(答案)第12章章测题(级数)

∫ ∑ ∫ ∑ x 1
0 1+ x2
dx
=
∞ n=0
(−1) n
x x 2n dx
0
∞
= (−1)n
n=0
1 x 2n+1 + C ， 2n +1
即
∑∞
arctanx =
(−1)n x 2n+1 + C
n=0 2n + 1
将 x = 0 代入上式得 解得 C = 0 ，故
∑∞
arctan0 =
(−1)n 02n+1 + C
2
所以
f
(x)
=
x2
1 + 3x
+
2
=
−
1 3
× 1−
1 x+
4
+
1 2
×
1−
1 x+
4
3
2
由于
∑ 1 = ∞ (x + 4)n
1 − x + 4 n=0 3n
3
(− 7 < x < −1)
∑ 1 = ∞ (x + 4)n
1 − x + 4 n=0 2n 2
(− 6 < x < −2)
因此
∑ ∑ f (x) =
1．解： un
= 3n ，则 lim un+1
n ⋅ 2n
n→∞ un
=
lim
n→∞
(n
3n+1 + 1) × 2n+1
⋅来自百度文库
n× 2n 3n
= 3 lim n = 3 > 1 2 n→∞ n + 1 2
根据正项级数的比值审敛法，所求级数的收敛性为发散的。
2.解： un
=
nn n!
，则 lim un+1 u n→∞
，
则 lim un+1 = lim 3× 5 × 7 ×× (2n + 3) ⋅ 4 × 7 ×10 ×× (3n + 1)
u n→∞ n
n→∞ 4 × 7 ×10 ×× (3n + 4) 3× 5 × 7 ×× (2n + 1)
= lim 2n + 3 = 2 < 1，根据正项级数的比值审敛法，所求级数的收敛性为收敛的。 n→∞ 3n + 4 3
1
是发散
n=1 n
n=1 n
的；因此，所求级数的收敛域为 [3,5) 。
∑ (2)解：首先设 t
=
x − 1，那么所求幂级数表示为
∞ n=1
tn 2n ⋅n
，则 an
=
1
，
2n ⋅n
∑ ρ = lim an+1 = lim
2n × n
= 1 lim
n
=
1
，因此级数
∞
tn
的收敛半径 R = 2 ，
a n→∞ n
(t)n ，则 an
=
(−1) n−1 2n −1
，
∑ ρ = lim an+1 = lim 2n − 1 = 1，因此级数 ∞ (−1)n−1 (t)n 的收敛半径 R = 1，收敛区间为
a n→∞ n
n→∞ 2n + 1
n=1 2n − 1
∑∞
(−1,1) 。由于 −1 < t < 1时，即 −1 < 2x − 3 < 1，所以
n
= lim (n + 1)n+1 × n! n→∞ (n + 1)! n n
= lim n + 1n = lim1 + 1 n n→∞ n n→∞ n
=e >1
根据正项级数的比值审敛法，所求级数的收敛性为发散的。
3．解： un
=
3× 5 × 7 ×× (2n + 1) 4 × 7 ×10 ×× (3n + 1)
3
4. 判定下列级数是否收敛？如果收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
∑ ∑ (1)解： 先考虑正项级数
∞
sin 1 ，由于
sin 1 lim n
sin 1 = lim n
= 1，而
∞
1
发散，由
n=2
n
n→∞ 1
n→∞ 1
n=2 n
n
n
∑∞
1
正项级数比较审敛法的极限形式可知 sin 发散。
n=2
n
∑∞
x2
1 + 3x + 2
=
−1 ∞ 3 n=0
(x + 4)n
3n
+
1 2
∞ (x + 4)n
n=0 2n
∞
∑ ( ) ∑ ( ) ∑( ) = − n=0
x+4 n + ∞
3n+1
n=0
x+4 n 2 n+1
∞
=
n=0
x+4
n
1 2 n+1
−
1 3n+1
其中
x ∈ (− 7,−1)∩ (− 6,−2) = (− 6,−2)
n→∞ n
n=1 n
n=1 n
an
(− a < x ≤ a)。
(3)解：
f
(x)
=
x2
1 + 3x + 2
=
(x
1
+ 1)(x
+
2)
=
1− x +1
x
1 +
2
由于
1=
1
=−1× 1
x + 1 − 3 + (x + 4) 3 1 − x + 4
3
1=
1
=−1× 1
x + 2 − 2 + (x + 4) 2 1 − x + 4
一、填空题
第 12 章 无穷级数 练习题
1.条件；2.收敛；3. e x ；4.收敛；5.α > 0 ；6. 1； 7． 3 ；8． e2 n(n + 1)
二、判断题 1． × 2．× 3． √ 4．× 5. √ 6．√ 三、选择题 1．D； 2． D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．A 四、判定下列正项级数的收敛性
n=1
n2 3n
收敛，且绝对收敛。
∑ ∑ ∞
(4)解： 先考虑正项级数
1 ，它是一个 p − 级数，由于 p < 1，所以 ∞
1
是发散的；
n=2 n
n=1 n
∑ 再 考 虑 级 数
∞
(−1) n
是一个交错级数，根据莱布尼茨定理：由于
1
>
1
且
n=1 n
n n+1
∑ lim 1 = 0 ，所以 ∞ (−1)n 是收敛的，且为条件收敛。
= x − 4 ，那么所求幂级数表示为
n=1
tn n
，则 an
=
1
，
n
ρ = lim an+1 = lim
n→∞ an
n→∞
1
n + 1 = lim
1
n→∞
n
∑ n
∞
= 1，因此级数
tn
的收敛半径 R = 1，收敛
n +1
n=1 n
∑ 区间为 (−1,1) 。由于 −1 < t < 1 时，即 −1 < x − 4 < 1 ，所以 ∞ (x − 4)n 的收敛区间为
(−1)n−1 (2x − 3)n 的收敛区间为
n=1 2n − 1
1< x < 2。 其次由于收敛区间端点 x = 1处，级数
∑ ∑ ∑ ∞
(−1) n−1
1
∞
(−1)n = (−1)2n−1
1
∞
=−
1
n=1
2n −1
n=1
2n − 1 n=1 2n − 1
∑∞
是发散级数；由于收敛区间端点 x = 2 处，级数 (−1)n−1
(−1)n−1 0n + C
n=1
n
解得 C = 0 ，故
∑∞
ln(1 + x) =
(−1)n−1 x n
n=1
n
∑ (3)解：把
1
∞
= (−1)n x n 中的 x 替换 x 2 ，有
1 + x n=0
∑ 1
1+ x2
=
∞
(−1)n x 2n
n=0
根据幂级数的逐项可积性质，对上式两边从 0 到 x 积分得
∫ ∑ ∫ ∑ x
1
dx =
∞
(−1) n
x x n dx =
∞
(−1) n
1
x n+1 + C ，
0 1+ x
n=0
0
n=0
n +1
即
∑ ∑ ∞
ln(1 + x) =
(−1)n x n+1 + C = ∞
(−1)n−1 x n + C
n=0 n + 1
n=1
n
将 x = 0 代入上式得
∑∞
ln(1 + 0) =
(4)解： f (x) = 1 = 1 = 1 × 1 x 3+ x −3 3 1+ x −3 3
由于
∑ 1 +
1 x −3
=
∞
(− 1)n
n=0
(x
− 3)n
3n
3
(0 < x < 6)
因此
∑ f (x) =
1 x
=
1× 3 1+
1 x−3
=
∞
(− 1)n
n=0
(x − 3)n
3n+1
(0 < x < 6)
n=0 2n + 1
∑∞
arctanx =
(−1) n x 2n+1
n=0 2n + 1
∑ (4)解：根据幂级数的逐项可导性质，对
1
∞
= (−1)n x n 两边分别求导得
1 + x n=0
∑ −
1
∞
= (−1)n nx n−1
(1 + x)2 n=0
对上式两端都乘以 − 1得
∑ ∑ 1
∞
∞
= − (−1)n nx n−1 = (−1)n+1 nx n−1
= x n ，则
1
=
1
∞
= (−1)n x n ，
1 − x n=0
1 + x 1 − (−x) n=1
∑ 1 =
1
∞
= (−1)n x 2n 。
1 + x2 1 − (−x2 ) n=0
∑ (2)解：根据幂级数的逐项可积性质，对
1
∞
= (−1)n x n 两边从 0 到 x 积分得
1 + x n=0
再考虑交错级数 (−1)n+1 sin
n=2
1 n
，设 un
=
sin
1 n
，由于 0
<
1 n
≤1<
π 2
， sin
x 单调增加，
sin
1 n +1
<
sin
1 n
，所以 un+1
<
un
，而
lim
n→∞
u
n
=
lim sin
n→∞
1 n
=
0 ，根据莱布尼茨定理可知，
∑∞ (−1)n+1 sin 1 收敛，且为条件收敛。
3
∑ 因此
f (x)
= x+3− 3 1− x
=
x+3−3
∞
x n
n=0 3
=
x
+
3−
31 +
x
+
x
2
3 3
+
3
∑ =
x
+3−3−
x
− 3
x 2 3
+
x
3
3
=
∞ n=2
xn 3n−1
(− 3 < x < 3) 。
(2)解： f (x) = ln(x + a) = lna1 + x = lna + ln1 + x ，
∑ 数
∞
(−1) n
1
是一个交错级数，根据莱布尼茨定理：由于
>
1
且 lim 1 = 0 ，所以
n=1 n
n n + 1 n→∞ n
∑∞ (−1)n 是收敛的；因此，所求级数的收敛域为 [−1,3)。
n=1 n
∑∞
(3)解：首先设 t = 2x − 3 ，那么所求幂级数表示为
n=1
(−1) n−1 2n −1
4.
解：u n
= x n ，这是一个公比为 x 的几何级数，那么当
a
a
x a
< 1 时，级数收敛；当
x a
≥1
时级数发散，由于 x > 0 和 a > 0 ，因此当 0 < x < a 时，级数收敛；当 x ≥ a 时，级数发散。
五、计算题 1. 求收敛域或收敛半径：
∑ (1)解：首先设 t
∞
n→∞ 2n+1 × (n + 1) 2 n→∞ n + 1 2
n=1 n
∑ 收敛区间为 (−2,2) 。由于 − 2
<
t
<
2 时，即 − 2
<
x −1<
2 ，所以
∞ n=1
(x −1)n 2n ⋅n
的收敛区间
为−1< x < 3。
∑ 其次由于收敛区间端点 x = 3 处，级数 ∞ 1 是发散级数；由于收敛区间端点 x = −1处，级 n=1 n
n=2
sin
1 n
收敛，
且为条件收敛。
( ) ∞ n2
(3)解：考虑正项级数
，
∑ 3n
n=1
设 un
= n 2 ，由于 lim un+1
3n
u n→∞ n
= lim n→∞
n +1 2 ⋅ 3n 3n+1 n 2
=1 3
< 1，
∑ ∑ ∞
根据正项级数比值审敛法可知级数
n=1
n2 3n
收敛，则
∞
(−1) n−1
n=1
n
3< x<5。
∑ 其次由于收敛区间端点 x = 3 处，级数 ∞ (−1)n 是一个交错级数，根据莱布尼茨定理：由于
n=1 n
∑ 1 > 1
且 lim
1
=0
∞
，所以
(−1) n
是收敛的；
n n + 1 n→∞ n
n=1 n
∑ ∑ ∞
由于收敛区间端点 x = 5 处，级数
1 是一个 p − 级数，由于 p < 1，所以 ∞
1
是一个交错级数，根据莱
n=1
2n −1
∑ 布尼茨定理：由于 1 > 1
且 lim
1
∞
= 0 ，所以 (−1)n−1
1
是收敛的；
2n −1 2n + 1 n→∞ 2n −1
n=1
2n −1
因此，所求级数的收敛域为 (1,2]。
2.根据简单的幂级数展开式生成一些函数的展开式：
∑ ∑ (1)解：由于
1
∞
a
a
∑∞
而 ln(1 + x) =
(−1)n−1 x n
(−1 < x ≤ 1) ，把其中的 x 替换为 x ，则有
n=1
n
a
∑ ln1 +
x a
=
∞ n=1
(− 1)n−1
n
⋅
xn an
(− a < x ≤ a)，
∑ 因此， f (x) = ln(x + a)= lna + ∞ (− )1 n−1 ⋅ xn
发散，所以
发散。
n=2 (n + 1)
n=2 ln(n + 1)
∑ 再考虑交错级数
∞
(−1) n−1
n=1
1 ln(n + 1)
，设 un
=
1 ln(n + 1)
，由于 ln(n + 1) 单调增加，所以
∑ u n +1
<
u
n
，而
lim
n→∞
u
n
=
lim
n→∞
1 ln(n + 1)
=
∞
0 ，根据莱布尼茨定理可知， (−1)n+1
n=2
n
∑∞ 1
(2)解： 先考虑正项级数
，由于
n=2 ln(n + 1)
1
lim ln(n + 1) = lim n + 1 = lim 1 = lim(n + 1) = ∞ （洛必达法则），
n→∞
1
n→∞ ln(n + 1) n→∞ 1
n→∞
n +1
n +1
∑ ∑ ∞ 1
∞1
根据正项级数比较审敛法的极限形式可知，由于
(1 + x)2 n=0
n=0
3．将函数展开成幂级数：
(1)解： f (x) = x2 = x2 − 9 + 9 = x + 3 + 9 = x + 3 − 9 = x + 3 − 3 ，
x−3 x−3
x−3
3(1 − x )
1− x
3
3
而
∑ 1
1− x
=
∞ x n n=0 3
(− 3 < x < 3) ，