市场风险测度：VaR方法

将市场风险因子变化纳入模型的方法: 方差-协方差方法
方差-协方差方法是一种参数VaR方法。 参数VaR方法简化了VaR的推导，直接假定收益分 布为某种可分析的密度函数f（R）；然后利用历史 数据来估计假定的分布函数的参数。 分析性的方差-协方差方法假定风险因子服从对数 正态分布，即风险因子收益的对数服从正态分布。 正态分布可以用两个参数来完全刻画，因此必须从 如下条件中推导出正态分布的均值和方差： 风险因子的多变量分布 资产组合的构成
例：股票资产组合
一个由两种股票（微软和埃克森）构成的资产组 合，微软公司股票为n1股，股价为s1，埃克森公 司股票为n2股，股价为s2。则资产组合的价值为： V = n S1 + n2S2 1 （1）风险因子的选择：风险因子为两种股票各自 的价格s1、s2，因此资产组合的收益率 Rv为：
n S1 + n2S2 ∆S1 n2S2 ∆S2 1 + R = v S2 v S1 v = ω1 R +ω2R = ∑ i R ω i 1 2
Lecture 4 市场风险测度： 市场风险测度：VaR方法 方法
在险价值的界定
VaR是度量一项投资或投资组合可能产生的 下跌风险的方法。 VaR，描述的是在给定的概率水平下（即所 谓的“置信水平”），在一定的时间内，持 有一种证券或资产组合可能遭受的最大损失。 VaR值是下述问题的答案： 在较低的概率下，比如1%的可能性，既定 时间内实际损失可能超过的最大损失是多少？
衍生品VaR估计的实际困难
估计非线性产品的VaR的显而易见的途径是 对于标的资产的非线性行为使用模拟，然后 运用估值公式和数值算法推断整个投资组合 价格变化的分布。 这种方法最终可以估计出非线性产品的VaR， 但存在一个缺点，就是运算非常耗时。 如果要进行成千上万此的模拟，每一次都必 须要解一个多因子偏微分方程，那么求解 VaR的时间花费将过长。
如果持有期为∆t、置信度为c，则：
VaR = −α(1− c) × ∆t ×V ×
∑∑ϖ ϖ σ σ ρ
j =1 i=1 i j i j
M
M
ij
如果持有期较长，则VaR使用收益率的漂移修正， 则：
VaR =V ×{∆t ×∑ωi µi −α(1− c) × ∆t ×
i=1 M
∑∑ϖ ϖ σ σ ρ }
M
M
j
∆i为第i项资产价格变动一个单位时，导致投资组 合价值的变动。 注：标的资产的∆i为1。
Delta－Gamma逼近
当标的资产的价格变动非常微小时，可以使 用Delta逼近，但更精确的逼近要引入高阶 项，加入Gamma或者凸性影响。 假设投资组合包括一只股票期权，则标的资 产的价值变化∆S和期权价值变化∆V之间的关 系为： ∂V 1 ∂2V ∂V 2
∆：Delta值
根据期权定价公式：
C = SN(d1) − Ke N(d2 )
∂C ∆ = N(d1) (d 则期权的Delta值为： = ∂S
−rt
若标的资产价格变化的标准差为σ，则期权头 寸价值变化分布的标准差为：
σc = ∆σ = N(d1)σ
衍生产品VaR计算：Delta逼近
考虑一个含有单个衍生产品的投资组合S。 一项期权或是期权的投资组合的敏感性，就是 Delta值。 如果标的资产的分布的标准差是 Sσ ∆t。 那么，期权头寸价值变化分布的标准差为：
单个资产的VaR—1日VaR
每种股票收益的边际变化服从单变量正态分布：
∆Si Ri = ~ N(µi ,σi ) i =1 2 , Si 在置信度99%的水平下，1日的VaR值为：
VaR ( ;99) = 2.33 i Si σ i 1
从1日VaR值到10日VaR值
1日VaR值的推导以资产组合价值的日分布为基础。 从理论上，可以根据资产组合价值的10日分布来 计算10日VaR值。 一般，如果假定市场是有效的，资产在10天内的 如果假定市场是有效的，资产在10天内的 每日收益R 独立同分布，则可以从1日VaR直接推 每日收益Rt独立同分布，则 导出10日或其他任何期间的VaR值。 10日收益R(10)=∑Rt服从正态分布，均值和方差 10日收益R(10)=∑Rt服从正态分布，均值和方差 分别为： 2 2
方差-协方差方法
如果假定R服从均值为µ、标准差为σ的正态分布， 则： 1 ( R−µ)
f (R) =
−
2
如果c代表置信水平，如99%，则可以把R*界定为 下述形式：
1 e 2πσ
2
σ2
σ α = (R − µ) σ 是一个服从标准正态分布N（0，1）的 变量。因此，R*的推导非常简单，查标准累积正态 函数表即可。
= (µ × ∆t −α(1− c) × ∆t ) ×σ ×V
收益率漂移的修正
P f（x） VaR
收益率漂移μ∆t
1％
投资组合的VaR
收益正态分布资产的线性组合，也服从正态分 Rv ~ N(µv ,σv ) 布：
2 2 2 2 2 其中：µv = ∑µi σv = ω1 σ1 +ω2σ2 + 2ω1ω2 cov( R , R2 ) 1
∆×(Sσ ∆t )
“∆”必须为整个投资组合头寸的Delta值，即对于 特定标的资产所有相关期权的敏感性，等于标的 资产所有期权头寸的Delta值的总和。
包含期权的投资组合的VaR计算公式
一个包含期权的投资组合的VaR为：
VaR = −α(1− c) × ∆t ×
∑∑∆ ∆ σ σ ρ S S
j =1 i=1 i j i j ij i
VaR计算的基本步骤
（1）风险因子的选择 资产组合价值的变动是一些能够影响每项工具 价格的市场因素的变动所造成的。 风险因子的具体组成取决于资产组合的构成情 况，需要作出一定的判断。 （2）选择将市场风险因子变化纳入模型的方法 非参数VaR 参数VaR
风险因子的选择
美元/ 美元/人民币远期合约 •美元/人民币远期汇率 美元/ 美元 美元/ 美元/人民币期权 •美元/人民币远期汇率 美元/ 美元 •美元利率 美元利率 •人民币利率 人民币利率 •美元/人民币汇率的波动率 美元/ 美元
最后一步是，通过描绘出资产组合收益在过去 100天的历史数据，或直接甄别资产组合价值变 化情况，来确认历史分布的第一个百分位数。 下表是对资产组合价值变化的排序，根据这种 方法，可以得出第一个百分位数对应的数值是0.07。
模拟价格序列 100 99 98 …… 2 1 从资产现价（1.80美元）的变化 -0.11美元 -0.07美元 -0.05美元 …… +0.07美元 +0.08美元
2 i= 1
是第i种股票的收益率；ωi 是资产组合中投资 于第i种股票的比重。
R i
（2）风险因子的分布：假定价格服从对数正态分布， 即时期（t-1，t）的收益服从正态分布：
St St − St −1 ∆St Rt = ln( ) = ln(1− )~ St −1 St −1 St −1
同时，假定两种股票的收益率服从正态分布， 均值、标准差分别为µi、σi，两种股票收益率间 的相关系数为ρ。
模拟价格C 模拟价格C（FX99；σ99）=1.75 模拟价格C（FX98；σ98）=1.73 模拟价格C（FX97；σ97）=1.69 …… 模拟价格C（FX2；σ2）=1.87 模拟价格C（FX1；σ1）=1.88 从资产现价（1.80美元）的 变化 -0.05美元 -0.07美元 -0.11美元 …… +0.07美元 +0.08美元
∂S 2 ∂S ∂t ∆S 由于假设： = µ∆t +εσ ∆t ，则： S ∂V 1 ∆V = ∆× ∆Sε ∆t + ∆t(∆× µ × S + Γσ 2S 2 + Θ) +... ∂S 2
2
∆V =
∆S +
(∆S) +
∆t +...
一阶展开表明期权价值的变化与标的资产的 变化成固定比例。 二阶展开，由于存在确定性的漂移项S及期 权的θ值，二阶展开含有确定性的偏移项∆V。 更重要的是，Gamma（Г/γ）的作用是 引入∆S的随机项构成中的非线性项。
将市场风险因子变化纳入模型的方法: 历史模拟法
历史模拟法是一种非参数VaR。 历史模拟法不要求使用者做出风险因子分布的 分析性假定和理论分布的估计。 VaR的计算是以按照风险因子在特定时期内的 实际数据构造的历史分布为基础。 历史模拟法要得出比较合理的历史分布，至少 需要2~3年的数据。
历史模拟法是根据敞口的每日收益数据的 历史分布来计算VaR，没有对敞口收益的 分布函数做出任何假定。
在险价值的定义
在险价值的计算，如在99%的置信水平下，市场 价值在1天内可能遭受的最大损失
P f（x） VaR=2.33σ 期望利润
1％
在险价值的计算
计算VaR值，首先需要得出资产组合价值在既 定期间内的远期分布，或者说是资产组合价值 变动的分布。 只有完成第一步之后，才能计算分布的均值以 及分割点。 推导分布的基本方法3种： 历史模拟方法 分析性的方差-协方差方法 蒙特卡洛方法 以上方法都包含两个基本步骤：
历史模拟方法的步骤
该方法涉及三个步骤： 选择特定时期内（比如250天）风险因子实 际日变化的样本； 将这些变化数据用于风险因子的现行价格， 然后重新估计现行资产组合的价值； 做出资产组合价值分布的图像，确认在99% 的置信水平下，第一个抽样分位数对应的 VaR值。
例：历史模拟
假定一个3月期的美元/马克买入期权，首先判 断该敞口的市场风险因子为： 美元/马克汇率 美元3月期利率 马克3月期利率 3月期美元/马克汇率的波动性 简单起见，忽略利率风险因子的影响，只考虑 汇率及其波动性的影响。我们使用过去100天内 汇率及其波动性的日观测值，如表所示。 然后，利用风险因子的历史分布来为敞口重新 定以得到：