方波信号的傅里叶变换 ppt课件

例 3.4-4
所示信号的频谱函数为
j
2 2 2
，从而有
Sgn(t) 1
X()
o
t
o
－1
(a) (b)
图 3.4-7 符号函数Sgn(t) (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
符号函数的频谱
例4―7求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为
1 t 0
sgn(t) 0 t 0
f (t) 1
F(j)
τ 2
－τ
o
τ
t
2
2
－0 o
0
－1
(a)
(b)
图 3.5-2
(a) f(t)的波形； (b) 频谱
解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数gτ(t) 与cos ω0t相乘，即
高频脉冲信号的频谱函数
例4―13 求高频脉冲信号 p(t)=gτ(t)·cosω0t 的频谱函数
t
F(j) 1ejtdt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1limet u(t), 0 0
[1]
[lime 0
t
u(t)]
lim[e
0
t
u(t)]
梯形信号f(t)的频谱函数
例 3.5-4 求图 3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。 解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
图4.5 冲激信号及其频谱
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。
解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1, 求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
li m0 a2
2a
2
0
0 0
(4―45) (4―46)
lim
0
2
d lim
2 2
0
1
2
(
)2
d
(
)
lim 2 arctan
0
2
[1] 2 ( )
1 2 ( )
(4―47)
(4―48) (4―49)
f (t) 1
0
t
(a)
F()
2
0
(b)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
Sgn(
t)
1
t 0
1 t 0
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
f
(t)
e at
t 0
(0)
e at t 0
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频
谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
[ (t t0 )] e jt0 1 (t t0 ) e jt0
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
f (t) 1
F(j) 2()
o
o
(a)
(b)
图 3.4-6 直流信号f(t) (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
解 直流信号1可表示为
f (t) 1
(1)sin(2nft)dt 2
T
T 2 0
1gsin(2 nft)dt
2 T
1 [cos(2nft)] 2 nft
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
4
n
n 2,4,6, n 1,3,5,
c2 T
T
2 T
2
f(t)dt0
f(t)4[sin2ft13sin6ft15sin10f
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eatge jtdt
1
0
j
(4―40) (4―41)
例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
f
(t)
e at
t 0
0
t 0
f (t)
1 e－t (＞0)
(0)
F()
1
o
t
o
(a)
(b)
图 3.4-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
e((jj )t ) 01j
f (t) 2
0
t
(a)
fe(t)
1
0
t
(b)
fo(t) 1
0
t
－1
(c)
图4.11 单边指数信号及其频谱
解 从波形图（a）上可见,单边指数信号 f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）, （c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。
其中
f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t)
fe(t) e t
j
2 2
2
2
lim
0
j
2 2
2
j
0
0 0
F [sgn(t)] 2 j
(4-51)
阶跃函数ε(t)的频谱函数
例 3.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。 解 由阶跃函数ε(t)的波形容易得到
(t)11Sg(nt)
22
从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数， 即
(t)
1
o
(a)
X() R()
－
1
()
t
o
－
1
(b)
图 3.4-8
(a) ε(t)的波形； (b) 频谱
门(平移后)信号的频谱函数
例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。
f (t) 1
o
(a)
－2
()
2
4
t
－4
o
－2
－
(b)
图 3.5-1 例 3.5-1 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱
解
尺度变换求频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f(t)etu(t), 0 (4―42)
从频谱函数的定义式出发
F() 0eatgejtdt 0eatgejtdt1j1j
22 2
(4―43)
f (t) 1
0
t
(a)
F()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
解 由于
cos0t
ej0t
ej0t 2
故有
F[ p(t)] F[gr(t)cos0t]
F[gr (t)
e j0t
e 2
j0t
]
根据频移特性有
1 2
F[gr (t)e
j0t
]
1 2
[Fgr
(t)e
j0t
]
F[ p(t)] 1 Sa[( 0) ] 1 Sa[( 0) ]
2
2
2
2
图4.14 频移特性
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o
2 3 4 5 6
(a )
n
45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15 °
10 °
o
2
3
4 5
6
(b )
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
|F n |
2
1 .5
1 .5
1
1
1
0 .4 0 .2
0 .4 0 .2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o
2 3 4 5 6
(a )
n 45°
45°
30° 30°
20°
15° 10°
－ 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o
2 3 4 5 6
－ 10° － 15°
－ 30°
－ 20°
－ 30°
－ 45°
－ 45° (b )
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数
1
t0
(4―50)
f (t)
1
0
t
－1
(a)
F()
0
(b)
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例:
f
(t)
et et
t0 t0
(其中α>0)
F [ f (t)]
e t e j t d t
来自百度文库
1 1 j j
e t e j t d t
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
e－t ＞0)
X( )
1
o
t
－ et
o
－1 (a)
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
－
1
(b)
解 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
e at
e at
t 0
f (t)cos(2nft)dt
2 T
0 T
2
(1)cos(2nft)dt 2
T
T 2 0
1gcos(2 nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2nft)dt
2
T
0 T
2
o 2
τ 2
t
(a )
F(j )
2
－
4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－
4
－
2
o
2 4
－
4
－
2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
(a)
0
(b)
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
g r (t)
1
0
t 2
t 2
gτ(t)的傅里叶变换为
[ g r (t)]
2
2
e jtdt sin( / 2) /2
例4―11 已知
gr(t)
Sa(
2
)
求gτ(2t)的频谱函数
解 根据傅里叶变换的尺度变换性 质,gτ(2t)的频谱函数为
[gr(2t)]1 2Sa(4)
f (t) 1
0
t
22
f (2t)
1
0
t
44
F()
2π
2π
0
1 F( ) 22
4π
4π
0
图4.13 尺度变换
利用奇偶虚实性求频谱
例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信 号f(t)=2e-αt u(t)的频谱。
f(t)A 20n 1Ancon st(n)
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
A1 3
A2 2
1 0 1 10 2 20
A3 0.4
3 45
A6 0.8
6 30
其余 An 0
(a>0)
t 0
F(j) 0eaet jtdt etejtdt
0
1 1
j j
j
2 a2 2
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
g (t ) 1
－τ
1sin2ft]
n
n1,3,5,
振幅谱和相位谱例题
例 3.3-1 f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 ) 0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里
叶级数展开式。据
F()
1
12
－ 0
(a)
argF()
2 4
－ 0
－
4
－
2
(b)
图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
f (t)
1
et
e－t ＞0)
o
t
(a)
F(j)
2
o
(b)
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t)
1
－T T
0T T
2T
t
2
－1 2
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,
并按式(4 及c。
―
7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,
bn
an
2 T
T
2 T
2
Sa( x) sin( x) x
[
g
r
(t
)]
Sa
(
2
)
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
f(t)
F(j)
1
(t)
o
t
(a)
o
(b)
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
fo (t)
e a t
e
a
t
t0 t0
Fe()
et gejt
0
e(j)tdt
0
e(j)tdt 222
Fo()
0
e(j)tdt
0
e(j)tdt
1 1
j j
j222
F()Fe()Fo()222 j222
2(2 j2)
2
j
高频脉冲信号f(t) 的频谱
例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a))的频谱。
解
F(j) (t)ejtd t1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
f(t) 1 1ejtd
2
根据分配函数关于δ(t)的定义， 有
冲激信号δ(t)的频谱
例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式有