多元表征视角下的问题解决一例
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关键词：多元表征；图形表征；符号表征；问题 解决；数量积
一、问题提出
一个量，或换一个角度看问题，其实质是将同一个量 从两个不同的角度计算两次，利用殊途同归的等量关 系达到解决问题的目的. 例如，立体几何中求距离常 用等积法、解析几何中求动点轨迹用交轨法等，都属 于解题方法的多元表征体现.
总之，观察问题的视角不同、解题的思想方法不 同、解题策略的转换与转译以及问题本身呈现的形 式不同等，这些都说明了数学问题解决学习中的多 元表征无处不在. 下面以一道高考题的多角度解决为 例，说明多元表征这种认知学习方法对数学解题教学 的意义.
1 2
BCcos B 时，PB ·PC 有最小值.
（2）基于图形表征的解法. 图形表征就是几何化待解决的问题，通过构造图 形转化条件，将抽象问题直观化. 图形表征作为表征 的一种重要形式，其特点是既有形象性又有抽象性， 是两者的结合. 美国数学家斯蒂恩指出，如果一个特 定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地 把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法. 在问 题解决过程中，图形表征往往优于文字、符号表征.
故选 D.
思维表征 2：PB ·PC 的符号表征为向量的数量积 公式，向量的数量积的另一种符号转化是坐标化运算，
与PC 在PB 方向上投影的乘积. 于是借助图形构造PC
在PB 方向上的投影，将PB ·PC ≥ P0B ·P0C 转化为
PD · PB ≤ P0B · P0D ，再借助不等式及三角
形的三线合一，利用图形表征，确定 A C = BC.
M
解 ： 如 图 4， 注 意
到△PBC 与△P0BC 始 终 A
P
P0
B
有公共边 BC，
图4
所以PB ·PC
=
1 4
［（PB
﹢ PC ）2 -（PB
- PC ）2］，
P0B ·P0C
=
1 4
［（P0B
﹢ P0C ）2 -（P0B
- P0C ）2］.
=
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2），
P0B ·P0C
y
是易解.
C
解：建立以 AB
的中点 O 为原点的 平面直角坐标系， A
PO
P0
Bx
如图 2 所示.
图2
设 A（-c，0），B（c，0），C（a，b），P（x，0），其中
b，c ＞ 0，x∈［-c，c］，
PB ·PC =（c - x，0）·（a - x，b）= x2 -（a ﹢ c）x ﹢ ac.
当x=
由PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，得（PB ·PC ）2 ≥（P0B · 解. 思维表征 2 对条件进行了“转译”，通过建系将向
P0C ）2.
量问题转化为代数问题. 思维表征 1、思维表征 2 能顺
取 BC 的 中点 M，易知 PB ﹢ PC = 2PM ， P0B ﹢
P0C = 2P0M ，得PM 2 ≥ P0M 2，即 PM ≥ P0M. 由于点 P 的任意性，说明 P0M⊥A B. 进而有 A C = BC. 故选 D. （3）基于图文混合表征的解法.
特征解决问题的方法. 具体操作方法是先将问题的条 征转化数量积，再借助图形成功获解.
件符号化、数学化，之后抓住转化后问题的几何特征，
调查表明，一般情况下，解题者总是习惯用问题
通过图形更直观、形象地处理问题，图文混合表征需 给定的表征形式解决问题，如果问题以符号形式呈现，
要巧妙转化数与形两类表征，体现了数形结合思想的 则解题者也往往倾向于用符号方式解决问题. 但当给
包括三个要素：问题条件、解题思想方法、策略与结 题教学与备考等诸多方面起到指导作用.
论扩展. 从多元表征的视角来说，这三个要素都可以
1. 不同表征下的解法呈现
多元表征化. 例如，单墫指出，“算两次”在数学解题
（1）基于符号表征的解法.
中是非常常见的手法.“算两次”即用两种方法计算同
数学的基本特征就是符号化，因此符号表征是数
优势.
定的表征方式不利于解决问题时，解题者就需要寻找
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2015 年第 3 期
教学研究
JIAOXUEYANJIU
新的、更有效的表征方式. 这就需要在不同的表征之
2. 训练学生借助外在表征的习惯
间进行转换，若出现信息遗漏、信息误解，解题就会
数学问题的外在表征分为文字表征、符号表征、
遇到障碍. 因此，选择与转换表征方式是提高问题解 图形表征等. 从本案例可以看出，在多种表征之间进
解：考虑向量数量
C
积的几何意义，不妨设
点 D 在 P0 左侧，如图 3， A 作 CD⊥A B，垂足为点 D.
P
D
P0
图3
当 点 P 在 点 D 的 左 侧 时 ， PB · PC ≥
B
PD ·
2015 年第 3 期
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教学研究
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PB ，P0B ·P0C = - P0B · P0D .
显然PB ·PC ≥ P0B ·P0C .
当点 P 在点 D 的右侧时，PB ·PC ≥ - PB ·
PD ，P0B ·P0C = - P0B · P0D .
若PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
即 PD · PB ≤ P0B · P0D .
注意到 PD ﹢ PB = BD，
﹙ ﹚ 因为 PD·PB ≤
次函数，于是得到当 PB =
1 2
BCcos B 时，PB ·PC 有
最小值. 而由PB ·PC ≥ P0B ·P0C 的符号表征联想到
PB ·PC 在点 P0 处取得最小值，于是易解. 解：如图 1 所示.
C
PB ·PC ≥ P0B ·P0C 的符号表征联想到PB ·PC 在
点 P0 处取得最小值，于
指数学中的视觉化表征，如实物、数学模型、图象、 当表征问题.
几何图形等. 在问题解决过程中，对同一个数学对象，
形注意到△PBC 与△P0BC 共用边 BC，于是借助图形特
征拆分向量，将问题转化为（PB ·PC ）2 ≥（P0B ·P0C）2， 再借助向量加法的平行四边形法则这一图形特征，构
造 BC 边上的中线，进而将问题转化为 PM ≥ P0M 恒成
立，由图可知 P0M⊥A B.CΒιβλιοθήκη 进而得 A C = BC.
cos∠CPB 的符号表征为余弦定理，于是将其表示为
PC2 ﹢ PB2 - BC2 2PB·PC
.
继续整理，注意到
1 2
（PC2
﹢
PB2 - BC2）
中有两个变量 PB，PC，再次使用余弦定理，PC2 = PB2 ﹢
BC2
-
2PB·BCcos
B，于是得到
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）=
PB2 - PB·BCcos B. 注意到此式可以看成关于 PB 的二
PB ﹢ PD 2
2，
思维表征 5：先同时将PB ·PC ≥ P0B ·P0C 借助
向量数量积公式及余弦定理符号化为
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）≥
1 2
（P0C2
﹢
P0B2 -
BC2），从而得到
PC2
﹢
PB2 ≥
P0C2 ﹢ P0B2. 这时 再图 形 表 征 ， 即 构 造 平 行 四 边 形 ，
决能力的有效策略.
行有效转换对解题是极为关键的. 要培养学生借助外
在数学问题解决中，最基本的表征就是数与形， 部表征进行问题表征的习惯，首先要让学生认识到问
这里的数主要是指数学中的语言表征，如文字、数字、 题表征在解题中的重要性，强调审题的决定性，拿到
式子、数学概念、数学性质、数学定理等；形主要是 问题不要急于去制定计划，应反复审明题意，进而恰
（C） A B = A C
（D） A C = BC
此题背景朴实，设计精巧，突出考查数学基本知
识、基本思想方法、创新意识，将知识、方法和原理
融于一体，是一道能力立意的好题. 经过研究，笔者 发现此题有着非常大的教学价值，是训练学生思维的 好材料，是培养学生创新能力和探究精神的良好载体.
存在于数学问题的解决中. 一般而言，数学问题解决 对这道题的具体解法与解答策略的研究也将对高三解
多元表征不仅适用于数学概念的学习，而且普遍
二、案例分析
例 （2013 年高考浙江卷·理 7） 设△A BC，点 P0
是边 A B 上一定点，满足 P0B =
1 4
A B，且对于边 A B
上任一点 P，恒有PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，则 （ ）.
（A） ∠A BC = 90° （B） ∠BA C = 90°
教学研究
JIAOXUEYANJIU
多元表征视角下的问题解决一例
宋秀云 （江苏省新海高级中学）
摘要：多元表征可以使数学学习对象多角度具体 化，加深我们对同一数学对象的认识. 在问题解决中 应恰当地对问题进行多角度表征，并且善于在各种表 征之间进行转换. 这不仅使数学问题解决变得更加容 易，并且在解法的多样化中能加深学生对概念的理解. 对于如何提高学生运用多元表征解决问题的能力，给 出若干建议.
利实施，都是基于对条件“PB ·PC ≥ P0B ·P0C ”这 一关键信息准确表征为“当点 P 任意移动时，变量
PB ·PC 的最小值是P0B ·P0C ”. 这实际上是函数思想 指导下的产物；思维表征 3、思维表征 4 都用到了向 量知识的几何意义，解法的成功实施来源于对图形中
图文混合表征是指在符号化条件的同时借助图形 几何结构的深入观察；思维表征 5 则是先使用符号表
故可以建立坐标系，引入坐标，将PB ·PC 表示为 x2 -
（a ﹢ c）x ﹢ ac. 注意到此式可以看成关于 x 的二次函数，
于是得到 x =
1 2
（a
﹢
c）时，PB
· PC
有最小值.
而由
是一种普遍适用的解题指导思想.
思维表征 1：PB ·PC 的符号表征为向量的数量积
公式，所以将PB ·PC 表示为 PB · PC cos∠CPB.
收稿日期：2014—11—18 作者简介：宋秀云 （1981— ），女，中学高级教师，连云港市高中数学学科带头人，主要从事学生自主学习，有效课堂建构研究.
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2015 年第 3 期
教学研究
JIAOXUEYANJIU
学问题最普遍的表征形式. 符号表征就是将待解决的 问题中的有关术语和关系借助相关公式、定理转化为 字母或数学符号，实现问题的数学化、符号化，从而 促进问题的解决. 这不仅是一种解决问题的方法，更
=
1 2
（P0C2
﹢
P0B2
-
BC2）.
由PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，得 PC2 ﹢ PB2 ≥ P0C2 ﹢ P0B2.
如图 4，取 BC 的中点 M， 易知 PC2 ﹢ PB2 = 2（PM2 ﹢ CM2）， P0C2 ﹢ P0B2 = 2（P0M2 ﹢ CM2）.
所以PM 2 ≥ P0M 2， 即 PM ≥ P0M. 由于点 P 的任意性，说明 P0M⊥A B. 进而得 A C = BC. 故选 D. 2. 解法评价及启示 思维表征 1 属于对问题的“直译”，题目所给条件 是向量数量积形式，于是就利用向量数量积的概念获
借助平行四边形对角线平方和等于四边平方和转化
得 到 PM ≥ P0M 恒成立，由图可知 P0M⊥A B. 进而得
A C = BC.
解：PB ·PC = PB·PCcos∠CPB
由于点 P 的任意性，说明点 P0 是 BD 的中点，于 是 A C = BC.
故选 D.
思维表征 4：将问题对应的图形画出后，观察图
已知PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
思维表征 3：PB ·PC 数量积的几何意义是 PB
即点 P 在点 P0 处使得P0B ·P0C 取得最小值.
所以
1 2
BCcos B =
1 4
A B，
即 cos B =
AB 2BC
.
又因为
cos B =
A B2 ﹢ BC2 - A C2 2A B·BC
，得 BC = A C.
一般地，表征是指信息在心理活动中的表现和记 载的方式. 因此，一方面，反映客观事物，代表客观 事物；另一方面，表征又是心理活动进一步加工的对 象. 表征的方式不同，大脑对它的加工过程也不相同. 在数学领域，多元表征一般是指数学学习对象的多种 表征形式. 希尔伯特指出，数学是一个不可分割的有 机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系. 数学最为迷人之处是不同分支之间的许多相互影响， 预想不到的联系，有时会奇迹般展现在你面前. 从不 同的角度对同一数学对象进行多元表征，可以使数学 学习对象多角度地具体化，加深我们对同一数学对象 的认识.
1 2
（a
﹢
c）时，PB
·PC
有最小值.
已知PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
于是
1 2
（a
﹢
c）=
1 2
c.
得 a = 0.
所以 BC = A C.
故选 D.
A
P
P0
B
图1
PB ·PC = PB·PCcos∠CPB
=
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）
= PB2 - BC·PBcos B.
易知当 PB =
一、问题提出
一个量，或换一个角度看问题，其实质是将同一个量 从两个不同的角度计算两次，利用殊途同归的等量关 系达到解决问题的目的. 例如，立体几何中求距离常 用等积法、解析几何中求动点轨迹用交轨法等，都属 于解题方法的多元表征体现.
总之，观察问题的视角不同、解题的思想方法不 同、解题策略的转换与转译以及问题本身呈现的形 式不同等，这些都说明了数学问题解决学习中的多 元表征无处不在. 下面以一道高考题的多角度解决为 例，说明多元表征这种认知学习方法对数学解题教学 的意义.
1 2
BCcos B 时，PB ·PC 有最小值.
（2）基于图形表征的解法. 图形表征就是几何化待解决的问题，通过构造图 形转化条件，将抽象问题直观化. 图形表征作为表征 的一种重要形式，其特点是既有形象性又有抽象性， 是两者的结合. 美国数学家斯蒂恩指出，如果一个特 定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地 把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法. 在问 题解决过程中，图形表征往往优于文字、符号表征.
故选 D.
思维表征 2：PB ·PC 的符号表征为向量的数量积 公式，向量的数量积的另一种符号转化是坐标化运算，
与PC 在PB 方向上投影的乘积. 于是借助图形构造PC
在PB 方向上的投影，将PB ·PC ≥ P0B ·P0C 转化为
PD · PB ≤ P0B · P0D ，再借助不等式及三角
形的三线合一，利用图形表征，确定 A C = BC.
M
解 ： 如 图 4， 注 意
到△PBC 与△P0BC 始 终 A
P
P0
B
有公共边 BC，
图4
所以PB ·PC
=
1 4
［（PB
﹢ PC ）2 -（PB
- PC ）2］，
P0B ·P0C
=
1 4
［（P0B
﹢ P0C ）2 -（P0B
- P0C ）2］.
=
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2），
P0B ·P0C
y
是易解.
C
解：建立以 AB
的中点 O 为原点的 平面直角坐标系， A
PO
P0
Bx
如图 2 所示.
图2
设 A（-c，0），B（c，0），C（a，b），P（x，0），其中
b，c ＞ 0，x∈［-c，c］，
PB ·PC =（c - x，0）·（a - x，b）= x2 -（a ﹢ c）x ﹢ ac.
当x=
由PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，得（PB ·PC ）2 ≥（P0B · 解. 思维表征 2 对条件进行了“转译”，通过建系将向
P0C ）2.
量问题转化为代数问题. 思维表征 1、思维表征 2 能顺
取 BC 的 中点 M，易知 PB ﹢ PC = 2PM ， P0B ﹢
P0C = 2P0M ，得PM 2 ≥ P0M 2，即 PM ≥ P0M. 由于点 P 的任意性，说明 P0M⊥A B. 进而有 A C = BC. 故选 D. （3）基于图文混合表征的解法.
特征解决问题的方法. 具体操作方法是先将问题的条 征转化数量积，再借助图形成功获解.
件符号化、数学化，之后抓住转化后问题的几何特征，
调查表明，一般情况下，解题者总是习惯用问题
通过图形更直观、形象地处理问题，图文混合表征需 给定的表征形式解决问题，如果问题以符号形式呈现，
要巧妙转化数与形两类表征，体现了数形结合思想的 则解题者也往往倾向于用符号方式解决问题. 但当给
包括三个要素：问题条件、解题思想方法、策略与结 题教学与备考等诸多方面起到指导作用.
论扩展. 从多元表征的视角来说，这三个要素都可以
1. 不同表征下的解法呈现
多元表征化. 例如，单墫指出，“算两次”在数学解题
（1）基于符号表征的解法.
中是非常常见的手法.“算两次”即用两种方法计算同
数学的基本特征就是符号化，因此符号表征是数
优势.
定的表征方式不利于解决问题时，解题者就需要寻找
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新的、更有效的表征方式. 这就需要在不同的表征之
2. 训练学生借助外在表征的习惯
间进行转换，若出现信息遗漏、信息误解，解题就会
数学问题的外在表征分为文字表征、符号表征、
遇到障碍. 因此，选择与转换表征方式是提高问题解 图形表征等. 从本案例可以看出，在多种表征之间进
解：考虑向量数量
C
积的几何意义，不妨设
点 D 在 P0 左侧，如图 3， A 作 CD⊥A B，垂足为点 D.
P
D
P0
图3
当 点 P 在 点 D 的 左 侧 时 ， PB · PC ≥
B
PD ·
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PB ，P0B ·P0C = - P0B · P0D .
显然PB ·PC ≥ P0B ·P0C .
当点 P 在点 D 的右侧时，PB ·PC ≥ - PB ·
PD ，P0B ·P0C = - P0B · P0D .
若PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
即 PD · PB ≤ P0B · P0D .
注意到 PD ﹢ PB = BD，
﹙ ﹚ 因为 PD·PB ≤
次函数，于是得到当 PB =
1 2
BCcos B 时，PB ·PC 有
最小值. 而由PB ·PC ≥ P0B ·P0C 的符号表征联想到
PB ·PC 在点 P0 处取得最小值，于是易解. 解：如图 1 所示.
C
PB ·PC ≥ P0B ·P0C 的符号表征联想到PB ·PC 在
点 P0 处取得最小值，于
指数学中的视觉化表征，如实物、数学模型、图象、 当表征问题.
几何图形等. 在问题解决过程中，对同一个数学对象，
形注意到△PBC 与△P0BC 共用边 BC，于是借助图形特
征拆分向量，将问题转化为（PB ·PC ）2 ≥（P0B ·P0C）2， 再借助向量加法的平行四边形法则这一图形特征，构
造 BC 边上的中线，进而将问题转化为 PM ≥ P0M 恒成
立，由图可知 P0M⊥A B.CΒιβλιοθήκη 进而得 A C = BC.
cos∠CPB 的符号表征为余弦定理，于是将其表示为
PC2 ﹢ PB2 - BC2 2PB·PC
.
继续整理，注意到
1 2
（PC2
﹢
PB2 - BC2）
中有两个变量 PB，PC，再次使用余弦定理，PC2 = PB2 ﹢
BC2
-
2PB·BCcos
B，于是得到
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）=
PB2 - PB·BCcos B. 注意到此式可以看成关于 PB 的二
PB ﹢ PD 2
2，
思维表征 5：先同时将PB ·PC ≥ P0B ·P0C 借助
向量数量积公式及余弦定理符号化为
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）≥
1 2
（P0C2
﹢
P0B2 -
BC2），从而得到
PC2
﹢
PB2 ≥
P0C2 ﹢ P0B2. 这时 再图 形 表 征 ， 即 构 造 平 行 四 边 形 ，
决能力的有效策略.
行有效转换对解题是极为关键的. 要培养学生借助外
在数学问题解决中，最基本的表征就是数与形， 部表征进行问题表征的习惯，首先要让学生认识到问
这里的数主要是指数学中的语言表征，如文字、数字、 题表征在解题中的重要性，强调审题的决定性，拿到
式子、数学概念、数学性质、数学定理等；形主要是 问题不要急于去制定计划，应反复审明题意，进而恰
（C） A B = A C
（D） A C = BC
此题背景朴实，设计精巧，突出考查数学基本知
识、基本思想方法、创新意识，将知识、方法和原理
融于一体，是一道能力立意的好题. 经过研究，笔者 发现此题有着非常大的教学价值，是训练学生思维的 好材料，是培养学生创新能力和探究精神的良好载体.
存在于数学问题的解决中. 一般而言，数学问题解决 对这道题的具体解法与解答策略的研究也将对高三解
多元表征不仅适用于数学概念的学习，而且普遍
二、案例分析
例 （2013 年高考浙江卷·理 7） 设△A BC，点 P0
是边 A B 上一定点，满足 P0B =
1 4
A B，且对于边 A B
上任一点 P，恒有PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，则 （ ）.
（A） ∠A BC = 90° （B） ∠BA C = 90°
教学研究
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多元表征视角下的问题解决一例
宋秀云 （江苏省新海高级中学）
摘要：多元表征可以使数学学习对象多角度具体 化，加深我们对同一数学对象的认识. 在问题解决中 应恰当地对问题进行多角度表征，并且善于在各种表 征之间进行转换. 这不仅使数学问题解决变得更加容 易，并且在解法的多样化中能加深学生对概念的理解. 对于如何提高学生运用多元表征解决问题的能力，给 出若干建议.
利实施，都是基于对条件“PB ·PC ≥ P0B ·P0C ”这 一关键信息准确表征为“当点 P 任意移动时，变量
PB ·PC 的最小值是P0B ·P0C ”. 这实际上是函数思想 指导下的产物；思维表征 3、思维表征 4 都用到了向 量知识的几何意义，解法的成功实施来源于对图形中
图文混合表征是指在符号化条件的同时借助图形 几何结构的深入观察；思维表征 5 则是先使用符号表
故可以建立坐标系，引入坐标，将PB ·PC 表示为 x2 -
（a ﹢ c）x ﹢ ac. 注意到此式可以看成关于 x 的二次函数，
于是得到 x =
1 2
（a
﹢
c）时，PB
· PC
有最小值.
而由
是一种普遍适用的解题指导思想.
思维表征 1：PB ·PC 的符号表征为向量的数量积
公式，所以将PB ·PC 表示为 PB · PC cos∠CPB.
收稿日期：2014—11—18 作者简介：宋秀云 （1981— ），女，中学高级教师，连云港市高中数学学科带头人，主要从事学生自主学习，有效课堂建构研究.
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2015 年第 3 期
教学研究
JIAOXUEYANJIU
学问题最普遍的表征形式. 符号表征就是将待解决的 问题中的有关术语和关系借助相关公式、定理转化为 字母或数学符号，实现问题的数学化、符号化，从而 促进问题的解决. 这不仅是一种解决问题的方法，更
=
1 2
（P0C2
﹢
P0B2
-
BC2）.
由PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，得 PC2 ﹢ PB2 ≥ P0C2 ﹢ P0B2.
如图 4，取 BC 的中点 M， 易知 PC2 ﹢ PB2 = 2（PM2 ﹢ CM2）， P0C2 ﹢ P0B2 = 2（P0M2 ﹢ CM2）.
所以PM 2 ≥ P0M 2， 即 PM ≥ P0M. 由于点 P 的任意性，说明 P0M⊥A B. 进而得 A C = BC. 故选 D. 2. 解法评价及启示 思维表征 1 属于对问题的“直译”，题目所给条件 是向量数量积形式，于是就利用向量数量积的概念获
借助平行四边形对角线平方和等于四边平方和转化
得 到 PM ≥ P0M 恒成立，由图可知 P0M⊥A B. 进而得
A C = BC.
解：PB ·PC = PB·PCcos∠CPB
由于点 P 的任意性，说明点 P0 是 BD 的中点，于 是 A C = BC.
故选 D.
思维表征 4：将问题对应的图形画出后，观察图
已知PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
思维表征 3：PB ·PC 数量积的几何意义是 PB
即点 P 在点 P0 处使得P0B ·P0C 取得最小值.
所以
1 2
BCcos B =
1 4
A B，
即 cos B =
AB 2BC
.
又因为
cos B =
A B2 ﹢ BC2 - A C2 2A B·BC
，得 BC = A C.
一般地，表征是指信息在心理活动中的表现和记 载的方式. 因此，一方面，反映客观事物，代表客观 事物；另一方面，表征又是心理活动进一步加工的对 象. 表征的方式不同，大脑对它的加工过程也不相同. 在数学领域，多元表征一般是指数学学习对象的多种 表征形式. 希尔伯特指出，数学是一个不可分割的有 机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系. 数学最为迷人之处是不同分支之间的许多相互影响， 预想不到的联系，有时会奇迹般展现在你面前. 从不 同的角度对同一数学对象进行多元表征，可以使数学 学习对象多角度地具体化，加深我们对同一数学对象 的认识.
1 2
（a
﹢
c）时，PB
·PC
有最小值.
已知PB ·PC ≥ P0B ·P0C ，
于是
1 2
（a
﹢
c）=
1 2
c.
得 a = 0.
所以 BC = A C.
故选 D.
A
P
P0
B
图1
PB ·PC = PB·PCcos∠CPB
=
1 2
（PC2
﹢
PB2
-
BC2）
= PB2 - BC·PBcos B.
易知当 PB =