二维连续型随机变量 PPT课件

x
O
1
2 [e(1 x) e x ]d x
1
0
e 1
1
2e 2
.
y x
y 1 x
•
12
x
3.3 随机变量的独立性
连续型 法1 X与Y 独立 对任何 x ,y 有
F( x, y) FX ( x)FY ( y)
法2 X与Y 独立 对任何 x ,y 有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
k
e
(
2
x
y
)dxdy
1 ,因 此k
2
yx
(2) F ( x, y)
f (x, y)d xd y
y 0
x 2e(2x y) d x d y, x 0, y 0,
0
0,
其 它.
得
F
(
x,
y
)
(1 0,
e
2
x
)(1
e
y
), x 0, 其 它.
y
0.
(3) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,
（2）P
1 2
X
3 4
,0
Y
3
4
．
y
解 （1）如图，区域D的面积
为 S 1 ，因此(X，Y)的密度为
3 4
2
D
2, ( x, y) D,
o
31
x
f ( x, y) 0, 其它.
4
（2）记区域
y
G
( x,
y)
1 2
x
3 4
,0
y
3
4
3
4
1
3
G1
( x,
y)0
y
x,
2
x
4
G1
o 13 1
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v
则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
称 为 二 维 随 机 变 量( X ,Y ) 的 联 合 概 率 密 度 。
（2）概率密度的性质
1) f ( x, y) 0.
2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.
b2
向平面上有界区域D上任投一质点，若 质点落在D内任一小区域B的概率与小区域 的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在D上服从均匀分布.
例6 设二维随机变量(X，Y)在D {(x, y) | 0 y x,0 x 1}上
服从均匀分布，求：
（1） (X，Y)的概率密度；
第三节 二维连续型随机变量
一、 二维连续型随机变量及其概率密度 二、边缘概率密度 三、随机变量的独立性 四、二维均匀分布和正态分布
3.1 二维连续型随机变量及其概率密度
（1）定义3.1
对 于 二 维 随 机 变 量( X ,Y ) 的 分 布 函 数F ( x, y), 如 果 存 在 非 负 的 函 数f ( x, y) 使 对 于 任 意x, y 有
（习题课教程P63例8-（1）） 例3 设随机变量X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其 它.
求边缘概率密度f X ( x), fY ( y).
解 当 0 x 1 时,
y
f X ( x)
f (x, y)d y
x
6d y x2
6( x x2 ).
（2）证 对任何 x,y 有
1
e
1 2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(
x
1
)( y 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)2
2 1 2 1 2
1
( x1 )2
e 2
2 1
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
取 x 1, y 2
1
1
1
2 1 2 1 2 21 2 2
故 0
将 0 代入 f (x, y) 即得
1
2
2
2
dθ
e
r2
2 2
rdr
0
0
1
1e 2
（教材P77例3.6）
例8 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 f (x, y)
2σ1σ2 1 ρ2
e
xp
1 2(1 ρ2
)
(x
μ1 )2 σ12
2ρ
(x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2 )
(
y
μ2 )2
σ
2 2
x , y ,
x
24
于是
P
1 2
X
3 4
,0
Y
3
4
P{(
X
,Y
)G}
5
G
f
( x,
y)dxdy
G1
2dxdy
16
（2）二维正态分布（书P77） 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
1
1
f (x, y)
2σ1σ2
1
ρ2
e
xp
2(1
ρ2 )
(x
μ1 )2 σ12
2ρ( x
μ1 )( y σ1σ2
解：
(1) 由图知边缘概率密度
为
1
2x, 0 x 1,
fX
(x)
0,
其他
1
2 y, 0 y 1,
fY
(
y)
0,
其他
显然，f1( x, y) fX ( x) fY ( y)
故 X ,Y 相互独立.
(2) 由图知边缘概率密度为
4x(1 x2 ), 0 x 1,
fX (x)
0,
由此可知： 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布。
例5 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为
(1)
4xy, 0 x 1, 0 y 1
f1(x, y)
0,
其他
(2)
8xy, 0 x y,0 y 1
f2(x, y)
0,
其他
讨论X ,Y 是否独立？
3) 设G是xOy平面上的一个区域,点( X ,Y )落在G内
的概率为
P{(X ,Y )G} f (x, y) d x d y.
4)若f
(
x,
y)在(
x,
G
y)连续,
则有
2F
(
x,
y)
f ( x, y).
xy
说明：
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
则有
fX (x)
1
2σ1
e
(
x μ1 2σ12
)2
t2
e 2 dt,
即
fX (x)
1
( x μ1 )2
e , 2σ12
2πσ1
x .
同理可得
fY ( y)
1
e ,
(
y μ2
2σ
2 2
)2
2 σ2
y .
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,
并且都不依赖于参数ρ. (阅读书P79)
其中 μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ 都是常数,且 σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
(1)试求二维正态随机变量的边缘概率密度;
(2)证明X与Y相互独立的充分必要条件是 0.
解（1） f X ( x)
f (x, y)d y,
由于 ( y μ2 )2 2ρ ( x μ1 )( y μ2 )
8
1 31
3
(2) P{X 1,Y 3} 0 2
(6 x y)d yd x ;
8
8
1 1.5 4
27
(3) P{X 1.5}
(6 x y)d yd x ;
0 28
y
32
(4) P{X Y 4} P{X 4 Y } 4
4 4 y 1 (6 x y)d x d y 2 . 2
6( y y).
y y x
O
(1,1)
y x2
x
当 y 0 或 y 1时,
fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
得
fY
(
y
)
6( 0,
y y),
0 y 1, 其 它.
例4
设(X ,Y ) ~
e y , f (x, y)
0,
0 x y, 其它.
求 (1) f X ( x); (2) P{ X Y 1}.
解 当x 0时,
f X ( x)
f (x, y)d y
ey d y ex.
x
当 x 0 时,
fX (x)
f
( x,
y)d
y
0.
故
e x , x 0,
f
X
(
x)
0,
其 它.
(2) P{X Y 1}
y
f (x, y)d xd y
x y1
1
2 dx
1 x e y d y
0
σ22
σ1σ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
ρ2
(x
μ1 )2 σ12
,
于是
1 f X ( x) 2πσ1σ2
ρ e e dy, 1 2
(
x μ1 2σ12
)2
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
即有 {Y X } {(X ,Y )G},
P{Y X } P{(X ,Y )G}
y
f (x, y) d x d y
G
dy
2e (2 x y) d x
0
y
O
1. 3
YX
G x
例2 设二维随机变量( X ,Y ) 具有概率密度
k(6 x y), 0 x 2, 2 y 4,
其他
1
4 y3, 0 y 1,
fY ( y)
0,
其他
1
显然，f2(x, y) fX (x) fY ( y)
故 X ,Y 不独立.
（书P74例3.3）
随机变量相互独立的概念可以 推广到 n 维随机变量（书P97）
若 P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)
P(X1 x1)P(X2 x2) P(Xn xn)
y x
O
(1,1)
y x2
x
当 x 0 或 x 1时,
y
(1,1)
y x
f X ( x)
f ( x, y)d y 0.
O
y x2
x
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
f
X
(
Hale Waihona Puke Baidu
x
)
0,
其 它.
当 0 y 1 时,
fY ( y)
f (x, y)d x
y
y 6d x 6( y y)
f (x, y) f X (x) fY ( y)
记结论：
（1）设(
X
,
Y
)
~
N
(
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
)，
则
X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
(2)设(
X
,
Y
)
~
N(1,12;2 ,
2 2
;
)，则
X与Y相互独立
0
(3)设(
X
,
Y
)
~
N (1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
)，则
Z
aX
bY
~
N (a1
同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)
[ f (x, y)d x]d y,
fY ( y)
f (x, y)d x.
Y 的边缘概率密度.
注意：在求连续型随机变量的边缘密度时， 往往要对联合密度在一个变量取值范围上 进行积分. 当联合密度函数是分片表示的时 候，在计算积分时应特别注意积分限 .
20 8
3
x 4 y x
3.2 边缘概率密度分布
定义3.2 设连续型随机变量( X ,Y )的概率
密度为 f (x, y),由于
x
FX ( x) F ( x, )
[ f (x, y)d y]d x,
记
f X ( x)
f (x, y)d y,
称其为随机变量( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
f ( x, y) 0,
其 它.
(1) 确定常数k; (2) 求P{ X 1,Y 3};
(3) 求P{ X 1.5}; (4) P{ X Y 4}.
解: (1)因为
f ( x, y)d x d y 1,
所以 2 4 k (6 x y)d y d x 1 k 1;
02
对平面xoy上任意曲线L，都有P{(X ,Y ) L} 0
例1 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
ke(2x y) , f (x, y)
0, (1) 求常数k;
x 0, y 0, 其 它.
(2) 分布函数F ( x, y); (3) 求概率P{Y X }.
解:
(1)由 f ( x, y)dxdy 1有
μ2 )
(
y
μ2 )2
σ
2 2
( x , y ),
其中μ1, μ2 , σ1, σ2 , ρ均为常数, 且σ1 0, σ2 0,1 ρ 1.
则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 , σ1 , σ2 , ρ的 二维正态分布.记为
( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2 ,σ12 ,σ22 , ρ)
则称随机变量 X 1, X 2 , , X n 相互独立。
3.4 二维均匀分布和正态分布
（1）均匀分布
定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 A, 若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) D,
0, 其它.
则称( X , Y )在 D 上服从 均匀分布.
（书P77例3.5）
例7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
求
f
( x,
y)
1
2
2
e ,
1 2
2
(
x
2
y
2
)
x,
y
．
P{(X ,Y )G} G {( x, y) | x2 y2 2 }
解 P{(X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
1
2
G 2
e
1
2
2
(
x
2
y
2
)
dxdy
表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的
全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y
P{( X ,Y )G }的值等于G以G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
注：对于二维连续型随机变量有 F(x,y)连续
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0