等腰三角形和等边三角形培优精华

等腰三角形和等边三角形

知识要点

1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 （2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 （3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 （4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 （5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 （6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 （7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴， 3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。 （2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。 ⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 5、等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。

7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高” 练习题

1 2.7、3、5、2

2、如图，在等边△ABC 中，D 、E AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= 度。

3、如图，点D 为等边三角形ABC 内的一点，BD=AD ，BE=AB ， ∠DBE=∠DBC ，则∠BED 的度数是 度。

4、如图，在等边△ABC 中，AC=9，点E 在AC 上，且AE=3，点F 是AB 上一动点，连结EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转60度得到线段ED ，要使点D 恰好落在BC 上，则AF= 。

5、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD 。上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）

6、△ABC 中，∠B=60度，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连接CE ，DE ，若CE=DE ，求证：△ABC 是等边三角形。

B A

C D

E A E B C O D

A D E C B

7、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D,又延长BA 到E ，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE 为等腰三角形。

8、如图，已知四边形ABCD 中，AB=AD ， ∠BAD=60度，∠BCD=120度，求证：

9、如图，△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点

M,N

分别在AB,AC 上，求△AMN 的周长是多少？

10、在等边△ABC 中，点D,M 分别在边

BC,AB 上，BD=AM,AD 与CM 交于点N,(1)求证：

11、两个全等的含30°，60°的三角板ABC 和三角板CDE ，如图所示放置，A 、C 、D 三点在一条直线上，连接BE ，取BE 的中点F ，连接FA 、FD ，试判断△AFD 的形状，并说明理由。

12、如图，Rt △ABC 中，AB=AC, ∠A=90°，D 为BC 上任意一点，且DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,P 为BC 的中点，试判断△PEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论。

A D E A M N

D B C

D C B A F

E D

A B C

13、如图，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 为BC 边上两点，且∠1=∠2，MN=AN ，求∠MAC 的度数。 解：

14、 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，求∠DEC 的度数。

15、 如图，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′=AB=B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，

求∠ACB 的度数？

16、如图，等腰△BC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，•连结CD ，求∠BDC 的度数。

17、如图，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，BD•的垂直平分线EF•交AC 延长线于点E ，求证：CE=AD 。

18、已知，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 为垂足，ED•的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD=AF 。 A C B

N M 2 4 3

1 F C

E

B

A

D

19、已知，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，N 是AD 上一点，且BN=AC ，•延长BN

20、已知：△ABC 是等边三角形，D 是AB 延长线上的任意一点，选择一点E

，•使△CD 的中点，N 是线段AE 的中点，求证：△BMN•

是等边三角形。

21、已知：等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使AD=AE ，作等边三角形MCD 、NAE 和FAB,求证：△MNF 是等边三角形。

22、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，求CE 与BD 的数量关系？