2-3 一维连续型随机变量及其概率密度讲解
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第2.3节
一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义
设 X为 随 机 变 量 ，F ( x )为X 的 分 布 函 数 ,若 存 在 非负可积函数 p( x ), 使 对 于 任 意 实 数 x有 F ( x)
0 3
0
3
x2 3 2 x 4
当x
x t t d t (2 ) d t 3 6 2
4时 ,
F ( x) 0dt
0
4 x t t dt 2 dt 0dt 3 4 6 2
1
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) 2 x 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
P{a X b}
b
a
p( x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x )
0
a b
S1
x
注意 不可能事件的概率一定为0,而概率为0
的事件不一定是不可能事件. 若X是连续性随机变量,则
P{ X a} 0, 显然{X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p( x) 0; p( x)dx 1
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其 中 p( x ) 称 为 X 的 概 率密度函数 ,简 称 概 率 密 度 .
性质 (1) 对任意的 x, p( x ) 0. (2)
x x
p( x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim p(t ) d t p( x) d x.
a
a
(4) 若 p( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ( x ) p( x ).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
a
p( x) d x.
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b}
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 15 1 41 . 2 2 16 12 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, p( x ) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
1
P{x1 X x2 } P X x2 X x1
x2
x1
x2
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a ) p( x ) d x , P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
p ( x) d x p ( x ) d x
2 2 3
2 P{Y 2} C 20 3
27 .
源自文库
2 3 2 1 C3 3 3
3
2 1 3
0
2. 指数分布
1 , 2 x 5, p( x ) 3 0, 其它. 设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则
因而有
2 Y ~ B 3, . 3
是 p ( x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1
设 随 机 变 量X 具 有 概 率 密 度 0 x 3, kx, x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 其 它. 0, ( 2) 求 X 的 分 布 函 数 ;
(1) 确 定 常 数k ;
7 (3) 求 P {1 X }. 2
解
(1) 由 p( x) d x 1,
x 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 0 3 2 1 解之得 k . 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6 x 0 x 3, , 6 x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其 它.
p( x )
概率密度
函数图形
a o
b
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
均匀分布分布函数图形演示
F ( x)
1
a o
b
x
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
3 4
9 1 k 1, 2 4
由 F ( x) p(t ) d t 得
当x
x
0时 ,
F ( x) 0dt 0
x
当0 当3
x 3 时 , F ( x) p(t )dt 0dt 0
x
0
x
t x2 dt 12 6
x 4 时 ,F ( x) 0dt 0
S p ( x) d x 1
p( x )
1
0
x
x2
1
(3) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
PX x2 PX x1 F ( x2 ) F ( x1 )
p( x ) d x p( x ) d x x p( x ) d x.
一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义
设 X为 随 机 变 量 ，F ( x )为X 的 分 布 函 数 ,若 存 在 非负可积函数 p( x ), 使 对 于 任 意 实 数 x有 F ( x)
0 3
0
3
x2 3 2 x 4
当x
x t t d t (2 ) d t 3 6 2
4时 ,
F ( x) 0dt
0
4 x t t dt 2 dt 0dt 3 4 6 2
1
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) 2 x 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
P{a X b}
b
a
p( x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x )
0
a b
S1
x
注意 不可能事件的概率一定为0,而概率为0
的事件不一定是不可能事件. 若X是连续性随机变量,则
P{ X a} 0, 显然{X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p( x) 0; p( x)dx 1
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其 中 p( x ) 称 为 X 的 概 率密度函数 ,简 称 概 率 密 度 .
性质 (1) 对任意的 x, p( x ) 0. (2)
x x
p( x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim p(t ) d t p( x) d x.
a
a
(4) 若 p( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ( x ) p( x ).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
a
p( x) d x.
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b}
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 15 1 41 . 2 2 16 12 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, p( x ) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
1
P{x1 X x2 } P X x2 X x1
x2
x1
x2
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a ) p( x ) d x , P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
p ( x) d x p ( x ) d x
2 2 3
2 P{Y 2} C 20 3
27 .
源自文库
2 3 2 1 C3 3 3
3
2 1 3
0
2. 指数分布
1 , 2 x 5, p( x ) 3 0, 其它. 设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则
因而有
2 Y ~ B 3, . 3
是 p ( x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1
设 随 机 变 量X 具 有 概 率 密 度 0 x 3, kx, x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 其 它. 0, ( 2) 求 X 的 分 布 函 数 ;
(1) 确 定 常 数k ;
7 (3) 求 P {1 X }. 2
解
(1) 由 p( x) d x 1,
x 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 0 3 2 1 解之得 k . 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6 x 0 x 3, , 6 x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其 它.
p( x )
概率密度
函数图形
a o
b
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
均匀分布分布函数图形演示
F ( x)
1
a o
b
x
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
3 4
9 1 k 1, 2 4
由 F ( x) p(t ) d t 得
当x
x
0时 ,
F ( x) 0dt 0
x
当0 当3
x 3 时 , F ( x) p(t )dt 0dt 0
x
0
x
t x2 dt 12 6
x 4 时 ,F ( x) 0dt 0
S p ( x) d x 1
p( x )
1
0
x
x2
1
(3) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
PX x2 PX x1 F ( x2 ) F ( x1 )
p( x ) d x p( x ) d x x p( x ) d x.