞，经过12次分离，“跳着芭蕾”将22颗卫星分别顺利送入预定轨道，创造了我国一箭多星发射的最高纪录．如图所示，假设其中两颗同轨道卫星A 、B 绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度均为地球半径的116.下列说法正确的是( )A ．卫星A 和卫星B 的质量必须严格相等 B ．卫星在轨道上飞行的速度大于7.9 km/sC ．卫星B 在同轨道上加速就能与卫星A 对接D ．卫星进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的(1617)2答案 D解析 人造卫星的环绕周期、环绕半径等参量与卫星自身质量无关，A 错误；第一宇宙速度为卫星绕地球表面做匀速圆周运动的最大环绕速度，卫星在轨道上飞行的速度小于7.9 km/s ，B 错误；卫星B 在同轨道上加速，会使卫星B 做离心运动，环绕半径变大，无法完成对接，C 错误；卫星在地球表面运动时，受地球的万有引力大小F 1＝G MmR 2，卫星进入轨道后，受地球的万有引力大小F 2＝G Mm(R ＋116R )2，因此卫星进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的(1617)2，D 正确．7.(2023·浙江省联考)2021年5月22日，中国首辆火星车“祝融号”已安全驶离着陆平台，到达火星表面(如图所示)开始巡视探测，已知地球质量约为火星质量的9.28倍，地球的第一宇宙速度约为火星第一宇宙速度的2.2倍．假设地球和火星均为质量分布均匀的球体，不考虑地球和火星的自转，则“祝融号”在地球表面和火星表面所受万有引力大小的比值约为( )A ．0.4B ．0.9C ．2.5D ．9 答案 C解析 设祝融号质量为m ，地球质量为M ，地球的第一宇宙速度为v ，地球的半径为R ，则GMm R 2＝m v 2R ，得R ＝GM v 2，祝融号在地球表面所受万有引力大小为F ＝GMm R 2＝GMm (GM v 2)2＝m v 4GM，设火星质量为M 1，火星的第一宇宙速度为v 1，火星的半径为R 1，同理可得祝融号在火星表面所受万有引力大小为F 1＝m v 14GM 1，所以F F 1＝v 4M 1v 14M ＝(2.2)4×19.28≈2.5，故A 、B 、D 错误，C 正确．8.(2023·浙江绍兴市柯桥区模拟)2022年4月16日，神舟十三号与空间站天和核心舱分离，正式踏上回家之路，分离过程简化如图所示，脱离前天和核心舱处于半径为r 1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T 1，从P 点脱离后神舟十三号飞船沿轨道Ⅱ返回半径为r 2的近地圆轨道Ⅲ上，Q 点为轨道Ⅱ与轨道Ⅲ的切点，在轨道Ⅲ上运行周期为T 2，然后再多次调整轨道，绕行5圈多点顺利着落在东风着陆场，根据信息可知( )A ．T 1∶T 2＝r 1∶r 2B ．可以估算地球的密度为ρ＝3πGT 12C ．飞船在轨道Ⅱ上Q 点的速率要大于在轨道Ⅱ上P 点的速率D ．飞船从P 到Q 过程中与地心连线扫过的面积与天和核心舱与地心连线在相同时间内扫过的面积相等 答案 C解析 根据开普勒第三定律有r 13T 12＝r 23T 22，得T 1∶T 2＝r 13∶r 23，故A 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 22＝m 4π2T 22r 2，由于轨道Ⅲ为近地轨道，则地球体积为V ＝43πr 23，得ρ＝M V ＝3πGT 22，故B 错误；飞船沿轨道Ⅱ运动过程中满足机械能守恒定律，Q 点的引力势能小于P 点的引力势能，故Q 点的动能大于P 点的动能，即Q 点的速度大于P 点的速度，故C 正确；根据开普勒第二定律，同一环绕天体与地心连线在相同时间内扫过的面积相等，飞船与核心舱在不同轨道运动，故D 错误．9.(2023·浙江省十校联盟第二次联考)如图所示，“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室对接，对接后飞行轨道高度与“天宫二号”圆轨道高度相同．已知引力常量为G ，地球半径为R .对接前“天宫二号”的轨道半径为r 、运行周期为T .由此可知( )A ．“天舟一号”货运飞船是从与“天宫二号”空间实验室同一高度轨道上加速追上“天宫二号”完成对接的B ．地球的质量为4π2r 2GT2C ．对接后，“天舟一号”与“天宫二号”组合体的运行周期等于TD ．地球的第一宇宙速度为2πRT答案 C解析 根据GMmr 2＝m v 2r ，卫星加速，则所需向心力大于万有引力，卫星做离心运动，则“天舟一号”货运飞船是从比“天宫二号”空间实验室轨道低的轨道上加速追上“天宫二号”完成对接的，故A 错误；根据万有引力提供向心力，有GMm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3GT 2，故B 错误；对接后“天舟一号”飞行轨道高度与“天宫二号”运行圆轨道高度相同，“天舟一号”与“天宫二号”组合体的运行周期等于T ，故C 正确；根据GMmR 2＝m v 12R ，可得v 1＝GMR，把M ＝4π2r 3GT 2代入解得v 1＝2πTr 3R，故D 错误． 10．(2023·辽宁省模拟)我国成功地发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步．已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T ，地球表面的重力加速度为g ，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为( ) A.gT 2π B.5gT10πC.5gT5πD.25gT 5π答案 B解析 由G MmR 2＝m v 2R，得第一宇宙速度v ＝GMR，设地球的第一宇宙速度为v 1，由g ＝ωv 1＝2πT v 1，得v 1＝gT2π，设火星的第一宇宙速度为v 2，则v 2v 1＝M 2M 1·R 1R 2，代入数据解得v 2＝55v 1＝5gT10π，B 项正确．11．黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．已知某黑洞的逃逸速度为v ＝2GMR，其中引力常量为G ，M 是该黑洞的质量，R 是该黑洞的半径．若天文学家观测到与该黑洞相距为r 的天体以周期T 绕该黑洞做匀速圆周运动，光速为c ，则下列关于该黑洞的说法正确的是( )。
卫星的近地点和远地点速度公式
卫星的近地点和远地点速度公式
1. 卫星运动的基本原理。
- 根据开普勒第二定律，卫星与中心天体的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
设卫星在近地点的速度为v_1，近地点到中心天体的距离为r_1；在远地点的速度为v_2，远地点到中心天体的距离为r_2。
- 由于卫星在运动过程中机械能守恒，其机械能E = (1)/(2)mv^2-(GMm)/(r)（其中m为卫星质量，v为卫星速度，r为卫星到中心天体的距离，G为引力常量，M 为中心天体质量）是一个常量。
2. 近地点和远地点速度公式推导。
- 根据开普勒第二定律可得v_1r_1 = v_2r_2，即v_2=(r_1)/(r_2)v_1。
- 由机械能守恒定律E_1 = E_2，(1)/(2)mv_1^2-(GMm)/(r_1)=(1)/(2)mv_2^2-(GMm)/(r_2)。
- 将v_2=(r_1)/(r_2)v_1代入机械能守恒方程(1)/(2)mv_1^2-
(GMm)/(r_1)=(1)/(2)m((r_1)/(r_2)v_1)^2-(GMm)/(r_2)。
- 化简可得v_1=√(frac{2GM r_2){(r_1 + r_2)r_1}}，v_2=√(frac{2GM r_1){(r_1 + r_2)r_2}}。
卫星圆周运动公式
卫星圆周运动公式卫星圆周运动公式描述了卫星在绕地球运动中所遵循的轨迹和速度变化规律。
本文将从地球卫星的概念入手，介绍卫星圆周运动的特征和公式推导，并探讨卫星圆周运动的应用。
地球卫星的概念地球卫星是指绕地球运动的天体，包括自然卫星和人造卫星。
自然卫星指的是月球，而人造卫星则是人类发射到太空中，绕地球运动的人造天体。
卫星可以以不同的轨道运动，常见的轨道有圆形轨道、椭圆轨道和同步轨道等。
圆周运动的特征圆周运动是指物体在绕着一个固定点或轴旋转时所遵循的运动轨迹为圆形的运动方式。
卫星圆周运动的特征主要有以下几点：1.轨道半径：卫星绕地球运动的轨道半径是一个恒定值，即圆心到卫星的距离。
轨道半径决定了卫星绕地球运动的圆周的尺寸大小。
2.周期：卫星圆周运动的周期是其绕地球一周所花费的时间，即卫星绕地球一圈的时间。
周期也是一个恒定值，与轨道半径相关。
周期长短会影响卫星的运动轨迹。
3.线速度：卫星绕地球运动的速度是线速度，它是指卫星在圆周运动中单位时间内通过的路程，为圆周长与周期之比。
在圆周运动中，线速度是恒定的。
卫星圆周运动公式的推导卫星圆周运动公式是通过对卫星运动轨迹和速度变化规律的分析，得出的描述卫星圆周运动的数学模型。
根据牛顿第二定律和万有引力定律可推导出以下卫星圆周运动公式：F = maF = GmM/r²由上述公式可得到以下公式：a = GM/r²v = 2πr/TF：受力，单位为牛。
m：卫星质量，单位为千克。
a：卫星圆周运动的加速度，单位为米/秒²。
G：万有引力常量，单位为牛•米²/千克²。
M：地球质量，单位为千克。
r：卫星绕地运动的轨道半径，单位为米。
T：卫星圆周运动的周期，单位为秒。
v：卫星圆周运动的线速度，单位为米/秒。
卫星圆周运动公式的应用卫星圆周运动公式在许多领域都有应用，以下是其中的几个方面：1.卫星通讯：卫星通讯是指通过卫星传输信号进行通讯，圆周运动公式可用于计算卫星通讯的时间和速度。
同步近地卫星模型赤道物体转动模型及其物理量的比较 高三物理一轮复习专题
一.必备知识1.人造卫星的运动规律(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看成质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路：①万有引力提供向心力，即G Mm r2＝ma n 。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm R2＝mg 或gR 2＝GM (R 、g 分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)2．近地卫星及其速度大小近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s 。
这个速度值又叫第一宇宙速度/s ，人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
计算方法(1)由G mm 地R 2＝m v 2R ，解得：v ＝Gm 地R； (2)由mg ＝m v 2R，解得：v ＝gR 。
4．地球同步卫星的特点 (1) 不偏不倚：轨道平面一定，轨道平面和赤道平面重合绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
(2) 不快不慢：周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86400 s 。
角速度一定：与地球自转的角速度相同。
线束度和加速度大小一定.设其运行速度为v ，由于G Mm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h ，所以v ＝GMR ＋h＝ gR 2R ＋h＝3.1×103 m/s 。
由G Mm (R ＋h )2＝ma 得a ＝G M (R ＋h )2＝g h ＝0.23 m/s 2。
（3) 不高不低：高度一定，据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝ 3GMT 24π2＝4.23×104km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R (为恒量)。
转道半径一定。
5．极地卫星极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
物理-人造卫星宇宙速度
人造卫星 宇宙速度物理考点 1.会比较卫星运动的各物理量之间的关系.2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小.3.会分析天体的“追及”问题．考点一 卫星运行参量的分析基础回扣1．天体(卫星)运行问题分析将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．2．基本公式：(1)线速度：G ＝m ⇒v ＝Mmr 2v 2r GM r (2)角速度：G ＝mω2r ⇒ω＝Mmr 2GMr 3(3)周期：G ＝m 2r ⇒T ＝2πMmr 2(2πT )r 3GM(4)向心加速度：G ＝ma ⇒a ＝Mmr 2GMr 2结论：r 越大，v 、ω、a 越小，T 越大．技巧点拨1．公式中r 指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R 通常指中心天体的半径，有r ＝R ＋h .2．近地卫星和同步卫星卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．(1)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r ＝R (地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v ＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T ＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．(2)同步卫星①轨道平面与赤道平面共面．②周期与地球自转周期相等，T ＝24 h.③高度固定不变，h ＝3.6×107 m.④运行速率均为v ＝3.1×103 m/s. 卫星运行参量与轨道半径的关系例1 (2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图1所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )图1A ．轨道周长之比为2∶3B ．线速度大小之比为∶32C ．角速度大小之比为2∶323D ．向心加速度大小之比为9∶4答案 C解析 轨道周长C ＝2πr ，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A 错误；根据万有引力提供向心力有＝m ，得v ＝，得＝＝，故B 错误；由万有引力提供GMmr 2v 2r GMr v 火v 地r 地r 火23向心力有＝mω2r ，得ω＝，得＝＝，故C 正确；由＝ma ，得GMm r 2GMr 3ω火ω地r 地3r 火32233GMmr 2a ＝，得＝＝，故D 错误．GMr 2a 火a 地r 地2r 火249 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较例2 (2019·青海西宁市三校联考)如图2所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c 为地球的同步卫星．下列关于a 、b 、c 的说法中正确的是( )图2A ．b 卫星转动线速度大于7.9 km/sB ．a 、b 、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为a a ＞a b ＞a cC ．a 、b 、c 做匀速圆周运动的周期关系为T a ＝T c <T bD ．在b 、c 中，b 的线速度大答案 D解析 b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G ＝m ，MmR 2v 2R 解得v ＝，又＝mg ，可得v ＝，与第一宇宙速度大小相同，即v ＝7.9 km/s ，故GMR GMmR 2gR A 错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa ＝ωc ，根据a ＝rω2知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度，根据a ＝得b 的向心加速度大于c 的向心加速度，GMr 2即a b ＞a c ＞a a ，故B 错误；卫星c 为地球同步卫星，所以T a ＝T c ，根据T ＝2π得c 的周r 3GM 期大于b 的周期，即T a ＝T c ＞T b ，故C 错误；在b 、c中，根据v ＝，可知b 的线速度GMr 比c 的线速度大，故D 正确．1.(卫星运行参量的比较)(2020·浙江1月选考·9)如图3所示，卫星a 、b 、c 沿圆形轨道绕地球运行．a 是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km 处运行；b 是低轨道卫星，距地球表面高度与a 相等；c 是地球同步卫星，则( )图3A ．a 、b 的周期比c 大B ．a 、b 的向心力一定相等C ．a 、b 的速度大小相等D ．a 、b 的向心加速度比c 小答案 C解析 根据万有引力提供向心力有＝m ＝mω2r ＝m r ＝ma ，可知v ＝，ω＝GMmr 2v 2r 4π2T 2GM r，T ＝，a ＝，由此可知，半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周GM r 32πr 3GM GMr 2期越长，因为a 、b 卫星的半径相等，且比c 小，因此a 、b 卫星的线速度大小相等，向心加速度比c 大，周期小于卫星c 的周期，选项C 正确，A 、D 错误；由于不知道三颗卫星的质量关系，因此不清楚向心力的关系，选项B 错误．2．(同步卫星)关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的说法，正确的是( )A ．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍B ．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播C ．它以第一宇宙速度运行D ．它运行的角速度与地球自转角速度相同答案 D解析 由G ＝m 得r ＝，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错误；同步卫星的轨道Mmr 2v 2r GMv 2平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错误；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错误；所谓“同步”就是卫星保持与赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 正确．3．(卫星运动分析)(2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 h C ．8 h D ．16 h 答案 B解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k 可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫r 3T 2星周期最小时，由数学几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．卫星的轨道半径为r ＝＝2R Rsin 30°由＝得r 13T 12r 23T 22＝(6.6R )3242(2R )3T 22解得T 2≈4 h ．考点二 宇宙速度的理解和计算基础回扣第一宇宙速度(环绕速度)v 1＝7.9 km/s ，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度(脱离速度)v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度技巧点拨1．第一宇宙速度的推导方法一：由G ＝m ，得v 1＝＝ m/s ≈7.9×103MmR 2v 12R GMR 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s.方法二：由mg ＝m 得v 1＝＝ m/s ≈7.9×103 m/s.v 12R gR 9.8×6.4×106第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2π＝5 078 s ≈85 min.Rg 2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．(2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．(3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．例3 (2020·北京卷·5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )A ．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B ．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C ．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D ．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案 A解析 火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B 错误；由G ＝m 得，v 火＝＝＝v 地，故火星的第一宇宙速MmR 2v 2R GM 火R 火0.1M 地G0.5R 地55度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；由＝mg 得，g 火＝G ＝G ＝0.4gGMmR 2M 火R 火20.1M 地(0.5R 地)2地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D 错误．4．(第一宇宙速度的计算)地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s ，已知月球质量约为地球质量的，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是( )181A ．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s B ．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s C ．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/sD ．“近月卫星”的速度比“近地卫星”的速度大答案 C解析 根据第一宇宙速度v ＝，月球与地球的第一宇宙速度之比为GMR ＝＝＝，月球的第一宇宙速度约为v 2＝v 1＝×8 km/s ≈1.8 km/s ，在月球上v 2v 1M 2R 1M 1R 2481292929发射卫星的最小速度约为1.8 km/s ，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s ，“近月卫星”的速度为1.8 km/s ，小于“近地卫星”的速度，故C 正确．5．(宇宙速度的理解和计算)宇航员在一行星上以速度v 0竖直上抛一质量为m 的物体，不计空气阻力，经2t 后落回手中，已知该星球半径为R .求：(1)该星球的第一宇宙速度的大小；(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r 时的引力势能E p ＝－G .(G 为万有引力常量)mMr 答案 (1) (2)v 0Rt 2v 0R t解析 (1)由题意可知星球表面重力加速度为g ＝v 0t由万有引力定律知mg ＝m v 12R解得v 1＝＝.gR v 0Rt (2)由星球表面万有引力等于物体重力知＝mgGMmR 2又E p ＝－G mMR解得E p ＝－m v 0Rt 由机械能守恒有m v 22－＝012m v 0R t 解得v 2＝.2v 0Rt 考点三 天体的“追及”问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3…)．2．相距最远当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．例4 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )A ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年B ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年C ．木星运行的加速度比地球的大D ．木星运行的周期比地球的小答案 B解析 地球公转周期T 1＝1年，由T ＝2π可知，土星公转周期T 2＝T 1≈11.18r 3GM 125年．设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得2πT 12πT 2t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A 错误，B 正确；设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a .对行星由牛顿第二定律可得G ＝ma ＝m r ，解得a ＝，T ＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳Mmr 24π2T 2GMr 2r 3GM 距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C 、D 错误．6．(天体的“追及”问题)(多选)(2020·山西太原市质检)如图4，在万有引力作用下，a 、b 两卫星在同一平面内绕某一行星c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )图4A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次答案 AD解析 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 对，B 错；设图示位置ac 连线与bc 连线的夹角为θ<，b 转动一周(圆心角为π22π)的时间为T b ，则a 、b 相距最远时：T b －T b ＝(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3…)，可知2πTa 2πTb n <6.75，n 可取7个值；a 、b 相距最近时：T b －T b ＝(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3…)，可2πTa 2πTb 知m <6.25，m 可取7个值，故在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，C 错，D 对．课时精练1．(2020·天津卷·2)北斗问天，国之夙愿．如图1所示，我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )图1A．周期大B．线速度大C．角速度大D．加速度大答案 A解析 根据万有引力提供向心力有G＝m()2r、G＝m、G＝mω2r、G＝maMmr22πTMmr2v2rMmr2Mmr2可知T＝2π、v＝、ω＝、a＝，因为地球静止轨道卫星的轨道半径大于近r3GMGMrGMr3GMr2地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的周期大、线速度小、角速度小、向心加速度小，故选项A正确．2．(2020·四川泸州市质量检测)我国实施空间科学战略性先导科技专项计划，已经发射了“悟空”“墨子”“慧眼”等系列的科技研究卫星，2019年8月31日又成功发射一颗微重力技术实验卫星．若微重力技术实验卫星和地球同步卫星均绕地球做匀速圆周运动时，微重力技术实验卫星的轨道高度比地球同步卫星低，下列说法中正确的是( )A．该实验卫星的周期大于地球同步卫星的周期B．该实验卫星的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度C．该实验卫星的线速度小于地球同步卫星的线速度D．该实验卫星的角速度小于地球同步卫星的角速度答案 B解析 万有引力提供向心力，由G＝m2r＝m＝mω2r＝ma，解得：v＝，T＝2πMmr2(2πT)v2rGMr ，ω＝，a＝.实验卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，可知该实验r3GMGMr3GMr2卫星周期比地球同步卫星的小，向心加速度、线速度、角速度均比地球同步卫星的大，故选项B 正确，A 、C 、D 错误．3.(2019·天津卷·1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”，如图2.已知月球的质量为M 、半径为R .探测器的质量为m ，引力常量为G ，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r 的匀速圆周运动时，探测器的( )图2A ．周期为B ．动能为4π2r 3GM GMm2RC ．角速度为D ．向心加速度为Gmr 3GMR 2答案 A解析 嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，由＝mω2r ＝m ＝m r ＝ma ，解得ω＝、v ＝、T ＝、a ＝，GMmr 2v 2r 4π2T 2GMr 3GMr 4π2r 3GM GMr 2则嫦娥四号探测器的动能为E k ＝m v 2＝，由以上可知A 正确，B 、C 、D 错误．12GMm2r 4．(2019·北京卷·18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星( )A ．入轨后可以位于北京正上方B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度C ．发射速度大于第二宇宙速度D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少答案 D解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A 项错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，GMmr 2m v 2r 卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C 项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D 正确．5．(多选)(2020·江苏卷·7改编)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有( )A ．由v ＝可知，甲的速度是乙的倍gr 2B ．由a ＝ω2r 可知，甲的向心加速度是乙的2倍C ．由F ＝G 可知，甲的向心力是乙的Mm r 214D ．由＝k 可知，甲的周期是乙的2倍r 3T 22答案 CD解析 人造卫星绕地球做圆周运动时有G ＝m ，即v ＝，因此甲的速度是乙的Mmr 2v 2r GMr 倍，故A 错误；由G ＝ma 得a ＝，故甲的向心加速度是乙的，故B 错误；由22Mmr 2GMr 214F ＝G 知甲的向心力是乙的，故C 正确；由开普勒第三定律＝k ，绕同一天体运动，k Mmr 214r 3T 2值不变，可知甲的周期是乙的2倍，故D 正确．26．(2020·全国卷Ⅲ·16)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K 倍．已知地球半径R 是月球半径的P 倍，地球质量是月球质量的Q 倍，地球表面重力加速度大小为g .则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )A. B. C. D.RKg QP RPKgQ RQgKP RPgQK答案 D解析 在地球表面有G ＝mg ，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时有M 地mR 2G ＝m ′，根据已知条件有R ＝PR 月，M 地＝QM 月，联立以上各式解得v ＝M 月m ′(KR 月)2v 2KR 月，故选D.RPgQK 7．如图3，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图3A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大答案 A8．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地2球表面重力加速度g 的.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )16A. B.gr 3gr 6C. D.gr 3gr 答案 A解析 该星球的第一宇宙速度满足：G ＝m ，在该星球表面处万有引力等于重力：G Mmr 2v 12r ＝m ，由以上两式得v 1＝，则第二宇宙速度v 2＝×＝，故A 正确．Mmr 2g6gr62gr6gr39．(2019·安徽宣城市第二次模拟)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，卫星a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图4，则有( )图4A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6D ．d 的运动周期有可能是20 h 答案 B解析 同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度．由G ＝mg ，解得：g ＝，卫星Mmr 2GMr 2的轨道半径越大，向心加速度越小，则c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，则a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由G ＝m ，解得：v ＝Mmr 2v 2r ，卫星的半径r 越大，速度v 越小，所以b 的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，GMr故B 正确；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是×4＝，故C 2π24π3错误；由开普勒第三定律＝k 可知：卫星的半径r 越大，周期T 越大，所以d 的运动周期r 3T 2大于c 的周期24 h ，即不可能是20 h ，故D 错误．10.(多选)(2019·贵州毕节市适应性监测(三))其实地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们作出了不懈努力．如图5所示，1767年欧拉推导出L 1、L 2、L 3三个位置，1772年拉格朗日又推导出L 4、L 5两个位置．现在科学家把L 1、L 2、L 3、L 4、L 5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是( )图5A ．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律B ．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同C ．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L 1点开展工程任务实验D ．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L 2点开展工程任务实验答案 BD解析 在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，在地球和月球的万有引力作用下绕地月双星系统的中心做匀速圆周运动，A 错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明它们的角速度一样，因此周期也一样，B 正确；“嫦娥四号”探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，L 2在月球的背面，因此应选在L 2点开展工程任务实验，所以C 错误，D 正确．11.经长期观测发现，A 行星运行轨道的半径近似为R 0，周期为T 0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t 0(t 0＞T 0)发生一次最大的偏离，如图6所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知行星B ，已知行星B 与行星A 同向转动，则行星B 的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为( )图6A ．R ＝R 0B ．R ＝R 03t 02(t 0－T 0)2t 0t 0－T 0C ．R ＝R 0D ．R ＝R 0t 03(t 0－T 0)3t 0t 0－T 0答案 A解析 A 行星运行的轨道发生最大偏离，一定是B 对A 的引力引起的，且B 行星在此时刻对A 有最大的引力，故此时A 、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒星的同一侧，设B 行星的运行周期为T ，运行的轨道半径为R ，根据题意有t 0－t 0＝2π，所以T ＝，由开2πT 02πT t 0T 0t 0－T 0普勒第三定律可得＝，联立解得R ＝R 0，故A 正确，B 、C 、D 错误．R 03T 02R 3T 23t 02(t 0－T 0)212．(2019·河南郑州市第一次模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落实验，测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ，已知月球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G .求：(1)月球表面重力加速度的大小；(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度的大小；(3)月球同步卫星离月球表面高度．答案 (1) (2) (3)－R2ht 22R 2hGt 22hRt 23T 2R 2h2π2t 2解析 (1)由自由落体运动规律有：h ＝gt 2，所以有：g ＝.122ht 2(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg ＝m ，v 12R 所以：v 1＝＝gR 2hRt 2在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则有：mg ＝GMm R 2所以M ＝.2R 2hGt 2(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：＝m (R ＋h ′)GMm(R ＋h ′)24π2T 2解得h ′＝－R .3T 2R 2h2π2t 213.(多选)(2019·全国卷Ⅰ·21)在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图7中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a －x 关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M 的半径是星球N 的3倍，则( )图7A ．M 与N 的密度相等B ．Q 的质量是P 的3倍C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍答案 AC解析 设物体P 、Q 的质量分别为m P 、m Q ；星球M 、N 的质量分别为M 1、M 2，半径分别为R 1、R 2，密度分别为ρ1、ρ2；M 、N 表面的重力加速度分别为g 1、g 2.在星球M 上，弹簧压缩量为0时有m P g 1＝3m P a 0，所以g 1＝3a 0＝G ，密度ρ1＝＝；在星球N 上，M 1R 12M 143πR 139a 04πGR 1弹簧压缩量为0时有m Q g 2＝m Q a 0，所以g 2＝a 0＝G ，密度ρ2＝＝；因为M 2R 22M 243πR 233a 04πGR 2R 1＝3R 2，所以ρ1＝ρ2，选项A 正确；当物体的加速度为0时有m P g 1＝3m P a 0＝kx 0，m Q g 2＝m Q a 0＝2kx 0，解得m Q ＝6m P ，选项B 错误；根据a －x 图线与x轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，E km P ＝m P a 0x 0，E km Q ＝m Q a 0x 0，所32以E km Q ＝4E km P ，选项C 正确；根据运动的对称性可知，Q 下落时弹簧的最大压缩量为4x 0，P 下落时弹簧的最大压缩量为2x 0，选项D 错误．。
数学建模-三级火箭发射卫星
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
“卫星”的五大运动模型
“卫星”的五大运动模型作者：吴卫华来源：《理科考试研究·高中》2014年第06期万有引力定律的应用与天体的匀速圆周运动问题密切相关，因而形成了《万有引力定律》应用的五大运动模型．这是近年来高考考查的热点问题．把握住五大运动模型的运动学和动力学特征，找出它们的区别和联系，是解答五大运动模型题的关键所在．现以地球的卫星为例，简述五大运动模型．模型１赤道上随地球一起自传的物体地球赤道上放置的一切物体，均以地球自转的角速度（或周期、频率、转速）随地球一起做匀速圆周运动．其做圆周运动的向心力由万有引力和地面的支持力的合力提供.以卫星放在赤道上为例，应有GMmR2-N=mRω2=mR4π2T2=…这里N=mg，向心加速度a=ω2·R20≈0.034 m/s2远小于重力加速度g=9.8 m/s2.所以计算时，常不考虑地球自转的影响，近似认为重力和万有引力大小相等．模型2近地轨道卫星所谓近地轨道指卫星距地面的高度可以忽略不计，其轨道半径可近似认为等于地球半径，即r＝R．万有引力完全提供它做匀速圆周运动的向心力，即GMmR2=mv2R=mRω2=mR4π2T2=…由于在地球表面附近重力等于万有引力，即mg=GMmR2，即GM=gR2（此式常被称为黄金代换式，其中g=9.8 m/s2,近似计算时取g=10 m/s2），因而，也可说成重力完全提供向心力，即mg=mv2R=mRω2=mR4π2T2=…由上述不难得出：1.第一宇宙速度（或环绕速度或最大运行速度、或最小发射速度）V1=GMR≈gR=7.9 km/s2.在轨道上正常运行的近地轨道卫星及卫星内的一切物体均处于完全失重状态．3.如果知道近地卫星的周期T，根据G·ρ43πR3·mR2=mR4π2T2得出地球的密度为ρ=3πGT2模型3远地轨道卫星所谓远地轨道指卫星距地面的高度h较大，其轨道半径等于地球半径R与高度h之和，即r=R+h．它做匀速圆周运动的向心力由万有引力完全提供或由所在高处的重力完全提供，即GMmr2=mv2r=mrω2=mg4π2T2=…或mg′=mv2r=mrω2=mr4π2T2…由上可知：1.各物理量随轨道半径r（或高度h)的变化而变化．运行速度v=GMr、角速度ω=GMr3 、周期T=2πr3GM…2.在轨道上正常运行的远地轨道卫星及卫星内的一切物体均处于完全失重状态．模型4同步卫星（静止轨道卫星）同步卫星指发射在赤道上空，一定高度，以与地球自转相同的角速度（或周期等）随地球一起做匀速圆周运动的卫星．其做匀速圆周运动的向心力由万有引力（或其所在处的重力）完全提供．即：GMm(R+h)2 =mv2R+h=m(R+h)ω2=m(R+h)4π2T2=…或mg′=mV2R+h=m(R+h)ω2=m(R+h)4π2T2…由上可知：1.同步卫星的轨道半径r=4.24×104km,h=r-R≈6R周期T=24h=86400 s、线速度v=3.07 km/s等均为定值．2.在轨道上正常运行的同步卫星及卫星内的一切物体均处于完全失重状态．模型5双星、三星系统天体运动中，将两个彼此距离较近的行星称为双星（其它星体对它们的影响可忽略），它们在二者相互的万有引力作用下，以二者连线上的某一点O为圆心，以共同的角速度ω（或周期）做匀速圆周运动．设双星中二星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，它们之间的距离为L，如图所示．有r1+r2=L①Gm1m2L2=m1r1ω2②Gm1m2L2=m2r2ω2③由②、③得r1r2=m2m1④由①、④得r1=m2Lm1+m2，r2=m1Lm1+m2，则ω=G(m1+m2)L2，T=2πL3G(m1+m2).至于“三星系统”与“四星系统”，基本原理与双星类似，即（1）各卫星以相同的角速度或周期做匀速圆周运动，（2）各卫星绕系统的质心做圆周运动的向心力由其他卫星引力的合力提供.例同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列各比例正确的是().A.a1a2=R2r2B.a1a2=rRC.v1v2=rRD.v1v2=Rr解析此题是一道设计巧妙的易错题．一是本题涉及了三大运动模型；二是用同样脚码表示不同模型的物理量，这是一个导致出错的陷阱．要顺利解答此类题目，明确运动模型及其联系和区别是关键．同步卫星和地球赤道上的物体具有相同的角速度（或周期等）；同步卫星、近地轨道卫星和远地轨道卫星它们的运动原理均为万有引力（或重力）完全提供做匀速圆周运动的向心力，但它们所受的重力是有区别的．而第一宇宙速度等于近地轨道卫星的运行速度，是最小的发速度，又是最大的环绕速度．由上述分析可知，a1＝ω2r，a2＝ω2R，所以a1a2=rR．而GMm1r2＝m1v21r，GMm2R2＝m2v22R，所以v1v2=Rr．故选项B、D正确．。
分清同步卫星、近地卫星与赤道物体
分清同步卫星、近地卫星与赤道物体同步卫星、近地卫星与赤道物体是高中物理必修1天体运动中的几个典型模型，对这类模型理解不透彻，就会经常出现知识概念混淆、选用公式不当的情况。
对同步卫星、近地卫星与赤道物体模型做一番对比，加深理解三者的相同点和不同点，是解决此类问题的关键。
一、厘清模型不同1.同步卫星：运行周期和地球自转周期相同的人造地球卫星，即运行周期T=24h，它与地球保持相对静止，总是位于赤道的正上方。
2.近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径，即轨道半径r=R（R为地球半径）。
3.赤道物体：静止在地球赤道的表面上，随地球自转而绕地轴做匀速圆周運动，与地球相对静止，它做圆周运动的周期T=24h。
其中，同步卫星和近地卫星是地球卫星，遵循地球卫星运动规律，可选用卫星的有关公式进行计算；赤道物体不是地球卫星，不遵循地球卫星运动规律，不可选用卫星的有关公式进行计算，但仍然遵循圆周运动规律，可选用圆周运动的有关公式进行计算。
二、抓住三者的联系1.三者都在绕地轴做匀速圆周运动，所需向心力都与地球的万有引力有关。
同步卫星和近地卫星绕地球运行时离开地面，只受万有引力作用，万有引力提供向心力；赤道上物体随地球自转时不离开地面，除受到万有引力作用外，还受到地面的支持力，它做圆周运动所需的向心力由万有引力与支持力的合力来提供。
受力不同是运动不同的根本，其它各量不同都由此推导得出。
2.同步卫星和赤道物体都与地球保持相对静止，运行周期相同；近地卫星与赤道物体的轨道半径近似相同，都是R。
三、推导其他不同1.轨道半径不同：同步卫星的轨道半径1.轨道半径不同：同步卫星的轨道半径r同=R+h，h为同步卫星离地面的高度，大约为36000千米，半径大小关系为：r同>r返=r赤；2.向心加速度不同：由G= =ma得：a= ，又r同>r返，所以：r同r返，所以：r同>r赤；向心加速度的大小关系为：r返>r同>r赤；3.周期不同：近地卫星的周期由mg=mR0 得：T=2π =84min；同步卫星和赤道物体的周期都为24h，周期的大小关系为：r同=r赤>r返；4.线速度不同：由G =m 得：v2= 又r同>r返所以：v同r赤，故线速度的大小关系为：v返>v同>v赤；5.角速度不同：由G =mrw2得：w2= ，又r同>r返，所以：w同TB>TCB.三者向心加速度的大小关系为aA>aB>aCC.三者角速度的大小关系为ωA<ωC<ωBD.三者线速度的大小关系为υA<υC<υB分析：本题中涉及到三个做圆周运动物体，AC转动的周期相等，BC同为卫星，故比较他们的周期、角速度、线速度、向心加速度的关系时，涉及到两种物理模型，要两两比较。
2.人造卫星模型
1.确定人造地球卫星之运行轨迹 地球质量为M， 卫星质量为m ， 初始位置： 速度： y = R + h, x = 0
* *
y
(0, R+ h)
R
α
v0
p( x, y)
x
O
& & x0 = v0 cosα, y0 = v0 sinα
由Newton引力定律，建立卫星运行模型
r F=F
x x +y
2 2
& x0 = v0 cosα x = 0 t = 0, & y = R + h, y0 = v0 sinα 解：用首次积分法解方程组 d y dx ( 2) x − (1) y x 2 − y 2 = 0 dt dt d dy dx 由此有 x − y ≡0 dt dt dt dy dx 积分得首次积分 x − y =)
dx dy (1) + ( 2) dt dt dx dy −GMx GMy 2 2 dx d x dy d y dt − dt + = 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 dt dt dt dt (x + y ) (x + y ) 1 dx 2 dy 2 d d GM + = dt 2 dt dt dt x2 + y2 12 ( ) 2GM dx dy ∴积分得 + = + c2 1 dt dt ( x2 + y2 ) 2
v0 =
GM R+h
• 故知，距地面高度不同，在圆形轨道上的速度就不同， 要使卫星与地球同步，从角速度来讲，必须（最为）合 适。 • 要求卫星的角速度与地球相同
漫谈天体运动问题的十种物理模型
漫谈天体运动问题的十种物理模型闫俊仁（山西省忻州市第一中学 034000）航空航天与宇宙探测是现代科技中的重点内容，也是高考理综物理命题的热点内容，所涉及到的知识内容比较抽象，习题类型较多，不少学生普遍感觉到建模困难，导致解题时找不到切入点．下面就本模块不同类型习题的建模与解题方法做一归类分析。
一、“椭圆轨道”模型指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上． 由于受数学知识的限制，此类模型适宜高中生做的题目不多，所用知识为开普勒第三定律及椭圆轨道的对称性。
例1 天文学家观察到哈雷彗星的周期约是75年，离太阳最近的距离是8.9X1010m ，但它离太阳的最远距离不能测出。
试根据开普勒定律计算这个最远距离，已知太阳系的开普勒常量k ＝3.354X1018m 3／s 2。
解析 设哈雷彗星离太阳的最近距离为，最远距离为R 2，则椭圆轨道半长 轴为221R R R += 根据开普勒第三定律k TR =23，得 13222R kT R -==m m 103218109.83600243657510354.38⨯-⨯⨯⨯⨯⨯）（=5.224⨯1012m二、“中心天体——圆周轨道”模型指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另一个天体（环绕天体）以它为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有引力作用。
解答思路 由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律，得r Tm r mw r v m ma r Mm G n 2222)2(π==== 式中M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量， a n 、v 、w 和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期．根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解。
此类模型所能求出的物理量也是最多的。
（1）对中心天体而言，可求量有两个：①质量M=2324GT r π，②密度ρ=3233R GT r π，特殊地，当环绕天体为近地卫星时(r ＝R)，有ρ=23GT π。
推导第二宇宙速度
推导第二宇宙速度问题第二宇宙速度是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星，或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度，也叫脱离速度。
模型假设(1)假设在地球上将一颗质量为m 的卫星发射到绕太阳运动的轨道需要的最小发射速度为v ；地球半径为6400R km =。
(2)此时卫星绕太阳运动可认为是不受地球引力，距离地球无穷远；(3)认为无穷远处是引力势能0势面，并且发射速度是最小速度，则卫星刚好可以到达无穷远处，设r 为地球至无限远那点处的距离。
建立模型由动能定理得1/2**^2/m v mgR GMm r -=求解模型上式中，∵,r mgR →∞为地球表面重力势能∴/0GMm r ≈解得11.2/v km s ==模型分析地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度。
第二宇宙速度为11.2km/s ，是第一脱离地球。
发射地球卫星，其速度必需是大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度。
若发射速度达到第二宇宙速度时，轨道半径无穷大（理论值），这就会脱离地球的引力作用范围，而被比地球引力大得多的太阳引力吸引过去，成为行星。
所以说要发射地球卫星，其速度必需是大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度。
即7.9km/s＜v＜11.2km/s (不取等号)。
采用椭圆轨道的原因主要是能耗的问题，发射卫星时轨道越高需要火箭能量越大，发射的过程基本属于阿基米德螺旋式上升，当主动段结束后，卫星的惯性轨道基本上是椭圆轨道，而圆轨道需要在椭圆轨道的高点上变轨实现，变轨能耗是很高的，除了应用需要外，能不变轨尽量不要变轨，因为能耗是发射成本的关键，越低越好。
理论上所有的轨道都是椭圆轨道，圆轨道是椭圆轨道的两个焦点非常接近的结果。
轨道之所以是椭圆形的，是因为其速度与其运行矢径（卫星与地心连线）不垂直。
环绕地球飞行的飞行物，一般轨道是椭圆，椭圆上离地球最远的是远地点，最近的是近地点。
是由引力决定的。
物理领域中的数学建模
1 2）单位时间内向径 r (t) 扫过的面积是常数A，即 r A 2
2
3）行星运行周期 T 满足 T 2 a 3，其中 为绝对常数，与 哪颗行星无关 。 4）行星运行时受的作用力 f 等于行星加速度 r 和质量m的乘 积，即 f mr
2 4 A r 2 ur (4) pr 2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
(3)
将（1）（3）代入（2）
因为 r rur 和 f mr
数学建模
模型建立
2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
图1.2 单级火箭1) 地球是半径为 R 的均匀球体
2) 卫星将在距地面高度为h的平面轨道上做匀速圆周运动
3) 忽略火箭系统重力和大气阻力的影响 4) 火箭系统在t时刻的质量和速度分别为m(t)和v(t) 5) 火箭系统喷气对箭体的相对速度为常值 u
数学建模
模型建立与求解
ru u r r r 2 r r r ur r 2r u
数学建模
模型建立
1 2 r A 2
根据假设
2r 0 r
有
=
2 A 4 Ar , r2 r3
只需再证A2/p是常数即 可得到万有引力定律
1 2 r A 2
4 2 m Mm f r0 : k 2 r0 2 r r
4 2
TA ab
假设1）、3）
A2 p
三级火箭发射卫星数学模型
火箭达到一定的速度和高度后，有效载荷与 火箭分离，进入预定轨道。
加速爬升
随着火箭推进剂的消耗和重量的减轻，火箭 逐渐加速爬升。
进入轨道
有效载荷依靠惯性继续前进，达到轨道速度 后进入预定轨道。
02
数学模型建立
火箭推进力与重力平衡模型
总结词
描述火箭推进力与重力之间的平衡关 系，用于确定火箭起飞时的加速度和 速度。
05
未来展望
火箭技术发展趋势
01
02
03
绿色环保
随着环保意识的提高，未 来火箭技术将更加注重环 保，减少发射过程中对环 境的影响。
可重复使用
降低火箭发射成本是未来 的重要趋势，可重复使用 火箭技术将得到更广泛的 应用。
多任务适应性
未来火箭将具备更强的任 务适应性，能够适应不同 重量、轨道和任务的发射 需求。
失败案例分析
印度PSLV火箭
印度PSLV火箭是一种四级火箭，在发射过 程中曾多次出现失败。其中，2017年的一 次发射失败导致卫星损失，对印度航天事业 产生了较大的影响。
俄罗斯Proton-M火箭
俄罗斯Proton-M火箭是一种五级火箭，在 发射过程中也曾多次出现失败。其中，
2013年的一次发射失败导致卫星损失，对 俄罗斯航天事业产生了较大的影响。
SpaceX猎鹰9号
猎鹰9号是SpaceX公司研发的一种两级火箭，通过一级和二级火箭的多次点火，将卫星送入预定轨道。该火箭已 经成功发射了数百颗卫星。
欧洲阿丽亚娜5型火箭
阿丽亚娜5型火箭是一种三级火箭，由欧洲航天局研制。该火箭具有较高的可靠性和精度，已经成功发射了数十 颗卫星。
中国典型火箭发射案例
总结词
通过数学模型和优化算法，可以设计出最优的卫星轨道，以提高卫星的运行效率和寿命。
卫星速度公式
卫星速度公式
卫星速度公式是描述卫星在轨道上运动速度与轨道参数之间关系的公式。
在研究卫星轨道、卫星通信、卫星导航等领域具有重要的意义。
本文将详细介绍卫星速度公式，包括其推导和应用。
一、卫星速度公式简介
卫星速度公式为：
v = √(GM/r)
其中，v 代表卫星在轨道上的线速度，G 为万有引力常数，M 为地球质量，m 为卫星质量，r 为卫星轨道半径。
二、卫星速度公式推导
根据牛顿第二定律，卫星所受合力为：
F =
G * (M * m) / r
由于卫星在轨道上做圆周运动，合力提供向心力，所以有：
F = m * (v / r)
将两个公式联立，可得：
m * (v / r) = G * (M * m) / r
化简后得到卫星速度公式：
v = √(GM/r)
三、卫星速度公式应用
1.计算卫星轨道速度：根据卫星速度公式，可以计算出卫星在不同轨道上的线速度，为卫星发射、轨道设计提供参考。
2.分析卫星通信性能：卫星速度与轨道高度密切相关，通过分析卫星速度公式，可以了解卫星通信系统的性能，如覆盖范围、通信质量等。
3.优化卫星导航系统：卫星速度公式可用于优化卫星导航系统，提高导航精度，满足各类用户需求。
四、总结
卫星速度公式是描述卫星轨道运动的基本公式，对于卫星工程、卫星通信、卫星导航等领域具有重要的理论指导意义。
卫星 速度公式
卫星速度公式最近想到一个推导卫星轨道周期和第一宇宙速度的简便方法。
01 模型和设定图1 推导模型和设定1、地心：O点；2、轨道半径：r；3、地球质量：M；卫星质量：m;4、卫星围绕地球做匀速圆周运动；5、卫星在0时刻位于A点，速度v为水平方向；在t时刻运行到B点，速度方向变化θ度，速率不变；6、卫星运行角速度：ω；7、时间t为一个微小量；8、卫星受到的向心力：F等于卫星和地球间的万有引力：9、向心力引起的加速度：a。
02 推导1、速度分解：将卫星在B点的速度进行水平和垂直方向的分解，分别为v1，v2。
2、容易证明水平分量和速度方向的夹角为θ。
3、则：4、因为t为一个微小量，所以有：取极限有：5、可以认为v2为加速度a在时间t内引起的速度增量，所以有：6、另外可知：所以有：可得：7、根据牛顿第二定律：有：得到：8、根据6、7有：9、又因为：其中T为轨道周期；所以有：10、最终可得：这就是卫星轨道周期公式。
到这我们可以回忆一下“开普勒第三定律”：开普勒第三定律：“绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量”。
其实很多行星或卫星的偏心率都很小，其轨道可看作近圆轨道，所以其轨道半长轴约等于轨道半径（比如太阳系大部分行星、地球同步轨道卫星、太阳同步轨道卫星等）。
所以可以看出上面我们利用牛顿力学定律推出的轨道周期公式与开普勒第三定律说的其实是一个意思。
图2 太阳系各大行星轨道参数这当然不是什么巧合，实际上牛顿的万有引力定律正是在开普勒第三定律的基础上导出的。
而牛顿整个力学体系的建立，离不开伽利略、开普勒这些前辈的贡献。
所以牛顿那句：“If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants.”也算不上谦虚之言。
03 第一宇宙速度若卫星轨道半径r 等于地球半径R=6378.14km，即认为卫星贴地表飞行，则根据轨道周期公式可以得到卫星速度：带入G=6.67259×10-11N·m²/kg²，M=5.965×1024kg，可得：此即为第一宇宙速度。
卫星动力学方程
卫星动力学方程卫星动力学方程是描述卫星在空间中运动的数学模型。
它是由牛顿运动定律和万有引力定律推导而来的，可以用来计算卫星的轨道、速度和加速度等参数。
卫星动力学方程的求解对于卫星的轨道设计、控制和导航等方面具有重要的意义。
卫星动力学方程的基本形式是牛顿-欧拉方程，它描述了卫星在空间中的运动状态。
牛顿-欧拉方程可以用向量形式表示为：m(dv/dt) = F + G其中，m是卫星的质量，v是卫星的速度，t是时间，F是卫星所受的非重力力，G是卫星所受的重力力。
这个方程可以进一步简化为：a = -GM/r^2其中，a是卫星的加速度，G是万有引力常数，M是地球的质量，r是卫星与地球的距离。
这个方程可以用来计算卫星的轨道。
卫星动力学方程的求解需要考虑多种因素，如地球的引力、大气阻力、太阳辐射压力、地球自转等。
这些因素会影响卫星的轨道和速度，因此需要对卫星进行精确的建模和计算。
卫星动力学方程的求解可以采用数值方法或解析方法，其中数值方法更为常用。
卫星动力学方程的应用非常广泛，包括卫星轨道设计、卫星导航、卫星控制等方面。
在卫星轨道设计中，卫星动力学方程可以用来计算卫星的轨道参数，如轨道高度、轨道倾角、轨道周期等。
在卫星导航中，卫星动力学方程可以用来计算卫星的位置和速度，从而实现卫星导航。
在卫星控制中，卫星动力学方程可以用来计算卫星的姿态和角速度，从而实现卫星的控制。
总之，卫星动力学方程是描述卫星在空间中运动的重要数学模型，对于卫星的轨道设计、控制和导航等方面具有重要的意义。
卫星动力学方程的求解需要考虑多种因素，可以采用数值方法或解析方法。
卫星动力学方程的应用非常广泛，是现代卫星技术的基础之一。
三级火箭发射卫星数学模型
dv v(t + ∆t ) = v(t ) + ⋅ ∆t + o(∆t ) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 ， 因为喷出气体相对地球的速度为 定律有
dm m(t )v(t ) = m(t + ∆t )v(t + ∆t ) − ∆t + o(∆t ) [ v(t ) − u] dt
m m0 v = v ln u v(t )= u0 + ln 0 (3) λm0 + (1− λ)mp m(t ) 由此可见，对于给定u值 当有效负荷m 时 由此可见，对于给定 值，当有效负荷 p=0时，火箭
末速度达到最大， 末速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型
2
mv R mg = r r
2
2
g v=R r
v = 7.6km/ s
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 卫星能进入600km高空轨道 2.火箭推进力及升空速度 2.火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机 和一个燃料仓组成。 和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大 量气体从火箭末端喷出， 量气体从火箭末端喷出，给火箭一个 向前的推力。 向前的推力。火箭飞行要受地球引力 空气阻力、 、空气阻力、地球自转与公转等的影 使火箭升空后作曲线运动。 响，使火箭升空后作曲线运动。
1）模型假设 在[t, t+∆t] 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以
地—卫模型探索
“地──卫”模型探索 在高中物理天体运动中我们探究了在引力场中绕地球运行的人造卫星。
那么电磁场中是否也存在类似地“人造卫星”？下面就这一问题笔者和大家共同探讨。
一、引力场中“地──卫”模型 引力场中“地──卫”模型的特征是卫星绕中心天体（地球）做匀速圆周运动,如图1所示。
在这个模型中涉及到： 一个动力学方程： 两个轨道特征： 1）由于卫星正常运行时只受中心天体的万有引力作用，所以卫星平面必定经过中心天体（地球）中心。
2）卫星运行的轨道是连续的 三种物理量关系： 1）当轨道半径r增大时，卫星运行速度v减小，角速度减小，周期T增大，频率f减小。
2）已知卫星的相关物理量，求中心天体（地球）的质量或密度。
3）当轨道半径r增大时，万有引力做负功，引力势能增大。
二、电场中“地──卫”模型 在电场中“地──卫”模型特征是带电粒子绕原子核（或某一中心点）做匀速圆周运动。
1．由库伦力提供向心力做匀速圆周运动 如图2所示，质量为m的核外电子e绕原子核Q在库仑力的作用下做匀速圆周运动。
动力学方程： 例1．氢原子放出一个光子后，根据波尔理论，氢原子的（ ） A．核外电子的电势能增大 B．核外电子的动能增大 C．核外电子的转动周期变大 D．氢原子的能量增大． 点评：根据波尔理论，氢原子由能量较高的定态跃迁到能量较低的定态才辐射出光子，反之会吸收光子，所以D错误。
氢原子放出一个光子后，核外电子进入低级轨道运行，半径减小，由知，随r变小，电子线速度变大，电子动能增大，所以B正确。
由知，r变小，线速度v变大所以T变短，C错误。
当电子由半径大的轨道跃迁到半径小的轨道时，电场力做正功，所以电子电势能变小，A错 例2．人造地球卫星绕地球做圆周运动与玻尔氢原子模型中电子绕原子核做圆周运动相类似，下列说法正确的是（ ） A．它们做圆周运动的向心力大小跟轨道半径成反比 B．它们都只能在一系列不连续的轨道运动 C．电子轨道半径越大，氢原子能量越大 D．不同卫星在同一轨道运动时，动能相等 点评：根据和可知向心力大小跟轨道半径的平方成反比，A错。
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（1）
2r 0 r
2 u 2r u r r r r r
2 u r r r r
2 Ae sin p
（2）
对
r
p 1 e cos
求导
r
结合（1）式
4 A2 e 2 A2 ( p r ) r cos 2 pr pr 3
数学建模
一、万有引力定律
万有引力定律的发现是伟大科学家 牛顿的重大贡献之一。牛顿在开普 勒第三定律基础上运用微积分推导 出了万有引力定律。
开普勒行星运动三定律： 1）各颗行星分别在不同的椭圆轨 道上绕太阳运行，太阳位于这些椭 圆的一个焦点上； 2）每颗行星运行过程中单位时间 内太阳-行星向径扫过的面积是常 数； 3）各颗行星运行周期的平方与其 椭圆轨道长半轴的三次方成正比。
1) 地球是半径为 R 的均匀球体 2) 卫星质量 m，在距地面高度为h 的平面轨道上做匀速圆周运动
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模型建立与求解
当卫星在距地球高度为 h 的平面 轨道上做匀速圆周运动时，其受 地球的引力为：
kMm 卫星在地面的重量 mg 2 R
M 地球质量 k万有引力常数 r=R+h卫星的球心距
kMm F1 2 r
g 9.81m/s2 , R 6400km
800 7.47 1000 7.37 1800 7.00
在星箭分离的瞬间火箭系统整体应该达到 卫星所需的速度。该系统很难达到如此高 的速度要求（接近第一宇宙速度！）
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作业
教材第一章：
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1. 单级火箭发射卫星的可能性 问题分析：
卫星被发射到太空后应在预定高度的轨道上运行，为 克服地球引力和大气阻力的影响，必须保证卫星被发 射时具有足够高的速度。
首先分析卫星所需的速度（即火箭运行的末端速度）， 然后分析火箭如何达到所需的末端速度。
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模型I: 卫星速度模型
模型假设：
只需再证A2/p是常数即 可得到万有引力定律
1 2 r A 2
4 2 m Mm f r0 : k 2 r0 2 r r
4 2
TA ab
假设1）、3）
A2 p
kM
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二、三级火箭发射卫星（1）
随着航天技术的发展， 卫星发射已成为人类进 行科学探索、征服太空 的重要手段。有关资料 表明，一般都是用三级 火箭发射各种科学卫星。 那么，为什么不用单级 火箭而用三级火箭来发 射卫星呢？
gR 2 k M
mv 2 F2 r
mgR 2 F1 r2
卫星所需速度！
卫星在太空中做匀速 圆周运动时的向心力
g g vR R r Rh
受力平衡：F1 = F2 !!
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模型建立与求解
g g vR R r Rh
h (km) v (km/s) 0 7.92
h v
400 7.69 600 7.58
2 4 A r 2 ur (4) pr 2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
(3)将（1）（3）代入（源自）因为 r rur 和 f mr
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模型建立
2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
数 学 建 模
哈尔滨理工大学 应用数学系
数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 ——勒内· 笛卡尔
第1章 数学建模概述
主讲人：陈东彦 教授
dychen_2004@
哈尔滨理工大学 应用数学系
第 2 讲 物理领域中的数学建模(I)
一、万有引力定律 二、三级火箭发射卫星（1）
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模型建立
首先引入基向量
ur cos i sin j u sin i cos j
r rur
u u r u ur
则向径可表示为 于是
行星运动的 速度和加速度
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问题分析
建立极坐标系描述任意一颗行星的椭圆运行轨道 以太阳为坐标原点，r = 0 以椭圆长半轴方向为θ=0， 用向径 r (t) (r(t),θ(t)) 表示行星的位置：
u ur
r
θ
O 太阳
P 行星
r
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模型假设
1）轨道方程 a, b为长短半轴，e为离心率。
p b2 2 r ,p , b a 2 (1 e 2 ) 1 e cos a
1 2）单位时间内向径 r (t) 扫过的面积是常数A，即 r A 2
2
3）行星运行周期 T 满足 T 2 a 3，其中 为绝对常数，与 哪颗行星无关 。 4）行星运行时受的作用力 f 等于行星加速度 r 和质量m的乘 积，即 f mr
ru u r r r 2 r r r ur r 2r u
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模型建立
根据假设
1 2 r A 2
有
=
2 A 4 Ar , r2 r3