甘肃省白银市靖远县2020-2021学年高三上学期期末模拟数学(文)试题
2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高三(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．||＝（）A．B．C．10D．2．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，则∁R A＝（）A．{x|x≤﹣2或x≥6}B．{x|﹣2≤x≤6}C．{x|﹣6＜x≤2}D．{x|x≤﹣6或x≥2}3．2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”．由中国互联网络信息中心（CNNIC），占整体手机网民的62.0%．根据以上信息，下列说法不正确的是（）A．2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势B．2020年我国手机网民未超过9亿C．2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿D．2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致4．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值为（）A．4B．14C．16D．215．已知双曲线（a＞0，b＞0）有一条渐近线与直线2x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，30条棱，20个面（其中a为棱长），已知一个正二十面体各棱长之和为，则该正二十面体内切球的半径为（）A．B．C．D．7．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，a4+a3＝2（a2+a1），S6＝7，则a5+a6＝（）A．B．C．4D．88．执行如图所示的程序框图，输出的点都在函数（）A．y＝|2x﹣5|﹣2的图象上B．y＝|2x﹣3|﹣2的图象上C．y＝cos（πx）的图象上D．y＝2sin（πx）的图象上9．已知a＝lg2，3b＝10，则log56＝（）A．B．C．D．10．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减（4）＝0，则不等式xf（x）（）A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）C．（﹣4，0）∪（0，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）11．如图，已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆依次交于点P，M，N，Q，则|PM|•|QN|＝（）A．2B．4C．6D．812．已知函数f（x）满足2f（x+2）﹣f（x），当x∈（0，2]时，．若对任意的m∈（4，6]（0，+∞），使得不等式f（m）≤g（n），则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知单位向量，的夹角为，则|﹣．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝17，则a5+2a11＝．15．已知函数，若函数f（x）在上没有零点．16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的球心O到平面ACB1的距离为，点M为棱CC1上的一个动点，则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，并将这100人按年龄分为第1组[25，35），45），第3组[45，第4组[55，65]，已知区间[25，35），45），[45，[55，65]上的频率依次成等差数列．（1）分别求出区间[25，35），[35，[45，55）上的频率；（2）现从年龄在[35，45）及[45，55）的人群中按分层抽样抽取5人，用x表示抽到作为宣讲员的年龄在[35，45）的人数，55）的人数，求满足x﹣y＞0的概率．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，P A＝AB＝PB＝2（1）证明：AE⊥平面PBC．（2）已知点F是边BC的靠近B点的三等分点，求点B到平面AEF的距离．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＞A．（1）求；（2）已知D为AB上一点，满足∠BCD＝∠ACD＝60°，CD＝120．已知椭圆M的焦点在坐标轴上，且经过P（，1），Q（0，2）两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）已知过点（0，1）且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆M交于A，点C与点B关于y轴对称，证明直线AC过定点21．已知函数．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；（2）若关于x的方程f（x）＝e﹣2x在[0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的极坐标中，，所在圆的圆心分别为（0，0），，，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x2﹣ax．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若x∈（﹣1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．||＝（）A．B．C．10D．【分析】利用复数运算法则求出＝1﹣3i，由此能求出结果．【解答】解：∵＝＝＝2﹣3i，∴．故选：D．【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题．2．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，则∁R A＝（）A．{x|x≤﹣2或x≥6}B．{x|﹣2≤x≤6}C．{x|﹣6＜x≤2}D．{x|x≤﹣6或x≥2}【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合A，再利用补集的定义求解即可．【解答】解：因为A＝{x|x2﹣4x﹣12＜5}＝{x|﹣2＜x＜6}，所以∁R A＝{x|x≤﹣6或x≥6}．故选：A．【点评】本题考查了集合的补集，考查运算求解能力，属于基础题．3．2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”．由中国互联网络信息中心（CNNIC），占整体手机网民的62.0%．根据以上信息，下列说法不正确的是（）A．2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势B．2020年我国手机网民未超过9亿C．2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿D．2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致【分析】利用题中给出的统计数表中的信息，对各个选项进行逐一的分析判断即可．【解答】解：对于A，因为2018年12月我国网络直播用户规模为3.97亿，2020年12月为5.69亿，故选项A正确；对于B，因为8.6÷0.62≈3.03＞9，故选项B错误；对于C，因为5.8﹣3.97＝1.63，故选项C正确；对于D，因为2016～2020年我国网络直播用户规模先增后减再增，所以2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致．故选：B．【点评】本题考查了统计图表的理解和应用，考查数据分析能力，解题的关键是正确读取统计图表中的数据信息，属于基础题．4．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值为（）A．4B．14C．16D．21【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】作出不等式组表示的可行域（图略），当直线y＝﹣x+z过点（7，z取得最大值16．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（7，作出直线y＝﹣x，由图可知，z有最大值为7+4＝16．故选：C．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题．5．已知双曲线（a＞0，b＞0）有一条渐近线与直线2x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b关系，然后求解离心率即可．【解答】解：由题可知双曲线的渐近线方程为，则，即，，又c2＝a2+b5，可得e2＝＝，所以．故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质，考查推理论证和运算求解能力，是基础题．6．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，30条棱，20个面（其中a为棱长），已知一个正二十面体各棱长之和为，则该正二十面体内切球的半径为（）A．B．C．D．【分析】由已知求得正二十面体的棱长，代入已知体积公式可得正二十面体的体积，正二十面体内切球的半径为r，再由等体积法列式求得r．【解答】解：由题可知，正二十面体的棱长，设正二十面体内切球的半径为r，，解得，故选：B．【点评】本题考查多面体的内切球，利用等体积法求解是关键，是基础题．7．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，a4+a3＝2（a2+a1），S6＝7，则a5+a6＝（）A．B．C．4D．8【分析】先求出公比，再根据求和公式求出首项，问题得以解决．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则，∴，解得，∴．故选：C．【点评】本题考查等比数列，考查运算求解能力，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，输出的点都在函数（）A．y＝|2x﹣5|﹣2的图象上B．y＝|2x﹣3|﹣2的图象上C．y＝cos（πx）的图象上D．y＝2sin（πx）的图象上【分析】根据程序，进行运行，确定输出的点的坐标，根据坐标确定对应的函数关系式．【解答】解：由程序框图知，第一次输出（0，第二次输出（1，第三次输出（3，﹣1），1），经检验得，这些点都在函数y＝|3x﹣3|﹣2的图象上，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序运算，计算出输出结果是解决本题的关键．9．已知a＝lg2，3b＝10，则log56＝（）A．B．C．D．【分析】利用指数与对数的互换表示出lg3，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．【解答】解：由题可得，即，故原式＝．故选：A．【点评】本题考查对数的运算，主要考查了对数式与指数式的互化，换底公式的运用，对数的运算法则的运用，考查了运算求解能力．10．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减（4）＝0，则不等式xf（x）（）A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）C．（﹣4，0）∪（0，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，根据偶函数的对称性可知，f（x）在（0，且f（﹣4）＝0，由xf（x）＞0可得或，即或，解x＞6或﹣4＜x＜0，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．11．如图，已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆依次交于点P，M，N，Q，则|PM|•|QN|＝（）A．2B．4C．6D．8【分析】由抛物线的方程求出F的坐标，由圆的方程求出圆的圆心与半径，圆心与F重合，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出P，Q的横坐标的乘积，由此即可求解．【解答】解：由抛物线C1：y2＝2x，得焦点为F（2，圆的标准方程为（x﹣2）6+y2＝4，所以圆心为（5，半径r＝2，设P（x1，y5），Q（x2，y2），设直线l：x＝my+5，将直线l代入抛物线方程可得y2﹣8my﹣16＝6，则y1y2＝﹣16，，故|PM|⋅|QN|＝（|PF|﹣r）（|QF|﹣r）＝（x8+2﹣2）（x6+2﹣2）＝x3x2＝4，故选：B．【点评】本题考查了抛物线的方程与性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．12．已知函数f（x）满足2f（x+2）﹣f（x），当x∈（0，2]时，．若对任意的m∈（4，6]（0，+∞），使得不等式f（m）≤g（n），则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求出f（x）在（4，6]上的最大值为1，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，问题转化为f（m）max≤g（n）max，即，求出a的范围即可．【解答】解：当x∈（0，2]时，，2]上的最大值为3，又2f（x+2）﹣f（x）＝8，则f（x+2）＝，所以f（x）在（4，对于函数，有，则在（7，1）上，函数g（x）为增函数，在（1，+∞）上，函数g（x）为减函数，则函数g（x）在（2，+∞）上，若对任意的m∈（2，6]，+∞），使得不等式f（m）≤g（n）成立，必有f（m）max≤g（n）max，即，解得，即a的取值范围为，故选：C．【点评】本题考查导数与最值的问题，考查化归与转化、函数与方程、以及运算求解能力和推理论证能力．二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知单位向量，的夹角为，则|﹣1．【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力．【解答】解：因为，所以．故答案为1．【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝17，则a5+2a11＝3．【分析】由已知结合等差数列的求和公式及通项公式即可直接求解．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，，所以a3+a17＝2，从而2a4+16d＝2，即a1+8d＝1，a5+8a11＝3a1+24d＝2．故答案为：3．【点评】本题考查等差数列，考查运算求解能力，属于基础题．15．已知函数，若函数f（x）在上没有零点．【分析】由题意利用余弦函数的图象及其性质，可得﹣≤，由此求得ω的取值范围．【解答】解：∵函数在上没有零点，结合ωx﹣∈（﹣，﹣）﹣≤，解得，所以，ω的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查余弦函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的球心O到平面ACB1的距离为，点M为棱CC1上的一个动点，则的最小值为．【分析】说明BD1为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的直径，设正方体的棱长为a，B到平面ACB1的距离为h，利用，求解，然后求解a，点M 在棱CC1上一个动点，要求MD1+MA的最小值，只需把平面DD1C1C沿CC1旋转到平面AA1C1C在一个平面内，结合图形，连接AD1，则AD1的长度即MD1+MA的最小值．求解即可．【解答】解：球心到截面ACB1的距离即正方体中心到截面ACB1的距离，BD2为正方体ABCD﹣A1B1C3D1的外接球的直径，且BD1⊥平面ACB8．设正方体的棱长为a，B到平面ACB1的距离为h，，由，得，所以，因为球心到平面ACB1的距离为，解得a＝4，又点M在棱CC1上一个动点，要求MD1+MA的最小值，只需把平面DD8C1C沿CC1旋转到平面AA7C1C在一个平面内，如图所示，连接AD1，则AD5的长度即MD1+MA的最小值．因此，．故答案为：．【点评】本题考查线与面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，并将这100人按年龄分为第1组[25，35），45），第3组[45，第4组[55，65]，已知区间[25，35），45），[45，[55，65]上的频率依次成等差数列．（1）分别求出区间[25，35），[35，[45，55）上的频率；（2）现从年龄在[35，45）及[45，55）的人群中按分层抽样抽取5人，用x表示抽到作为宣讲员的年龄在[35，45）的人数，55）的人数，求满足x﹣y＞0的概率．【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答；（2）按分层抽样抽取5人，再从中选3人作为生态文明建设知识宣讲员，列举所有基本事件，利用古典概型可得答案．【解答】解：（1）[25，35），45），55）上的频率之和为1﹣0.04×10＝4.6，且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[35，从而2d＝0.7﹣0.2＝5.2，解得d＝0.6．故区间[25，35），45），55）上的频率分别为0.1，3.3．（2）由题意知[35，45）组抽取2人，B；[45，记这三人分别为a，b，c．从中抽取8人有（A，B，a），B，b），B，c），a，b），a，c），b，c），a，b），a，c），b，c），b，c），其中x﹣y＞0的有（A，B，a），B，b），B，c），所以满足x﹣y＞0的概率为．【点评】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，古典概型的应用，属于中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，P A＝AB＝PB＝2（1）证明：AE⊥平面PBC．（2）已知点F是边BC的靠近B点的三等分点，求点B到平面AEF的距离．【分析】（1）由ABCD为正方形，可证明CB⊥AB，利用面面垂直的性质定理可得BC⊥平面P AB，从而得到AE⊥BC，利用等腰三角形的中线就是高，可得AE⊥PB，由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线AB的方向向量的平面的法向量，然后利用点到平面距离的计算公式求解即可．【解答】（1）证明：因为P A＝AB，F为PB的中点，因为ABCD为正方形，所以CB⊥AB，又面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面P AB，又AE⊂平面P AB，所以BC⊥AE，PB∩BC＝B，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC；（2）解：因为P A＝AB＝PB＝5，所以，建立空间直角坐标系如图所示，7，0），2，8），1，1），，故，则有，令x＝﹣3，z＝﹣1，故，所以点B到平面AEF的距离．【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定定理的应用以及点到平面距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，将距离问题转化为空间向量问题进行求解，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＞A．（1）求；（2）已知D为AB上一点，满足∠BCD＝∠ACD＝60°，CD＝1【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简，再由正弦定理即可求解；（2）由已知结合三角形的面积公式可得a，b的关系，进而可求a，b，再由三角形的面积公式可求．【解答】解：（1）由b sin B+c sin C＝3c sin2A+a sin A，得b4+c2＝6ac cos A+a2，所以2bc cos A＝6ac cos A，又B＞A，所以cos A≠6，即．（2）在△ABC中，，可得ab＝a+b，又b＝3a，b＝4，所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．20．已知椭圆M的焦点在坐标轴上，且经过P（，1），Q（0，2）两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）已知过点（0，1）且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆M交于A，点C与点B关于y轴对称，证明直线AC过定点【分析】（1）依题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），把点，Q（0，2）坐标代入，得m，n，进而可得答案．（2）由题意知直线l的方程为y＝kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理，可得x1+x2，x1x2，由点C与B关于y轴对称，得C（﹣x2，y2），写出直线AC的方程，令x＝0，得y，即可得出答案．【解答】解：（1）依题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝8（m＞0，n＞0）．∵椭圆过点，Q（8，∴解得∴椭圆的标准方程为．（2）由题意知直线l的方程为y＝kx+1（k≠0），代入，得（k2+4）x6+2kx﹣3＝6，设A（x1，y1），B（x4，y2），则，．∵点C与B关于y轴对称，∴C（﹣x4，y2），∴直线AC的方程为．令x＝0，得＝，∴直线AC过定点（4，4）．【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21．已知函数．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；（2）若关于x的方程f（x）＝e﹣2x在[0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）求得a＝0时，f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；（2）化简方程f（x）＝e﹣2x，令g（x）＝e x（x2+ax+a）﹣1，求得导数，讨论a≥0，a＜0时，g（x）的单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）当a＝0时，，则，，，所以方程为，即，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（2）由f（x）＝e﹣2x，可得e x（x2+ax+a）﹣2＝0．令g（x）＝e x（x2+ax+a）﹣6，则g'（x）＝e x（x+2）（x+a），令g'（x）＝0，解得x7＝﹣2，x2＝﹣a．①当a≥5时，g'（x）＞0在[0，所以函数g（x）在[6，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝a﹣1，由a﹣1≤2，所以0≤a≤1．②当a＜4时，则﹣a∈（0，显然在[0，﹣a）上，g（x）单调递减；在[﹣a，+∞）上，g（x）单调递增．故函数g（x）在x＝﹣a处取得最小值，且，因为a＜0，所以ae﹣a﹣1＜7，符合条件．综上，实数a的取值范围是（﹣∞．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的极坐标中，，所在圆的圆心分别为（0，0），，，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝【分析】（1）直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用极坐标方程的应用求出结果．【解答】解：（1）阴阳鱼图案中实线部分中的弧，，所在圆的圆心分别为（0，，，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M5是弧．由题意得，，，．（2）解方程，得，此时P的极坐标为；解方程，得，此时P的极坐标为．故P的极坐标为，．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极坐标方程和极坐标，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x2﹣ax．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若x∈（﹣1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【分析】（1）原不等式可化为|x|2+|x|﹣2＜0，解一元二次不等式即可求得|x|的取值范围，再去绝对值即可求得不等式的解集；（2）对a分类讨论，去绝对值，即可求得满足条件的a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，原不等式可化为|x|+x2＜3，即|x|2+|x|﹣2＜7，解得﹣2＜|x|＜1，所以﹣2＜x＜1，即原不等式的解集为（﹣1．（2）当a≤﹣8时，因为x∈（﹣1，所以由f（x）＞0，可得（x﹣a）+x（x﹣a）＞2，即（x﹣a）（x+1）＞0，显然恒成立；当a＞﹣7时，，因为当﹣1＜x＜a时，f（x）＞0显然不能恒成立．综上，a的取值范围是（﹣∞．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．第21页（共21页）。
甘肃省白银市靖远县第一中学2024学年高三数学第一学期期末质量检测试题含解析
甘肃省白银市靖远县第一中学2024学年高三数学第一学期期末质量检测试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=n n n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．623．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1- C ．1,0,1,2 D ．{}0,1,24．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ） A ．5 B ．10 C ．15D ．20 5．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．11[,]216-B ．1(,]16-∞C ．1[,0]2- D ．(,0]-∞6．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23 C ．8 D ．17 7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114 C ．1054 D ．1174 8．若直线不平行于平面，且，则（ ） A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12i z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i + 10．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e 11．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >> 12．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省白银市靖远县2020届高三第四次联考数学(文)试卷Word版含解析
甘肃省白银市靖远县2020届高三第四次联考数学（文）试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合, ,则（）A. B.C. D.2.（）A. B.C. D.3.已知向量，，若,则（）A. B. C. D.4.抛物线的焦点为，点是上一点，,则（）A. B. C. D.5.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. B. C. D.6.若是函数的极值点,则曲线在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D.7.已知角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合，若是角终边上一点，且,则（）A. B. C. D.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.已知函数，则（）A. 的最小正周期为,最小值为B. 的最小正周期为,最小值为C. 的最小正周期为,最小值为D. 的最小正周期为,最小值为10.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.11.已知函数，若，则的最小值为（）A. B. C. D.12.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数.若，则__________．14.设，满足约束条件，则的最小值是__________．15.已知两圆和相交于，两点，则__________．16.在中，角，，所对的边分别是，，，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为____三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为，，.数列为等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，其前项和为，证明：.18.从某工厂生产的某种零件中抽取1000个，检测这些零件的性能指标值，由检测结果得到如下频率分布直方图：（1）求这1000个零件的性能指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在性能指标值落在区间，，的三组零件中，用分层抽样的方法抽取个零件，则性能指标值在的零件应抽取多少个？19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是边长为的等边三角形，（1）证明：平面平面（2）在线段上是否存在一点，使得平面？说明理由.20.设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，为坐标原点，点到直线的距离为，为等腰直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.21.已知函数.（1）求函数的单调区间和零点；（2）若恒成立，求的取值范围.22.在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）若直线与的交点为,与的交点为，，且点恰好为线段的中点，求.23.已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）若的解集包含，求的取值范围.甘肃省白银市靖远县2020届高三第四次联考数学（文）试卷参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合, ,则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求解出集合和集合，根据交集定义求解得到结果.【详解】由题可知，，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算法则进行化简即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3.已知向量，，若,则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过可得，求得，进而得到.【详解】由知，得则则本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积运算、求解向量的模长问题，属于基础题.4.抛物线的焦点为，点是上一点，,则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式建立方程，求得结果.【详解】根据抛物线焦半径公式可得：所以本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.5.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.6.若是函数的极值点,则曲线在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据求得，则.【详解】由题意可知：则，解得所以本题正确选项：【点睛】本题考查极值点与导数的关系、导数的几何意义，是导数知识的简单应用，属于基础题.7.已知角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合，若是角终边上一点，且,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数定义可得，从而构建方程，解方程得到结果.【详解】因为，及是角终边上一点由三角函数的定义，得解得：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果.【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体则三棱柱体积；三棱锥体积所求体积本题正确选项：【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.已知函数，则（）A. 的最小正周期为,最小值为B. 的最小正周期为,最小值为C. 的最小正周期为,最小值为D. 的最小正周期为,最小值为【答案】A【解析】【分析】将化简整理为，可求得最小正周期和最小值.【详解】则的最小正周期为，最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查的性质，关键是利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式能将函数化简成的形式.10.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.11.已知函数，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.【详解】由题可知：令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形式.12.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.【详解】因平面平面所以与平面所成角即为与平面所成角可知与平面所成角为.设，则，平面面且面，可知则，即，在中，故与平面所成角的正切值为本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数.若，则__________．【答案】【解析】【分析】通过求出，代入解析式求得结果.【详解】因为所以本题正确结果：【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.14.设，满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，可知需确定在轴截距的最大值，通过平移可得结果，从而确定所求最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将化为：可知的最小值即为在轴截距最大时的取值由图像平移可知，当过点时，截距最大由得本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的求解的最值类的问题，重点是通过平移确定取得最值的点.15.已知两圆和相交于，两点，则__________．【答案】【解析】【分析】两圆方程作差求得直线的方程，进一步求得到直线的距离，利用直线被圆截得弦长的公式求得结果.【详解】由题意可知直线方程为：可求得：圆的圆心为，半径为则圆心到的距离所以本题正确结果：【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，解题关键是利用两圆方程直接作差可求得两圆相交时交点弦所在的直线方程.16.在中，角，，所对的边分别是，，，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为____【答案】【解析】【分析】根据面积可得，利用余弦定理可得；根据基本不等式可求得，又，可求得周长的取值范围.【详解】由题可知：故，即又，则又，则所以的周长的取值范围为本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形中的周长最值问题的求解，关键是能够通过余弦定理建立等量关系，从而求得的最大值，再利用三角形三边关系确定最小值，从而得到取值范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为，，.数列为等比数列，且，.（1）求数列和通项公式；（2）记，其前项和为，证明：.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据和求得和，从而得到；再利用，求得和，从而求得；（2）整理出的通项公式，利用裂项相消求得，进而证得结论.【详解】（1）解：设的公差为则由，得，解得所以设的公比因为，且所以，所以（2）证明：因为，所以【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的求解和数列求和问题，关键是能够通过通项公式确定采用裂项相消的方式进行求和运算，属于常考题型.18.从某工厂生产的某种零件中抽取1000个，检测这些零件的性能指标值，由检测结果得到如下频率分布直方图：（1）求这1000个零件的性能指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在性能指标值落在区间，，的三组零件中，用分层抽样的方法抽取个零件，则性能指标值在的零件应抽取多少个？【答案】（1）；（2）个【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法和方差计算公式求解得到结果；（2）求解出零件总数，根据抽样比求得结果.【详解】（1）根据频率分布直方图可知：；（2）性能指标值在的零件有个同理，性能指标值在，的零件分别有个，个故抽取的比为所以性能指标值在的零件应抽取个【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体数据、分层抽样问题，对学生的计算能力有一定要求，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是边长为的等边三角形，（1）证明：平面平面（2）在线段上是否存在一点，使得平面？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据长度关系可证得为等腰直角三角形，得到，从而可得平面，得到；再利用勾股定理证得，从而得到平面，进而证得结论；（2）当为中点时，利用三角形中位线可得，从而确定平面.【详解】（1）证明：在中，，，由余弦定理可得：故所以，即为等腰直角三角形取的中点，连接由，得连接，因为，所以平面所以又，，，所以即又所以平面，又平面所以平面平面（2）解：当为的中点时，平面证明如下：连接交于点因为底面为平行四边形，所以为的中点又为的中点，所以因为平面，平面所以平面【点睛】本题考查面面垂直的证明、补全线面平行的条件问题.证明垂直关系时，当已知中线段长度较多时，通常采用勾股定理来证明线线垂直.20.设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，为坐标原点，点到直线的距离为，为等腰直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用表示出点到直线的距离；再利用和的关系得到方程，求解得到标准方程；（2）当直线斜率存在时，假设直线方程，利用斜率之和为得到与的关系，将直线方程化为，从而得到定点；当斜率不存在时，发现直线也过该定点，从而求得结果.【详解】（1）解：由题意可知：直线的方程为，即则因为为等腰直角三角形，所以又可解得，，所以椭圆的标准方程为（2）证明：由（1）知当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入，得所以，即设，，则，因为直线与直线的斜率之和为所以整理得所以直线的方程为显然直线经过定点当直线的斜率不存在时，设直线的方程为因为直线与直线的斜率之和为，设，则所以，解得此时直线的方程为显然直线也经过该定点综上，直线恒过点【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定点问题，解决定点问题的关键是能够通过已知中的等量关系构造关于参数的等式，减少参数数量，从而变成只与一个参数有关的函数关系式，进而求得定点. 21.已知函数.（1）求函数的单调区间和零点；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间：；单调递增区间：；零点为：（2）【解析】【分析】（1）求导根据导函数正负得到单调区间；令，再结合单调性可知唯一零点为；（2）将不等式转化为图像恒在上方，利用临界状态，即直线与相切的情况，求得相切时；从而可构造出，利用导数求得，由此可得取值范围.【详解】（1）令，解得：所以函数在上单调递减，在上单调递增单调递减区间为，单调递增区间为令，解得：所以函数的零点是（2）画出的大致图像，如图所示设，则的图像恒过点设函数的图像在点处的切线过点所以，的图像在处的切线方程为将代入切线方程，得整理得：设令，得或所以在，上单调递增，在上单调递减又，，所以是方程的唯一解所以过点且与的图像相切的直线方程为令，则当时，；当时，又，即在上恒成立即函数的图像恒在其切线的上方数形结合可知，的取值范围【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值的问题，重点是对恒成立问题进行考查.解决此题的关键是能够将问题转变为函数与直线位置关系的问题，通过相切确定临界值，从而得到所求结果.22.在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）若直线与的交点为,与的交点为，，且点恰好为线段的中点，求.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）将曲线变为普通方程，然后将，分别代入和的方程中，从而得到极坐标方程；（2）将代入曲线的极坐标方程，可以得到，从而求得，得到坐标代入，从而求得.【详解】（1）将，代入中得到直线的极坐标方程为：在曲线的参数方程中，消去，可得即将，代入中得到曲线的极坐标方程为（2）极坐标系中，由已知可设，，联立，可得所以因为点恰好为的中点，所以，即把代入，得所以【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键是能够明确极坐标与直角坐标互化的基本方法，同时能够利用的含义在极坐标系中解决距离类问题.23.已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）若的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分别在、和三个范围去绝对值得到不等式，解不等式求得解集；（2）将问题转化为在上恒成立，从而得到在上恒成立，从而得到的范围.【详解】（1）当时，不等式为等价于或或解得：或或综上所述：所以原不等式的解集是（2）由题可知，在上恒成立则，即在上恒成立所以在上恒成立即上恒成立，即则【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解.解决本题的关键是能够将问题转化为含绝对值的不等式恒成立的问题.。
甘肃省白银市靖远县2020-2021学年高三上学期期末模拟数学(理)试题
绝密★启用前高三数学试卷（理科）(考试时间:120分钟 试卷满分:150分）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后﹐用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数()212z i =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．2. 已知集合{}{}60,35A x x B x x =-><-<=，则A B ⋂=（ ）A ．{}36x x -<<B ．{}65x x <<C ．{}35x x -<<D ．{}356x x x <-<<或 3. 等差数列{}32n -与等差数列{5}2n -的公差之和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．84.某校高--年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下:则及格(不低于90分)的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[90,100]内B ．在(]110,120内C ．在(]100,110内D ．在(]120,130内 5. 已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，若P 为C 上异于顶点的任意一点，则1POF ∆与2POF ∆的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或166.已知函数()()f sin x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,0,,062ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()243f x sin x π⎛⎫= ⎝-⎪⎭ B ．()124f x sin x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．()cos 62f x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．()36f x sin x π+⎛⎫= ⎪⎝⎭7. 已知,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平而，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若,//,//,a b αβαβ⊥则a b ⊥B ．若//,αβ则,,b a a b αβ∃⊂⊂⊥C ．若,//,//,a b ααββ⊥则//a bD ．若//,,a b ααβαβ⊂⋂=，则a 与b 异面8. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题:“今有三鸡共啄粟一千—粒，雏啄--，母琢二，翁啄四.主责本粟.问三鸡啄各偿各几何?”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．1539.若2311212log xlog >，则x 的取值范围是（ ） A ．()23,log -+∞ B ．()32,log -+∞C ．()3,2log -∞-D ．()2,3log -∞- 10.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22+ D 11. 已知函数()()22144f x cos x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．412. 在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，以A 为球心的球A 与线段11A C 交于点E ，设BE 与底面ABCD 所成角为θ，且球A 的表面积为24,π则2cos θ=（ ）A ．13- B ．35- C ．23- D ．45- 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.8名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不同的安排方法共有_ 种.14.函数()321(f x x x =+）的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为_ ． 15.已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S = ．16.已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点()(),00P m m >且交C 于,A B 两点.过点A 和C 的顶点О的直线交C 的准线于点,D 若BD 与的C 对称轴平行，则m = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2sinA sinB b a +==. ()1求cosA .()2若D 是AB 边上一点，且ACD ∆2，证明:AD CD =. 18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=()1求C 的方程.()2直线l 与y 轴平行，且与C 交于,P Q 两点，,A B 分别为C 的左、右顶点，直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值.19. 如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,ABCD E F 分别为侧棱,PD PB 的中点，且24PA AD AB ===.()1证明:平面AEF ⊥平面PCD .()2若PC 是平面α的一个法向量，求α与平面AEF 所成锐二面角的余弦值.20. 现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为()01p p <<.若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好嬴两场的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 取得最大值.()1求0p ；()2设0p p =，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励.经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X 万元，求X 的分布列及其数学期望.21. 已知函数()()ln 0xf e x a x a =≠. ()1讨论()f x 的单调性；()2若()()20,1,x f x na x xl ∀∈+<，求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+. ()1求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；()2若l 与C 交于,M N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值. 23.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()211f x x x =-++. ()1求()f x 的值域；()2若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值. 试卷答案 一、选择题1.D 【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力.因为34,z i =--所以144,z i -=+则1z -==2.C 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为{}|6A x x =<， 所以{}315B x A -⋂=<<.3.A 【解析】本题考查等差数列的定义，考查推理论证能力.等差数列{}32n -的公差1312()(323)d n n =+--=-，同理可得等差数列{}52n -的公差22d =-，故121d d +=.4.B 【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力.由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内.5.D 【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想.C 的方程可化为2216416y x -=， 所以8,a =易知1POF 与2POF 周长差的绝对值为216a =，故1POF 与2POF 的周长之差为16-或16.6.C 【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力.设()()f sin x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则(22,6)2k Z T πππω-=∈=，则()3k k Z ω=∈，排除,A B 而()36f sin x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，排除D ， 故选C . 7.B 【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力.对于选项A ，当,a b 都平行于α与β的交线时，//,a b所以A 为假命题.对于选项B ，,,,b a a a b β∃⊂⊂⊥所以B 为真命题.若,//a ααβ⊥，则αβ⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题.若//,,a a a b αββ⊂⋂=，则//a b ，所以D 为假命题.8.C 【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养.2,2,y x z y ==247s x x r x ∴=++=由算法的功能可知，输出的:10011437x ==. 9.A 【解析】本题考查对数运算，考查运算求解能力.因为231212log xlog >-， 所以22122312123312log x log log log log ≥-=-⋅=-. 10.D 【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养.连接631472,,A A A A A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =，设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==+=，由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A A AB A A A A ++=+===⋅，故λ=11.B 【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想.令21,x t +=则()f x 有且只有一个零点等价于()()21gt cost a t =+-只有一个零点，因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()100g a =-=，故1a =.12.A 【解析】本题考查立体几何中的线面角问题、球体的表面积以及三角恒等变换，考查运算求解能力与空间想象能力.设球О的半径为r ，则2424r ππ=，解得r =因为1AA ⊥平面1111A B C D ，所以11AA A E ⊥，因为AE =所以AE =，所以E 为11A C 的中点，则1BEB θ=∠，且3cos θ==， 故212213cos cos θθ=-=-二、填空题13.70【解析】本题考查计数原理的应用，考查运算求解能力与应用意识.依题意可得，不同的安排方法种数为4870C =. 14.81【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.因为()32()213212()f x x x x '=+++⨯， 所以()'1275481f =+=.15.()123n --【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力. 设{}n a 的公比为q ，则324443S q q=++=， 解得2q =-，则()1121,3n n a S --==. 16.2 【解析】本题考查直线与抛物线，考查抽象概括能力与运算求解能力.设()2000,08y A y y ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭则直线OA 的方程为08y x y =， 由028x y xy =-⎧⎪⎨=⎪⎩得016D y y =- 又直线AP 的方程为()02088y y x m y m =-- 由()0202888y y x m y m y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩得08B m y y =- 因为BD 与C 的对称轴平行，所以B D y y =，故2m =.三、解答题17.()1解:2,b a =2,sinB sinA ∴=又8sinA sinB += 8sinA ∴=2,b a = ,,0,2a b AB A π⎛⎫∴<∈ ⎪⎝⎭故78cosA ==.()2证明:212ACD S b ADsinA AD ∆=⋅=⋅= 47AD b ∴= 由余弦定理得2222CD AC AD AC ADcosA =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 47CD b ∴=， 故AD CD =评分细则:【1】第()1问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到78cosA =±，扣2分. 若只得到,A B <而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分. 【2】第()2问中，未写2222CD AC AD AC ADcosA =+-⋅， 直接得到2222447477872b CD b b b b =+⎛⎫⎛⨯⨯⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，不扣分. 18. ()1解:因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=， 所以24a = 因为12c e a ==， 所以2221,3c b a c ==-=，故C 的方程为22143x y +=. ()2证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ，则(),,22Q m n m --<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22n y x m =++，直线BQ 的方程为()22n y x m =--+， ()()2222n y x m n y x m ⎧=++=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-， 解得4x m =，即4G x m= 故44p G x x m m ⋅=⨯=为定值. 评分细则:【1】第()1问中，根据圆的方程得到同样2a =给2分.【2】第()2问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分.19.()1证明:因为PA ⊥底面,ABCD所以PA CD ⊥在矩形ABCD 中，,CD AD ⊥因为,AD PA A ⋂=所以CD ⊥平面,PAD所以CD AE ⊥因为,PA AD E =为PD 的中点，所以AE PD ⊥，又,CD PD D ⋂=所以AE ⊥平面,PCD因为AE ⊂平面,AEF所以平面AEF ⊥平面PCD .()2解:以A 为坐标原点，AP 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,A xyz - 则()()()()0,0,0,4,0,0,2,0,22,1,0(),,0,2,4A P E F C ，()()2,0,2,2,1,0,4,2,4()AE AF PC ===-.设平面AEF 的法向量为,(),n x y z =，则0n AE n AF ⋅=⋅=，即 220,20,x z x y +=+=⎧⎨⎩令1x =，得1),(,21n =--.所以,3cos PC n <>==- 评分细则: 【1】第()1问解析第二行未写AD PA A ⋂=，但写了,AB AD ⊥所以AB ⊥平面,PAD 不扣分.第五行未写,CD PD D ⋂=要扣1分.【2】第()2问解析中得到平面AEF 的一个法向量只要与1),(,21n =--共线即可得分.20. 解:()()222244(1)(1)16f p C p p p p --==， ()()2222116624f p p p p ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为01p <<， 所以当12p =时，()f p 取得最大值，则012p = ()2因为012p p ==，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍， 输的概率为13，两队平局的概率为吉16. 当甲连赢两场时，10,X =且()11110224P X ==⨯=， 当甲赢一场平一场时，5,X =且()11152266P X ==⨯⨯=，当甲赢一场输一场或两队连平两场时，0X =，且()11111302236636P X ==⨯⨯+⨯= 甲输—场平—场时，5,X =-且()11152369P X =-=⨯⨯=， 当甲连输两场时，10,X =-且()11133091P X =⨯==- 所以X 的分布列为故10551046993EX =⨯+⨯-⨯-⨯= 评分细则:【1】第()1问还可以借助导数的方法求0p ，其步骤如下:()()221()6221(1121)()2f p p p p p p p p ⎡⎤'=-⎣⎦=----， 当102p <<时，()0,f p '> 当112p <<时，()0f p '<. 故当12p =时. ()f p 取得最大值，则012p =. 第()1问还可以借助基本不等式求0p ，其步骤如下: 因为()()423681162p p f p p p -+-⎛⎫=≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 当且仅当1p p =-，即12p =时，等号成立， 所以012p = 【2】第()2问，严格按照步骤给分.21.解:()()1f x 的定义域为()()1,ln 0,x f x ae x x ⎛⎫+∞ ⎪⎝'=⎭+. 设函数()1ln x g x x =+， 则()21'x g xx -=. 当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >.故()()11g x g ≥=，从而10lnx x+>. 当0a >时，()()'0,f x f x >在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减.()2由题意可知0a >，由2ln x x xlna ae x +>， 得ln ln x x a x ae x+>，即ln ln ln x x e a x ae x +< 即()ln ln x x ae x x ae<对1()0,x ∈恒成立 令()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'= 当1()0,x ∈时，()()'0,h x h x >单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0,h x >当1()0,x ∈时，()()10h x h <= 由()ln ln x x ae x x ae <，得()()x h x h ae <，所以x x ae <， 所以xx a e >对()0,1x ∈恒成立. 设()()0,1x x m x e=∈， 则()1'0x x m x e -=>，所以()m x 在()0,1上单调递增， 所以1a e ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 评分细则:【l 】第()1问中，未写定义域，直接得到()1ln x f ae x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭不扣分. 【2】第()2问中，写到1a e ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不扣分. 22. 解:()1l 的普通方程为10x y +-= 由22123cos ρθ=+得2223312cos ρρθ+=， 则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=. ()2由题意，l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数)， 代入22134x y +=，得27160t --=. 设,M N 对应的参数分别为12,t t ，则12121677t t t t +==-， 则1212121211t t t t PM PN t t t t +-+===24371627== 评分细则:【1】第()1问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分.【2】第()2问得到27160t --=后，可以直接求出12,t t ，其步骤如下: 设,M N 对应的参数分别为1212,()t t t t ≤，则12t t ==则12111172431122PM PN t t ⨯+=+=+== 23.解:()1当1x ≤-时，()33f x x =-≥； 当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭； 当12x >时，()332f x x =>. 综上，()32f x ≥. 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ()2由()1知，223, 3.2m a b =+= 则22122a b ++= 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪++⎝⎭+ ()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭当且仅当22221212b a a b +=+即2211,2a b ==时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2. 评分细则:【1】第()1问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分.【2】第()2问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分.。
2020届甘肃省白银市第一中学高三5月模拟考试数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届甘肃省白银市第一中学高三5月模拟考试数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数z 满足2(13)i zi +=（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数是（） A ．68i - B ．68i --C ．68i +D ．68i -+答案：A由条件有2(13)i z i+=，求出复数68z i =+，再根据共轭复数的概念,得出复数z 的共轭复数，得到答案. 解：本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，考查数学运算核心素养.易知2(13)8668i iz i i i+-+===+，所以复数z 的共轭复数68z i =-，故选A.点评：本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，考查数学运算，属于基础题.2．已知1m ，12log a m =，12mb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c m =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<答案：A分别求出1m 时a ，b ，c 的范围，再根据a ，b ，c 的大小得到选项. 解：当1m 时，由对应函数的单调性可知，1122log log 10a m =<=，1112212m b ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=且201mb ⎛⎫= ⎪⎭>⎝，121c m =>，排序得a b c <<. 故选：A.点评：本题考查了利用函数单调性比较函数值的大小，属于基础题.3．P 是直线x+y-2=0上的一动点，过点P 向圆22C (2)(8)4x y ++-=：引切线，则切线长的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．2答案：C由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线20x y +-=的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可. 解：解：∵圆22C (2)(8)4x y ++-=：， ∴圆心()2,8C -，半径2r .由题意可知，点P 到圆22C (2)(8)4x y ++-=：的切线长最小时， ⊥CP 直线20x y +-=.∵圆心到直线的距离d ==2=.故选：C. 点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 答案：B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d-+-=++++,解得6a d=-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.5．函数()1cos sin 33xxf x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的图象大致为（ ） A ．B ．C ．[Failedtodownloadimage:blob:http://qbm.xkw/6e491ce7-736d-4d0a-af85-aa548dbdc838]D．答案：C注意到()10f >，可排除,A D 两个选项，再由函数的奇偶性，可排除B 选项，即得． 解：由()81cos1sin03f =⋅>，可排除,A D ； 又()1cos()sin 33xx f x x --⎛⎫-=-⋅-⎪⎝⎭()1cos sin 33x x x f x ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，()f x 为奇函数，可排除B ． 故选：C 点评：本题考查函数图象的知识，属于基础题.6．已知在ABC 中，90,A AB AC ︒∠===动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止运动，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止运动，且动点Q 的速度是动点P 的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则当AP AQ ⋅取最大值时，||PQ =（） A ．2 B ．1C ．23D ．12答案：B分解向量,AP AC CP AQ AB BQ =+=+，将求AP AQ ⋅转化为求二次函数的最值问题，以此确定,P Q 的位置，最后求得||PQ 的值. 解：90,0A AB AC ︒∠=∴⋅=，依题意知8BC =，2||||CP BQ =，()()AP AQ AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP BQ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2||cos45CP ︒=22||cos 452||2(||3)18CP CP CP ︒+-=--+， ∴当||3CP =时，AP AQ ⋅取得最大值，此时||6BQ =，||3681PQ ∴=+-=.故选：B 点评：本题考查平面向量的加法的三角形法则和平面向量的数量积、二次函数最值的求解；考查运算求解能力、化归与转化能力；把平面向量数量积的最值问题转化为二次函数的最值问题是求解本题的关键；属于中档题.7．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π上有且仅有2个最小值点，下列判断：①()f x 在()0,π上有2个最大值点；②()f x 在()0,π上最少3个零点，最多4个零点；③333,7ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；④()f x 在50,33π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.其中所有正确判断的序号是（）A ．④B ．③④C ．②③④D ．①②③答案：A因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π上有且仅有2个最小值点，画出函数图象，结合函数图象，逐项判断，即可求得答案. 解：()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭是定义域为()0,π∴7666x πππωωω⎛⎫⋅<+<⋅ ⎪⎝⎭()f x 在()0,π上有且仅有2个最小值点∴3627711262ωπππωππ⎧<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩解得：3337ω<≤ 故③错误； 当 3.1ω=时，由7666x πππωωω⎛⎫⋅<+<⋅ ⎪⎝⎭可得：3.121.7666x πππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭由图象可知此时有1个最大值 故①错误； 当373ω=时，由7666x πππωωω⎛⎫⋅<+<⋅ ⎪⎝⎭可得11164211x πππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭由图象可知此时有5零点 故②错误； 当3337ω<≤时 可得：3,622x πππω⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x 此时单调减函数，故④正确. 综上所述，正确④ 故选：A 点评：本题的解题关键是掌握正弦函数图象特征，整体法求零点的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.8．已知集合{}220A x x x =--<，{}128xB x =<<，则（） A ．(2,3)AB = B ．(0,3)A B =C ．(,3)A B ⋃=-∞D ．(1,3)A B ⋃=-答案：D先通过解二次不等式和指数不等式，求出集合A B ，，再对选项进行判断. 解：因为{}220(1,2)A x x x =--<=-，{}128(0,3)xB x =<<=， 所以(0,2)A B ⋂=，(1,3)A B ⋃=-， 故选：D. 点评：本题考查集合的表示方法及交、并运算，一元二次不等式和指数不等式的求解，考查考生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 二、多选题9．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（） A ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥ B ．若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m n C ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nD ．若αβ⊥，m α⊂，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥答案：ABD根据线面的位置关系对每个选项进行判断． 解：由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又由n β⊂，得αβ⊥，A 正确； 由//αβ，m α⊥，得m β⊥，又由n β⊥，得//m n ，B 正确； 若//αβ，m α⊂，n β⊂，,m n 可能平行也可能是异面直线，C 错误； 由面面垂直的性质定理知D 正确． 故选：ABD ． 点评：本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键．10．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A ．这五年，2015年出口额最少B ．这五年，出口总额比进口总额多C ．这五年，出口增速前四年逐年下降D ．这五年，2019年进口增速最快答案：ABD观察白色条形图可分析选项A,观察5组条形图可分析选项B,观察虚线折线图可分析选项C,观察实线折线图可分析选项D. 解：对于选项A,观察5个白色条形图可知,这五年中2015年出口额最少,故A 正确; 对于选项B,观察五组条形图可得,2015年出口额比进口额稍低,但2016年至2019年出口额都高于进口额,并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额, 故这五年,出口总额比进口总额多,故B 正确;对于选项C,观察虚线折线图可知,2015年到2016年出口增速是上升的,故C 错误; 对于选项D,从图中可知,实线折线图2019年是最高的,即2019年进口增速最快,故D 正确. 故选:ABD. 点评：本题考查条形统计图的性质应用,考查数据分析能力,属于基础题.11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 答案：BC通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 解：设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 错误；当()()1,0,2,0,D B -时，12PD PE=，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO +-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO +-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得，整理得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC.点评：本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 答案：BCD设0x >，则0x -<，则由题意得()()1xf x ex --=-+，根据奇函数()()f x f x -=-即可求出解析式，即可判断A 选项，再根据解析式分类讨论即可判断B 、C 两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D 选项． 解：解：（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵函数()f x 是奇函数，∴()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1xex -=--+()1x e x -=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，（2）当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对； （3）当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对； （4）当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()'2x f x e x =+，由()()'20xf x ex =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，∴函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1xf x ex =+()0011e <⋅+=，又∵当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()221,,1e e --⎤⎡-⋃-⎦⎣()1,1=-，∴对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ． 点评：本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题． 三、填空题13．83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________.答案：28根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项．解：8848418831(2)()(1)28r r rr r r r r T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r，所以的常数项为228(1)28C -=.点评：本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 14．在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________ 答案：34计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. 解：()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()222AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34. 点评：本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.答案：5 过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，由三角形相似得到点C的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 解：()1,0F c -，()2,0F c 设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，122Rt AF F Rt CDF ,22112212DF F C CD AF F F AF ∴===， 22,2b C c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a c a a a a -+=⇒+=， 解得：55c e a ==.5点评：本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C 的坐标，属于中档题型. 四、双空题16．如图,矩形ABCD 中,23AB =2AD =,Q 为BC 的中点,点M ,N 分别在线段AB ,CD 上运动（其中M 不与A ,B 重合,N 不与C ,D 重合）,且//MN AD ,沿MN 将DMN ∆折起,得到三棱锥D MNQ -,则三棱锥D MNQ -体积的最大值为__________；当三棱锥D MNQ -体积最大时,其外接球的表面积的值为_______________.答案：1253π（1）依题意设AMDNx ,则23MBNCx ,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数顶点式和正弦函数的取值范围得出最大值.（2）依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点的坐标,设球心坐标,根据球心到各点距离等半径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积. 解：解：依题意设AM DN x ,则23MBNCx ,因为//MN AD ,所以DN MN ⊥,DN 与平面MNQ 所成角为θ13DMNQMBQD V S h 11sin32MN NC DN 11223sin32x x2131sin3x当3x 90θ=时三棱锥D MNQ -体积取得最大值. 2max1331sin 9013DMNQ V所以三棱锥D MNQ -体积的最大值为1. 故答案为：1（2）由（1）知道三棱锥D MNQ -体积取得最大值时,DN 与平面MNQ 所成角90θ=,即DN ⊥平面MNQ ,折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系： 所以0,0,0N ,2,0,0M ,3D ,3,0Q 设三棱锥D MNQ -外接球的球心为,,O x y zRON OM ODOQ2222222222222222222313x y z x y zx y z x y zx y z x y z解13332xyz,所以22233531326R ON外接球面积为2253254463S R.故答案为：253π点评：本题利用函数求解三棱锥的体积,考查函数最值的求法；还考查三棱锥外接球的体积,解决此类题需要有良好的空间想象力.五、解答题17．已知数列{}n a满足11a=，11n na a+-=，数列{}n b满足10b=，1n n nb b a+-=.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）数列{}n c满足2n an nc b=⋅，求数列{}n c的前n项和n S.答案：（1）n a n=，(1)2nn nb-=；（2）()23424nnS n n=-+⋅-（1）由11n na a+-=可知数列{}n a是首项为1,公差为1的等差数列,可得n a n=,再利用累加法求得{}n b的通项公式；（2）由（1）可得()212nnc n n-=-⋅,再由错位相减法求解即可.解：解:（1）因为11n n a a +-=,所以数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列, 所以1(1)1n a n n =+-⨯=, 因为1n n n b b a +-=,所以当2n 时,()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-=121(1)12(1)2n n n a a a n --++⋯+=++⋯+-=,当1n =时,10b =满足上式, 故(1)2n n n b -=. （2）由（1）得,()21(1)2222n ann n n n n c b n n --=⋅=⋅=-⋅, ()()()2222102223322n n S n n -=+-⨯+-⨯++-⨯①,()()222122222(1)(1)22n nn S n n n n -⎡⎤=-⨯++---⨯+-⨯⎣⎦②, ①-②,得()21222422(1)22n n n S n n n --=⨯+⨯++-⨯--⨯③,则()21212222(2)22(1)22n n n n S n n n n -+-=⨯++-⨯+-⨯--⨯④，③-④,得()()23221222222n n n n S n n n n +=+++-+-⨯+-⨯()()()21222122222212n n n n n n n --=-+-⨯+-⨯-()()12421322n n n n -=-+-+⨯ 2(34)24n n n =-+⨯-,故()23424nn S n n =-+⋅-. 点评：本题考查累加法求数列的通项公式,考查求等差数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 18．在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，且2S AB AC =⋅． （1）求角A 的大小； （2）若7c =，cos 45B =，求a 的值． 答案：（1）4π；（2）5a =（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得sin cos bc A bc A =，结合范围(0,)A π∈，可求tan 1A =，进而可求A 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求3sin 5B =，利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，由正弦定理可求得a 的值． 解：解：（1）由2S AB AC =，得sin cos bc A bc A =， 因为(0,)A π∈， 所以tan 1A =， 可得：4A π=．（2）ABC ∆中，cos 45B =， 所以3sin 5B =. 所以：72sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得272=，解得5a =， 点评：本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB AC ⊥，且1AA AC =.（Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．答案：（1）见解析；（2. （1）证明：连接1AC ，在平行四边形11ACC A 中，得11A C AC ⊥，又11A C AB ⊥，证得111AC B C ⊥，利用线面垂直的判定定理得1111B C ACC A 面⊥，进而得到平面11ACC A ⊥平面111A B C .（2）取11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到平11ACC A 面和平面11B AA 法向量,m n ，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．解：（1）证明：连接1AC ，在平行四边形11ACC A 中，由1AA AC =得平行四边形11ACC A 为菱形，所以11A C AC ⊥，又11A C AB ⊥，所以111A C AB C ⊥面，所以111AC B C ⊥， 又1111A C B C ⊥，所以1111B C ACC A ⊥面，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C（2）取11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则11ACC A 面的法向量为()1,0,0m =， 设面11B AA 的法向量为(),,n x y z =，因为()(()110,1,0,,2,1,0A A B -，所以()()110,1,3,2,2,0A A A B ==由1130220z A A n y z A B n x y x y⎧⎧=⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎪=-⎩，令3y =-()3,n =-设所求二面角为θ，则21cos cos ,7m n θ==故二面角111C AA B --7. 点评：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布如下表：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5]内的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得222.41s =.利用该正态分布，求P （27.43z ≥）. 附：（1）若随机变量z服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826,P z μσμσ-<<+=(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；（2 4.73≈.答案：（1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587（1）直接根据频数分布表求尺寸落在[27.5，33.5）内的概率； （2）由每一组数据的中间值乘以频率作和求得样本平均数； （3）依题意2(,)z N μσ，求得u 与σ，再由正态分布曲线的对称性求P （z ≥27.43）＝0.1587．解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在[27.5,33.5]内的概率为530.1650P +==； （2）样本平均数389121014172023265050505050x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯53293222.75050+⨯+⨯=； （3）依题意2~(),z N μσ，而22.7x μ==，2222.41s σ≈=，则 4.73σ≈，(22.7 4.7322.7 4.73)0.6826P z ∴-<<+=，10.6826(27.43)0.15872P z -∴≥==. 点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用频率分布表求概率及平均数，属于基础题．21．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程.答案：(1)24y x =；(2)()234y x =±-.【分析】试题分析：（1）设点P x y （，），圆心00N x y （，），由圆与y 轴相切于点C ，得|2|PF NC =，结合两点间的距离公式整理可得点P 的轨迹方程为24y x =； （2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，可得14ABFAOFSS+=．（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为11224y k x A x y B x y =-（），（，），（，），联立直线方程与抛物线方程，可得关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得1212416y y y y k+=-＝，， 再由12121114321283222ABFAOFAOMBFMSSSSy y y y +=+=⋅⋅+⋅⋅≥⋅＝，结合等号成立的条件求得12y y ，的值，进一步得到k 值，则ABF 与AOF 的面积之和取得最小值时，直线l 的方程可求试题解析：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =， 所以()22012x y x -+=，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=， 所以()2211x y x -+=+，整理得：24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =， 易得14ABF AOF S S ∆∆+=.（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅= 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =23y =-或1y =-23y =，所以1243y y k +==±，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l 的方程为：)4y x =±-. 解：请在此输入详解！22．已知函数21()ln ,()2()2f x x xg x ax x a R ==+∈． （1）当32a e=时，求曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线的方程； （2）设函数()()()h x f x g x =-的两个极值点为()1212,x x x x <，求证：关于x 的方程22212121ln ln ln 2x x x x x e e a ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭有唯一解． 答案：（1）34y x e =-（2）见解析（1）求两条曲线的公切线，分别求出各自的切线，然后两条切线为同一条直线，结合两个方程求解；（2）要证明关于x 的方程22212121ln ln ln 2x x x x x e e a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭有唯一解，只要证明222121210ln ln ln 2e a x x x x ->+-即可，由于当0a ≤时，()h x '单调递增，不可能有两个零点，故()h x 不可能有两个极值点，故0a >，利用()h x '得210e a->，又()()221212*********ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 12x x x x x x x x x x x x ax +->-=+-=+()()()2212121111ax ax ax a x x ++-++=-，接下来只要证明21210a x x ->，即21ln x x <，令t =12ln 0(1)t t t t-+<>即可，用导数即可证明． 解：（1）曲线()y f x =在切点(,ln )m m m 处的切线方程为ln (1ln )()y m m m x m -=+-，即(1ln )y m x m =+-，曲线()y g x =在切点231,2n n n e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为 2331222()y n n n x n e e ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即233212y n x n e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 由曲线()y f x =与曲线()y g x =存在公切线， 得32321ln 21m n e m n e ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得23321ln 2n n e e +=+，即31ln 20n n e --=． 令31()ln 2F x x x e =--，则311()F x x e'=-， ()0F x '>，解得30x e <<，∴()F x 在()30,e 上单调递增，()0F x '<，解得3x e >，∴()F x 在()3,e +∞上单调递减，又()30F e =，∴3n e =，则3m e =，故公切线方程为34y x e =-．（2）要证明关于x 的方程22212121ln ln ln 2x x x x x e e a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭有唯一解，只要证明222121210ln ln ln 2e a x x x x ->+-， 先证明：210e a->． ∵()21()ln 202h x x x ax x x =-->有两个极值点， ∴()()ln 10h x x ax x '=-->有两个不同的零点，令()()H x h x '=，则1()H x a x'=-， 当0a ≤时，()0H x '>恒成立，∴()h x '单调递增，()h x '不可能有两个零点；当0a >时，()0H x '>，则10x a <<，∴()h x '在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()0H x '<，则1x a >，∴()h x '在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 又0x +→时，()h x '→-∞，x →+∞时，()h x '→-∞， ∴11ln 20h a a '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得21e a >，∴210e a ->． 易知()22121212121212ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x x x x x x x +->-=+-， 由()()111222ln 10ln 10h x x ax h x x ax ⎧=--=⎪⎨=--=''⎪⎩，得1122ln 1ln 1x ax x ax =+⎧⎨=+⎩，()1212ln ln x x a x x -=-， ∴()()()()21212121212ln ln ln ln 11111x x x x ax ax ax ax a x x +-=+++-+⋅+=-． 下面再证明：21210a x x ->．212212121110ln ln ln x x x a x x a x x x -->⇔<=⇔<-令1t =>，则只需证12ln 0(1)t t t t-+<>， 令1()2ln (1)m t t t t t =-+>， 则22221(1)()10(1)t m t t t t t '--=--=<>，∴()()10m t m <=，得21210a x x ->． ∴22212121ln ln ln 2x x x x x e e a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭有唯一解． 点评：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的性质和有关的综合问题，考查学生分析解决问题的能力和计算能力，属于难题.。
2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}5|3A x x =-≤≤，{}3,1,1,3,5B =--，则A B =I （ ） A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1,1-- C ．{}1,1,3- D ．{}3,1,1,3,5--【答案】A【解析】根据交集定义计算． 【详解】因为{}5|3A x x =-≤≤，{}3,1,1,3,5B =--，所以{}3,1,1,3A B =--I . 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．()21i i +=（ ） A ．22i + B ．22i -+C ．22i -D ．22i --【答案】B【解析】直接按照复数的乘法法则运算即可. 【详解】()2122i i i +=-+.故选：B 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3．若1a =r ，2b =r ，且1a b ⋅=-r r ，则向量a r ，b r的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】由数量积定义得向量夹角公式，计算出夹角余弦后得角的大小． 【详解】因为1a =r ，2b =r ，1a b ⋅=-r r ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅<>==-r rr r r r ，故2,3a b π<>=r r .故选：C ． 【点睛】本题考查求平面向量的夹角，掌握平面向量数量积的定义是解题关键．考查运算求解能力.4．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 5．若函数()121xaf x =++为奇函数，则()f a =（ ） A ．35- B ．35C ．53-D ．53【答案】A【解析】首先利用奇函数满足()()f x f x -=-列出方程求出a ，从而求得函数解析式，代入a 的值求解即可. 【详解】 因为()121xaf x =++为奇函数，所以()()f x f x -=-，即112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭，整理得20a +=，解得2a =-，则()22112121x x x f x --=+=++，故()()222132152f a f ---==-+=-.故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.6．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D【解析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 7．若51sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ） A ．78 B ．78-C ．34D ．34-【答案】B【解析】用诱导公式求出cos α，再由二倍角公式计算． 【详解】因为51sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以1cos 4α=，则217cos 22cos 121168αα=-=⨯-=-.故选：B ． 【点睛】本题考查诱导公式与余弦的二倍角公式，考查运算求解能力.解题时要根据已知和求值式确定选用公式的顺序，以便正确快速地得出结论．8．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A ．-3 B ．3C ．-2D ．2【答案】A【解析】对函数()f x 求导,可得(1)0(1)2f f =⎧⎨='⎩,即可求出,a b ,进而可求出答案.【详解】因为32()3f x ax x b =++,所以2()36f x ax x '=+,则(1)360(1)32f a f a b '=+=⎧⎨=++=⎩,解得2,1a b =-=,则3a b -=-.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π3B ．4π1633C 16343π+D ．43π163【答案】D【解析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=3故该几何体的体积123V V V =+=+故选:D. 【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.10．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos B -<<,即可得到cos B <即充分性成立;必要性:ABC V 中,0180B ︒︒<<,若cos B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.11．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A ．34 B ．234C ．517D ．317【答案】D【解析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，12HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅17==. 故选：D 【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.12．已知函数()2xf x me x =-恰有三个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()f x 的零点等价于x y me =与2y x =的图像的交点个数，分析两函数图像的交点将问题转化为方程ln 2ln m x x =-在()0,+?上有两个不同的解，利用导数求出2ln y x x =-的最大值即可得解. 【详解】若0m ≤，则()20xf x me x =-≤，函数()f x 在R 上无零点，不满足题意，0m ∴>，函数()f x 的零点个数即x y me =与2y x =的图像的交点个数.因为x y me =与2y x =的图像在(),0-?上有且只有一个交点，所以x y me =与2y x =的图像在()0,+?上有两个交点，又()20x me xx =>等价于ln 2ln x m x +=，即ln 2ln m x x =-，记()2ln g x x x =-，则()21g x x'=-， 令()0g x ¢>，解得02x <<，令()0g x ¢<，解得2x >，所以()()max 22ln 22g x g ==-，故()()max ln 22ln 22m g x g <==-，即240m e<<. 故选：B 【点睛】本题考查函数与方程，利用导数研究函数的单调性及最值，属于较难题.二、填空题13．函数()ln 2f x x x x =-的极小值是______. 【答案】e -【解析】求出导数，由导数的符号判断函数的单调性从而找到极小值点，代入解析式求出函数值即可. 【详解】()ln 2f x x x x =-Q ，()ln 1f x x '∴=-，令()0f x ¢=，解得x e =，当0x e <<时，()0f x ¢<，当x e >时，()0f x ¢>.故()f x 在x e =处取得极小值，极小值为()ln 2f e e e e e =-=-. 故答案为：e - 【点睛】本题考查利用导数求函数的极小值，属于基础题.14．若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】3【解析】作出可行域,可得当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,z 取得最大值,求解即可. 【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020x y x y --=⎧⎨+-=⎩,可求得点()1,1A , 当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,max 1213z =+⨯=. 故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题. 15．记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则77a b =______. 【答案】115【解析】结合等差数列的前n 项和公式,可得()()771377113111331313132132a ab b b a a T b S ===++,求解即可. 【详解】 由题意,()11313713132a a S a +==,()11313713132b b b T +==,因为357n n S n T n +=+,所以7713771313313511131375a a Sb b T ⨯+====+. 故答案为:115. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.16．已知函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是______.【答案】20,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据余弦函数性质求出函数()f x 的增区间，确定可包含,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的区间，得出不等关系． 【详解】因为cos y x =在[]2,2,k k k Z πππ-∈上单调递增， 由223k x k πππωπ-≤-≤，得22233k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈， 所以()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在2,33ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2,,3233ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得203ω<≤. 故答案为：2(0,]3． 【点睛】本题考查三角函数的单调性，考查运算求解能力与推理论证能力.掌握余弦函数的性质是解题关键．三、解答题17．已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）()f x 2sin 6x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）⎡-⎣ 【解析】（1）由()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.列方程组求解； （2）由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，然后由正弦函数性质求得值域． 【详解】解：（1）因为()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()1012111322f a f b a π⎧==-⎪⎪⎨⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 解得1a =，b =. 故()13sin cos 22f x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）因为22x ππ-≤≤，所以2363x πππ-≤-≤，所以1sin 6x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 则()2f x -≤≤.故()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，掌握正弦函数的单调性是解题关键．求三角函数问题，可用三角函数公式如两角和与差的正弦余弦公式、二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x m ωϕ=++的形式，然后结合正弦函数性质求解． 18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知a ，且()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求cos C 的值；（2）若ABC V的面积是ABC V 的周长.【答案】（1）cos C =；（2）2+ 【解析】（1）由正弦定理可得,2()()2a b c a b c c ab -+--=-,化简并结合a ,可求得,,a b c 三者间的关系,代入余弦定理可求得cos C ;（2）由（1）可求得sin C ,再结合三角形的面积公式,可求出,,a b c ,从而可求出答案.【详解】（1）因为()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-,所以2()()2a b c a b c c ab -+--=-,整理得:2222a b c +=.因为a ,所以2242b c =,所以c =.由余弦定理可得222222cos 2a b c C ab +-===（2）由（1）知cos C =,则sin 3C ==,因为ABC V 的面积是,所以1sin 2ab C =即212=解得2b =,则a c ==故ABC V 的周长为:2+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.19．已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）12112222n n S n n +=++- 【解析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122n n n n n a na +++=+,即可证明结论; （2）由（1）可求得2n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可.【详解】（1）证明:因为11221n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112a =,故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112n n na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232n n =++++++++L ()232222(123)n n =+++++++++L L ()212(1)122n n n ⨯-+=+-12112222n n n +=++-. 【点睛】 本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，224AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG .（2）求点D 到平面ACF 的距离.【答案】（1）证明见解析（245 【解析】(1)由AE BC =、//AD BC 推出四边形ABCE 是平行四边形，再由AB BC =推出四边形ABCE 是菱形从而可得AC BE ⊥，利用面面垂直的性质推出AC ⊥平面BEFG ，即可推出两平面垂直；(2)由(1)及已知条件可得四边形ABCE 是菱形且60BAD ∠=︒，推出相应边的长度进而求出AEC ∆的面积，利用面面垂直的性质由平面BEFG ⊥平面ABCD 推出EF AE ⊥、EF CE ⊥从而可求OF ，最后利用等体积法()D ACF F ACD V V --=即可求得D 到平面ACF 的距离.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，2AD BC =，所以AE BC =，因为//AD BC ，所以//AE BC ，所以四边形ABCE 是平行四边形.因为AB BC =，所以平行四边形ABCE 是菱形，所以AC BE ⊥.因为平面BEFG ⊥平面ABCD ，且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =，所以AC ⊥平面BEFG ，因为AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BEFG .（2）记AC ，BE 的交点为O ，连接OF .由（1）可知AC ⊥平面BEFG ，则AC OF ⊥.因为底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，224AD AB BC ===，所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD ∠=︒.则2AE CE ==，3OA OC ==，从而AEC ∆的面积13S =.因为平面BEFG ⊥平面ABCD ，且四边形BEFG 为正方形，所以EF AE ⊥，EF CE ⊥，所以4422AF CF ==+=，则835OF =-=.设点D 到平面ACF 的距离为h .因为D ACF F ACD V V --=，所以11112323AC OF h S EF ⨯⋅⋅=⨯⋅， 即111235232323h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得45h =. 故点D 到平面ACF 的距离为455.【点睛】本题考查面面垂直的证明，等体积法求点到直线的距离，面面垂直的性质，属于中档题. 21．已知函数()e 2x f x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2x f x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2x f x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意;②当02m <<时,令()0f x '<,解得20ln x m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 则2ln (0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞.【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.22．已知函数()()2xf x x e =-. （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.【答案】（1）单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞（2）证明见解析【解析】(1)求出函数的导数，利用导数的符号研究函数的单调性；(2)不等式恒成立等价于()ln 32x f x x >-恒成立，利用导数分别分析函数()f x 、ln ()32x h x x=-的单调性与最值，证明()()min max f x h x >即可证明原不等式恒成立.【详解】（1）因为()()2x f x x e =-，所以()()1xf x x e '=-， 令()0f x ¢>，解得1x >；令()0f x ¢<，解得1x <. 故()f x 的单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞.（2）要证()2ln 6xf x x x >-，只需证()ln 32x f x x >-. 由（1）可知()()min 1f x f e ==-.令()ln 3(0)2x h x x x =->，则()21ln 2x h x x-'=， 令()21ln 0ln 102x h x x x e x -'=>⇒<⇒<<， 所以当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，则()()max 132h x h e e==-. 因为 2.71828e =⋅⋅⋅，所以 2.75e ->-，所以1133 2.7524e -<-=-， 从而132e e->-，则当0x >时，()()min max f x h x >. 故当0x >时，()()f x h x >恒成立，即对任意的()0,x ∈+∞，()2ln 6xf x x x >-.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，利用导数证明不等式恒成立，属于中档题.。
2020-2021学年数学文科高三期末复习检测卷及答案解析
最新高三数学测验题（文科）1本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M（A ）{}1 （B ）{}1,1- （C ） {}1,0 （D ）{}1,0,1- 2、复数2(1)1i i+-＝A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i -3、已知平面γβα,,，直线c b a ,,，则下列命题正确的是 （A ）若,,γβγα⊥⊥则βα//；（B ）若,,c b c a ⊥⊥则b a //；（C ）若,,αα⊥⊥b a 则b a //； （D ）若,//,//ααb a 则b a //．4、如图所示，某几何体的三视图相同，均为圆周的41，则该几何体的表面积为 （A ）π43 （Ｂ）π45 （Ｃ）π （Ｄ） π2 5、执行右图的程序框图，则输出的结果为 （A ）66（Ｂ）64（Ｃ）62（Ｄ）606、设y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ，则y x z -=2的最大值为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 7、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为（ ） A ． 等腰三角形B ． 锐角三角形C ． 钝角三角形D ． 直角三角形8、已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的一定点，并且A 点到21,l l 的距离分别为3,2，B 是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 （A ）2 （B ）3 （C ）6 （D ）49、已知21,F F 分别是双曲线1:2222=-by a x C 的左，右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （A ）3 （Ｂ）3 （Ｃ）2 （Ｄ）210、已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为A ．4B ．6C ．8D ．10第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2022-2023学年甘肃省白银市靖远一中数学高三第一学期期末考试模拟试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．55B ．35C ．79D ．2352．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+3．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．100824．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4± B ．4C ．2±D ．25．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．6．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 7．已知集合{}|124A x x =<≤，2|65B x y x x ⎧⎫==⎨-+-⎩，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤8．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>9．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-310．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A 5 B ．4C ．2D 511．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．6712．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省白银市靖远县第四中学2021届高三上学期10月模拟考试数学(文)试题(含答案)
靖远四中2021届高三第一次模拟考试（文科）数学第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2650B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,42．下列函数中是奇函数，且在()0,+∞上单调递增的是（ ）.A 1y x =.B y x = .C 2x y = .D 3y x =3．已知函数()[]()()221,0,1,1,3x x f x x b x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，5(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数b =（ ） A ．1 B ．52C ．3D ．44．已知：函数()()22f x x k x =+-是[)1,+∞上的增函数，则k 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 5．方程2=-x e x 在实数范围内的解有（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 36．已知352a =，253b =，135c -=，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．函数()()213log 6f x x x =-++的单调递减区间为（ ） A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形9．当),0(+∞∈x 时,幂函数352)1(----=m x m m y 为减函数, 则实数m 的值为( ).A 2=m .B 1-=m .C 21=-=m m 或 .D 251±≠m10．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．关于函数()3sin(2)13f x x π=-+（x ∈R ），下列命题正确的是A ．由12()()1f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16y x π=++ C ．()y f x =的图象关于点(,1)6π对称D ．()y f x =的图象关于直线34x π=对称 12．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R x ∈都有()()4+=x f x f ，当()2,0∈x 时,若()x x f 2=,则(2015)(2012)f f +的值为（）.A 2- .B 1- .C 12.D 32+第II 卷（非选择题）二、填空题（每空5分，共20分）13．函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 。
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绝密★启用前高三数学试卷（文科）(考试时间:120分钟 试卷满分:150分）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后﹐用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}60,35A x x B x x =-><-<=，则A B ⋂=（ ）A ．∅B ．{}65x x <<C ．{}35x x -<<D ．{}356x x x <-<<或 2. 若复数()212z i =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．3. 等差数列{}32n -与等差数列{5}2n -的公差之和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．84.某校高--年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下:则及格(不低于90分)的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[90,100]内B ．在(]110,120内C ．在(]100,110内D ．在(]120,130内 5.若,x y 满足约束条件23010x y x y -≤⎧⎨--≥⎩，2,z x y =-则（ ）A ．z 的最小值为1B ．z 的最大值为1C ．z 的最小值为4D ．z 的最大值为46.已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，若P 为C 上异于顶点的任意一点，则1POF ∆与2POF ∆的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或16 7. 已知函数()()f sin x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,0,,062ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()243f x sin x π⎛⎫= ⎝-⎪⎭ B ．()124f x sin x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．()cos 62f x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．()36f x sin x π+⎛⎫= ⎪⎝⎭8. 已知,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平而，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若,//,//,a b αβαβ⊥则a b ⊥B ．若//,αβ则,,b a a b αβ∃⊂⊂⊥C ．若,//,//,a b ααββ⊥则//a bD ．若//,,a b ααβαβ⊂⋂=，则a 与b 异面9. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题:“今有三鸡共啄粟一千—粒，雏啄--，母琢二，翁啄四.主责本粟.问三鸡啄各偿各几何?”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．15310. 若2311212log xlog >，则x 的取值范围是（ ） A ．()23,log -+∞ B ．()32,log -+∞C ．()3,2log -∞-D ．()2,3log -∞- 11. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22+ D 12. 已知函数()()22144f x cos x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．4二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.函数()322f x x =-的图象在点()1,0处的切线的斜率为_ ．14.从集合{}中任意选取一个元素作为球О的半径，则球О的表面积不小于20π的概率为_ ．15.已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S = ．16.已知抛物线2:8C y x =与圆22:128D x y +=交于,A B 两点.F 是C 的焦点，ABF ∆的重心为G .设P 是圆D 上一动点，则PG 的最大值为 ． 三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一)必考题:共60分.17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2sinA sinB b a +==. ()1求cosA .()2若D 是AB 边上一点，且ACD ∆2，证明:AD CD =. 18. 某工厂的工人生产内径为25.40mm 的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下(单位:mm ):25.418⨯ 25.426⨯ 25.404⨯ 25.3811⨯25.398⨯ 25.441⨯ 25.437⨯ 25.575⨯这里用x n ⨯表示有n 件尺寸为xmm 的零件.()1求这50件零件内径尺寸的平均数元;()2设这50件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在(),x s x s -+内的件数.参考数据: 2.04=.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y += ()1求C 的方程.()2直线l 与y 轴平行，且与C 交于,P Q 两点，,A B 分别为C 的左、右顶点，直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11CDD C ⊥底面111,//,ABCD AB C D AD CD ⊥且13,24,5DD CD AB AC ====.()1证明:四边形ABCD 为直角梯形.()2若1,32CDD ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求四棱柱1111ABCD A B C D -体积的取值范围. 21. 已知函数()x ln x f ex a a +=. ()1若1a =，讨论()f x 的单调性;()2若()ln 0,1,()x x f x x ∀∈>，求a 的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+. ()1求l 的普通方程和C 的直角坐标方程;()2若l 与C 交于,M N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值. 23.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()211f x x x =-++. ()1求()f x 的值域;()2若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值. 高三数学试卷参考答案(文科) 一、选择题l.C 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为{}|6A x x =<， 所以{}315B x A -⋂=<<.2.D 【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力.因为34,z i =--所以144,z i -=+则1z -==3.A 【解析】本题考查等差数列的定义，考查推理论证能力.等差数列{}32n -的公差1312()(323)d n n =+--=-，同理可得等差数列{}52n -的公差22d =-，故121d d +=.4.B 【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力.由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内.5.C 【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想.作出可行域(图略)，由图可知，当直线2z x y =-经过点()3,2A 时，z 取得最小值，且最小值为4.6.D 【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想. C 的方程可化为2216416y x -=， 所以8,a =易知1POF 与2POF 周长差的绝对值为216a =，故1POF 与2POF 的周长之差为16-或16.7.C 【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力.设()()f sin x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则(22,6)2k Z T πππω-=∈=，则()3k k Z ω=∈，排除,A B 而()36f sin x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，排除D ， 故选C . 8.B 【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力.对于选项A ，当,a b 都平行于α与β的交线时，//,a b所以A 为假命题.对于选项B ，,,,b a a a b β∃⊂⊂⊥所以B 为真命题.若,//a ααβ⊥，则αβ⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题.若//,,a a a b αββ⊂⋂=，则//a b ，所以D 为假命题.9.C 【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养.2,2,y x z y ==247s x x r x ∴=++=由算法的功能可知，输出的:10011437x ==. 10.A 【解析】本题考查对数运算，考查运算求解能力.因为231212log xlog >-， 所以22122312123312log x log log log log ≥-=-⋅=-. 11.D 【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养.连接631472,,A A A A A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =，设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==+=，由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A A AB A A A A ++=+===⋅，故λ=12.B 【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想.令21,x t +=则()f x 有且只有一个零点等价于()()21g t cost a t =+-只有一个零点，因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()100g a =-=，故1a =.二、填空题l3.6【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.因为()26f x x '=， 所以()'16f =.l4.7【解析】本题考查古典概型与球体的表面积，考查运算求解能力.设球O 的半径为()0R R >，由2420R ππ≥，得R ≥故所求概率为57. 15.()123n --【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力. 设{}n a 的公比为q ，则324443S q q=++=， 解得2q =-，则()1121,3n n a S --==.16.6+【解析】本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的数学思想与运算求解能力.由2221288x y y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 得281280(0)x x x +-=≥，解得8x =或16x =-(舍去).不妨假设()8,8A ，则8(8,)B -.因为()2,0F ，所以G 的坐标为882880,33++-+⎛⎫⎪⎝⎭， 即()6,0.因为圆D的半径为 所以PG的最大值为6+.三、解答题17.()1解:2,b a =2,sinB sinA ∴=又sinA sinB +=8sinA ∴=2,b a = ,,0,2a b AB A π⎛⎫∴<∈ ⎪⎝⎭故78cosA ==.()2证明:2121628ACD S b ADsinA b AD ∆=⋅=⋅= 47AD b ∴= 由余弦定理得2222CD AC AD AC ADcosA =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 47CD b ∴=， 故AD CD =评分细则:【1】第()1问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到78cosA =±，扣2分. 若只得到,A B <而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分. 【2】第()2问中，未写2222CD AC AD AC ADcosA =+-⋅， 直接得到2222447477872b CD b b b b =+⎛⎫⎛⨯⨯⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，不扣分. 18. 解:()()()6125.4125.39825.40425.4225.3825.4325.37525.4425.38525.43250()x =+⨯+⨯++⨯++⨯⨯+⎡⎤⎣⎦+⨯÷()2因为222220.01160.02170.03120.041()500.000416s =⨯+⨯+⨯+⨯÷=，所以20.010.01 2.040.0204s ===⨯=，25,400.020425.3796,25.400.020425.4204x s x s -=-=+=+=，所以这50件零件内径尺寸在(),x s x s -+内的件数为5017537---=，故该厂1000件零件中其内径尺寸在(),x s x s -+内的件数约为37100074050⨯=， 评分细则:【1】第()1问中，的结果写为25.4不扣分.【2】第()2问中，没有求x s -与x s +的值﹐而直接得出这50件零件内径尺寸在(),x s x s -+内的件数为37，需扣1分.19.()1解:因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=， 所以24a = 因为12c e a ==， 所以2221,3c b a c ==-=，故C 的方程为22143x y +=. ()2证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ，则(),,22Q m n m --<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22n y x m =++， 直线BQ 的方程为()22n y x m =--+， ()()2222n y x m n y x m ⎧=++=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-，解得4x m =，即4G x m= 故44p G x x m m ⋅=⨯=为定值. 评分细则:【1】第()1问中，根据圆的方程得到同样2a =给2分.【2】第()2问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分.20.()1证明:过1D 作1D H CD ⊥，垂足为H ，因为平面11CDD C ⋂底面ABCD CD =，平面11CDD C ⊥底面ABCD ， 所以1D H ⊥底面ABCD因为AD ⊂平面ABCD ，所以1D H AD ⊥.又11,,AD CD CD D H H ⊥⋂=所以AD ⊥平面11CDD C .因为CD ⊂平面11CDD C ，所以AD CD ⊥又//,AB CD AB CD ≠，所以四边形ABCD 为直角梯形.()2解:由()1知，1D H ⊥底面ABCD ，则1D H 为四棱柱1111ABCD A B C D -的高.因为1,32CDD ππ∠∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11113D H DD sin CDD sin CDD ⎫=∠=∠∈⎪⎪⎝⎭， 因为,AD CD ⊥所以3AD ==，所以四边形ABCD 的面积(12392)4S =⨯+⨯=， 所以四棱柱1111ABCD A B C D -的体积272V S DH ⎛⎫ ⎪ ⎝=∈⎭⋅⎪， 故四棱柱1111ABCD A B C D -体积的取值范围是272⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 评分细则;【1】第()1问中，证明1D H ⊥底面ABCD 时，没有写平面11CDD C ⋂底面ABCD CD =，扣l 分. 最后一行写成2,CD AB =不扣分，如果既没有写AB CD ≠，又没有写2,CD AB =，就要扣1分. 【2】第()2问中，写到四棱柱1111ABCD A B C D -的体积,272V S DH ⎛⎫ ⎪ ⎝=∈⎭⋅⎪， 但没有下结论“四棱柱1111ABCD A B C D -的体积的取值范围是272⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭”，不扣分. 21. 解:()()1f x 的定义域为(),-∞+∞，因为1,a = 所以()1x x x e x f x e '⎛⎫⎪⎭-'= ⎝= 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(),1-∞上单调递增;当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减.()2由ln ln x x a x ae x+>，得ln ln ln x x e a x ae x +>即()ln ln x xae x x ae <对1()0,x ∈恒成立 令()ln x h x x =，则()21ln x h x x-'= 当()0,x e ∈时，()()'0,h x h x ≥单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，当()0,1x ∈时，()0h x <. 由()ln ln x xae x x ae <，得()()x h x h ae ≤，所以:x x ae < 所以xx a e >对1()0,x ∈恒成立. 设()(),0,1x x m x x e =∈， 由()1知()m x 在()0,1上单调递增， 所以1a e ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 评分细则:【1】第()1问中，未写定义域，直接得到()1x x f x e -'=不扣分. 写到当1x <时，()0f x '>，给1分;当1x >时，()0f x '<，也给1分.【2】第()2问中，写到1a e ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭，不扣分. 如果没有先说明()h x 在()0,1的单调性与()h x 在()1,+∞上的正负情况， 直接由()()x h x h ae <得到x x ae <，则要扣2分.22. 解:()1l 的普通方程为10x y +-= 由22123cos ρθ=+得2223312cos ρρθ+=， 则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=.()2由题意，l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数)， 代入22134x y +=，得27160t --=. 设,M N 对应的参数分别为12,t t ，则12121677t t t t +==-， 则1212121211t t t t PM PN t t t t +-+===24371627== 评分细则:【1】第()1问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分. 【2】第()2问得到27160t --=后，可以直接求出12,t t ，其步骤如下: 设,M N 对应的参数分别为1212,()tt t t ≤，则12t t ==则12111172431122PM PN t t ⨯+=+=+== 23.解:()1当1x ≤-时，()33f x x =-≥;当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭; 当12x >时，()332f x x =>. 综上，()32f x ≥. 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ()2由()1知，223, 3.2m a b =+=则22122a b ++= 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪++⎝⎭+ ()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭当且仅当22221212b a a b +=+即2211,2a b ==时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2. 评分细则:【1】第()1问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分. 【2】第()2问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分.。