方波信号的傅里叶变换 ppt课件
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方波信号的傅里叶变换
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g (t) F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b )
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
1 g r (t ) 0 gτ(t)的傅里叶变换为 t t
f (t ) 1
t
F ( j ) 1 e jt dt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-∞<t<∞ (4―44) 它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1 lim e
0
t
u (t ), 0 u( t )] lim[ e
0
t
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim
0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 1 ( )2
(4―50)
f (t)
F()
1
0 －1 (a )
t
0
(b )
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例: t e t0 (其中α>0) f ( t ) t t0 e
F [ f (t )]
F(j ) 1
f (t )
g (t) F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b )
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
1 g r (t ) 0 gτ(t)的傅里叶变换为 t t
f (t ) 1
t
F ( j ) 1 e jt dt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-∞<t<∞ (4―44) 它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1 lim e
0
t
u (t ), 0 u( t )] lim[ e
0
t
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim
0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 1 ( )2
(4―50)
f (t)
F()
1
0 －1 (a )
t
0
(b )
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例: t e t0 (其中α>0) f ( t ) t t0 e
F [ f (t )]
F(j ) 1
f (t )
经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
方波信号的傅里叶变换_图文
(4―45)
(4―46)
(4―47)
(4―48) (4―49)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
图 3.8-2 例 3.8-2 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形
先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于
再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有
图 3.8-3 y(t)的求解
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
(a>0)
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
Байду номын сангаас
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
gτ(t)的傅里叶变换为
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
(j)
01j
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eat e jtdt
1
j
2 T
2
f (t)cos(2nft)dt
2 T
0 T
2
(1)cos(2nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2nft)dt
2 T
o 2
τ 2
t
(a )
F(j )
2
－
4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－
4
－
2
o
2 4
－
4
－
2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
01j
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eat e jtdt
1
j
2 T
2
f (t)cos(2nft)dt
2 T
0 T
2
(1)cos(2nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2nft)dt
2 T
o 2
τ 2
t
(a )
F(j )
2
－
4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－
4
－
2
o
2 4
－
4
－
2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
方波信号的傅里叶变换课件
通过计算信号与三角函数系中各个函数的内积，得到傅里叶系数，从而确定各 个分量的幅值和相位。
奇偶函数展开特点
奇函数展开
奇函数展开后只包含正弦项，不包含余弦项和直流分量。
偶函数展开
偶函数展开后只包含余弦项和直流分量，不包含正弦项。
04
方波信号的傅里叶级数展开
奇偶方波信号展开过程
奇偶性判断
首先要判断方波信号是奇函数还是偶函数，或者是非奇非偶函数。奇函数和偶函数具有不 同的傅里叶级数展开形式。
周期
方波信号的周期是指信号重复出现的最小时间间隔，用T 表示，单位为秒（s）。
频率
方波信号的频率是指单位时间内信号重复出现的次数，用 f表示，单位为赫兹（Hz），与周期互为倒数关系，即 f=1/T。
占空比
方波信号的占空比是指在一个周期内高电平持续时间与周 期之比，通常用百分比表示。占空比越大，高电平持续时 间越长，反之则越短。
方波信号分类
单极性方波
单极性方波信号的高电平为正值，低 电平为零。这种信号通常用于数字电 路中，表示二进制数的“0”和 “1”。
双极性方波
双极性方波信号的高电平和低电平分 别为正负两个值，且绝对值相等。这 种信号通常用于模拟电路中，可以表 示交流信号的正负变化。
03
傅里叶级数展开原理
三角函数系正交性
号在各个频率上的分量。
线性性质
若信号在时域中满足线性叠加 原理，则其傅里叶变换在频域
中也满足线性叠加原理。
时移性质
信号在时域中的时移对应于其 傅里叶变换在频域中的相移。
频移性质
信号在时域中的频率变化对应 于其傅里叶变换在频域中的位
置变化。
常见函数傅里叶变换对
正弦函数与余弦函数
奇偶函数展开特点
奇函数展开
奇函数展开后只包含正弦项，不包含余弦项和直流分量。
偶函数展开
偶函数展开后只包含余弦项和直流分量，不包含正弦项。
04
方波信号的傅里叶级数展开
奇偶方波信号展开过程
奇偶性判断
首先要判断方波信号是奇函数还是偶函数，或者是非奇非偶函数。奇函数和偶函数具有不 同的傅里叶级数展开形式。
周期
方波信号的周期是指信号重复出现的最小时间间隔，用T 表示，单位为秒（s）。
频率
方波信号的频率是指单位时间内信号重复出现的次数，用 f表示，单位为赫兹（Hz），与周期互为倒数关系，即 f=1/T。
占空比
方波信号的占空比是指在一个周期内高电平持续时间与周 期之比，通常用百分比表示。占空比越大，高电平持续时 间越长，反之则越短。
方波信号分类
单极性方波
单极性方波信号的高电平为正值，低 电平为零。这种信号通常用于数字电 路中，表示二进制数的“0”和 “1”。
双极性方波
双极性方波信号的高电平和低电平分 别为正负两个值，且绝对值相等。这 种信号通常用于模拟电路中，可以表 示交流信号的正负变化。
03
傅里叶级数展开原理
三角函数系正交性
号在各个频率上的分量。
线性性质
若信号在时域中满足线性叠加 原理，则其傅里叶变换在频域
中也满足线性叠加原理。
时移性质
信号在时域中的时移对应于其 傅里叶变换在频域中的相移。
频移性质
信号在时域中的频率变化对应 于其傅里叶变换在频域中的位
置变化。
常见函数傅里叶变换对
正弦函数与余弦函数
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
方波信号的傅里叶变换课件
傅里叶变换定义
将时间域的信号转换为频域的表示，通过将信号拆分为不同频率 的正弦波和余弦波的叠加。
方波信号的频谱计算
通过对方波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱，即各个频率分 量的幅度和相位。
频谱分析
通过分析方波信号的频谱，可以了解该信号在不同频率下的表现和 特征。
方波信号的频域分析
频域分析方法
在频域中，通过观察信号的频谱，可以分析信号的频率成分、能 量分布以及频率变化规律等信息。
方波信号的频域特性
方波信号在频域中表现出较为突出的离散性，即主要集中在某些 特定的频率分量上。
频域分析的应用
通过频域分析，可以对方波信号进行滤波、调制和解调等操作， 实现信号处理和通信系统的应用。
方波信号的逆变换结果
01
02
03
逆变换的概念
将经过傅里叶变换得到的 频域表示重新变换回时间 域，恢复原始信号的过程 。
时移性质
若f(t)是函数，则f(t+a)的 傅里叶变换为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
若f(t)是函数，则f(at)的傅 里叶变换为|a|F(|a|ω)。
对偶性
若f(-t)=f*(t)，则 F(ω)=F*(-ω)。
帕斯瓦尔定理
f(t)的能量等于其傅里叶变 换在无穷大频率域上的积 分。
离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）
方波信号的傅里叶变 换课件
目录
• 方波信号简介 • 傅里叶变换基础 • 方波信号的傅里叶变换 • 方波信号的傅里叶逆变换 • 方波信号的傅里叶变换实例
01
方波信号简介
方波信号的定义
方波信号是一种常见的周期信号，其在一个周期内取值 为+1或-1，且在半个周期内从+1跳变到-1或从-1跳变 到+1。
方波信号的傅里叶变换
方波信号的傅里叶 变换
目录
• 方波信号概述 • 方波信号的傅里叶变换原理 • 方波信号的频谱分析 • 方波信号的滤波处理 • 方波信号的合成与调制 • 方波信号的傅里叶变换实例分析
01
CATALOGUE
方波信号概述
方波信号的定义
• 方波信号是一种常见的周期性信号，其特点是信 号在一定周期内以矩形波的形式重复。方波信号 在时间轴上的一个周期内，波形的最大值为1，最 小值为-1，波形在最大值和最小值之间以线性方 式变化。
03
CATALOGUE
方波信号的频谱分析
频谱的概念与计算
频谱定义
01
频谱是函数f(t)的傅里叶变换后的结果，它描述了函
数在各个频率下的强度和相位。
频谱计算
02 频谱可以通过将函数展开成无穷级数的方式进行计算
，即对函数进行傅里叶变换。
离散频谱
03
在实际应用中，我们通常处理的是离散频谱，即对连
续的频率取样后得到的频谱。
• 方波信号在通信系统中得到广泛应用，例如在数字通信中， 方波信号可以作为基带信号使用。此外，方波信号也常用于 模拟电路和数字电路的测试中，用于检测电路的响应和性能 。
02
CATALOGUE
方波信号的傅里叶变换原理
傅里叶变换的定义
01
02
03
傅里叶变换是一种数学 工具，可以将一个时域 信号转化为频域信号。 它可以将一个复杂的信 号分解为简单的正弦波 和余弦波的组合。
方波信号的基本性质
方波信号具有对称性，即在一个周期内，波形上升和下降的速度是相同的。这种对称性使得方波信号具有很好的直流分量， 即在一个周期内，信号的平均值为零。
方波信号的频谱具有离散性，即信号的频谱是由一些特定的频率分量组成的。这些频率分量对应于方波信号的基本周期和其 整数倍。
目录
• 方波信号概述 • 方波信号的傅里叶变换原理 • 方波信号的频谱分析 • 方波信号的滤波处理 • 方波信号的合成与调制 • 方波信号的傅里叶变换实例分析
01
CATALOGUE
方波信号概述
方波信号的定义
• 方波信号是一种常见的周期性信号，其特点是信 号在一定周期内以矩形波的形式重复。方波信号 在时间轴上的一个周期内，波形的最大值为1，最 小值为-1，波形在最大值和最小值之间以线性方 式变化。
03
CATALOGUE
方波信号的频谱分析
频谱的概念与计算
频谱定义
01
频谱是函数f(t)的傅里叶变换后的结果，它描述了函
数在各个频率下的强度和相位。
频谱计算
02 频谱可以通过将函数展开成无穷级数的方式进行计算
，即对函数进行傅里叶变换。
离散频谱
03
在实际应用中，我们通常处理的是离散频谱，即对连
续的频率取样后得到的频谱。
• 方波信号在通信系统中得到广泛应用，例如在数字通信中， 方波信号可以作为基带信号使用。此外，方波信号也常用于 模拟电路和数字电路的测试中，用于检测电路的响应和性能 。
02
CATALOGUE
方波信号的傅里叶变换原理
傅里叶变换的定义
01
02
03
傅里叶变换是一种数学 工具，可以将一个时域 信号转化为频域信号。 它可以将一个复杂的信 号分解为简单的正弦波 和余弦波的组合。
方波信号的基本性质
方波信号具有对称性，即在一个周期内，波形上升和下降的速度是相同的。这种对称性使得方波信号具有很好的直流分量， 即在一个周期内，信号的平均值为零。
方波信号的频谱具有离散性，即信号的频谱是由一些特定的频率分量组成的。这些频率分量对应于方波信号的基本周期和其 整数倍。
信号与系统第三章：傅里叶变换ppt课件
n 可见，A n 是 的偶函数，即有 An An
n 而 n 是 的奇函数，即有 n n 19
可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为
直 流分量
A0 2
，一次谐波或基波
A1cos(1t1)(它
的角 频率与原周期信号相同)，二次谐波 A2cos(21t2)，
以此类推，三次，四次等谐波。
n 一般而言 Ancos(n1tn) 称为 次谐波 ，A n
i1,2,....n...,
，则称该函数集为完备正交函数集。
三角函数集：
1 , c o s 1 t , c o s 2 1 t ,c o s n 1 t ,, s i n 1 t , s i n 2 1 t ,s i n n 1 t ,
在区间 (t0,t0 T) 内组成完备正交函数集。 T 2 /1
8
正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2(t) 若满足条件 tt121(t)2(t)dt0
则函数 1(t)与 2(t)为在区间 [t1, t2 ] 的正交函数。
（2）正交函数集 在区间 [t1, t2上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和其各分量的复数幅度或相量为44444545三角形式傅里叶级数4646指数形式傅里叶级数任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和
LOGO
傅里叶变换
上海大学机自学院
完整版课件
1
上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾
❖ 上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号 激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于 在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析 法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容， 可概括为如下几个方面：
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
《傅里叶变换详解》课件
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原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
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F()
1
12
－ 0
(a)
argF()
2 4
－ 0
－
4
－
2
(b)
图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
f (t)
1
et
e－t ＞0)
o
t
(a)
F(j)
2
o
(b)
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
f (t) 1
F(j)
τ 2
－τ
o
τ
t
2
2
－0 o
0
－1
(a)
(b)
图 3.5-2
(a) f(t)的波形； (b) 频谱
解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数gτ(t) 与cos ω0t相乘，即
高频脉冲信号的频谱函数
例4―13 求高频脉冲信号 p(t)=gτ(t)·cosω0t 的频谱函数
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
图4.5 冲激信号及其频谱
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。
解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1, 求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t)
1
－T T
0T T
2T
t
2
－1 2
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,
并按式(4 及c。
―
7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,
bn
an
2 T
T
2 T
2
fo (t)
e a t
e
a
t
t0 t0
Fe()
et gejt
0
e(j)tdt
0
e(j)tdt 222
Fo()
0
e(j)tdt
0
e(j)tdt
1 1
j j
j222
F()Fe()Fo()222 j222
2(2 j2)
2
j
高频脉冲信号f(t) 的频谱
例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a))的频谱。
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eatge jtdt
1
0
j
(4―40) (4―41)
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
Sgn(
t)
1
t 0
1 t 0
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
f
(t)
e at
t 0
(0)
e at t 0
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频
谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
e－t ＞0)
X( )
1
o
t
－ et
o
－1 (a)
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
－
1
(b)
解 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
e at
e at
t 0
f (t) 2
0
t
(a)
fe(t)
1
0
t
(b)
fo(t) 1
0
t
－1
(c)
图4.11 单边指数信号及其频谱
解 从波形图（a）上可见,单边指数信号 f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）, （c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。
其中
f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t)
fe(t) e t
li m0 a2
2a
2
0
0 0
(4―45) (4―46)
lim
0
2
d lim
2 2
0
1
2
(
)2
d
(
)
lim 2 arctan
0
2
[1] 2 ( )
1 2 ( )
(4―47)
(4―48) (4―49)
f (t) 1
0
t
(a)
F()
2
0
(b)
图4.9 单位直流信号及其频谱
(a>0)
t 0
F(j) 0eaet jtdt etejtdt
0
1 1
j j
j
2 a2 2
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
g (t ) 1
－τ
1
t0
(4―50)
f (t)
1
0
t
－1
(a)
F()
0
(b)
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例:
f
(t)
et et
t0 t0
(其中α>0)
F [ f (t)]
e t e j t d t
1 1 j j
e t e j t d t
j
2 2
2
2
lim
0
j
2 2
2
j
0
0 0
F [sgn(t)] 2 j
(4-51)
阶跃函数ε(t)的频谱函数
例 3.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。 解 由阶跃函数ε(t)的波形容易得到
(t)11Sg(nt)
22
从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数， 即
(t)
1
o
(a)
X() R()
2 3 4 5 6
(a )
n 45°
45°
30° 30°
20°
15° 10°
－ 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o
2 3 4 5 6
－ 10° － 15°
－ 30°
－ 20°
－ 30°
－ 45°
－ 45° (b )
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数
(1)sin(2nft)dt 2
T
T 2 0
1gsin(2 nft)dt
2 T
1 [cos(2nft)] 2 nft
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
4
n
n 2,4,6, n 1,3,5,
c2 T
T
2 T
2
f(t)dt0
f(t)4[sin2ft13sin6ft15sin10f
o 2
τ 2
t
(a )
F(j )
2
－
4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－
4
－
2
o
2 4
－
4
－
2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
t
F(j) 1ejtdt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1limet u(t), 0 0
[1]
[lime 0
t
u(t)]
lim[e
0
t
u(t)]
例 3.4-4
所示信号的频谱函数为
j
2 2 2
，从而有
Sgn(t) 1
X()
o
t
o
－1
(a) (b)
图 3.4-7 符号函数Sgn(t) (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
符号函数的频谱
例4―7求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为
1 t 0
sgn(t) 0 t 0
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
(a)
0
(b)
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱