连续函数的性质(可编辑修改word版)

§2.2 连续函数的性质连续函数的局部性质

若函数f 在点x

0 连续，则f 在点x

有极限，且极限值等于函数

值f (x

) 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在U (x0 ) 的性态。

定理1（局部有界性）若函数f 在点x

0 连续，则f 在某U (x

) 内有

界。

定理2（局部保号性）若函数f 在点x

0连续，且f (x

) > 0 （或< 0 ），

则对任何正数r < f (x

) （或r <-f (x0) ），存在某U(x0)，使得对一切x ∈U (x0 ) 有f (x) >r （或f (x) <-r ）。

注：在具体应用局部保号性时，常取r =1 f (x ) ，则当f (x ) > 0

2 0 0 时，存在某U (x ) ，使在其内有f (x) >1 f (x ) 。

0 2 0

定理3（四则运算）若函数f 和g 在点x0连续，则f±g, f⋅g, f

g

（这里g(x

) ≠ 0 ）也都在点x0 连续。

关于复合函数的连续性，有如下定理:

定理4 若函数f 在点x

0 连续，g 在点u

连续，u

=f (x

) ，则复合

函数g f 在点x0连续。

证明：由于g 在点u

0连续，∀> 0, ∃

1

> 0 ，使得当| u -u0|<1时有

| g(u) -g(u0) |<。（1）

又由u

0 = f (x

) 及u = f (x) f 在点x0连续，故对上述1，存在> 0 ，

使得当| x -x

|<时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<1，联系（1）式得:对任给的> 0 ，存在> 0 ，使得当| x -x0 |<时有| g( f (x)) -g( f (x0 )) |<。这就证明了g f 在点x0连续。

→∞

n

n 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为

lim g ( f (x )) = g ( lim f (x )) = g ( f (x 0 ))

x →x 0

x →x 0

定 理 5

lim f (x )存 在 的 充 要 条 件 是

x → x 0

lim x → x 0

+ 0

f (x ) = f (x 0 + 0)与 lim x → x 0

-0

f (x ) = f (x 0 - 0)存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设

lim x → x 0+ 0

f (x ) = A =

lim x → x 0

-0

f (x )，从

而对任给的> 0 ，存在1 > 0 和2 > 0 ，当

f (x ) - A <

0 < x - x 0 < 1

时，

① 当 －2 < x - x 0 < 0 时， f (x ) - A <

② 取

= min {1,2 } > 0 时 ， 当

0 < x - x 0 <

时 ， 则

0 < x - x 0 <

和

-< x - x 0 < 0

二者必居其一，从而满足①或②，所以

f (x ) - A < ．

定理 6 函数 f (x ) 在x 0 点连续的充要条件是 f (x ) 左连续且右连续． 证明： f (x ) 在 x 0 点连续即为 lim f (x ) = x → x 0

f (x 0 )． 注意左连续即为

f (x 0 - 0) = f (x 0 )

，右连续即为 f (x 0 + 0) = f (x 0 )，用定理 5 即可证．

此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下 面我们来讨论这方面的问题．

定理 7 海涅（ Heine ）定理： lim f (x )存在的充分必要条件是对任

x → x 0

给的序列{x n }，若满足lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），则有lim f (x n )存在．

n →∞

n →∞

分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法． 证明：必要性。设 lim f (x ) = A ，则对任给的

> 0 ，存在> 0 ，当

x → x 0

0 < x - x 0 <

时， f (x ) - A < ①

设lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），则存在N ，当n > N 时， 0 < n

x n - x 0

<

，

从而满足 ①，即 f (x ) - A < ，亦即lim f (x ) = A ． n →∞

n 0 ⎨ y

2

⎨ n ⎬

0 →∞

n

n 充 分 性 。

（ １ ）

先 证 若

lim x = x （ n →∞

x n ≠ x 0 ），

lim y n = x 0 , (y n ≠ x 0 )，则 lim f (x n ) = lim f (y n ) ．

n →∞

n →∞

n →∞

取 z n 且

= ⎧x

k

⎩

k n = 2k + 1, n = 2k ,

则 lim z n →∞

= x 0 ,

(z n ≠ x 0 )，从而 lim f (z ) 存在 n →∞

lim f (z n ) = lim f (z 2n -1 ) = lim f (x n ) = lim f (z 2n ) = lim f (y n ) ．

n →∞

n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

于是对任给的序列{x n }，若lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），则lim f (x n )存

n →∞

在且极限值与{x n }的选取无关，记为 A ．

n →∞

(2) 证明 lim f (x ) = A （反证法），若 lim f (x ) ≠ A ，则有0 > 0 ，

x → x 0

x → x 0

对任给的

> 0 ，总有x ' 满足0 < x ' - x 0 < 且使得 f (x ') - A ≥ 0 ．

取

= 1 ，则有x 1 满足0 < x 1 - x 0 < ，使得

f (x 1 ) - A ≥ 0

取

=

1

，则有x 满足0 < x - x

< min

⎧1 , x - x

⎫

，使得

2

2 2 0

⎨

1 0

⎬ ⎩ ⎭

f (x 2 ) - A ≥ 0 ，

… …

取

= 1 ，则有x n

n 满足0 < x n - x 0

< min ⎧1 , x ⎩ n -1 - x ⎫ ，使得 ⎭

f (x n ) - A ≥ 0 ，

… …

由此可以找到{x n }满足lim x n = x 0 （ x n ≠ x 0 ），且 n

f (x n ) - A ≥ 0 > 0 ，

即此时

lim f (x ) ≠ A ，这与（１）的结论矛盾． n →∞

闭区间上连续函数的基本性质

设 f 为闭区间[a ,b ] 上的连续函数，本段中我们讨论 f 在[a ,b ] 上 的整体性质。

n