人教课标版高中数学必修5参考课件-《数列》复习

② 解答题主要考查数列的综合应用为主，可能考到的 题型有：等差数列和等比数列的综合题，与数列相关 的归纳、猜想、证明问题，同时注重在数列与函数、
数列与不等式、数列与几何、数列与向量等知识网络 的交汇点命制试题，具有较强的考查思维能力的功能。
③ 数列中Sn与a的n 关系一直是高考命题的亮点。要掌
握在如下三种递推关系下，数列通项公式的求法。
即an1 f，(an ) ， Sn1 f (Sn ) Sn 。f构(a造n )(等n 差N或) 等比数列是解决此类问题的有效方法。
④ 求和问题也是常见的试题。等差数列、等比数列以 及可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握。另 外，还应掌握一些特殊数列的求和方法，例如错位相减 法、倒序相加法、拆（并）项求和法、裂项求和法。
以上n-1个式相加即可得到：
an,2
a2,2
2
3
4
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.......
(n
1)
(n
1)(n 2
2)
an,2
(n
1)(n 2
2)
2
即an,2
n2
n 2
2
(n
2且n
N)
评析：
杨辉三角在选修教材的练习题中出现过， 像这种数列创新题也是近年高考创新题的 热点问题。求解这类题目的关键是仔细观 察各行项与行列式的对应关系，通常需转 化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方 法来求解。有兴趣的同学不妨求出
题例2
题型示例
图1
图2
图3
图4
如上图所示，第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的。
记第n个图形的顶点数为 an (n 1,2,3,........) ，
则 a2005 =
。
解：由图易知：
a1 12 3 4, a2 20 4 5, a3 30 5 6, a4 42 6 7,
从而易知，
[(k 1)2 5(k 1) 2] Sk
1 2
[(k
1)2
5(k
1)
2]
1 2
(k
2
5k
2)
ak
1 (k 2 7k 8) 1 (k 2 5k 2) (k 1) 2k 4
2
2
ak1 k 2 (k 1) 1
即当n＝k＋1时猜想也正确， ∴ 对一切n∈N，an＝n＋1．
评析:
探求与函数解析式有关的数列通 项问题，具有一定的综合性．利用求 得的函数f(x)的解析式确定f(an)，为顺 利求出an奠定了基础．
数列是一类特殊的函数，因而数 列问题常与函数、方程有关．善于调 用函数与方程的思想研究数列问题， 必将使我们对数列的认识更加全面， 理解更加深刻, 也将更能把握问题的实 质。
2时，S n
f
2 (an )
1 (n2 2
5n 2).
试写出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明( 文科不作要求)。
分析: 对(1)，由条件知f(x)与参数a、b有关，这显然 可利用方程的思想来解决，求解（2）的首要问题时 探求an的表达式，一个本能的念头是怎样促使条件
具Sn体 化f (2a即n )可 12。(n不2 难5n想 2到) 在明（朗1化），中显我然们这已只获须得将了f函(a数n ) f(x)的解析式，那么f(an)当然极易写出来了．当我们 获得Sn与an的明显关系式后，便可通过试验、归纳、 猜想出an的表达式，再用数学归纳法证明即可．
《数列》复习应对策略
一、知识结构 二、大纲 三、考点预测 四、题型示例 五、关于数列应用题 六、复习策略
数列
数列
一、知识结构
等
通项公式
差
数
前n项公式
列
等
通项公式
比
数
列
前n项和公式
数列的应用
函数思想
函数
函数列
推广
类比
数列
类比
特殊化
特殊化
一次函数 类比 等差数列
指数函数
等比数列
实数
二
大 纲
三、考点预测
b
1,
f
(x)
2
2
x
.
（2）当n
2
时，将
f
(an )
2 2 an
代入
Sn
2 f (an )
1 (n2 2
5n 2)
整理得 Sn
an
1 (n2 2
5n 2).
当由于n a12＝时f(，1)有＝a21， a所2 以 aa22＝ 312．(4 10 2)
同理可得 a3＝4，a4＝5． 由此猜想：通项公式为an＝n＋1，(n∈N*)．
第三，要注意对运算程序的调控，使运算程序做到合理、简 捷．合理的运算程序能缩短思维的长度，因而它是运算达到准 确、简捷的前提和保证．运算应达到要求是“熟练、准确、合 理、简捷”．
总之，“通”文理、“明”事理、“精”数理，增强应用意识 和提高数学化能力，是提高解数学应用题能力的根本出路．
题例：
某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预 计第一年的增长率为200%，以后每年的增长 率是前一年的一半，设原来的产量为a.
的通项式。 aij (i, j N *，i j)
题例4
题型示例
已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，
且对定义域中的任意x，有f(x＋2)＝－f(2－x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足：
当n＝1时，a1＝f(1)＝2，当n
2、复习内容以基础知识为主，严格按照新 课程标准要求，有针对性地编写复习资 料进行复习。
3、复习过程尽量以知识体系为主，把同一 知识体系及相关知识结合起来复习。努力 做到知识系统化。
在知识梳理的过程中，要注意提取和 归纳重要的数学思想和数学方法，让学生 站在数学思想和数学方法的高度上来认识 数学问题；同时还要特别注意对易错知识 点的梳理，如：在《数列》一章中最容易 产生错误的知识点有两个：
五、关于数列应用题
数学来源于实践，又在应用于实践的过 程中得到发展和完善，运用数学知识解 决实际问题，既是数学的起源，又是数 学的归宿，也是学习数学的目的所 在．现实中的应用问题千姿百态、千变 万化，要体现数学的应用价值，使数学 服务于生产、生活实际。
首先应学会从实际问题中抽象出数学问 题．建立适当的数学模型，然后运用所学过 的数学知识解决之．因此，解数学应用题， 需过好三关：文理关、事理关以及数理 关．不少同学因对普通文字语言的阅读理解 能力低而过不了“文理关”；长期闭门读书， 不接触（或接触甚少）社会和生活实际又使 一部分学生不明事理而难过“事理关”；缺 乏对普通语言、数学符号语言和图形语言进 行互相转换的能力以及运算能力弱，使不少 考生无法建立数学模型而过不了“数理 关”．三关挡道是近几年数学应用题得分低 下的重要原因．
要提高解应用题的水平，首先要提高自己的阅读理解能力， 并注意弄清一些诸如至少、至多；不少于、不大于；增长到、 增长了；都不是、不都是等关键词语的确切含意．因为正确理 解题意是解应用题必须迈好的第一步．
其次，解应用题必须将普通语言翻译成（内隐或外显的）数学 语言．数学语言是数学思维的载体，是解决问题的工具，要提 高数学思维能力，离开娴熟的数学语言是不可思议的．只有提 高语言的运用和转化能力，善于舍弃问题中与此同时数学无关 的非本质因素，抽取出涉及问题本质的数学结构，才能将具体 实际问题准确的转化为数学问题或已知的数学模型．
解:(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)，得(ax－1)f(x)＝b．
若ax－1＝0，则b＝0，这与b≠0矛盾．
故
ax
1
0
,于是，f
(x)
b ax
1
由于f(1)＝2，故有2a＝b＋2 (1)
又 f(x＋2)＝－f(2－x)，
即
b
a(x 2) 1
b . a(2 x) 1
化简得
a
1 2
代入（1）得
an (n 2)(n 3) (n 1,2,3......) a2005 2007 2008 4030056
题型示例
评析：求解几何计数问题通常采用“归纳—猜 想—证明”解题思路。本题也可直接求解。第n个 图形由第n+2边形“扩展”而来的，这个图形共由 n+3个n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶 点，故第n个图形的顶点数为
10.显然，产量不可能是始终逐
年提高的，设第n年产量不如上一年，则
bn bn1
1, 2n
36, n N*, n
6 即从第6年起，产量不如上一年．
六、复习策略
1、复习过程以课本为主，以知识模块为主 线开展复习，不能脱离课本仅凭某本参考资 料复习。其实，往往很多高考题都是课本习 题或例题的再加工或者就是原型。从A组题到 B组题，如果课本的每一题都过关，则基本上 可以满足高考的需要了。
an,2 (n 2且n N ) 的通项式为 。
解：由图易知 a2,2 2, a3,2 4, a4,2 7, a5,2 11,......... .
从而知 {an,2 }是一阶等差数列，即
a3,2 a2,2 2......1() a4,2 a3,2 3......(2) a5,2 a4,2 4......(3) ............................... an,2 a(n1),2 n 1.......(n 1)
高考命题趋势预测：
① 选择题或填空题仍以考查等差数列、等比数列的 概念（要注意数列的图表、图像表示）以及基本性质， 同时，也考查数列通项公式的求法，尤其要注意归 纳—猜想题型。
这种利用归纳和类比进行推理的题型在历届的高考 中已经出现过（主要出现在填空题的最后一题，即16 题），估计在将来的高考试题中会将这种思想方法体 现得更加林淋漓尽致．因而，在复习过程中加大对这 种题型的训练是很有必要的．
⑤ 数列应用题。
题例1
四、题型示例
等差数列{an }中，a3 a4 a2007 4020 ,则a10 a2000 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
评析：此题重点考察等差数列的性质，几乎所有学 生都能做出此题，但显然不同水平的学生所采用的 方法是不同的，所用的时间也是不同的，有的学生 可能会选择设出通项公式，整体代换去做，有的同 学可能选择利用“中项”的性质去做，还有的同学 会根据选择题“四选一”答案唯一的特点，利用 “特殊数列（如常数列）法”来做，但这显然是本 题最简洁实用的解法。所以尽管此题简单，但仍然 显示了良好的区分度。
(2)则设b第1＝一a年(1＋实2际)×产(量1－为11b0 ，)＝第3an×年1的90, 实b2＝际b产1(1量＋为2×bn，12 )
9 10
b3
[1
2
(
1 2
)
2
]
9 10
,,
bn
bn1[1
2 (1)n1] 9 2 10
bn1(1
22n ) 9 10
即
bn bn 1
(1
4 2n
)
9
an (n 2)(n 3) (n 1,2,3......)，
a2005 2007 2008 4030056
解决此类问题需要较强的观察能力及快速探求规 律的能力。因此，它在高考中具有较强的选拔功能。
题例3
题型示例
如图是一个类似“杨辉三角”
的图形，第n行共有n个数，且该行 的第一个数和最后一个数都是n,中 间任意一个数都等于第n－1行与之
(1) 写 出 改 进 饲 养 技 术 后 的 第 一 年 、 第 二 年、第三年的产量，并写出第n年与第n－1
年（n≥2，n∈N）的产量之间的关系式； (2)由于存在池塘老化及环境污染等因素，
估计每年将损失年产量的10%，照这样下去， 以后每年的产量是否始终逐年提高的？若是， 请给予证明，若不是，请说明从第几年起，产 量将不如上一年．
①已知数列的前n项和Sn，求通项an。学
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，a1＝2，n＋1＝1＋1＝2，猜想正确．
(2)假设n＝k时，猜想正确，即ak＝k＋1成立．
此时必有
Sk
ak
1 2
(k 2
5k
2)则当n
k
1 时，有
Sk 1
ak 1
1 [(k 2
1)2
5(k
1)
2].
故S
k
2ak
2ak
1
1
1
2
1 [(k 1)2 5(k 1) 2] 2
1
解:
第一年增长2，第二年是2×
率为2×(
1 2
)
＝ n1
2
2n
.
2 ＝……第n年增长
(1)设第n年的年产量为 an ，则a1＝a(1＋2)＝3a，
a2＝a1(1＋2×
1 2
an＝an－1[1＋2×
)＝6a，a3＝ a2 ( 1 )n1]＝an－1(1＋
2
[1＋2× ( 1 ) 2 ]＝9a，
2 2n )（n≥22）．
1 22 343
相邻的两个数的和an，,1, an,2 ,....... an,n (n 1,2,3,.....) 4 7 7 4 分别表示第n行的第一个数，第二 5 11 14 11 5
个数，…….第n 个数。
............................................