多元表征视角下的问题解决一例

优势.
定的表征方式不利于解决问题时，解题者就需要寻找
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新的、更有效的表征方式. 这就需要在不同的表征之
2. 训练学生借助外在表征的习惯
间进行转换，若出现信息遗漏、信息误解，解题就会
数学问题的外在表征分为文字表征、符号表征、
遇到障碍. 因此，选择与转换表征方式是提高问题解 图形表征等. 从本案例可以看出，在多种表征之间进
y
是易解.
C
解：建立以 AB
的中点 O 为原点的 平面直角坐标系， A
PO
P0
Bx
如图 2 所示.
图2
设 A（-c，0），B（c，0），C（a，b），P（x，0），其中
b，c ＞ 0，x∈［-c，c］，
PB ·PC =（c - x，0）·（a - x，b）= x2 -（a ﹢ c）x ﹢ ac.
当x=
特征解决问题的方法. 具体操作方法是先将问题的条 征转化数量积，再借助图形成功获解.
件符号化、数学化，之后抓住转化后问题的几何特征，
调查表明，一般情况下，解题者总是习惯用问题
通过图形更直观、形象地处理问题，图文混合表征需 给定的表征形式解决问题，如果问题以符号形式呈现，
要巧妙转化数与形两类表征，体现了数形结合思想的 则解题者也往往倾向于用符号方式解决问题. 但当给
cos∠CPB 的符号表征为余弦定理，于是将其表示为
PC2 ﹢ PB2 - BC2 2PB·PC
.
继续整理，注意到
1 2
（PC2
﹢
PB2 - BC2）
中有两个变量 PB，PC，再次使用余弦定理，PC2 = PB2 ﹢
BC2
-
2PB·BCcos
B，于是得到
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）=
PB2 - PB·BCcos B. 注意到此式可以看成关于 PB 的二
次函数，于是得到当 PB =
1 2
BCcos B 时，PB ·PC 有
最小值. 而由PB ·PC ≥ P0B ·P0C 的符号表征联想到
PB ·PC 在点 P0 处取得最小值，于是易解. 解：如图 1 所示.
C
PB ·PC ≥ P0B ·P0C 的符号表征联想到PB ·PC 在
点 P0 处取得最小值，于
1 2
BCcos B 时，PB ·PC 有最小值.
（2）基于图形表征的解法. 图形表征就是几何化待解决的问题，通过构造图 形转化条件，将抽象问题直观化. 图形表征作为表征 的一种重要形式，其特点是既有形象性又有抽象性， 是两者的结合. 美国数学家斯蒂恩指出，如果一个特 定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地 把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法. 在问 题解决过程中，图形表征往往优于文字、符号表征.
关键词：多元表征；图形表征；符号表征；问题 解决；数量积
一、问题提出
一个量，或换一个角度看问题，其实质是将同一个量 从两个不同的角度计算两次，利用殊途同归的等量关 系达到解决问题的目的. 例如，立体几何中求距离常 用等积法、解析几何中求动点轨迹用交轨法等，都属 于解题方法的多元表征体现.
总之，观察问题的视角不同、解题的思想方法不 同、解题策略的转换与转译以及问题本身呈现的形 式不同等，这些都说明了数学问题解决学习中的多 元表征无处不在. 下面以一道高考题的多角度解决为 例，说明多元表征这种认知学习方法对数学解题教学 的意义.
显然PB ·PC ≥ P0B ·P0C .
当点 P 在点 D 的右侧时，PB ·PC ≥ - PB ·
PD ，P0B ·P0C = - P0B · P0D .
若PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
即 PD · PB ≤ P0B · P0D .
注意到 PD ﹢ PB = BD，
﹙ ﹚ 因为 PD·PB ≤
利实施，都是基于对条件“PB ·PC ≥ P0B ·P0C ”这 一关键信息准确表征为“当点 P 任意移动时，变量
PB ·PC 的最小值是P0B ·P0C ”. 这实际上是函数思想 指导下的产物；思维表征 3、思维表征 4 都用到了向 量知识的几何意义，解法的成功实施来源于对图形中
图文混合表征是指在符号化条件的同时借助图形 几何结构的深入观察；思维表征 5 则是先使用符号表
多元表征不仅适用于数学概念的学习，而且普遍
二、案例分析
例 （2013 年高考浙江卷·理 7） 设△A BC，点 P0
是边 A B 上一定点，满足 P0B =
1 4
A B，且对于边 A B
上任一点 P，恒有PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，则 （ ）.
（A） ∠A BC = 90° （B） ∠BA C = 90°
指数学中的视觉化表征，如实物、数学模型、图象、 当表征问题.
几何图形等. 在问题解决过程中，对同一个数学对象，
=
1 2
（P0C2
﹢
P0B2
-
BC2）.
由PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，得 PC2 ﹢ PB2 ≥ P0C2 ﹢ P0B2.
如图 4，取 BC 的中点 M， 易知 PC2 ﹢ PB2 = 2（PM2 ﹢ CM2）， P0C2 ﹢ P0B2 = 2（P0M2 ﹢ CM2）.
所以PM 2 ≥ P0M 2， 即 PM ≥ P0M. 由于点 P 的任意性，说明 P0M⊥A B. 进而得 A C = BC. 故选 D. 2. 解法评价及启示 思维表征 1 属于对问题的“直译”，题目所给条件 是向量数量积形式，于是就利用向量数量积的概念获
（C） A B = A C
（D） A C = BC
此题背景朴实，设计精巧，突出考查数学基本知
识、基本思想方法、创新意识，将知识、方法和原理
融于一体，是一道能力立意的好题. 经过研究，笔者 发现此题有着非常大的教学价值，是训练学生思维的 好材料，是培养学生创新能力和探究精神的良好载体.
存在于数学问题的解决中. 一般而言，数学问题解决 对这道题的具体解法与解答策略的研究也将对高三解
解：考虑向量数量
C
积的几何意义，不妨设
点 D 在 P0 左侧，如图 3， A 作 CD⊥A B，垂足为点 D.
P
D
P0
图3
当 点 P 在 点 D 的 左 侧 时 ， PB · PC ≥
B
PD ·
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PB ，P0B ·P0C = - P0B · P0D .
包括三个要素：问题条件、解题思想方法、策略与结 题教学与备考等诸多方面起到指导作用.
论扩展. 从多元表征的视角来说，这三个要素都可以
1. 不同表征下的解法呈现
多元表征化. 例如，单墫指出，“算两次”在数学解题
（1）基于符号表征的解法.
中是非常常见的手法.“算两次”即用两种方法计算同
数学的基本特征就是符号化，因此符号表征是数
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多元表征视角下的问题解决一例
宋秀云 （江苏省新海高级中学）
摘要：多元表征可以使数学学习对象多角度具体 化，加深我们对同一数学对象的认识. 在问题解决中 应恰当地对问题进行多角度表征，并且善于在各种表 征之间进行转换. 这不仅使数学问题解决变得更加容 易，并且在解法的多样化中能加深学生对概念的理解. 对于如何提高学生运用多元表征解决问题的能力，给 出若干建议.
一般地，表征是指信息在心理活动中的表现和记 载的方式. 因此，一方面，反映客观事物，代表客观 事物；另一方面，表征又是心理活动进一步加工的对 象. 表征的方式不同，大脑对它的加工过程也不相同. 在数学领域，多元表征一般是指数学学习对象的多种 表征形式. 希尔伯特指出，数学是一个不可分割的有 机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系. 数学最为迷人之处是不同分支之间的许多相互影响， 预想不到的联系，有时会奇迹般展现在你面前. 从不 同的角度对同一数学对象进行多元表征，可以使数学 学习对象多角度地具体化，加深我们对同一数学对象 的认识.
决能力的有效策略.
行有效转换对解题是极为关键的. 要培养学生借助外
在数学问题解决中，最基本的表征就是数与形， 部表征进行问题表征的习惯，首先要让学生认识到问
这里的数主要是指数学中的语言表征，如文字、数字、 题表征在解题中的重要性，强调审题的决定性，拿到
式子、数学概念、数学性质、数学定理等；形主要是 问题不要急于去制定计划，应反复审明题意，进而恰
M
解 ： 如 图 4， 注 意
到△PBC 与△P0BC 始 终 A
P
P0
B
有公共边 BC，
图4
所以PB ·PC
=
1 4
［（PB
﹢ PC ）2 -（PB
- PC ）2］，
P0B ·P0C
=
1 4
［（P0B
﹢ P0C ）2 -（P0B
- P0C ）2］.
=
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2），
P0B ·P0C
故选 D.
思维表征 2：PB ·PC 的符号表征为向量的数量积 公式，向量的数量积的另一种符号转化是坐标化运算，
与PC 在PB 方向上投影的乘积. 于是借助图形构造PC
在PB 方向上的投影，将PB ·PC ≥ P0B ·P0C 转化为
PD · PB ≤ P0B · P0D ，再借助不等式及三角
形的三线合一，利用图形表征，确定 A C = BC.
收稿日期：2014—11—18 作者简介：宋秀云 （1981— ），女，中学高级教师，连云港市高中数学学科带头人，主要从事学生自主学习，有效课堂建构研究.
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学问题最普遍的表征形式. 符号表征就是将待解决的 问题中的有关术语和关系借助相关公式、定理转化为 字母或数学符号，实现问题的数学化、符号化，从而 促进问题的解决. 这不仅是一种解决问题的方法，更
已知PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
思维表征 3：PB ·PC 数量积的几何意义是 PB
即点 P 在点 P0 处使得P0B ·P0C 取得最小值.
所以
1 2
BCcos B =
1 4
A B，
即 cos B =
AB 2BC
.
又因为
cos B =
A B2 ﹢ BC2 - A C2 2A B·BC
，得 BC = A C.
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形注意到△PBC 与△P0BC 共用边 BC，于是借助图形特
征拆分向量，将问题转化为（PB ·PC ）2 ≥（P0B ·P0C）2， 再借助向量加法的平行四边形法则这一图形特征，构
造 BC 边上的中线，进而将问题转化为 PM ≥ P0M 恒成
立，由图可知 P0M⊥A B.
C
进而得 A C = BC.
由PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，得（PB ·PC ）2 ≥（P0B · 解. 思维表征 2 对条件进行了“转译”，通过建系将向
P0C ）2.
量问题转化为代数问题. 思维表征 1、思维表征 2 能顺
取 BC 的 中点 M，易知 PB ﹢ PC = 2PM ， P0B ﹢
P0C = 2P0M ，得PM 2 ≥ P0M 2，即 PM ≥ P0M. 由于点 P 的任意性，说明 P0M⊥A B. 进而有 A C = BC. 故选 D. （3）基于图文混合表征的解法.
借助平行四边形对角线平方和等于四边平方和转化
得 到 PM ≥ P0M 恒成立，由图可知 P0M⊥A B. 进而得
A C = BC.
解：PB ·PC = PB·PCcos∠CPB
由于点 P 的任意性，说明点 P0 是 BD 的中点，于 是 A C = BC.
故选 D.
思维表征 4：将问题对应的图形画出后，观察图
1 2
（a
﹢
c）时，PB
·PC
有最小值.
已知PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
于是
1 2
（a
﹢
c）=
1 2
c.
得 a = 0.
所以 BC = A C.
故选 D.
A
P
P0
B
图1
PB ·PC = PB·PCcos∠CPB
=
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）
= PB2 - BC·PBcos B.
易知当 PB =
PB ﹢ PD 2
2，
思维表征 5：先同时将PB ·PC ≥ P0B ·P0C 借助
向量数量积公式及余弦定理符号化为
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）≥
1 2
（P0C2
﹢
P0B2 -
BC2），从而得到
PC2
﹢
PB2 ≥
P0C2 ﹢ P0B2. 这时 再图 形 表 征 ， 即 构 造 平 行 四 边 形 ，
故可以建立坐标系，引入坐标，将PB ·PC 表示为 x2 -
（a ﹢ c）x ﹢ ac. 注意到此式可以看成关于 x 的二次函数，
于是得到 x =
1 2
（a
﹢
c）时，PB
· PC
有最小值.
而由
是一种普遍适用的解题指导思想.
思维表征 1：PB ·PC 的符号表征为向量的数量积
公式，所以将PB ·PC 表示为 PB · PC cos∠CPB.